UN MODELO DE ASIGNACIÓN PERSONALIZADAS …...UN MODELO DE ASIGNACIÓN–EMPAQUE DE DESPENSAS PERSONALIZADAS PARA BANCOS DE ALIMENTOS SUJETO A RESTRICCIONES NUTRICIONALES Y LOGÍSTICAS

UN MODELO DE ASIGNACIÓN–EMPAQUE DE DESPENSAS PERSONALIZADAS PARA BANCOS DE ALIMENTOS SUJETO A

RESTRICCIONES NUTRICIONALES Y LOGÍSTICAS

Tesis

QUE PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE

Doctor en Ciencia y Tecnología

en la Especialidad de

Ingeniería Industrial y de

Manufactura

PRESENTA

Jonathan Cuevas Ortuño

DIRECTOR DE TESIS

DRA. ALEJANDRA GÓMEZ PADILLA

León, Guanajuato, México. Noviembre del 2013

ii

RESUMEN

Un adecuado manejo y asignación de alimentos donados en bancos de alimentos

(BA) implica tomar en cuenta factores logísticos relacionados a la disponibilidad,

manejo, preservación y costos de alimentos perecederos y no-perecederos, pero

además, considerar las características nutricionales-dimensionales de los

alimentos y los requerimientos nutricionales de las familias atendidas.

Este trabajo de investigación propone un modelo matemático de asignación-

empaque de alimentos para configurar despensas personalizadas para familias en

pobreza alimentaria. Algunas características de los alimentos donados y del

proceso no pueden ser consideradas de forma exacta, por lo que se presenta un

método de asignación-empaque de alimentos para BA basado en un modelo de

programación difusa donde el tomador de decisiones (TD) selecciona la mejor

solución del modelo difuso considerando el grado de satisfacción en el

cumplimiento de indicadores de calidad en las despensas. Incertidumbres en

parámetros logísticos y nutricionales son incluidas conjuntamente en el modelo.

La opinión del TD genera una jerarquización de las posibles soluciones a partir

del uso de funciones de membresía lineales y un índice de aceptación global.

La contribución de esta investigación radica en modelar de forma integrada y

tomando en cuenta la opinión del TD en un ambiente de incertidumbre, las

características-restricciones de los problemas de asignación limitada de recursos

en una cadena de suministro, el problema de la dieta y el problema de empaque

de alimentos; problemas que han sido estudiados de forma de separada en la

literatura.

La validación del modelo fue realizada a través de experimentos utilizando

información proporcionada por un BA de México.

iii

Palabras clave: logística de alimentos, bancos de alimentos, programación

matemática difusa, asignación-empaque, alimentos perecederos y no-

perecederos, problema de la dieta, problema de empaque de alimento,

indicadores de calidad en despensas.

iv

AGRADECIMIENTOS

Hace cuatro años ya pensaba en este momento de encontrarme a las puertas de culminar

un gran reto personal y profesional. Constantemente me preguntaba: qué sentiría, cómo

me encontraría y quién tendría un impacto relevante en mi proceso de formación. Ahora,

después de este periodo de intensas y retadoras experiencias en mi formación como

investigador en el CIATEC, me encuentro satisfecho y contento de poder presentar este

documento de tesis doctoral. Agradecido de poder vivir momentos que me hicieron sentir

orgulloso del esfuerzo realizado, agradecido de poder conocer diferentes lugares de

México y del extranjero, pero también agradecido de esos momentos en que el panorama

se veía sombrío pero que me retaron a sacar lo mejor de mí y superar esos obstáculos.

Hoy, quisiera agradecer a todos aquellos que directa o indirectamente me ayudaron a

llegar a este importante momento de mi vida:

Gracias Dios, porque Tú has sido mi fortaleza y has guiado mi camino. Porque tus

palabras en Santiago 1:5 reconfortaron mi alma en momentos de angustia: “Y si alguno de

vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin

reproche, y le será dada”.

Gracias Dra. Alejandra Gómez Padilla, directora de esta tesis, por guiarme durante mi

proceso de formación como investigador, por brindarme su valioso tiempo y dedicación

para poder culminar con éxito este trabajo de investigación.

Gracias a todo el cuerpo académico del CIATEC, ya que durante una clase y/o en la

presentación de algún seminario de avances siempre tuvieron consejos que me hicieron

crecer profesionalmente y como persona.

Gracias maestro Antonio Quijas, coordinador del posgrado en CIATEC, por su amistad,

por su apoyo incondicional y el tiempo dedicado en aclarar mis dudas y/o atender mis

sugerencias.

Gracias a mis amigos y compañeros de generación, ya que su amistad y consejos me

permitieron crecer personal y profesionalmente.

v

Gracias al CONACYT, por el apoyo económico brindado para poder culminar mi proceso

de formación doctoral.

En el apartado personal, te agradezco Mara Moreno Avalos, mi esposa y amiga, por

compartir tu vida conmigo, por ser mi brazo fuerte durante todo este proceso, por

compartir conmigo mis alegrías pero también por brindarme una palabra de aliento en

momentos difíciles. También agradezco a Dios por darme a dos hermosas hijas: Uzi Silem

y Hannia Bethsabé, y deseo que este logro sea un motivante para que ellas busquen ser

mejores personas que yo y que anhelen siempre ponerse retos profesionales cada vez

más altos.

Gracias Héctor Fernando Cuevas Sánchez y Yolanda Ortuño Miranda, mis amorosos

padres, porque siempre están al pendiente de mí y porque con su ejemplo me han

motivado a siempre buscar ser una persona íntegra. A mis queridos hermanos, Josué y

Josaphat, también les agradezco sus consejos, compañía y apoyo.

Gracias a usted, maestra María Enriqueta Sánchez Zataray, mi abuela, porque con su

forma de vivir me ha inspirado a ser una persona perseverante, optimista y responsable.

Mi agradecimiento porque con su apoyo moral y económico pude estudiar mi carrera

profesional y porque su amor por la docencia me ha guiado a seguir sus pasos y los de mi

madre en esta hermosa y gratificante labor de enseñar.

Para todos ustedes, mi más sincero agradecimiento.

JONATHAN CUEVAS ORTUÑO

vi

ÍNDICE DE CONTENIDO

ÍNDICE DE FIGURAS ix

ÍNDICE DE TABLAS xi

ABREVIACIONES xiii

1. CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN 1

1.1 Antecedentes 1

1.2 Definición del problema 3

1.3 Justificación 6

1.4 Objetivo general 9

1.5 Objetivos específicos 9

1.6 Hipótesis general 10

1.7 Alcance de investigación 10

1.8 Contribución original 10

1.9 Organización de la tesis 11

2. CAPÍTULO 2: FUNDAMENTOS TEÓRICOS 13

2.1 Introducción 13

2.2 Problemas con características similares abordados en la literatura 13

2.2.1 Manejo y distribución de alimentos en bancos de alimentos 13

2.2.2 Problemas de planeación en la cadena de suministro de alimentos 15

2.2.2.1 Administración de cadenas de suministro de productos agro-

alimenticios

16

2.2.2.2 Modelos de planeación en una cadena de suministro de

alimentos según el área funcional de aplicación

17

2.2.2.3 Modelos de planeación en una cadena de suministro de

alimentos según el nivel de decisión aplicado

24

2.2.3 Problema de la dieta 25

2.2.4 Problema de empaque 29

2.3 Metodologías de modelación bajo incertidumbre aplicadas a los problemas

estudiados

35

2.3.1 Lógica difusa o borrosa 36

2.3.1.1 Conjuntos difusos o borrosos 36

2.3.1.2 Funciones de pertenencia de conjuntos difusos o borrosos 37

vii

2.3.2 Descripción de la programación matemática difusa 39

2.3.3 Problemas en la cadena de suministro estudiados bajo incertidumbre

difusa

47

2.3.3.1 Problemas de planeación en aprovisionamiento-producción-

distribución

49

2.3.3.2 Problemas de planeación en producción-distribución 49

2.3.3.3 Problemas de planeación en transporte 51

2.3.4 Problema de la dieta bajo incertidumbre difusa 54

2.4 Síntesis y análisis crítico de la literatura revisada 55

3. CAPÍTULO 3: DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA Y MODELOS DE SOLUCIÓN 62


3.2 Descripción del problema de asignación-empaque de alimento 62

3.3 Justificación de incertidumbres en parámetros del modelo de asignación-

empaque de alimento

64

3.4 Formulación del modelo determinístico de asignación-empaque de

alimento

66

3.4.1 Objetivos del modelo 68

3.4.2 Restricciones del modelo 69

3.5 Formulación del modelo difuso de asignación-empaque de alimento 71

3.6 Programación bi-objetivo en modelo determinístico y difuso 76

3.6.1 Programación compromiso para un modelo multi-objetivo

determinístico

76

3.6.2 Programación compromiso para un modelo multi-objetivo difuso 77

3.7 Transformación del modelo mono-objetivo difuso en un modelo crisp

equivalente

81

3.7.1 Transformación del modelo difuso con el método propuesto por

Jiménez y Peidro

82


Cadenas y Verdegay

85

3.8 Método interactivo para la toma de decisiones de asignación-empaque de

alimentos en bancos de alimentos

87

3.9 Implementación del modelo 94

4. CAPÍTULO 4: RESULTADOS 95


viii

4.2 Aplicación a un banco de alimentos en México 95

4.3 Suposiciones del modelo 96

4.4 Resultados 97

4.4.1 Análisis estadístico comparativo de la solución del modelo

determinístico con objetivos diferentes e incrementando el número

de familias atendidas

97

4.4.2 Análisis de la solución del modelo difuso de asignación-empaque

mono-objetivo

111

4.4.2.1 Validación del modelo de asignación-empaque utilizando la

transformación propuesta por Jiménez y Peidro

111


transformación propuesta por Cadenas y Verdegay

114

4.4.3 Análisis comparativo de la solución del modelo de asignación-

empaque bi-objetivo versus un modelo mono-objetivo

117

4.4.4 Validación del método interactivo para la toma de decisiones en

bancos de alimentos

126

4.4.4.1 Método interactivo al utilizar la transformación propuesta por

Jiménez y Peidro

126


Cadenas y Verdegay

131

4.4.4.3 Transformación del modelo difuso con el método de Cadenas y

Verdegay y el uso de funciones de probabilidad en la

evaluación de los indicadores de calidad de despensas ( ).

134

5. CAPÍTULO 5: CONCLUSIONES 142

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 145

ANEXO 1: VALIDACIÓN DEL MODELO EN BANCO DE ALIMENTOS DEL

OCCIDENTE DE MÉXICO

160

ANEXO 2: ARTÍCULO DE INVESTIGACIÓN / CONGRESOS DE

INVESTIGACIÓN

161

ix

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 Representación general de la cadena de suministro en bancos de alimentos

3

Figura 1.2 Características del modelo actual versus modelo propuesto de distribución de alimento para bancos de alimentos

4

Figura 1.3 Sistema actual de asignación-distribución de alimento en bancos de alimentos en México

5

Figura 2.1 Funciones de pertenencia de conjuntos clásico y difuso o borroso para edad adulta

37

Figura 2.2 Ejemplo de funciones de pertenencia de conjuntos difusos o borrosos

38

Figura 2.3 Método para solución de modelos de programación matemática difusa

46

Figura 2.4 Porcentaje de aplicaciones de la teoría de conjuntos difusos por área de aplicación en la administración de la producción y operaciones

47

Figura 2.5 Ejemplos de problemas de planeación en la cadena de suministro utilizando programación matemática difusa

48

Figura 2.6 Síntesis de la literatura revisada 61 Figura 3.1 Modelo propuesto de asignación-empaque de alimentos

para bancos de alimentos

63 Figura 3.2 Ejemplo de alimentos considerados como piezas fuzzy en el

modelo propuesto

65 Figura 3.3 Número difuso triangular 79 Figura 3.4 Número difuso triangular para transformación propuesta por

Jiménez et al. (2007) y Peidro et al. (2010)

82 Figura 3.5 Número difuso triangular para transformación propuesta por

Cadenas & Verdegay (1997)

85 Figura 3.6 Resumen del método interactivo para asignación-empaque

de despensas

88 Figura 3.7 Porcentaje de alimento no-perecedero en despensas con

n=250 familias

91 Figura 3.8 Diagrama de experimentos computacionales 94 Figura 4.1 Sistema tradicional de manejo-distribución de alimentos a

granel en banco de alimentos de México

96 Figura 4.2 Alimentos incluidos en experimentos por grupo nutricional 96 Figura 4.3 Número de integrantes en familias consideradas para las

simulaciones

97 Figura 4.4 Análisis comparativo de kilogramos de alimento por

despensa al incrementar el número de familias atendidas

100 Figura 4.5 Representación del valor del atributo de calidad en

despensas

103 Figura 4.6 Análisis comparativo de tendencia central (medianas) para

cada atributo de despensas evaluadas por objetivo

106

x

Figura 4.7 Análisis comparativo de dispersión (desviación estándar) para cada atributo de despensa evaluada por objetivo

107

Figura 4.8 Ejemplo de características nutricionales y dimensionales de despensas configuradas en escenario 2 con 250 familias

111

Figura 4.9 Características de familias incluidas en experimentos del modelo difuso utilizando la transformación de Jiménez (2007)

112

Figura 4.10 Características de las familias incluidas en el modelo difuso utilizando la transformación de Cadenas y Verdegay (1997)

115

Figura 4.11 Características de familias incluidas en experimentos 118 Figura 4.12 Conjunto de soluciones eficientes y conjunto compromiso

para pesos iguales de los objetivos con modelo determinístico

120

Figura 4.13 Conjunto de soluciones eficientes y conjunto compromiso para pesos iguales de los objetivos con modelo difuso en el corte α=0.7

121

Figura 4.14 Análisis descriptivo de atributos logísticos y nutricionales en despensas configuradas por escenario (n=250 despensas personalizadas)

125

Figura 4.15 Análisis comparativo entre escenario-familia por atributo nutricional o logístico

126

Figura 4.16 Nivel de aspiración del tomador de decisiones 127 Figura 4.17 Análisis comparativo entre modelo determinístico y modelo

difuso (α=0.9) para 250 familias

130 Figura 4.18 Análisis comparativo entre modelo determinístico y difuso

(α=0.9) por familia

131 Figura 4.19 Análisis comparativo de atributos de calidad en despensas

con modelo determinístico y difuso (α=0.9)

134 Figura 4.20 Ejemplo de atributos nutricionales y logísticos para

despensas usando una solución-α = 0.3

141

xi

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2.1 Estudios realizados en cadenas de suministro agro-alimenticias

17

Tabla 2.2 Clasificación y características de modelos aplicados a cadenas de suministro de alimentos

25

Tabla 2.3 Resumen de métodos aplicados al problema de la dieta 27 Tabla 2.4 Tipos de problema de empaque 30 Tabla 2.5 Variantes del problema de la mochila 31 Tabla 2.6 Aplicaciones de la programación lineal difusa 41 Tabla 2.7 Tipos de programación matemática difusa a partir del tipo de

incertidumbre considerada en el modelo

42 Tabla 2.8 Estado del arte para el problema de asignación-empaque de

alimento

59 Tabla 3.1 Descripción y tipos de parámetros incluidos en el modelo

determinístico.

67 Tabla 3.2 Descripción y tipos de parámetros incluidos en el modelo

difuso

71 Tabla 3.3 Elementos de la matriz de pago 76 Tabla 4.1 Resumen del número de variables y restricciones en

modelos utilizados

98 Tabla 4.2 Tiempo de solución y valor objetivo encontrado por

escenario de operación

99 Tabla 4.3 Atributos para evaluar la calidad de despensas configuradas 100 Tabla 4.4 Prueba de normalidad para atributo: kilogramos de

alimentos por despensa

101 Tabla 4.5 Análisis comparativo de medianas y varianzas entre

escenario para kilogramos de alimentos por despensa

101 Tabla 4.6 Prueba de normalidad por atributos en despensas 104 Tabla 4.7 Análisis comparativo de medianas y varianzas por atributos 105 Tabla 4.8 Preferencia de escenario por atributo 110 Tabla 4.9 Tipos de alimentos incluidos en los modelos difusos 112 Tabla 4.10 Eficiencia de los experimentos computacionales 113 Tabla 4.11 Variación de la asignación de kilocalorías de alimento

realizada por el modelo difuso para cada α utilizando la

transformación de Jiménez

113 Tabla 4.12 Análisis comparativo de las mejores soluciones (corte-α) de

acuerdo al indicador de preferencia del tomador de decisiones

114 Tabla 4.13 Eficiencia de experimentos computacionales 115 Tabla 4.14 Análisis comparativo de resultados obtenidos del modelo

determinístico contra el modelo difuso utilizando la transformación de Cadenas y Verdegay

116

Tabla 4.15 Escenarios evaluados en el modelo de asignación-empaque de despensas personalizadas

118

xii

Tabla 4.16 Matriz de pago resultante del modelo determinístico 119 Tabla 4.17 Matriz de pago resultante del modelo bi-objetivo difuso 120 Tabla 4.18 Eficiencia de los experimentos computacionales entre

modelos mono-objetivo y bi-objetivo

121 Tabla 4.19 Atributos logísticos y nutricionales promedio en despensas

configuradas por escenario evaluado

123 Tabla 4.20 Grado de satisfacción del tomador de decisiones en el

cumplimiento del valor objetivo y α

127 Tabla 4.21 Análisis comparativo de resultados por despensa-familia-

contenedor

128 Tabla 4.22 Cálculo del grado de satisfacción conjunta (K) para cada α 128 Tabla 4.23 Cálculo del grado de satisfacción global ( ) para cada α 132 Tabla 4.24 Solución para cada corte-α y su correspondiente grado de

satisfacción global ( )

135 Tabla 4.25 Distribuciones obtenidas para cada parámetro ( )

evaluado

136 Tabla 4.26 Probabilidad acumulada obtenida para cada indicador de

calidad ( ) evaluado en cada solución-α

137 Tabla 4.27 Grado de factibilidad (corte-α) y su correspondiente grado

de satisfacción global ( )

139 Tabla 4.28 Análisis comparativo de parámetros (nutricionales y

logísticos) evaluados en las despensas por el tomador de decisiones

139

xiii

ABREVIACIONES

Descripción Abreviatura

Administración de la cadena de suministro ACS

Administración de la cadena de suministro de

alimentos

ACSA

Banco de alimentos BA

Cadena de suministros CS

Cadena de suministro de alimentos CSA

Cadena de suministro agro-alimenticia CSAA

Problema de la dieta PD

Problema de empaque de alimentos PEA

Problema de la mezcla de alimentos PMA

Programación compromiso PC

Programación lineal PL

Programación lineal entera-mixta PLEM

Programación matemática PM

Programación matemática difusa PMD

Tomador de decisiones TD

1

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

1.1 Antecedentes.

Para Mula et al. (2010), el concepto de administración de cadena de suministro

(ACS) desde su aparición en 1982 es asociado con una variedad de significados.

En los ochentas, la ACS fue originalmente usada en la literatura logística para

describir un nuevo método integrado de administración logística a través de

diferentes funciones de negocios. Después, éste método integrado fue extendido

hacia afuera de los límites de la compañía hacia proveedores y clientes. De

acuerdo con el Foro de Cadena de Suministro Global (FCSG), la ACS es la

integración de los procesos de negocios clave, del usuario final a los proveedores

originales que proveen los productos, servicios e información la cual agrega valor

a los clientes y shareholders (accionistas).

La investigación de operaciones y en particular la técnica de programación lineal

(PL) ha sido utilizada frecuentemente en problemas asociados a una cadena de

suministro (CS) como planeación de la capacidad de producción, programación

(schedulling), control de inventarios, aprovisionamiento-producción-distribución,

transporte, ruteo de vehículos, localización de plantas, entre otros. Sin embargo,

para Rommelfanger (1996) la desventaja principal de la PL radica en la necesidad

de contar con información precisa y concreta que en muchas ocasiones es difícil

obtener, entre otras cosas, por el alto costo que implica.

La CS es una red dinámica de varias entidades de negocios que involucran un alto

grado de imprecisión o incertidumbre. En la literatura, varios modelos para la

planeación de la CS bajo incertidumbre han sido definidos. De acuerdo a Peidro

et al. (2009), muchos de estos modelos están basados en métodos analíticos (por

ejemplo, modelos estocásticos), métodos de simulación, o métodos híbridos

(basados en la integración de modelos analíticos y de simulación) pero Bilgen

(2010) considera que son pocos los estudios se han enfocado a modelar el

problema en ambientes difusos. Los modelos incluidos en los métodos analíticos,

2

de simulación o híbridos representan las incertidumbres en la CS con

distribuciones de probabilidad que son predichas de datos históricos. Sin

embargo, para Wang & Shu (2005) cuando los datos estadísticos obtenidos son

poco confiables o no se encuentran disponibles, los modelos basados en la

determinación de distribuciones de probabilidad no son la mejor opción. Debido a

esto, la programación matemática difusa (PMD) toma relevancia en la modelación

de las CS bajo incertidumbre.

Un banco de alimentos (BA) es una institución no lucrativa que forma parte de una

cadena de suministro de alimentos (CSA) y que tiene como misión ser un puente

entre el alimento donado por organizaciones y las familias con escasos recursos

que necesitan de ese alimento.

Típicamente, una empresa con fines de lucro tiene como parte de sus objetivos

principales satisfacer las necesidades del cliente por medio de un sistema de

operación eficaz y eficiente, por lo que un proyecto de mejora en su(s) eslabon(es)

de la CS, buscará utilizar modelos que permitan minimizar costos, maximizar la

calidad de servicio, minimizar el número de quejas, maximizar el número de

clientes atendidos, entre otros. Sin embargo, los BA cuentan con una lista

bastante grande de “clientes cautivos” por lo que sus necesidades más urgentes

se deberán enfocar en contar con suficiente oferta de alimento, entregar el

alimento lo más rápido posible, entregar dietas (despensas) nutricionalmente

completas y que sus procesos de asignación de alimentos se hagan

adecuadamente.

La contribución de esta investigación radica en proponer un novedoso modelo

matemático de asignación-empaque de despensas personalizadas que integra

simultáneamente dos enfoques diferentes: nutricional y logístico. Debido a que

algunos parámetros del modelo no pueden manejarse de forma exacta, se

considera el uso de la PMD para modelar la incertidumbre de la información en

dichos parámetros. En nuestro sistema propuesto de asignación de alimento a

3

familias beneficiarias incluimos un método interactivo que incluye la opinión del

tomador de decisiones (TD) del BA en la búsqueda de una mejor solución del

modelo que involucre la evaluación de algunos indicadores de calidad en la

configuración de despensas que son de interés para los BA.

1.2 Definición del problema.

La CS en BA está formada principalmente por tres niveles (eslabones) como se

observa en la Figura 1.1. En el contexto de una CS, el problema estudiado en

esta investigación se analizó tomando en cuenta información generada en los tres

eslabones: proveedores (donaciones), centro de distribución (BA) y clientes

(familias beneficiadas).

Figura 1.1 Representación general de la cadena de suministro en bancos de alimentos.

Con la implementación de nuestro modelo de asignación-empaque por familia, se

espera que los BA puedan monitorear el impacto nutricional que tendrá cada

familia con el alimento que está recibiendo cada una. Como se observa en la

Figura 1.2, el resultado de nuestra investigación busca que los BA cuenten con un

modelo que permita distribuir el alimento donado a través de despensas

personalizadas por medio de contenedores basada en la disponibilidad y

características dimensionales y nutricionales de los alimentos y en los

requerimientos energéticos de las familias atendidas.

4

Figura 1.2 Características del modelo actual versus modelo propuesto de distribución de alimento

para bancos de alimentos.

Por lo expuesto anteriormente, se pretende que los BA puedan contar con un

modelo que les permita modificar su sistema de distribución actual (Figura 1.3) de

alimento a las comunidades, en donde generalmente el producto es enviado a

granel a cada comunidad considerando únicamente la disponibilidad de productos

y las cantidades (kilogramos) requeridas por cada comunidad (en donde se

reparte equitativamente el producto) a un sistema de distribución que considere la

configuración de las dietas (despensa) para cada familia de forma personalizada,

basados en la disponibilidad de cada tipo de alimento, el costo máximo permitido

de la despensa, capacidades (peso y volumen) de contenedores para

transportación de cada despensa y la demanda de alimento requerida por cada

familia (medida en cantidad y requerimiento nutricional).

5

Figura 1.3 Sistema actual de asignación-distribución de alimento en bancos de alimentos

en México.

Bajo este escenario, se establece la siguiente pregunta de investigación: ¿es

posible plantear un modelo matemático que permita configurar una dieta

(despensas) con características diferentes (tipo de producto, cantidad asignada)

que sean asignadas a diferentes clientes (familias) tomando en cuenta

restricciones de oferta disponible de producto (alimento), condiciones nutricionales

de productos (aporte energético y grupo nutricional), dimensionales (peso y

volumen) y de costo de la dieta (despensa)?

Por esta razón, nuestra investigación tuvo como objetivo principal la definición de

un modelo que permita a los BA definir la cantidad y tipo de cada alimento que

deberá tener una despensa asignada a una familia. Este objetivo se pretende

lograr a través del diseño de un modelo de PL que tome en cuenta

simultáneamente las características del problema de la dieta y el problema del

empaque de alimentos pero extendiéndolo a un problema de planeación en una

CS de un BA.

6

1.3 Justificación.

Para Rong et al. (2011), a pesar de la relevancia del sector de alimento, la

administración de la cadena de suministro de alimentos (ACSA) ha recibido poca

atención en literatura, y una de las razones se debe a que la ACSA es complicada

para productos alimenticios específicos y por las características propias de este

tipo de procesos; en una CSA que distribuye productos tales como: vegetales,

frutas, lácteos o carne, su manejo y distribución se vuelve todavía más complejo,

debido a la naturaleza perecedera de este tipo de productos.

Un diseño y manejo correcto de una CSA es considerado de suma importancia

para poder entregar el producto en el tiempo especificado, garantizando que el

alimento llegue con la calidad correcta. Un adecuado manejo (refrigeración,

almacenaje, etc.) del alimento también conllevará una disminución en los costos

de operación de la CS, además de garantizar la calidad del producto perecedero,

principalmente. Si además, para los procesos de planificación en la ACSA

incluimos otras características de los alimentos tales como su aporte energético,

grupo nutricional, volumen y peso, la planificación de la cadena de alimentos se

vuelve mucho más compleja.

De acuerdo a las cifras del Consejo Nacional de Evaluación de Política de

Desarrollo Social (CONEVAL, 2009) en México 19,459,204 personas vivían en

condiciones de pobreza alimentaria en nuestro país. Estimaciones de la Secretaría

de Agricultura, Ganadería, Desarrollo Rural, Pesca y Alimentación (SAGARPA,

2009) en México indican que se desperdiciaban diariamente poco más de

veintisiete mil toneladas de alimentos en condiciones de aprovechamiento para

consumo humano. La mayor parte de este alimento no es donado, es confinado en

tiraderos, basureros de centrales de abasto y mercados o simplemente no es

cosechado por los productores en el campo. Con los resultados de este trabajo de

investigación se espera beneficiar al grupo de la población que se encuentra en

pobreza alimentaria y que requiere de despensas personalizadas que satisfagan

los requerimientos nutricionales de cada familia. Utilizando esta propuesta, los BA

7

podrán contar con un modelo de asignación de alimento ágil y que tome en cuenta

las características específicas de cada familia. Finalmente, como resultado de esta

investigación, la comunidad científica interesada en este campo también se verá

beneficiada debido a que el problema de asignación personalizada de alimento en

BA utilizando PL es un área de pocos reportes científicos y por lo mismo, un área

de oportunidad para los intelectuales y profesionales de las carreras afines.

La función de los BA es servir de enlace entre el alimento desperdiciado y las

familias necesitadas del mismo. En éste tipo de instituciones generalmente, los

alimentos obtenidos son seleccionados y se configura una despensa básica,

procurando equilibrar empíricamente con los alimentos disponibles: condiciones

de alimentación y nutrición.

Thomas (2007) considera que aunque existen diferentes formas para distribuir

alimento en forma de despensa en BA, la mayoría de ellas son basadas en los

siguientes dos modelos:

a) Despensa en caja/bolsa de comida estandarizada.

En este modelo se preparan paquetes de alimento para los clientes. La

principal fortaleza de este modelo radica en su “equidad”, es decir, cada

familia recibe más o menos los mismos productos, y de tal forma es

posible “controlar” el balance nutricional del paquete de comida que

recibe el cliente. Sin embargo, este modelo se encuentra limitado a los

productos que recibe en donación el BA por lo que lo obliga a comprar

alimento faltante o limitar el número de beneficiarios atendidos.

b) El cliente selecciona la despensa.

Este modelo se basa en la idea de permitir que cada cliente escoja su

propia comida. Los clientes seleccionan la comida como si fuera una

tienda de abarrotes, con productos almacenados en estanterías y en

congeladores, de los cuales los clientes pueden llenar su caja o bolsa.

Sin embargo, la desventaja con estos dos tipos de modelos radica en que no es

posible realizar una asignación controlada de alimento sujeta a los requerimientos

8

energéticos y nutricionales específicos de cada familia beneficiaria, y además,

hasta el momento no fueron encontrados en la literatura especializada estudios de

modelos matemáticos utilizando PL para la configuración y asignación de dietas

(despensas) personalizadas en el contexto de un problema de planeación en una

CS de BA basados en alguno de estos dos modelos u en otros. Por otro lado, en

la revisión de la literatura de estudios relacionados a BA se ha encontrado que la

investigación en este tipo de organización también ha sido muy limitada y aunque

existen algunas investigaciones que estudian el problema de asignación de

alimentos en BA, éstos consideran solamente un enfoque nutricional o logístico de

forma separada, además, ninguno de ellos incluyen el manejo de la incertidumbre

en la información de los modelos propuestos.

Por otro lado, aunque las características del problema de la dieta (PD) o llamado

también el problema de la mezcla de alimento (PMA) ha sido ampliamente

estudiado en la literatura por diferentes métodos [(Abd Rahman et al. (2010)], el

problema tiene como principal objetivo la minimización del costo de la dieta al

considerar la cantidad del alimento i que deberá ir en la dieta de un ser vivo. En la

revisión de la literatura realizada, no se encontraron estudios de dicho problema

que consideren la configuración de dietas asignadas a diferentes clientes (familias)

ni la restricción de oferta de cada producto que formará parte de la dieta. Por otro

lado, Abd Rahman et al. (2010) consideran que el uso de la PMD (método híbrido

de PL + Lógica Difusa) para resolver el PMA tiene un gran potencial para futuras

investigaciones.

Este trabajo de investigación presenta un modelo de programación lineal entera-

mixta (PLEM) que permite realizar asignaciones de alimentos en un BA a través

de despensas a familias con características y necesidades diferentes. La

originalidad del modelo radica en el planteamiento y solución de un nuevo

problema que integra simultáneamente parámetros y restricciones nutricionales y

logísticas que han sido estudiados en problemas de forma separada. Por medio

de nuestro modelo el TD en un BA podrá realizar asignaciones de alimentos

9

considerando restricciones relacionados al manejo de alimentos en una CS

(disponibilidad de alimento, costo de despensa, cantidad y peso demandado de

alimento, preservación del alimento por medio de contenedores, etc.) y

nutricionales (aporte energético de alimentos, requerimiento energético de

familias, cantidad de producto perecedero, cantidad mínima requerida por grupo

nutricional). Debido a que cierta información del proceso y las características de

algunos alimentos no pueden ser conocidas de forma precisa o resulta

aproximada, nuestra investigación propone un modelo de PMD para incluir dicha

incertidumbre en la información de algunos parámetros del modelo. Esta

investigación considera además, una metodología que permitirá a los BA poder

seleccionar la mejor solución del modelo difuso basado en el grado de satisfacción

global de parámetros de calidad en despensas definidos por la misma

organización.

1.4 Objetivo general.

Desarrollar un modelo de PLEM para la asignación-empaque de alimentos en

despensas personalizadas sujeto a restricciones nutricionales y logísticas.

1.5 Objetivos específicos.

Analizar la solución del modelo determinístico en eficiencia computacional y

características nutricionales y logísticas de las despensas.

Analizar la solución del modelo difuso (utilizando números difusos

triangulares) en eficiencia computacional y características nutricionales y

logísticas de las despensas.

Incluir la opinión del TD en los BA por medio de indicadores de calidad en

despensas y el uso de funciones de membresía lineales y distribuciones de

probabilidad.

Realizar un análisis comparativo entre la solución de modelo determinístico

y el modelo difuso.

Realizar un análisis comparativo entre la solución del modelo mono-objetivo

y el modelo bi-objetivo.

10

Aplicación en campo del modelo de asignación-empaque de despensas

personalizadas para BA.

1.6 Hipótesis general.

Mediante un modelo matemático de asignación-empaque de despensas

personalizadas para BA se obtiene la asignación ágil y adecuada de alimentos a

familias beneficiarias con características diferentes considerando simultáneamente

incertidumbres nutricionales y logísticas e integrando la opinión del TD del BA en

la búsqueda de una mejor solución del modelo difuso.

1.7 Alcance de la investigación.

Se siguió un proceso de investigación del tipo abductivo con el fin de detectar las

desviaciones obtenidas entre lo planteado y lo obtenido de manera cíclica durante

la realización de este proyecto. El alcance de la investigación fue del tipo

explicativo debido a que se encuentran y se explican los efectos de la relación

entre las variables bajo estudio. Nuestro diseño de la investigación fue

experimental, debido a que el modelo de asignación-empaque de despensas

personalizadas se validó en estudios de campo a través de varios experimentos.

Nuestra propuesta de asignación-empaque de despensas personalizadas puede

ser tomada como referencia para ser utilizada en cualquier organización que

recolecte alimento donado para distribuirlo a familias en pobreza alimentaria.

1.8 Contribución original.

La contribución general de éste trabajo de investigación se encuentra en la

propuesta de un nuevo modelo de PLEM para la asignación-empaque de alimento

resuelto de forma determinística pero también de forma difusa y que además

considera simultáneamente un enfoque nutricional y logístico que es aplicado a un

tipo de organización que ha sido poco estudiada en la literatura y en donde la

opinión del TD resulta muy importante en las decisiones de tipo operacional

involucradas en la CSA de cualquier BA.

11

Las contribuciones particulares son:

Un modelo de PLEM de asignación-empaque de despensas personalizadas

que permite a los BA realizar una distribución controlada del alimento

tomando en cuenta la disponibilidad de alimento, las características

particulares de cada familia beneficiaria y otras restricciones nutricionales y

logísticas.

Un análisis estadístico comparativo de las características nutricionales y

logísticas de las despensas configuradas con el modelo matemático

propuesto con un enfoque logístico (objetivo 1), enfoque nutricional

(objetivo 2) y/o ambos enfoques de forma simultánea.

El manejo de la incertidumbre en la información de algunos parámetros del

modelo de asignación-empaque a través de la PMD y un análisis

comparativo de las características nutricionales y logísticas de las

despensas configuradas a partir de un modelo determinístico y un modelo

difuso.

La incorporación de un método interactivo para la búsqueda de una mejor

solución del modelo difuso que involucre la opinión del TD a través del

análisis de indicadores de calidad en despensas que son de interés para los

BA.

Finalmente, los modelos propuestos en esta investigación fueron probados con

datos proporcionados por un BA del occidente de México (anexo 1) lo que permitió

validar el buen desempeño del modelo de asignación-empaque de despensas en

condiciones de operación reales.

1.9 Organización de la tesis.

Este trabajo de investigación ha sido organizado en cinco capítulos. En el Capítulo

1, la introducción, se le informa al lector sobre la relevancia del modelo

matemático en la CS y el uso de los modelos difusos para considerar la

incertidumbre en la CS. Se explica la importancia de los BA y su rol principal como

12

parte de una CSA. Este capítulo define también el tema de investigación

estableciendo la hipótesis del trabajo y se detalla la justificación y los objetivos

como consecuencia del tema de investigación. En el Capítulo 2 se presenta una

revisión de estudios previos encontrados en la literatura especializada que

consideran algunas características de nuestro problema pero de forma

independiente y que se clasificaron en cuatro tipos de problemas: problemas de

manejo y distribución de alimento en BA, problemas de planeación en la CSA, el

problema de la dieta y el problema de empaque. Además, se explica cómo ha

sido modelada la incertidumbre en CS por medio de la PL y se presenta un

resumen de las investigaciones encontradas que modelan la incertidumbre en

problemas de planeación en la CS con PMD. Finalmente, este capítulo concluye

con un análisis crítico de la literatura revisada. En el Capítulo 3 se muestra el

procedimiento de investigación empleado al detallar los modelos matemáticos

utilizados para resolver el problema de asignación-empaque de despensas

personalizadas presentado en este trabajo de investigación. Las contribuciones

principales de esta investigación también son tratadas en este capítulo. El Capítulo

4 presenta los resultados experimentales obtenidos. Se concluye con el Capítulo

5 que describe las conclusiones principales de este trabajo. Los anexos del trabajo

contienen las publicaciones desarrolladas.

13

CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

2.1 Introducción.

En el presente capítulo se resumen los estudios previos encontrados que

comparten algunas de las características presentes en nuestro modelo de

asignación-empaque de despensas personalizadas pero que son consideradas de

forma separada, además, se explica la forma en la que puede ser modelada la

incertidumbre de la información (estocástica y difusa) en problemas de PL y se

muestra un resumen de investigaciones con algunos problemas similares al

nuestro que integran la incertidumbre en sus modelos a través de la PMD. Por

último, éste capítulo concluye con una síntesis y análisis crítico de la literatura

revisada.

2.2 Problemas con características similares abordados en la literatura.

En la revisión realizada en la literatura especializada se encontraron los siguientes

tipos de problemas que comparten solamente algunas de las características del

problema presentado en esta investigación pero que han servido como referencia

para nuestro modelo de asignación-empaque de despensas personalizadas por

familia.

2.2.1 Manejo y distribución de alimento en bancos de alimentos (BA).

En Cotugna et al. (1994) presentan un método de evaluación de resultados para

demostrar a los donantes el impacto que tienen sus donaciones al BA de

Delaware en Estados Unidos. Basado en una lista de alimentos donados en un

mes, se calculó el número de personas que podrían contar con el número mínimo

recomendado de porciones por día para cada grupo de alimentos (en términos de

la guía de la pirámide alimenticia del departamento de agricultura de Estados

Unidos). Como parte de los resultados se identificó que la mayor cantidad de

alimentos distribuidos por el BA fueron pan, cereal, arroz y pasta; concluyen que

solamente con éste grupo de alimentos podría satisfacerse las porciones

recomendadas para más de 6,000 personas al día. El artículo pretende que los

14

resultados obtenidos sean utilizados por el BA para demostrar a los donadores y

proveedores de productos el impacto potencial del programa de donaciones y el

uso cualitativo y cuantitativo de sus donaciones.

Paulhamus & Cotugna (1998) desarrollaron un método usando una hoja de cálculo

para convertir la cantidad de alimentos disponibles en porciones de alimentos

basados en la Pirámide de Alimentos Básicos (Food Guide Pyramid); establecen

que su método puede ser usado para hacer predicciones de requerimientos de

alimentos y, a su vez ajustar los tipos de alimentos que se necesitarán recibir en

donación para futuros períodos. Además del que el modelo propuesto provee un

estimado del número de porciones de alimentos que fueron distribuidos, el método

descrito proporciona información útil de la calidad total de nutrientes en los

alimentos distribuidos y además el número de personas que pueden ser

beneficiadas de los servicios del BA. Su estudio no incluye el empaque de

alimentos en contenedores por lo que no consideran parámetros logísticos como

volumen y/o costo de los alimentos o las características específicas de las familias

atendidas.

Nguyen et al. (2009) presentan un estudio para la simular las operaciones en un

centro de distribución CHOW (Community Hunger Outreach Warehouse) dedicado

a recolectar alimento donado y repartirlo a diferentes cocinas de beneficencia. Se

construyó un modelo programado en el software Arena V.10 para simular la

utilización de dos andenes de recepción de alimento. Los andenes son utilizados

para la carga y descarga de la comida. Una de las cocheras está dedicada a la

carga de la comida en los vehículos de los voluntarios que llevan el alimento a

cocinas de beneficencia. El objetivo del estudio presentado es mejorar el servicio

al cliente al reducir los tiempos de espera de los voluntarios de las cocinas de

beneficencia y de los empleados del CHOW sin requerir personas extras o costos

adicionales. Se realiza un diseño de experimentos para comparar los diferentes

escenarios.

15

Okore-Hanson et al. (2012) realizan un estudio que permite identificar los factores

principales que pueden ser utilizados para predecir efectivamente la demanda

para el Food Bank of Central and Eastern North Carolina (FBCENC). Utilizan la

regresión estándar así como el análisis de regresión paso a paso (stepwise

regression) para modelar la demanda para cada sucursal del FBCENC. Sus

resultados revelan que encontraron diferentes conjuntos de predictores para las

sucursales, lo que indica la naturaleza compleja de la demanda para el FBCENC.

Los resultados de su estudio permitirán al BA mejorar la planeación para sus

inventarios en el futuro.

Sengul et al. (2012) presentan un modelo de programación lineal para obtener la

asignación óptima de alimento donado donde la equidad es considerada en el

problema. En su estudio formulan el modelo como un problema de flujo en una red

con restricciones de capacidad y tratan de asignar el alimento donado

minimizando la desviación de una distribución completamente equitativa. Como

suposiciones del modelo consideran que los parámetros de oferta, demanda y

capacidad son determinísticos además que solo consideran alimentos secos

(alimentos no-perecederos). El modelo propuesto es resuelto utilizando el

software GAMS. En su estudio, no consideran las características nutricionales de

los alimentos ni incluyen parámetros asociados al empaque de alimentos (eje.

volumen de alimentos) o costos. Tampoco consideran la asignación de alimentos

en despensas personalizadas por familia.

2.2.2 Problemas de planeación en la cadena de suministro de alimentos

(CSA).

El manejo y distribución de productos alimenticios resultan complejos sobre todo

cuando se consideran factores como lo es el tipo de producto: perecedero o no

perecedero. Algunas frutas frescas, vegetales, lácteos refrigerados (leche, crema,

queso) y carnes (res, pollo) son ejemplos de productos perecederos que

consideran una baja vida de anaquel debido a su deterioro durante el proceso de

producción y entrega. Alimentos no perecederos son los alimentos que se pueden

16

almacenar sin refrigeración y puede permanecer en el estante de la despensa por

un período indefinido de tiempo, la mayoría de alimentos no perecederos tienen

una leyenda de "mejor usar por la fecha", pero a menudo se pueden almacenar

durante un año o más. De acuerdo a Bayne (2011), los alimentos no perecederos

se pueden comprar a granel, almacenarlos en los estantes y usar cuando se

necesita.

2.2.2.1 Administración de cadenas de suministro de productos agro-

alimenticios (CSAA).

El término de cadenas de suministro agro-alimenticias (CSAA) ha sido acuñado

para describir las actividades desde producción a la distribución que traen los

productos agrícolas u hortícolas [Aramyan et al. (2006)] de la granja a la mesa. A

diferencia de otras cadenas de suministro de alimentos como lácteos, carnes, etc.,

la CSAA distribuyen productos agrícolas que son obtenidos directamente de la

siembra y cosecha de cultivos.

En el contexto de una CSAA, Ahumada & Villalobos (2009) identifican cuatro áreas

funcionales principales: producción, cosecha, almacenamiento y distribución. Las

decisiones en producción incluyen las relacionadas al cultivo, tales como:

asignación de tierra a cada cultivo, tiempo de siembra, determinación de los

recursos requeridos para el desarrollo de los cultivos. Las decisiones relacionadas

con la cosecha consideran el tiempo requerido para la colecta de cultivos de los

campos, determinación de los niveles de recursos necesarios para el desempeño

de esta actividad, programación de equipo, mano de obra y equipo de transporte,

programación del empaque y procesamiento en planta. La función de almacenaje

toma en cuenta decisiones como definir la cantidad de producto a almacenar y

vender en cada periodo de almacenamiento, y la posición del inventario a través

de la cadena de suministro, finalmente, la función de distribución considera casos

como seleccionar el modelo de transporte para llevar los productos al cliente, las

rutas a usar y la programación de embarques para entrega del producto.

17

Ahumada & Villalobos (2009) realizaron una revisión de la literatura en CSAA y

clasificaron los artículos de acuerdo al área funcional de la CS en la que están

impactando. La Tabla 2.1 presenta un breve resumen del análisis realizado.

Tabla 2.1 Estudios realizados en CSAA. Fuente: Adaptado de Ahumada & Villalobos (2009).

Area funcional ModeloTipo de

productoMetodogía utilizada

Producción (Torkamani, 2005) No perecedero Programación estocástica No-lineal

Producción (Bisw as & Pal, 2005) No perecedero Programación por metas difusas

Producción (Visagie, De Kock, & Ghebretsadik, 2004) No perecedero Programación Entera Mixta / Programación del riesgo

Producción (Jones, Low e, & Traub, 2003) No perecedero Programación estocástica

Producción (Recio, Rubio, & Criado, 2003) No perecedero Programación Entera Mixta /Sistema de soporte de decisiones

Producción (Vitoriano, Ortuño, Recio, Rubio, & Alonso-Ayuso, 2003) No perecedero Programación Lineal / Programación Entera Mixta

Producción (Glen & Tipper, 2001) No perecedero Programación Lineal / Programación Entera Mixta

Producción (Lien & Hardaker, 2001) No perecedero Programación Estocástica / Series de Tiempo

Producción (Ekman, 2000) No perecedero Programación Estocástica

Producción (Itoh, Hiroaki, & Teruaki, 2003) Frescos Programación Lineal / Programación difusa

Producción (Romero, 2000) Frescos Programación de riesgos

Cosecha (Higgins & Laredo, 2002) No perecedero Programación Entera Mixta / Búsqueda tabú

Cosecha (Ferrer, MacCaw ley, Maturana, Toloza, & Vera, 2008) Fresco Programación Lineal / Programación Entera Mxta / Heurístico de relajación

Cosecha (Caixeta-Filho, 2006) Fresco Programación Lineal

Cosecha

(Berge ten, Van Ittersum, Rossing, Van de Ven, Schans, & Van

de Sanden, 2000) Frescos Programación Lineal Multiobjetivo

Producción / Almacenaje / Distribución (Rantala, 2204) Frescos Programación Lineal / Programación Entera Mixta

Producción / Almacenamiento (Maatman, Schw eigman, Ruijis, & Van der Vlerk, 2002) No perecedero Programación Estocástica

Producción / Almacenamiento (Widodo, Nagasaw a, Morizaw a, & Ota, 2006) Fresco Programación Lineal / Funciones de crecimiento y pérdida.

Producción / Cosecha (Kazaz, 2004) Frescos Programación Estocástica / Optimización no-Lineal

Producción / Cosecha (Allen & Schuster, 2004) Frescos Optimización no-lineal

Producción/Cosecha (Darby-Dow man, Barker, Audsley, & Parsons, 2000) Frescos Programación Estocástica

Todas (Apaiah & Hendrix, 2005) No perecedero Programación Lineal

Todas (Gigler, Hendrix, Heesen, Van den Hazelkamp, & Meerdink, 2002) No perecedero Programación Dinámica

Entre sus conclusiones se encuentran: 1) el uso de modelos que integren las

diferentes áreas funcionales en la CSAA aún se encuentra muy limitado, 2) los

modelos de planeación que consideran productos perecederos muy seguido fallan

al incorporar una realidad estocástica, 3) existe un limitado número de modelos

que traten con la planeación operacional, 4) finalmente, consideran que los

modelos de planeación agrícola se han enfocado a productos no-perecederos

principalmente.

2.2.2.2 Modelos de planeación en una CSA según el área funcional de

aplicación.

De acuerdo a Fleischmann et al. (2005), la planeación es una actividad que

soporta la toma de decisiones al identificar alternativas potenciales y tomar la

mejor decisión de acuerdo a los objetivos de los planeadores. En su estudio

18

dividen las actividades de la cadena de suministro dentro de cuatro áreas

funcionales: compras, producción, distribución y ventas. A continuación, se

presenta una clasificación de modelos en el contexto de una CSA de acuerdo al

tipo de planeación en la que se encuentran involucrados.

Planeación integral de la CSA.

En Zarei et al. (2011) presentan un método integrado por lógica difusa, AHP

(Analytic Hierarchy Process) y QFD (Quality Function Developement) para lograr

una cadena de alimento más esbelta. Al vincular atributos esbeltos (lean

attributes, LAs) y facilitadores esbeltos (lean enablers, LEs), el estudio propuesto

se basa en la metodología QFD, la cual permite identificar las LEs más apropiadas

para implementar en la administración de la cadena de suministro de alimentos.

Los atributos esbeltos (LAs) representan en el modelo los requerimientos de la

compañía y aparecen como los “Qué” en la casa de la calidad mientras que los

facilitadores esbeltos (LEs) aparecen como los “Cómo” dado que son

consideradas como herramientas prácticas que la compañía puede utilizar para

lograr que la cadena de suministro logre ser esbelta. La lógica difusa es utilizada

en el modelo para representar los juicios lingüísticos que expresan la importancia

relativa de los atributos esbeltos (LAs) como también las relaciones y

correlaciones requeridas en la casa de la calidad.

Georgiadis et al. (2005) utilizan la metodología de dinámica de sistemas como una

herramienta para analizar y abordar cuestiones estratégicas en una cadena de

suministro de alimentos multi-eslabones. Por medio del modelado dinámico, los

autores analizan políticas de planeación de la capacidad para una red multi-

eslabón de suministro de comida rápida en Grecia con flujos transitorios debido a

parámetros y restricciones del mercado.

Reiner & Trcka (2004) proponen un modelo que permite mejorar el desempeño de

una cadena de suministro al considerar que las características de una cadena de

suministro robusta ideal depende de la situación de la incertidumbre en la

19

demanda (ejemplo: demanda suavizada, volatil, etc.). Se utilizó un modelo de

simulación para medir y analizar los efectos en el desempeño (trabajo en proceso,

tiempos de entrega, etc.) en diferentes escenarios de configuración de la cadena.

Se usó el simulador ProcessModel para simular en detalle el proceso de

producción y el proceso de cumplimiento de órdenes, y por otro lado, se utilizó el

Matlab para simular la cadena de suministro. El modelo de evaluación de

alternativas propuesto fue aplicado en una empresa de tamaño mediano que

manufactura una gran variedad de productos de pasta. Como parte de los

resultados de la investigación concluyen que algunos enunciados universalmente

aceptados no son del todo ciertos, como por ejemplo, que el “efecto látigo” no

siempre se reduce en cadenas de suministro más cortas.

En Minegishi & Thiel (2000) muestran cómo la dinámica de sistemas contribuye a

entender el comportamiento logístico complejo de una cadena de alimentos

integrada. El modelo de simulación es aplicado al campo de producción y

procesamiento de aves de corral. La metodología propuesta en el artículo es

aplicada para analizar las consecuencias de infección de dioxina a la cadena de

suministro de la industria del pollo y además se brindan algunas recomendaciones

a los gerentes bajo diferentes escenarios.

Planeación de la distribución en CSA.

En Gong & Fu (2010) presentan un modelo multi-objetivo para el problema de

distribución de alimentos perecederos en el que utilizan el problema de ruteo de

vehículos con ventanas de tiempo. El modelo incluye los costos fijos de vehículos,

costos de operación y costos de pérdidas por vida de anaquel. Con el objetivo de

reducir el costo de distribución para cumplir con las visitas en cada ventana de

tiempo, el artículo presenta un algoritmo de optimización por colonias de hormigas

con clasificación de clientes de tipo ABC para resolver el modelo propuesto. Los

resultados obtenidos con el algoritmo propuesto indican una reducción en el

tiempo de obtención de los resultados de 20.8% y una reducción del costo de

distribución de 15.9%.

20

En Osvald & Zadnik (2008) presentan un modelo para la distribución de vegetales

frescos en el que consideran lo perecedero del producto como parte de costo de

distribución total. El problema fue planteado como problema de ruteo de

vehículos con ventanas de tiempo y dependiente del tiempo de viaje. El tiempo de

viaje entre dos puntos depende de la distancia y la hora del día. Para resolver el

problema, se utilizó el método heurístico basado en búsqueda Tabú. El modelo

fue aplicado utilizando parámetros del mercado de alimentos esloveno.

Hsu et al. (2007) desarrollan un modelo para la entrega de productos perecederos

a diferentes clientes desde un centro de distribución. El objetivo del modelo

consiste en minimizar los costos fijos por el envío de vehículos, costos de

transporte, inventario, energía y costos de penalidad por no entregar el producto

en la ventana de tiempo señalada. El artículo presenta un problema de ruteo de

vehículos con ventanas de tiempo que considera la aleatoriedad en el proceso de

entrega de alimento. El resultado del modelo indica las rutas óptimas, cargas,

envío de la flota de vehículos y los tiempos de salida de los productos

perecederos. Como parte de la investigación, el artículo discute el tiempo de viaje

y la variación de temperatura durante el día e incluye estas variables en el modelo.

Los resultados obtenidos indican que el costo de inventario y los costos de energía

influyen significativamente en el costo total de entrega.

Tarantilis & Kiranoudis (2002) proponen un problema de distribución de alimento

como un problema de ruteo de vehículos multi-almacén que es aplicado a la

distribución de carne fresca de múltiples almacenes a sus clientes (carnicerías)

localizadas en la ciudad de Atenas. Para resolver el problema, los autores

proponen un nuevo algoritmo meta-heurístico de búsqueda estocástica llamado

algoritmo de aceptación de umbral basado en listas (list-based threshold accepting

(LBTA) algorithm).

21

Tarantilis & Kiranoudis (2001) proponen un algoritmo para resolver el problema de

distribución de leche fresca para una compañía de Grecia. El problema fue

formulado como un problema de ruteo de vehículos de flota fija heterogénea que

debido a su complejidad computacional se desarrolló un algoritmo basado en

aceptación de umbral (threshold-accepting based algorithm) para que la compañía

pueda programar su distribución varias veces por semana.

Planeación de la producción en CSA.

Borghi et al. (2009) proponen un modelo de programación lineal entera mixta en el

cuál su principal objetivo consiste en minimizar las pérdidas de frutas y vegetales

que sucede durante su almacenamiento en centros de distribución. El modelo

presenta la variable de decisión como variable binaria que considera si

producto i debe ser designado a la zona j. Se considera dos zonas: un depósito

externo, sujeto a la temperatura del cuarto, y la cámara de refrigeración, que es

mantenida en una temperatura pre-establecida. El objetivo principal del estudio es

verificar la influencia de la temperatura en la logística de almacenamiento de las

frutas y verduras en los centros de distribución para modelar la óptima distribución

de los productos y minimizar el costo relacionado a su almacenamiento. Se

consideraron tres restricciones en el modelo: (1) cada producto debe ser asignado

a una zona específica, (2) la capacidad de almacenamiento de la zona no puede

ser excedida y (3) el tiempo que el producto i permanece en la zona j no puede

exceder la calidad de preservación de ese producto. El modelo fue resuelto con

el software CPLEX, y realizaron simulaciones considerando diferentes

temperaturas de almacenamiento y el mismo costo de U$1.00 por cada producto

analizado (apio, lechuga, ciruela, betabel, durazno, tomate, pimiento, perejil, uva)

permitiendo minimizar el costo relacionado al almacenaje.

En Cai et al. (2008) se presenta un problema en donde diariamente un

manufacturero de productos del mar recibe una cierta cantidad de pescado, que

puede ser procesado en diferentes tipos de productos marítimos. Para eso,

formularon un modelo capaz de unir decisiones de selección-programación que

22

toma en consideración: márgenes de utilidad por producto específico,

requerimientos de tiempo de procesamiento estocásticos (exponencial), y

restricciones de materia prima y tiempo. El objetivo del modelo es minimizar el

costo total esperado al determinar una solución óptima a considerar tres

decisiones: (1) el conjunto de trabajos (productos) que serán seleccionados para

procesar; (2) la cantidad de tiempo máquina que será utilizado para procesar cada

trabajo seleccionado; y (3) la secuencia para seleccionar los trabajos

seleccionados en la máquina. Para obtener la solución óptima se deberán de

considerar las siguientes restricciones (i) la limitante de material y (ii) el tiempo

límite para completar (fabricar) los productos. Los autores consideran que su

modelo puede ser considerado en dos tipos de categorías: el de la mochila

estocástico y de programación (schedulling) estocástico. Se considera estocástico

debido a que el tiempo de procesamiento de cada unidad del tipo de producto j

sigue una distribución exponencial. La decisión de la selección de producto es un

problema estocástico y después de que los productos para ser procesados son

seleccionados, la decisión de secuenciación es un problema de programación

(schedulling) estocástica. Las etapas para lograr la solución óptima fueron:

encontrar el programa de producción óptimo, entonces, considerar la selección

óptima de tipos de productos y por último la asignación de tiempo máquina

tomando en cuenta la selección del tipo de producto y el programa de producción.

Gopakumar et al. (2008) enfocaron su investigación en el proceso de recepción de

alimento de un centro de distribución. Apoyado en el software Arena de simulación

de eventos discretos modelaron el sistema actual de operación e identificaron las

ineficiencias operativas (actividades que no agregan valor) por medio de un Value

Stream Mapping (VSM). La investigación se enfocó principalmente en reducir el

desperdicio llamado “movimiento” identificado en el proceso de recepción de

alimento del centro de distribución. Fue diseñado un algoritmo de asignación de

andén con la meta de reducir el tiempo de cambio de andén con la entrada de

producto mixto y localizaciones pre-definidas de pasillos de almacenamiento. El

23

algoritmo se enfoca en reducir la excesiva distancia recorrida del andén de

recepción a los pasillos de almacenamiento.

Planeación de la producción-distribución en CSA.

Rong et al. (2011) presentan una metodología en donde modela de forma

integrada la degradación de la calidad en la comida con un modelo de

programación lineal entera mixta que es aplicado en un problema de planeación

de la producción-distribución. La investigación considera la integración de

modelos de degradación de la calidad de productos de forma exponencial o lineal

junto con modelos de planeación de la producción-distribución de un solo producto

basado en un programa de programación entera mixta. El objetivo del problema

de planeación de la producción-distribución consiste en determinar las

temperaturas de almacenaje y transportación a través de la cadena, combinada

con las cantidades de producción y rutas de entrega para los bienes. El costo total

consiste de: costos de producción, costos de transporte, costos de

almacenamiento, costos de refrigeración, costos de eliminación de desperdicios en

casos donde la calidad del alimento cae por debajo de la calidad requerida. La

degradación de la calidad está en función del tiempo cuando los productos son

expuestos al ambiente con una cierta temperatura. El modelo es aplicado a una

cadena de suministro de pimientos de dos eslabones que consiste de un sitio de

producción y cuatro centros de distribución regional. El horizonte de planeación del

modelo es de 14 días y fue resuelto con el software de optimización CPLEX. La

principal contribución del estudio radica en la inclusión de la calidad del producto

en el modelado de cadenas de suministro de alimentos y en la diferenciación del

flujo del producto basado en la calidad del producto.

Chen et al. (2009) proponen un modelo matemático no-lineal que tiene como

objetivo maximizar las ganancias del proveedor. El modelo permite obtener

simultáneamente las cantidades óptimas, el tiempo para el inicio de la producción

y las rutas de los vehículos. El artículo presenta un modelo que considera la

programación de la producción y el ruteo de vehículos con ventanas de tiempo

24

para productos alimenticios perecederos en el mismo modelo. Para resolver el

problema, los autores utilizaron un algoritmo compuesto por el método de Nelder-

Mead restringido y un heurístico.

2.2.2.3 Modelos de planeación en una CSA según el nivel de decisión

aplicado.

Una cadena de suministro de alimentos involucra diferentes niveles de decisiones

jerárquicas que de acuerdo a Simchi-Levi (2003) y Chopra & Meindl (2003)

pueden ser clasificadas como estratégicas, tácticas u operacionales dependiendo

su efecto (en el tiempo) sobre la totalidad de la cadena de suministro. Las

decisiones estratégicas tienen un efecto a largo plazo en la firma. Este tipo de

decisiones incluyen definir el número, localización y capacidad de almacenes y

plantas de manufactura, o el flujo de materiales a través de la red logística. Las

decisiones de nivel táctico incluyen decisiones que son típicamente actualizadas

una vez cada 3 a 12 meses. Estas decisiones consideran decisiones de compras y

producción, políticas de inventarios, estrategias de transportación, incluyendo la

frecuencia con la que cada cliente es visitado. Finalmente, las decisiones de nivel

operacional, se refieren a decisiones del día a día tales como programación

(scheduling), ruteo y carga de camiones (truck loading).

En este contexto, la Tabla 2.2 presenta un resumen de la revisión de la literatura

realizada en este trabajo de investigación en donde se considera el nivel

jerárquico de la decisión y la técnica aplicada para la solución.

25

Tabla 2.2 Clasificación y características de modelos aplicados a CSA. Fuente: elaboración propia.

Modelo Alcance de planeación Problema considerado Técnica aplicada para modelación Aplicación del modelo

(Zarei, Fakhrzad, & Paghaleh, 2011) EstratégicaEvaluación de políticas

aplicadas a la CS

Lógica Difusa + AHP (Analytic

Hierarchy Process) y QFD (Quality

Function Developement)

Industria de productos

enlatados

(Rong, Akkerman, & Grunow, 2011) TácticaPlaneación producción-

distribución

Modelo de programación lineal mixta

resuelto en el software CPLEX

Cadena de suministro de

pimiento

(Gong & Fu, 2010) Operacional Ruteo de vehículosAlgoritmo de colonia de hormigas con

clasificación de clientes ABC

Industria de alimentos

perecederos

(Nguyen, Godbole, Kalkundri, & Lam, 2009) Operacional Asignación de recursos

Simulación de eventos discretos

(Arena - recepción de productos) +

Diseño de experimentos (comparar

escenarios)

Operaciones en un centro

de distribución CHOW

(Community Hunger

Outreach Warehouse)

(Borghi, Guirardello, & Cardozo Filho, 2009) Táctica Asignación de recursosModelo de programación lineal mixta

resuelto en el software CPLEX

Centro de distribución de

frutas y vegetales

(Chen, Hsueh, & Chang, 2009) Táctica

Programación de la

producción + ruteo de

vehículos

Modelo de programación de la

producción con demanda estocástica

de retailers + Problema de ruteo de

ventanas de tiempo

Productos de alimentos

perecederos

(Osvald & Zadnik Stirn, 2008) Operacional Ruteo de vehículos Búsqueda Tabú

Industria eslovenia de

distribución de productos

perecederos

(Cai, Chen, Xiao, & Xu, 2008) TácticaSelección + programación

de productos

Modelo de selección/programación

con tiempos de procesamiento

estocásticos

Manufacturero de

productos marítimos

(Gopakumar, Koli, & Srihari, 2008) Operacional Asignación de recursos

Value Stream Mapping (VSM) +


(Arena) + algoritmo de asignación de

andén

Recepción de alimento

en centro de distribución

(Hsu, Hung, & Li, 2007) Operacional Ruteo de vehículos

Ruteo de vehículos con ventanas de

tiempo y aleatoriedad en la entrega de

producto

Entrega de producto

perecedero

(Georgiadis, Vlachos, & Iakovou, 2005) EstratégicaEvaluación sistémica de

políticas aplicadas a la CSDinámica de Sistemas

Industria griega de

comida rápida

(Reiner & Trcka, 2004) Estratégica

Evaluación del desempeño

de una CS al considerar

incertidumbre en la

demanda


(ProcessModel - modelar proceso de

producción y de cumplimiento de

órdenes) + Matlab ( simular cadena de

suministro)

Empresa que

manufactura productos

de pasta.

(Tarantilis, C.D.; Kiranoudis, C.T., 2002) Operacional Ruteo de vehículos

Meta-heurístico de búsqueda

estocástica llamado algoritmo de

aceptación de umbral basado en listas

(list-based threshold accepting (LBTA)

algorithm).

Empresa de distribución

de carne fresca en

Atenas

(Tarantilis, C.D.; Kiranoudis, C.T., 2001) Operacional Ruteo de vehículos

Algoritmo basado en aceptación de

umbral (threshold-accepting based

algorithm)

Empresa griega de

distribución de leche

(Minegishi & Thiel, 2000) EstratégicaEvaluación sistémica de

políticas aplicadas a la CSDinámica de Sistemas

Industria dedicada a la

producción y

procesamiento de aves

de corral.

De tabla anterior se observa que han sido varios los estudios realizados en

problemas de planeación en CSA y que fueron planteados con diferentes

enfoques de acuerdo al tipo de planeación (operacional, táctica y estratégica). Sin

embargo, estas investigaciones han sido realizadas considerando principalmente

un enfoque y parámetros de tipo logísticos más que con un enfoque nutricional.

2.2.3 Problema de la dieta (PD).

En el estudio de la literatura realizada para esta investigación, se identificó que el

PD propuesto en 1941 por Jerome Cornfield cuenta con características que han

26

servido como referencia para el modelo de asignación-empaque de despensas

personalizadas propuesto en esta investigación.

El PD tiene como meta encontrar la combinación más económica de alimentos

que puedan satisfacer todos los requerimientos nutricionales diarios de una

persona o un animal. De acuerdo a Cadenas et al. (2004), el problema puede ser

formulado como un problema de programación lineal donde el objetivo es

minimizar el costo y satisfacer las necesidades nutricionales (restricciones).

Los parámetros planteados en el modelo lineal son:

= el costo del alimento Aj, j=1,…,n

= cantidad de alimento Aj que se debe de incluir en la dieta, j=1,…,n

= cantidad de nutriente Ni contenido en el alimento Aj, i=1,…,m, j=1,…,n

= cantidad mínima requerida del nutriente Ni, i=1,…,m.

= cantidad máxima requerida del nutriente Ni=, i=1,…,m.

= cantidad mínima requerida del alimento Aj, j=1,…,n.

= cantidad máxima requerida del alimento Aj= j=1,…,n.

Mientras que el modelo matemático del PD formulado como un problema de PL

es:

Min

Sujeto a: Pi, i=1,…,m

, j=1,…,n

Donde las m primeras restricciones indican que la cantidad total de nutrientes en

la dieta no debe ser inferior ni superior a las cantidades mínimas y máximas

permitidas, mientras que las otras n restricciones acotan la cantidad de cada

alimento por las cantidades mínimas y máximas permitidas.

27

Se han propuesto diferentes métodos individuales para la solución del problema:

programación por metas, programación multi-metas, programación multi-objetivo,

programación fraccional multi-objetivo, programación no-lineal, programación de

oportunidad limitada, programación cuadrática, formulación del riesgo y algoritmos

genéticos. Otros autores han utilizado métodos integrados o híbridos para

resolver algunas de estas limitantes.

La Tabla 2.3 resume algunas de los métodos aplicados para el problema de

configuraciones de dietas. En esta tabla se identifica como método individual

cuando se utiliza solo uno de los métodos presentados en el párrafo anterior.

Tabla 2.3 Resumen de métodos aplicados al PD. Fuente: Adaptado de Abd Rahman et al. (2010).

Tipo de método

Método Características del

método Fuente

Individual Programación

Lineal

Considerada como la mejor técnica si todos los precios y valores nutricionales de los alimentos son conocidos y dirige a una solución óptima.

Barbieri & Cuzon (1980), Chakeredza, Akinnifesi, Ajayi, Sileshi, Mngomba, & Gondwe (2008), Glen, J.J. (1980), Htun, Thein, & Tin (2005), Mohr (1972), Munford G. (1989), Munford A. (1996)


por metas

Ambos métodos tienen la ventaja de manejar múltiples objetivos simultáneamente, incluyendo variabilidad de nutrientes y reduciendo los problemas de desequilibrio nutricional, sin embargo, ninguno de las dos técnicas han podido superar el problema de la variabilidad de precios.

Rehman & Romero (1984), Rehman T., Romero C. (1987),

Individual Programación multi-metas

Lara P., Romero C. (1994), Zgajnar, Juvancic, Kavcic (2009)

Individual Programación multi-objetivos

Lara (1993) considera que el método provee una buena solución en términos de balance de

Bailleul, Rivest, Dubeau, Pomar (2001), Mitani, Nakayama (1997),

28

nutrientes. Pomar, Dubeau, Létourneau-Montminy, Boucher, Julien (2007)


fraccional multi-objetivo

El método fue desarrollado por Lara (1993) para permitir funciones objetivo fraccionales y lineales. La principal ventaja del método radica en asegurar un óptimo desequilibrio de nutrientes.

Castrodeza, Lara, Peña (2005)


no-lineal

El método fue usado por el investigador para abordar restricciones no-lineales. Este método da una ventaja al usuario al tomar en cuenta variación en los factores analizados.

Guevara (2004)

Individual Programación de oportunidad

limitada

Consiste en un método no-lineal para la formulación de dietas. El método es recomendado cuando en un modelo determinístico algunos de sus parámetros no son constantes.

Sirisatien, Wood, Dong (2009)


cuadrática

En Chen (1973) se propuso la PC para maximizar la probabilidad de cumplir con los requerimientos nutricionales, sin embargo, el investigador concluye que el modelo no fue eficiente para problemas grandes.

Chen J. (1973)

Individual Formulación del

riesgo

El autor propuso el modelo como una alternativa para considerar la variabilidad en el problema.

Torres-Rojo (2001)

Individual Algoritmos genéticos

La mayor ventaja de los AG es su efectividad para encontrar la mejor y más cercana solución factible al explorar varias partes de la región factible Hiller &

Furuya, Satake, Minami (1997), Sahman, Cunkas, Inal, Inal, Coskun, Taskiran (2009)

29

Lieberman (2005). Los algoritmos genéticos también son capaces de manejar múltiples objetivos y proveen un marco compatible que es fácil de combinar con otras técnicas de optimización [Fogel (1997), Sivanandam & Deepa (2009)]

Integrado Programación Lineal + Difusa

Método recomendado cuando no existe un conocimiento perfecto de todos o algunos datos. Este método es uno de que tienen mayor potencial de investigación en el problema de la dieta [Abd Rahman, Ang, Ramli (2010)]

Cadenas J.M., Pelta, Pelta, Verdegay (2004)

Integrado Algoritmos genéticos +

Difuso

La combinación de estas técnicas ofrece la ventaja disminuir las iteraciones y tener una menor oportunidad de quedar atrapado en estados prematuros.

Fa-Chao & Chen-Xia (2008)

El análisis anterior indica que es más popular el uso de métodos individuales que

integrados. Aunque la PL resulta ser el método más utilizado cuando se tiene

información precisa de los parámetros, en muchas ocasiones, restricciones no-

lineales, variación o desconocimiento en los valores de los parámetros,

desequilibro en los nutrientes, obligan a considerar otras técnicas para abordar el

PD o también llamado el PMA.

2.2.4 Problema de empaque.

Los Problemas de Empaque (Packing Problems) es una clase de problema de

optimización que implica empacar objetos juntos (dentro de un contenedor), tan

densamente como sea posible. Este tipo de problemas pueden estar relacionados

a situaciones de la vida real de almacenamiento y transporte. El problema radica

30

en definir cuántos de los mismos objetos son necesarios para cubrir todas las

regiones del contenedor.

En el problema de empaque, se cuenta con la siguiente información: los

contenedores normalmente consisten en una sola región convexa de dos o tres

dimensiones, o en algunos casos de espacio infinito. Los artículos usualmente de

un solo tipo de forma, algunos o todos de los cuales pueden ser empaquetados

dentro del contenedor.

En Juraitis et al. (2006) consideran que existen diferentes variantes del problema

de carga de contenedores dependiendo de la función objetivo y las restricciones

aplicadas a las cajas empacadas: empaquetamiento en tiras (strip packing), carga

de mochila (knapsack loading), empaque de recipientes (bin-packing), carga de

multi-contenedores (multi-container loading). En este tipo de problemas, se puede

tener dos tipos de sub-problemas: los homogéneos (contenedores consisten de

cajas idénticas) y los heterogéneos (son usados diferentes tipos de cajas). Las

características generales de cada tipo de problema se resumen en la Tabla 2.4.

Tabla 2.4. Tipos de problema de empaque. Fuente: resumido de Juraitis et al. (2006).

Strip packing problem

Knapsack problem

Bin packing problem

Multi-container loading problem

Todos los artículos tienen que ser empacados dentro de un solo contenedor (recipiente), el cuál sin embargo, tiene una longitud infinita. El problema entonces consiste en encontrar una solución factible tal que la longitud en la que el recipiente lleno sea minimizado.

Cada artículo tiene asociado un beneficio, y el problema consiste en seleccionar un subconjunto de los artículos que ajusten dentro de un solo contenedor (recipiente) para que el máximo beneficio sea considerado. Si el beneficio de un artículo es considerado como el volumen, entonces el

Todos los artículos están empacados dentro de contenedores, pero en contraste al problema de carga de contenedores, todos los recipientes tienen dimensiones finitas, y el objetivo es encontrar una solución usando el más pequeño número de recipientes.

Los contenedores pueden tener diferentes dimensiones y el objetivo consiste en seleccionar un subconjunto de los contenedores, en donde obtengamos el costo mínimo de transporte.

31

problema corresponde a la minimización del espacio desperdiciado.

El problema de la mochila (knapsack problem) es un problema de programación

entera binaria con una sola restricción. Sin embargo, Hill & Hiremath (2007)

refieren que debido a la naturaleza compleja de las aplicaciones industriales, se

han ido agregado otro tipo de restricciones al problema como urgencia de

solicitudes, prioridades, ventanas de tiempo de la solicitud, empaques con

diferentes requerimientos de peso y volumen.

El modelo de programación lineal para este tipo de problema es:

Sujeto a:

La variedad de aplicaciones que puede tener el problema de la mochila ha generado la extensión del mismo en diferentes variantes resumidas en la Tabla 2.5.

Tabla 2.5. Variantes del problema de la mochila. Fuente: Resumido de Hill & Hiremath (2007).

Variante Descripción Objetivo Modelo Tipo de variable de decisión

Problema de la mochila multidimensional

Un conjunto de n artículos son empacados en m mochilas con capacidad i. Cada artículo j tiene una utilidad pj y un peso asociado Wij con la colocación del

Maximizar la utilidad total de

los artículos seleccionados.

Sujeto a:

, i=1,…,m

32

artículo en la mochila i.

Problema de la mochila múltiple

Dado n artículos, se busca empacarlos en m mochilas con capacidades ci, i={1,…,m}. Cada artículo j tiene una utilidad pj y peso j. El problema consiste en seleccionar i m subconjuntos de artículos, tal que el subconjunto i se ajuste a la capacidad ci de la mochila i.

Maximizar la utilidad total de

los artículos seleccionados y localizados en las mochilas.

Sujeto a:

, i=1,…,m

, j=1,…,n

i

Problema de la mochila de selección múltiple

El modelo agrega restricciones desarticuladas de selección múltiple. Dadas m clases mutuamente desarticuladas (N1, …,Nm) de artículos, se busca empacar artículos representativos de esas clases desarticuladas dentro de una sola mochila con capacidad c. Cada

artículo j ϵ

tiene utilidad

y un peso

.

Maximizar la utilidad de una

solución factible

Sujeto a:

33

Problema de la mochila multi-selección y multi-dimensional

Considera m clases de artículos, donde cada clase tiene ni artículos. Cada artículo j de clase i tiene un valor de beneficio Pij, y requiere recursos dados por el vector de peso wij=(wij1, wij2, …, wijl). La cantidad de recursos disponibles son dados por el vector c = (c1, c2,…,cl). El modelo selecciona un artículo de cada clase.

Sujeto a:

, k

,

i

Por otro lado, en la revisión realizada de la literatura en el contexto del problema

de empaque de alimentos (PEA), Robertson (2006) considera que la principal

función del empaque de alimentos es la protección y preservación de la

contaminación externa. Este objetivo involucra retardar el proceso de deterioro del

alimento, mantener la calidad y seguridad del elemento empacado y la extensión

de la vida de útil del producto. Brody et al. (2008) consideran que las tres áreas

principales de cambios en el empaque de alimentos son: una mayor tendencia

hacia empaques sustentables, un mayor uso de relaciones en la cadena de valor

para una mayor ventaja competitiva y en la evolución del empaque para servicios

alimentarios.

En el análisis de la literatura se encontraron los siguientes estudios que

consideran el problema de la mochila en el contexto del manejo y distribución de

alimentos. Karuno et al. (2010) analizaron un problema de optimización

combinatoria bi-criterio lexicográfico derivado en dos tipos de sistemas de

34

empaque de alimento de doble capa: sistema vertical y diagonal. La primera y

segunda capa del sistema consisten en n tolvas pesadoras y n tolvas inyectoras

(booster hoppers), respectivamente. El objetivo principal del problema de

empaque de alimento bi-criterio consiste en minimizar el peso total de los

productos escogidos para cada empaque, buscando que el total de peso no

exceda un peso objetivo especificado llamado T. El segundo consiste en

maximizar la prioridad total de los artículos seleccionados para cada empaque

para que los productos con mayor duración sean los que preferentemente sean

escogidos. La prioridad de un artículo es dada por su duración en la tolva. El

sistema de empaque vertical no puede seleccionar un artículo directamente de

una tolva pesadora, solamente de la tolva inyectora. El sistema de empaque

diagonal puede seleccionar el artículo directamente de la tolva pesadora para su

empaque no importa si se escoge o no el artículo actual en la siguiente tolva

inyectora. Sin embargo, el sistema de empaque vertical no puede seleccionar dos

artículos de cualquier ranura (tolva pesadora + tolva inyectora) para un empaque.

Para resolver los dos tipos de sistemas de empaque (vertical y diagonal), los

autores propusieron algoritmos de tiempo basados en programación dinámica y

los experimentos realizados indican que los métodos propuestos tienen un efecto

significativo en reducir la duración máxima de los productos en las tolvas.

La investigación realizada por Imahori et al. (2010) analizan un problema de

optimización combinatoria bi-criterio para un sistema de empaque de productos

alimenticios. El sistema de operación de empacado permite realizar empaques de

dos en dos. El sistema selecciona los actuales productos de las tolvas sin conocer

los pesos de los siguientes artículos. El objetivo principal del modelo es minimizar

el peso total de peso de los artículos seleccionados en los dos empaques,

haciendo que el total de peso de cada empaque no sea menor que un peso

objetivo T. El segundo objetivo consiste en maximizar la prioridad total de los

artículos seleccionados para dos empaques tal que los artículos con mayor

duración en las tolvas sean escogidos preferentemente. La prioridad de un artículo

es dada por su duración en la tolva. El problema de empaque propuesto es

35

resuelto con programación dinámica y todos los datos de entrada son enteros.

Las líneas de investigación que propone el autor es comparar el tiempo de

ejecución del modelo contra otros modelos, además de comparar la cantidad de

excedente en el peso de los paquetes.

En Karuno et al. (2007) proponen un sistema de empaque de alimento con n

tolvas. El sistema recolecta el alimento de estas tolvas para empacarlas dentro de

un mismo empaque. Cada alimento en la tolva es considerado como un artículo i

con un peso entero wi. El sistema de empaque selecciona un conjunto de

artículos i y los coloca dentro de un empaque considerando que el peso total de

los artículos sea superior a un peso objetivo B. En un sistema de empaque, un

artículo puede ser almacenado por periodos de tiempo largos, sin embargo, esto

no es posible cuando el sistema maneja productos frescos. Para prevenir esta

situación, el modelo propuesto considera una prioridad del artículo i. El modelo

matemático es formulado como un problema de optimización bi-criterio que

contiene dos objetivos: (1) el primer objetivo considera que el total de peso de los

artículos seleccionados esté tan cerca del peso objetivo B tanto como sea posible,

el objetivo (2) considera minimizar el tiempo máximo de duración de todos los

artículos dentro del sistema. Se maneja una sola restricción que está relacionada

con el peso total permitido por paquete. La variable de decisión Xi es una variable

binaria {0,1}. El modelo es formulado como un problema de optimización bi-

criterio llamado PACKING( y el artículo propone un algoritmo basado en

programación dinámica. El algoritmo propuesto es una extensión del algoritmo

para el problema de la mochila que incorpora además el concepto de prioridad al

problema. El modelo permite minimizar heurísticamente la máxima duración de los

artículos en el sistema, mientras considera que el peso total de cada paquete se

encuentre lo más cerca del objetivo. Para investigaciones futuras, el autor sugiere

examinar otras formas de definir la prioridad de cada producto.

2.3 Metodologías de modelación bajo incertidumbre aplicadas a los

problemas estudiados.

36

Rommelfanger (1996) menciona que diferentes estudios revelan que la PL es una

de las técnicas de investigación de operaciones más frecuentemente aplicadas en

problemas del mundo real. Sin embargo, en aplicaciones del mundo real, la

confiabilidad y precisión de los datos es ilusoria, ya que es imposible tener un

perfecto conocimiento de todos los datos que forman parte de un problema, y es

usual aproximar estos valores, datos o modelos a través de diferentes caminos.

En Sahinidis (2004) mencionan que la programación estocástica y la

programación difusa son métodos para la optimización bajo incertidumbre. En la

primera, la incertidumbre es modelada a través de funciones de probabilidad

continuas o discretas, mientras que la segunda considera los parámetros

aleatorios del modelo como números difusos y las restricciones son tratados como

conjuntos difusos

Con el objetivo de reducir el costo de la información y al mismo tiempo evitar

modelos poco realistas, la utilización de la programación matemática difusa o

borrosa ha sido ampliamente recomendada de acuerdo a Rommelfanger (1996).

2.3.1 Lógica difusa o borrosa.

En 1965, Zadeh (1965) introduce el concepto de conjunto borroso permitiendo la

pertenencia de un elemento a un conjunto de forma gradual, y no de manera

absoluta como establece la teoría conjuntista clásica, es decir, admitiendo

pertenencias valoradas en el intervalo [0,1] en lugar de en el conjunto {0,1}.

2.3.1.1 Conjuntos difusos o borrosos.

En los conjuntos clásicos algo está incluido completamente en él o no lo está en

absoluto. Esta situación se puede describir asignando un 1 a todos los elementos

incluidos en el conjunto y un 0 a los no incluidos. Para Martín & Sanz (2007), la

función que asigna estos valores la denomina función de inclusión o pertenencia

(membership function), por lo que, los conjuntos borrosos permiten describir el

grado de pertenencia o inclusión de un objeto (o el valor de una variable) al

concepto dado por la etiqueta que le da el nombre, asignando un número real

37

entre 0 y 1 como se ejemplifica en la Figura 2.1. Para Morales (2002), en tanto el

grado de pertenencia sea más cercano a 1 tanto más estará el elemento en el

conjunto y en tanto el grado de pertenencia sea más cercano a 0 tanto menos

estará el elemento en el conjunto.

Figura 2.1 Funciones de pertenencia de conjuntos clásico (izquierda) y difuso o borroso (derecha)

para edad adulta. Una persona de 25 años en términos clásicos habría que definirla como adulta o

no adulta, en términos difusos podría decirse que se incluye en aproximadamente un 0.5 (50%) al

conjunto de edad adulta. Fuente: Martín & Sanz (2007).

De acuerdo a Reina (2008), se define a un número difuso como un conjunto

normalizado y convexo A ℜ, cuya función de pertenencia es al menos, continua

a trazos y tiene el valor funcional A(x)=1 justo para un elemento.

2.3.1.2 Funciones de pertenencia de conjuntos difusos o borrosos.

La función de pertenencia (membership function) o inclusión de un conjunto

borroso consiste en un conjunto de pares ordenados F={(u, (u)) / u ϵ U} si la

variable es discreta, o una función continua si no lo es.

Sea U un conjunto de objetos, por ejemplo U= , que se denominará universo de

discurso. De acuerdo a Martín & Sanz (2007), en términos matemáticos, un

conjunto borroso F en U queda caracterizado por una función de pertenencia o

inclusión que toma los valores en el rango [0,1], es decir :U →[0,1]: donde

(u) representa el grado en el que u ϵ U pertenece al conjunto borroso F. Ello

representa la generación del concepto clásico de conjunto (abrupto), en el que la

38

función de pertenencia toma solamente los valores 0 o 1; por el contrario, para uno

borroso, la función puede tomar también valores intermedios.

Para la definición de estas funciones de pertenencia se utilizan convencionalmente

ciertas familias de formas estándar, por coincidir con el significado lingüístico de

las etiquetas más utilizadas. Para Martín & Sanz (2007) las más frecuentes son la

función de tipo trapezoidal, singleton, triangular, S, exponencial y tipo π que se

pueden observar en la Figura 2.2.

Figura 2.2.1 Función de

pertenencia de tipo trapezoidal


pertenencia de tipo singleton


pertenencia de tipo T

(triangular)

Figura 2.2.4 Función de pertenencia de tipo S

Figura 2.2 Ejemplo de funciones de pertenencia de conjuntos difusos o borrosos. Fuente: Martín &

Sanz (2007).

La función de tipo trapezoidal (Figura 2.2.1) se define por cuatro puntos a, b, c,

d. Esta función es cero para los valores menores de a y mayores de d, vale uno

entre b y c, y toma valores en [0,1] entre a y b, y entre c y d. Se define con:

39

Para modelar una función triangular (Figura 2.2.3) se hace b=c y puede definirse

como:

La función de tipo S (Figura 2.2.4) se caracteriza por tener un valor de

pertenencia distinto de 0 para un rango de valores por encima de cierto punto a,

siendo 0 por debajo de a y 1 para valores mayores de c. Su punto de cruce (valor

0.5) es b=(a+c)/2; y entre los puntos a y c es de tipo cuadrático (suave). Esta

función se puede definir como:

La función de tipo singleton (Figura 2.2.2) tiene valor de 1 solo para un punto a

y 0 para el resto.

2.3.2 Descripción de la programación matemática difusa (PMD).

En Cadenas & Verdegay (2004) mencionan que la necesidad de encontrar la

solución óptima, o la mejor solución entre las disponibles en un problema

correctamente planteado es por lo que se estudian las teorías, y se proponen

metodologías adecuadas al campo científico en el que surge la cuestión que se ha

40

de resolver. Para Cadenas & Verdegay (2004), una importante clase de

problemas son los conocidos con el nombre de problemas de optimización,

habitualmente asociados a tener que encontrar el máximo, o el mínimo, valor que

una determinada función puede alcanzar en un cierto conjunto previamente

especificado; todo lo relativo a estos problemas se enmarca dentro del cuerpo

doctrinal denominado Programación Matemática (PM). Entre todos los modelos

que se incluyen en la PM, el más y mejor estudiado, así como el que ha probado

tener unas repercusiones prácticas más importantes, es el correspondiente al caso

lineal uni-objetivo, tema del que se ocupa la PL.

Para Cadenas & Verdegay (2004), por imprecisión se entiende lo que

habitualmente se conoce como borrosidad (fuzziness), es decir, esa vaguedad

lingüística que tiene perfectamente sentido para los seres humanos, a pesar de la

falta de información exacta que muestren (“no sé qué edad tiene, pero es joven”).

Sobre este planteamiento podemos suponer, que el decisor se expresa, conoce o

formula los datos del problema de forma imprecisa, pero perfectamente clara para

él: “el rendimiento será superior al del año pasado”, “se trabajará un número

elevado de horas”, “el salario bruto es de unos tres millones”, etc. En este ámbito

de optimización con tal tipo de datos nace la Programación Matemática Difusa

(PMD) la que ha sido aplicada en diferentes tipos de problemas [Rommelfanger

(1996), Sahinidis (2004) y Peidro, et al. (2007)].

En las aplicaciones prácticas es casi imposible contar con un perfecto

conocimiento de todos los datos que forman parte del problema analizado, es muy

usual aproximar estos valores, datos y/o modelos de diferentes formas. Una

metodología basada en sistemas y conjuntos difusos es una herramienta

apropiada para tratar con esta clase de falta de precisión o incertidumbre.

Con el objetivo de reducir los costos de obtener información y al mismo tiempo

evitar modelaciones poco realistas, Rommelfanger (1996) recomienda el uso de

programas lineales difusos. En la Tabla 2.6 se resume algunas de las aplicaciones

41

más comunes de la programación lineal difusa de acuerdo a Rommelfanger (1996)

y Sahinidis (2004).

Tabla 2.6 Aplicaciones de la programación lineal difusa.

Economía agrícola

Problemas de

asignación

Sistema bancario

y finanzas

Administración ambiental

Manufactura y

producción

Administración de personal

Transporte

Análisis del uso del agua en agricultura

Problema de localización en redes

Modelos de precios de bienes de capital

Problemas de regulación de contaminación en el aire

Problemas de planeación agregada de la producción

Coordinación de la estructura de demanda de persona y personal disponible

Problema de transporte

Mezcla de alimento

Proyectos de inversión

Modelos de emisión de energía

Problemas de optimización de máquinas

Flotas de camiones

Problema de optimización de estructuras de cultivo

Decisión de cobertura de bancos

Producción de cintas magnéticas

Asignación regional de recursos

Asignación óptima de producción de metal

Planeación del suministro de agua

Diseño de sistemas óptimos

Problemas de selección de mezcla de producción

Programación de la producción

Para Inuiguchi & Ramík (2000), en la PMD son considerados dos diferentes tipos

de incertidumbre: ambigüedad (ambiguity) e imprecisión (vagueness). La

ambigüedad es asociada con una o más relaciones, es decir, situaciones en la

cual la selección entre dos o más alternativas es dejada sin especificar. La

imprecisión es asociada con la dificultad de hacer distinciones concretas o

precisas en el mundo; es decir, algún dominio de interés es impreciso si este no

puede ser delimitado por fronteras definidas o concretas.

42

También en Inuiguchi & Ramík (2000) mencionan que la PMD puede ser

clasificada dentro de tres categorías de acuerdo al tipo de incertidumbre tratada en

el método:

Programación matemática con imprecisión.

Programación matemática con ambigüedad.

Programación matemática con imprecisión y ambigüedad.

En la Tabla 2.7 se presenta un esquema que relaciona el tipo de incertidumbre en

problemas de optimización con el tipo de programación matemática recomendada.

Tabla 2.7 Tipos de programación matemática difusa a partir del tipo de incertidumbre

considerada en el modelo. Fuente: basado en Inuiguchi & Ramík (2000).

CARACTERÍSTICAS

Trata con problemas de toma de decisiones considerando

Ambigüedad Programación Flexible metas y restricciones difusas .

(ambiguity) (Flexible programming) Las metas y restricciones difusas representan la flexibilidad

de los valores meta de las funciones objetivo y la

elasticidad de las restricciones.

PROGRAMACIÓN

MATEMÁTICA Imprecisión Programación Posibilista Trata con coeficientes ambigüos de las funciones objetivo

DIFUSA (vagueness) (Possibilistic programming) y de las restricciones pero no trata con metas y restricciones

difusas.

Ambigüedad e Imprecisión Programación Robusta En este modelo, la imprecisión de la preferencia del tomador

(Robust programming) de decisiones está representada por una región satisfactoria

y un valor de la función difusa es requerida para para ser

incluida en la región satisfactoria difusa que fue definida.

TIPO DE INCERTIDUMBRE TIPO DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA

De acuerdo a Inuiguchi & Ramík (2000) muchos de los desarrollos en el área de la

PMD son basados en el artículo semilla de Bellman & Zadeth (1970).

En Sahinidis (2004) y Bilgen (2010) se menciona que en el contexto de PMD se

han considerado principalmente dos direcciones de investigación: la programación

flexible y la programación posibilística, aunque Sudhagar et al. (2010) proponen

también el uso de la PMD con variables de decisión difusas.

Programación flexible.

Consideremos el problema el modelo clásico de programación lineal:

43

Donde c y x son n-vectores, b es un m-vector, y A es una matriz n x m. Entonces,

suponer que existe incertidumbre con respecto a los valores exactos de los

coeficientes y alguna violación de las restricciones es aceptable dentro de un

cierto rango. Entonces significa que algunas de las partes de la ecuación anterior

pueden ser difusas. Cuando los elementos de A, b, o c son tratadas como

números difusos más que como números crisp o determinísticos, las restricciones

pueden ser representadas como conjuntos difusos más que desigualdades crisp, y

las funciones objetivo pueden ser representadas por metas difusas más que como

una función objetivo crisp. Entonces se usa para indicar que el parámetro es

difuso. De manera similar, x b significa que debería ser esencialmente más

pequeña o igual a b, por ejemplo, esta se consideraría una restricción suave en la

cual es permitida alguna violación. La tolerancia o extensión de será denotada

por .

Un modelo de programación lineal flexible puede ser escrito como:

Programación posibilista o posibilística. Cuando la ecuación:

involucra incertidumbre en los coeficientes de las restricciones, el modelo difuso

es llamado posibilista o posibilístico. Un problema de programación matemática

lineal posibilista puede ser escrito como sigue:

max

44

Considerando que y , representan el centro y la extensión del número

difuso , respectivamente. De manera similar, se considera que y denotan

el centro y la extensión de número difuso .

Por lo que para Cadenas et. al (2004), los modelos de Programación Lineal Difusa

pueden ser asociados a cualquiera de los siguientes problemas prototipos:

a) Problemas con restricciones difusas, en las cuales el TD puede permitir una

satisfacción de las restricciones flexible, esto es, él o ella permiten pequeñas

violaciones en el cumplimiento de la restricción. Estos problemas son

formulados como:

Sujeto a:

b) Problemas con objetivos difusos, en el cual la información en los coeficientes

de la función objetivo son vagos, y entonces, estos pueden ser modelados por

números difusos:

Sujeto a:

45

c) Problemas con coeficientes difusos, en los cuales se pueden considerar

números difusos tanto a los coeficientes de la matriz tecnológica como a los

coeficientes del lado derecho de las restricciones:

Sujeto a:

Obviamente, es permitido hacer combinaciones de las tres situaciones anteriores.

En Inuiguchi & Ramík (2000) se presenta una propuesta para la solución de

modelos de programación matemática difusa. La Figura 2.3 presenta el método

propuesto:

46

Figura 2.3 Método para solución de modelos de programación matemática difusa.

Fuente: con información de Inuiguchi & Ramík (2000).

En Wong & Lai (2011) se realizó un estudio de las aplicaciones de la teoría de

conjuntos difusos para representar la incertidumbre en diferentes áreas que

comprenden la administración de la producción y operaciones. La investigación

realizada comprende la revisión de la literatura de 1998-2009. Parte de los

resultados del estudio son mostrados en la Figura 2.4 y arrojan que las áreas más

populares para la aplicación de la teoría de conjuntos difusos son la planeación de

la capacidad a largo y corto plazo, control de inventarios, diseño del producto,

planeación agregada y programación (scheduling). Mientras que problemas

aplicados al área de distribución comprenden solamente el 3.97% de los artículos

revisados en la investigación.

47

Figura 2.4 Porcentaje de aplicaciones de la teoría de conjuntos difusos por área de

aplicación en la administración de la producción y operaciones. Fuente: con información

de Wong & Lai (2011).

2.3.3 Problemas en la cadena de suministro (CS) estudiados bajo

incertidumbre difusa.

Para Bilgen (2010), la CS es una red dinámica de varias entidades de negocios

que involucran un alto grado de imprecisión, también Bilgen (2010) considera que

muchos estudios se han enfocado en métodos analíticos tradicionales y

heurísticos para modelar los problemas de planeación en cadenas de suministro,

pero pocos estudios han intentado modelar estos problemas en un ambiente

difuso

La naturaleza compleja y dinámica de las relaciones entre los diferentes actores

de la cadena de suministro implica un importante grado de incertidumbre en las

decisiones de planeación. Por lo tanto, la incertidumbre es un factor principal que

puede influenciar la efectividad de la configuración y coordinación en una CS. A

través de los años, muchos investigadores y aplicaciones han tenido como meta

48

modelar la incertidumbre en CS. Diferentes técnicas de modelado estocástico han

sido aplicadas exitosamente en problemas de planeación de cadenas de

suministro. De acuerdo a Peidro et al. (2009) muchos de estos análisis están

basados en métodos analíticos (ej. modelos estocásticos), métodos de simulación

o métodos híbridos (basados en la integración de modelos analíticos o de

simulación). Sin embargo, en Mula et al. (2010) consideran que las distribuciones

de probabilidad derivadas de evidencias registradas en el pasado no están

siempre disponibles o no son confiables.

En su estudio de la literatura, Peidro et al. (2009) presentan una clasificación de

problemas de planeación asociados a la CS utilizando un enfoque difuso. La

Figura 2.5 presenta esta clasificación.

Figura 2.5 Ejemplos de problemas de planeación en la cadena de suministro utilizando

programación matemática difusa. Fuente: con información de Peidro et al. (2009).

De la Figura 2.4 y Figura 2.5 podemos apreciar que la planeación de la capacidad

de producción y la administración de inventarios son dos áreas dentro de la

49

planeación de una CS en donde más estudios se han realizado aplicando la

Teoría de Conjuntos Difusos en el modelado de los problemas.

2.3.3.1 Problemas de planeación en aprovisionamiento-producción-

distribución.

En Peidro et al. (2009) se presenta un modelo de cadena de suministro (a nivel

táctico) en un ambiente difuso, multi-nivel, multi-producto y multi-periodo. En el

modelo propuesto, la incertidumbre en el aprovisionamiento, proceso y demanda

son contemplados simultáneamente. El modelo ha sido formulado como un

modelo de programación lineal mixta entera difusa que busca minimizar el costo

de producción diferenciando entre el tiempo regular y en horas extras, éste es

aplicado a una cadena de suministro real de la industria automotriz dedicada al

aprovisionamiento de asientos automotrices. En este estudio, los costos de

ociosidad, mantenimiento de inventario, atrasos en demanda y transporte no

pueden ser medidos fácilmente debido a que implican una percepción humana

para su estimación. Se utilizan números difusos triangulares para modelar las

variables difusas.

2.3.3.2 Problemas de planeación en producción-distribución.

En un estudio realizado por Bilgen (2010) se presenta un modelo que permite

determinar simultáneamente: la asignación de productos a líneas de producción,

determinar la cantidad de productos transportados y determinar el número de

vehículos usados para cada ruta predefinida. La investigación realizada integra

decisiones estratégicas concernientes a la asignación de productos a líneas de

producción con decisiones tácticas concernientes al ruteo en la distribución de los

productos. En el modelo difuso presentado por el autor, los costos de producción,

arranque de máquina (setup), transporte e inventario no son fácilmente medibles e

involucran una alta percepción humana, por lo que la función objetivo del modelo

propuesto se considera difusa al considerar estos costos difusos, por otro lado, la

capacidad de producción y la capacidad del vehículo son considerados como

datos difusos y representados por intervalos de tolerancia.

50

En Mula et al. (2010), la principal contribución del artículo es la aplicación de la

programación posibilística en un caso de aplicación en la planeación de una

cadena de suministro. Otros investigadores han estudiado anteriormente

aplicaciones de programación posibilística en problemas de planeación de la

producción, pero no han considerado problemas de planeación de la producción

en cadenas de suministro. El artículo considera un modelo con una única función

objetivo que busca minimizar: costos de producción + costos de materia prima o

consumo de productos intermedios + costo de inventario y penalidades por

faltantes + costos de transportación + costos fijos por familia de productos. Las

restricciones consideradas en el modelo comprenden los tiempos de producción

mínimos y máximos para cada familia de productos, establecer la relación de

cada producto con su familia de producto, restricción de capacidad de producción,

consumo de materia prima o productos intermedios a través del billete (bill) de

materiales, restricción que considera que todos los materiales enviados al sitio S

deben ser consumidos en el mismo periodo, restricciones de balance de

inventario, restricción que indica que faltantes en la cadena son llevados de un

periodo a otro, restricción que permite que demandas de periodos previos puedan

ser satisfechas en el periodo actual, restricción de demanda difusa, restricción que

determina que el exceso y desviaciones del inventario con respecto al inventario

objetivo de seguridad establecido, límites inferior y superior para las variables de

decisión. El modelo de planeación de este artículo se divide en dos fases: la fase

de producción está enfocada a la eficiente asignación de la capacidad de la

producción en cada una de las plantas de producción con el objetivo de determinar

las políticas óptimas de operación. La fase de distribución considera las

actividades de post-producción como el cumplimiento de la demanda y la

administración del inventario para satisfacer la demanda. Se considera un stock

de seguridad para proveer un inventario (buffer) contra la incertidumbre en la

demanda. La red de la cadena de suministro considera dos niveles: plantas de

manufactura y clientes. La variable difusa utilizada en el modelo es la demanda

utilizando números difusos triangulares, porque utiliza un valor pesimista, más

51

probable y optimista en el valor de la demanda del producto i. El problema fue

resuelto con CPLEX aunque la entrada de los datos y las soluciones del modelo

fueron administradas por Microsoft Access.

En el artículo de Sakawa et al. (2001) tratan con un problema de producción-

trasporte de una empresa manufacturera de material para vivienda, y considera la

planeación de la producción y transporte bajo la suposición que el manufacturero

hace múltiples productos en múltiples regiones y los productos son demandados

en cada una de las regiones. El modelo presentado considera una función mono-

objetivo que busca minimizar el costo total representado por la suma de los costos

de producción más los costos de transporte. Las restricciones utilizadas en el

modelo se resumen en: capacidad de producción de cada planta; el producto

enviado a la base i es mayor o igual que su demanda; y la capacidad de los

camiones para transportar productos. Los parámetros difusos utilizados en el

modelo son: demanda en cada base i; capacidad de producción; y el costo total.

La razón por la que se consideran difusas estas variables es porque existe una

fluctuación de ±s (100s%) en las demanda de cada base, existe una posibilidad

que la capacidad de producción actual es 100(1-p)% de la capacidad estimada; y

considera una meta (Zo) para el costo total y una tolerancia (dz) son definidas por

los tomadores de decisiones .

2.3.3.3 Problemas de planeación en transporte.

En Wen & Kang (2011) consideran que aunque el problema de Localización-

Asignación de Plantas ha sido ampliamente estudiado considerando demandas de

los clientes aleatorias y también difusas, son pocos las investigaciones realizadas

considerando demandas aleatorias-difusas simultáneamente. El objetivo del

modelo propuesto propone minimizar el costo de transportación a partir de la

mejor asignación y ubicación de plantas i a clientes j y al definir la mejor ubicación

de las plantas de abastecimiento. Las restricciones del modelo consideran: que

cada nodo fuente (planta) tiene una capacidad restringida que no puede ser

superada, la demanda de cada cliente se considera aleatoria difusa, el costo de

52

transportación es proporcionado por la cantidad a proveer de cada nodo fuente a

cada nodo destino y la distancia entre esos nodos, existe además una localización

definida por coordenadas para cada cliente. La variable se considera aleatoria-

difusa porque en situaciones reales, los autores consideran que la aleatoriedad y

lo difuso de las demandas de los clientes comúnmente son mezcladas entre ellas.

Por ejemplo, las demandas de los clientes se pueden asumir como distribuidas

normalmente con parámetros desconocidos. Estos parámetros desconocidos

pueden ser estimados de datos históricos, pero en muchas ocasiones estos datos

son difíciles de obtener por medio de experimentos. En lugar de eso, la opinión de

los expertos es usada para proveer una estimación de estos parámetros. Para

resolver el problema planteado el autor propone un modelo inteligente híbrido que

integra el uso del método simplex para resolver el problema de asignación de

plantas a clientes y el uso de algoritmos genéticos para resolver el problema de

localización de las plantas. Para probar su modelo, los autores presentan

diferentes simulaciones considerando 3 nuevas plantas y doce clientes con

demandas consideradas como variables aleatorias-difusas. La localización de los

clientes y las capacidades de oferta de cada planta son especificadas en el

problema.

Diaz-Madroñero et al. (2010) proponen un modelo de programación matemática

difusa multi-objetivo para la planificación del transporte a nivel operativo en una

cadena de suministro. La investigación tiene como objetivo minimizar el número

total de camiones utilizados en la cadena de suministro y minimizar los niveles de

inventario determinado la cantidad a aprovisionar de cada producto. El parámetro

difuso que considera el modelo es la capacidad de los vehículos empleados.

Tsai et al. (2008) propusieron un modelo de programación difusa que permite

definir políticas de distribución óptimas entre múltiples canales. El modelo multi-

objetivo considera maximizar las utilidades netas de asignación, minimizar el

porcentaje de reclamaciones de los usuarios finales, minimizar el porcentaje de

embarques tardíos. La variable de decisión analizada es la cantidad de producto

53

asignado a un canal determinado sujeto a restricciones de capacidad de

manufactura, demanda de clientes, capacidad del canal y objetivos de venta de

cada canal. Debido a que los tres objetivos están considerados simultáneamente

pero tienen permitido tener valores de compensación (trades-off) en la decisión

final, los autores modelan estas compensaciones como ambigüedad en la toma de

decisiones.

En Zhou & Liu (2007) se propone un modelo híbrido inteligente para resolver el

problema de Localización y Asignación de Plantas con capacidades restringidas.

En el modelo híbrido se integra el algoritmo simplex, simulación difusa y

algoritmos genéticos para minimizar el costo de transportación de asignar las

plantas i a los clientes j, además de definir la mejor ubicación de las plantas i. El

modelo está sujeto a que la asignación a cada cliente iguale su demanda y que la

asignación de cada planta i se menor a la capacidad de cada planta. El modelo

híbrido inteligente es probado en 3 modelos diferentes para resolver el problema

de localización-asignación de plantas con capacidad restringida: modelo de

minimización de costo esperado difuso, modelo de minimización de α-difuso y el

modelo de maximización de credibilidad. Para resolver el problema se hicieron

diferentes pruebas considerando 20 clientes en donde las localizaciones y

demandas son especificadas y existen 4 plantas con capacidades definidas. El

modelo utiliza demandas difusas que asumen números difusos trapezoidales.

El estudio realizado por Liang (2006) propone un modelo interactivo de

programación lineal multi-objetivo difuso para resolver el problema de transporte

con una función de membresía lineal a trozos. El modelo presenta los siguientes

objetivos: minimizar el costo total de distribución y minimizar el tiempo total de

entrega. Los objetivos se encuentran sujeto a restricciones difusas de pronóstico

de demanda y de aprovisionamiento disponible. El presupuesto total de cada

fuente de aprovisionamiento y el espacio máximo de almacenaje de cada destino

se considera conocidos y precisos. El patrón (modelo) de número difuso triangular

54

(triangular fuzzy number) es adoptado por el autor para representar la imprecisión

en el aprovisionamiento y pronóstico de la demanda.

2.3.4 Problema de la dieta (PD) bajo incertidumbre difusa.

Las investigaciones realizadas del problema de la dieta se ha centrado

principalmente en su solución desde un enfoque determinístico para la definición

de la cantidad de alimento j que deberá incluirse en la dieta de un ser vivo. En un

artículo que hace una revisión de la literatura de los métodos analizados para

resolver este problema, Abd Rahman et al. (2010) presentan que el método de PL

ha sido el más estudiado, además de considerar que el método de solución del

problema de la dieta o mezcla de alimento en donde se integran la PL con la

teoría de conjuntos difusos tiene un gran potencial para investigaciones futuras.

Investigaciones realizadas por Cadenas et al. (2004), Vergara et al. (2006) y

SalooKolayi et al. (2011) han considerado la optimización lineal difusa en el

problema de la dieta (PD) para la planificación de dietas para animales.

En el artículo de Cadenas et al. (2004) se presenta un software SACRA (Support

systems for the construction of cattle diets) que resuelve el problema de diseño de

dietas para ganado vacuno en granjas argentinas. La principal aportación del

artículo no es enfocarse en problemas y/o métodos de programación lineal difusa,

sino usar estas como herramientas para ser implementadas en un sistema de

Soporte de Decisiones (SACRA). El artículo plantea el problema original de la

dieta que busca minimizar el costo de total de la configuración de la dieta, en este

problema se consideran las contribuciones nutricionales de cada alimento, los

requerimientos y consumos de cada alimento y el costo total de la dieta como

parámetros difusos. Esto debido a que no es posible calcular un valor exacto para

la contribución de nutrientes de cada alimento, además porque se pueden calcular

los requerimientos y consumo para un animal pero no para todo el ganado vacuno,

por otro lado debido a la cantidad disponible de dinero, el tomador de decisiones

desea que el costo de la dieta se encuentre “alrededor” de una cantidad. El

55

modelo es aplicado en un sistema de toma de decisiones (SACRA) que incluye

cuatro módulos que consideran captura o entrada de información, un módulo que

resuelve el problema y un módulo que presenta los resultados.

En Vergara et al. (2006) presentan una extensión del PD utilizando un enfoque

difuso aplicado a la planificación de dietas en granjas avícolas. Para esto,

incorpora al problema de la dieta un coeficiente difuso en la función objetivo que

considera al precio de los productos de forma difusa. La representación de los

precios de los productos que no son estables en periodos de tiempo prolongados

se hace mediante números difusos triangulares. El resultado de la investigación

consiste en una herramienta (software) llamado “Sistema de Ayuda de Decisión en

las Granjas Avícolas (SADIGA)” programado en Visual C++ para el diseño de

dietas personalizadas para aves al mínimo costo. Los precios son expresados en

su forma triangular (terna: menor, medio y mayor precio).

En la investigación realizada por SalooKolayi et al. (2011) se presenta un modelo

difuso lineal para la formulación diaria de raciones de alimento para vacas y se

comparan los resultados con un modelo de programación lineal. Los resultados de

la investigación arrojan que el costo de alimentación fue 8% menor al utilizar el

modelo difuso sobre el modelo lineal tradicional. Utilizando WinQSB se resuelve el

modelo que utiliza como variable difusa la cantidad de nutrientes requeridos

diariamente por una vaca.

2.4 Síntesis y análisis crítico de la literatura revisada.

Una adecuada administración de la cadena de suministro de alimentos conlleva

una constante toma de decisiones de los planeadores para poder manejar y

distribuir de la mejor forma el producto al cliente final. En una cadena de

suministro de productos no alimenticios, los planeadores constantemente se

enfrentan ante problemas que abordan la disminución de costos y una mejor

eficiencia en alguna área funcional en particular o a través de la cadena completa.

En modelos de planeación que involucran el manejo y distribución de alimentos,

56

los tomadores de decisiones deben considerar otro tipo de factores que son

características propias del manejo de alimentos como: periodo de vida

(perecedero/no perecedero), degradación de la calidad del alimento, condiciones

de temperatura (refrigeración), tiempo de distribución al cliente final, volumen y

peso del alimento, características nutricionales de los alimentos, entre otras.

El estudio realizado de la literatura especializada nos indica que se han abordado

diferentes metodologías para los procesos de planeación y toma de decisiones de

los planeadores en una cadena de suministro. La selección de la metodología

más adecuada se podrá realizar de acuerdo al tipo de planeación y el nivel de la

decisión tomada por el planeador. Las características de los parámetros

(conocidos, no conocidos, variables, estáticos) considerados en el modelo también

tendrán influencia en la técnica utilizada. El uso de la modelación matemática por

medio de metodologías como la PL, ha sido frecuentemente requerida para

abordar problemas de planeación en una CS, sin embargo, otras metodologías

como la dinámica de sistemas, simulación de eventos discretos y diseño de

experimentos han sido consideradas para apoyar al planeador de la cadena a

tomar mejores decisiones.

Por otro lado, aunque el problema de selección de alimentos para la configuración

de dietas ha sido revisado constantemente en la literatura, se observa un área de

oportunidad en la investigación de modelos de planificación de la producción en

cadenas de suministro de alimentos que integren en sus problemas de asignación

de alimentos otras características adicionales como las nutricionales, de volumen

y/o peso de los alimentos.

El problema de empaque de alimentos ha sido revisado considerablemente en la

literatura desde un enfoque de preservación y protección del alimento, sin

embargo, se observa un área de oportunidad en el empaque de productos

alimenticios desde un enfoque de problema de optimización que considere

variables relacionadas a la selección/asignación por grupos alimenticios,

57

prioridades por vida útil del producto, aporte nutricional y tipo de alimento

(perecedero/no-perecedero).

Por otro lado, de acuerdo a Rommelfanger (1996), estudios empíricos revelan que

la PL es una de las técnicas más frecuentemente aplicadas en el área de

investigación de operaciones en problemas del mundo real Sin embargo, dado las

oportunidades que ofrece la optimización con PL, una de las desventajas más

importantes de esta técnica es que requiere datos bien definidos y precisos lo cual

involucra altos costos para generar la información. En aplicaciones en el mundo

real, la confiabilidad y precisión de los datos normalmente es ilusoria. La vaguedad

e imprecisión de la información genera incertidumbre. Esta incertidumbre ha sido

tratada en los problemas de programación lineal desde dos enfoques

principalmente: estocástico y difuso. En programación lineal estocástica, es

requerido el uso de distribuciones de probabilidad que requieren el uso de datos

históricos, pero, en muchas aplicaciones no es posible contar con esta información

disponible. Sin embargo, desde el artículo semilla “fuzzy sets” de Lofti A. Zadeth

en 1965, se propuso una forma diferente de modelar la vaguedad en los datos sin

necesidad de utilizar conceptos estocásticos. A la técnica para trabajar la

incertidumbre en problemas de programación lineal se le llamó PMD, la cual

integra datos vagos o imprecisos a los sistemas de PL.

La PMD considera dos tipos de programación principalmente: programación

flexible, y programación posibilística. El uso de cada tipo depende de la

información que se considere difusa en el modelo que se está trabajando, es decir,

metas/objetivos difusos, restricciones difusas y/o coeficientes difusos.

La metodología generalmente empleada para resolver un problema de

programación difusa consiste en identificar los parámetros difusos y plantear el

modelo de programación lineal difusa. Con la teoría de conjuntos difusos se

convierte el modelo de programación lineal difusa a un modelo de programación

crisp que puede ser resuelto como un problema de PL tradicional utilizando

58

cualquier técnica de optimización (ejemplo: algoritmo de ramificación (branch) y

acotamiento (bound)). La teoría de conjuntos difusos sugiere utilizar una función

de membresía para convertir el modelo difuso a un modelo crisp. Algunas

investigaciones encontradas en la literatura recomiendan la función de membresía

líneal para problemas de minimización o maximización. Por otro lado, el manejo de

los parámetros difusos del modelo se realiza utilizando número difusos, siendo los

números difusos triangulares algunos de los más utilizados, que consiste en

utilizar tres valores para el parámetro difuso, el valor menos probable, el valor más

probable y el valor más optimista.

La Tabla 2.8 resume el estado del arte revisado en la literatura y que resuelven

problemas con algunas características relacionadas al problema de asignación-

empaque de despensas propuesto en esta investigación.

59

Tabla 2.8 Estado del arte para el problema de asignación-empaque de alimento. Fuente:

elaboración propia.

En el estudio de la literatura tampoco se ha encontrado un problema similar

relacionado a la asignación-empaque de despensas personalizadas para BA que

utilice la PL o programación lineal difusa e integre simultáneamente un enfoque

logístico y nutricional en el modelo. Son pocos los estudios realizados que

analizan el problema de distribución de alimento en BA y los que se han

encontrado modelan el problema ya sea con un enfoque nutricional o logístico

pero de forma separada y no incluyen la incertidumbre de la información utilizada

en el modelo.

60

Con la revisión de la literatura se resume que las investigaciones realizadas en el

PD utilizando PMD se han centrado principalmente en el diseño de dietas para

animales (aves y ganado vacuno). Además, aunque se trabajan con parámetros

difusos en el modelo, el objetivo y restricciones siguen siendo las mismas del

problema original.

La Figura 2.6 resume los conceptos más importantes de la revisión realizada en la

literatura especializada: el problema de asignación-empaque en BA toma en

cuenta las características de asignación de recursos (alimentos) a diferentes

clientes (familias) presentes en el modelado de los problemas de planeación en la

CS, sin embargo, en la revisión de la literatura se encontró que este problema

preferentemente considera parámetros del tipo logísticos mientras que el problema

de asignación de alimentos utilizando PL ha sido estudiado principalmente por

medio del PD, sin embargo, éste tipo de problema tiene un enfoque principalmente

nutricional y no logístico. Aunque se ha utilizado la PL para resolver el problema

de empaque en contenedores, este ha sido analizado más como un problema

logístico que nutricional, sin embargo, se encontraron estudios del empaque de

alimentos que analizan el problema más con un enfoque en el diseño del empaque

para mejorar la preservación del alimento que en el uso de la PL para colocar

alimentos dentro de recipientes. El problema de asignación de alimentos a familias

beneficiarias en BA ha sido estudiado con diferentes técnicas aunque estos

estudios tienen un enfoque logístico principalmente y no se encontraron estudios

que incluyan la incertidumbre (estocástica o difusa) en los parámetros de los

modelos presentados. La PMD ha sido utilizada para proponer soluciones a los

problemas de planeación en la CS y también en el PD bajo condiciones de

incertidumbre en la información, sin embargo, en éste trabajo se encontró un área

de investigación al utilizar la PMD para modelar un problema de asignación-

empaque de alimento a familias en BA que integra simultáneamente parámetros y

restricciones logísticas y nutricionales bajo condiciones de incertidumbre.

61

Figura 2.6 Síntesis de la literatura revisada. Fuente: elaboración propia.

62

CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA Y MODELOS DE

SOLUCIÓN

3.1 Introducción.

En éste capítulo, se describe con más detalle el problema de asignación-empaque

de despensas personalizadas y es representado matemáticamente a través de un

modelo de PLEM. El modelo incluye dos objetivos para considerar dos enfoques

diferentes en la solución del problema: logístico y nutricional. Además, en este

capítulo se propone el uso de la programación compromiso [Jiménez et al. (2000),

Jiménez et al. (2000) y Arenas et al. (2005)] para la solución del problema como

un modelo bi-objetivo. Debido a que algunos parámetros nutricionales y logísticos

del modelo no se pueden considerar de forma exacta, la PMD fue requerida para

modelar la incertidumbre de la información en la búsqueda de una solución del

modelo mono-objetivo y bi-objetivo. Finalmente, se presenta un método

interactivo para la selección de la mejor solución del modelo difuso que integra la

opinión del TD en el BA al incluir la evaluación de indicadores de calidad de las

despensas que resultan de interés para este tipo de organización

3.2 Descripción del problema de asignación-empaque de alimento.

Nuestro modelo (Figura 3.1) genera una selección y asignación del tipo y cantidad

de alimento j del grupo nutricional i que diariamente debe ser entregado a familias

(s) con características diferentes. Los alimentos pueden ser clasificados de

acuerdo a su grupo nutricional1 (i) en: vegetales, frutas, granos, lácteos, carnes,

aceites y su aporte energético23 medido en Kilocalorías (Kcal.) y/o KiloJoule (kJ)

depende de cada tipo de producto. Los requerimientos energéticos mínimos de

cada familia pueden ser determinados de acuerdo a su número de integrantes y

características: edad, sexo, actividad física, peso y altura y estos requerimientos

1 http://www.choosemyplate.gov/foodgroups/index.html [consultado en octubre 2011].

2 http://www.dietas.net/tablas-y-calculadoras/tabla-de-composicion-nutricional-de-los-alimentosm [consultado en octubre

2011].

3 http://www.zonadiet.com/tablas. [consultado en octubre 2011]

63

pueden ser aproximados a partir de la información proporcionada por el

Departamento de Agricultura de los Estados Unidos45.

Figura 3.1 Modelo propuesto de asignación-empaque de alimento para bancos de alimentos.

La asignación depende de la cantidad disponible del producto en el almacén.

Para proteger físicamente los alimentos durante su distribución y asegurar la

personalización de cada despensa, los productos seleccionados son empacados

en contenedores por familia. Para asegurar que cada contenedor contenga una

cantidad mínima de alimento y evitar reclamos de las familias atendidas, se

contempla que cada contenedor deberá de tener cerca de 30 kilogramos de

alimento y un máximo aproximado de 40 kilogramos. Cada despensa debe contar

con un porcentaje mínimo (α) de alimentos de los grupos nutricionales verduras y

frutas; se considera una restricción que permite a la organización definir el valor α

4 http://www.choosemyplate.gov/myplate/index.aspx [consultado en octubre 2011]

5 http://www.choosemyplate.gov/weight-management-calories/calories/empty-calories-amount.html [consultado en octubre

2011]

64

para la asignación. Para evitar una variedad reducida de tipos de alimentos en

cada contenedor, se incluye una restricción de la cantidad máxima permitida de

cada tipo de producto. Finalmente, no todo el producto recolectado en los bancos

de alimentos (BA) es donado, es necesaria la compra de algunos alimentos a

precios especiales. Por esto, el costo total de los productos seleccionados por

despensa, no deberá exceder un costo de recuperación predefinido por la

organización.

3.3 Justificación de incertidumbres en parámetros del modelo de asignación-

empaque de alimento.

Para este trabajo de investigación, los alimentos que son donados a BA fueron

clasificados en tres tipos:

a) Alimentos medidos en kilogramos (ejemplo: chile, verdolagas,

champiñones, limón, lima, etc.): por las características físicas de estos

alimentos se vuelve complicado realizar su asignación por piezas, por lo

tanto, para cada despensa son asignados los kilogramos definidos por la

solución del modelo matemático.

Se considera difuso el aporte energético por kilogramo de este tipo de

alimentos ya que los valores publicados en la literatura especializada son

aproximados y llegan a variar entre una fuente y otra. El volumen (cm3) por

kilogramo es considerado con incertidumbre debido a la forma geométrica

irregular de este tipo de alimentos.

b) Alimentos medidos en piezas determinísticas (ejemplo: latería, jugos

enlatados, frutas enlatadas, pan de caja, cereal empaquetado): estos

alimentos vienen en contenedores con figuras geométricas conocidas y que

es fácil y exacto calcular su peso y volumen. La asignación de este tipo de

productos en el modelo matemático se realiza por unidad o pieza.

65

c) Alimentos medidos en piezas fuzzy (ejemplo de alimentos en Figura 3.2:

camote, papa, brócoli, papaya, mango, mandarina): tipos de alimentos que

serán asignados por pieza o unidad, sin embargo, por su forma geométrica

es complicado estimar un volumen exacto por pieza, además dentro de un

mismo tipo de alimento, el volumen de una pieza a otra varía y todavía más

cuando en los BA el producto recibido es donado y cada tipo de producto

cuenta con variabilidad en peso y volumen.

Figura 3.2 Ejemplo de alimentos considerados como piezas fuzzy en el modelo propuesto.

También, se consideran difuso el aporte energético por pieza fuzzy de este tipo de

alimentos ya que los valores publicados en la literatura especializada son

aproximados y llegan a variar entre una fuente y otra.

Los requerimientos energéticos (Kcal.) por familia se consideran un parámetro con

incertidumbre ya que éste es calculado a partir de los requerimientos energéticos

por cada persona (depende de su edad, sexo, actividad física, peso y altura) que

forma parte de la familia y pueden variar las Kilocalorías (Kcal.) requeridas por

persona según la referencia bibliográfica de donde se obtuvieron.

El peso (kilogramos) mínimo de alimento en cada contenedor se considera como

parámetro difuso ya que el BA considera que con aproximadamente 30 kilogramos

por despensa se evitarán las quejas de las familias beneficiarias. El peso

(kilogramos) máximo de alimentos en cada contenedor se consideró como

parámetro con incertidumbre difusa ya que con cerca de 40 kilogramos por

66

contenedor se pueden evitar problemas ergonómicos en los trabajadores del BA

por el manejo de contenedores. El volumen (cm3) de alimento en cada

contenedor se espera que sea cercano a 103,587 cm3 para evitar quejas de las

familias atendidas por los BA.

3.4 Formulación del modelo determinístico de asignación-empaque de

alimento.

En un primer modelo determinístico propuesto en esta investigación, todos los

parámetros del modelo se consideran conocidos y exactos, por lo que el problema se

modela con PLEM del tipo determinístico.

Se incluyen en el modelo los siguientes conjuntos de datos:

grupo nutricional i ∈ I={1: vegetales, 2: frutas, 3: granos, 4: lácteos, 5: carnes, 6:

aceites}

alimento medido en kilogramos: incluye el alimento j que forma parte del grupo

nutricional i ={ , , ,…, }

alimento medido en piezas: incluye el alimento k que forma parte del grupo

nutricional i ={ , , ,…, }

número de familias atendidas: incluye la familia s ∈ S que es atendida por día,

S={1,2,3,...,n}

Las variables de decisión del modelo son:

= kilogramos del alimento j del grupo nutricional i que es enviado a la familia s.

= número de piezas del alimento k del grupo nutricional i que es enviado a la

familia s.

El modelo incluye los parámetros de la Tabla 3.1.

67

Tabla 3.1 Descripción y tipos de parámetros incluidos en el modelo determinístico.

Parámetro Tipo de

parámetro

Enfoque

del

parámetro

Unidad de

medida Descripción

Determinístico Nutricional Kilocalorías

Contenido energético por kilogramo del alimento j del grupo nutricional i

Determinístico Logístico Kilogramos Cantidad disponible en el almacén del alimento j del grupo nutricional i

Determinístico Nutricional Kilogramos

Cantidad máxima permitida por despensa del alimento j del grupo nutricional i

Determinístico Logístico Centímetros

cúbicos

Volumen por kilogramos de cada alimento j del grupo nutricional i

Determinístico Logístico Pesos

mexicanos

Costo por kilogramo de cada alimento j del grupo nutricional i

Determinístico Nutricional

Tipo de alimento j del grupo nutricional i en almacén = {1: alimento perecedero, 0: alimento no-perecedero}

Determinístico Nutricional Kilocalorías Contenido energético por pieza del alimento k del grupo nutricional i

Determinístico Logístico Piezas Cantidad disponible en el almacén del alimento k del grupo nutricional i

Determinístico Nutricional Piezas

Cantidad máxima permitida por despensa del alimento k del grupo nutricional i


cúbicos

Volumen por pieza de cada alimento k del grupo nutricional i

Determinístico Logístico Kilogramos Peso por pieza del alimento k del grupo nutricional i

Determinístico Logístico Pesos Costo por pieza de cada

68

mexicanos alimento k del grupo nutricional i

Determinístico Nutricional

Tipo de alimento k del grupo nutricional i en almacén = {1: alimento perecedero, 0: alimento no-perecedero}

Determinístico Nutricional Kilocalorías

Requerimiento energético mínimo (Kcal.) por cada familia s. El requerimiento energético por familia depende del número de integrantes por cada familia, edad, sexo, peso, altura y actividad física.

CRec Determinístico Logístico Pesos

mexicanos

Costo de recuperación de cada despensa = $100

αs Determinístico Nutricional Porcentaje

Mínimo de frutas y verduras (en peso) que la despensa s debe contener = 30%

Ctrs Determinístico Logístico Centímetros

cúbicos

Volumen de cada contenedor s para enviar alimento a cada familia = (73x43x33) = 103,587 cm3.

PMins Determinístico Logístico Kilogramos Peso mínimo del alimento por contenedor s = 30 kilogramos

PMaxs Determinístico Logístico Kilogramos Peso máximo del alimento por contenedor s = 40 kilogramos

3.4.1 Objetivos del modelo.

Nuestra investigación evaluó el desempeño del modelo con dos enfoques

diferentes en el objetivo: enfoque logístico (objetivo 1) y enfoque nutricional

(objetivo 2).

69

Escenario 1 (Objetivo 1): priorizar la cantidad de alimento perecedero

(kilogramos) que es enviado a las familias en un día (1).

[ ] + [ ][ (1)

Escenario 2 (Objetivo 2): maximizar el contenido energético total (kilocalorías)

que es enviado a las familias atendidas en un día (2).

[ ] + [ ] (2)

3.4.2 Restricciones del modelo.

Disponibilidad de alimento en almacén.

(R1). Restricción de disponibilidad (3-4), asegura que la suma total de cada tipo de

alimento asignado a las familias se encuentra en existencia en el almacén.

, (3)

, (4)

Empaque de alimento en contenedores.

(R2) Restricción de peso mínimo (5), asegura que cada despensa asignada a una

familia contiene un peso mínimo de alimento (kilogramos) dentro del contenedor.

+ , (5)

(R3) Restricción de peso máximo (6), asegura que cada despensa asignada a una

familia contiene un peso máximo de alimento (kilogramos) dentro del contenedor.

+ , (6)

70

(R4) Restricción de volumen (7), permite que el volumen total de los alimentos

seleccionados para cada despensa personalizada no exceda el volumen máximo

del contenedor.

+ , (7)

(R5) Cantidad máxima de producto (8-9), se incluye para asegurar una mayor

variedad de productos en cada despensa al no permitir que se exceda una

cantidad máxima de cada tipo de alimento por contenedor.

(8)

(9)

Características nutricionales de despensas.

(R6) Restricción nutricional (10), incluida en el modelo para lograr que la despensa

contenga un mínimo de requerimientos energéticos.

+ , (10)

(R7) Restricción de grupos nutricionales (11), permite que la organización asigne

el porcentaje mínimo (α) de verduras y frutas (medido en peso) que cada

despensa debe incluir.

+ + + *[

+ ], s S (11)

Costo máximo de recuperación de despensa.

(R8) Restricción de costo máximo por despensa (12), asegura que el costo total de

los productos incluidos en cada contenedor no exceda el costo de recuperación de

la despensa.

71

+ Crec, (12)

(R9) Restricción de no-negatividad de variables.

= entero

3.5 Formulación del modelo difuso de asignación-empaque de alimento.

Las variables de decisión del modelo son:

= kilogramos del alimento j del grupo nutricional i que es enviado a la familia s.

= número de piezas del alimento k del grupo nutricional i que es enviado a la

familia s.

= número de piezas fuzzy del alimento l del grupo nutricional i que es enviado

a la familia s.

El modelo incluye los parámetros de Tabla 3.2.

Tabla 3.2 Descripción y tipos de parámetros incluidos en el modelo difuso.

Parámetro Tipo de

parámetro

Enfoque

del

parámetro

Unidad de

medida Descripción

Difuso Nutricional Kilocalorías

Contenido energético por kilogramo del alimento j del grupo nutricional i

Determinístico Logístico Kilogramos Cantidad disponible en el almacén del alimento j del grupo nutricional i

Determinístico Nutricional Kilogramos

Cantidad máxima permitida por despensa del alimento j del grupo nutricional i

Difuso Logístico Centímetros

cúbicos

Volumen por kilogramos de cada alimento j del grupo nutricional i

Determinístico Logístico Pesos Costo por kilogramo de cada alimento j del

72

mexicanos grupo nutricional i

Determinístico Nutricional Kilocalorías Contenido energético por pieza del alimento k del grupo nutricional i

Determinístico Logístico Piezas Cantidad disponible en el almacén del alimento k del grupo nutricional i

Determinístico Nutricional Piezas

Cantidad máxima permitida por despensa del alimento k del grupo nutricional i


cúbicos

Volumen por pieza de cada alimento k del grupo nutricional i

Determinístico Logístico Kilogramos Peso por pieza del alimento k del grupo nutricional i


mexicanos

Costo por pieza de cada alimento k del grupo nutricional i


Contenido energético por pieza fuzzy del alimento l del grupo nutricional i

Determinístico Logístico Piezas

Cantidad disponible de piezas fuzzy en el almacén del alimento l del grupo nutricional i

Determinístico Nutricional Pieza

Cantidad máxima permitida de piezas fuzzy por despensa del alimento l del grupo nutricional i


cúbicos

Volumen por pieza fuzzy de cada alimento l del grupo nutricional i

Difuso Logístico Kilogramos Peso por pieza fuzzy del alimento l del grupo nutricional i


mexicanos

Costo por pieza fuzzy de cada alimento l del grupo nutricional i


Requerimiento energético (Kcal.) por cada familia s. El requerimiento

73

energético por familia depende del número de integrantes por cada familia, edad, sexo, peso, altura y actividad física.

CRec Determinístico Logístico Pesos

mexicanos

Costo de recuperación de cada despensa = $100

Determinístico Nutricional Porcentaje

Mínimo de frutas y verduras (en peso) que la despensa s debe contener = 30%


cúbicos

Volumen de cada contenedor s para enviar alimento a cada familia = (73x43x33) = 103,587 cm3.

Difuso Logístico Kilogramos Peso mínimo del alimento por contenedor s = 30 kilogramos

Difuso Logístico Kilogramos Peso máximo del alimento por contenedor s = 40 kilogramos

El objetivo 2 (enfoque nutricional) del modelo consiste en maximizar el contenido

energético total que es enviado a las familias atendidas en un día (13).

(13)

Disponibilidad de alimento en almacén.

Restricción de disponibilidad (14-16), asegura que la suma total de cada tipo de

alimento asignado a las familias se encuentra en existencia en el almacén.

, (14)

, (15)

74

, (16)

Empaque de alimento en contenedores.

Restricción de peso mínimo (17), asegura que cada despensa asignada a una

familia contiene un peso mínimo de alimento dentro del contenedor.

,

(17)

Restricción de peso máximo (18), asegura que cada despensa asignada a una

familia contiene un peso máximo de alimento dentro del contenedor.

,

(18)

Restricción de volumen (19), permite que el volumen total de los alimentos


del contenedor.

(19) Cantidad máxima de producto (20-22), se incluye para asegurar una mayor

variedad de productos en cada despensa al no permitir que se exceda una

cantidad máxima de cada tipo de alimento por contenedor.

(20)

(21)

(22)

75

Características nutricionales de despensas.

Restricción nutricional (23), incluida en el modelo para lograr que la despensa

enviada a cada familia contenga el mínimo de requerimientos energéticos.

, s S (23)

Restricción de grupos nutricionales (24), permite que la organización asigne el

porcentaje mínimo ( ) de verduras y frutas (medido en peso) que cada despensa

debe incluir.

, s S (24)

Costo máximo de recuperación de despensa.

Restricción de costo máximo por despensa (25), asegura que el costo total de los

productos incluidos en cada contenedor no exceda el costo de recuperación de la

despensa.

,

(25)

Restricción de no-negatividad de variables (26-28).

(26)

= entero (27)

= entero (28)

76

3.6 Programación bi-objetivo en modelo determinístico y difuso.

3.6.1 Programación compromiso para un programa multi-objetivo

determinístico.

La Programación Compromiso (PC) es un conocido método de toma de decisiones

multi-criterio desarrollado por Zeleni (1973) y Yu (1985). La PC se basa en el

siguiente axioma de Zeleni (1973): “Dadas dos soluciones posibles en el espacio

de los objetivos x x…x , la solución preferida será aquella que se encuentre

más próxima al punto ideal”. Para poder obtener el punto ideal del problema multi-

objetivo hay que optimizar cada objetivo de forma separada, es decir, resolver los

k-problemas lineales mono-objetivo. En primera instancia, es necesario calcular

los elementos de la matriz de pago (Tabla 3.3). Esta matriz es el resultado de

optimizar cada objetivo de forma separada, asignando al otro objetivo el valor

correspondiente para la solución óptima del primero. De esta forma, es obtenida

una matriz cuadrada en la que se refleja el nivel de conflicto existente entre

objetivos. Los elementos de la diagonal principal se denominan punto ideal, es

decir, la solución en la que ambos objetivos alcanzan su valor óptimo ( , ,

…, . Con los peores valores que toman los objetivos se construye el punto anti-

ideal ( , …, ). Ya que el punto ideal es inalcanzable, resulta útil

determinar la solución más apropiada a través de soluciones compromiso. Para

ello, es definido el grado de proximidad entre el objetivo i-ésimo y su ideal.

Tabla 3.3 Elementos de la matriz de pago.

En un ambiente de certidumbre, Romero (1993) define el grado de proximidad (29)

como:

( , )= - (29)

77

cuando el objetivo r-ésimo se maximiza, donde representa el punto ideal.

Cuando las unidades de medición de los objetivos son diferentes, se requiere

homogeneizar los grados de proximidad, normalizándolos (30):

= (30)

Donde , es el anti-ideal para el objetivo r-ésimo; esto es, el valor del objetivo r-

ésimo cuando el objetivo en conflicto se optimiza. Para agregar los grados de

proximidad a cada valor objetivo ideal, se recurre a medir esta proximidad

utilizando el concepto de distancia (31), la cual nos proporciona la distancia entre

cada solución factible y su ideal:

= (31)

La expresión anterior representa la familia Lp de funciones de distancia, donde ,

r=1,2,…,k, representan, respectivamente, las preferencias del decisor respecto a

la divergencia existente entre cada valor objetivo y su ideal. Y cuando:

p=1 Distancia Manhattan

p=2 Distancia Euclidiana

p=α Distancia Chebysev

3.6.2 Programación compromiso para un modelo multi-objetivo difuso.

Esta investigación también considera un modelo de programación lineal bi-objetivo

posibilístico (PLEM-MP) con parámetros difusos (32). Dichos parámetros son

representados por números difusos descritos por su distribución de posibilidad

estimada por el analista de la información provista por el TD [Tanaka, (1987)].

78

Max ( ( ) (32)

Sujeto a: x χ( =

Donde =( es un vector de decisión crisp o determinístico, ,

,…., ) está compuesto por vectores difusos los cuales son los coeficientes

difusos de los k objetivos considerados. =[ ] es la matriz tecnológica difusa y

=( , , …, ) son parámetros difusos.

Arenas et al. (2005) menciona que la naturaleza incierta y/o imprecisa de los

parámetros del problema involucran dos principales problemas: factibilidad y

optimalidad. Como ya se ha mencionado, la factibilidad puede ser manejada por

comparación de números difusos; en este trabajo se utiliza el método de

comparación de números difusos desarrollado por Jiménez (1996), debido a las

buenas propiedades que verifica dicho método y además, porque es

computacionalmente eficiente para resolver problemas lineales ya que conserva la

linealidad de las restricciones. Por otro lado, la optimalidad es manejada a través

de la Programación Compromiso (PC).

En esta investigación, se manejan los números difusos a través de sus intervalos

esperados. Se utilizan números difusos triangulares para este trabajo. Heilpern

(1992) definió el intervalo esperado de un número difuso triangular =( , , ),

como sigue (33):

EI( ) =[ , ] = , (33)

Donde es el valor de la izquierda, , es el valor central y es el valor derecho

del número difuso (Figura 3.3).

79

Figura 3.3 Número difuso triangular, .

El valor esperado EV( ) es igual a ,

Por lo que, si es triangular entonces EV( ) = ( +2 + ).

Por otro lado, una vez que se ha visto como calcular el grado de proximidad a

cada objetivo, lo que debemos hacer es agregarlos. Usualmente los objetivos

están medidos en unidades distintas, por lo que debemos homogeneizar los

grados de proximidad, normalizándolos (34):

= (34)

Que de acuerdo a Arenas (2005) puede escribirse como (35):

= (35)

Donde representa el grado de proximidad normalizado al i-ésimo objetivo. Para

agregar los grados de proximidad a cada valor objetivo ideal, se recurre a una

generalización de la distancia euclidiana ponderada (36), que nos proporciona la

distancia entre cada solución -factible y su ideal (31). Entonces puesto que lo

que se pretende es encontrar las soluciones Pareto óptimas más próximas al

80

punto -ideal, de acuerdo a Arenas (2005), el problema se convierte en resolver el

siguiente programa mono-objetivo (36):

Problema (36)

Min = Min

Sujeto a :

x ; j=1,…,m

x 0

Es evidente que dependiendo de la métrica que se utilice la solución será distinta.

Arenas (2005) menciona que para el métrico p=1, la mejor solución compromiso

(37) o la solución más cercana a la solución ideal puede ser obtenida al resolver el

siguiente problema de programación lineal:

Min = Min (37)

Sujeto a:

x ; j=1,…,m

x 0

Pero Reza & Hassanzadeh (2011) menciona que si (36) fuera una restricción del

tipo menor que o igual, , ésta podría ser transformada dentro de la siguiente

restricción crisp (38) equivalente:

[(1- ) + α ]x α + (1- ) , i=1, … , m, x ≥ 0, α [0,1] (38)

Para la métrica p=α, la α-solución compromiso, que denotaremos α , se obtiene

resolviendo el siguiente programa lineal (39):

Min = d (39)

Sujeto a:

81

x ; j=1,…,m

d; r=1,2,…,k

x 0

Para Arenas (2005), las soluciones a los problemas (37) y (39) son las soluciones

compromiso más comúnmente obtenidas, porque para métricos diferentes a p=1 y

p=α son necesarios algoritmos de programación matemática no-lineal. α indica el

grado de cumplimiento de las restricciones, de manera que 1- puede

interpretarse como el grado de incumplimiento o violación de las mismas.

Considerando α como un parámetro, podemos generar la solución compromiso

completa α para cada tipo de distancia, es decir, para cada valor de p. Dicha

solución compromiso puede considerarse como un conjunto difuso en el que α

representa el grado de aceptación por parte del decisor.

3.7 Transformación del modelo mono-objetivo difuso en un modelo crisp

equivalente.

Acorde al modelo difuso presentado en la sección 3.4, es necesario considerar

métodos de PMD que consideren de manera integral los coeficientes difusos de la

función objetivo y las restricciones difusas: coeficientes tecnológicos y

coeficientes de lado derecho.

Por lo que, se considera el siguiente problema de programación lineal con

parámetros difusos:

Minimizar z= x

s.a. x N( , ) = {x | x ≥ , i=1,…, m, x 0} (40)

donde ={ , ,…, }, = , =( , ,…, ) representan respectivamente,

parámetros difusos incluidos en la función objetivo y restricciones. Se asume la

distribución de posibilidad de los parámetros difusos para ser caracterizada por

números difusos. x=( , ,…, ) es un vector decisión crisp o determinístico. Un

82

conjunto difuso de un universo es caracterizado por su función de membresía

: [0,1]. Donde r = (x); x , es el grado de membresía de x a .

En este contexto, varios trabajos proponen métodos para resolver problemas de

programación lineal donde todos los coeficientes son en general números difusos.

Para nuestra investigación, los métodos de solución utilizados fueron los

propuestos en Cadenas & Verdegay (1997), Jiménez (2007) y Peidro (2010).


Jiménez y Peidro.

Para la transformación del modelo difuso a un modelo crisp equivalente, Jiménez

et al. (2007) y Peidro et al. (2010) proponen el siguiente modelo auxiliar:

Minimizar EV( )x

s.a. [(1- ) + α ]x α + (1- ) , i=1, … , m, x ≥ 0, α [0,1] (41)

donde de acuerdo a Peidro et al. (2010), el valor esperado de un número difuso

es triangular (Figura 3.4), indicado como EV( ), es el punto medio de su intervalo

esperado y 0 ≤ α ≤ 1 es un valor de corte que puede ser establecido

paramétricamente por TD.

EV( ) =

Figura 3.4 Número difuso triangular para transformación propuesta por Jiménez et al.

(2007) y Peidro et al. (2010).

83

Si un número difuso es triangular, su intervalo esperado y su valor esperado son

calculados como sigue:

EI( ) = ; EV( ) = (42)

Si (41) fuera una restricción del tipo menor que o igual, , ésta podría ser

transformada dentro de la siguiente restricción crisp equivalente:

[(1- ) + α ]x α + (1- ) , i=1, … , m, x ≥ 0, α [0,1] (43)

Por lo tanto, al aplicar el método para el modelo previamente definido, y por

considerar número difusos triangulares para los parámetros con incertidumbre, se

obtiene un modelo de PLEM crisp auxiliar como sigue:

(44)

Sujeto a:



, (45)



84

, (46)



del contenedor.

+ , (47)



, (48)

Restricción de grupos nutricionales (49), permite que la organización asigne el


debe incluir.

, s S (49)

Las restricciones no-difusas mostradas en las ecuaciones 14-16, 20-22 y 25

también son incluidas en el modelo de la forma original.

85

El resultado es un conjunto difuso y el planeador tendría que decidir cuál par (α, Y)

considera óptima si quiere obtener una solución crisp.


Cadenas & Verdegay.

El método de solución propuesto por Cadenas & Verdegay (1997) propone como

problema auxiliar para resolver el modelo de la sección 3.4:

Maximizar Y= (50)

sujeto a: + (1-α), i ∈ M

≥ 0, α , j ∈ N

Donde representa un número difuso dando la máxima violación en la

verificación de la ith restricción y 0 α 1 es un valor de corte que puede ser

establecido paramétricamente por el tomador de decisiones (TD). Los coeficientes

difusos son considerados como triangulares de acuerdo a la Figura 3.5.

Figura 3.5 Número difuso triangular para transformación propuesta por Cadenas & Verdegay

(1997).

Por lo que un modelo equivalente a (50) es:

Maximizar Y= (51)

Sujeto a: + (1- )

0, I M, j N, [0,1]

Por lo tanto, el modelo de PLEM auxiliar crisp es:

86

(52)



- , (53)



+ , (54)



del contenedor.

+ , (55)



87

, s S (56) Restricción de grupos nutricionales (57), permite que la organización asigne el


debe incluir.

, s S (57)

Las restricciones mostradas en las ecuaciones 14-16, 20-22 y 25 se mantienen igual en el modelo.

3.8 Método interactivo para la toma de decisiones de asignación-empaque de

alimentos en bancos de alimentos.

Un método interactivo de resolución propuesto en Peidro et al. (2010) fue

adaptado en esta investigación para permitir que un TD del BA participe en la

búsqueda de la mejor solución del modelo difuso propuesto. Solamente un TD es

considerado en esta investigación. El método interactivo se encuentra organizado

en siete etapas que se resumen en la Figura 3.6.

88

Figura 3.6 Resumen de método interactivo para asignación-empaque de despensas.

89

A continuación se describen con detalle las etapas del método propuesto en esta

investigación:

Etapa 1. Solución del modelo crisp para cada α ϵ [0,1].

El modelo auxiliar crisp de PLEM definido anteriormente en las secciones 3.6.1 y/o

3.6.2 es resuelto paramétricamente para cada α ϵ [0,1] con el propósito de

obtener los valores de las variables de decisión y el valor de la función objetivo

(mayor valor es mejor).

Etapa 2. Cálculo del grado de satisfacción balanceado para la función

objetivo ( )

Para el grado máximo de satisfacción del valor objetivo ( ), el TD deberá de

evaluar dos factores conflictivos: el grado de factibilidad (α) y la búsqueda de un

valor aceptable para la función objetivo ( ). Como resultado de la Etapa 1 del

método interactivo propuesto en esta investigación, se obtiene un conjunto difuso

y el TD tendría que decidir cuál par (α, ) considera óptima si quiere obtener una

solución crisp. Después de conocer la información dada para los diferentes , el

TD deberá especificar una meta y su intervalo de tolerancia G. Por lo que, si

Y≥G, el TD se encontrará totalmente satisfecho, pero si Y G su grado de

satisfacción será totalmente nulo. La meta se expresa por medio de un conjunto

difuso en donde de acuerdo a Jiménez et al. (2007), su función de membresía

se puede expresar como (58).

(Z) = (58)

Entonces, el siguiente paso consistirá en buscar una solución balanceada entre el

grado de factibilidad ( ) y el grado de satisfacción del valor objetivo. Como se

desea tener una decisión crisp, Jiménez et al (2007) proponen calcular un grado

de satisfacción balanceado (ωs ) de la siguiente forma:

90

( ) = (59)

Etapa 3. Definición de indicadores de calidad de despensas especificados

por el tomador de decisiones (TD).

En esta etapa el TD define un grupo de indicadores de calidad de las despensas

configuradas ( ) por el modelo y determina el tipo de valoración de cada

indicador: menor es mejor o mayor es mejor. Para esta investigación fueron

considerados algunos de los siguientes parámetros de calidad en las despensas

que resultan de interés para los BA:

= Porcentaje de verduras y frutas por despensa (mayor es mejor)

= Variedad de alimentos por despensa (mayor es mejor).

= Porcentaje de alimento no-perecedero por despensa (menor es

mejor).

= Días de duración del aporte energético por despensa (mayor es

mejor).

= Costo de recuperación por despensa (menor es mejor).

Etapa 4. Evaluación de indicadores de calidad de despensas ( ) para

solución del modelo en cada corte α ϵ [0,1].

Para resolver el problema, en la Etapa 1, α se estableció paramétricamente para

obtener el valor de la función objetivo para cada una de las α [0,1]. El resultado

es, sin embargo, un conjunto difuso y el planeador tendría que decidir cuál par (α,

Y) considera óptima si quiere obtener una solución crisp.

Cada solución (corte-α) es evaluada para cada indicador de calidad de las

despensas ( ) usando el promedio de la muestra ( ) en cada corte-α con n

datos (número de familias incluidas en el modelo). A continuación en la Figura

3.7, a manera de ejemplo, se presenta el indicador de calidad: porcentaje de

alimento no-perecedero de las despensas ( ) considerando la solución del

91

modelo crisp presentado en la sección 3.6.1 en el corte α=0.2 con n=250 familias.

La media muestral ( ) de este indicador en la solución con α=0.2 es 10.777%

promedio de alimento no-perecedero en las despensas para las 250 despensas

configuradas.

Figura 3.7 Porcentaje de alimento no-perecedero en despensas ( ) con n=250 familias.

Debido a que no todas las muestras (de n familias) en los indicadores de calidad

en despensas ( ) cumplen con el supuesto de normalidad, como una alternativa

de la estimación de la media muestral ( ) en el método propuesto originalmente,

esta investigación incluye la opinión del TD usando la función de probabilidad

acumulativa de una variable aleatoria X para evaluar cada indicador de calidad de

despensas ( ). Esta etapa puede ser modificada como sigue:

Cada solución-α es evaluada para cada indicador ( ) con una prueba de bondad

de ajuste (prueba Anderson-Darling). Una variable aleatoria X (como en la Figura

3.7) es determinada para cada indicador de calidad ( ): , , , y/o

. La probabilidad acumulada para Xo (un valor que puede ser establecido por el

TD) es definido como F( ) = P(X ) para los indicadores de calidad del tipo

92

“menor es mejor”: y , mientras que para los indicadores del tipo “mayor es

mejor” como , y es calculada como 1-F( ) = 1-P(X ).

Etapa 5. Definición de niveles de aspiración y tolerancias para cada

indicador de calidad en despensas ( ).

Después de ver los resultados obtenidos en la etapa previa, el TD deberá

especificar el nivel de aspiración G y su intervalo de tolerancia t para los valores

numéricos obtenidos en cada indicador de calidad de despensas ( ). En el caso

de “menor es mejor”, esto es, en los indicadores de calidad y , el grado de

satisfacción del TD es representado por medio de un conjunto difuso cuya

función de membresía (60) de acuerdo a Jiménez et al. (2007) puede ser

expresada como:

(Z) = (60)

De la misma forma, en el caso de que el indicador de calidad en despensas ( ) es

del tipo “mayor es mejor”, como en , y , el nivel de satisfacción del TD es

expresada por medio de un conjunto difuso cuya función de membresía es (61):

(Z) = (61)

De Peidro et al. (2010), definimos a (i=1,2,3,…,5) como el grado en el cuál son

satisfechos los correspondientes niveles de aspiración de los anteriores

indicadores de calidad en despensas ( ) para un vector de decisión de cada

corte-α.

Etapa 6. Cálculo del grado de satisfacción del desempeño global de los

indicadores de calidad de despensas ( ).

93

Obviamente, al evaluar la solución del modelo en cada corte-α, el TD deseará

obtener un grado máximo de satisfacción en el valor objetivo y en los indicadores

de calidad de las despensas ( ).

Por otro lado, para la búsqueda del vector de decisión que ofrezca la mejor

solución considerando el grado de satisfacción del desempeño global de los

indicadores de calidad de despensas ( ). El TD asigna diferentes pesos

(i=1,2,3,4,5), como en el proceso analítico jerárquico (AHP) para indicar el nivel de

importancia de cada indicador de calidad de despensa ( ) con respecto a todos

los demás. Se obtiene entonces un índice de satisfacción global de indicadores

de calidad de despensas ( ) como (donde ): Φ= = +

+ + + .

Finalmente, el grado de satisfacción del desempeño global en los indicadores de

calidad de despensas ( ) es calculado por el TD a través de la función de

membresía mostrada en (61).

Etapa 7. Búsqueda de una solución balanceada entre el grado de

satisfacción del valor objetivo ( ) y el grado de satisfacción del desempeño

global ( ) en los indicadores de calidad en despensas.

Con el propósito de encontrar una solución balanceada entre el grado de

satisfacción del valor objetivo ( ) y el grado de satisfacción del desempeño global

en los indicadores de calidad de despensas ( ), se obtiene una recomendación

para una decisión final, por medio de un índice de aceptación conjunta (K) con los

dos grados de aceptación mencionados por Peidro et al. (2010):

K= (62)

94

Donde [0,1] es la importancia relativa, asignada por el TD, para el grado de

satisfacción para la función objetivo ( ) en comparación con el grado de

satisfacción global de indicadores de calidad en despensas ).

3.9 Implementación del modelo.

La arquitectura usada para la implementación y resolución del modelo descrito

anteriormente es ilustrada en la Figura 3.8. Todos los experimentos fueron

realizados en una computadora con procesador Intel ® Core 2 Duo con 4.0 GB de

memoria RAM. Los modelos matemáticos propuestos en esta investigación fueron

programados con el software de optimización Lingo 13.0 ®.

Figura 3.8 Diagrama de experimentos computacionales.

95

CAPÍTULO 4. RESULTADOS

4.1 Introducción.

En este capítulo se realiza la validación de los modelos de asignación-empaque

de alimentos determinísticos y difusos propuestos en esta investigación utilizando

la información proporcionada por un BA del occidente de México (ver Anexo 1): se

consideraron datos proporcionados por el BA de los tipos y cantidad de alimentos

donados y las características de las familias atendidas. Una administración

adecuada de una cadena de suministro (CS) involucra diferentes niveles de

decisiones jerárquicas que de acuerdo a Simchi-Levi (2003) se clasifican como:

estratégicas, tácticas y operacionales. En éste contexto, los BA diariamente

toman una decisión de tipo operacional cuando deciden qué alimentos asignar a

cada comunidad.

4.2 Aplicación a un banco de alimentos en México.

La CS objeto de estudio está formada por 3 eslabones: donadores, el BA y las

familias beneficiarias agrupadas en comunidades. Entre las actividades que

realiza el BA se incluyen el acopio de alimentos a granel de diferentes donadores

(Figura 4.1a), la separación del alimento apto para consumo (Figura 4.1b) y su

asignación diaria a granel a un número programado de comunidades en donde la

cantidad de alimento distribuido a cada comunidad depende solamente del

número de familias en cada una de ellas. Cada día, el personal del BA carga los

camiones programados para cada comunidad (Figura 4.1c) y un responsable de

cada una (un líder seleccionado por la comunidad) reparte el alimento a cada

familia. El objetivo del BA es facilitar que las personas con menos oportunidades

puedan alcanzar una mejor calidad de vida a partir de la alimentación recibida.

96

Figura 4.1a Recepción de alimento a

granel en el almacén. Figura 4.1b Separación de alimento

apto para consumo Figura 4.1c Envío de alimento a

granel a comunidades Figura 4.1 Sistema tradicional de manejo-distribución de alimentos a granel en BA de México.

4.3 Suposiciones del modelo.

Nuestros experimentos incluyeron las características nutricionales y dimensionales

de 100 alimentos, éstos forman parte de alguno de los seis tipos de grupos

nutricionales (Figura 4.2) e incluyen alimentos perecederos y no-perecederos

(alimentos con mayor tiempo de vida en anaquel). El número y características de

las familias incluidas en el modelo fueron diferentes en los experimentos

realizados para probar el modelo propuesto en condiciones variadas.

Figura 4.2 Alimentos incluidos en experimentos por grupo nutricional.

En las corridas experimentales se utilizó un =30% (porcentaje mínimo de frutas y

verduras en cada despensas). Otras suposiciones del modelo son: costo de

recuperación de despensa= CRec =$100, peso mínimo de despensa =

kilogramos, peso máximo de despensa = kilogramos, volumen del

contenedor = cm3.

97

4.4 Resultados.

4.4.1 Análisis estadístico comparativo de la solución del modelo

determinístico con objetivos diferentes e incrementando el número de

familias atendidas.

Para evaluar el desempeño del modelo determinístico en condiciones de

operación diferentes se analizó la asignación-empaque de alimento para 50, 100,

250, 500, 750, 1000, 1250 y 1500 familias respectivamente considerando la

información proporcionada por el BA (Figura 4.3) y los alimentos mencionados en

la Figura 4.2. La Figura 4.3 muestra los histogramas con el número de integrantes

por familia considerados en las simulaciones de esta sección.

Figura 4.3 Número de integrantes en familias consideradas para las simulaciones.

Como se aprecia en la Tabla 4.1, el número de variables de decisión y

restricciones consideradas en el modelo presentado en la sección 3.3 se

incrementa conforme aumenta el número de familias incluidas. En ambos casos,

los dos objetivos del modelo presentados en la Tabla 4.1 requieren ser

maximizados.

98

Tabla 4.1 Resumen del número de variables y restricciones en modelos utilizados.

No. Familias Objetivo Objetivo del modelo Variables Enteros Restricciones

1 Alimento perecedero (Kgs) 5,000 3,950 5,401

2 Aporte energético (Kcal) 5,000 3,950 5,401















1000

1250

1500

50

100

250

500

750

Para evaluar el desempeño de éste modelo, en la Tabla 4.2 se analiza el tipo de

solución encontrada, el tiempo de búsqueda de la solución, el contenido

energético total asignado, la cantidad total de alimento perecedero asignado y el

porcentaje promedio de alimento perecedero por despensa. Como se explica en la

sección 3.3.1, el escenario 1 considera un enfoque logístico en el primer objetivo

del modelo mientras que el escenario 2 considera un enfoque nutricional en el

segundo objetivo.

99

Tabla 4.2. Tiempo de solución y valor del objetivo encontrado por escenario de operación.

Escenario Objetivo analizado Tipo de solución

Tiempo de

solución

(segundos)

Iteraciones

Contenido energético

total (kilocalorías)

asignado

Cantidad total de

alimento (kilogramos)

perecedero asignado

Porcentaje promedio de

alimento perecedero

repartido por despensa

1 OBJETIVO 1 Óptima global 2 4,452 1,345,314.79 2,000.00 100.00%

2 OBJETIVO 2 Factible 3600 25,380,654 2,209,923.80 1,724.84 86.53%


Tiempo de

solución

(segundos)

Iteraciones



asignado

Cantidad total de


perecedero asignado


alimento perecedero





Tiempo de

solución

(segundos)

Iteraciones



asignado

Cantidad total de


perecedero asignado


alimento perecedero





Tiempo de

solución

(segundos)

Iteraciones



asignado

Cantidad total de


perecedero asignado


alimento perecedero





Tiempo de

solución

(segundos)

Iteraciones



asignado

Cantidad total de


perecedero asignado


alimento perecedero





Tiempo de

solución

(segundos)

Iteraciones



asignado

Cantidad total de


perecedero asignado


alimento perecedero





Tiempo de

solución

(segundos)

Iteraciones



asignado

Cantidad total de


perecedero asignado


alimento perecedero


1 OBJETIVO 1 Óptima global 63 114376 10,062,921.82 11,326.03 89.30%



Tiempo de

solución

(segundos)

Iteraciones



asignado

Cantidad total de


perecedero asignado


alimento perecedero




ANÁLISIS PARA 1000 FAMILIAS








Para analizar los atributos de las despensas configuradas en cada escenario, en la

Tabla 4.3 se realizó un análisis estadístico comparativo de cada atributo entre

ambos escenarios considerando atributos nutricionales y logísticos para las

despensas definidos por la organización.

100

Tabla 4.3 Atributos para evaluar la calidad de las despensas configuradas. Número de atributo Atributo Unidad Tipo

1 Kilogramos de alimento por despensa Kilogramos Logístico

2 Porcentaje del volumen del contenedor que abarca el alimento Porcentaje Logístico

3 Costo de recuperación por despensa Pesos mexicanos Logístico

4 Variedad de alimentos por despensa Tipos de alimentos Logístico

5 Porcentaje de frutas y verduras por despensa Porcentaje Nutricional

6 Porcentaje de alimento no-perecedero por despensa Porcentaje Nutricional

7 Días de duración del aporte energético por despensa Días Nutricional En ésta investigación se realizó un análisis comparativo de los atributos obtenidos

en las despensas considerando en el modelo de la sección 3.3, la función objetivo

1 (escenario 1) y la función objetivo 2 (escenario 2). La Figura 4.4 muestra un

comparativo del peso por despensa obtenido por el modelo considerando cada

objetivo e incrementando el número de familias en las simulaciones. Los puntos

rojos mostrados en la Figura 4.4 representan los kilogramos de alimento incluidos

en cada despensa por familia al considerar en el modelo de 50 hasta 1500 familias

simultáneamente.

Figura 4.4 Análisis comparativo de kilogramos de alimento por despensa al incrementar el número de familias atendidas.

La prueba de bondad de ajuste chi-cuadrada ( [Banks et al., (2010)] fue

utilizada para probar el supuesto de normalidad de los datos en la comparación de

atributos (Tabla 4.4).

101

Tabla 4.4 Prueba de normalidad para atributo: kilogramos de alimento por despensa.

N 50 100 250 500 750 1000 1250 1500

Objetivo 1 - - < 0.05< 0.05< 0.05< 0.05< 0.05< 0.05

Objetivo 2 - - < 0.05< 0.05< 0.05< 0.05< 0.05< 0.05*** Dado que el Valor-P es menor a 0.05, podemos rechazar la idea que la muestra proviene de

una distribución normal con nivel de confianza del 95%

Familias incluidas en modelo

Debido a que los datos utilizados en el análisis comparativo de los atributos no

cumplieron con el supuesto de normalidad, esta investigación utilizó la prueba

comparativa de medianas de Mann-Whitney (Wilcoxon) para cada atributo (63).

Estas es una prueba no-paramétrica para la igualdad de medianas para dos

poblaciones [Devore, (2001)].

(63)

También se realizó un análisis comparativo de varianzas para probar su igualdad

entre las muestras de cada atributo. Se utilizó la prueba de Levene (64) ya que es

más robusta al supuesto de no-normalidad de los datos.

= (64)

Tabla 4.5 Análisis comparativo de medianas y varianzas entre escenario para kilogramos de alimento por despensa.

50 100 250 500 750 1000 1250 1500

Mann-Whitney (Wilcoxon)** - - < 0.04 < 0.05 < 0.05 < 0.05 < .05 < 0.05

Prueba de Levene*** - - < 0.05 < 0.05 0.963 < 0.05 0.995 < 0.05

** Dado que el Valor-P es menor a 0.05, la mediana de la muestra 1 es estadísticamente menor que

la mediana de la muestra 2 con un nivel de confianza del 95%.

*** Dado que el Valor-P es menor a 0.05, podemos rechazar la idea que las varianzas son estadísticamente

iguales con un nivel de confianza del 95%.

Familias incluidas en modelo

102

La Tabla 4.5 indica que los kilogramos de alimento por despensa (de 50 a 1500

familias) obtenido en cada escenario son estadísticamente diferentes en sus

parámetros de tendencia central (mediana) y el de dispersión (varianza), excepto

para la comparación de varianzas con 750 familias (valor-p=0.963) y 1250 familias

(valor-p=0.995).

En la Figura 4.5 se presenta un análisis comparativo gráfico para el resto de los

atributos mencionados en la Tabla 4.3 al incluir en el modelo cada objetivo. La

medida de tendencia central (mediana) de la muestra es representada con un

círculo.

103

Figura 4.5 Representación del valor del atributo de calidad en despensas.

La Tabla 4.6 presenta un resumen de la validación del supuesto de normalidad

para la comparación de escenarios por cada atributo. Tal como se aprecia en el

análisis, podemos rechazar la idea de que las muestras provienen de una

distribución normal, excepto en el atributo volumen con 50 y 100 familias y con

frutas y verduras considerando 100 familias.

104

Tabla 4.6 Prueba de normalidad por atributos en despensas.

Del análisis realizado en la Tabla 4.6, debido a que los datos utilizados en el

análisis no se ajustan a una distribución normal, se realizó un análisis estadístico

no-paramétrico comparativo entre escenarios para el resto de los atributos en

despensas mostrados en la Tabla 4.3. Como también se observa en las Figuras

4.6 y 4.7, el valor-p 0.05 en el análisis no-paramétrico comparativo de medianas

y varianzas (Tabla 4.7) permite concluir que las características de las despensas

configuradas con el modelo para cada atributo son estadísticamente diferentes

entre escenarios para la mayoría de atributos.

105

Tabla 4.7 Análisis comparativo de medianas y varianzas por atributos.

La Figura 4.6 presenta un análisis comparativo que resume el valor obtenido de

cada atributo considerando cada escenario propuesto y el número de familias

utilizado en las simulaciones. Debido a que la mayoría de los datos analizados no

cumplen con el supuesto de normalidad, se prefirió el uso de la mediana sobre la

media como parámetro de tendencia central.

106

Figura 4.6 Análisis comparativo de tendencia central (medianas) para cada atributo de despensa

evaluada por objetivo.

Por otro lado, la Figura 4.7 muestra un análisis comparativo de la dispersión

(desviación estándar) de las despensas por atributo cuando se incrementa el

número de familias en el modelo para cada escenario de operación.

107

Figura 4.7 Análisis comparativo de dispersión (desviación estándar) para cada atributo de

despensa evaluada por objetivo.

En el análisis de la Tabla 4.2, se observa que en el escenario 1 se obtienen

soluciones óptimas en un menor tiempo excepto para 1000 y 1500 familias, sin

embargo, ésta decisión implica que el porcentaje de alimentos perecedero sea

mayor al considerar un menor número de familias aunque éste porcentaje empieza

108

a acercarse a los resultados del escenario 2 conforme se incrementan las familias.

Bajo el escenario 1, el modelo genera asignaciones con menor cantidad de

contenido energético que en el escenario 2. Del análisis también se aprecia que

los kilogramos de alimento perecedero asignado son similares en ambos

escenarios a partir de 250 familias aunque el porcentaje promedio de alimento

perecedero repartido por despensa es mayor con el escenario 1, por lo que se

concluye que se asigna más kilogramos de alimento (perecedero y no-perecedero)

con el escenario 2.

A pesar del incremento del número de variables de decisión y restricciones en el

modelo (presentados en la Tabla 4.1), la Tabla 4.2 nos indica que el tiempo de

solución en ambos escenarios es adecuado. Por otro lado, el análisis realizado

nos arrojó que a partir de 500 familias se requiere eliminar del modelo la

restricción de peso mínimo en la despensa (ecuación 5) para obtener soluciones

factibles, a pesar de esto, el análisis de la Figura 4.4 nos indica que siguen

configurándose despensas con más de 30 kilogramos hasta con 1000 familias.

Tal como se observa en la Figura 4.5, en los atributos porcentaje de frutas y

verduras por despensa (atributo # 5) y de porcentaje de alimento no-perecedero

por despensa (atributo #6) existe una tendencia incremental (en tendencia central)

en ambos escenarios analizados conforme se aumenta el número de familias

incluidas en el modelo, mientras que en el resto se observa una tendencia

negativa conforme se incrementan las familias.

Algunos puntos a resaltar del análisis de la Figuras 4.5 y 4.6, son:

o Aunque el peso de las despensas tiende a disminuir en su medida de

tendencia central (mediana) conforme se incrementa el número de familias,

también se aprecia que la medida de dispersión (desviación estándar)

aumenta a partir de 100 familias por lo que se obtiene una mayor dispersión

en éste atributo con el escenario 1.

109

o Se observa que aunque la mediana del volumen por despensa disminuye

conforme aumenta el número de familias, el modelo configura despensas

con mayor dispersión en éste atributo, es decir, se obtienen despensas más

heterogéneas, presentando una mayor dispersión en el escenario 1 a partir

de 250 familias.

o El costo por despensa tiende a disminuir y esto se debe principalmente a

que se incluyen menos alimento por despensa con más familias, aunque la

Tabla 4.7 indica que la varianza observada entre escenarios es

estadísticamente igual para 250, 500 y 1250 familias.

o La variedad de alimento por despensa también tiende a disminuir con más

familias, aunque se aprecia un ligero incremento con 1250 familias.

o En los dos escenarios de operación, el porcentaje de frutas y verduras

incluidas en cada despensa se incrementa en su medida de tendencia

central (mediana) y de dispersión (desviación estándar) conforme se

incrementa el número de familias. Resalta el hecho que estadísticamente

son iguales las medidas de medianas y varianzas para 250, 500,750 y 1500

familias.

o Se observa una mayor dispersión en el atributo porcentaje de producto no-

perecedero cuando se incrementa el número de familias, principalmente en

el objetivo 2, aunque el análisis de dispersión nos arroja que el objetivo 1

configura despensas más heterogéneas.

o En los días de duración por despensa calculados a partir de los

requerimientos nutricionales por familia, el valor de tendencia central

(mediana) tiende a disminuir en ambos escenarios conforme se incrementa

el número de familias en el modelo, además que la medida de dispersión

(desviación estándar) del atributo también se reduce. Es decir, se

configuran despensas con un menor contenido energético y despensas más

homogéneas entre sí cuando se incrementa el número de familias.

El análisis estadístico de medianas y varianzas realizado en las Tablas 4.5 y 4.7 y

el análisis de tendencia central y dispersión de las Figuras 4.6 y 4.7 nos permiten

mostrar en la Tabla 4.8 las preferencias de escenarios por atributo. Los resultados

110

obtenidos indican que es mejor el escenario 2 en la mayoría de los atributos

definidos en el estudio.

Tabla 4.8 Preferencia de escenario por atributo. NÚMERO DE ATRIBUTO ATRIBUTO TIPO MODELO ESCENARIO

1 Kilogramos de alimento por despensa Logístico Objetivo 2 2

2 Porcentaje del volumen del contenedor que abarca el alimento Logístico Objetivo 2 2

3 Costo de recuperación por despensa Logístico Objetivo 1 1

4 Variedad de alimentos por despensa Logístico Objetivo 2 2

5 Porcentaje de frutas y verduras por despensa Nutricional Objetivo 1 o 2 1 o 2

6 Porcentaje de alimento no-perecedero por despensa Nutricional Objetivo 1 1

7 Días de duración del aporte energético por despensa Nutricional Objetivo 2 2

Finalmente, en la Figura 4.8 se resumen algunas de las características de las

despensas para 10 familias seleccionadas aleatoriamente en la solución del

modelo con el escenario 2 (objetivo 2) y considerando 250 familias.

111

Figura 4.8 Ejemplo de características nutricionales y dimensionales de despensas

configuradas en escenario 2 con 250 familias.

4.4.2 Análisis de la solución del modelo difuso de asignación-empaque

mono-objetivo.

Como resultado del análisis de la sección anterior se concluyó que utilizar el

objetivo 2 (enfoque nutricional) en el modelo de asignación-empaque de alimentos

permite obtener mejores resultados en los atributos de las despensas

configuradas. Por esta razón, la validación del modelo difuso mono-objetivo

presentado en la sección 3.4 fue realizada utilizando el objetivo 2 (enfoque

nutricional) que consiste en maximizar el aporte energético en las despensas

configuradas.


transformación propuesta por Jiménez y Peidro.

En esta sección se compara los resultados obtenidos con el modelo difuso

utilizando la transformación presentada en la sección 3.6.1 contra el modelo

determinístico de la sección 3.3. Se busca analizar las posibles mejoras que

ofrece el modelo difuso el cuál incorpora las incertidumbres presentes en una CS

de BA.

Para las simulaciones de esta sección los números difusos triangulares (Figura

3.4) fueron definidos por el TD como porcentajes de desviación en el valor crisp.

Estos porcentajes varían de 3% a 20% dependiendo del parámetro a ser

112

evaluado. Los alimentos considerados en este modelo se describen con detalle en

la Tabla 4.9, mientras que las características de las familias incluidas en las

simulaciones se observan en la Figura 4.9.

Tabla 4.9 Tipos de alimentos incluidos en los modelos difusos.

GRUPO

NUTRICIONALUNIDAD DE MEDIDA EJEMPLO DE ALIMENTOS

TIPO DE

ALIMENTOPARÁMETROS DIFUSOS

Kilogramos Chile caloro, verdolagas, champiñones, etc. 12 Aporte energético por kilogramo, volumen por kilogramo

Piezas determinísticas Frijoles empacados en bolsa, latería (chícaros con zanahoria), etc. 5

Piezas fuzzy Camote, papa, chayote, brocoli, etc. 17 Peso por pieza, volumen por pieza, aporte energético por pieza

Kilogramos Limón, lima 2 Aporte energético por kilogramo, volumen por kilogramo

Piezas determinísticas Jugos enlatados o embotellados, frutas enlatadas 4

Piezas fuzzy Papaya, manzana, piña, mango, mandarina 11 Peso por pieza, volumen por pieza, aporte energético por pieza

Kilogramos Arroz, avena 2 Aporte energético por kilogramo, volumen por kilogramo

Piezas determinísticas Pasta para sopa empacada, pan de caja, cereal empaquetado, etc 14

Kilogramos Requesón 1 Aporte energético por kilogramo, volumen por kilogramo

Piezas determinísticas Producto empaquetado/embotellado: crema, natilla, leche, arroz con leche 24

Kilogramos Huevo, pollo 2 Aporte energético por kilogramo, volumen por kilogramo

Piezas determinísticas Producto empaquetado/enlatado: atún, salchicha 2

Kilogramos Mantequilla, manteca 2 Aporte energético por kilogramo, volumen por kilogramo

Piezas determinísticas Producto embotellado/empacado: aceite, mantequilla 2

TOTAL: 100

Verduras

Frutas

Granos

Lácteos

Carnes

Aceites

Familias

Fre

qu

en

cy

108642

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Familias incluidas en experimentosNúmero de integrantes por familia

Figura 4.9 Características de familias incluidas en experimentos del modelo difuso utilizando la

transformación de Jiménez (2007).

La Tabla 4.10 muestra la eficiencia computacional del modelo determinístico y el

modelo difuso propuesto. El análisis indica que el número de variables de

decisión y restricciones es el mismo, ya que una de las ventajas del método

propuesto por Jiménez (2007) radica en no incrementar el número de variables o

restricciones en el modelo difuso. El tiempo de solución e interacciones se

incrementa de 78 a 246.27 segundos en promedio con el modelo difuso y esto

puede ser debido a que según Bilgen (2010) en los solvers estándar para

problemas de PLEM, el tiempo CPU depende fuertemente del número de

conjuntos de datos individuales empleados en el modelado.

113

Tabla 4.10 Eficiencia de los experimentos computacionales. Modelo Iteraciones Variables de decisión Entero Restricciones Tiempo CPU (segundos)

Determininístico 71,192 25,000 19,750 26,601 78

Fuzzya 80,642 25,000 19,750 26,601 246.27a Resultado promedio para los diferentes modelo generados con varios grados de factibilidad, α ϵ [0,1]

En la Tabla 4.11, se muestra la variación en las kilocalorías (Kcal.) asignadas por

el modelo difuso para cada corte- , estos resultados se comparan con el resultado

obtenido por el modelo determinístico.

Tabla 4.11 Variación de la asignación de kilocalorías de alimento realizada por el modelo difuso

para cada utilizando la transformación de Jiménez (2007).

Grado de factibilidad, αY = Valor objetivo

(Kilocalorías)

0 6,985,866.30

0.1 6,985,721.47

0.2 6,985,683.05

0.3 6,985,562.61

0.4 6,985,748.75

0.5 6,986,025.25

0.6 6,985,919.54

0.7 6,985,876.03

0.8 6,985,929.58

0.9 6,986,030.47

1 6,986,029.87

Modelo determinístico 6,986,031.00

Como se observa en la tabla anterior, si el tomador de decisiones (TD) desea

obtener la mejor solución de acuerdo al valor de la función objetivo deberá de

seleccionar la solución con α=0.9.

Sin embargo, tres parámetros de calidad en despensas han sido considerados

claves por el TD para incluirlos en la evaluación de resultados del modelo:

=porcentaje promedio de verduras y frutas (mayor es mejor), =variedad

promedio de alimentos (mayor es mejor), =porcentaje promedio de alimento no-

perecedero (menor es mejor); todos los indicadores son considerados por familia-

114

contenedor. Por lo tanto, la Tabla 4.12 nos muestra las mejores soluciones

considerando el valor de la función objetivo y los tres indicadores de calidad

anteriormente mencionados.

Tabla 4.12 Análisis comparativo de las mejores soluciones (corte-α) de acuerdo al indicador de

preferencia del tomador de decisiones.


(Kilocalorías)β1 (%) β2 β3 (%)

0 6,985,866.30 77.6185% 20.87 10.1566%

0.1 6,985,721.47 77.7132% 20.98 10.1906%

0.2 6,985,683.05 77.5229% 20.73 10.1968%

0.3 6,985,562.61 77.5780% 20.82 10.1436%

0.4 6,985,748.75 77.6053% 20.84 10.0956%

0.5 6,986,025.25 77.3687% 20.69 10.0404%

0.6 6,985,919.54 77.4969% 20.79 10.0830%

0.7 6,985,876.03 77.4640% 20.74 10.0355%

0.8 6,985,929.58 77.4323% 20.74 10.1032%

0.9 6,986,030.47 77.2167% 21.22 10.1454%

1 6,986,029.87 77.1167% 21.12 10.1529%

Modelo determinístico 6,986,031.00 77.5683% 20.95 10.1125%

En el análisis anterior se observa que, si el TD prefiere seleccionar la solución-α que le

permita obtener el mayor valor objetivo, entonces deberá de seleccionar el corte α=0.9.

Sin embargo, si se prefiere la solución que ofrezca el mayor porcentaje de frutas y

verduras en las despensas ( ) deberá seleccionar la solución α=0.1, pero si el TD le da

preferencia a la variedad de alimento en las despensas ( ) la mejor solución se

encuentra en el corte α=0.9 y finalmente la solución con α=0.2 se deberá elegir cuando el

decisor tiene como preferencia el porcentaje de alimento no perecedero en las despensas

( ). Estos resultados representan una conclusión particular tomando en cuenta los

alimentos considerados en la Tabla 4.9 y el número y características de las familias

mostradas en la Figura 4.9.


transformación propuesta por Cadenas y Verdegay.

115

Para la validación del modelo matemático mostrado en la sección 3.6.2 fueron

consideradas 250 familias con las características mostradas en la Figura 4.10 y los

100 tipos de alimentos que se muestran en la Tabla 4.9.

0

2

4

6

8

10

12

FA

MIL

IA 1

FA

MIL

IA 5

FA

MIL

IA 9

FA

MIL

IA 1

3

FA

MIL

IA 1

7

FA

MIL

IA 2

1

FA

MIL

IA 2

5

FA

MIL

IA 2

9

FA

MIL

IA 3

3

FA

MIL

IA 3

7

FA

MIL

IA 4

1

FA

MIL

IA 4

5

FA

MIL

IA 4

9

FA

MIL

IA 5

3

FA

MIL

IA 5

7

FA

MIL

IA 6

1

FA

MIL

IA 6

5

FA

MIL

IA 6

9

FA

MIL

IA 7

3

FA

MIL

IA 7

7

FA

MIL

IA 8

1

FA

MIL

IA 8

5

FA

MIL

IA 8

9

FA

MIL

IA 9

3

FA

MIL

IA 9

7

FA

MIL

IA 1

01

FA

MIL

IA 1

05

FA

MIL

IA 1

09

FA

MIL

IA 1

13

FA

MIL

IA 1

17

FA

MIL

IA 1

21

FA

MIL

IA 1

25

FA

MIL

IA 1

29

FA

MIL

IA 1

33

FA

MIL

IA 1

37

FA

MIL

IA 1

41

FA

MIL

IA 1

45

FA

MIL

IA 1

49

FA

MIL

IA 1

53

FA

MIL

IA 1

57

FA

MIL

IA 1

61

FA

MIL

IA 1

65

FA

MIL

IA 1

69

FA

MIL

IA 1

73

FA

MIL

IA 1

77

FA

MIL

IA 1

81

FA

MIL

IA 1

85

FA

MIL

IA 1

89

FA

MIL

IA 1

93

FA

MIL

IA 1

97

FA

MIL

IA 2

01

FA

MIL

IA 2

05

FA

MIL

IA 2

09

FA

MIL

IA 2

13

FA

MIL

IA 2

17

FA

MIL

IA 2

21

FA

MIL

IA 2

25

FA

MIL

IA 2

29

FA

MIL

IA 2

33

FA

MIL

IA 2

37

FA

MIL

IA 2

41

FA

MIL

IA 2

45

FA

MIL

IA 2

49

Nú

me

ro

de

pe

rso

na

sp

or f

am

ilia

Familia atendida

Figura 4.10 Características de familias incluidas en modelo difuso utilizando la transformación de

Cadenas y Verdegay (1997).

Números difusos triangulares (Figura 3.5) fueron definidos por el tomador de

decisiones (TD) como porcentajes de desviación del valor crisp. Estos porcentajes

variaron del 2 al 8% dependiendo del parámetro del modelo a ser evaluado. La

Tabla 4.13 muestra la eficiencia computacional del modelo determinístico y el

modelo difuso propuesto en la sección 3.6.2.

Tabla 4.13 Eficiencia de experimentos computacionales.

Determinístico Difuso

Variables 25,000 25,000

Restricciones 26,601 26,601

Iteraciones* 71,192 11,004,339

Enteros 19,750 19,750

Tiempo solución (seg.) 78 3,600

* resultados promedio con diferentes grados de factibilidad, α ϵ [0,1]

Para los experimentos de esta sección, cuatro indicadores de desempeño en las

despensas fueron establecidos por la organización para encontrar la mejor

solución del modelo difuso: = variedad de alimento por despensa (mayor es

mejor), = porcentaje de alimento no-perecedero por despensa (menor es mejor),

116

= días de duración de aporte energético de despensa (mayor es mejor) y =

costo de recuperación por despensa (menor es mejor).

A continuación se comparan los resultados obtenidos con el modelo difuso y el

modelo determinístico. Por medio del análisis se desea presentar las mejoras que

ofrece el modelo difuso que incorpora la incertidumbre presente en el proceso de

asignación de alimentos a familias en el BA. La Tabla 4.14 presenta la variación

en las kilocalorías (Kcal.) asignadas por el modelo determinístico y se comparan

con los resultados obtenidos por el modelo difuso en cada corte-α. El análisis

también compara los valores promedio obtenidos en los indicadores de calidad

para despensas establecidos por la organización.

Tabla 4.14 Análisis comparativo de resultados obtenidos del modelo determinístico contra el modelo difuso utilizando la transformación de Cadenas y Verdegay (1997).

MODELO

VALOR

OBJETIVO

(Kcal.)

6,986,030.77 20.948 10.113% 3.739 74.557$

0 6,773,339.75 21.024 10.849% 3.688 73.633$

0.1 6,775,591.08 21.068 10.830% 3.679 73.536$

0.2 6,773,254.50 21.072 10.777% 3.685 73.897$

0.3 6,777,085.71 21.100 10.990% 3.678 73.816$

0.4 6,759,082.70 21.428 10.931% 3.667 73.795$

0.5 6,763,966.00 21.240 11.010% 3.674 73.433$

0.6 6,764,318.99 21.236 10.985% 3.665 73.476$

0.7 6,755,475.12 21.076 10.914% 3.660 73.357$

0.8 6,781,798.99 21.296 10.787% 3.679 73.682$

0.9 6,762,299.69 21.464 10.734% 3.672 73.419$

1 6,765,082.28 21.492 10.704% 3.665 73.657$

Dif

uso

(co

rte-α)

Determinístico

Los resultados de la Tabla 4.13 y 4.14 indican que con el modelo determinístico es

posible obtener una mejor solución en el valor objetivo con un menor tiempo de

solución. Sin embargo, también se aprecia que la variedad promedio de alimentos

en despensa ( ) es mayor con el modelo difuso. El porcentaje de alimento no-

perecedero ( ) en promedio es menor en el modelo determinístico que en el

difuso. El indicador que representa los días de duración promedio de aporte

energético de la despensa en cada familia es mayor en el modelo determinístico

117

que en el difuso y esto se debe a que es mayor la cantidad de kilocalorías

asignadas con el modelo determinístico. Los resultados también muestran que el

costo de recuperación promedio de la despensa ( ) es menor en el modelo difuso

que en el modelo determinístico. El modelo difuso incorpora la incertidumbre en

algunos parámetros de los modelos al considerar la variabilidad que existe en las

dimensiones (peso, volumen, aporte energético) de algunos alimentos donados al

BA. Con el modelo propuesto, el TD tiene la opción de modificar estos parámetros

difusos de acuerdo a las características de los productos donados en el día. En los

resultados obtenidos en cada corte-α del modelo difuso se observa que la mejor

solución del modelo (corte- ) es diferente dependiendo del indicador que le

interese evaluar al TD (Tabla 4.14), es decir: la mejor solución si el TD prefiere

maximizar el valor de la función objetivo será en α=0.8, se deberá seleccionar la

solución en α=1.0 si la preferencia radica en la variedad de alimento en la

despensa al igual que en el porcentaje de alimento no-perecedero, para el

indicador la mejor solución se da en el corte α=0.0 y para la solución

seleccionada deberá ser en α=0.7. Los resultados presentados anteriormente

representan una conclusión particular tomando en cuenta los alimentos

considerados en la Tabla 4.9 y el número y características de las familias

mostradas en la Figura 4.10.

4.4.3 Análisis comparativo de la solución del modelo de asignación-empaque

bi-objetivo versus un modelo mono-objetivo.

En ésta sección de este trabajo de investigación, en la Tabla 4.15 se muestran

siete escenarios de operación que fueron analizados y comparados para el

modelo de asignación-empaque de despensas personalizadas propuesto en la

sección 3.3 y 3.4. La descripción de cada escenario se muestra a continuación.

118

Tabla 4.15 Escenarios evaluados en el modelo de asignación-empaque de despensas personalizadas.

TIPO DE MODELO OBJETIVO TÉCNICA UTILIZADA ENFOQUE DEL MODELO ESCENARIO

Mono-objetivo Maximizar Z1 Programación Lineal-Entera Mixta (PLEM) Logístico E1

Mono-objetivo Maximizar Z2 Programación Lineal-Entera Mixta (PLEM) Nutricional E2

Bi-objetivo Maximizar Z1, Z2 PLEM con programación compromiso, L1 Logístico - Nutricional E3

Bi-objetivo Maximizar Z1, Z2 PLEM con programación compromiso, Lα Logístico - Nutricional E4

Mono-objetivo Maximizar Z2 PLEM-Difusa Nutricional E5

Bi-objetivo Maximizar Z1, Z2 PLEM-Difusa con programación compromiso, L1 Logístico - Nutricional E6

Bi-objetivo Maximizar Z1, Z2 PLEM-Difusa con programación compromiso, Lα Logístico - Nutricional E7

Para la validación de los modelos presentados, en ésta sección fueron

considerados los tipos de alimentos que se describen en la Tabla 4.9. Además, en

la Figura 4.11 se muestran también las características de las 100 familias incluidas

en los experimentos de nuestro análisis.

Integrantes

Fre

qu

en

cy

108642

40

30

20

10

0

Familias incluidas en experimentosNúmero de integrantes por familia

47.31%

52.69%

44.00% 46.00% 48.00% 50.00% 52.00% 54.00%

NIÑOS

ADULTOS

Figura 4.11 Características de familias incluidas en experimentos.

Para el análisis de los resultados en el modelo bi-objetivo determinístico fueron

calculadas con la ecuación (31) las soluciones y ya que son las soluciones

compromiso más comúnmente obtenidas según [Arenas (2005)], mientras que

para la solución del modelo difuso bi-objetivo, las soluciones y fueron

calculadas con las ecuaciones (37) y (39) respectivamente.

119

En primera instancia, en la Tabla 4.16 se calculan los elementos de la matriz de

pago para el modelo bi-objetivo determinístico (Escenarios E3 y E4). Esta matriz

es el resultado de optimizar cada objetivo ( =maximizar asignación de alimento

perecedero (kilogramos), = maximizar asignación de kilocalorías) de forma

separada, asignando al otro objetivo el valor correspondiente para la solución

óptima del primero.

Tabla 4.16 Matriz de pago resultante del modelo determinístico.

Max (Kgs)

Max (Kcal.)

2,503,399.473

De esta forma, es obtenida una matriz cuadrada en la que se refleja el nivel de

conflicto existente entre objetivos. Los elementos de la diagonal principal (en

negrita) se denominan punto ideal. Ya que el punto ideal es inalcanzable como se

observa en la Figura 4.12, resulta útil determinar la solución más apropiada que

sea factible entre un conjunto de soluciones eficientes. El método de las

restricciones fue utilizado para generar el conjunto eficiente de la Figura 4.12, este

método consiste en optimizar uno de los objetivos y el resto de los objetivos se

incorporan al resto de las restricciones. El conjunto compromiso ( - ) fue

calculado utilizando la ecuación (31) utilizando el valor de p=1 y p=α. Dado que

representan las preferencias del decisor respecto a la divergencia existente entre

cada valor objetivo y su ideal, para este análisis fue asumida la misma preferencia

del decisor para cada objetivo, es decir, = 0.5 y = 0.5.

120

Figura 4.12 Conjunto de soluciones eficientes y conjunto compromiso para pesos iguales

( de los objetivos con modelo determinístico.

De la misma forma, en la Tabla 4.17 se obtiene la matriz de pago para el modelo

bi-objetivo difuso (Escenarios E6 y E7). El punto ideal se aprecia en la Figura 4.13.

El conjunto compromiso ( - ) del modelo para el corte =0.7 (definido

previamente por el TD) es obtenido del conjunto de soluciones eficientes mostrado

en Figura 4.13.

Tabla 4.17 Matriz de pago resultante del modelo bi-objetivo difuso.

Max (Kgs)

Max (Kcal.)

2,587,355.07

121

Figura 4.13. Conjunto de soluciones eficientes y conjunto compromiso para pesos iguales

( de los objetivos con modelo difuso en el corte =0.7.

En la Tabla 4.18 se muestra la eficiencia computacional de los modelos

determinístico (mono-objetivo, bi-objetivo) y de los modelos difusos (mono-

objetivo, bi-objetivo) considerados en esta investigación. Además, se presentan

los valores obtenidos en las funciones objetivo ( ) para cada escenario

evaluado.

Tabla 4.18 Eficiencia de los experimentos computacionales entre modelos mono-objetivo y bi-objetivo.

Max Z1 Max Z2 L1 (W1=0.5, W2=0.5) Lα (W1=0.5, W2=0.5)

Escenario E1 E2 E3 E4

Z1 (kilogramos) 4,000 3,537.58 3,673.33 3,802.53

Z2 (Kilocalorías) 2,503,399.47 3,888,819.37 3,695,489.77 3,297,253.39

Tiempo CPU (segundos) 4 69 544 1,800

Iteraciones 6,976 135,831 624,238 2,588,934

MONO-OBJETIVO BI-OBJETIVO

DETERMINÍSTICO DETERMINÍSTICO

122

MONO-OBJETIVO

FUZZY, α=0.7

Max Z2 L1 (W1=0.5, W2=0.5) Lα (W1=0.5, W2=0.5)

Escenario E5 E6 E7

Z1 (kilogramos) 3,493.44 3,631.14 3,752.93

Z2 (Kilocalorías) 3,879,978.44 3,684,576.26 3,309,475.15

Tiempo CPU (segundos) 1,800 803 1,800

Iteraciones 1,221,419 2,678,095 740,364

BI-OBJETIVO

FUZZY, α=0.7

Del análisis anterior se aprecia que la mejor solución para maximizar los

kilogramos de alimento perecedero asignado es el escenario E1, mientras que si

se desea maximizar la cantidad de aporte energético (kilocalorías) asignado, el

mejor escenario es E2. Cuando se consideran ambos enfoques (logístico y

nutricional) las mejores soluciones la brindan el escenario E3 y E5. En los

resultados también se aprecia que el tiempo de solución de cada escenario es

adecuado, aunque el escenario E1 y E2 generan mejores resultados en este

rubro. Los resultados presentados anteriormente representan una conclusión

particular tomando en cuenta los alimentos considerados en la Tabla 4.9 y el

número y características de las familias mostradas en la Figura 4.11 y en el caso

de la solución del modelo difuso utilizando el corte-α = 0.7.

Para analizar los atributos de las despensas configuradas en cada escenario, en la

Tabla 4.19 se realiza un análisis estadístico comparativo entre los diferentes

escenarios considerando los atributos nutricionales y logísticos mostrados

anteriormente en la Tabla 4.3.

123

Tabla 4.19 Atributos logísticos y nutricionales promedio en despensas configuradas por escenario evaluado.

Max Z1 Max Z2 L1(W1=0.5, W2=0.5) Lα(W1=0.5, W2=0.5)

Atributo \ Escenario (n=250 despensas) E1 E2 E3 E4

Kilogramos de alimento promedio por despensa 40 40 40 40

Porcentaje promedio de frutas y verduras por despensa 73.60% 66.34% 69.73% 69.76%

Porcentaje promedio del volumen del contenedor que abarca el alimento 62.18% 60.36% 61.22% 60.90%

Costo promedio de recuperación por despensa $58.12 $98.49 $93.47 $79.96

Variedad promedio de alimento por despensa 24.20 24.91 24.33 23.94

Porcentaje promedio de alimento no-perecedero por despensa 0.00% 11.56% 8.17% 4.94%

Días promedio de duración del aporte energético por despensa 3.27 5.03 4.79 4.22

MONO-OBJETIVO

DETERMINÍSTICO

BI-OBJETIVO

DETERMINÍSTICO

MONO-OBJETIVO

FUZZYMax Z2 L1(W1=0.5, W2=0.5) Lα(W1=0.5, W2=0.5)

Atributo \ Escenario (n=250 despensas) E5 E6 E7

Kilogramos de alimento promedio por despensa 39.56 39.58 39.58

Porcentaje promedio de frutas y verduras por despensa 65.97% 69.42% 69.43%

Porcentaje promedio del volumen del contenedor que abarca el alimento 59.47% 60.73% 60.44%

Costo promedio de recuperación por despensa $98.05 $93.05 $80.45

Variedad promedio de alimento por despensa 24.63 23.44 23.24

Porcentaje promedio de alimento no-perecedero por despensa 11.69% 8.25% 5.17%

Días promedio de duración del aporte energético por despensa 5.04 4.76 4.29

BI-OBJETIVO

FUZZY

Del análisis previo, se aprecia que en los escenarios E1, E2, E3 y E4 se

configuran las despensas con una mayor cantidad (kilogramos) de alimento. Un

mayor porcentaje de fruta y verdura por despensa se obtienen en el escenario E1

y E4. También resalta el hecho que el E1 configura las despensas con un mayor

volumen de alimento por contenedor, con un menor costo promedio de

recuperación y con una buena variedad (tipos) de alimento por despensa. Sin

embargo, la desventaja principal del escenario E1 radica en que las despensas

configuradas no contienen alimento no-perecedero, ya que es en el escenario E2 y

E5 donde se incrementa el porcentaje promedio de alimento no-perecedero por

despensa. Finalmente, cabe destacar que los días promedio de duración más

altos del aporte energético que brindan las despensas se logran en los escenarios

E2 y E5, los días que va a durar la despensa son calculados a partir del aporte

energético de cada despensa y del consumo diario de las familias. En la Figura

4.14 se realiza un análisis gráfico comparativo de la medida de tendencia central

(media) y dispersión de las despensas configuradas en cada escenario propuesto.

Resalta el hecho, de que en E1 se obtienen despensas a un menor costo de

124

recuperación y esto se debe principalmente a que el costo del alimento no-

perecedero es mayor debido a que este en muchos casos no es donado y es

necesario comprarlo a un costo especial. Los resultados presentados

anteriormente representan una conclusión particular tomando en cuenta los

alimentos considerados en la Tabla 4.9 y el número y características de las

familias mostradas en la Figura 4.11 y en el caso de la solución del modelo difuso

utilizando el corte-α = 0.7.

125

Figura 4.14 Análisis descriptivo de atributos logísticos y nutricionales en despensas configuradas

por escenario (n=250 despensas personalizadas).

En la Figura 4.15 se muestran los atributos nutricionales y logísticos obtenidos en

las despensas configuradas para diez familias seleccionadas aleatoriamente; el

análisis compara estos atributos para cada escenario evaluado en esta sección de

la investigación.

126

Figura 4.15 Análisis comparativo entre escenario-familia por atributo nutricional o logístico.

4.4.4 Validación del método interactivo para la toma de decisiones en bancos

de alimentos.

El propósito del análisis presentado en esta sección fue validar el método

interactivo propuesto en la sección 3.7 para el modelo presentado en las

ecuaciones (13)-(28). A continuación, se presentan los resultados obtenidos en

diferentes simulaciones.

4.4.4.1 Método interactivo al utilizar la transformación propuesta por Jiménez

y Peidro.

De los resultados obtenidos en la Tabla 4.12, si el TD en el BA desea encontrar

una solución balanceada (K) entre el grado de satisfacción del valor objetivo ( ) y

el grado de satisfacción del desempeño global en los indicadores de calidad en

despensas ( ), entonces:

127

Basado en (58) y la Figura 4.16, el TD especifica un nivel de aspiración G

(G=6,985,929.58 Kcal.) y su umbral de tolerancia t (G-t=6,985,866.0 Kcal.) para

calcular = . Los resultados obtenidos se presentan en la Tabla

4.20.

Figura 4.16 Nivel de aspiración del tomador de decisiones.

Tabla 4.20 Grado de satisfacción del TD en el cumplimiento de valor objetivo y .

Grado de factibilidad,

αY (valor objetivo)

Grado de

aceptación (α),

ωα

0 6,985,866.30 0.0048 0.0000

0.1 6,985,721.47 0.0000 0.0000

0.2 6,985,683.05 0.0000 0.0000

0.3 6,985,562.61 0.0000 0.0000

0.4 6,985,748.75 0.0000 0.0000

0.5 6,986,025.25 1.0000 0.5000

0.6 6,985,919.54 0.8421 0.5053

0.7 6,985,876.03 0.1578 0.1105

0.8 6,985,929.58 1.0000 0.8000

0.9 6,986,030.47 1.0000 0.9000

1 6,986,029.87 1.0000 1.0000

Por otro lado, el peso es definido por el TD para cada indicador de calidad en

despensas ( ). Con la intención de obtener el grado de satisfacción Φ, los

siguientes pesos ( ) han sido asignados por el TD:

= = 0.2 +0.5 +0.3

Los grados de satisfacción ( fueron calculados acorde a (61) para (G=77.7%,

G-t=77.1%) y (G=21.224, G-t=20.688), y (60) es usado para (G=10.0%, G +

t=10.2%) y pueden ser establecidos por el TD. Por lo que, la Tabla 4.21 resume el

valor de Φ para cada grado de factibilidad .

128

Tabla 4.21 Análisis comparativo de resultados por despensa-familia-contenedor.

0.2 0.5 0.3


(Kilocalorías)β1 (%) β2 β3 (%) λ2 λ5 λ6 Φ

0 6,985,866.30 77.6185% 20.87 10.1566% 0.8411 0.3358 0.2491 0.4109

0.1 6,985,721.47 77.7132% 20.98 10.1906% 1.0000 0.5373 0.0384 0.4802

0.2 6,985,683.05 77.5229% 20.73 10.1968% 0.6810 0.0821 0.0000 0.1772

0.3 6,985,562.61 77.5780% 20.82 10.1436% 0.7732 0.2463 0.3296 0.3767

0.4 6,985,748.75 77.6053% 20.84 10.0956% 0.8192 0.2836 0.6277 0.4939

0.5 6,986,025.25 77.3687% 20.69 10.0404% 0.4224 0.0000 0.9696 0.3754

0.6 6,985,919.54 77.4969% 20.79 10.0830% 0.6373 0.1866 0.7057 0.4325

0.7 6,985,876.03 77.4640% 20.74 10.0355% 0.5822 0.0970 1.0000 0.4650

0.8 6,985,929.58 77.4323% 20.74 10.1032% 0.5291 0.0896 0.5803 0.3247

0.9 6,986,030.47 77.2167% 21.22 10.1454% 0.1676 1.0000 0.3186 0.6291

1 6,986,029.87 77.1167% 21.12 10.1529% 0.0000 0.8060 0.2721 0.4846

Wi

Finalmente, es calculado el grado de satisfacción de la aceptación, , basado en

un conjunto difuso en la que su función de membresía (61) representa el grado de

aceptación del TD para los parámetros y , y con (60) para el parámetro .

Para obtener una recomendación para una decisión final, se calcula un índice de

aceptación conjunto K de acuerdo a (62). La Tabla 4.22 resume los valores de K

para cada α.

Tabla 4.22 Cálculo del grado de satisfacción conjunto (K) para cada α

β=0.5

Grado de factibilidad,

αY (valor objetivo)

Grado de

aceptación (α),

ωα

Grado de

aceptación

(Φ), ωΦ

Indice de

aceptación

conjunto, K

0 6,985,866.30 0.0000 0.4059 0.20293

0.1 6,985,721.47 0.0000 0.8678 0.43389

0.2 6,985,683.05 0.0000 0.0000 0.00000

0.3 6,985,562.61 0.0000 0.1778 0.08891

0.4 6,985,748.75 0.0000 0.9595 0.47974

0.5 6,986,025.25 0.5000 0.1691 0.33454

0.6 6,985,919.54 0.5053 0.5497 0.52748

0.7 6,985,876.03 0.1105 0.7663 0.43840

0.8 6,985,929.58 0.8000 0.0000 0.40000

0.9 6,986,030.47 0.9000 1.0000 0.95000

1 6,986,029.87 1.0000 0.8975 0.94874

De acuerdo a los resultados obtenidos en la Tabla 4.22, se observa que, para una

decisión neutral ( =0.5) entre el grado de satisfacción y , la mejor

selección para el TD debería ser la solución con α=0.9. Los resultados

129

presentados anteriormente representan una conclusión particular tomando en

cuenta los alimentos considerados en la Tabla 4.9 y el número y características de

las familias mostradas en la Figura 4.9.

La Figura 4.17 muestra una análisis comparativo de características nutricionales y

logísticas en despensas configuradas por el modelo determinístico y el modelo

difuso (α=0.9) seleccionado como la mejor solución por el TD.

130

Figura 4.17 Análisis comparativo entre modelo determinístico y modelo difuso (α=0.9) para 250

familias.

El análisis anterior nos indica un mejor desempeño del modelo difuso (α=0.9) que

el determinístico en varios parámetros nutricionales (ej. variedad de alimento por

despensa-contenedor) y logísticos (ej. peso y volumen de despensa-contenedor).

Finalmente, la Figura 4.18 presenta un análisis comparativo por familia de las

características (nutricionales y logísticas) de las despensas configuradas por

ambos modelos.

131

Figura 4.18 Análisis comparativo entre modelo determinístico y modelo difuso (α=0.9) por familia.


Cadenas y Verdegay.

En esta sección se presenta una variante del método de la sección 3.7 ya que la

selección del TD se basa solamente en el grado de satisfacción del desempeño

global en los indicadores de calidad en despensas ( ) el cual integra

simultáneamente el grado de satisfacción del TD en el valor objetivo obtenido.

De los resultados obtenidos en la Tabla 4.14 para poder seleccionar una solución

que considere una satisfacción global ( ) del TD se calculó el grado de

132

satisfacción ( del TD en cada uno de los indicadores de calidad ( )

mencionados en la sección 4.4.2.2. Estos grados de satisfacción ( fueron

calculados utilizando los siguientes valores establecidos por el TD acorde a (61)

para (G=21.492, G-t=21.024) y (G=3.688, G-t=3.660), y (60) es usado para

(G=10.70%, G + t=11.01%) y para (G= $73.357, G + t=$73.897) y pueden

ser establecidos por el TD. Para obtener el grado de satisfacción del TD en el

valor objetivo se utilizaron los siguientes valores: G= 6,781,798.989 Kilocalorías,

G-t= 6,755,475.121 Kilocalorías.

Los pesos establecidos por el TD fueron: =0.15, =0.30, =0.20, =0.25 y

=0.10. Por lo que si, = , entonces el grado de satisfacción global

( ) para cada corte-α se muestra en la Tabla 4.23.

Tabla 4.23 Cálculo del grado de satisfacción global ( ) para cada α.

0.15 0.30 0.20 0.25 0.10

MODELO

VALOR

OBJETIVO

(Kcal.)

VALOR

OBJETIVO

(Kcal.)

6,986,030.77 20.948 10.113% 3.739 74.557$

0 6,773,339.75 21.024 10.849% 3.688 73.633$ 0.6786 0.0000 0.5244 1.0000 0.4881 0.505

0.1 6,775,591.08 21.068 10.830% 3.679 73.536$ 0.7642 0.0940 0.5868 0.7038 0.6680 0.503

0.2 6,773,254.50 21.072 10.777% 3.685 73.897$ 0.6754 0.1026 0.7616 0.8923 0.0000 0.507

0.3 6,777,085.71 21.100 10.990% 3.678 73.816$ 0.8210 0.1624 0.0633 0.6399 0.1507 0.360

0.4 6,759,082.70 21.428 10.931% 3.667 73.795$ 0.1370 0.8632 0.2569 0.2582 0.1896 0.414

0.5 6,763,966.00 21.240 11.010% 3.674 73.433$ 0.3226 0.4615 0.0000 0.4909 0.8585 0.395

0.6 6,764,318.99 21.236 10.985% 3.665 73.476$ 0.3360 0.4530 0.0801 0.1687 0.7803 0.323

0.7 6,755,475.12 21.076 10.914% 3.660 73.357$ 0.0000 0.1111 0.3121 0.0000 1.0000 0.196

0.8 6,781,798.99 21.296 10.787% 3.679 73.682$ 1.0000 0.5812 0.7294 0.7022 0.3988 0.686

0.9 6,762,299.69 21.464 10.734% 3.672 73.419$ 0.2593 0.9402 0.9010 0.4233 0.8857 0.696

1 6,765,082.28 21.492 10.704% 3.665 73.657$ 0.3650 1.0000 1.0000 0.1545 0.4454 0.638

Dif

uso

(co

rte-α)

Determinístico

Wi

Como se aprecia en el análisis anterior, la mejor solución del modelo difuso se

obtiene con =0.9, ya que es el que tiene mayor grado de satisfacción global ( )

al incluir la opinión del TD en el proceso de selección de la mejor solución. La

Figura 4.19 presenta un análisis comparativo de las características del modelo

determinístico contra el modelo difuso (α=0.9) en cuatro de los atributos de calidad

para despensas mostrados en la Tabla 4.3.

133

134

Figura 4.19 Análisis comparativo de atributos de calidad en despensas con modelo determinístico

y difuso ( =0.9).

4.4.4.3 Transformación del modelo difuso con el método de Cadenas y

Verdegay y el uso de funciones de probabilidad en la evaluación de los

indicadores de calidad de despensas ( ).

En el análisis de esta sección se emplea el mismo grado de satisfacción global

( ) empleado en la sección anterior, sin embargo, se introduce una variante al

utilizar el uso de funciones de probabilidad para incluir la opinión del TD en la

evaluación de cada indicador de calidad en despensas ( ). Los detalles de esta

variante del método interactivo se explica en la etapa 4 del método presentado en

la sección 3.7.

Para las simulaciones de este apartado, se consideraron los resultados obtenidos

en la Tabla 4.14 con los indicadores de calidad en despensas ( ) descritos en la

sección 4.3.2.2. Tal como se presenta en el análisis de la sección 4.3.4.2, los

grado de satisfacción ( ) en cada corte-α fueron calculados para el valor objetivo y

para cada indicador de calidad de despensas ( ). Con el propósito de obtener un

grado de satisfacción global ( ), para el análisis de esta sección, los siguientes

pesos ( ) fueron asignados por el TD:

Valor objetivo: = 0.25

= variedad de alimento en despensa: = 0.20

135

= porcentaje de alimento no-perecedero en despensa: = 0.30

= días de duración de aporte energético de despensa por familia: = 0.15

= costo de recuperación de despensa: = 0.10

Por lo que, el grado de satisfacción global ( ) es calculado de acuerdo a la

siguiente ecuación:

= =0.25 + 0.20 + 0.30 +0.15 +0.10

Los resultados obtenidos para cada corte-α son presentados en la Tabla 4.24. Los

resultados de la Tabla 4.24 indican que la mejor selección integrada (considerando

los niveles de aspiración y pesos definidos por el TD) debería ser la solución

obtenida en el corte-α = 0.8.

Tabla 4.24 Solución para cada corte-α y su correspondiente grado de satisfacción global ( ).

0.25 0.20 0.30 0.15 0.10

0 0.6786 0.0000 0.5244 1.0000 0.4881 0.526

0.1 0.7642 0.0940 0.5868 0.7038 0.6680 0.558

0.2 0.6754 0.1026 0.7616 0.8923 0.0000 0.552

0.3 0.8210 0.1624 0.0633 0.6399 0.1507 0.368

0.4 0.1370 0.8632 0.2569 0.2582 0.1896 0.342

0.5 0.3226 0.4615 0.0000 0.4909 0.8585 0.332

0.6 0.3360 0.4530 0.0801 0.1687 0.7803 0.302

0.7 0.0000 0.1111 0.3121 0.0000 1.0000 0.216

0.8 1.0000 0.5812 0.7294 0.7022 0.3988 0.730

0.9 0.2593 0.9402 0.9010 0.4233 0.8857 0.675

1 0.3650 1.0000 1.0000 0.1545 0.4454 0.659

Wi

Mo

de

lo d

ifu

so

(c

ort

e-α

)

Por otro lado, como una variante de la etapa 4 en el método presentado en la

sección 3.7, se propone incluir la opinión del TD usando funciones de probabilidad

acumulativa de una variable aleatoria para evaluar cada indicador de calidad ( )

en cada solución-α. La Tabla 4.25 muestra las distribuciones obtenidas utilizando

la prueba de Anderson-Darling (nivel de confianza al 95%) para cada indicador

evaluado por grado de factibilidad (α).

136

Tabla 4.25 Distribuciones obtenidas para cada parámetro ( ) evaluado.

Distribución Poisson Inverse Gaussian Johnson Bounded Beta

Localización: 4.896756 Mínimo: 1.334683 Mínimo: 51.394617

Escala: 5.952705 Máximo: 17.236690 Máximo: 113.395523

Forma: 12.578641 Forma 1: 2.904324 Forma 1: 2.278155

Forma 2: 1.536295 Forma 2: 3.890489

Distribución Poisson Johnson Bounded Johnson Bounded Johnson Bounded

Mínimo: 5.731470 Mínimo: 1.476785 Mínimo: 50.362739

Máximo: 31.766070 Máximo: 11.704267 Máximo: 140.842632

Forma 1: 1.659674 Forma 1: 1.905017 Forma 1: 1.642182

Forma 2: 0.978644 Forma 2: 1.321926 Forma 2: 1.386689

Distribución Poisson Johnson Bounded Inverse Gaussian Erlang

Mínimo: 5.426465 Localización: 0.717501 Localización: 35.377587

Máximo: 38.943944 Escala: 2.967130 Escala: 3.851952

Forma 1: 2.369571 Forma: 15.494232 Forma: 10.0

Forma 2: 1.278359

Distribución Poisson Johnson Bounded Pearson Type 5 Johnson Bounded

Mínimo: 5.932382 Localización: 0.383941 Mínimo: 52.441035

Máximo: 26.094990 Escala: 24.865372 Máximo: 146.519736

Forma 1: 1.083909 Forma: 8.527051 Forma 1: 1.831846

Forma 2: 0.753251 Forma 2: 1.344572

Distribución Poisson Johnson Bounded Pearson Type 5 Johnson Bounded




Forma 2: 0.787701 Forma 2: 1.797742

Distribución Poisson Johnson Bounded Inverse Gaussian Johnson Bounded




Forma 2: 0.669667 Forma 2: 1.015344

Distribución Poisson Johnson Bounded Lognormal Johnson BoundedMínimo: 5.951569 Localización: 0.926441 Mínimo: 53.40811



Forma 2: 0.913441 Forma 2: 1.342523

Distribución Poisson Inverse Gaussian Inverse Gaussian Johnson BoundedLocalización: 5.213981 Localización: 0.765987 Mínimo: 55.17201

Escala: 5.700426 Escala: 2.894319 Máximo: 137.24361

Forma: 8.202357 Forma: 16.998659 Forma 1: 1.760542

Forma 2: 1.240790

Distribución Poisson Gamma Lognormal Random WalkLocalización: 6.078760 Localización: 1.083646 Localización: 55.034382

Escala: 3.036271 Escala: 2.344216 Escala: 0.077214

Forma: 1.550583 Forma: 0.457504 Forma: 0.175552

Distribución Poisson Johnson Bounded Pearson Type 5 Johnson BoundedMínimo: 5.946196 Localización: 0.471186 Mínimo: 58.369027



Forma 2: 0.836216 Forma 2: 0.899092

Distribución Poisson Johnson Bounded Pearson Type 5 Johnson BoundedMínimo: 6.335758 Localización: 0.342145 Mínimo: 59.587461



Forma 2: 0.793767 Forma 2: 0.728214

0.1 Parámetro

estimadoMedia= 21.0680

Grado de

factibilidad (α)

PARÁMETRO (n= 250 familias)

0.0 Parámetro


0.2 Parámetro


0.3 Parámetro


0.4 Parámetro


0.5 Parámetro


0.6 Parámetro


0.7 Parámetro


1.0 Parámetro


0.8 Parámetro


0.9 Parámetro


A través de la función de probabilidad acumulada de cada parámetro , ,

y , el TD calcula la probabilidad de que la variable aleatoria sea mayor (o

137

menor) a un valor dado . Para el análisis de esta sección, el TD propone los

siguientes valores para cada parámetro de calidad ( ) evaluado en las

despensas:

: Probabilidad acumulada de que la variedad de productos por despensa

sea mayor que =18 tipos de productos.

: Probabilidad acumulada de que el porcentaje de productos no-

perecederos por despensa sea menor que =15%.

: Probabilidad acumulada de que los días de duración del aporte

energético por despensa sea mayor que = 3 días por familia.

: Probabilidad acumulada que el costo de recuperación por despensa sea

menor que = 75 pesos mexicanos.

Los resultados obtenido para cada indicador de calidad ( ) en cada grado de

factibilidad (α) se muestran en la Tabla 4.26.

Tabla 4.26 Probabilidad acumulada obtenida para cada indicador de calidad ( ) evaluado en cada

solución-α.

MODELOVALOR OBJETIVO

(Kilocalorías)

1-F(X<18) F(X<15) 1-F(X<3) F(X<75)

0 6,773,339.75 0.70011 0.87125 0.65257 0.57442

0.1 6,775,591.08 0.70338 0.85984 0.65509 0.60990

0.2 6,773,254.50 0.70367 0.88448 0.65691 0.57734

0.3 6,777,085.71 0.70574 0.82431 0.66868 0.61042

0.4 6,759,082.70 0.72930 0.83421 0.65163 0.58951

0.5 6,763,966.00 0.71594 0.81784 0.65097 0.62406

0.6 6,764,318.99 0.71565 0.84169 0.67307 0.62195

0.7 6,755,475.12 0.70397 0.85857 0.67097 0.63508

0.8 6,781,798.99 0.71996 0.87414 0.67021 0.64912

0.9 6,762,299.69 0.73182 0.881 0.66758 0.63741

1 6,765,082.28 0.73373 0.87175 0.67766 0.62799

Dif

us

o (

co

rte

-α)

El análisis de la tabla anterior presenta la mejor solución obtenida para cada

indicador ( ) utilizando este camino alternativo propuesto para la etapa 4 del

138

método de la sección 3.7. Las mejores soluciones para cada indicador son: con

α=1.0, con α=0.5, con α=1 y para con α=0.0. Los resultados presentados

anteriormente representan una conclusión particular tomando en cuenta los

alimentos considerados en la Tabla 4.9 y el número y características de las

familias mostradas en la Figura 4.10. Tal como se aprecia en el análisis previo, los

resultados difieren a las preferencias obtenidas en la Tabla 4.23.

Para la etapa 5 del método propuesto en la sección 3.7 y después de analizar la

información obtenida en la Tabla 4.26, el TD puede especificar el nivel de

aspiración G y su umbral de tolerancia t para cada indicador de calidad ( )

analizado. Para este análisis, el TD propone los siguientes valores en el valor

objetivo y para cada indicador de calidad ( ) en despensas:

Valor objetivo: = 6,781,798.989 Kcal.; - =6,755,475.121Kcal.

: = 0.7337; - = 0.7001.

: =0.81784; + = 0.88448

: = 0.67766; - = 0.65097.

: = 0.57442; + = 0.64912.

Entonces, de la etapa 6 es calculado el grado de satisfacción global ( ) para los

diferentes grados de factibilidad (α). Los resultados obtenidos se presentan en la

Tabla 4.27.

139

Tabla 4.27 Grado de factibilidad (corte-α) y su correspondiente grado de satisfacción global ( ).

0.25 0.20 0.30 0.15 0.10

0 0.6786 0.0000 0.1985 0.0599 1.0000 0.338

0.1 0.7642 0.0973 0.3697 0.1544 0.5250 0.397

0.2 0.6754 0.1059 0.0000 0.2226 0.9609 0.320

0.3 0.8210 0.1675 0.9029 0.6635 0.5181 0.661

0.4 0.1370 0.8682 0.7544 0.0247 0.7980 0.518

0.5 0.3226 0.4709 1.0000 0.0000 0.3355 0.508

0.6 0.3360 0.4622 0.6421 0.8280 0.3637 0.530

0.7 0.0000 0.1148 0.3888 0.7493 0.1880 0.271

0.8 1.0000 0.5904 0.1552 0.7209 0.0000 0.523

0.9 0.2593 0.9432 0.0522 0.6223 0.1568 0.378

1 0.3650 1.0000 0.1910 1.0000 0.2829 0.527

Wi

Mo

de

lo d

ifu

so

(c

ort

e-α

)

De acuerdo a los resultados obtenidos en la tabla anterior, usando las funciones

de distribución de probabilidad para cada indicador de calidad evaluado y tomando

en cuenta la opinión del TD, la mejor solución puede ser obtenida con un α=0.3.

Finalmente, la Tabla 4.28 muestra un análisis comparativo de los atributos de

calidad en despensas presentados anteriormente en la Tabla 4.3 que podrían ser

evaluados por el TD en el BA. Estos resultados fueron obtenidos con la solución

del modelo determinístico y la mejor solución encontrada con el modelo difuso

utilizando un grado de factibilidad α=0.3 y α=0.8.

Tabla 4.28 Análisis comparativo de parámetros (nutricionales y logísticos) evaluados en las

despensas por el tomador de decisiones.

DETERMINÍSTICO DIFUSO (α=0.8) DIFUSO (α=0.3)

Kilogramos de alimento promedio por despensa Logístico 32.8 31.6 31.6

Porcentaje promedio de frutas y verduras por despensa Nutricional 77.57% 79.52% 79.29%

Porcentaje promedio del volumen del contenedor que abarca

el alimento Logístico 50.96% 49.41% 49.41%

Costo promedio de recuperación por despensa Logístico $74.56 $73.68 $73.82

Variedad promedio de alimentos por despensa Logístico 20.95 21.3 21.1

Porcentaje promedio de alimento no-perecedero por despensa Nutricional 10.11% 10.79% 10.99%

Días promedio de duración del aporte energético por

despensa Nutricional 3.74 3.68 3.68

TIPO DE

ATRIBUTO

MODELO (n= 250 familias)ATRIBUTO

140

De la tabla anterior, se aprecia que las soluciones del modelo difuso (α=0.8 y

α=0.3) configuran despensas con mayor cantidad de frutas y verduras incluyendo

una mayor variedad de alimentos a un costo menor para las familias atendidas.

Por otro lado, el modelo determinístico configura despensas con un promedio

mayor de kilogramos por despensa y que abarca un mayor volumen de alimento

dentro del contenedor que en la solución del modelo difuso. Los resultados

presentados anteriormente representan una conclusión particular tomando en

cuenta los alimentos considerados en la Tabla 4.9 y el número y características de

las familias mostradas en la Figura 4.10.

Finalmente, la Figura 4.20 resume algunas características de cinco despensas que

fueron configuradas usando el modelo difuso propuesto en esta sección con una

solución-α = 0.3.

Figura 4.20a: Contenido energético (kilocalorías) por

grupo nutricional

Figura 4.20d: Costo de recuperación por despensa

Figure 4.20b: Kilogramos de alimento por grupo

nutricional

Figure 4.20e: Porcentaje de alimento no-perecedero

por despensa

141

Figura 4.20c: Variedad de alimentos por despensa Figura 4.20f: Porcentaje de frutas y verduras por

despensa

Figura 4.20g: Volumen de alimento (cm3) por despensa

Figura 4.20 Ejemplo de atributos nutricionales y logísticos para despensas usando una solución-

α=0.3.

142

CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES

Al hacer el análisis de literatura encontramos que el PD coincide con algunas

características del modelo matemático propuesto para el BA, sin embargo, el

problema de asignación-empaque de despensas personalizadas está planteado

en este trabajo en el contexto de un problema de planeación en una CS de un BA

y por lo tanto incluye además restricciones relacionadas a: la oferta de alimento

disponible, capacidad de contenedores para distribución de despensas y

presupuestales. Por otro lado, el PD en la literatura revisada considera que la

configuración de la dieta definida para el modelo es para una persona o animal en

particular, mientras que el modelo propuesto en esta investigación considera

además la asignación de cada alimento en una despensa personalizada para cada

familia atendida en un día laboral.

Nuestro modelo matemático de asignación-empaque de despensas

personalizadas para el BA contempla un modelo híbrido entre un problema de

planeación en una CS, el problema de la dieta y el problema de empaque de

alimentos, al integrar parámetros y variables características de estos tipos de

problemas y utiliza la programación difusa para resolver el problema considerando

simultáneamente un enfoque nutricional y logístico en el modelado.

Este trabajo de investigación propuso un nuevo modelo de PLEM que permite

realizar asignaciones de alimentos en un BA a través de despensas a familias con

características y necesidades diferentes. La originalidad del modelo radica en el

planteamiento y solución de un nuevo problema que integra simultáneamente

parámetros y restricciones nutricionales y logísticas que han sido estudiados en

problemas de forma separada. Por medio de nuestro modelo el TD en un BA

podría realizar asignaciones de alimentos considerando restricciones relacionados

al manejo de alimentos en una CS (disponibilidad de alimento, costo de despensa,

cantidad y peso demandado de alimento, preservación del alimento por medio de

contenedores, etc.) y nutricionales (aporte energético de alimentos, requerimiento

143

energético de familias, cantidad de producto perecedero, cantidad mínima

requerida por grupo nutricional). Debido a que cierta información del proceso y las

características de algunos alimentos no puede ser conocida de forma precisa o

resulta aproximada, esta investigación propuso un modelo de programación difusa

posibilística para incluir dicha incertidumbre en la información de algunos

parámetros del modelo. Además, se consideró un método interactivo de selección

de la mejor solución encontrada para el modelo difuso. A través de la metodología

propuesta, el TD en el BA podría seleccionar la mejor solución basado en el grado

de satisfacción global de parámetros definidos por la misma organización.

El modelo presentado en este trabajo fue analizado con dos objetivos: 1) con un

enfoque logístico que consistió en priorizar la cantidad de alimento perecedero

(kilogramos) que es enviado a las familias en un día y 2) con un enfoque

nutricional que consiste en maximizar el contenido energético total (kilocalorías)

que es enviado a las familias atendidas en un día. Estos objetivos se encuentran

sujetos a restricciones de disponibilidad de alimento en el almacén, capacidad

mínima y máxima de kilogramos de alimento en contenedores, una capacidad

máxima de volumen de alimento en contenedor, la cantidad máxima permitida por

tipo de alimento en cada despensa, una cantidad mínima de contenido energético

por despensa, un porcentaje mínimo de asignación de frutas y verduras en cada

despensa y un costo máximo de recuperación en la despensa. Se analizaron los

resultados de asignación-empaque del modelo desde 50 hasta 1500 familias

diferentes.

Algunos de los puntos relevantes obtenidos fueron:

Con el modelo determinístico se obtienen soluciones óptimas de forma ágil

(tiempo de solución < 250 segundos) al considerar en el modelo cualquiera

de los dos objetivos planteados.

Para poder obtener soluciones factibles, a partir de 250 familias en el

modelo determinístico fue necesario relajarlo eliminando la restricción de

peso mínimo en despensas. Esto genera que se configuren despensas de

144

5 a 40 kilogramos con 500, 750 y 1000 familias. A partir de 1250 familias

se obtienen despensas con menos de 30 kilogramos.

Al comparar estadísticamente los atributos nutricionales y logísticos en las

despensas se aprecia que cuando se considera en el modelo determinístico

el objetivo 2 (enfoque nutricional) se configuran mejores despensas en

cuanto al peso de alimento en contenedor, porcentaje de volumen de

alimento en contenedor, variedad de tipos de alimentos por despensa y

días de duración del aporte energético por familia que al utilizar el objetivo 1

(enfoque logístico).

El análisis realizado con los modelos difusos concluye que se requiere un

mayor tiempo de solución que en los modelos determinísticos para

encontrar una solución óptima.

La solución de los modelos bi-objetivo determinístico y difuso se obtuvieron

en un tiempo de solución mayor a los de los modelos mono-objetivo.

Como trabajos futuros se espera:

adaptar otros métodos de transformación del modelo difuso para evaluar su

efectividad en la solución del modelo de asignación-empaque.

utilizar otros métodos de priorización de la mejor solución del modelo difuso.

analizar el desempeño de los modelos difusos con un mayor número de

familias atendidas.

incluir la incertidumbre de la información en el modelo utilizando

programación estocástica y comparar los resultados con la solución del

modelo difuso.

construir una base de datos basada en Microsof Access® que permita al TD

una mejor y más ágil captura de parámetros, manejo y análisis de la

información de entrada y salida de los modelos propuestos.

145

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160

ANEXO 1

VALIDACIÓN DEL MODELO EN BANCO DE ALIMENTOS DEL OCCIDENTE DE

MÉXICO

161

ANEXO 2

ARTÍCULO DE INVESTIGACIÓN

Cuevas-Ortuño J, Gómez-Padilla A. “Un modelo de asignación-empaque de despensas personalizadas para bancos de alimentos: un sistema sujeto a condiciones nutricionales y logísticas”. DYNA. Septiembre 2013. Vol. 88-5 p. 560-573. DOI: http://dx.doi.org/10.6036/5584

CONGRESOS DE INVESTIGACIÓN

“Un modelo matemático para la configuración y asignación de despensas en un banco de alimentos: un sistema basado en condiciones nutricionales y dimensionales”. Segundo Congreso Internacional – la investigación en el posgrado. Aguascalientes, Aguascalientes, México. 20-21 Octubre, 2011.

“Allocation-packing of customized food pantries in a Food Bank: a system based on nutritional and logistics conditions”. Industrial and Systems Engineering Research Conference. Institute of Industrial Engineering. Orlando, Florida, United States. May 19-23, 2012.

“Un modelo de programación lineal entera mixta para la asignación-empaque de alimentos: un caso de estudio en un Banco de Alimentos”. 1er. Congreso Nacional de la Sociedad Mexicana de Investigación de Operaciones. Guadalajara, Jalisco, México. 24-26 Octubre, 2012. “Un modelo de programación lineal entera-mixta difuso para asignación-empaque de alimentos en bancos de alimentos bajo incertidumbres nutricionales y logísticas”. Congreso Internacional de Investigación de Academia Journals. Celaya, Guanajuato, México. 14-16 Noviembre, 2012. “Fuzzy optimization to allocation-packing of customized food parcels in food banks”. 22nd International Conference on Production Research. Iguassu Falls, Paraná, Brazil. July 28 – August 1, 2013.

http://dx.doi.org/10.6036/5584

Documents

UN MODELO DE ASIGNACIÓN PERSONALIZADAS …...UN MODELO DE ASIGNACIÓN–EMPAQUE DE DESPENSAS PERSONALIZADAS PARA BANCOS DE ALIMENTOS SUJETO A RESTRICCIONES NUTRICIONALES Y LOGÍSTICAS