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II. TRIGONOMETRÍA

La trigonometría se encarga del estudio de la medida de los triángulos, es decir de la medida de sus ángulos y sus lados.

A. ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS

Un ángulo es la abertura que existe ebtre dos líneas que se cortan.

Los ángulos positivos siempre se miden en el sentido opuesto de las manecillas del reloj, y los negativos en el sentido de las manecillas.

Para medir los ángulos se tienen dos tipos de unidades:

Grados sexagesimales Radianes

la relación entre los grados y los radianes es la siguiente

1 velta 1 revolución 360 2

cuando aparece el símbolo “pi” (π), quiere decir que el ángulo está en radianes. Para realizar conversiones de radianes a grados y viceversa, nuestra relación que no debemos olvidar es:

grados sexagesimales

radianes

radianes180 www.calix

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Ejemplos: a) Convertir 240° a radianes

Primero observemos que:

1801 ó 1

180

Entonces, como tenemos 240° los multiplicamos por uno y no se altera:

240 240 4

1 180 180 3

240 120 60 12 4

180 90 45 9 3

24 0

18 0

24 4

18 3

b) Convertir 5

6 a grados

Ahora sí, usamos la relación

1801 , pues como tenemos

5

6, para eliminar π

(radianes), debemos dividir por π, es decir:

5

6

180

5 180 5 6

6

180

30

6 150

5

1506

Ejercicios.- Convertir

a) 120°radianes b) 135°radianes

c) 15

6grados d)

7

2grados

e) 12

5grados f) 560°radianes

g) 18°radianes h) 70°radianes

i) 12.4radianesgrados

Una cantidad dividida entre ella misma resulta uno.

OJO: No utilizamos 180 pues:

2grados240 180

1

es decir no se simplifican los grados sexagesimales. sexta

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B. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Primero consideremos a los triángulos rectángulos (triángulos que tiene un ángulo recto, es decir de 90°), en los cuales se cumple el ya conocido TEOREMA DE PITÁGORAS y las seis funciones trigonométricas definidas de la siguiente forma:

para el ángulo α: cateto opuesto = a

para el ángulo β: cateto opuesto = b

cateto adyacente = b cateto adyacente =a

Como podrás ver para un ángulo de un triángulo rectángulo su cateto opuesto es el lado que tiene enfrente de él.

sen( )cateto opuesto a

hipotenusa c csc( )

hipotenusa c

cateto opuesto a

cos( )cateto adyacente b

hipotenusa c sec( )

hipotenusa c

cateto adyacente b

tan( )cateto opuesto a

cateto adyacente b cot( )

cateto adyacente b

cateto opuesto a

Recuerda tanto el teorema de Pitágoras como las seis funciones trigonométricas antes mencionadas sólo sirven para triángulos rectángulos, y para triángulos que no son rectángulos veremos más adelante dos leyes para resolverlos.

De las anteriores funciones trigonométricas podemos observar que seno y cosecante son funciones recíprocas, es decir:

1sen( )

csc( )

ó

1csc( )

sen( )

Análogamente podemos decir: 1

tan( )cot( )

ó 1

cot( )tan( )

Y finalmente 1

cos( )sec( )

ó 1

sec( )cos( )

IDENTIFICA LAS IDENTIDADES

TRIGONOMÉTRICAS EN TU FORMULARIO

TEOREMA DE PITÁGORAS: 2 2 2c a b

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EJEMPLOS: a) Resuelve el siguiente triángulo rectángulo

Como se puede ver el triángulo es rectángulo, sin embargo el Teorema de Pitágoras no es posible utilizarlo pues se desconocen dos valores “x” y “y”, entonces apliquemos por ejemplo la función coseno para el ángulo C ya que según el triángulo anterior tenemos:

23 cateto adyacentecos(35 )

hipotenusax

Despejando a x

23 23( )cos(35 ) 23 28.07, 28.07

cos(35 ) 0.8191x x x

Ahora para encontrar a y podemos aplicar el Teorema de Pitágoras o la función trigonomé-trica seno para el ángulo C, utilicemos la función seno primero:

cateto opuestosen(35 )

28.07 hipotenusa

y

Despejando a y

sen(35 ) (28.07)sen(35 ) (28.07)(0.5735) 16.0928.07

yy y

Bien, ahora encontremos el valor de y pero con el Teorema de Pitágoras.

2 2 228.07 23 y

2787.9249 529 y 2787.9249 529 y

258.9249 16.09y y

Finalmente para encontrar el ángulo D, tenemos C+D+90=180

D = 180°–90°–35° , D= 55°

La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo mide 180°

(Recuerda que no se conocían x ni y al inicio pero una vez encontrado x ya se puede aplicar el teorema de Pitágoras)

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Como podrás notar entre más datos se van obteniendo al resolver un triángulo es más fácil ir encontrando el valor de las demás incógnitas

Recuerda:

En tu calculadora observa las teclas j, k y l las cuales tienen en su parte superior a sus funciones inversas J, K y L respectivamente que funcionan de la siguiente manera: Si sen(30°) = 0.5 , entonces sen-1(0.5) = 30° Si cos(45°)= 0.707106 , entonces cos-1(0.707106) = 45° , para que obtengas las inversa de una función en tu calculador primero se teclea en la parte superior izquierda de ésta la tecla inv o 2nd o una tecla de color naranja en algunos casos

EJERCICIOS.- Considera el siguiente triángulo rectángulo y contesta los incisos

a) C = 34.7° y = 7 D= ? x = ? z = ?

b) D = 58° x = 98 C=? y = ? z = ?

c)x= 12 y= 7 z = ? C=? D=?

d)z=8 y= 16 x = ? C=? D=?

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Resuelve los siguientes problemas

1.-Una torre de 40 metros de altura está situada en la orilla de un lago. Desde la punta de la torre el ángulo de depresión de un objeto en la orilla opuesta del lago es de 30° ¿Cuál es el ancho del lago?

2.-Encuentre la altura de un edificio si a 8.66 metros de su base, el ángulo entre el suelo y la azotea del edificio es de 60°.

3.-Un puente sobre un río tiene 200 metros de largo. Las dos secciones del puente rotan ha-cia arriba formando un ángulo de 30° para dar paso a los barcos. Un motociclista quiere saltar de una sección a otra, él sabe que puede dar saltos hasta de 20 metros, ¿puede el motociclista saltar de un lado al otro, sin peligro?

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C. TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Para resolver un triángulo que no es rectángulo, ya no nos sirve el Teorema de Pitágoras ni las seis funciones trigonométricas que ya conocemos, ahora tenemos a la LEY DE LOS SENOS y la LEY DE LOS COSENOS que dicen lo siguiente: Observa que en el triángulo siguiente, el lado a se pone enfrente del ángulo A, enfrente del lado b se pone el ángulo B y enfrente del lado c se pone el ángulo C.

LEYES DE LOS SENOS LEYES DE LOS COSENOS

sen sen sen

sen sen sen

a b c

A B C

A B C

a b c

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2( )( )cos

2( )( )cos

2( )( )cos

a b c b c A

b a c a c B

c a b a b C

Se necesita tener 2 ángulos y un lado ó 2 lados y un ángulo

Se necesita tener dos lados y el ángulo entre dichos ángulos o los tres lados.

EJERCICIOS.- Resuelve los siguientes triángulos que no son rectángulos (ley de los senos y ley de los cosenos):

(a) a = 8 , b= 5, A = 54° (b) a = 16, b =13, B = 12°

(c) b = 11, c = 24, C = 41° (d) a = 6, b = 8, c = 10

(e) a = 17, c = 20, B = 117° (f) a = 13, b = 10, c = 25

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D. ALGUNOS VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS DE 30°, 45° Y 60°

Como ya lo sabes en un triángulo rectángulo tenemos:

Ahora consideremos un triángulo isósceles cuyos lados midan 2 unidades (pudieran ser de 3,4,5,…, etc unidades)

Si lo dividimos a la mitad con una línea vertical obtenemos lo siguiente

Ahora recordemos nuestra definición de seno coseno y tangente

( c.o. c.a. c.o.

sen , cos , tanh h c.a.

), entonces de nuestro triángulo rectángulo escribimos:

lado más grande del triángulo

Recuerda: Para cualquier triángulo, al sumar sus ángulos interiores resulta 180°

por el teorema de Pitágoras tenemos:

2 2 2

2

2

2 1

4 1

3

3

x

x

x

x

c.o. 1sen30

2 hipotenusa

c.a. 3cos30

2 hipotenusa

c.o.1tan30

c.a.3

como hay un ángulo de 90°, el triángulo se llama rectángulo

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si de la misma manera encontramos el valor de las funciones trigonométricas pero para el ángulo de 60° tenemos en resumen:

θ 30° 60°

Seno 1

0.52

3

0.86602

Coseno 3

0.86602

1

0.52

Tangente 1

0.57733

3 1.732

Para el ángulo de 45° se considera un cuadrado cuyos lados sean 1 y se divide a la mitad con una diagonal, teniéndose nuevamente un triángulo rectángulo:

entonces:

cateto opuesto1sen45

hipotenusa 2

cateto adyacente1cos45

hipotenusa 2

cateto opuesto 1tan45

1 cateto adyacente

por Pitágoras:

2 2 2

2

1 1

2

2

x

x

x

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En resumen:

θ 30° 45° 60°

Seno 1

2

1

2 3

2

Coseno 3

2

1

2

1

2

Tangente 1

3 1 3

Además, con tu calculadora verifica que:

sen0 0 cos0 1 tan0 0

sen90 1 cos90 0 tan90 N.E. (no existe)

E. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Una identidad trigonométrica es aquella en la que se puede tener cualquiera de las seis razones trigonométricas, seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, y donde su veracidad depende de quién la esté comprobando, para determinar si se cumple o no la igualdad analizada utilizando identidades trigonométricas básicas que las puedes encontrar en tu formulario y son: Elementales:

sen

tancos

xx

x

coscot

sen

xx

x

1

cscsen

xx

ó 1

sencsc

xx

1

cottan

xx

ó 1

cottan

xx

1

seccos

xx

ó 1

cossec

xx

Pitagóricas:

2 2sen cos 1x x

2 21 tan secx x

2 21 cot cscx x

Ejemplo: demostrar las siguientes identidades trigonométricas. a) tan csc secx x x www.ca

lixto.

com.m

x

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Siempre se tiene que sustituir todas las razones trigonométricas que aparecen en la igualdad por senos y cosenos.

Es decir, tan csc secx x x

sen

cos

x

x

1

sen x=

1

cos x

sen x

1

cos senx x? 1

cos x

1 1

cos cosx x

Claramente la igualdad es “obvia”, por tanto la identidad está demostrada.

b) 2sen csc tan cosx x x x

Primero sustituimos a cscx por 1

sen x y a tan x por

sen

cos

x

x, es decir,

2sen csc tan cosx x x x

2sen 1 sen cos

1 sen cos 1

x x x

x x

2sen

sen

x

x

sen cosx x

cos x

sen senx x Igual que en ejemplo anterior es obvio que sen senx x

c) 2sen 1 cos 1 cosx x x

En este caso ya todo tiene senos y cosenos, por tanto, de la identidad pitagórica

2 2sen cos 1x x despejamos a 2sen x quedando: 2 2sen 1 cosx x Sustituyendo en nuestra identidad:

2?

sen 1 cos 1 cosx x x

2

esto es una diferncia de cuadrados

?1 cos 1 cos 1 cosx x x

1 cos 1 cos 1 cos 1 cosx x x x La igualdad es fácil de entender.

Aún no sabemos si la igualdad es cierta.

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