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UN VISTAZO A LO QUE
SON SERIES Y TODO EN
GENERAL
CALCULO INTEGRAL
Una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de
una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los
términos: a1 + a2 + a3 + · · lo cual suele escribirse en forma más compacta
con el símbolo de sumatorio:
𝑎𝑛
Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una
serie con términos “an” como donde n es el índice final de la serie.
Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente
todos los números naturales, es decir: 𝑖 = 1,2,3, …
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖
Una serie numérica es un conjunto de
números ordenados que siguen un
patrón. El patrón es la relación que existe
entre los números que forman la serie.
Una serie de potencias alrededor del punto x=x0 es una expresión
de la forma
𝑛=0
∞
𝐶𝑛 (𝑋 − 𝑋𝑜)𝑛
Donde las Cn son números reales que dependen de n.
Dada una serie de potencias 𝑛=0∞ 𝐶𝑛 (𝑋 − 𝑋𝑜)𝑛, el conjunto de
números reales para los cuales la serie convergente se denomina intervalo de convergencia, se denota como IC y puede ser de tres
formas distintas:
1. Un solo punto; a saber, él único punto donde converge la serie es en xn
2. El conjunto de todos los números reales, Ic = R
3. Un intervalo de la forma (xo – r, xo + r), donde r es un número real.
El radio de convergencia de una serie de potencias, denotado
por rc es la mitad de la longitud del intervalo de convergencia. De
los puntos dados en el caso anterior:
En el 1. el radio de convergencia es cero; es decir, rc = 0.
En el 2. el radio de convergencia es infinito; es decir, rc = ∞;
y en 3. el radio de convergencia es r; es decir, rc = r.
Sea f(x) una función que tiene derivada de todos los órdenes
en x=a. La serie de Taylor en torno a “a” es
𝑛=0
∞𝑓 𝑛 𝑎
𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛
Donde 𝑓 0 𝑎 = 𝑓(𝑎) y como se sabe, 0! = 1
1ER. EJEMPLO: ESCRIBA LA SERIE DE
TAYLOR DE F(X) = 𝑒𝑥 EN TORNO A X = 1
SOLUCION:
𝑛=0
∞𝑓 𝑛 1
𝑛!(𝑥 − 1)𝑛
Como f(x) = 𝑒𝑥 , se sabe que 𝑓 𝑛 𝑥 = 𝑒𝑥. Por lo tanto,𝑓 𝑛 1 = 𝑒𝑥, de donde la serie es
𝑛=0
∞𝑒
𝑛!(𝑥 − 1)𝑛
Se puede demostrar que en este caso lim𝑛→∞𝑅𝑛 𝑥 = 0
Lo cual significa que 𝑒𝑥 = 𝑛=0∞ 𝑒𝑥(𝑥 − 1)𝑛 para toda x ∈ R
2DO EJEMPLO: ESCRIBA LA SERIE DE
TAYLOR DE 𝑓 𝑥 = LN 𝑥 EN TORNO A X=1
SOLUCION:
𝑛=0
∞𝑓 𝑛 1
𝑛!(𝑥 − 1)𝑛
Como 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 , se tiene
𝑓 0 𝑥 = ln 𝑥 𝑓 0 1 = 0
𝑓 1 𝑥 =1
𝑥𝑓 1 1 = 0
𝑓 2 𝑥 = −1
𝑥2𝑓 2 1 = −1
𝑓 3 𝑥 =2
𝑥3𝑓 3 1 = 2
𝑓 4 𝑥 =−6
𝑥4= −3!
𝑥4𝑓 4 1 = −3! = −6
𝑓 5 𝑥 =2(−3)(−4)
𝑥5=4!
𝑥5𝑓 5 1 = 4! = 24
𝑓 6 𝑥 =2(−3)(−4)(−5)
𝑥6=− 5!
𝑥6𝑓 6 1 = −5! = −120
De aquí es fácil ver que la n-ésima derivada es
𝑓 𝑛 𝑥 = (−1)𝑛+1𝑛 − 1 !
𝑥𝑛𝑓 𝑛 1 = −1 𝑛+1 𝑛 − 1 !
Por tanto,
𝑛=0
∞𝑓 𝑛 1
𝑛!(𝑥 − 1)𝑛=
𝑛=0
∞(−1)𝑛+1 𝑛 − 1 !
𝑛!(𝑥 − 1)𝑛=
𝑛=0
∞(−1)𝑛+1
𝑛(𝑥 − 1)𝑛
En este caso puede demostrarse que esta serie convergente a ln(x)
en el intervalo (0,2); es decir:
ln(𝑥) = 𝑛=0∞ (−1)𝑛+1
𝑛(𝑥 − 1)𝑛 En el intervalo (0,2).
𝑥3 + 8𝑥 + 4
(𝑥 − 1)100𝑑𝑥
(𝑥 − 1)100= 0
𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 1
𝑃 𝑥 = 𝑥3 + 8𝑥 + 4 , 𝑃 1 = 1 + 8 + 4 = 13
𝑃′ 𝑥 = 3𝑥2 + 8 , 𝑃′ 1 = 3 + 8 = 11
𝑃′′ 𝑥 = 6𝑥 , 𝑃′′ 1 = 6
𝑃´´´ 𝑥 = 6 , 𝑃′′′ 1 = 6
𝑥3 + 8𝑥 + 3 = 13 +11
1!𝑥 − 1 +
6
2!(𝑥 − 1)2+
6
3!(𝑥 − 1)3
= 13 + 11 𝑥 − 1 + 3(𝑥 − 1)2+1(𝑥 − 1)3
𝑥3 + 8𝑥 + 4
(𝑥 − 1)100𝑑𝑥 =
13 + 11 𝑥 − 1 + 3(𝑥 − 1)2+(𝑥 − 1)3
(𝑥 − 1)100
13 𝑑𝑥
(𝑥 − 1)100+ 11
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)99+ 3
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)98+
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)97
Fórmula: 𝑣𝑛𝑑𝑥 =𝑣𝑛+1
𝑛+1+ 𝐶
13(𝑥 − 1)−99
(−99)+ 11(𝑥 − 1)−98
(−98)+ 3(𝑥 − 1)−97
(−97)+(𝑥 − 1)−96
(−96)+ 𝐶
−13
99 𝑥 − 1 99−
11
98 𝑥 − 1 98−
3
97 𝑥 − 1 97−
1
96 𝑥 − 1 96+ 𝐶
BIBLIOGRAFIA
AGUILAR Sánchez, Gerardo y CASTRO Pérez, Jaime, “Problemas
de Cálculo integral” 1ra Edición, Tec de Monterrey, México, DF.,
Julio 2003, 127 págs.
COQUILLAT, Fernando, “Cálculo integral, Metodología y
Problemas”, 2da Edición, Alfaomega, México, DF., Octubre 1999, 381 págs.
AGUILAR, Gerardo y Castro, Jaime, “PROBLEMARIOS DE
CÁLCULO INTEGRAL”, 1ra edición, División Iberoamericana, Julio
2003, págs. 38-47.
INFORMACION POR INTERNET
https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica
http://boards5.melodysoft.com/canalingenio/que-es-una-serie-numerica-1267.html
http://calculoint-roblesd.blogspot.mx/2011/06/serie-finita-criterio-dalembert-y.html
http://matematica.50webs.com/sucesiones.html