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8/18/2019 Un Problema de Administración de Recursos
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Un problema de administracde recursos•
Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres comida a un lago que alberga a tres especies de peces.Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de
del alimento A, 1 unidad del alimento B y 2 unidades del alimeCada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio d
unidades del alimento A, 4 del B y 5 del C.ara un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo
unidades del alimento A, 1 unidad del alimento B y 5 unidades
Cada semana se proporcionan al lago 25 !!! unidades del alime000 unidades del alimento B y 55 000 del C. "i suponemopeces se comen todo el alimento,
#cu$ntos peces de cada especie pueden coe%istir en el lago&
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El modelo de insumo-producde Leontief •
"uponga un sistema econ'mico que tiene n indu(%isten dos tipos de demandas en cada industria• la primera, una demanda externa desde a*uera
sistema. or e+emplo, si el sistema es un pas, lademanda e%terna puede pro-enir de otro pas.
• "egunda, la demanda que ace una industria a oindustria en el mismo sistema. or e+emplo, en (Unidos la industria automotriz demanda parte deproducci'n de la industria del acero.
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El modelo de insumo-producde Leontief •
"uponga que ei representa la demanda e%terna e+ercida sobre industria. "uponga que ai+ representa la demanda interna que lindustria e+erce sobre la i-/sima industria. 0e *orma m$s concrrepresenta el nmero de unidades de producci'n de la industrinecesitan para producir una unidad de la industria j. "ea x 1 la pde la industria i. Aora suponga que la producci'n de cada induigual a su demanda es decir, no ay sobreproducci'n. a demes igual a la suma de demandas internas y e%ternas.
• or e+emplo, para calcular la demanda interna de la industria 2obser-a que la industria 1 necesita a21 unidades de producci'nindustria 2 para producir una unidad de su propia producci'n. "producci'n de la industria 1 es x 1, entonces a21 x 1 se trata de latotal que necesita la industria 1 de la industria 2. 0e esta *ormdemanda interna total sobre la industria 2 es a21 x 1 a22 x 2 6
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•
Al igualar la demanda total a la producci'n de caindustria se llega al siguiente sistema de ecuacio
a11%1 a12%26a1n%ne17%1a21%1 a22%26a2n%ne27%2
an1%1 an2%26ann%nen7%n
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•
8 bien, reescribiendo el sistema en la *orma del inicial se obtiene.
19a11%1 9 a12%2969a1n%n7e19a21%1 19a22%26a2n%n7e27
9an1%1 9an2%2619ann%n7en
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El modelo de Leontief aplicaun sistema económico con t
industrias•
"uponga que las demandas e%ternas en un sisteecon'mico con tres industrias son 1!, 25 y 2!,respecti-amente.
• "uponga que a117!.2, a127!.5, a137!.15, a217!.4a227!.1, a237!.3,a317!.25, a327!.5 y a337!.15.
• (ncuentre la producci'n de cada industria de maque la o*erta sea e%actamente igual a la demand
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Solución
•
(n este caso n=3, 1 9 a11 7 !.:, 1 9 a22 ! !.; y 1 !.:5 y el sistema
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Sistemas homo!neos deecuaciones•
Un sistema general de m % n ecuaciones lineales se llamahomo!neo"i todas las constantes b1, b2, . . . bm, son cero=
• "i alguna o algunas de las constantes b1, . . . ,bm es o son de cero, decimos que el sistema lineal es no homo!neoel sistema general omog/neo est$ dado por)
a11%1 a12%26a1n%n7!a21%1 a22%26a2n%n7!
an1%1 an2%26ann%n7!
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Solución tri"ial o solución ce
•
ara sistemas generales no omog/neos, x 1 7 x 2 x n 7 ! es siempre una soluci'n
• llamada solución tri"ial o solución cero, por ls'lo se tienen dos posibilidades)
a la soluci'n tri-ial es la nica soluci'nb e%iste un nmero in>nito de soluciones adem$s d
as soluciones distintas a la soluci'n cero se llamansoluciones no tri"iales.
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Sistema homo!neo #ue tie$nicamente la solución tri"ia•
?esuel-a el sistema omog/neo de ecuaciones
2 x 1 4 x 2 @ x 3 7 !
4 x 1 5 x 2 @ x 3 7 !
3 x 1 x 2 9 2 x 3 7 !
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Solución sta es la -ersi'n omog/nea del sistema del eAl reducir en *orma sucesi-a, se obtiene despu/s de di-idprimera ecuaci'n entre 2
?2?294?1?3?393?1
?1?192?2?3?35?
2
?3 9 ?3
?1?1?3?2?2 92?3
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Un sistema homo!neo con unn$mero in&nito de soluciones
•
?esuel-a el sistema omog/neo x 1 2 x 2 9 x 3 7 !
3 x 1 9 3 x 2 2 x 3 7 !
9 x 1 9 11 x 2 @ x 3 7 !
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(ectores ) matrice
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(ector renlón de ncomponentes•
Un -ector de n componentes se de>ne como uncon+unto ordenado de n nmeros escritos de lasiguiente manera)
x 1, x 2, . . . , x n
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(ector columna de ncomponentes
x 1 se denomina la primera componente del -ector, x 2 eseunda componente, y as sucesi-amente. (n t/rminogenerales, x k se denomina la k -!sima componente del -
Componentes de un "ector
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E*emplos de "ectores
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E*emplos de "ectores
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+atri,
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enlones ) columnas de unmatri,
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Cinco matrices
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+atrices iuales ) matricesdistintas
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Suma de matrices
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+ultiplicación de una matri,un escalar
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roductos "ectorial ) matric
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Solución
a demanda del primer artculo es 3!, y el *abricarecibe D2! por cada artculo -endido. or consigurecibe 3!2! 7 D@!! de las -entas del primer a"i
se sigue este razonamiento, se -e que la cantidadde dinero que recibe es)
3!2! 2!15 4!1: 1!4! 7 @!! 3! 4!! 7 D2 !2!
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roducto escalar de dos"ectores
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roducto de dos matrices
• "ea A 7 aij una matriz m % n, y sea B 7 bij una matriz n % p.
el producto de A y B es una matriz m % p, C 7 cij, en donde)
cij / renlón i de A1 columna j de B1
(s decir, el elemento ij de AB es el producto punto del rengl'n i dcolumna j de B. "i esto se e%tiende, se obtiene
cij / ai1b1j ai2b2j 4 ainbnj
Si el n$mero de columnas de A es iual al n$mero de renB entonces se dice
#ue A ) B son compatibles ba*o la multiplicación.
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roducto de dos matrices de2
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1a. columna deB
1a. rengl'nde A
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2a. columna deB
1a. rengl'nde A
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1a. columna deB
2o. rengl'nde A
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2a. columna deB
2o. rengl'nde A
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El producto de una matri, de 2 % 3 ) un
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El producto de una matri, de 2 % 3 ) un3 % 9 est' de&nido pero el producto dematri, 3 % 9 ) una de 2 % 3 no lo est'
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Continuación4
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Le) asociati"a de la multiplicac
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Le) asociati"a de la multiplicacde matrices
• "ea A 7 aij una matriz de n % m, B 7 bij una mm % p y C 7 cij una matriz de p % q. (ntonces laasociati"a
ABC1 / AB1C
se cumple y ABC, de>nida por cualesquiera de losde la ecuaci'n, es una matriz de n % q.
Le)es distributi"as de la
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Le)es distributi"as de lamultiplicación de matrices
"i todas las sumas y todos los productos siguientede>nidos, entonces
AB C1 / AB AC
Y
A B1C / AC BC
+ultiplicación de matrices c
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+ultiplicación de matrices cuna combinación lineal de lacolumnas de 8
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Escritura de las columnas de
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Escritura de las columnas decomo combinación lineal de columnas de A
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+ultiplicación por blo#ues
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+ i i
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+atrices conmutati"as
S l ió
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Solución
8 li ió d d + ;
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8plicación: cadena de +ar;o
< d t i d
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+atri, identidad
1 si i7 j
! si iE j
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Solución de sistemas de
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Solución de sistemas deecuaciones linealesen t!rminos de su matri,
in"ersa
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=ranspuesta de una matri,
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=ranspuesta de una matri,
(n correspondencia a toda matriz e%iste otra que, tien
propiedadesmuy similares a las de la matriz original.
"ea A 7 aij una matriz de m % n. (ntonces la transpde A, que se escribe A F, es la matriz de n % m que se o
al intercambiar los renlones por las columnas d
0e manera bre-e, se puede escribir A F 7 aij . (n otrapalabras6
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6btención de las transpuest
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pde tres matrices
+atri, sim!trica
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+atri, sim!trica
a matriz cuadrada A de n G n se denomina sim
si A F 7 A. (s decir, las columnas de A son tambi/nrenglones de A.
+atri, trianular superior ) matri,
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)trianular inferior
>actori,aciones LU de una
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matri,"e muestra la *orma en la cual se escribe una matriz cuadrada como ude una matriz triangular in*erior con diagonal principal de unos por u
triangular superior.
(sta *actorizaci'n resulta til para resol-er sistemas lineales con unacomputadora y se puede utilizar para probar resultados importantes smatrices.
(n ese proceso se puede reducir una matriz a la *orma escalonada por?ecuerde que la *orma escalonada por renglones de una matriz cuadra
matriz triangular superior con unos y ceros en la diagonal principal.
ara los prop'sitos de esta secci'n se pretende reducir por renglones a la *orma triangular superior donde los nmeros di*erentes de cero endiagonal principal no son necesariamente unos. (sto se logra no insistque cada pi-ote sea igual a 1.
E?E+L6: Encuentre una
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factori,ación LU de una mat
?2 ?292?1?3?33H2?1?4 ?4?1
?3 ?395H:?2?3 ?39H4?2 ?4 ?49
2!H3?2
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• el producto de las matrices de permutaciones elemen
llama matri, de permutación. 0e *orma alternati-amatriz de permutaci'n es una matriz n % n cuyos rengson los renglones de In, pero no necesariamente en elorden.
• Aora, acer las n permutaciones de antemano es eqa multiplicar A por la izquierda por P. (s decir,
PA es una matriz que debe ser reducida por renglones matriz triangular superior sin realizar permutacionesadicionales.
E?E+L6: Una factori,ación
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LU