7/23/2019 Un mtodo para construir globalmente una variedad diferenciable, usando el teorema de la funcin implcita. Francisco Javier Cervigon Ruckauer

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Mdulo 2: Ms ejemplos

Geometra diferencial y Mecnica: Una introducci n

(Modulo 2) Mas ejemplos 1 / 5

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El cuerpo rgido y SO(3)

Un cuerpo rgido

(Modulo 2) Mas ejemplos 2 / 5

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El cuerpo rgido y SO(3)

Un cuerpo rgido

Asumiremos que el movimiento es continuo

Se preserva la orientaci n del objeto

(Modulo 2) Mas ejemplos 2 / 5

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El cuerpo rgido y SO(3)

Un cuerpo rgido

Asumiremos que el movimiento es continuo

Se preserva la orientaci n del objeto

El cuerpo se puede mover solamente por una combinaci n de rotaciones ytraslaciones

(Modulo 2) Mas ejemplos 2 / 5

7/23/2019 Un mtodo para construir globalmente una variedad diferenciable, usando el teorema de la funcin implcita. Francisco Javier Cervigon Ruckauer

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El cuerpo rgido y SO(3)

Un cuerpo rgido

Asumiremos que el movimiento es continuo

Se preserva la orientaci n del objeto

El cuerpo se puede mover solamente por una combinaci n de rotaciones ytraslaciones

Consideramos el movimiento rotacional de un cuerpo rgido alrededor deun punto fijo

(Modulo 2) Mas ejemplos 2 / 5

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El cuerpo rgido y SO(3)

X configuraci n de referencia

(Modulo 2) Mas ejemplos 3 / 5

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El cuerpo rgido y SO(3)

X configuraci n de referencia

x(t) posicin de una partcula del cuerpo en un instante t

(Modulo 2) Mas ejemplos 3 / 5

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El cuerpo rgido y SO(3)

X configuraci n de referencia

x(t) posicin de una partcula del cuerpo en un instante t

una matriz de rotaci n R(t): x(t) = R(t)X

(Modulo 2) Mas ejemplos 3 / 5

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El cuerpo rgido y SO(3)

X configuraci n de referencia

x(t) posicin de una partcula del cuerpo en un instante t

una matriz de rotaci n R(t): x(t) = R(t)X

Rt = R1, det(R) = 1

(Modulo 2) Mas ejemplos 3 / 5

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El cuerpo rgido y SO(3)

X configuraci n de referencia

x(t) posicin de una partcula del cuerpo en un instante t

una matriz de rotaci n R(t): x(t) = R(t)X

Rt = R1, det(R) = 1

SO(3) ={

R matriz de orden 3|Rt

=R1

,

det(R

) = 1}

(Modulo 2) Mas ejemplos 3 / 5

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El cuerpo rgido y SO(3)

SO(3) es un variedad diferenciable

(Modulo 2) Mas ejemplos 4 / 5

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El cuerpo rgido y SO(3)

SO(3) es un variedad diferenciable

gl(3,R)= R9

(Modulo 2) Mas ejemplos 4 / 5

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El cuerpo rgido y SO(3)

SO(3) es un variedad diferenciable

gl(3,R)= R9

GL(3,R) ={A gl(3,R)/ det(A) = 0} abierto de gl(3,R)

(Modulo 2) Mas ejemplos 4 / 5

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El cuerpo rgido y SO(3)

SO(3) es un variedad diferenciable

gl(3,R)= R9

GL(3,R) ={A gl(3,R)/ det(A) = 0} abierto de gl(3,R)

Sim(3,R)= R6 espacio de matrices simtricas [Variedad diferenciable]

(Modulo 2) Mas ejemplos 4 / 5

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El cuerpo rgido y SO(3)

SO(3) es un variedad diferenciable

gl(3,R)= R9

GL(3,R) ={A gl(3,R)/ det(A) = 0} abierto de gl(3,R)

Sim(3,R)= R6 espacio de matrices simtricas [Variedad diferenciable]

F: GL(3) Sim(3) aplicaci n diferenciable

F(R) =RtR Id

(Modulo 2) Mas ejemplos 4 / 5

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El cuerpo rgido y SO(3)

SO(3) es un variedad diferenciable

gl(3,R)= R9

GL(3,R) ={A gl(3,R)/ det(A) = 0} abierto de gl(3,R)

Sim(3,R)= R6 espacio de matrices simtricas [Variedad diferenciable]

F: GL(3) Sim(3) aplicaci n diferenciable

F(R) =RtR Id

DF(R)(B) = Bt

R+Rt

Btiene rango 6

(Modulo 2) Mas ejemplos 4 / 5

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El cuerpo rgido y SO(3)

SO(3) es un variedad diferenciable

gl(3,R)= R9

GL(3,R) ={A gl(3,R)/ det(A) = 0} abierto de gl(3,R)

Sim(3,R)= R6 espacio de matrices simtricas [Variedad diferenciable]

F: GL(3) Sim(3) aplicaci n diferenciable

F(R) =RtR Id

DF(R)(B) = Bt

R+Rt

Btiene rango 6

O(3) =F1(0) ={R|R matriz de orden n: Rt =R1}

es una variedad diferenciable de dimesi n 3

(Modulo 2) Mas ejemplos 4 / 5

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El cuerpo rgido y SO(3)

O(3) = F1(0) ={R|R matriz de orden n: Rt = R1}

es una variedad diferenciable de dimesi n 3

(Modulo 2) Mas ejemplos 5 / 5

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El cuerpo rgido y SO(3)

O(3) = F1(0) ={R|R matriz de orden n: Rt = R1}

es una variedad diferenciable de dimesi n 3

Si RO(3) det(R) =1

(Modulo 2) Mas ejemplos 5 / 5

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El cuerpo rgido y SO(3)

O(3) = F1(0) ={R|R matriz de orden n: Rt = R1}

es una variedad diferenciable de dimesi n 3

Si RO(3) det(R) =1

SO(3) =det1(] 1,[) O(3) es una variedad diferenciable de dimensin 3

(Modulo 2) Mas ejemplos 5 / 5