UN PASEO POR EL ORIGEN DEL CALENDARIO Y DEL …apliense.xtec.cat/arc/sites/default/files/annex_octubre_1582_Un... · establecerlos y el papel que la matemática ha jugado en su nacimiento

Un paseo por el origen del calendario y del Sistema Mtrico


Anton AubanellCESIRE-creamat, Departament dEducaci de la Generalitat de Catalunya,

Facultat de Matemtiques, Universitat de Barcelona, [email protected]

Resumen

La conferencia propone un paseo por el origen del calendario y del Sistema Mtrico Decimal (SMD), antecesor directo de nuestro Sistema Internacional de Unidades. Sin ninguna pretensin de exhaustividad intentaremos descubrir la matemtica que se esconde tras estos dos formidables organizadores de nuestro tiempo y de nuestro espacio, valorar el esfuerzo que supuso su creacin y, sobretodo, descubrir perfiles de personas que representan el afn por mejorar, desde la ciencia en general y las matemticas en particular, nuestra comprensin del mundo.

Palabras clave: calendario, metro, meridiano, triangulacin, Sistema Mtrico Decimal,Sistema Internacional de Unidades.

.1 Introduccin

En primer lugar quisiera agradecer a los organizadores el honor que me han otorgado al invitarme a impartir esta conferencia.

Hace tiempo que algunos de nosotros hemos estado trabajando en torno al origen del Sistema Mtrico del cual en el ao 1999 celebramos el bicentenario. Fue entonces cuando precisamente Maria Antnia Canals me invit a dar una primera charla sobre este tema. Otros amigos en distintos momentos me animaron a continuar en ello: Juan Emilio Garca, David Barba, Carles Barcel... Agradezco a todos ellos el favor de haberme llevado hasta aqu y espero estar a la altura de su confianza. Tambin agradezco la colaboracin que, para preparar esta presentacin, me han ofrecido mis compaeros del creamat, Jorge Snchez y Joan Jareo.

Todos, en nuestras escuelas o incluso en los medios de comunicacin hemos odo la pregunta de para qu sirven las matemticas. A veces nuestros conciudadanos, alumnos y no alumnos, piensan que las matemticas son simplemente montones de nmeros y frmulas sin alma que viven en este ecosistema bidimensional que llamamos pizarra.

Y, sin embargo, sabemos que son el instrumento ms potente de que nos hemos dotado para conocer el mundo que nos rodea, que las matemticas forman parte esencial del saber compartido que hemos de transmitirnos y que, aunque a veces lo disimulemos sin querer, esconden un espritu lleno de curiosidad, de creatividad, de imaginacin, de ilusin

XIV JAEM Girona 2009

mailto:[email protected]


Un da un taxista granadino me deca que estaba convencido de que los profesores de matemticas no contbamos nunca todos nuestros secretos. Pensando en ello me di cuenta que quizs tena razn. Quizs nuestro secreto est precisamente en la emocin que se puede experimentar en el quehacer matemtico. Resolver un problema, un buen problema, puede ser una experiencia profundamente emocionante y creativa. Sin embargo ste es un secreto que no se puede explicar, se ha de vivir. Si cada uno de nuestros alumnos sintiera, al menos una vez en su trayectoria escolar, la emocin del xito ante un reto matemtico que le motivara, su visin de nuestra materia sera distinta y, a la larga, la imagen social de las matemticas sera mejor. En todo caso, si realmente ste es nuestro secreto, se tendr que reconocer que nunca se ha puesto tanto empeo en compartir un secreto como el que ponemos nosotros. Por eso estamos aqu.

Utilidad y emocin probablemente son los dos motores ms potentes para motivar cualquier actividad humana. Seguro que estos das hablaremos de emocin, permtanme que hoy hablemos de utilidad eso s, de una emocionante historia sobre la utilidad de la matemtica para conocer nuestro entorno.

Los exploradores de hoy ya no van por el mundo con un salacot abrindose camino por selvas vrgenes y montaas inhspitas. No se trata de hacer dibujos ni de construir cartografas de territorios desconocidos. Algunos de los exploradores actuales tratan de crear modelos matemticos que describan realidades probablemente ms complejas que el propio territorio fsico y, en algunos contextos, no menos importantes. Djenme poner un ejemplo: hoy parecen conocidos todos los rincones de la Tierra, pero no est concluido su mapa gravitatorio con toda la precisin que nuestras necesidades tecnolgicas requieren. La fuerza de la gravedad en la superficie terrestre vara con la posicin y con el tiempo y la geodesia est trabajando en establecer modelos suficientemente precisos para el campo gravitatorio de nuestro planeta.

Conocer, en muchos casos, es cuantificar, y cuantificar es comparar con una unidad o con un patrn, es decir, medir. Kepler deca: Medir es saber.

La matemtica ha jugado, y contina jugando, un papel fundamental en el establecimiento de sistemas de medida y de ubicacin en el espacio y en el tiempo. Probablemente deberamos intentar que, en la educacin matemtica, nuestros alumnos adquirieran consciencia de este aspecto de la utilidad de la matemtica en su vida cotidiana. Hay cosas que nos resultan tan familiares que no les damos importancia, como si hubieran existido siempre, como si no hubiera costado tiempo y esfuerzo conseguirlas. Pocas cosas son de uso tan habitual como el calendario formidable organizador de nuestra actividad- y un sistema unificado de medidas, constantemente presente en nuestro quehacer diario: desde el etiquetaje de productos a los parmetros que controlan nuestra salud, desde las especificaciones tcnicas de los electrodomsticos a la sealizacin de carreteras. An siendo dos instrumentos habituales, a veces se ignora el difcil camino que se ha tenido que recorrer para establecerlos y el papel que la matemtica ha jugado en su nacimiento.

A continuacin les propongo un paseo por el origen del calendario y del Sistema Mtrico Decimal, antecesor directo de nuestro Sistema Internacional de Unidades. No se trata de presentar un estudio histrico o tcnico completo sino de recorrer, con la tranquilidad propia de un paseo, algunos de los parajes de esta aventura y,



especialmente, recordar algunas de las personas que, desde el campo de las matemticas, la hicieron posible.

Deseara que esta intervencin fuera un pequeo homenaje, en este Ao Internacional de la Astronoma, a estos hombres y mujeres, matemticos, muchos de ellos astrnomos, que a veces con enormes sacrificios personales, contribuyeron a situarnos mejor en el tiempo y en el espacio y abrieron nuevos horizontes a nuestro conocimiento del universo. Permtanme que, en esta ocasin tan singular, casi como inicio de nuestro paseo, mencione a un personaje que es un buen ejemplo de este empeo: Gerbert d'Aurillac, monje, matemtico, astrnomo, maestro... finalmente papa con el nombre de Silvestre II. Hace mil aos el vasto saber de la cultura rabe se transmita al mundo cristiano a travs de las traducciones que se guardaban en las bibliotecas de nuestros monasterios. As llegaron a Europa valiosos conocimientos matemticos y, en particular, el sistema de numeracin indo-arbigo. Gerbert, que haba nacido en Occitania alrededor del ao 945, se traslad, cuando tena alrededor de veinte aos, a estudiar a Vic y al monasterio de Ripoll donde conoci la matemtica rabe. Gerbert toda su vida fue un activo e influyente defensor del nuevo sistema de numeracin que haba conocido a pocos quilmetros de aqu a travs de las obras de las escuelas de Crdoba, de Sevilla y de Toledo. Es bonito que hoy nos sintamos todos orgullosos de este recuerdo tan lejano en el tiempo y tan cercano en el espacio.

As volvemos al tiempo y al espacio, a nuestro paseo por el origen del calendario y del Sistema Mtrico.

.2 Un paseo por los orgenes de nuestro calendario

Los seres humanos nos desplazamos fsicamente por la geografa que nos rodea y navegamos sobre el tiempo en el cual estamos inexorablemente sumidos. Por esta razn, desde los mismos inicios de la civilizacin, de la vida en una sociedad mnimamente estructurada, los pueblos se han ocupado de organizar no tan slo su territorio, sino tambin su actividad temporal. Era importante, especialmente en las sociedades agrcolas en las cuales las condiciones de siembra y de recoleccin estn muy asociadas a las estaciones, establecer un sistema comn de medida del tiempo que permitiera fijar acontecimientos y perodos de manera eficiente y compartida. Si, como poda leerse en un graffiti, el tiempo es la forma con que Dios evita que las cosas ocurran a la vez, el calendario sera la forma con que los seres humanos procuramos atisbar los ciclos en que ocurren las cosas.

As pues, con mayor o menor fortuna, todas las civilizaciones han tenido la necesidad de establecer un calendario. Ha habido muchos calendarios a lo largo de la historia, algunos de ellos muy precisos, hay muchos calendarios vigentes actualmente e incluso hay calendarios imaginados en el mundo de la literatura. Nuestro paseo, sin ninguna pretensin de exhaustividad y tal vez un poco displicente, se limitar nicamente a los orgenes de nuestro calendario.

La mayora de los calendarios solares estn asociados a las estaciones y, por tanto, han de ajustarse al ao trpico (intervalo de tiempo transcurrido entre dos pasos



consecutivos del sol por el primer punto de Aries que seala el equinoccio de primavera). Debido a la precesin de los equinoccios la duracin del ao trpico tiene unas pequesimas variaciones. As la duracin aproximada del ao trpico correspondiente al ao 2000 fue de 365,242199 das, valor que tomaremos como referencia en este escrito. Actualmente hay tcnicas para conocer este dato, sin embargo para nuestros antepasados no fue una tarea fcil ajustar progresivamente el ao civil, usado a efectos de organizacin social, al ao real cuya duracin les era desconocida. El problema es an ms complicado por el hecho de que un ao no tiene un nmero entero de das, ni un ciclo lunar tampoco (29,530588 das). Parece como si el tiempo real no tuviera en cuenta la frase de Kronecker: Dios cre los nmeros enteros; todo lo dems es obra del hombre. La historia de nuestro calendario es, en realidad, la historia de sucesivos ajustes, por exceso o por defecto, cada vez a ms decimales del valor de la duracin del ao trpico.

Para acabar de complicar las cosas un ao tampoco tiene un nmero entero de ciclos lunares. Si las lunas hicieran una carrera de relevos contra el sol resultara que, para volver a estar aproximadamente en la posicin inicial tendran que pasar 19 aos solares o 235 lunas como se detalla en el esquema de la figura 1.

Figura 1

Este perodo de tiempo, que haba sido ya observado por los griegos (433 a.C.), recibe el nombre de ciclo de Metn. Se trata de un exponente del difcil matrimonio entre el sol y la luna que ha dejado su rastro en las diferencias entre calendarios solares, calendarios lunares y calendarios lunisolares. Incluso nuestras vacaciones sufren las consecuencias de estas desavenencias de pareja. En el ao 325 el concilio de Nicea fij la Pascua en el primer domingo despus de la primera luna llena posterior al equinoccio de primavera. Como el ao no tiene un nmero entero de lunas, las lunas llenas no se producen en las mismas fechas cada ao y, por tanto, la Pascua se mueve y, con ella, nuestras vacaciones. Estamos ante una consecuencia interesante de la difcil conjuncin entre calendarios lunares y solares. En la novela El hobbit se dice que el ao nuevo de los enanos comienza el primer da de la ltima luna del otoo. Con ello Tolkien otorgaba a esta imaginaria civilizacin el privilegio de tener aos con distintas duraciones. Pero volvamos al mundo real rastreando, en Roma, los antepasados de nuestro calendario.



Dicen que fue el mismo Rmulo quien, quizs basndose en un antiguo calendario etrusco, estableci el primer calendario romano que comenzaba en la primavera y que tena 304 das. Como que este ao quedaba corto respecto del paso natural de las estaciones era necesario aadirle un bloque de das al final para ir ajustndolo. Para numerar los aos se tom como inicio del calendario romano antiguo el ao de la fundacin de Roma, el 753 a.C. En el cmputo del calendario romano se coloca a continuacin del nmero el acrnimo a.u.c. correspondiente a la expresin ab urbe condita que significa desde la fundacin de la ciudad. As, por ejemplo, el ao 50 a.u.c. del calendario romano corresponde al ao 703 a.C., se trata simplemente de un cambio en el origen del sistema de referencia.

Parece ser que este calendario tena una base lunar de la cual proceden los meses pero tambin tena la voluntad de adaptarse al ciclo estacional de la cual proceden los das que se aadan para ajustarlo. En todo caso, como la mayora de los calendarios antiguos, el calendario romano estaba repleto de aspectos religiosos o de ideas que hoy nos parecen mgicas. As, por ejemplo, haba fasti dies, das fastos, en los cuales podan hacerse actividades (desde un contrato comercial hasta una accin judicial, por ejemplo) con buenos augurios y los das nefasti, nefastos, en los cuales no se contaba con el favor de los dioses y, por tanto, no convena realizar demasiadas actividades. La distincin entre fastos y nefastos evoca nuestra distincin entre ocio y negocio. Tambin existan das especiales como los nefastos partem diem que eran das parcialmente nefastos, por ejemplo, hasta que los sacerdotes ofrecan los sacrificios en el templo. Incluso haba un da, quando stercus delatum fas, destinado a limpiar el templo de Vesta que se consideraba nefasto hasta que se cumpliera esta tarea y los desperdicios salieran por la puerta llamada, muy acertadamente, porta stercolaria.

Precisamente Fastos es el ttulo de un largo poema de Publio Ovidio Nasn (43 a.C. - 17 d.C.) en el cual va describiendo los meses del ao ya del ao juliano de doce meses- indicando los das especiales, sus fiestas, los ritos, las leyendas que tienen asociadas... La idea inicial de Ovidio era que el poema abarcara doce libros, uno por cada mes. Desafortunadamente slo pudo concluir los correspondientes a los seis primeros meses ya que, en el ao 8 d.C., de manera bastante inesperada, el emperador Augusto lo desterr aduciendo como motivo oficial la publicacin, nueve aos antes, del libro de poesa ertica Artis Amatoriae, el Arte de amar. Fastos es una obra magnfica para conocer de primera mano el calendario romano antiguo. En algn momento del texto nos dejaremos acompaar por la voz experta de Ovidio que, a travs de sus versos, nos conducir entre el mito y la historia, por los inciertos territorios donde naci el antepasado ms directo de nuestro calendario.

Arrastrados por los das fastos y nefastos nos hemos acercado a Ovidio pero nos hemos alejado de Rmulo con su calendario primitivo formado por aos de 10 meses que se iniciaban con el despertar de la primavera y que requeran aadir un bloque arbitrario de das al final para ajustarlos mejor a la periodicidad de las estaciones, fundamental para una sociedad agraria como la de los inicios de Roma. En este sentido parece interesante observar que este bloque de das aadido corresponda al perodo invernal caracterizado por cierta inactividad agrcola. Ovidio ironiza respecto a los diez meses de este ao1:

1 Todas las referencias a la obra Fastos de Publio Ovidio Nasn corresponden a la edicin preparada por M. A. Marcos Casquero y editada por la Universidad de Len (1990).



Cuando el fundador de Roma organiz el calendario decidi que en cada ao hubiese dos veces cinco meses. Es evidente, Rmulo, que conocas mejor las armas que los

astros(I, 28-30)

Y, ms adelante, en un comentario tan significativo respecto del origen lunar de los meses como crtico respecto de los primeros romanos, escribe:

Pues bien, estos espritus incultos e ignorantes del clculo contaron lustros con diez meses menos. El ao haba concluido cuando la luna estaba llena por

dcima vez(III, 119-122)

Algunos de los meses de este calendario tenan nombre propio que haca referencia a divinidades y que han dado origen a los nombres de nuestros meses. El mes martius, origen de nuestro marzo, era el primer mes del ao y estaba consagrado al dios de la guerra, Marte, que la leyenda cree padre de Rmulo. Durante la repblica, a partir del siglo V a.C., la autoridad mxima de Roma eran los cnsules que se elegan cada ao y que empezaban a ejercer su mandato durante el mes de marzo. En el ao 153 a.C. se produjo un cambio en esta fecha de inicio.

El mes aprilis, que ha dado lugar a nuestro abril, era el segundo mes del calendario romano antiguo y estaba consagrado a Venus. La etimologa de su nombre no est muy clara. Alguna versin lo hace surgir de aperio que significa abrir ya que es el mes en que la naturaleza se abre con esplendor. Otras versiones ven su origen en la palabra aper, nombre del jabal, animal venerado por los romanos. Incluso, en una etimologa sin valor cientfico pero de innegable sentido potico, Ovidio, quiere relacionar aprilis con aphros () que, en griego, significa espuma del mar, origen mtico de la diosa Afrodita.

Nuestro mes de mayo tiene su origen en el maius romano. Existe la opinin de que el mes de mayo estaba dedicado a los ancianos (maiores) as como el mes siguiente, junio, poda estar dedicado a los jvenes (iuniores). Otras opiniones relacionan el nombre de este mes con la diosa Maia, una de las Plyades y madre de Mercurio.

El cuarto mes del antiguo calendario romano era junius, antepasado de nuestro junio. A parte de la etimologa ya comentada, hay quien dice que debe su nombre al de la diosa Juno, esposa de Jpiter.

Los otros meses, en una muestra de falta de imaginacin o de exceso de orden, inicialmente reciban el nombre derivado de su posicin en la secuencia de aquel ao primitivo: quintilis (el quinto mes), sextilis (el sexto mes), september (el sptimo mes), october (octo es ocho), november (novem es nueve), december (decem es diez). Pero no crean ustedes que los meses, en este sentido, eran muy distintos de las personas. En algunas familias romanas slo reciban un praenomina personal (a parte del nombre familiar) los cuatro primeros hijos. A partir del quinto, el praenomina parece que, con frecuencia, coincida con el orden de nacimiento: Quintus, Sextus, Septimus, Octavus



Los meses de martius, maius, quintilis y september tenan 31 das y los seis meses restantes tenan 30 das. As se formaba un ao de 304 das cuya sorprendente duracin es justificada por Ovidio de manera muy curiosa:

Pero hubo, Csar, un motivo que lo empuj a hacerlo, y su error tiene una excusa: decidi que, para un ao era suficiente el tiempo que le bastaba a un nio para salir

del vientre de su madre(I, 31-34)

Hemos de reconocer que tiene cierto encanto esta extraa substitucin de los habituales argumentos astronmicos a la hora de establecer la duracin del ao por argumentos de naturaleza tan humana.

El sucesor del guerrero Rmulo era un hombre sabio, el rey-sacerdote Numa Pompilio (715 a.C. - 672 a.C.). l organiz el bloque de das que quedaban al final del ao en dos nuevos meses, januarius y februarius, llegando as a nuestros 12 meses. El mes februarius estaba dedicado a los muertos y a rituales purificatorios; parece que su nombre proviene de la palabra februa que hace referencia a este tipo de ritos. El mes januarius estaba dedicado al dios Janus, divinidad que tena dos caras de manera que poda ver en dos direcciones opuestas. Era el dios encargado de cerrar y abrir las puertas; por esto, a veces se representa con una llave en la mano izquierda. De hecho la palabra janua significaba puerta.

Permtanme una pequea divagacin astronmica que puede resultar curiosa: el da 15 de diciembre de 1966, a las 18:20 horas, el astrnomo francs Audouin Dollfus, desde el observatorio del Pic du Midi en los Pirineos, descubri un nuevo satlite de Saturno al cual puso el nombre de Janus en honor al dios romano de dos caras. Casi 40 aos despus, en el 2005, la sonda espacial Cassini-Huygens (misin conjunta de la NASA y la ESA) enviaba esta fotografa de Janus (Figura 2) donde nos muestra sus dos caras: la parte ms iluminada de la derecha es la que recibe la luz directa del Sol, la parte de la izquierda queda dbilmente iluminada por la luz que se refleja en el planeta Saturno. Una luna con dos caras! Bonita imagen que vincula la ciencia del siglo XX con la mitologa romana ms antigua.

Figura 2



Pero volvamos a nuestro calendario, porque el mes januarius tena reservadas otras glorias, como el hecho de que, con el paso del tiempo, sealara el punto de inicio de los consulados. Ya se ha comentado que, hasta el ao 153 a.C. los nuevos cnsules empezaban a ejercer sus funciones durante el mes martius. A partir de este ao los cnsules iniciaron su cargo el primer da de januarius. Quizs podamos hallar la razn de este cambio en una circunstancia blica. En el ao 154 a.C. la ciudad celtbera de Segeda, cerca de la actual Calatayud en la Hispania citerior, decidi cambiar su rea de influencia y sus fortificaciones con el fin de agruparse con diversas comunidades vecinas. El senado romano lo consider una amenaza para la paz y lo prohibi. Como los segedanos no hicieron caso, Roma les declar la guerra confiando sus tropas a Quinto Fulvio Nobilior, uno de los cnsules del 153 a.C., con una dotacin de casi 30.000 soldados. A fin de que el cnsul pudiera llegar a Hispania con tiempo suficiente para que las operaciones no se retrasasen demasiado hacia el invierno, aquel ao, por primera vez, jur su cargo el da 1 de januarius y as se continu haciendo a partir de entonces. Esto comport el final del ao 154 a.C. con dos meses menos de los que le correspondan. Curiosa paradoja: por una razn blica el mes dedicado al dios de la guerra pierde el privilegio de ser el primero del ao.

Hemos dejado al primer cnsul de januarius cabalgando hacia Hispania. Aunque sea a costa de cometer una pequea infidelidad al hilo conductor de nuestro relato, la curiosidad nos impulsa a acompaarlo. El destino de Fulvio Nobilior y de sus hombres no fue nada afortunado. Los segedanos, ante un ejrcito tan grande, pidieron asilo a la ciudad de Numancia, cerca de la actual Soria, e intentaron negociar con Nobilior, pero dado que ste exiga una rendicin incondicional, se enfrentaron a l a 15 kilmetros al sur de Numancia en una batalla en la que los romanos perdieron 6.000 hombres. Era el 23 de agosto de 153 a.C., fiesta de la Vulcanalia, en honor al dios Vulcano. Desde entonces este da fue declarado nefasto en el calendario romano. Poco despus Fulvio Nobilior recibi refuerzos procedentes de Numidia (frica) entre los cuales haba elefantes. Esto le anim a atacar Numancia, pero un elefante herido por una piedra lanzada desde las murallas de la ciudad empez a correr sin control entre las tropas romanas. Los otros animales tambin se pusieron a correr en desbandada y se cre una situacin de desconcierto que los celtberos aprovecharon para causar ms de 4.000 muertos entre los legionarios. Las desgracias continuaron para el ejrcito romano y esto influy en que, para el consulado de 152 a.C., fuera escogido el general Claudio Marcelo que, con un talante ms negociador, recondujo la situacin. Pocos aos despus rebrotaron los conflictos y las guerras que concluyeron con la destruccin definitiva de Numancia.

As pues la distribucin original de los meses qued desplazada dos unidades de manera que el quintilis pas a ocupar el sptimo lugar, el sextilis pas al octavo lugar, el september pas al noveno lugar, el october ocup la dcima posicin, el november pas a la undcima posicin y, finalmente, el december fue a parar a la duodcima posicin. Curioso desplazamiento entre el nmero que an da nombre al mes y la posicin que ocupa dentro del ao. Una sorprendente diferencia que est muy presente en nuestros calendarios.

Numa Pompilio consideraba que los nmeros pares traan mala suerte y no estaba dispuesto a tolerar meses con un nmero par de das de manera que todos los meses que



Rmulo haba dejado en 30 das (aprilis, junius, sextilis, october, november y december) l los pas a 29 das y el resto de meses los mantuvo en el impar 31 das. Al nuevo januarius le asign 29 das y al ya oscuro en si mismo februarius le asign el siniestro nmero par de 28 das. Esto representaba un ao de 355 das que an no encajaba bien con los perodos naturales. Para corregir este desfase, cada dos aos, se intercalaba un bloque de das suplementario alternativamente de 22 das y de 23 das que se denominaba mercedonius. El nombre proviene de merces que significa salario o recompensa ya que, en estos das, se sola dar una paga a los esclavos. As pues, un perodo de cuatro aos de este calendario presentaba la siguiente distribucin de das:

Primer ao: 355 dasSegundo ao: 377 dasTercer ao: 355 dasCuarto ao: 378 das

Esto representa un total de 1.465 das en cuatro aos. Teniendo en cuenta que, en nuestro calendario, cuatro aos civiles corresponden a 1.461 das, observamos que el ao de Numa Pompilio era an 4 das demasiado largo. La intercalacin de los mercedonius as como el establecimiento de los das fastos y nefastos, los das de asamblea, los das de mercado... corra a cargo de una casta sacerdotal que, con frecuencia, la usaba para favorecer sus intereses polticos o econmicos. Tener el monopolio del tiempo era una gran ventaja y, con el fin de conservar este control, las reglas para el establecimiento del calendario se mantuvieron secretas hasta que, en el ao 304 a.C., Gneo Flavio, hijo de un liberto y secretario del pontfice mximo Apio Claudio, hizo pblica en el foro una lista con los das de administracin de justicia. Este gesto representa el comienzo de la secularizacin del calendario iniciando un desplazamiento de su control desde el mbito reservado a los sacerdotes y patricios al espacio ms abierto que hoy entendemos por sociedad civil.

De todas maneras la intercalacin del mercedonius se mantuvo en manos de los sacerdotes y, con frecuencia, se continu ejerciendo en funcin de sus conveniencias. A veces se olvidaban de hacer la intercalacin, a veces los aos se alargaban para prolongar el perodo de gestin pblica de algn magistrado, a veces no se intercalaba el nmero correcto de das... Progresivamente el calendario fue desajustndose respecto de las estaciones naturales y poda hacer un calor sofocante en los meses que, segn el calendario, eran de invierno, o poda ser tiempo de vendimia mientras el calendario sealaba la primavera. Tendremos que esperar a Julio Csar para poner orden en esta situacin catica.

Aqu quizs convendra detenernos en la peculiar organizacin interna de los meses del calendario romano. Cada mes tena tres fechas especiales, las calendas, las nonas y los idus, que segn parece eran un vestigio del origen lunar de los meses. Las calendas originariamente correspondan a la luna nueva, las nonas al cuarto creciente y los idus a la luna llena. Estas fechas sobrevivieron a su significado original: cuando los meses dejaron de relacionarse con las lunas se mantuvieron sus divisiones ya vacas de sentido astronmico pero llenas de utilidad prctica para los romanos. En su propio nombre nuestro calendario hace pervivir las antiguas calendas y, en nuestro lenguaje, an a veces se utiliza la expresin irnica Ad calendas grecas para indicar, sencillamente, una fecha inexistente ya que el calendario griego no tena calendas. Las calendas eran el



primer da de cada mes, en cambio las nonas y los idus se situaban en das distintos segn los meses. En los meses martius, maius, quintilis y october las nonas eran el sptimo da y los idus el decimoquinto. En los restantes meses las nonas eran el quinto da y los idus el decimotercero. Los otros das del calendario romano reciban el nombre contando los das que faltaban hasta la prxima fecha especial (calendas, nonas o idus). No se puede negar que este es el calendario de un pueblo que mira hacia el futuro, siempre pendiente de la siguiente fecha relevante y contando los das que faltan para llegar a ella.

En el ao 46 a.C. Julio Csar reorganiz el calendario romano con el asesoramiento del astrnomo Sosgenes de Alejandra, asumiendo ya como duracin del ao 365 das y un cuarto de da. Este es un paso adelante en el ajuste de decimales que mencionbamos al principio. El calendario egipcio, bien conocido por Sosgenes, tena una duracin de 365 das, de manera que aproximaba la duracin real del ao (365,242199 das) nicamente a las unidades, cometiendo as un error por defecto de 0,242199 das cada ao, lo que supona 0,968796 das, casi un da completo, cada cuatro aos. Parece que los sacerdotes egipcios eran conscientes de este desfase que mantuvieron en su ao religioso pero que corregan con el establecimiento de un ao para uso agrcola. Julio Csar incorpor este da cada cuatro aos.

La reforma juliana estableci la duracin de los meses alternativamente en 31 das y 30 das, excepto el mes februarius que, en los aos normales, se quedaba en 29 das. Cada cuatro aos se aada un da al mes februarius que llegaba as a los 30 das. Este da se intercalaba entre el 23 y el 24 de februarius. Como se ha dicho, el nombre de los das en el calendario romano vena determinado por el nmero de das que faltaban para la siguiente fecha destacada. As el 24 de febrero era el ante diem sextum Kalendas Martias y, para denominar el da intercalado, se usaba el prefijo bis, de manera que este da reciba el nombre de ante diem bis sextum Kalendas Martias. De las palabras bis sextum de esta expresin naci el nombre de bisiesto para estos aos especiales.

La biografa de Julio Csar que escribi Plutarco de Queronea (~ 45 120) en sus Vidas Paralelas contiene un bellsimo prrafo sobre la reforma juliana, su necesidad e incluso alguna de las reacciones que ocasion. No podemos substraernos de transcribirlo a continuacin2:

LIX.- La reforma del calendario y la rectificacin de la desigualdad en el cmputo del tiempo, sabiamente meditadas y llevadas a buen fin por Csar, fueron de una preciosa utilidad. Pues no slo en los tiempos muy antiguos la relacin que utilizaban los romanos entre los perodos de los meses y el ao resultaba tan confusa, que los sacrificios y las fiestas, al ir desfasndose poco a poco, caan en las estaciones contrarias a las fechas primitivas, sino que en la poca de entonces nadie comprenda absolutamente nada de esto, excepto los sacerdotes, que eran los nicos que conocan el tiempo real, y de repente y sin previo aviso a nadie aadan un mes intercalar, que llamaban Mercedonio. Este mes se dice que el primero que lo intercal fue Numa, que no hall ms que este mediocre y poco trascendente remedio para los errores observados en relacin con el retorno peridico de los astros, como queda escrito en su biografa. Pero

2 El texto corresponde a la traduccin de la obra de Plutarco realizada por Emilio Crespo Gemes y editada por la editorial Bruguera (1983).



Csar propuso este problema a los mejores filsofos y matemticos y, partiendo de los mtodos ya aplicados, uni a ellos una rectificacin peculiar y ms rigurosa, que es la que todava en la actualidad emplean los romanos, que pasan por equivocarse menos que los otros pueblos en cuanto a las divergencias entre el tiempo real y su cmputo. No obstante, tambin esto fue motivo de queja entre los que le tenan ojeriza y no podan soportar su dominacin. Al menos, el orador Cicern, segn parece, cuando uno le dijo que al da siguiente sala la Lira, respondi: S, por decreto, dando a entender que incluso esto lo acataban las gentes por obligacin.

Muerto Julio Csar, en el ao 44 a.C., el senado romano, en su honor, decidi sustituir el nombre del mes quintilis por julius ya que precisamente haba nacido en este mes. En el ao 8 a.C. se cambi el nombre del mes sextilis por el de august en honor a Csar Augusto. Esto planteaba una cuestin de protocolo: Cmo poda ser que julius tuviera 31 das y august tan solo tuviera 30?

La solucin fue fcil: aadir un da a august y substraerlo, naturalmente, de februarius, vctima de todos los cambios quizs porque haba sido el ltimo mes y de purificacin. Dado que, en este caso aparecan tres meses consecutivos con 31 das (julius, august y september), se opt por pasar un da de september a october y pasar un da de november a december. En el esquema de la figura 3 se resumen estos cambios.

31303130313130313031Normal: 28Bisiesto: 29

31

Situacin actual

+ 1 1+ 1 1

+ 1 1

August

Ao 8 a.C.

Julius

Ao 44 a.C.

3030 + 13030 + 13030 + 13030 + 13030 + 130 1Normal: 29Bisiesto: 30

30 + 1

DecemberNovemberOctoberSeptemberSextilisQuintilisJuniusMaiusAprilisMartiusFebruariusJanuarius

Ao 46 a.C.

FebruariusJanuariusDecemberNovember October SeptemberSextilisQuintilisJuniusMaiusAprilisMartius

Figura 3



As qued establecida nuestra distribucin de das en los meses tal como aprendimos en nuestra infancia con aquella frase tan bien conocida 30 das tiene noviembre con abril, junio y septiembre, de 28 slo hay uno y los dems 31

Si bien las aventuras de nuestro calendario no acaban aqu, quizs sea un buen momento para observar que el ao que se toma como inicio para la numeracin de los aos tambin ha tenido su historia. Como se ha comentado, en la Roma antigua, los aos se contaban desde la fundacin de Roma. El emperador Diocleciano quiso iniciar la cuenta a partir del ao de su subida al trono (284 d.C.). Finalmente el origen de nuestra numeracin para los aos se la debemos a Dionisio el Exiguo quien lo fij en el ao del nacimiento de Cristo, con un probable error de 4 o 5 aos. Con la nueva numeracin este cambio se produjo en el ao 531 d.C. Tambin los nombres de los das de la semana han tenido su propia aventura. As, por ejemplo, el papa Silvestre I, San Silvestre, quiso ajustar los nombres de los das de la semana a los del calendario litrgico. Puede observarse esta nomenclatura en el nombre de los das de la semana en lengua portuguesa: segunda-feira, tera-feira, quarta-feira

Al aadir un da cada cuatro aos la reforma de Julio Csar estableca la duracin media del ao civil en 365,25 das de manera que consegua una mejor aproximacin a la duracin real del ao (365,242199 das). Restando estos valores se observa an un error por exceso de 0,007801 das cada ao. Parece un desajuste pequeo pero cada 400 aos representa 3,1204 das. En el siglo XVI esta separacin sumaba ya 10 das. Por esto fue necesario acometer una nueva reforma del calendario en la que se estableci el llamado calendario gregoriano que es el que utilizamos actualmente.

El calendario gregoriano fue instaurado por el papa Gregorio XIII en el ao 1582 basndose en los trabajos de una comisin presidida por el jesuita Christopher Schssel (Clavius). Destacan dos cambios:

- Mantiene como aos bisiestos los mltiplos de 4 pero elimina tres bisiestos cada 400 aos: dejan de ser bisiestos los aos que sean mltiplos de 100 pero no lo sean de 400. As el ao 2000 ha sido bisiesto, pero no lo fue el 1900 ni lo ser el 2100.

- Elimina los 10 das de retraso que se haban acumulado desde la promulgacin del calendario juliano: el jueves 4 de octubre de 1582 (fecha juliana) fue seguido por el viernes 15 de octubre de 1582 (fecha gregoriana). Inicialmente este cambio fue adoptado por Espaa, Italia, Francia y Portugal. Progresivamente otros estados lo fueron adoptando: Inglaterra en el ao 1752, Finlandia en el 1918, Turqua en el 1926, etc.

La instauracin del calendario gregoriano, en algunos casos, se hizo con una normalidad sorprendente. Es curioso observar como, en las actas del Captulo de la catedral de Girona correspondientes al mes de octubre de 1582, ni se menciona el cambio y se pasa, sin ms, de la reunin del mircoles 3 de octubre a la del viernes 15 de octubre. En otros casos el cambio dio lugar a curiosas ancdotas. A continuacin citamos algunas:



- Santa Teresa de vila muri precisamente el jueves 4 de octubre de 1582 y fue enterrada al da siguiente, el viernes 15 de octubre. En esta fecha se celebra la fiesta de Santa Teresa.

- Rusia no acept la reforma gregoriana hasta la llegada de los soviets. La adopcin del nuevo calendario se hizo de manera que el da 1 de febrero de 1918 pas a ser el da 14 de febrero. Se da el caso curioso que la llamada Revolucin de Octubre, en la antigua URSS, se celebraba en noviembre. El inicio de la revolucin haba tenido lugar los das 25 y 26 de octubre segn el calendario juliano vigente en la Rusia zarista. Cuando el nuevo rgimen adopt el calendario gregoriano estas fechas fueron a caer en los das 7 y 8 de noviembre.

- Shakespeare y Cervantes murieron en la misma fecha, el 23 de abril de 1616, pero no en el mismo da. Cervantes muri el 23 de abril de 1616 segn el calendario gregoriano vigente en Espaa desde 1582. Shakespeare muri el 23 de abril de 1616 segn el calendario juliano vigente en Inglaterra hasta el ao 1752.

- Algunas biografas sitan el nacimiento de Isaac Newton en el ao 1642 y otras en el 1643. No se trata de un error. Isaac Newton naci el 25 de diciembre de 1642 segn el calendario juliano que corresponde al 4 de enero de 1643 segn el gregoriano. El uso de una fecha u otra es opinable. Si bien las fechas suelen adaptarse al calendario vigente, existe una razn simblica para aceptar el ao 1642: fue el ao de la muerte de Galileo.

- En Inglaterra el cambio de calendario y la eliminacin de das que supuso provoc algn disturbio. Es curiosa la referencia que se puede observar en el cuadro An Election Entertainment de William Hogarth (Figura 4) en el cual aparece un activista herido tras haber robado una pancarta a un manifestante conservador en la que puede leerse: Give us our Eleven Days (Dadnos nuestros once das). Este cuadro fue pintado tres aos despus del cambio de calendario.

Figura 4



La reforma gregoriana nos invita a un nuevo clculo: la eliminacin de tres aos bisiestos cada 400 aos supone una duracin media del ao gregoriano de 365,2425 das que es ya una mejor aproximacin al valor real.

En algn momento se han postulado modificaciones o alternativas al calendario gregoriano. Debe citarse el calendario republicano francs que constaba de 12 meses de 30 das divididos en 3 dcadas de 10 das cada una. A final de ao se aadan 5 das o 6 das en el caso de los bisiestos. Este calendario, hijo de los ideales de la revolucin francesa, tan slo estuvo vigente desde el 1792 hasta el 1804. El sistema de medidas que estos mismos ideales impulsaron tuvo mejor xito que su calendario.

No quisiramos acabar este paseo por los antecedentes del calendario sin insistir en el hecho de que otras sociedades, otras culturas, tienen otros calendarios con su historia igualmente interesante. Este relato se ha centrado nicamente en el que utilizamos, de manera habitual, en la cultura occidental.

.a Algunas sugerencias didcticas

A continuacin se subrayan doce aspectos que hemos observado en nuestro paseo por el origen del calendario y que, entre otros, pueden sernos tiles en nuestras clases:

- Significado prctico de la ausencia de relaciones enteras entre duracin de aos y das, ciclos lunares y das, aos y ciclos lunares

- Expresin de las duraciones de aos y ciclos lunares en das, horas, minutos

- El ciclo de Metn. Observacin de esta curiosa relacin entre la duracin del ao y la de las lunas. Bsqueda de los datos, clculo de los productos, valoracin del nivel de aproximacin

- Diversos orgenes en el sistema de referencia para el recuento de los aos. Transformaciones.

- El mes de enero y el satlite Janus: mitologa y ciencia, satlites y planetas, luz directa y luz reflejada, exploracin del sistema solar

- Descubrir y explicar la curiosa contradiccin entre el lugar que ocupan cuatro de nuestros meses y la etimologa de sus nombres (septiembre, octubre, noviembre y diciembre).

- Clculo de la duracin media del ao civil en los calendarios juliano y gregoriano.

- Evaluacin de los errores (por defecto o por exceso) del calendario juliano y del gregoriano respecto a la duracin real del ao y valoracin de las consecuencias prcticas.



- Los mltiplos de 4, los mltiplos de 100 y los mltiplos de 400 en relacin a los aos bisiestos.

- Clculo del nmero de das que es necesario eliminar para el paso del calendario juliano al calendario gregoriano. En el siglo XVI se eliminaron 10 das, cuntos tendramos que eliminar si el cambio se hiciera hoy?

- Relaciones entre el calendario y la historia, la literatura y el arte.

- Poner de manifiesto la importancia de las matemticas para construir progresivamente un instrumento tan importante y cotidiano para nosotros como el calendario.

Son slo doce ideas. Cada profesor o profesora puede aadir otras que el relato le haya sugerido. En todo caso, doce los meses de nuestro calendario es un buen nmero para nuestra propuesta.

.3 Un paseo por los orgenes del SMD

El da 10 de diciembre de 1799, pronto har 210 aos, en uno de los primeros decretos firmados por Napolen, se estableca en Francia el Sistema Mtrico Decimal (SMD). Impulsado por las ideas unificadoras de la revolucin francesa el establecimiento de un sistema de medidas de uso comn constituy una formidable aventura cientfica que, en parte, se desarroll sobre nuestro territorio y que cont con la contribucin de cientficos espaoles, especialmente astrnomos y matemticos. Hoy parece que estamos muy lejos de este acontecimiento, incluso el nombre oficial de nuestro sistema de medidas ya no es el de Sistema Mtrico Decimal sino el de Sistema Internacional de Unidades. Sin embargo an hoy la generalizacin del Sistema Internacional de Unidades est lejos de haber concluido. Permtanme que mencione dos noticias recientes.

El 25 de mayo del 2008 se posaba cerca del Polo Norte de Marte la sonda de la NASA Phoenix Mars Lander despus de un poco ms de nueve meses de viaje a una velocidad aproximada de 21.000 km/h. El esfuerzo vali la pena ya que descubri la existencia de hielo en el planeta Marte. Pero podemos preguntarnos por qu extraa razn la sonda llevaba el nombre del ave que resurga de sus cenizas. Pues porque tuvo dos tristes precedentes en el intento de acercarse al planeta rojo: la Mars Climate Orbiter y la Mars Polar Lander. Esta ltima se estrell el 3 de diciembre de 1999 en el momento del amartizaje, segn parece, por causas tcnicas. La historia de la Mars Climate Orbiter es ms sorprendente. El da 23 de septiembre de 1999, despus de un viaje de 286 das, la NASA la perdi por un error debido a la falta de unificacin de las unidades de medida empleadas. Una maniobra vital fue calculada con dos sistemas de unidades diferentes. Unos programas de control utilizaron el Sistema Internacional (kilmetros, gramos...) mientras que otros programas utilizaron el sistema anglosajn (millas, libras...). La sonda deba situarse en una rbita polar a unos 140 km de altura sobre Marte, pero se situ a 60 km y cay sobre el planeta. El lmite de supervivencia era de 86 km.



El 15 de febrero del 2009 los medios de comunicacin informaban de que la BBC haba sido acusada de arrogancia por usar unidades del sistema mtrico durante la transmisin del torneo de las Seis Naciones de rugby. Efectivamente, apareca sobre-impresionado en pantalla el peso de cada jugador y la fuerza combinada de cada equipo expresados en kilogramos. En Inglaterra existe una organizacin de mrtires del sistema mtrico (http://www.metricmartyrs.co.uk/default.aspx) que se apresur a protestar por el hecho de que los espectadores deberan mirar los partidos de rugby con una calculadora al lado.

No hace falta pues buscar ejemplos alejados en el tiempo para poner de manifiesto las dificultades que ha tenido y sigue teniendo la implantacin de un sistema nico de medidas. En Espaa la adopcin fue relativamente temprana: la reina Isabel II decret, en el ao 1849, como obligatorio el uso del Sistema Mtrico Decimal a partir de enero de 1860, aunque de hecho se pospuso hasta el ao 1880.

Las primeras unidades de longitud fueron antropomrficas (palmo, pie, paso). En general las unidades de medida variaban mucho segn la regin, la comarca e incluso la poblacin. En la entrada de algunas ciudades se indicaban los patrones de medida oficiales en aquella ciudad. Esta diversidad dificultaba el intercambio comercial y, en algunos casos, era fuente de abusos y malentendidos. As, por ejemplo, en longitud, la vara de Valncia y de Castell meda aproximadamente 0,906 m mientras que la vara de Teruel meda 0,768 m. Comprando tela a tanto la vara en Castell y vendindola por el mismo precio en Teruel se poda obtener un beneficio del 18%. La legua es otra unidad muy diversa segn el territorio (desde la legua comn en Espaa de 5.572 m a la legua francesa de 3.898 m) y muy utilizada. Por ejemplo aparece 64 veces en la obra Don Quijote de la Mancha. La diversidad de pies tambin era notable, desde el pie de Burgos (0,278 m) al largo pie francs (0,324 m). El pie es una unidad especialmente distinguida que tiene relacin con nuestro ferrocarril. Una Real Orden de 1844 estableca el ancho de va en Espaa en 6 pies de Burgos (6 x 0,278 = 1,67 m). El actual ancho internacional, originario de Inglaterra, corresponde a 4 pies ingleses y 8 pulgadas y media. La libra tambin tena abundantes versiones: antes del establecimiento del SMD, en Europa se haban detectado 391 libras distintas. Una libra equivala a 12 onzas, 16 onzas, 17 onzas, 20 onzas segn las zonas y una onza a 25 g, a 28,7 g o a 33,3 g nuevamente segn el lugar. Tambin determinados gremios tenan sus propias unidades de medida, algunas de las cuales an perviven: el escrpulo (1,198 g) y la dracma (3,594 g) en farmacia, el quilate (0.205 g) en joyera, el punto (0,666 cm) en zapatera Los ejemplos de este caos en las medidas son abundantes.

La falta de una definicin comn permita que las unidades de medida fueran un instrumento de dominacin y su unificacin fue un objetivo de la Revolucin Francesa. El 9 de febrero de 1790 el ingeniero militar Prieur de la Cte dOr hizo una peticin a Asamblea Nacional en este sentido. Tres meses despus, el 8 de mayo, la Asamblea Nacional encarga a la Academia de Ciencias la reforma del sistema de medidas. El 19 de marzo de 1791 una comisin de la Academia emite un informe donde presenta tres alternativas para la eleccin de una unidad de medida de longitud aceptable para todos los tiempos, para todos los pueblos:

La longitud de un pndulo cuyo semiperodo fuera de un segundo a 45 de latitud. Esta idea parece que fue rechazada (entre otras razones) porque, segn


http://www.metricmartyrs.co.uk/default.aspx


algunos acadmicos, una unidad bsica (de longitud) dependera de otra unidad (de tiempo). Curioso argumento visto desde la actualidad en que la definicin del metro se basa en la distancia que recorre la luz en una fraccin de segundo.

La cuarta parte del ecuador. La cuarta parte de un meridiano.

El da 26 de marzo de 1791 la Asamblea se decidi por la tercera de estas opciones: La cuarta parte de un meridiano terrestre ser la unidad real de medida y la diezmillonsima parte de esta longitud ser la unidad corriente. En la misma sesin se adopt el nombre de metro (del griego , metron, medida) para esta unidad. Se dispona ya de algunas buenas estimaciones de la longitud del meridiano pero era necesario poner en marcha una operacin de medida mucho ms ambiciosa que permitiera alcanzar los niveles de exactitud que la definicin de la nueva unidad requera. As se platean tres preguntas: Qu hay que medir? Quin lo ha de hacer? Cmo se realiza la medicin?

Dedicaremos los siguientes apartados a tratar de responder a estas preguntas. Sin embargo hay que sealar que, mientras se realizaban estas operaciones, el 1 de agosto de 1793, ya se estableca la estructura del Sistema Mtrico Decimal sobre la base 10 y se adoptaba un metro provisional a partir de las mediciones hechas anteriormente.

.a Qu hay que medir? Quin lo ha de hacer?

Naturalmente no era posible medir todo el cuadrante de meridiano desde el Polo Norte al Ecuador. Se trataba de medir sobre el terreno un arco de meridiano tan extenso como fuera posible y extrapolar los resultados a todo el cuadrante. Para obtener una mejor precisin convena escoger un arco en torno a los 45 de latitud (minimizando as el efecto del aplanamiento terrestre) cuyos extremos estuvieran al nivel del mar.

Se plantearon tres posibilidades: Dunkerque - Barcelona, msterdam - Marsella y Cherburgo - Murcia. Finalmente se escogi la primera opcin porque ya haba sido objeto de diversas mediciones anteriores. Probablemente el hecho de pasar por Pars no fue ajeno a la decisin. Las operaciones de medicin sobre el terreno se encargaron a dos astrnomos de reconocido prestigio: Pierre-Franois Andr Mchain (Laon, 1744 - Castell de la Plana, 1804) se hizo cargo del tramo entre Barcelona y Rodez, Jean Baptiste Joseph Delambre (Amiens, 1749 - Pars, 1822) se hizo cargo del tramo entre Rodez y Dunkerque. Ambos contaron con colaboradores, tanto franceses como espaoles. Un poco ms adelante nos detendremos en sus peripecias.

En enero de 1806, ya muerto Mchain, Delambre acab la edicin de una memoria en tres tomos donde se detallan todos los datos obtenidos, las condiciones de observacin y los clculos realizados en la triangulacin. El ttulo de esta memoria, cuya portada se reproduce en la figura 5, es: Base du Systme Mtrique Dcimal, ou Mesure de larc du Mridien compris entre les parallles de Dunkerque et Barcelone, excutee en 1792 et annes suivantes, par MM. Mchain et Delambre.



Figura 5

Esta fotografa y las siguientes han sido obtenidas directamente del ejemplar que se halla en la reserva de la biblioteca de la Universidad de Barcelona a la cual agradecemos las facilidades dadas.

.b Cmo se realiza la medicin? Tcnica de triangulacin.

Medir sobre el terreno un arco de meridiano no era una tarea fcil hace dos siglos. Actualmente el uso de satlites artificiales y de los sistemas GPS (gestionado por los Estados Unidos) o GLONASS (gestionado por la Federacin Rusa) permite realizar trabajos geodsicos con comodidad y precisin pero, hasta hace relativamente poco, estos clculos deban realizarse con la llamada tcnica de triangulacin que consiste en determinar las longitudes de los lados de una cadena de tringulos a partir de una nica distancia conocida, llamada base de la triangulacin, y de una sucesin de ngulos que han de medirse con tanta precisin como sea posible.

Conocidos un lado de un tringulo y dos de sus ngulos, por mtodos trigonomtricos, pueden calcularse los otros dos lados. Se parte de una base que se mide sobre el terreno con tanta precisin como sea posible. Se establece un tringulo imaginario que tiene dos vrtices en los extremos de la base y el tercer vrtice en un punto generalmente elevado de manera que, desde cada vrtice puedan verse los otros dos y, por tanto, puedan medirse los tres ngulos del tringulo. Conocidos un lado y los ngulos del tringulo podrn calcularse los otros dos lados que, a su vez, podrn servir de base para otros dos tringulos. A partir de estas longitudes calculadas en la etapa anterior, midiendo los ngulos de los nuevos tringulos, se podrn calcular sus lados los cuales, a su vez podrn usarse como base para el clculo de nuevos tringulos. As sucesivamente se obtendr una cadena de tringulos de lados conocidos cuyos vrtices, llamados vrtices



geodsicos, suelen tomarse en lugares elevados (cimas de montaas, campanarios) para asegurar el contacto visual y, por tanto, la medida de los ngulos.

La cadena de tringulos as construida tena dos problemas: ni los tringulos estaban situados sobre un mismo plano, ni los lados de los tringulos estaban exactamente alineados con el meridiano. Esto complicaba los clculos ya que tenan que realizarse dos tipos de proyecciones:

- Los lados de los tringulos tenan que proyectarse sobre un mismo plano de referencia. Para ello se utilizaba el llamado ngulo cenital que es el que forma la vertical en un punto con el lado del tringulo que se desea proyectar. Vase el esquema de la figura 6.

Figura 6

- Algunos de los lados tenan que proyectarse en la direccin del meridiano para que, en conjunto, lo recubrieran. Para ello se utilizaba el llamado ngulo azimutal que es el comprendido entre la direccin del meridiano y el lado del tringulo que se desea proyectar. Vase el esquema de la figura 7.



Figura 7

Esta tcnica requiere mucha precisin en la medida de la base y de los ngulos. Son esenciales los instrumentos de medida y la correcta visibilidad entre los vrtices y ha de controlarse la propagacin (y posible amplificacin) de errores en los clculos sucesivos. Para las operaciones de medida del tramo de meridiano Dunkerque Barcelona se tomaron muchas precauciones con el fin de asegurar la mayor precisin posible en los resultados:

- Para la medicin de la base (que se escoga en un terreno llano) se usaban cuatro reglas de dos toesas de longitud cada una. As pues se tomaba como unidad de longitud la toesa que equivala a 1,949 m. Cada regla estaba formada por una capa de platino y una de cobre (la diferente dilatacin de los dos materiales en funcin de la temperatura permita tenerla en cuenta en las mediciones) y dispona de un pie de rey que se lea a travs de unas lupas. Tambin tena dispositivos para encajar las reglas consecutivas, para alinearlas y para anivelarlas. La imagen de la figura 8 muestra una de las reglas que se utilizaban para medir las bases de la triangulacin.



Figura 8

- Para la medida de los ngulos se dise y construy el llamado crculo repetidor de Borda que permita tomar repetidamente una misma medida angular para minimizar los errores. Parece que se obtena una precisin de 1. Este instrumento fue construido por Etienne Lenoir sobre un diseo de Jean-Charles de Borda a quien debe su nombre. La figura 9 muestra un dibujo del crculo repetidor de Borda. Como se ha indicado, estas fotografas proceden de la propia memoria de Mchain y Delambre antes mencionada.

Figura 9

- Se procuraba medir los ngulos entre los vrtices geodsicos en condiciones meteorolgicas que permitieran una buena visibilidad, lo cual requera a veces estancias prolongadas en las cimas de las montaas. En algunos casos, con el fin de asegurar una mejor visin, se utilizaba un sistema para reflejar la luz, muy clara, producida por lmparas, segn parece, de aceite de ballena.

Es natural preguntarnos por la precisin que se consegua con esta tcnica. En la



memoria de Mchain y Delambre se ofrece un dato muy significativo en este aspecto. Se midieron sobre el terreno dos bases: una base para los clculos entre Lieusaint y Melun y una base de comprobacin entre Vernet y Salses, al sur de Francia, cerca de la playa y no lejos de Girona. La base de Melun meda 6075,90 toesas (11,8 km). La base de Vernet meda 6006,249 toesas (11,7 km). El clculo de la base de Vernet a partir de la de Melun, siguiendo una cadena de 53 tringulos a lo largo de unos 650 km, daba 6006,089 toesas. As pues haba un error de tan solo 0,16 toesas, es decir, 30 cm.

La figura 10 representa un tramo de la triangulacin, que pasa por Pars y que contiene la base entre Lieusaint y Melun.

Figura 10

La tcnica de triangulacin se ha usado hasta hace relativamente poco tiempo. Actualmente el sistema GPS (Global Positioning System) permite medir longitudes con mayor precisin a partir del clculo del tiempo que una seal emitida por un satlite tarda en volver. En una conferencia reciente el director del Institut de Geomtica nos haca observar que los vrtices geodsicos modernos son los satlites GPS y que la geodesia actual no determina las longitudes midiendo ngulos como en el siglo XIX



sino que las determina a partir del tiempo que tarda una seal en viajar entre el satlite y el receptor. Bonita comparacin entre dos maneras muy distintas de abordar un mismo problema con la tecnologa de que se dispone en cada momento. En todo caso los esfuerzos de Mchain y Delambre para minimizar los errores de sus resultados son muy parecidos a los de los geodestas actuales que buscan sistemas para calibrar y controlar los factores que perturban el tiempo de recorrido de la seal (por ejemplo el efecto de la ionosfera y la troposfera) y, por tanto, la medida de la longitud. Ante un mismo problema cambian los mtodos y los instrumentos, pero permanece la voluntad de la ciencia por conseguir cada vez soluciones ms precisas.

Con anterioridad a los trabajos de Mchain y Delambre la tcnica de triangulacin ya se haba utilizado en la medicin de distintos tramos de meridiano. En el apartado siguiente nos detendremos en ello.

.c Algunos precedentes en la medicin de partes del meridiano

Parece que el primer intento de calcular la longitud de un meridiano terrestre fue debido a Eratstenes hace 2300 aos. Haba observado que, en el da del solsticio de verano, en la ciudad de Siena (la actual Asun), situada aproximadamente en el mismo meridiano que Alejandra a unos 5.000 estadios al sur, al medioda, un bastn perpendicular al suelo no proyectaba ninguna sombra y que la luz del sol caa directamente sobre el fondo de un pozo. En el mismo momento, en Alejandra, un bastn proyectaba sombra. Dedujo que este sorprendente hecho se deba a que la Tierra era esfrica y un sencillo razonamiento geomtrico, comparando la longitud de la sombra y la del bastn, le permiti deducir que el ngulo central entre los radios correspondientes a Siena y a Alejandra era de 7, es decir aproximadamente una cincuentava parte de toda la circunferencia. Para aproximar la longitud del meridiano le bast considerar 50 veces la distancia entre las dos ciudades: 250.000 estadios, distancia que posteriormente corrigi fijndola en 252.000 estadios. Teniendo en cuenta que el estadio era una unidad de longitud que corresponda a unos 0,185 km, resultaba una estimacin para la circunferencia de un meridiano terrestre de 46.620 km. Un error de poco ms de 6.600 km que no oscurece en absoluto el mrito de Eratstenes, quien, a partir de esta longitud, dedujo tambin el radio de la Tierra.

En este ao 2009, Ao Internacional de la Astronoma, los das 20 y 26 de marzo, ms de 10.000 alumnos y alumnas de 600 escuelas de toda Espaa (y tambin de Latinoamrica y de Europa) repitieron el experimento de Eratstenes y obtuvieron un resultado para el radio de la Tierra de 6.162 km. Teniendo en cuenta que el radio medio de la Tierra mide 6.371 km, el valor obtenido tiene un error de menos de un 4%. Un resultado tan espectacular como el entusiasmo de los participantes.

Desde antiguo era conocida pues la esfericidad de la Tierra. Sin embargo, a principios del siglo XVIII an exista cierta controversia sobre si la Tierra era aplanada por los polos, opinin mantenida a partir de las teoras de Newton, o lo era por el Ecuador, opinin defendida en Francia por Cassini. Con el fin de resolver esta controversia la Academia de Ciencias francesa acord medir con precisin la longitud del arco correspondiente a un grado de ngulo central sobre un meridiano a nivel del Ecuador y a



nivel del rtico. Para ello organiz dos expediciones: una a Laponia (con los astrnomos y matemticos Clairaut y Maupertuis) y otra al virreinato del Per, concretamente lo que hoy es el Ecuador (con La Condamine, Godin y Bouguer). Puesto que la zona del virreinato del Per era territorio espaol se incorporaron a la expedicin dos jvenes guardiamarinas de la Academia de Cdiz: Antonio de Ulloa (20 aos) y Jorge Juan de Santacilia (19 aos). Las especiales cualidades matemticas de Jorge Juan le hacan recibir el sobrenombre de Euclides por parte de sus compaeros de la Academia. Salieron el 26 de mayo de 1735 y tuvieron que enfrentarse a todo tipo de problemas que se aadan a las constantes desavenencias entre los cientficos franceses. La expedicin dur 10 aos y consigui medir tres grados de meridiano. De vuelta a Espaa, Jorge Juan y Antonio de Ulloa escribieron conjuntamente Observaciones astronmicas y fsicas hechas de orden de su Majestad en los Reynos del Per y tambin entregaron al rey un documento titulado Noticias secretas de Amrica en el cual denunciaban los abusos de que eran objeto los indgenas por parte de la administracin colonial. Jorge Juan hizo una brillante carrera al servici del estado y de la ciencia, impulsando la creacin del Real Instituto y Observatorio de la Armada en San Fernando (Cdiz). Precisamente su cara apareca en los ltimos billetes de 10.000 pesetas. Es toda una satisfaccin para nuestro gremio que los ltimos billetes de valor mximo que han existido de peseta fueran dedicados a un matemtico. En el nmero 28 de la revista SUMA correspondiente al mes de junio de 1998 puede leerse un interesante artculo de Gabriel Ruiz Garzn sobre este tema.

.d Medicin del meridiano. Nace el SMD

Como hemos dicho la medicin del tramo de meridiano entre Rodez y Barcelona corra a cargo de Mchain que estaba acompaado por su ayudante Tranchot y los comisarios espaoles Bueno, Gonzlez, Planas y lvarez. A principios de julio de 1792, hace exactamente 217 aos, llegaban al Pirineo y, en octubre, estaban en Barcelona. En el ya mencionado libro Base du Systme Mtrique Dcimal constan anotaciones de los datos tomados cerca de Girona, a finales de septiembre (2 y 3 vendmiaire, en el calendario republicano francs que acababa de ser instaurado). Tambin puede leerse (figura 11) una bonita descripcin de la cima del Rocacorba y observarse el tono elogioso, con que se explica el trabajo del alfrez de fragata lvarez, uno de los comisarios espaoles.



Figura 11

En el primer volumen del libro Base du Systme Mtrique Dcimal, se representa toda la cadena de triangulacin y, en particular, las triangulaciones hechas en nuestro territorio. Vase la figura 12. En ella se pueden leer topnimos de lugares muy prximos a Girona: N.D. du Mont (Mare de Du del Mont), Coste Bonne (Costabona), Matagalls, Aulot (Olot), Puy-se-Calm (Puigsacalm), Rocacorba Algunas de estas montaas casi pueden verse desde donde estamos celebrando nuestras Jornadas.



Figura 12

A las dificultades propias de la operacin geodsica se unieron otras dificultades para los cientficos. Mchain tuvo un grave accidente cuando examinaba el funcionamiento de una bomba para extraer agua. Este incidente le apart un tiempo de su trabajo. En 1793, la ejecucin de Lus XVI provoc una guerra entre Francia y Espaa que, de nuevo, dificult las operaciones.



Una vez acabada la triangulacin en territorio espaol Mchain desea volver a Francia pero las autoridades militares no se lo permiten (Conoce demasiado bien el territorio!) ni tampoco se le permite el acceso al castillo de Montjuc, donde haba hecho observaciones anteriores. Desde la pensin donde se hospeda, en la calle Escudellers de Barcelona hace nuevas observaciones y detecta un posible error de 3,24 en las observaciones realizadas desde Montjuc. Este posible error (existe la opinin de que quizs fuera debido a una anomala local del campo gravitatorio que pudo influir en las plomadas) le preocupar hasta su muerte. Finalmente, en noviembre de 1794, se le permite volver a Francia, despus de haber estado detenido para su proteccin desde finales de junio.

Delambre, en territorio francs, no tuvo menos dificultades que Mchain. No siempre las seales y observaciones nocturnas de los cientficos eran interpretadas correctamente en la peligrosa situacin social que viva Francia.

Fruto de estos trabajos se obtuvo la medida del meridiano con una gran precisin y se estableci el metro patrn definitivo como la diezmillonsima parte del cuadrante de meridiano. Tambin se estableci el kilogramo como la masa de un decmetro cbico de agua destilada a una atmsfera de presin y a 3,98C de temperatura. En el ao 1798 se reunieron en Pars representantes de diversas naciones para llegar a acuerdos en relacin a la adopcin del nuevo sistema de medidas. Los representantes espaoles fueron Gabriel Cscar y Agustn de Pedrayes. Detengmonos un instante en estos dos personajes:

- Gabriel Cscar haba nacido en Oliva (Valncia). Su pueblo natal le erigi un monumento con una inscripcin que resume bien sus mritos: El Teniente General de la Real Armada y Matemtico insigne Gabriel Cscar y Cscar, natural de Oliva, fue: Regente de Espaa, promotor de la primera Constitucin Espaola en 1812, un gran luchador por la libertad enfrentndose a Fernando VII y al absolutismo. Como matemtico fue el representante espaol en Pars en el congreso que adopt el Sistema Mtrico Decimal. Precisamente a este monumento estaba dedicada una de las pruebas de la fase provincial de Valncia de la XVI Olimpada Matemtica que se celebr en Oliva en el ao 2005.

- Agustn de Pedrayes y Foyo, nacido en Lastres (Asturias), estudi en Santiago de Compostela y se gradu en Filosofa, Teologa y Leyes. Ense matemticas en la Real Casa de Caballeros pajes de su Majestad, hasta su fusin con el Seminario de Nobles. Destacan sus trabajos en resolucin de ecuaciones y anlisis infinitesimal. Precisamente a este insigne matemtico debe su nombre la Sociedad Asturiana de Educacin Matemtica.

El da 22 de junio de 1799 se depositaron en los Archivos de la Repblica francesa dos patrones de platino que representaban el metro y el kilogramo. Casi 90 aos despus estos patrones sern substituidos por otros de platino e iridio. El 10 de diciembre del mismo ao, Napolen promulg la ley que estableca el sistema de unidades basado en el metro y el kilogramo. Naca as el Sistema Mtrico Decimal que tena por delante mucho camino que recorrer para conseguir el reconocimiento general al que aspiraba. En este sentido parece ilustrativo transcribir un prrafo del Tratado elemental de



Matemticas escrito por orden de S.M. para uso de los Caballeros Seminaristas del Seminario de Nobles de Madrid y dems Casas de Educacin del Reino de Jos Mariano Vallejo (Madrid, 1841) donde se describe el origen del nuevo sistema de medidas con un escepticismo nada disimulado:

...luego que se conocieron las ventajas que resultaran la sociedad de la uniformidad de pesas y medidas, en todas las naciones se trat de efectuarla: este efecto se reunieron en Pars el ao de 1798 sabios de todas las naciones (*); y en efecto eligieron un sistema muy filosfico; mas que, en virtud de serlo tanto, se deba esperar que jamas tuviese efecto, como al fin se ha verificado; porque el querer que el vulgo mude de lenguaje, y en vez de aquel corto nmero de palabras que conoce reciba otras, todas en griego, era una cosa imposible...

A pie de pgina se indica:

(*) La nuestra comision para esto D. Agustin Pedralles, y D. Gabriel Ciscar; y este ltimo public una memoria en castellano, esplicando el sistema que se haba elegido.

.e Unos grados ms!

El da 31 de agosto de 1802 se decide emprender una nueva expedicin con el objetivo de alargar la medida del arco de meridiano hasta Formentera. Dos razones aconsejan esta decisin que ya se contemplaba desde el principio de las operaciones: por una parte cuanto mayor sea la longitud del arco medido directamente ms precisin se obtendr en la medida total del meridiano y, por otra, alargar el tramo hasta Formentera permitira disponer de un arco de meridiano bastante centrado en torno a los 45 de latitud y minimizar as los efectos del aplanamiento de la Tierra.

A pesar de ser Director del Observatorio de Pars, Mchain insiste en participar en esta nueva expedicin tal vez preocupado por el supuesto error que haba detectado en Barcelona. En esta ocasin est acompaado por Jean Baptiste Le Chevalier y por su propio hijo Agustn. Como comisario espaol se incorpora a la expedicin Agust Canelles, fraile trinitario, astrnomo y matemtico nacido en Alpens a unos 60 km de Girona, en lnea recta. Realizando observaciones la expedicin recorre la costa valenciana y las islas de Eivissa, Formentera y Mallorca, incluso visita Cabrera. Sin embargo tiene un final trgico. Cuando Mchain est haciendo observaciones desde el Desert de les Palmes (en la provincia de Castell) se le presentan los sntomas de la fiebre amarilla, epidemia que estaba asolando el sur de Espaa. Muere en Castell de la Plana el da 20 de septiembre de 1804.

El da 2 de mayo de 1806 se decidi continuar las mediciones interrumpidas por la muerte de Mchain. En esta ocasin la expedicin est a cargo de Jean Baptiste Biot y de Francesc Arag que haba nacido en Estagell, cerca de Perpiny, y que, a pesar de tener tan solo 20 aos, era un prometedor cientfico en formacin. Los comisarios espaoles, en esta ocasin, fueron J. Chaix Isniel (astrnomo y matemtico valenciano que lleg a ser subdirector del Observatorio de Madrid) y J. Rodrguez Gonzlez



(matemtico gallego, profesor en Santiago, que estaba ampliando estudios en Pars). El gobierno espaol puso a su disposicin un pequeo barco llamado El Mstico.

Mientras est haciendo observaciones en el Desert de les Palmes (precisamente donde haba enfermado Mchain), Jean Baptiste Biot se siente indispuesto y, temindose lo peor, pide ayuda al cientfico de Tarragona Antoni Mart Franqus, que lo acoge en su casa hasta que se recupera. En enero de 1808 Biot vuelve a Francia con el resultado de once tringulos ya concluidos y Arag se hace cargo de continuar las operaciones. Las dificultades fueron importantes pero las especiales aptitudes aventureras de Arag consiguieron resolver muchas situaciones delicadas. En abril de 1808 Arag lleg a Mallorca y, en mayo, se instal en la Mola de sEsclop para realizar las ltimas mediciones que concluiran la cadena de tringulos. El 27 de mayo llegan a Mallorca las primeras noticias de los hechos que desencadenan la Guerra de la Independencia y se produce una historia rocambolesca que Arag explica en su autobiografa Historia de mi juventud. Ante estas informaciones algunas personas pensaron que aquel francs que haca extraas seales nocturnas desde la cima de sEsclop era un espa y se dispusieron a capturar al peligroso personaje. Afortunadamente un marinero de El Mstico se les pudo adelantar para avisar a Arag y proporcionarle una vestimenta menos delatadora. Mientras bajaban de la montaa se cruzaron con el grupo armado que suba e incluso los animaron en su propsito. Al llegar al barco las condiciones han cambiado, no obtiene la acogida que esperaba, y Jos Rodrguez solicita proteccin para Arag al Capitn General quien opta por internarlo en el castillo de Bellver. Pocos das despus huye hacia Argel donde se enfrenta con nuevas aventuras hasta que puede partir hacia Marsella. Poco antes de llegar a su destino, su barco es detenido y l conducido hacia el puerto de Palams y detenido durante un tiempo en Roses. Finalmente, el da 30 de agosto de 1809, Arag presenta a la Academia de Ciencias la memoria cientfica en la que completa los clculos de las expediciones anteriores, prolonga la medicin del meridiano desde Barcelona hasta Formentera y establece que si se definiera el metro con los nuevos datos disponibles diferira en menos de 5 diezmilsimas de milmetro del metro definitivo aprobado en 1799, que se haba concretado en la longitud de una barra de platino. A partir de este momento, perdida ya la correspondencia exacta respecto a la medida del cuadrante de meridiano, esta barra ser el patrn del metro. Como se comentar ms adelante, en 1889 la barra original de platino ser substituida por otra de platino e iridio i en 1960 i 1983 se adoptarn nuevas definiciones para el metro. Para conmemorar el doscientos aniversario (1808 2008) de los trabajos de Arag en Mallorca, la Societat Balear de Matemtiques SBM-XEIX organiz diversos actos entre los que destaca una excusin a la Mola de sEsclop.

Hemos hecho una descripcin muy breve de una gesta muy grande. Una misin colosal, en una etapa convulsa de la historia, llevada a cabo sobre territorios muy distintos superando todo tipo de dificultades y protagonizada por autnticos hroes de la geodesia. Sobre el mismo suelo en que se realiz hay muchos recuerdos de esta formidable operacin de medida: placas en cumbres de algunas de las montaas que sirvieron como vrtices de la triangulacin, zonas ajardinadas o con hileras de rboles que siguen el recorrido del meridiano, monolitos sealando las bases, en la ciudad de Pars 130 medallones conmemorativos que siguen la lnea meridiana, rutas para seguir el meridiano a pie o en bicicleta... En la plaza de las Glries de la ciudad de Barcelona hay un monumento de 35 metros de largo que, a escala 1:35000, reproduce el relieve de un corte vertical de la Tierra siguiendo el arco de meridiano entre Barcelona y



Dunkerque. El monumento, obra de Franois Scali y Alain Domingo, fue donado a Barcelona por la ciudad de Dunkerque. Pero no todos los recuerdos de esta gesta son materiales. En la literatura tambin podemos descubrir su rastro. Parece que Julio Verne era amigo de un hermano de Arag y que, a travs de l, conoci los datos de la expedicin sobre los cuales bas su novela Aventuras de tres rusos y tres ingleses. En ella se describen las peripecias de un grupo de cientficos que se proponen medir unos grados de meridiano en el corazn de frica. Hay captulos con ttulos tan sorprendentes como: Triangular o morir o Un grado ms.

.f Progresiva adopcin del SMD. El SI de unidades

El Sistema Mtrico Decimal haba nacido, sin embargo le quedaba por recorrer el largo camino de su reconocimiento por parte de los diversos pases. Blgica y Holanda lo adoptaron en el ao 1816, Italia en el 1845, Espaa y Grecia en el ao 1849, Portugal en el 1852, Alemania en el 1870, Austria en el 1873, Suiza en el 1875...

El 20 de mayo de 1875 se firm en Pars la Convencin del Metro. Inicialmente participaron en la Convencin 17 estados entre los cuales tan solo haba uno de lengua inglesa, los Estados Unidos. El da 31 de diciembre de 2008 haba 52 estados adheridos a la Convencin y 26 asociados. Con el fin de asegurar la uniformidad de los patrones de medida la Convencin del Metro cre tres organismos internacionales: la Oficina Internacional de Pesas y Medidas (BIPM), una organizacin que acta bajo la autoridad de la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM) y la supervisin del Comit Internacional de Pesas y Medidas (CIPM) que es un organismo tcnico formado por 18 miembros. Para conmemorar la Convencin del Metro, cada 20 de mayo se celebra el Da Mundial de la Metrologa que este ao est dedicado precisamente a las medidas en el comercio.

El primer presidente del Comit Internacional de Pesas y Medidas fue el espaol Carlos Ibez e Ibez de Ibero (1825 1891) que ocup este cargo desde 1875 hasta su muerte. Carlos Ibez haba nacido en Barcelona aunque tanto su padre, que era militar, como su madre eran originarios de Miranda de Arga (Navarra). Pronto sigui los pasos de su padre e ingres en el cuerpo de ingenieros militares. Sin renunciar a su condicin militar, en la cual ascendi al grado de general, particip activamente en diversas instituciones civiles. Algunos bigrafos observan que casi podra afirmar-se que Ibez hizo una brillante carrera militar fuera del ejrcito debido a que la mayora de ascensos y distinciones de que fue objeto estuvieron relacionadas con su obra cientfica. Carlos Ibez tuvo un papel fundamental en la confeccin del primer mapa topogrfico de Espaa para lo cual se establecieron cuatro cadenas de triangulaciones siguiendo la direccin de los meridianos, tres cadenas siguiendo la direccin de los paralelos y 3 cadenas a lo largo de la costa. A partir del ao 1865 retom y extendi los trabajos de triangulacin que Mchain, Arag y Biot haban realizado para enlazar la Pennsula con las Islas Baleares. En el ao 1879, un equipo formado por geodestas espaoles y franceses, dirigidos por Carlos Ibez y por Franois Perrier, consigui por fin la unin geodsica entre Europa y frica. La parte espaola se hizo cargo de las operaciones desde las elevadas cimas del Mulhacn y de la Tetica de Bacares y la parte francesa se hizo cargo de las mediciones en Argelia. Finalizada la operacin, Ibez fue honrado con el ttulo de Marqus de Mulhacn.



En el perodo en que Carlos Ibez presidi el CIPM, y en concreto entre los aos 1878 y 1889, se construyeron (con una aleacin de platino con el 10% de iridio, dura, bastante inalterable por la temperatura y con un alto punto de fusin) prototipos de metro y de kilogramo coincidiendo en longitud y en masa respectivamente con el metro y el kilogramo establecidos en 1799. En el ao 1889, la primera CGPM sancion estos prototipos internacionales y, el da 28 de septiembre del mismo ao, se depositaron en la sede del BIPM, en Svres cerca de Pars, los nuevos patrones del metro y del kilogramo, llamados respectivamente metro internacional y kilogramo internacional. El kilogramo internacional, en forma de cilindro, contina siendo el patrn para la unidad de masa. El metro internacional se concret en la distancia entre dos trazos sealados sobre una regla a 0 C. La regla, con seccin en forma de X, tiene una longitud total de 102 cm y los trazos estn situados a un centmetro de cada extremo.

Con el paso del tiempo, las necesidades tcnicas exigieron una precisin en el patrn metro que la regla de 1889 ya no poda ofrecer. Por esta razn, en el ao 1960, la CGPM estableci una nueva definicin de metro basada en la longitud de onda de una radiacin de criptn 86. Tampoco esta definicin dur mucho tiempo. En el ao 1983, con el fin de obtener una mayor precisin, la CGPM vincul la definicin del metro a la velocidad de la luz, estableciendo el metro como la trayectoria que recorre la luz en el vaco durante 1/299792458 de segundo (el segundo, a su vez, se define a partir del perodo de una radiacin emitida por un tomo de cesio 133).

En la CGPM del ao 1960 se adopt el nombre de Sistema Internacional de Unidades (SI), se fijaron las unidades bsicas y las derivadas y se establecieron los prefijos y los smbolos para formar los nombres de los mltiplos y los submltiplos decimales de las unidades. Actualmente hay siete unidades bsicas: el metro (para la longitud), el kilogramo (para la masa), el segundo (para el tiempo), el amperio (para la intensidad de corriente elctrica), el kelvin (para la temperatura termodinmica), el mol (para la cantidad de materia) y la candela (para la intensidad luminosa).

Una visita a la web de la Oficina Internacional de Pesas y Medidas (http://www.bipm.org/fr/home/) nos permitir contemplar el largo camino que se ha recorrido desde los primeros pasos que se dieron gracias al saber y la voluntad de muchas personas como las que hoy hemos tenido el placer de recordar: Mchain, Delambre, Rodrguez, Chaix, Biot, Canelles, Arag, Cscar, Pedrayes, Ibez...

.g Algunas sugerencias didcticas

A continuacin se subrayan diez aspectos que hemos observado en nuestro paseo por el origen del SMD y que, entre otros, pueden sernos tiles en nuestras clases:

- Para tomar conciencia de la diversidad de patrones de medidas que existan antes del establecimiento del SMD y de las dificultades que conllevaba pueden proponerse actividades como la siguiente. A partir de las distintas medidas de la vara utilizada en Castell y la utilizada en Teruel calcular el porcentaje de beneficio que se obtendra al comprar tela a tanto la vara en Castell y venderla, por el mismo precio, en Teruel.


http://www.bipm.org/fr/home/


- Otros pequeos retos: Cuntos metros mide el zapato de la estatua de Coln en Barcelona sabiendo que tiene una longitud de 168 puntos? Cul es la longitud de una milla nutica sabiendo que, sobre un meridiano, corresponde a un ngulo central de un minuto? Cul es la anchura en metros de nuestras vas de ferrocarril sabiendo que corresponde a 6 pies de Burgos? Cul es la anchura internacional de las vas sabiendo que corresponde a 4 pies ingleses y 8 pulgadas y media? En cada caso se deber buscar informacin sobre las unidades que se ponen en juego.

- Repetir la experiencia de Eratstenes para la medicin de la longitud del meridiano y del radio de la Tierra. Esta actividad puede realizarse en coordinacin con otras escuelas situadas aproximadamente sobre el mismo meridiano.

- La tcnica de triangulacin como aplicacin de la resolucin de tringulos y, en general, de la trigonometra.

- Localizacin sobre el Google map de los vrtices geodsicos que se utilizaron en las triangulaciones realizadas por Mchain, Delambre, Biot y Arag. Utilizacin de las herramientas del programa para calcular distancias y ngulos.

- Clculo, como un trabajo de campo, de los lados de dos tringulos consecutivos de una cadena de triangulacin. Se trata de escoger dos puntos elevados y una base en una zona llana. Los extremos de la base y los puntos elevados debern tener contacto visual entre ellos. A partir de la medida directa de la base sobre el terreno y de la medida (siempre delicada) de los ngulos entre los observadores situados en los extremos de la base y en uno de los puntos elevados, se podr calcular la longitud de todos los lados de un primer tringulo. Tomando como base uno de los lados calculados y midiendo los ngulos correspondientes podrn determinarse las longitudes de los lados de un segundo tringulo. Si estas operaciones son realizadas por distintos equipos ser interesante comparar los resultados obtenidos e identificar razones que puedan justificar las discrepancias.

- Estimacin de los errores absoluto y relativo que afectaban al valor calculado para la base de comprobacin entre Vernet y Salses (6006,089 toesas) comparndolo con la distancia obtenida por medicin directa sobre el terreno (6006,249 toesas). Valoracin del resultado teniendo en cuenta el contexto y los medios con que se realiz la triangulacin.

- En la CGPM de 1960 se estableci una tabla de prefijos para formar los mltiplos y los submltiplos decimales de las unidades bsicas del SI (http://www.bipm.org/fr/si/si_brochure/chapter3/prefixes.html). En la tabla se especifica el factor en forma de potencia de 10 (entre 1024 y 1024) con indicacin del nombre y del smbolo utilizado como prefijo. Es una bonita oportunidad para trabajar las potencias de 10, los rdenes de magnitud, los cambios de unidades y el uso adecuado de los smbolos.

- En el SI existe una unidad bsica que contiene un prefijo en su nombre, el kilogramo. Como un pequeo trabajo de investigacin puede ser interesante invitar


http://www.bipm.org/fr/si/si_brochure/chapter3/prefixes.html


a nuestros/as alumnos/as a buscar las razones de este sorprendente hecho. En la web del BIPM, bajo el ttulo El nombre kilogramo: una fantasa de la historia, se ofrece una explicacin (http://www.bipm.org/fr/si/history-si/name_kg.html).

- En el contexto de una excursin escolar o viaje de estudios, visitar algn monumento conmemorativo de las operaciones de medicin del meridiano. Anteriormente se ha citado el que se encuentra en la plaza de las Glries de Barcelona. En estos momentos la zona est en obras y no es posible el acceso, sin embargo es de esperar que, en un futuro, pueda ser visitado. El hecho de que sobre l se indique la escala as como una lnea con las latitudes y otra con las distancias invita a proponer clculos diversos. Existen varios trabajos sobre su uso didctico. En particular, el segundo captulo del libro Es posible viajar con las matemticas? del Grup Vilatzara, editado por la Federacin Espaola de Sociedades de Profesores de Matemticas y el ICE de la Universidad Autnoma de Barcelona, est dedicado al origen del metro y en l se proponen actividades escolares relacionadas con este monumento.

Son slo diez ideas. Cada profesor o profesora puede aadir muchas otras que el relato le haya sugerido. En todo caso, diez la base del Sistema Mtrico Decimal- es un buen nmero para nuestra propuesta.

.4 Conclusin

Llegamos as al final de nuestro trayecto.

Ha sido un paseo muy corto por un territorio muy extenso en el cual hemos podido contemplar como la matemtica est presente en el origen del calendario y del sistema de medidas, estos dos formidables organizadores de nuestro tiempo y de nuestro espacio, y hemos podido descubrir perfiles humanos que representan el esfuerzo por mejorar, desde la ciencia, nuestra comprensin del mundo. Debemos m

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UN PASEO POR EL ORIGEN DEL CALENDARIO Y DEL …apliense.xtec.cat/arc/sites/default/files/annex_octubre_1582_Un... · establecerlos y el papel que la matemática ha jugado en su nacimiento