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Un estudio sobre objetos matemáticos no usuales en un espacio académico de la educación media

LauraAguirre,Valen3naBarrera,ÁngelPérez,JoseGabrielVega,LuisOr3z

Ins3tutoPedagógicoNacional-Bogotá

06deoctubrede2017

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Momentos1.  Presentación•  ¿QuéeselÉnfasisdeMatemá3casdelIPN?•  Obje3vosdelespacio.

2.InicioenelEspacioAcadémico•  Definiciones•  Conjeturas

3.EstudiosenlaTeoríadeNudos•  LosmovimientosdeRedemeister•  LanotacióndeGauss•  LanotacióndeDowker–Thislethwaite(DT)

4.Conclusiones

PRESENTACIÓN

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ElÉnfasisdeMatemá3casdelIPN

EsunProyectoPedagógicoconstruidopordelÁreadeMatemá3casdelIns3tutoPedagógicoNacional(Bogotá)creadoparalaatenciónapoblaciónestudian3lconinterésenlaprofundizaciónenMatemá3cas.Estáconformadopordosasignaturasenelplandeestudiosdegradodécimoyonce:•  TópicosdePre-Cálculo(10)-TópicosdeCálculo(11).•  SeminarioProyecto(10)y(11).o  Matemá3caPura.o  Matemá3caAplicada.

Obje3vosdelespacio

•  Analizarycaracterizaralgunosobjetosmatemá3cosnousuales(enelcontextoescolar)conelfindeestablecerrelacionesentreestosyalgunosconceptosestudiadoseneducaciónbásicaomedia.

•  Plantearpropuestasdeinves3gaciónoinnovaciónescolaraplicandoprocesosdeconocimientomatemá3co,cienffico,socialoarfs3co,enlasolucióndesituacionesrelacionadasconsuentorno.

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Obje3vosespecíficos

o  Observar,descubrir,einterpretarsituacionesproblemaencontextosrealesymatemá3cos.

o  Desarrollarpensamientocrí3cofrentealsignificadodelasmatemá3cas,sufinalidadycomosedasudesarrollo.

o  Realizar,iden3ficar,demostraryponerenprác3caprocesosymodelosmatemá3cosquedensoluciónasituacionesproblemaencontextosrealesymatemá3cos.

Elproblema

•  Lascaracterís3casdeltalentomatemá3co:LaMeta.o  Pensamientoconvergente:Visualización,Reversión,

Generalización.o  PensamientoDivergente:Fluidez,Abstracción,Flexibilidad,

AutonomíaeneltrabajoMatemá3co.•  Lateoríadenudos:Unaherramienta.

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INICIOSDELESPACIOACADÉMICO

Definiciones

•  Corte(ocruce)Dadaunacuerdaenelespacio,uncorte(ocruce)esunasuperposicióndeunapartedelacuerdasobreotra.•  NudoEsunaproyeccióndelespacioenelplanodeunacuerdasinpuntascon𝑛cruces,donde𝑛 ∈ℕ.•  NudoTrivialAquelque3enecerocruces.

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Ejemplo:Elnudodetrescruces

•  ¿Quésemejanzasydiferenciashayentreestosdosnudos?¿Algunodeellospuedeconver3rseenelnudotrivial?

ConjeturasencontradasI

Lasprimerasconjeturasencontradaseneldesarrollodelasnocionesbásicasdelateoríadenudosfueronlassiguientes:•  Conjetura1:DesarmabilidadSiunapartedelacuerdapasaporencimadetodosloscortes,entonceselnudoesdesarmable.•  Conjetura2:GeneracióndecrucesporamarramientoPorcadaamarrequeserealiceaunacuerdasegenerantresnuevoscortes,esdecir,si𝑛eselnúmerodeamarresentoncesseob3enen3𝑛cruces(progresiónaritmé3ca).

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ESTUDIOSENLATEORÍADENUDOS

LosmovimientosdeReidemeister

•  Torsión(I)•  Superposición(II)•  Desplazamiento(III)

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LosmovimientosdeReidemeister

LanotacióndeGauss

Cortes

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LanotacióndeGauss

Cortes

-1

LanotacióndeGauss

Cortes

-1,+2

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LanotacióndeGauss

Cortes

(-1,+2,-3,+1,-2,+3)

LanotacióndeDowker–Thislethwaite(DT)

•  Enestanotaciónsetomalarepresentaciónplanadeunnudode𝑛cruces,seelaboraunaseriedemarcassobreéstaquepermi3ránlaconstruccióndeunamatrizasociadayunvectorqueresumelanotación. Elnudotrébol

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LareversiónenlaNotaciónDT

•  Definición:Reversión–TeoríadeNudosEslares3tucióndeunregistroderepresentacióngráficodeunnudo,apar3rdelainformacióncontenidaenunamatrizampliada(2×2𝑛)quecon3eneinformaciónnuméricageneradaapar3rdeconsideracionesespecíficassobresuscruces(Or3zyVillarraga,2016:56).

Iden3ficacióndelosmovimientosdeReidemeister

Iden3ficarnudosdesarmablesoprimosquetenganmovimientosdeReidemeister3po(I)y(II)enlarepresentaciónvectorialomatricial.

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RepresentacióndelosmovimientosdeReidemeisterI

•  Conjetura3:Torsión¿Cómoserepresentaenunamatriz?Ejemplo:Elnudode5crucesGeneralidad

Casodeestudio:Laiden3ficacióndelmovimiento(I)enunvectorresumenDT

Alvectorresumen1∗𝑛:

𝑉𝑅=(𝑎↓𝑖 )=( 𝑎↓1 , 𝑎↓2 , 𝑎↓3 , …, 𝑎↓𝑖 )Seleasignalaposiciónrespec3vaacadaelemento,enlapartesuperior.

𝑃=(𝑏↓𝑖 )=( 𝑏↓1 , 𝑏↓2 , 𝑏↓3 , …, 𝑏↓𝑖 )Detalformaqueseob3eneunamatrizresumen,

█𝑃=@𝑉𝑅= [█𝑏↓1 &𝑏↓2 &𝑏↓3 @𝑎↓1 &𝑎↓2 &𝑎↓3  ]

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•  ElcasodeunaTorsiónsimple:Enelvalordelaposición𝑏↓𝑖 hayunatorsiónsielvalordelaposición𝑎↓𝑖 esequivalentealvalordelaposición𝑏↓𝑖 ±1.

o  Ejemplo1:Presentamosunnudoconunasolatorsión:█𝑃=@𝑉𝑅= [█1&3&5@8&2&10  █7&9&11@12&4&6 ]3=2+1o  Ejemplo2:Presentamosunnudoconunasolatorsión:█𝑃=@𝑉𝑅= [█1&3&5@8&6&2  █7&9&11@10&4&12 ]11=12−1

RepresentacióndelosmovimientosdeReidemeisterII

•  Conjetura4:SuperposiciónSienlamatriz(2×2𝑛),enlasegundafilahay3signosconsecu3vosigualespodemosencontrarunasuperposición.

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ElPolinomiodeConway

Orientacionesenloscrucesdeunnudo.

OperacionesbásicasdeConway:CambiarOrientación(Izq.)CorteParalelo(Der.)

Paraescribirelpolinomio

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Conclusiones•  Selograronconstruiralgunasdefinicionesyconjeturasa

par3rdelestudiorealizadoconlasnocionesbásicasdelateoríadenudos.

•  Selograroniden3ficardosdelosmovimientosdeReidemeisterenlarepresentaciónmatricialdelanotacióndeDowker-Thistlethwaite,yseconstruyeronconjeturasparalosmismos;estoimplicasuiden3ficaciónydesarrollodentrodelanotación.

•  SeplantearonestudiosygeneralizacionesdedosmovimientosdeReidemeisterenaportealtrabajodedesarmedeunnudodesdelarepresentaciónvectorialymatricial.

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Conclusiones

•  (Ylomásimportante)ElÉnfasisdeMatemá3casesunbonitoespacioparaconstruirconocimientomatemá3cosinimportarquétantohayamosestudiado.

Atentamente:El“Club”S.A.

Referencias

•  Or3z,L.,&Villarraga,A.(2016).Unestudioenlateoríadenudos:Propuestadeintervenciónparatalentososenmatemá3casenel“ClubdeMatemá3cas”delIns3tutoPedagógicoNacional.Bogotá,Colombia:UniversidadPedagógicaNacional.Trabajodegradodeespecializacióneneducaciónmatemá3ca.

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