36
Una aproximaci´ on geom´ etrica al problema de transferencia Ren´ e Mauricio Ram´ ırez Pastr´ an Director: Jes´ us Alonso Ochoa Arango, Ph.D. Jurados: Andr´ es Mauricio Carvajal Escobar, Ph.D. Gabriel Ignacio Penagos Londo˜ no, Ph.D. Tesis presentada al Departamento de Matem´aticas para optar al grado en Magister en Matem´ aticas Pontificia Universidad Javeriana Facultad de Ciencias Departamento de Matem´ aticas Bogot´ a - Colombia

Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

  • Upload
    others

  • View
    3

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

Una aproximacion geometrica al problema de transferencia

Rene Mauricio Ramırez Pastran

Director:

Jesus Alonso Ochoa Arango, Ph.D.

Jurados:

Andres Mauricio Carvajal Escobar, Ph.D.

Gabriel Ignacio Penagos Londono, Ph.D.

Tesis presentada al Departamento de Matematicas para optar al grado en

Magister en Matematicas

Pontificia Universidad Javeriana

Facultad de CienciasDepartamento de Matematicas

Bogota - Colombia

Page 2: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

UNA APROXIMACIÓN GEOMÉTRICA AL PROBLEMA DE TRANSFERENCIA

René Mauricio Ramírez Pastrán

APROBADO:

_________________________________________ ____________________________________________

Jhon Jairo Sutachan Rubio, Ph.D. Alba Alicia Trespalacios Rangel, Ph.D. Director de Posgrado Decana Facultad de Ciencias Facultad de Ciencias

Bogotá, octubre de 2021

Page 3: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

Resumen

El presente documento contiene una recopilacion de terminologıa y resultados de laTeorıa Moderna de Equilibrio General que es utilizada por Yves Balasko en su caracteriza-cion del problema de transferencia en su artıculo de 2014 llamado The transfer problem: Acomplete characterization. Esta caracterizacion esta basada en el numero ındice asociadocon un equilibrio walrasiano regular de manera tal que la inestabilidad del equilibrio esequivalente a la existencia de un problema de transferencia en una economıa de intercambiopuro.

Abstract

This document contains a compilation of terminology and results of the Modern Ge-neral Equilibrium Theory that are used by Yves Balasko in his characterization of thetransfer problem obtained in his 2014 article called The transfer problem: A complete cha-racterization. This characterization is based on the concept of index number associatedwith a regular Walrasian equilibrium and it is shown that the instability of the equilibriumis equivalent to the existence of a transfer problem in a pure exchange economy.

1

Page 4: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

Indice

1. Introduccion 1

2. Preliminares sobre economıas de intercambio puro 2

3. Variedad Equilibrio 5

4. Proyeccion Natural y Economıas Regulares 7

5. Equilibrios de No-Intercambio y Teoremas de Bienestar 9

6. Estructura de la Variedad Equilibrio 12

7. Formulacion Geometrica del Ecuacion de Equilibrio 17

8. Problema de Transferencia 21

9. Apendice Matematico 25

10.Demostraciones en topicos de Eleccion Racional 26

Referencias 32

2

Page 5: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

1. Introduccion

El problema de transferencia comenzo en la teorıa del comercio internacional comola existencia de la posibilidad de que un paıs que regale cierta cantidad de recursos aotro termine en una situacion mejor (Samuelson, 1952). Una forma de entender y estudiareste fenomeno es a traves de las economıas de intercambio puro de dos consumidores enla cual hay una cantidad fija de recursos. En Balasko (1978) se prueba que la existenciade un problema de transferencia en cierto equilibrio es equivalente a la inestabilidad delequilibrio cuando el numero de mercancıas es igual a 2, mientras que en Balasko (2014)se extiende el resultado para un numero arbitrario de mercancıas.

Para probar este resultado, el autor Yves Balasko utiliza resultados de la Teorıa Mo-derna de Equilibrio General, especialmente los resultados posteriores a los Teoremas deExistencia de Equilibrios Walrasianos en la decada de 1950 ((Arrow y Debreu, 1954) y(McKenzie, 1954)) que se centran en el estudio de las propiedades que cumplen ciertasfunciones definidas entre variedades suaves como el caso de (Debreu, 1970).

El objetivo de este documento es reunir los principales resultados de la Teorıa Modernade Equilibrio para que, posteriormente, se pueda abordar el problema de transferenciadesde un punto de vista geometrico como lo presenta Yves Balasko.

Para lo anterior, este documento esta dividido en las siguientes 10 secciones:

1. Introduccion.

2. Preliminares sobre economıas de intercambio puro que tiene como objeti-vo presentar los resultados basicos en teorıa de eleccion racional con funciones deutilidad suaves y definiciones esenciales en la teorıa de equilibrio general dentro deeconomıas de intercambio puro.

3. Variedad Equilibrio. En esta seccion se utiliza el Teorema del Valor Regular paraprobar que el conjunto de precios y dotaciones iniciales que conforman un equilibriowalrasiano son una subvariedad suave del conjunto de precios y economıas.

4. Proyeccion Natural y Economıas Regulares. En esta seccion se define la Pro-yeccion Natural como una funcion proyeccion restrigida a la Variedad Equilibrio y,ademas, se demuestra que esta funcion es suave y propia con el objetivo de definir lafuncion de seleccion de precios de equilibrio. Esta ultima depende esencialmente dela finitud de los equilibrios walrasianos asociados las Economıas Regulares (valoresregulares de la Proyeccion Natural).

5. Equilibrios de No-Intercambio y Teoremas del Bienestar. En esta seccion seconectan los conjuntos de Equilibrio de No-Intercambio y el conjunto de economıasque cumple con la propiedad de optimalidad en el sentido Pareto. De esta conexionse derivan los resultados conocidos como los Teoremas del Bienestar.

6. Estructura de la Variedad Equilibrio. En esta seccion se prueba que la Va-riedad Equilibrio posee, al menos, un par de cartas de coordenadas globales. Estascoordenadas se utilizan para caracterizar los puntos regulares y crıticos de la Pro-yeccion Natural. En particular, este caracterizacion junto con un resultado de Teorıadel Grado permite probar que la Proyeccion Natural es sobreyectiva (Teorema deExistencia de Equilibrios Walrasianos).

7. Formulacion Geometrica del Ecuacion de Equilibrio. En esta seccion se pre-senta una aproximacion geometrica al problema de equilibrio walrasiano. Se definen

1

Page 6: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

las variedades Seccion y Presupuesto. A partir de la transversalidad de estas va-riedades se define la regularidad geometrica. Al final, se prueba que la regularidadgeometrica es equivalente a la regularidad definida a partir de la Proyeccion Natural.

8. Problema de Transferencia En esta seccion se utilizan las herramientas desa-rrolladas en todas las secciones anteriores con el animo de definir la existencia deun problema de transferencia en una economıa de intercambio puro. Al finalizar,se enuncia y prueba un teorema de caracterizacion de existencia del problema detransferencia a partir del ındice del equibrlio walrasiano regular.

9. Apendice Matematico. En esta seccion se enuncian los principales teoremas envariedades suaves que se utilizan a lo largo de todo el documento.

10. Demostraciones en topicos de Eleccion Racional. En esta seccion se presentanpruebas alternativas a las demostraciones a las citadas a la proposicion enunciadas,principalmente, en la primera seccion.

Esta recoleccion de resultados se lleva a cabo siguiendo especialmente (Balasko, 2009,2011, 2020). Vale la pena resaltar que algunas de las proposiciones de estos textos sonenunciadas, pero no demostradas en su totalidad (o en absoluto) como es el caso de laProposicion 6.3, la Proposicion 6.4 o Proposicion 7.4, entre otras. Por lo anterior,un pequeno aporte de este trabajo es dar pruebas completas o rellenar algunos detalles enlas pruebas existentes en estos textos, segun corresponda, y agregar un par de ejemplos.El Ejemplo 1 presenta la variedad equilibrio de una economıa de dos consumidores y dosmercancıas y el Ejemplo 2 presenta una economıa de dos mercancıas y dos consumidoresen la que se evidencia un problema de transferencia.

2. Preliminares sobre economıas de intercambio puro

En esta seccion realizamos una breve introduccion a la teorıa de eleccion racional y alas economıas de intercambio puro, con el objetivo de precisar las definiciones, notaciony resultados fundamentales sobre los cuales se basa el estudio de la Variedad Equilibrio ysus aplicaciones a teorıa economica1.

Sea m el numero de consumidores. Sea ` el numero de mercancıas2 cuyas cantidades semiden a traves de numeros reales positivos. El espacio de mercancıas para todo consumidores R`

++ = {xi 2 R`|xi = (xki ) con xki > 0 para i : 1, . . . ,m y k : 1, . . . , `}. Usualmente a

xi 2 R`++ se conoce como cesta o canasta de consumo del individuo i�esimo. Sea pk 2 R,

con pk > 0, el precio de la mercancıa k�esima. De lo anterior, p 2 R`++ es un vector de

precios donde pk es la entrada k�esima de p.Las preferencias del consumidor i�esimo3 pueden ser representadas a traves de una

funcion de utilidad ui : R`++ ! R que satisface las siguientes propiedades:

1. Suavidad . infinitamente diferenciable, es decir, ui 2 C1(R`++).

1Algunas de las pruebas alternativas a las citadas de las propiedades resumidas en esta seccion se pueden

encontrar en la Seccion 10 de este documento.2(Debreu, 1959) define una mercancıa como “un bien o servicio completamente especificado fısica,

temporal y espaciosamente”. p.423Las preferencias del consumidor i-esimo son una relacion binaria sobre el espacio de mercancıas R`

++

que permite al consumidor preordenar las cestas de consumo. Ese orden, intuitivamente hablando, hace

las veces de los gustos del consumidor sobre las alternativas de consumo.

2

Page 7: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

2. Monotonicidad suave4. El vector gradiente Dui(xi) 2 R`

++.

3. Cuasiconcavidad suave5 La forma cuadratica definida por la matriz Hessiana

D2ui(xi) restringida al hiperplano tangente en xi 2 R`

++ a la curva de indiferenciaque pasa por xi es definida negativa6.

El problema primal del consumidor i�esimo es maximizar la utilidad ui(xi) restrin-gida a que el valor de las cestas que demandarıa el consumidor i�esimo no supere supresupuesto. Esto es,

Maximizar ui(xi)sujeto a p · xi wi

donde wi es el presupuesto del i�esimo consumidor7.

Los supuestos que satisface la funcion de utilidad ui garantizan que el problema pri-mal del consumidor siempre tiene una unica solucion la cual agota el presupuesto (ver,por ejemplo, Teorema 4.4 y Proposicion 4.6 de (Balasko, 2020)8). De lo anterior, launica solucion del problema de maximizacion de utilidad del consumidor i�esimo define lafuncion de demanda fi : R`

++ ⇥R++ ! R`++ conocida como funcion de demanda marsha-

lliana o, simplemente, funcion de demanda. Sea fki (p, wi) la entrada k�esima de fi(p, wi).

La funcion de demanda fi para i : 1, . . . ,m satisface:

1. Ley de Walras. Para todo p 2 R`++ se tiene que p · fi(p, wi) = wi.

2. Homogeneidad de grado cero. Homogeneidad de grado cero en (p, wi), debido aque el vector (tp, twi) con t > 0 genera la misma restriccion que el vector (p, wi) enel problema de maximizacion del consumidor i�esimo.

3. Suavidad . fi(p, wi) es una funcion diferenciable en cualquier orden (ver, por ejem-plo, Teorema 4.8 de (Balasko, 2020)).

Por la homogeneidad de grado cero podemos fijar p` = 1 sin alterar las soluciones delproblema de maximizacion de utilidad. Sea S = {p 2 R`

++|p` = 1}.Sea vi : S⇥R++ ! R la funcion de utilidad indirecta del consumidor i�esimo definida

como vi(p, wi) = ui(fi(p, wi)). Esta funcion de utilidad indirecta satisface las siguientespropiedades:

4El supuesto de monotonicidad suave se interpreta de la siguiente manera: cualquier incremento en el

consumo de cualquier mercancıa genera mayor utilidad en el consumidor. Este supuesto representa que

para el consumidor siempre consumir mas es mejor.5La hipotesis de cuasiconcavidad suave implica la convexidad estricta del conjunto

{xi 2 R`++|ui(xi) � ui(xi) para xi 2 R`

++}

que es conocido como el conjunto no-peores de xi, es decir, el conjunto de canastas que generan una utilidad

mayor o igual que la utilidad generada por xi. Esta convexidad estricta tiene una interpretacion intuitiva:

el consumidor prefiere la combinacion de canastas de consumo.6La curva de indiferencia que pasa por xi es el conjunto {x 2 R`

++|ui(x) = ui(xi)}. Esta curva de

indiferencia es simplemente una superficie de nivel de ui al nivel ui(xi).7La intuicion del problema de maximizacion es que cada consumidor busca la mayor satisfaccion posible

al elegir la mejor opcion entre las alternativas que son realizables de acuerdo con su presupuesto.8Estos dos resultados de (Balasko, 2020) utilizan parte de los supuestos que se han asumido hasta aquı en

este escrito. Sin embargo, estos dos resultados no requieren suavidad en la funcion de la utilidad. El supuesto

de cuasiconcavidad suave es el que garantiza la unicidad de la solucion del problema de maximizacion de

utilidad y, por su parte, el supuesto de monotonicidad suave garantiza que la unica solucion debe agotar

el presupuesto.

3

Page 8: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

1. Suavidad . vi(p, wi) es suave. La funcion vi es el resultado de la composicion de dosfunciones suaves (ui(xi) y fi(p, wi)).

2. Homogeneidad de grado cero. vi(p, wi) es un homogenea de grado cero en (p, wi).

3. Identidad de Roy . vi(p, wi) satisface la ecuacion

@vi

@pk= ��(p, wi)f

ki (p, wi)

donde �(p, wi) es una funcion positiva que cumple �(p, wi) =@vi

@wi(ver, por ejemplo,

Proposicion 5.6.1 de (Balasko, 2009)).

Con el fin de estudiar el intercambio de cantidades de mercancıas entre los m consu-midores, suponemos que cada consumidor es propietario de una cesta de consumo. Por loanterior, sea !i 2 R`

++ la dotacion inicial del consumidor i�esimo. Definimos wi = p · !i,es decir, el presupuesto del consumidor i�esimo, que es el valor total de sus dotacionesiniciales !i.

La matriz de Slutsky del consumidor i�esimo, Mi(p, wi), asociada con fi(p, wi) es lamatriz de dimension (`�1)⇥(`�1) cuya entrada (h, k) es el coeficiente mhk(p, wi) definidocomo

mhik =

d

dpkfhi (p, p · !i)

Esto es,

mhik =

@fhi

@pk+@f

hi

@wi!ki con !k

i = fki (p, wi)

La forma cuadratica definida por la matriz Mi(p, wi) es definida negativa y Mi(p, wi)es invertible (ver, por ejemplo, Proposicion 4.14 de (Balasko, 2020))9.

Trabajamos bajo la hipotesis de que las preferencias de los consumidores no cambian,por lo que una economıa esta parametrizada por el vector de dotaciones ! 2 Rm`

++ con! = (!i). Sea ⌦ el espacio de parametros Rm`

++. Vale la pena resaltar que ! 2 ⌦ determinalas cantidades disponibles de cada una de las mercancıas, pues, dada una economıa ! 2 ⌦,el vector de cantidades totales disponibles se halla con

Pmi=1 !i.

Dado ! 2 ⌦, la demanda agregada a los precios p 2 S es la suma de las demandasindividuales. En otros terminos,

Pmi=1 fi(p, p · !i) y los excesos agregados de demanda a

9El problema dual del problema del consumidor es la minimizacion de gasto, es decir, minimizar p · xi

sujeto a ui(xi) � ui para ui dado. Sea hi(p, ui) el unico vector solucion del problema de minimizacion, la

entrada h�esima de este vector, hhi es la demanda hicksiana del consumidor i�esimo consumidor por la

mercancıa h�esima. La relacion entre las demandas marshallianas y las demandas hicksianas esta dada

por la ecuacion de Slutsky:

@fhi (p, wi)

@pk=

@hhi (p, ui)

@pk� @f

hi (p, wi)

@wifki (p, wi)

Por lo anterior,

mhik =

@hhi (p, ui)

@pk+

@fhi (p, wi)

@wi(!

ki � f

ki (p, wi))

En conclusion, si !ki = f

ki (p, wi), m

kik = @h

hi /@pk, razon por la cual m

hik son las entradas de la matriz de

Slutsky.

4

Page 9: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

los precios p 2 S, z(p,!), son la diferencia entre la demanda agregada y las cantidadestotales disponibles de mercancıas. Esto ultimo es

z(p,!) =mX

i=1

fi(p, p · !i)�mX

i=1

!i

Sea zk(p,!) el exceso de demanda de la mercancıa k�esima. La funcion z(p,!) satisfacelas siguientes propiedades:

1. Suavidad . z(p,!) es suave.

2. Ley de Walras. Para todo p 2 R`++ se tiene p · z(p,!) = 0. En particular, se tiene

para p 2 S.

3. Homogeneidad de grado cero. z(p,!) es homogenea de grado cero en p.

Definicion 1 (Vector de precios de equilibrio). Un vector de precios de equilibrio dela economıa parametrizada por ! 2 ⌦ es el vector de precios p 2 S que garantiza quez(p,!) = 0. Esta ultima ecuacion se conoce como ecuacion de equilibrio.

Sea W (!) el conjunto de vectores de precios de equilibrio asociados a las dotaciones! 2 ⌦. El objetivo es probar que W (!) no es vacıo10. La asociacion ! ! W (!) se conocecomo la correspondencia de Walras o la correspondencia del conjunto equilibrio y nonecesariamente es un conjunto unitario.

Finalmente, sea z(p,!) el vector construido con las primeras ` � 1 coordenadas dez(p,!). Como p · z(p,!) = 0 para todo (p,!) 2 S ⇥⌦, entonces, dado ! 2 ⌦, es suficienteencontrar p 2 S que garantice que z(p,!) = 0 para que p 2 S sea un vector de precios deequilibrio de la economıa ! 2 ⌦.

3. Variedad Equilibrio

Por definicion, el par (p,!) 2 S⇥⌦ es un equilibrio si satisface la ecuacion z(p,!) = 0.La Variedad Equilibrio E es un subconjunto S ⇥ ⌦ definido por la ecuacion z(p,!) = 0que es el mismo conjunto definido por la ecuacion z(p,!) = 0. El objetivo de esta secciones probar que E es una subvariedad suave de S ⇥⌦ y mostrar explıcitamente un ejemploque evidencie a que se hace referencia con cada una de las definiciones.

Proposicion 3.1. La variedad equilibrio E es un subconjunto cerrado de S ⇥ ⌦.

Demostracion. Sea z : S⇥⌦! R`�1. Como z es una funcion suave, en particular continua,en cada una de sus componentes, E es cerrado en S ⇥⌦, debido a que es la preimagen de0 2 R`�1 bajo la funcion z(p,!).

Proposicion 3.2. [Variedad Equilibrio] La variedad equilibrio E es una subvariedad suavede dimension m` de S ⇥ ⌦.

Demostracion. Consideremos z : S ⇥ ⌦ ! R`�1++ . Si probamos que 0 es un valor regular

de z, por el Teorema del Valor Regular (ver Proposicion 9.2), la preimagen de 0 es unasubvariedad regular o embebida de S ⇥ ⌦ cuya dimension es ` � 1 +m` � (` � 1) = m`.

10Este resultado fue motivado por el trabajo original de Walras a finales del siglo XIX (Walras, 1874).

Sin embargo, la demostracion del resultado se presenta por (Arrow y Debreu, 1954) y (McKenzie, 1954) y

esta recopilado en (Debreu, 1959).

5

Page 10: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

Probemos que z no tiene puntos crıticos, lo cual implica que, en particular, 0 es un valorregular de z.

La matriz Jacobiana de z(p,!) tiene `�1 filas y `�1+m` columnas. El bloque de lasprimeras `� 1 columnas contiene las derivadas con respecto a los precios en S y el bloquede las m` columnas restantes contiene las derivadas con respecto a las dotaciones inicialesde cada consumidor. Esto es,

@z

k

@pj

...@z

k

@!hi

Con k : 1, . . . , ` � 1, h : 1, . . . , ` e i : 1, . . . ,m. El objetivo es extraer una submatrizcuyo rango sea `� 1. Para cualquier i

@z

k

@!hi

�=

2

6666666664

p1@f

1i

@wi� 1 p2

@f1i

@wi. . . p`�1

@f1i

@wi

@f1i

@wi

p1@f

2i

@wip2@f

2i

@wi� 1 . . . p`�1

@f2i

@wi

@f2i

@wi...

.... . .

......

p1@f

`�1i

@wip2@f

`�1i

@wi. . . p`�1

@f`�1i

@wi� 1

@f`�1i

@wi

3

7777777775

La anterior es una matriz de `�1 filas y ` columnas. Al multiplicar la columna `�esimapor pk y restandola a la columna k�esima para k : 1, . . . , ` esta ultima matriz se convierteen

2

6666666664

�1 0 . . . 0@f

1i

@wi

0 �1 . . . 0@f

2i

@wi...

.... . .

......

0 0 . . . �1@f

`�1i

@wi

3

7777777775

Cuyo rango es ` � 1. Por lo tanto, la funcion z(p,!) no tiene puntos crıticos, estoimplica que 0 es un valor regular y, ası, E = {(p,!) 2 S ⇥ ⌦|z(p,!) = 0} es una variedadde dimension m`.

Ejemplo 1. [Variedad Equilibrio para preferencias Cobb-Douglas con dos bienes y dosconsumidores]

Sean ui(x1i , x2i ) = (x1i )

↵i(x2i )�i las funciones de utilidad de los consumidores donde

↵i,�i son positivos para i : 1, 2. Las dotaciones del consumidor i�esimo son !i = (!1i ,!

2i )

para i : 1, 2. Encontremos la Variedad Equilibrio para esta economıa particular.

El problema de maximizacion para el individuo i�esimo es

Maximizar (x1i )↵i(x2i )

�i

Sujeto a p1x1i + p2x

2i = p1!

1i + p2!

2i

Donde el vector de precios es p = (p1, p2) donde p1 y p2 son los precios de las mercancıas1 y 2, respectivamente. Sabemos que wi = p · !i = p1!

1i + p2!

2i . Por otra parte, dadas

las condiciones que cumple ui, la combinacion de mercancıas 1 y 2 que maximiza debecumplir, junto a la restriccion, la siguiente ecuacion:

6

Page 11: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

@ui

@x1i

@ui

@x2i

=p1

p2

lo anterior implica que

x2i =

�ip1x1i

↵ip2

Al reemplazar en la restriccion del problema y despejar x2i encontramos el vector de

demandas para el individuo i�esimo

fi(p, wi) =

✓↵iwi

(↵i + �i)p1,

�iwi

(↵i + �i)p2

Gracias a la homogeneidad de grado cero de las f ji podemos suponer que p2 = 1. Ası,

como fi cumple la Ley de Walras y p2 = 1, se tiene que z(p,!) = 0 es equivalente a

z1(p,!1,!2) =

↵1(p1!11 + !

21)

(↵1 + �1)p1+↵2(p1!1

2 + !22)

(↵2 + �2)p1� !

11 � !

12 = 0 (1)

Vale la pena resaltar que la anterior superficie es una subvariedad suave en S ⇥ ⌦gracias a la Proposicion 3.2. En este ejemplo, los elementos de S tienen la forma (p1, 1)y los elementos de ⌦ son de la forma (!1,!2) (son elementos de R4

++, debido a que haydos consumidores y dos mercancıas).

De la ecuacion 1 se encuentra el precio de la mercancıa 1 que garantiza que los mercadosestan equilibrio. Esto es,

pe1(!1,!2) =

↵1(↵2 + �2)!21 + ↵2(↵1 + �1)!2

2

�1(↵2 + �2)!11 + �2(↵1 + �1)!1

2

(2)

El anterior ejemplo muestra para un caso especıfico a que se hace referencia con funcio-nes de demanda, excesos de demanda, vector de precios de equilibrio y variedad equilibrio.

4. Proyeccion Natural y Economıas Regulares

En esta seccion se define la funcion proyeccion natural, se enuncian dos propiedadesque cumple esta funcion y, finalmente, se utiliza para probar algunas propiedades quecumplen las economıas regulares (valores regulares de la proyeccion natural).

Consideremos la funcion proyeccion S ⇥ ⌦ ! ⌦ restringida a E, ⇡ : E ! ⌦, a estafuncion se define como la proyeccion natural. Vale la pena resaltar que la proyeccion naturalesta relacionada con la correspondencia de Walras por la siguiente igualdad ⇡

�1(!) =W (!)⇥ {!}.

Proposicion 4.1. La proyeccion natural ⇡ : E ! ⌦ es suave.

Demostracion. Basada en la Proposicion 2.5.1 de (Balasko, 2009) y en la Proposicion4.10 de (Balasko, 2011).

Sean ◆ : E ! S ⇥ ⌦ y c : S ⇥ ⌦! ⌦ la funcion proyeccion de coordenada. Note que ◆que es una funcion suave porque E es una subvariedad suave de S⇥⌦. Como la proyeccionnatural ⇡ = c � ◆, entonces ⇡ es suave.

7

Page 12: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

Proposicion 4.2. La proyeccion natural ⇡ : E ! ⌦ es propia.

Demostracion. Basada en la Proposicion 2.5.2 de (Balasko, 2009) y en la Proposicion7.1 de (Balasko, 2011).

Sea K un subconjunto compacto de ⌦. La prueba consiste basicamente en construirun conjunto compacto para posteriormente aplicar la propiedad topologica de espaciosmetricos que dice que todo subconjunto cerrado contenido en un compacto es compacto.

Sea K ✓ ⌦ compacto.

i) (Construccion del conjunto compacto). Sea � : ⌦ ! R`++ tal que envıa a !

enPm

i=1 !i. El conjunto �(K) es compacto (cerrado y acotado) porque � es unafuncion continua. Sea r

⇤ 2 R`++ tal que �(K) r

⇤ termino a termino para todo! 2 K. De la ecuacion de equilibrio podemos concluir que

Pmi=1 fi(p, p ·!i) r

⇤ para(p,!) 2 ⇡

�1(K). Por lo anterior, para (p,!) 2 ⇡�1(K) tenemos que fi(p, p ·!i) r

para todo i : 1, . . . ,m.

Fijemos i, sea ci : ⌦! R`++ la funcion proyeccion de la coordinada i�esima. Por la

continuidad de ci, se tiene que ci(K) es un conjunto compacto (cerrado y acotado).Sea !⇤

i cota superior de ci(K) tal que !k⇤i > 0 para todo k : 1, . . . , ` para ! 2 K.

Por definicion de fi y monotonicidad fuerte, ui(fi(p, p · !i)) � ui(!⇤i ) = r⇤.

Sea Li{xi 2 R`++|r⇤ ui y xi r

⇤}. Veamos que Li es compacto. Li no es vacıoporque fi(p,!) esta en Li para (p,!) 2 ⇡

�1(K). Li es cerrado porque los conjuntosde no-peores son cerrados por hipotesis sobre ui, {x 2 R`

++|xi r⇤} es cerrado

e interseccion finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. Li es acotadoinferiormente por 0 y superiormente por r⇤. Por lo tanto, Li es compacto.

Sea Dnui : R`++ ! S el gradiente normalizado de ui. Dado que Dnui es continua,

entonces Dnui(Li) es compacto. Como producto finito de conjuntos compactos es unconjunto compacto, entonces Dnui(Li)⇥K es un conjunto compacto en S ⇥ ⌦.

ii) (⇡�1(K) es un subconjunto cerrado en Dnui(Li) ⇥ K). Sea (p,!) 2 ⇡�1(K).

Por lo tanto,Pm

i=1 fi(p, p · !i) =Pm

i=1 !i de tal manera que Dui(fi(p, p · !i)) = �ip

donde �i es el multiplicador asociado con el problema de maximizacion de utilidaddel consumidor i�esimo, lo cual implica que Dnui(fi(p, p · !i)) = p. Por lo tanto,(p,!) 2 Dnui(Li) ⇥ K, debido a que fi(p, p · !i) 2 Li. Por otra parte, la funcion⇡|Dnui(Li)⇥K es continua, por lo que ⇡�1(K) ✓ Dnui(Li)⇥K es cerrado.

iii) (Aplicacion de la propiedad de espacio metricos) Dado que ⇡�1(K) es cerradoy, ademas, es subconjunto de Dnui(Li) ⇥ K que es compacto, entonces ⇡�1(K) escompacto.

Finalmente, como ⇡�1(K) es compacto, ⇡ es propia.

Sea ⌃ el conjunto de valores singulares de ⇡ restringida a E y � el conjunto de puntoscrıticos de ⇡. Por la Proposicion 9.1 el conjunto de equilibrios crıticos � es cerrado enE. Sea E(R) el conjunto de equilibrios que cumple la propiedad de ser un punto regularde la proyeccion natural restringida a E. Por definicion, E(R) el conjunto de equilibriosregulares es abierto en E. Denominamos a R = ⌦\⌃ como el conjunto de las economıasregulares.

Proposicion 4.3. El conjunto de economıas regulares R es abierto en ⌦.

8

Page 13: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

Demostracion. Dado que � es cerrado en E, entonces ⇡(�) = ⌃ es un conjunto cerrado en⌦, debido a que ⇡ es una funcion propia. Por lo tanto, R = ⌦\⌃ es un conjunto abiertoen ⌦.

Proposicion 4.4. Para cada ! 2 R, el conjunto ⇡�1(!) es finito.

Demostracion. Sea ! 2 R. Probemos que ⇡�1(!) esta dotado con la topologıa discreta.Para lo anterior, basta con mostrar que para todo x 2 ⇡

�1(!) se tiene que {x} es abierto.Dado que ! es un valor regular de ⇡, x no es un punto crıtico, lo cual implica que lafuncion tangente (d⇡)x es invertible. Por el teorema de la funcion inversa, existen U y V

vecindades de ! y x, respectivamente, tales que ⇡|V : V ! U es un difeomorfismo. Porlo tanto, {x} = ⇡

�1(!) \ V . Como ⇡�1(!) \ V es abierto en la topologıa del subespacio,entonces {x} es abierto en ⇡�1(!).

Por la Proposicion 4.2, ⇡�1(!) es compacto. El conjuntoS

x2⇡�1(!){x} es una co-

bertura abierta de ⇡�1(!) que, dada la compacidad de ⇡�1(!), admite una subcoberturaabierta. Por lo tanto, ⇡�1(!) es la union finita de sus elementos, es decir, es finito.

LaProposicion 4.3 y Proposicion 4.4 nos permiten afirmar que, dado ! 2 R, existeuna vecindad abierta U de ! tal que U ✓ R y un finito numero n de funciones suavessk : U ! S para k : 1, . . . , n tales que la union

Snk=1 sk(!

0) es identica al conjunto W (!0)de vectores de equilibrios de precios asociados con !0 2 U . A estas funciones se les conocecomo las funciones seleccion de precios, debido a que permiten asociar economıas regularescon un unico vector de precios de equilibrio. Estas funciones son suaves porque se debenentender como la composicion de la funcion inversa local de la proyeccion natural (verprueba de la Proposicion 4.4) con la funcion proyeccion de las primeras ` coordenadas.(Para mas detalles ver Proposicion 2.6.4 de (Balasko, 2009))

5. Equilibrios de No-Intercambio y Teoremas de Bienestar

En esta seccion definimos el conjunto de los equilibrios en los que no hay intercambioy, adicionalmente, definimos la propiedad de optimalidad de Pareto que cumplen algunasasignaciones. Posteriormente, relacionamos estos dos conceptos a traves de la proyeccionnatural.

De ahora en adelante escribimos T(p,!) para indicar que (p,!) 2 E en es un equilibrioen el que no hay intercambio, es decir, fi(p, p · !i) = !i para todo i : 1, . . . ,m. Sea T elconjunto de equilibrio de no intercambio, es decir, T consta de todos los equilibrios en losque se satisface T(p,!).

Proposicion 5.1. El conjunto de equilibrios de no intercambio T es una subvariedadsuave de la variedad equilibrio E que es difeomorfa al conjunto de vectores de precios-ingreso B = S ⇥ Rm

++.

Demostracion. Basada en la Proposicion 3.2.1 de (Balasko, 2009) y en la Proposicion5.2 de (Balasko, 2011).

La demostracion de la Proposicion 5.1 se basa en las propiedades que cumplen losembebimientos. En particular, la imagen de un embebimiento es una subvariedad de sucodominio por lo que define un difeomorfismo entre el dominio y su imagen. Ası, seanf : B ! S ⇥ ⌦ y � : S ⇥ ⌦! B definidas como

f(p, w1, . . . , wm) = (p, f1(p, w1), . . . , fm(p, wm)) y �(p,!1, . . . ,!m) = (p, p·!1, . . . , p·!m)

9

Page 14: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

Con estas funciones primero probamos que f(B) = T y despues que ��f = idB. Con loanterior, la Proposicion 9.4 nos permite concluir que f : B ! S⇥⌦ es un embebimiento.

i) Probemos que f(B) = T .

Sea (p, f1(p, w1), . . . , fm(p, wm)) 2 f(B) y definimos !i = fi(p, wi). Por lo tanto,utilizando la Ley de Walras,

fi(p, p · !i) = fi(p, p · fi(p, wi)) = fi(p, wi) para todo i : 1, . . . ,m

Ası, !i = f(p, p · !i), es decir, (p,!1, . . . ,!m) 2 T . Finalmente, f(B) ✓ T .

Sea (p,!) 2 T . Por definicion, !i = fi(p, p · !i). Si tomamos wi = p · !i, entonces!i = fi(p, wi). Por lo tanto,

(p,!1, . . . ,!m) = (p, f1(p, w1), . . . , fm(p, wm)) = f(p, w1, . . . , wm)

con lo que podemos concluir que (p,!) 2 f(B), es decir T ✓ f(B).

ii) Probemos que � � f = idB.

Sea b = (p, w1, . . . , wm) 2 B.

(� � f)(b) = (p, p · f1(p, w1), . . . , p · fm(p, wm))

Por la Ley de Walras podemos concluir que wi = p · fi(p, wi) para todo i : 1, . . . ,m,lo cual implica que (� � f)(b) = b, es decir, � � f = idB.

Por la Proposicion 9.4, i) y ii) podemos concluir que f : B ! S⇥⌦ es un embebimiento,lo cual implica que T es una subvariedad suave de E que es difeomorma con B cuyadimension es `� 1 +m.

Una consecuencia directa de la Proposicion 5.1 es que el conjunto T de no inter-cambio no es vacıo. Sin embargo, su dimension es ` � 1 + m dentro de una variedad dedimension m`. Por lo tanto, el conjunto T tiene medida cero.

Proposicion 5.2. El conjunto de las asignaciones de equilibrio es la imagen ⇡(T ) delconjunto de equilibrio no intercambio por la proyeccion natural.

Demostracion. Ver, por ejemplo, Proposicion 3.2.3 de (Balasko, 2009)

Definicion 2 (Optimos de Pareto). Sea x = (xi) 2 ⌦. La asignacion x 2 ⌦ es un optimode Pareto si no es Pareto-Dominada por algun x

0 = (x0i) 2 ⌦. Esto es, si no existe x0 2 ⌦

que satisface las desigualdades ui(xi) ui(x0i) para todo i con al menos una desigualdadestricta y

Pmi=1 x

0i =

Pmi=1 xi. Sea P el conjunto de optimos de Pareto.

Una asignacion es optimo de Pareto si no es posible generar una redistribucion de lascantidades asignadas de tal forma que al menos un consumidor alcance una utilidad mayorsin tener que reducir la utilidad de los demas. De allı que se le asigne el nombre de optimoy se le agrega Pareto en honor a Vilfrido Pareto.

La relacion entre las asignaciones de equilibrio ⇡(T ) y el conjunto de optimos de ParetoP estan resumidos en la siguiente proposicion.

10

Page 15: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

Proposicion 5.3. La restriccion de la proyeccion natural ⇡ : E ! ⌦ a la subvariedad T

el conjunto de equilibrios de no intercambio define un difeomorfismo entre T y el conjuntode optimos de Pareto P .

Demostracion. Ver, por ejemplo, Proposicion 3.3.1 de (Balasko, 2009)

De la Proposicion 5.2 y Proposicion 5.3 podemos concluir que ⇡(T ) = P y queesta igualdad amerita al menos tres observaciones:

1. De ⇡(T ) ✓ P sabemos que todas las asignaciones de equilibrio cumplen con lapropiedad de optimalidad en el sentido Pareto. Este resultado se conoce como elPrimer Teorema del Bienestar.

2. De P ✓ ⇡(T ) sabemos que toda asignacion que cumple con la optimalidad en elsentido Pareto es la asignacion de equilibrio de alguna economıa. Este resultado seconoce como el Segundo Teorema del Bienestar.

3. De ⇡(T ) = P concluimos que se satisface la inclusion T ✓ ⇡�1(P ). Sin embargo, la

igualdad T = ⇡�1(P ) se satisface cuando ! 2 P tiene un unico equilibrio.

En (Arrow, 1951) encontramos pruebas a los teoremas del bienestar, por aquel en-tonces conocidos hace anos por la obra de Vilfrido Pareto. Ambos teoremas han tenidointerpretaciones en la relacion entre economıa y polıtica. Por una parte, si se acepta queeste modelo representa una economıa de mercado, el Primer Teorema del Bienestar pre-senta una justificacion razonable del porque la libertad economica y la asignacion a travesdel sistema de precios es deseable, debido a que es eficiente. Por otra parte, el SegundoTeorema del Bienestar plantea la posibilidad de elegir entre diferentes asignaciones efi-cientes que sean socialmente mas deseables incluyendo otros criterios como la justicia o laequidad sin tener que renunciar a un mecanismo de precios y libertad en el mercado, enel fondo, el problema central en el intercambio es la distribucion inicial de la riqueza y noel mecanismo elegido.

La siguiente proposicion muestra la unicidad del equilibrio asociado con una economıaque sea un optimo en el sentido Pareto.

Proposicion 5.4. Sea ! 2 P y p 2 S tal que p garantiza que ! es una asignacion deequilibrio, entonces ⇡�1(!) = {(p,!)}.

Demostracion. Por la Proposicion 5.3 sabemos que ⇡�1(P ) ✓ T , es decir, (p,!) 2 T .Por lo tanto, {(p,!)} ✓ ⇡

�1(!).Supongamos que p

0 6= p tambien garantiza que ! es una asignacion de equilibrio quees lo mismo que (p0,!) 2 ⇡

�1(!). Sea x0 = (x0i) = (fi(p0, p0 · !i)). Por definicion de la

funcion fi, ui(x0i) � ui(!I) para todo i : 1, . . . ,m. Como la funcion fi determina undifeomorfismo S ⇥ R++ y R

`++ y, ademas, p0 6= p, fi(p0, p0 · !i) 6= !i, lo cual implica que

ui(xi) > ui(!i). Dado que (p0,!)⇡�1(!), entonces de la ecuacion de equilibrio sabemosque

Pmi=1 x

0i =

Pmi=1.

En resumen,Pm

i=1 x0i =

Pmi=1 y ui(x0i) > ui(!i) para todo i : 1, . . . ,m. Lo anterior

implica que x0 domina en el sentido Pareto a !. Esto es, ! /2 P lo cual es absurdo.

Por lo tanto, {(p,!)} = ⇡�1(!).

Esta ultima proposicion garantiza que ⇡�1(P ) = T . Esto es, el vector de precios p 2 S

junto con la asignacion ! 2 P deben conformar un equilibrio de no intercambio. En lasiguiente seccion probaremos que P ✓ R, debido a que si (p,!) 2 T , entonces (p,!) es unpunto regular de la proyeccion natural. Sin embargo, para poder probar este resultado sedebe estudiar la estructura global de la Variedad E.

11

Page 16: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

6. Estructura de la Variedad Equilibrio

En esta seccion se presentan dos sistemas de coordenadas globales para la variedadequilibrio E. Estos dos sistemas se utilizan para caracterizar las economıas que son opti-mas de Pareto. Una vez probamos que los optimos de Pareto son economıas regulares,utilizamos teorıa de grado para probar que la proyeccion natural es sobreyectiva.

Sea ⌦ = Rm` el conjunto de todos las economıas (sin restriccion de signo). A esteconjunto se le conoce como el espacio extendido. Un par (p,!) 2 S ⇥ ⌦ es un equilibrio sip · !i = wi > 0 y z(p,!) = 0. Sea E la variedad equilibrio extendida.

Proposicion 6.1. La funcion � : E ! B ⇥ R(`�1)(m�1) definida como

�(p,!1, . . . ,!m) = (�(p,!), !1, . . . , !m�1)

es un difeomorfismo entre E y B⇥R(`�1)(m�1) por la funcion donde !i = (!1i , . . . ,!

`�1i )

para i : 1, . . . ,m� 1 y �(p,!) fue definida en la Proposicion 5.1.

Demostracion. Basada en la prueba de la Proposicion 4.4.1 de (Balasko, 2009).Partiendo de (p, w1, . . . , wm, !1, . . . , !m�1) podemos encontrar un unico equilibrio de-

terminado por las siguientes ecuaciones:

1. !`i = wi � p1!

1i � · · ·� p`�1!

`�1i para i : 1, . . . ,m� 1.

2. !km =

Pmi=1 f

ki (p, wi)�

Pm�1i=1 !

ki para k : 1, . . . , `� 1.

3. !`m = wm � p1!

1m � · · ·� p`�1!

`�1m .

Las ecuaciones 1. y 3. se derivan de la definicion del presupuesto como el valor de lasdotaciones iniciales. Las ecuaciones en 2. se derivan de la definicion de equilibrio. Por loanterior, estas ecuaciones definen una funcion : B ⇥ R(`�1)(m�1) ! E tal que � � esla funcion identidad en B⇥R(`�1)(m�1) y, ademas, (B⇥R(`�1)(m�1)) = E. Por lo tanto,podemos concluir que E es difeomorfa con B ⇥ R(`�1)(m�1).

Una observacion en la dimension muestra que la anterior proposicion prueba que E esuna subvariedad suave de S ⇥ ⌦ cuya dimension es `� 1 +m+ (`� 1)(m� 1) = m` queademas define las coordenadas globales de esta variedad. A este sistema de coordenadaslo llamamos Sistema de Coordenadas A.

Es importante notar que bajo este sistema de coordenadas, la proyeccion natural estadada por las ecuaciones 1., 2. y 3. junto a los vectores !i. La siguiente proposicion carac-teriza puntos crıticos y regulares de proyeccion natural.

Proposicion 6.2. El equilibrio (p,!) 2 E es regular (respectivamente crıtico) si y solo sidet J(p,!) 6= 0 (respectivamente det J(p,!) = 0) donde J(p,!) es la matriz Jacobiana dela funcion z(·, w) : S ! R`�1, es decir,

J(p,!) =

" mX

h=1

@fkh (p, p · !h)

@pj+@f

kh (p, p · !h)

@wh!j

#

donde j, k : 1, . . . , ` � 1 y z(·, w) : S ! R`�1 esta definida al final de la Seccion 2 en lapagina 5.

12

Page 17: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

Demostracion. Sea (p,!) 2 E. El equilibrio (p,!) es regular si es un punto regular de laproyeccion natural ⇡ : E ! ⌦, es decir, que la funcion tangente T(p,!)⇡ es sobreyectiva en,lo cual es equivalente con que la matriz jacobiana de la funcion ⇡ tenga rango igual a ladimension m` en (p,!).

Sea (p, w1, . . . , wm, !1, . . . , !m�1) la representacion de (p,!) 2 E en el Sistema deCoordenadas A. Por lo anterior, la proyeccion natural esta dada por:

!km =

Pmi=1 f

ki (p, wi)�

Pm�1i=1 !

ki para k : 1, . . . , `� 1.

!`i = wi � p1!

1i � · · ·� p`�1!

`�1i para i : 1, . . . ,m� 1.

!`m = wm � p1!

1m � · · ·� p`�1!

`�1m .

!ki = !

ki para todo i : 1, . . . ,m� 1 y k = 1, . . . , `� 1.

Sea J⇡(p,!) la matriz jacobiana de la funcion ⇡ en el equilibrio (p,!). Bajo el Sistema deCoordenadas A, J⇡(p,!) es una matriz de dimension m`⇥m`.

J⇡(p,!) =

2

666664

mX

h=1

@fkh

@pj

...@f

ki

@wi

... �kgj

�!ki

... Idm... ⇤

0(`�1)(m�1)⇥(`�1)... 0(`�1)(m�1)⇥m

... Id(`�1)(m�1)

3

777775

Con j, k : 1, . . . , ` � 1; i : 1, . . . ,m; g : 1, . . . ,m � 1; �kgj = 1 si j = k y 0 en cualquierotro caso; 0(`�1)(m�1)⇥(`�1) es una matriz nula de dimension (` � 1)(m � 1) ⇥ (` � 1);0(`�1)(m�1)⇥m es una matriz nula de dimension (`� 1)(m� 1)⇥m y ⇤ es una matriz que

contiene las derivadas de !`i con respecto !k

g . Por lo tanto, el det J⇡(p,!) es el productoentre dos determinantes. Esto es,

det J⇡(p,!) =

��������

mX

h=1

@fkh

@pj

...@f

ki

@wi

�!ki

... Idm

��������det Id(`�1)(m�1) =

��������

mX

h=1

@fkh

@pj

...@f

ki

@wi

�!ki

... Idm

��������

Para terminar la demostracion, solo nos resta calcular el siguiente determinante

��������

mX

h=1

@fkh

@pj

...@f

ki

@wi

�!ki

... Idm

��������

El objetivo es eliminar !ki para i : 1, . . . ,m y k : 1, . . . , ` � 1. Para lograrlo, multi-

plicamos la columna (` � 1 + k)�esima por !ki y se la restamos a la columna k�esima.

Realizamos esta operacion para todo k : 1, . . . , `� 1 y todo i : 1, . . . ,m. Ası,

��������

mX

h=1

@fkh

@pj

...@f

ki

@wi

�!ki

... Idm

��������=

��������

mX

h=1

@fkh

@pj+@f

kh

@wh!jh

...@f

ki

@wi

0m⇥(`�1)... Idm

��������= det J(p,!)

Por todo lo anterior,

13

Page 18: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

detJ⇡(p,!) =

��������

mX

h=1

@fkh

@pj

...@f

ki

@wi

�!ki

... Idm

��������= det J(p,!)

lo cual implica que el equilibrio (p,!) 2 E es regular (respectivamente crıtico) si y solosi det J(p,!) 6= 0 (respectivamente det J(p,!) = 0).

Proposicion 6.3. Sea ! 2 ⌦, entonces ! 2 R si y solo si 0 es un valor regular de lafuncion z(·,!) : S ! R`�1.

Demostracion. Ver, por ejemplo, Corolario 4.5.5 de (Balasko, 2009).

Por otra parte, definimos otro sistema de coordenadas. En este caso, tomamos el vector(b, Y ) = (p, w1, . . . , wm, y1, . . . , ym�1) como las coordenadas asociadas con el equilibrio(p,!) a traves de las ecuaciones:

1. !ki = f

ki (p, wi) + y

ki para todo i : 1, . . . ,m� 1 y k : 1, . . . , `� 1.

2. !`i = wi �

P`�1k=1 pk[f

ki (p, wi) + y

ki ] para i : 1, . . . ,m� 1.

3. !km = f

km �

Pm�1i=1 y

ki para k : 1, . . . , `� 1.

4. !`m = wm �

P`�1k=1 pk[f

km(p, wm)�

Pm�1i=1 y

ki ].

Las ecuaciones 1. vienen de definir yki como el exceso de oferta en equilibrio de la

mercancıa k�esima en el consumidor i�esimo. Las ecuaciones 2. y 4. se derivan de ladefinicion del presupuesto como el valor de las dotaciones iniciales definidas a partir de 1.Finalmente, 3. se define a partir de las ecuaciones de equilibrio en cada mercado despuesde reemplazar 1. Este sistema de coordenadas globales lo denominamos Sistema de Coor-denadas B. Vale la pena resaltar que si yki = 0 para todo i : 1, . . . ,m� 1 y k : 1, . . . , `� 1,entonces !k

i = fki (p, wi) para todo i : 1, . . . ,m y todo k : 1, . . . , `, es decir, este sistema de

coordenadas centra a los equilibrios de no intercambio.

Proposicion 6.4. Sea J(b, Y ) la matriz jacobiana de z : S ! R`�1 en el Sistema deCoordenadas B, entonces

J(b, Y ) = M(b) +K(b)Y T.

Donde M(b) =Pm

i=1Mi(p, wi) con Mi(p, wi) la matriz de Slutsky del consumidori�esimo, b = (p, w1, . . . , wm), Y = (y1, . . . , ym�1) y K(b) la matriz con coeficientes

khi =@f

hi (p, wi)

@wi� @f

hm(p, wm)

@wm

Demostracion. El objetivo es calcular la derivada de zk(b, Y ) con respecto a pj la cual es

la entrada kj�esima de la matriz J(b, Y ). Para ello, utilizaremos la regla de la cadenasobre z

k(p,!) = 0 recordando que, en el Sistema de Coordenadas B, !ki depende de pj .

Antes de comenzar con el objetivo central, las derivadas de !ki con respecto a pj son:

1. @!ki /@pj = @f

ki (p, wi)/@pj para todo i : 1, . . . ,m� 1 y k, j : 1, . . . , `� 1.

2. @!`i/@pj = �f

ji (p, wi) � y

ji �

P`�1h=1 ph[@f

hi (p, wi)/@pj ] para i : 1, . . . ,m � 1 y j :

1, . . . , `� 1.

14

Page 19: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

3. @!km/@pj = @f

km(p, wm)/@pj para k : 1, . . . , `� 1.

4. @!`m/@pj = �f

jm(p, wm) +

Pm�1i=1 y

ji �

P`�1h=1 ph[@f

hm(p, wm)/@pj ].

Ahora, calculemos la derivada de zk(p,!) = 0 con respecto a pj . Esto es,

@zk(p,!)

@pj=

mX

i=1

@f

ki (p, wi)

@pj+@f

ki (p, wi)

@wi

"!ji +

X

h=1

ph@!

hi

@pj

#� @!

ki

@pj

!

=mX

i=1

✓@f

ki (p, wi)

@pj+@f

ki (p, wi)

@wi!ji

◆+

mX

i=1

@f

ki (p, wi)

@wi

"X

h=1

ph@!

hi

@pj

#� @!

ki

@pj

!

= 0

Con k, j : 1, . . . , `� 1. Note que la entrada kj�esima de la matriz J(b, Y ) es

mX

i=1

✓@f

ki (p, wi)

@pj+@f

ki (p, wi)

@wi!ji

Ahora, nos enfocamos en el ultimo termino de la derivada de zk(p,!) con respecto a

pj separando las sumas sobre los consumidores entre los primeros m � 1 consumidores yel m�esimo consumidor. Esto es,

mX

i=1

@f

ki (p, wi)

@wi

"X

h=1

ph@!

hi

@pj

#� @!

ki

@pj

!

=m�1X

i=1

@f

ki (p, wi)

@wi

"X

h=1

ph@!

hi

@pj

#� @!

ki

@pj

!+@f

km(p, wm)

@wm

"X

h=1

ph@!

hm

@pj

#� @!

km

@pj

Reemplazamos las derivadas de !ki con respecto a pj generadas por el Sistema de

Coordenadas B para obtener lo siguiente

=m�1X

i=1

✓@f

ki (p, wi)

@wi

h�f

ji (p, wi)� y

ji

i� @f

ki (p, wi)

@pj

+@f

km(p, wm)

@wm

"�f

jm(p, wm) +

m�1X

i=1

yji

#� @f

km(p, wm)

@pj

Agrupando terminos en la ultima expresion tenemos

�mX

i=1

✓@f

ki (p, wi)

@wifji (p, wi) +

@fki (p, wi)

@pj

◆�

m�1X

i=1

✓@f

ki (p, wi)

@wi� @f

km(p, wm)

@wm

�yji

Resaltemos que la primera sumatoria es el negativo de la entrada kj�esima de lamatriz M(b) y que la segunda sumatoria es el negativo de la entrada kj�esima de lamatriz K(b)Y T .

Finalmente, como partimos de zk(p,!) = 0, entonces @zk(p,!)/@pj = 0, al despejar laentrada kj�esima de la matriz J(b, Y ) en la ecuacion tenemos que

15

Page 20: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

mX

i=1

✓@f

ki (p, wi)

@pj+@f

ki (p, wi)

@wi!ji

=mX

i=1

✓@f

ki (p, wi)

@wifji (p, wi) +

@fki (p, wi)

@pj

◆+

m�1X

i=1

✓@f

ki (p, wi)

@wi� @f

km(p, wm)

@wm

�yji

Por lo tanto, J(b, Y ) = M(b) +K(b)Y T como se querıa demostrar.

La importancia del Sistema de Coordenadas B radica especialmente en la ultima pro-posicion, debido a que este sistema esta “centrado” en el conjunto de equilibrios de nointercambio, lo cual facilita el calculo del det J(b, Y ) cuando nos encontramos en un equi-librio de no intercambio.

Los resultados de la Proposicion 6.3 y Proposicion 6.4 sobre la matriz Jacobianade z : S ! R`�1 y su conexion con la matriz Jacobiana de ⇡ : E ! ⌦, podemos aplicarlossobre el conjunto de equilibrios de no intercambio y su conexion con el conjunto de optimosde Pareto para poder demostrar que la proyeccion natural es sobreyectiva y esto demuestrala existencia de equilibrios walrasianos para toda economıa.

Proposicion 6.5. Sea (p,!) 2 T , entonces (p,!) es un punto regular de ⇡ : E ! ⌦. Estoes, T ✓ E(R).

Demostracion. Sea (p,!) 2 T . Por Proposicion 6.3 debemos probar que det J(p,!) 6= 0.En el Sistema de Coordenadas B sabemos que (p,!) 2 T garantiza que Y

T = 0. Por laProposicion 6.4, si (p,!) 2 T , entonces det J(b, Y ) = detM(b). Dado que M(b) es lasuma de matrices definidas negativas, entonces su determinante no es cero. Por la suavidaden el cambio de coordenadas, entonces det J(p,!) 6= 0. Por lo tanto, T ✓ E(R).

De manera inmediata se tiene la siguiente proposicion sobre la regularidad de laseconomıas que son optimos de Pareto.

Proposicion 6.6. Sea ! 2 P , entonces ! es un valor regular de ⇡ : E ! ⌦. Esto es,P ✓ R.

Demostracion. Sea ! 2 P . Por la Proposicion 5.4 sabemos que ⇡�1(!) = (p,!) 2 T .Por la Proposicion 6.5 concluimos que ! es un valor regular de ⇡ : E ! ⌦. Por lo tanto,P ✓ R.

Por laProposicion 9.5 sabemos que el grado de una funcion con ciertas caracterısticases constante en los valores regulares. Aplicamos ese resultado en las economıas reguladas.

Proposicion 6.7. El grado modulo 2 de la proyeccion natural es 1.

Demostracion. Aplicamos la Proposicion 9.5 sobre ⇡ : E ! ⌦.

1. ⇡ propia.

2. E y ⌦ son no compactas, conexas, orientadas y suaves por su relacion con Rm`.

Sea ! 2 P , como ! es un valor regular cuya preimagen es un unico elemento, entonces elgrado modulo 2 de ⇡ (ver Definicion 5 en la Seccion 9) en ! es 1 y como este debeser constante sobre todos los valores regulares, entonces el grado modulo 2 de ⇡ en laseconomıas regulares es 1.

16

Page 21: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

Con este ultimo resultado ya podemos probar que toda economıa tiene asociado almenos un equilibrios walrasiano.

Teorema 1 (Existencia de Equilibrios Walrasianos). La proyeccion natural ⇡ : E ! ⌦ essobreyectiva. Esto es, ⇡�1(!) 6= ; para todo ! 2 ⌦, es decir, para toda economıa ! 2 ⌦existe al menos un equilibrio (p,!) 2 E asociado.

Demostracion. Sea ! 2 ⌦. Supongamos que ⇡�1(!) = ;, lo cual implica que el grado de⇡ en ! es par. Por otra parte, por definicion de valor regular, ! es un valor regular de ⇡y, por la Proposicion 6.7, el grado de ⇡ en ! es impar. Por lo tanto, el grado de ⇡ en !es par e impar, lo cual es absurdo. Por lo tanto, ⇡�1(!) 6= ;.

El problema de garantizar la existencia de equilibrios walrasianos ocupo parte de losesfuerzos de los matematicos a mediados del siglo XX. En los artıculos (Arrow y Debreu,1954) y (McKenzie, 1954) se dieron respuestas satisfactorias sobre las condiciones sufi-cientes para garantizar la existencia de equilibrio walrasianos a cada economıa. En estasaproximaciones no se requiere la suavidad de la funcion de utilidad de cada consumidorcomo sı lo hemos utilizado nosotros.

Finalmente, una aplicacion de la teorıa nos permite extender el resultado de finitudde los equilibrios asociados con las economıas regulares. Esto es, en la Proposicion 4.4concluimos la finitud de los equilibrios asociados con una economıa regular. Ahora, utili-zando la Proposicion 6.7, podemos concluir que el numero de equilibrios asociados conuna economıa regular debe ser impar.

Proposicion 6.8. Sea ! 2 R. El numero de equilibrios asociados con ! es impar.

Demostracion. Sea ! 2 R. El grado en los valores regulares de ⇡ debe ser constante eigual a 1 por la Proposicion 6.7, lo cual implica que el grado de ⇡ en ! es impar. Supon-gamos que ⇡�1(!) posee un numero par de elementos. Si todos los elementos preservan(respectivamente invierten) la orientacion, entonces el grado de ⇡ en ! serıa par, lo cual esabsurdo. Si un numero par de elementos preserva la orientacion y un numero par inviertela orientacion, entonces el grado de ⇡ en ! es par, lo cual es absurdo. Si un numero imparde elementos preserva la orientacion y un numero impar de elementos la invierte, entoncesel grado de ⇡ en ! es par, lo cual es absurdo. Por lo tanto, el numero de elementos de⇡�1(!), con ! 2 R, es impar.

7. Formulacion Geometrica del Ecuacion de Equilibrio

Sea H = (R`�1 ⇥ {1}) ⇥ Rm el espacio precios-ingreso generalizado. Note que la di-ferencia fundamental entre B y H es que H no esta restringido a los numeros positivoscomo B. Sin embargo, en ambos conjuntos la dimension es `� 1 +m.

Sea r 2 R` el total de recursos disponibles. De lo anterior, el espacio de parametroscon recursos totales fijos es

⌦(r) = {! 2 (R`++)

m|r = !1 + · · ·+ !m}

Por su parte, sean P (r) = P \ ⌦(r) el conjunto de optimos de Pareto que tiene losrecursos fijos y H(r) el espacio precios-ingreso que es compatible con el nivel fijo derecursos, es decir, si b 2 H(r), entonces w1 + · · · + wm = p · r. La dimension de H(r) esm+ `� 2.

Sea A(!) la variedad presupuesto el conjunto de precios e ingreso (p, w1, . . . , wm) 2 H

tales que w1 = p · !1, . . . , wm = p · !m. Vale la pena resaltar que, dado el vector de

17

Page 22: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

precios normalizados, wi es una funcion afın cuyos termino constante es !`i . La variedad

presupuesto A(!) es un subespacio afın de H cuya dimension es `� 1.Sea B(r) la variedad seccion tal que (p, w1, . . . , wm) 2 B cumple

f1(p, w1) + · · ·+ fm(p, wm) = r

Proposicion 7.1. La variedad seccion B(r) es una subvariedad suave de B = S ⇥ Rm++

que es difeomorfa con P (r) que es difeomorfo a Rm�1

Demostracion. Por la Proposicion A.6.2 de (Balasko, 2009), P (r) es difeomorfo conRm�1. Por la Proposicion 5.1 y la Proposicion 5.3 concluimos que B(r) es la preima-gen de la funcion ⇡ � f del conjunto P (r) que define un difeomorfismo. Por lo tanto, B(r)es una subvariedad suave de B cuya dimension es m� 1.

Definimos Um�1 el conjunto de pares (r, u) 2 R`++ ⇥ Rm�1 para los cuales existe

x = (x1, . . . , xm�1) 2 (R`++)

m�1 que satisfacen x1 + · · · + xm�1 < r y u1(x1) = u1, . . . ,um�1(xm�1) = um�1.

Proposicion 7.2. La funcion ✓ : B ! R`++ ⇥ Rm�1 definida como

✓(p, w1, . . . , wm) =

mX

i=1

fi(p, wi), u1(f1(p, w1)), . . . , um�1(fm�1(p, wm�1))

!

es un difeomorfismo entre B y Um�1.

Demostracion. Basada en laProposicion 5.5.1 de (Balasko, 2009). El objetivo es mostrarque ✓ es un embebimiento suave desde B en R`

++ ⇥Rm�1 cuya imagen es Um�1. Primero,dado que fi(p, wi) y ui son funciones suaves, entonces ✓ es suave.

(i) Probemos que ✓(B) ✓ Um�1. Sea ✓(p, w1, . . . , wm) = (r, u), tomamos a xi = fi(p, wi)para todo i : 1, . . . ,m y ui = ui(xi) para todo i : 1, . . . ,m� 1, entonces se garantizaque (r, u) 2 Um�1, debido a que r =

Pmi=1 xi >

Pm�1i=1 xi.

(ii) Probemos que Um�1 ✓ ✓(B). Sea (r, u) 2 R`++ ⇥Rm�1, definimos la funcion Rm�1 :

Um�1 ! (R`++)

m que a partir de la solucion del problema de maximizacion

Maximizar um(xm)Sujeto a

Pmi=1 xi r

ui(xi) � ui

asigna a (r, u) un unico x = (xi) que es optimo de Pareto (Ver, por ejemplo,Teorema6.26 en (Balasko, 2020)). Sea p 2 S el vector de precios que soporta a x como optimode Pareto. Ası, sabemos que xi = fi(p, p · xi) para todo i : 1, . . . ,m. Si tomamos porwi = p · xi, entonces por la definicion de ✓

✓(p, w1, . . . , wm) =

mX

i=1

xi, u1(x1), . . . , xm(xm)

!

Con esto se concluye que Um�1 ✓ ✓(B).

18

Page 23: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

Sea g : P ! S ⇥ Rm++ tal que a un optimo de Pareto x se le asigna

(Dnu1(x1), Dnu1(x1) · x1, . . . , Dnu1(x1) · xm)

donde Dnu1(x1) es el vector gradiente normalizado de u1.Probamos que la funcion ↵ = g � Rm�1 cumple con ↵ � ✓ es la funcion identidad de

B. Sea b = (p, w1, . . . , wm) 2 B, para b corresponde un unico vector (xi) = (fi(p, wi)) quedefine un optimo de Pareto. Este optimo de Pareto cumple r =

Pmi=1 fi(p, wi) y ui(xi)

para i : 1, . . . ,m. Por lo anterior, debe tenerse que x = Rm�1(r, u).Como x1 = f1(p, w1), entonces el vector gradiente Du1(x1) es colinear con p. Especıfi-

camente, p = Dnu1(f1(p, w1)). Por lo tanto, (↵ � ✓)(b) = b, pues esto ultimo prueba queb = g(x) tomando p = Dnu1(f1(p, w1)) y wi = p · fi(p, wi) = p · xi gracias a la Ley deWalras.

Por todo lo anterior, ✓ es un embebimiento, lo cual implica que es un difeomorfismoentre el dominio y su imagen.

A continuacion estudiamos algunos casos particulares que dependen del valor de m.

1. Si m = 1, la Proposicion 7.2 generaliza los resultados de las Proposiciones 10.1,10.3 y 10.4 de eleccion racional, pues ✓(p, w1) = f1(p, w1).

2. Si m = 2, la Proposicion 7.1 muestra que la variedad B(r) es una curva suaveque esta relacionada con la curva de contrato en la caja de Edgeworth11, debidoa que B(r) es difeomorfa con P (r) que es la curva de contrato. Por la construc-cion en la Proposicion 7.2, la curva de contrato esta parametrizada por u1, esdecir, (x1(u1), x2(u1)) es el optimo de Pareto asociado con el nivel u1. Sea p(u1)el precio que garantiza que el optimo de Pareto asociado con u1 es una asigna-cion de equilibrio. El optimo de Pareto parametrizado por u1 define un unico puntoM(u1) = (p(u1), p(u1) · x1(u1), p(u1) · x2(u1)) en la variedad B(r)). Por lo tanto, u1tambien parametriza la curva variedad seccion.

Dado que u1 2 (u1(0), u1(r)), sean M0 = (p(u1(0)), p(u1(0)) · x1(u1(0)), p(u1(0)) ·x2(u1(0))) y Mr = (p(u1(r)), p(u1(r)) · x1(u1(r)), p(u1(r)) · x2(u1(r))).En el caso en que m = 2, definimos la orientacion positiva de la curva B(r) conel crecimiento en el parametro u1. Para todo M(u1), la curva B(r) se divide endos arcos: M0M(u1) y M(u1)Mr. Las asignaciones de equilibrio sobre M0M(u1)(respectivamente M(u1)Mr) generan menor (respectivamente mayor) utilidad queu1.

Finalmente, de acuerdo con la siguiente proposicion, el equilibrio lo podemos estudiardesde la interseccion de las dos variedades A(!) y B(r).

Proposicion 7.3. Sea (p,!) 2 S ⇥ ⌦(r), entonces (p,!) es un equilibrio si y solo si elvector de precios e ingreso (p, w1, . . . , wm) = �(p,!) pertenece a la variedad seccion B(r).

Demostracion. Sea (p,!) 2 S ⇥⌦. Dado que ! 2 ⌦(r), si (p,!) es un equilibrio, entoncesPmi=1 fi(p, p · !i) = r. Por lo anterior, b = �(p,!) garantiza

Pmi=1 fi(p, wi) = r, lo cual

implica que b 2 B(r). Si b = �(p,!) 2 B(r), entoncesPm

i=1 fi(p, wi) = r con wi = p · !i,lo cual implica que (p,!) es un equilibrio.

11La caja de Edgeworth es una representacion grafica de una economıa de intercambio puro (Edgeworth,

1881). En el caso particular en el que m = ` = 2, esta representacion es un rectangulo (o caja) cuya base

es el total disponible de la mercancıa 1 en la economıa, cuya altura es el total disponible de la mercancıa

2 en la economıa y cada coordenada representa una asignacion factible o realizable para la economıa

representada.

19

Page 24: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

Por la Proposicion 7.3, estudiar los vectores de precios de equilibrios asociados con! 2 ⌦(r) es estudiar la interseccion entre B(r) y A(!).

Definicion 3. Sea E la variedad equilibrio geometrico el subconjunto B(r)⇥A conformadopor los pares (b, A) donde b 2 B(r) y A es un subespacio afın de H(r) que contiene el puntob. Por definicion, (b, A) 2 E es regular si las variedades A y B(r) de H(r) son transversalesen b 2 A \B(r).

Dado que las dimensiones de las variedades A y B(r) son `�1 y m�1, respectivamente,y estas variedades estan en un espacio de dimension `+m� 2, la transversalidad implicaque Tb(B(r)) \A = {b} donde Tb(B(r)) es el espacio tangente afın de B(r) en b, es decir,el equilibrio geometrico (b, A) 2 E es regular si Tb(B(r)) \ A = {b}. Por el contrario, silas dos variedades no son transversales, es decir, el equilibrio geometrico (b, A) es crıtico,entonces se debe tener que la dimension de Tb(B(r)) \A es al menos 1.

Proposicion 7.4. (p,!) 2 E es regular si y solo si (p, p · !1, . . . , p · !m) es un equilibriogeometrico regular.

Demostracion. Basada en el apendice de (Balasko, 1979)La estrategia es utilizar el hecho que E y E son difeomorfas y despues probar que (b, A)

es equilibrio geometrico regular si y solo si (p,!) (el equilibrio asociado con el equilibriogeometrico (b, A)) es regular.

Sean � : ⌦ ! A tal que �(!) = {espacio generado por wi = p · !i para i : 1, . . . ,m}y � : S ⇥ ⌦ ! H(r) ⇥ A definida como �(p,!) = (p, p · !1, . . . , p · !m, �(!)). Allı, � esun difeomormismo y � es un embebimiento. Dado que � ⌘ �|E satisface que �(E) = E ,podemos concluir que E y E son difeomorfas. En particular, existe una correspondenciauno a uno entre los elementos de E y E .

Ahora, vale la pena resaltar que la regularidad de un equilibrio geometrico esta carac-terizada por la dimension del espacio Tb(B(r)) \A. Por lo anterior, definimos la matriz

N(p, w1, w2, . . . , wm) =

2

664

mX

h=1

@fkh

@pj

...@f

ki

@wi

�!ki

... Idm

3

775

Note que el espacio Tb(B(r))\A trasladado al origen esta determinado por el siguientesistema de ecuaciones

0 =

2

664

mX

h=1

@fkh

@pj

...@f

ki

@wi

�!ki

... Idm

3

775

2

66666666664

p1

p2...1w1...

wm

3

77777777775

= N(p, w1. . . . , wm)

2

66666666664

p1

p2...1w1...

wm

3

77777777775

Esto implica que la dimension del espacio esta determinado por el corango de la matrizN(p, w1, . . . , wm). Vale la pena recordar que en la demostracion de la Proposicion 6.2probamos que detN(p, w1, . . . , wm) = det J(p,!).

Sea (b, A) un equilibrio geometrico regular. Por definicion, (b, A) garantiza que la di-mension de Tb(B(r)) \A traladado al origen es cero que, considerando los espacios afinesimplica que Tb(B(r))\A = {b}. Por lo tanto, el rango de N(p, w1, . . . , wm) es completo es

20

Page 25: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

equivalente con que detN(p, w1, . . . , wm) 6= 0. Por la Proposicion 6.3, concluimos queel equilibrio (p,!) asociado con (b, A) es regular.

La Proposicion 7.4 nos garantiza que existe una equivalencia de la regularidad entrela aproximacion geometrica del equilibrio y la aproximacion usual a traves de los excesos dedemanda. En particular, esta proposicion nos permite utilizar las herramientas geometricassobre los equilibrios regulares. Esto ultimo se aplica en la caracterizacion del problema detransferencia que presentamos en la siguiente seccion.

8. Problema de Transferencia

Si ` = 2, la existencia de un problema de transferencia en cierto equilibrio es equivalentea la inestabilidad del equilibrio (Balasko, 1978). En Balasko (2014) se extiende el resultadopara ` arbitario. Esta seccion muestra este resultado.

En adelante, consideramos m = 2. Sea (p,!) 2 E un equilibrio regular. A partir de laregularidad de ! 2 ⌦, existen U ✓ R vecindad de ! y V ✓ E una vecindad de (p,!) talesque ⇡(V ) = U y ⇡|V es un difeomormismo entre V y U . Definimos la funcion de seleccionde precios s : U ! S como la composicion de (⇡|V )�1|U con la proyeccion sobre S. Vale lapena resaltar que s es una funcion suave al ser una composicion de funciones suaves queconecta a todo elemento de !0 2 U (una economıa regular) con un unico vector de preciosp0 que garantiza que (p0,!0) es un equilibrio walrasiano.

Por su parte, el ındice equilibrio regular (p,!) 2 E es +1 (respectivamente �1) si elsigno (�1)`�1 det J(p,!) es positivo (respectivamente negativo). Un ındice +1 esta rela-cionado con estabilidad a traves del tanteo, debido a que un equilibrio que es estable portanteo siempre tiene un ındice +1.

Definicion 4 (Problema de transferencia). (Tomada de (Balasko, 2014)) Existe un pro-blema de transferencia en el equilibrio regular (p,!) si existe una dotacion !0 = (!0

1,!02) 2

U tal que !01 < !1 que satisface

u1(f1(s(!0), s(!0) · !0

1) > u1(f1(s(!), s(!) · !1)

donde s : U ! S es la funcion local de seleccion de precios con (p,!) 2 E equilibrioregular

Ejemplo 2. Consideremos una economıa donde u1(x11, x21) = ln(x11�1)�2 ln(2�x

21) es la

funcion de utilidad del consumidor 1 donde x11 > 1 y x

21 < 212 y u2(x12, x

22) es una funcion

de utilidad como en el Ejemplo 1. Construiremos una economıa donde haya un problemade transferencia.

Para comenzar, la funcion de utilidad del consumidor 1 cumple con los supuestos, puesDu1(x11, x

21) =

�1/(x11 � 1), 2/(2� x

21)�esta en R2

++ y cumple con cuasiconcavidad suave,es decir, D2

u1(x11, x21) restringida a cualquier curva de indiferencia es definida negativa.

Esto ultimo se mantiene en este caso porque el determinante de la matriz Hessiana Orlada13

de u1 es positivo en el dominio de la funcion u1

12La funcion de utilidad es tomada de un ejemplo en (Monsalve, 2017)

13Sea u : Rn ! R dos veces diferenciable. La matriz Hessiana orlada de U , Hu(x), esta definida como

Hu(x) =

2

6640

.

.

. Du(x)

. . . . . . . . .

Du(x)T

.

.

. D2u(x)

3

775

21

Page 26: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

|Hu1(x11, x

21)| =

�������

0 1x11�1

22�x2

11

x11�1

� 1(x1

1�1)20

22�x2

10 2

(2�x21)

2

�������=

2

(x11 � 1)2(2� x21)

2

Las dotaciones del consumidor i�esimo son !i = (!1i ,!

2i ) para i : 1, 2. A continuacion,

hallamos las funciones de demanda del consumidor 1 con el fin de dar condiciones paraque la mercancıa 1 sea un bien Gi↵en (un bien cuya demanda se incrementa cuando suprecio se incrementa, dejando lo demas constante). El problema de maximizacion para elindividuo 1 es

Maximizar ln(x11 � 1)� 2 ln(2� x21)

Sujeto a p1x11 + p2x

21 = p1!

1i + p2!

2i = w1

Supongamos que p2 = 1. Las condiciones de primer orden del problema implican que

@u1

@x11

@u1

@x21

=2� x

21

2(x11 � 1)= p1

por lo que tenemos que x2 = �2p1(x11 � 1) + 2, al reemplazar en la restriccion delproblema y despejar concluimos que

f11 (p1, 1, w1) =

2� w1

p1+ 2 y f

21 (p1, 1, w2) = 2(w1 � p1)� 2

Como f11 > 0 y f

21 > 0, entonces 2+ 2p1 > w1 > 1+ p1. Por su parte, para que el bien

1 sea Gi↵en se requiere que @f11 /@p1 > 0. Esto es,

@f11 (p1, 1, w1)

@p1= �2� w1

(p1)2> 0

lo cual se mantiene siempre que w1 > 2. Vale la pena resaltar que, dadas las condicionesdeducidas desde f

11 > 0 y f

21 > 0, si p1 > 1 = p2, entonces w1 > 1 + p1 > 2, es decir, la

derivada es positiva.Por su parte, sea u2(x12, x

22) = x

12x

22 la funcion de utilidad del consumidor 2. Dadas las

soluciones encontradas en el Ejemplo 2, las demandas para este consumidor son

f12 (p1, 1, w1) =

w2

2p1y f

22 (p1, 1, w1) =

w2

2,

con w2 = p1!12 + !

22. De lo anterior, la variedad equilibrio en este caso es

z1(p,!1,!2) =

2� w1

p1+ 2 +

w2

2p1� !

11 � !

12 = 0

Para que pueda existir un problema de transferencia se requiere que @z1/@p1 > 0, esdecir,

@z1

@p1=

�2

(p1)2+

!21

(p1)2� !

22

2(p1)2> 0

lo cual es equivalente con !21 > !

22 + 2, denominemos a esta relacion condicion 1.

Adicionalmente, al despejar p1 encontramos el vector de precios de equilibrio. Esto es,

22

Page 27: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

pe1 =

2� !21 + !

22/2

2!11 + !

12/2� 2

Resaltamos que si se cumple la condicion 1, el numerador de pe1 es negativo, luego

el denominador debe ser negativo, es decir, 2!11 + !

12 > 2, denominemos esta desigualdad

condicion 2.Lo unico que resta es mostrar el ejemplo de problema de transferencia.Consideremos unas dotaciones iniciales !1

1 = 0, 4, !21 = 7, !1

2 = 1, 6 y !22 = 3. En

este caso, asumimos que los recursos fijos r = (2, 10). La eleccion de esta distribucion dedotaciones iniciales no es arbitraria, pues, dicha distribucion, cumple las condiciones 1 y 2,lo cual genera que el precio hallado es positivo y, ademas, el equilibrio es inestable. Ahora,calculamos el precio de equilibrio es p

e1 = 8, 75 > 1, lo que nos dice que el bien 1 en este

caso es un bien Gi↵en.Con este precio de equilibrio hallamos las demandas y, posteriormente, las utilidades.

En resumen,

f11 = 1, 028571429... ; f

21 = 1, 5 ; f

12 = 0, 971428571... y f

22 = 8, 5

lo cual implica que uinicial1 = �2, 1690537... y u2 = 8, 25714285.... Para construir

el problema de transferencia, damos 0,01 unidades del bien 1 desde las dotaciones delconsumidor 1 al consumidor 2. En otras palabras, las nuevas dotaciones son !1

1 = 0, 39 y

!12 = 1, 61, lo cual genera u

final1 = �1, 58460013.... Note que u

final1 > u

inicial1 , luego existe

un problema de transferencia.

Proposicion 8.1. El hiperplano A(!0) se ubica debajo del hiperplano A(!) si y solo si!01 < !1.

Demostracion. Si m = 2, entonces A(!) esta determinado por la ecuacion w1 = p · !y, dado que A(!) ✓ H(r), w2 = p · r � w1 para todo p 2 S. Ası que, por definicion,el hiperplano A(!0) se ubica debajo del hiperplano A(!) si se mantiene la desigualdadestricta p · !0

1 < p · !1 que es equivalente con p · (!01 � !1) < 0 que ocurre si y solo si

!01 � !1 posee entradas menores o iguales que cero y al menos una debe ser estrictamente

negativa.

En la curva B(r) parametrizada por u1 definimos la derivada u1 ! M(u1) que esdenotada por t(u1), esta funcion representa el vector tangente a la curva B(r) en el puntoM(u1). La direccion del vector t(u1) corresponde a la direccion en la que se incrementa lautilidad del consumidor a lo largo de la curva B(r) en una vecindad del punto M(u1).

Proposicion 8.2. El numero ındice del equilibrio regular (p,!) 2 E es +1 (respectiva-mente �1) si y solo si t(u1) � 0 (respectivamente t(u1) ⌧ 0).

Demostracion. Ver Lema 1 de (Balasko, 2014)

Teorema 2. [Caracterizacion del problema de transferencia, (Balasko, 2014)] El equilibrioregular (p,!) 2 E enfrenta un problema de transferencia si y solo si su ındice es igual a�1.

Demostracion. Sean b(!) = (p, p ·!1, p ·!2) 2 B(r)\A(!) y u1 = u1(f1(p, p ·!1)). El arcoM(u1)Mr (respectivamente, M0M(u1)) contiene los puntos de la curva B(r) que estanparametrizados por niveles de utilidad mayores o iguales a u1 (respectivamente menoreso iguales que u1).

23

Page 28: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

Como (p,!) 2 E es regular, consideramos la vecindad U de ! donde esta bien definidala funcion de seleccion de precios s, es decir, s : U ! S. Sea !0 2 U tal que !0

< !. Porla Proposicion 8.1, sabemos que A(!0) esta ubicado debajo de A(!).

Si el ındice de la interseccion b(!) = B(r)\A(!) es �1, entonces en la vecindad V deb(!) = M(u1) se cumple que M(u1)Mr \V esta debajo del hiperplano A(!) mientras queM0M(u1) \ V esta sobre el hiperplano A(!) aplicando la Proposicion 8.2.

Sea !0 2 U tal que !0< !, ası se garantiza que A(!0) esta debajo del hiperplano A(!).

Por lo tanto, el punto b(!0) = (s(!0), s(!0) ·!01, s(!

0) ·!02) esta debajo del hiperplano A(!)

por lo que pertenece a M(u1)Mr, es decir, u1(f1(s(!0), s(!0) ·!01)) > u1(f1(s(!), s(!) ·!1)),

generando un problema de transferencia.Por otra parte, si el ındice de la interseccion b(!) = B(r) \ A(!) es +1, entonces

se mantiene la desigualdad u1(f1(s(!0), s(!0) · !01)) < u1(f1(s(!), s(!) · !1)) siempre que

!0< ! con !0 2 U .

24

Page 29: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

9. Apendice Matematico

Sea ⇢ : X ! Y una funcion suave (diferenciable de cualquier orden) entre dos va-riedades X y Y . Sea los espacios vectoriales TxX y T⇢(x)X los espacios tangentes de lasvariedades suaves X y Y en los puntos x y ⇢(x), respectivamente.

El punto x 2 X es un punto crıtico de la funcion ⇢ si la funcion tangente (tambienconocida como la derivada) (d⇢)x : TxX ! T⇢(x)Y no es sobreyectiva. El conjunto de todoslos puntos crıticos es denotado por �. El punto x 2 X es regular si la funcion tangente(d⇢)x : TxX ! T⇢(x)Y es sobreyectiva.

Proposicion 9.1. El conjunto � de punto crıticos de la funcion ⇢ : TxX ! T⇢(x) escerrado.

Por definicion, la imagen ⇢(x) de un punto crıtico x 2 X es un valor singular de lafuncion ⇢ : X ! Y . Sea ⌃ el conjunto de los valores singulares, entonces ⇢(�) = ⌃. Pordefinicion, el elemento y 2 Y es un valor regular de ⇢ : X ! Y si no pertenece a ⌃. Enotras palabras, un valor regular no es la imagen de un punto crıtico. Sea R el conjuntode valores regulares, entonces R = Y/⌃. De lo anterior, un punto que no pertenezca a laimagen de ⇢ es un valor regular, lo cual resalta la importancia de especificar el dominio yrango de las funciones.

Proposicion 9.2. [Teorema del Valor Regular] La preimagen ⇢�1(y) de un valor regulary 2 R ✓ Y para la funcion ⇢ : X ! Y es una subvariedad suave de X cuya dimension esigual dimX � dimY .

Proposicion 9.3. [Teorema de Sard] El conjunto ⌃ de valores singulares de una funcionsuave ⇢ : X ! Y tiene medida cero en Y .

Proposicion 9.4. Sean � : X ! Y y : Y ! X dos funciones suaves entre dosvariedades suaves tal que la composicion � � : Y ! Y es la funcion identidad de Y .Entonces la funcion : Y ! X es un embebimiento. La imagen Z = (Y ) es unasubvariedad suave de X que es un difeomorfismo a Y .

Definicion 5. Sean X y Y n�variedades y � : X ! Y . Sea y 2 Y un valor regular de�. Denotamos por #��1(y) el numero de soluciones de la ecuacion �(x) = y. Definimosel grado de �, denotado deg(�, X, Y ), como el residuo mod 2 de #��1(y).

La siguiente proposicion prueba, entre otras cosas, que, bajo ciertas condiciones, elgrado de un funcion no depende del valor regular escogido para llevar el calculo.

Proposicion 9.5. Sean X y Y n�variedades no-compactas, conexas, orientadas y suaves.Sea � : X ! Y una funcion propia. Existe un unico entero k, llamado el grado de �, talque para cada valor regular y de �

k = deg(�, X, Y ) =X

x2��1(y)

sgn(x)

donde sgn(x) es +1 si d�x preserva la orientacion y �1 si reversa la orientacion.

25

Page 30: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

10. Demostraciones en topicos de Eleccion Racional

Proposicion 10.1. El problema de maximizacion de ui(xi) sujeto a la restriccion presu-puestal p · xi wi tiene unica solucion para i : 1, . . . ,m.

Demostracion. La estrategia para probar la existencia de la solucion es probar que elconjunto {xi 2 R`

++|p · xi wi} es compacto y, dado que la funcion ui(xi) es continua,utilizando el teorema Weierstrass la imagen de ui(xi) es conjunto compacto en R que tieneelemento maximo y mınimo.

Para probar que {xi 2 R`++|p ·xi wi} es compacto en R`

++ probamos que el conjuntoes cerrado y acotado.

Sea p 2 R`++ el vector de precios. Como p, xi 2 R`

++, es decir, tanto los precios comolas cantidades de mercancıas son numero positivos, entonces 0 x

ki wi/pk para todo

k : 1, . . . , `. Por lo tanto, {xi 2 R`++|p · xi wi} es acotado.

Sea {xni } una sucesion de elementos de {xi 2 R`++|p · xi wi} que es convergente a

x⇤i . Veamos que x

⇤i cumple p · x⇤i wi. Como cada x

ni 2 {xi 2 R`

++|p · xi wi}, entonces0 p ·xni wi para todo n. Ası, {p ·xni } es una sucesion de numeros reales en un intervalocerrado y que converge a p · x⇤i , debido a que el producto interno es una funcion continua,entonces p·x⇤i esta en el intervalo cerrado. Esto es, 0 p·x⇤i wi. Por lo tanto, el conjunto{xi 2 R`

++|p · xi wi} es cerrado.Dado que ui(xi) es una funcion continua, el problema de maximizacion tiene solucion.

Sea x⇤i solucion del problema de maximizacion, resta probar que x

⇤i es unica.

Supongamos que x⇤⇤i que tambien es solucion del problema de maximizacion. Esto es,

x⇤⇤i cumple la restriccion presupuestal y u(x⇤i ) = u(x⇤⇤i ). Consideremos la tupla tx

⇤i +(1�

t)x⇤⇤i para t 2 (0, 1). Como {xi 2 R`++|p · xi wi} es convexo, entonces tx

⇤i + (1 � t)x⇤⇤i

tambien es un elemento de {xi 2 R`++|p · xi wi}. Veamos que tx

⇤i + (1 � t)x⇤⇤i genera

mas utilidad que x⇤i .

El supuesto de cuasiconcavidad suave implica que ui(xi) es cuasiconcava (Simon yBlume, 1994) Teorema 21.19 y ui(xi) es cuasiconcava en un conjunto convexo si y solosi ui(txi+(1�t)x0i) � mın{ui(xi), ui(x0i)} para t 2 (0, 1) (Simon y Blume, 1994) Teorema21.12. Cuando consideramos puntos xi y x

0i distintos con t 2 (0, 1), la anterior relacion se

mantiene con desigualdad estricta.Ası, ui(tx⇤i + (1 � t)x⇤⇤i ) > mın{ui(x⇤i ), ui(x⇤⇤i )} = ui(x⇤i ), lo cual es absurdo. Por lo

tanto, x⇤i es unico.

Proposicion 10.2. Las condiciones de primer orden del problema de maximizacion deu(xi) sujeto a p · xi = wi para p 2 S y wi 2 R++ tienen la forma

Dnu(xi) = p ; p · xi = wi

Dichas condiciones son necesarias y suficientes.

Demostracion. Consideremos el lagrangiano asociado al problema

L(x1i , x2i , . . . , xli,�) = u(xi) + �(wi � p · xi)

Las condiciones de primer orden son

Lxki= uxk

i(xi)� �pk = 0 para k : 1, . . . , l � 1 ; Lxl

i= uxl

i(xi)� � = 0

De lo anterior, uxli(xi) = � y esto implica que uxk

i(xi)/uxl

i(xi) = pk para todo k :

1, . . . , `, debido a que pl = 1 porque p 2 S. Por lo tanto, Dnu(xi) = p. Ahora, L� =

26

Page 31: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

wi � p · xi = 0, lo cual implica que wi = p · xi. Ası, las condiciones mencionadas soncondiciones necesarias.

Las condiciones de primer orden son argumentos maximizadores siempre que los pun-tos crıticos (x⇤i ,�

⇤) cumplen que D2L(x⇤i ,�⇤) es definida negativa sobre el conjunto de

restriccion (Simon y Blume, 1994) Teorema 19.6. Las condiciones de segundo orden segarantizan a traves de la matriz

HL(xi) =

0

BBB@

0 �p1 �p2 . . . �1�p1 Lx1

i ,x1i

Lx1i ,x

2i

. . . Lx1i ,x

li

......

......

...�1 Lxl

i,x1i

Lxli,x

2i

. . . Lxli,x

li

1

CCCA

Reemplazando las condiciones de primer orden y calculando las segundas derivadas dellagrangiano tenemos

HL(xi) =

0

BBBB@

0 ���1ux1

i(xi) ���1

ux2i(xi) . . . ���1

uxli(xi)

���1ux1

i(xi) ux1

i ,x1i(xi) ux1

i ,x2i(xi) . . . ux1

i ,xli(xi)

......

......

...���1

uxli(xi) uxl

i,x1i(xi) uxl

i,x2i(xi) . . . uxl

i,xli(xi)

1

CCCCA

La cual cumple las condiciones requeridas sobre D2L(x⇤i ,�⇤) en el conjunto restriccion,debido a que u(xi) cumple con la condicion de cuasiconcavidad suave.

Proposicion 10.3. Las funciones de demanda fi : S ⇥ R++ ! R`++ es diferenciable en

cualquier orden.

Demostracion. Por la proposicion anterior, las condiciones necesarias y suficientes son

Du(xi)� �p = 0 ; wi � p · xi = 0

Ademas existe x⇤i que cumplen dichas condiciones. Consideremos F : R`

++ ⇥ R++ ⇥R`+1++ ! R`+1

++ la funcion (xi, p, wi) ! (Du(xi)� �p, wi � p · xi)Solo nos resta probar que el determinante de la siguiente La matriz es distinto de cero

✓@F

j

@xki

(x⇤i ,�⇤, p, wi)

@Fj

@�⇤(x⇤i ,�

⇤, p, wi)

◆=

uxj

i ,xki(x⇤i ) �pj

�pk 0

!

El determinante de la matriz es

����@F

j

@xki

(x⇤i ,�⇤, p, wi)

@Fj

@�⇤(x⇤i ,�

⇤, p, wi)

���� =

�����uxj

i ,xki(x⇤i ) �pj

�pk 0

�����

=

�����uxj

i ,xki(x⇤i ) �uxj

i(x⇤i )/�

�uxki(x⇤i )/�

⇤ 0

�����

=

✓1

�⇤

◆2�����uxj

i ,xki(x⇤i ) uxj

i(x⇤i )

uxki(x⇤i ) 0

�����

Por el supuesto de cuasiconcavidad suave, ese determinante es distinto de cero. Ası,por el teorema de la funcion implıcita, existe fi : R`+1

++ ! R`+1 suave tal que sus primeras` entradas son una funcion que se define (p, wi) ! fi(p, wi) = x

⇤i .

27

Page 32: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

Corolario 1. Existe una funcion suave � : R`+1++ ! R++ tal que (p, wi) ! �(p, wi)

satisface Du(xi)(fi(p, wi)) = �(p, wi)p.

Demostracion. Del punto anterior, el teorema de la funcion implıcita garantiza la exis-tencia de la funcion � : R`+1

++ ! R++ tal que (p, wi) ! �(p, wi) simplemente tomando�(p, wi) = �

⇤ y esta cumple las condiciones de primer orden del problema de maximiza-cion de utilidad.

Proposicion 10.4. Sea gi : R`++ ! S ⇥ R++ definida por

gi(xi) = (Dnu(xi), Dnu(xi) · xi)

Entonces fi � gi = idR`++

y gi � fi = idS⇥R++

Demostracion. Sea xi 2 R`++, entonces g(xi) = (Dnu(xi), Dnu(xi)·xi). Sea p 2 S el vector

Dnu(xi) y, con ello, tomamos wi = p · xi. Ası, fi(p, wi) = xi, debido a que xi cumple lascondiciones de primer orden en el proceso de maximizacion a los precios p e ingreso wi.

Sea (p, wi) 2 S ⇥ R++. Si consideramos fi(p, wi) = xi, ya sabemos que si toma-mos p = Dnu(xi), entonces xi cumple las condiciones de primer orden del problema demaximizacion. Por lo tanto, p = Dnu(xi) genera la unica solucion del problema, luegog(xi) = (p, wi).

Como gi es suave en cada una de sus componentes y, ademas, fi es suave, entonces sondifeomorfismos.

Corolario 2. La matrix

Dfi(p, wi) =

0

BBBBB@

@f1i

@p1

@f1i

@p2. . .

@f1i

@pl�1

@f1i

@wi@f2

i@p1

@f2i

@p2. . .

@f2i

@pl�1

@f2i

@wi

......

......

...@f l

i@p1

@f li

@p2. . .

@f li

@pl�1

@f li

@wi

1

CCCCCA

Es invertible

Demostracion. Por la proposicion anterior, las funciones son difeomorfismo, por lo cual lamatriz es invertible.

Proposicion 10.5. La matriz de Slutsky Mi(p, wi) es invertible.

Demostracion. La matriz de Slutsky Mi(p, wi) asociada con la funcion de demanda fi :S ⇥ R++ ! R`

++ en el punto (p, wi) es la matriz de (` � 1) ⇥ (` � 1) cuyo (j, k) entradaes igual a

mjk(p, wi) =df

ji

dpk(p, p · !i) para !i = fi(p, wi)

Ası, la entrada (j, k) es

mjk =@f

ji

@pk+@f

ji

@wifki (p, wi)

Partamos de la matriz

Dfi(p, wi) =

✓@f

ji

@pk|

@fji

@wi

l⇥l

para k : 1, . . . , `� 1

28

Page 33: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

Si multiplicamos por pj la fila j�esima de la matriz Dfi(p, wi) tenemos que la filaj�esima ahora es

✓pj@f

ji

@pk| pj

@fji

@wi

Si sumamos todas las filas y el resultado lo reemplazamos en la ultima fila tenemos lasiguiente matriz

0

BBBB@

p1@f1

i@p1

p1@f1

i@p2

. . . p1@f1

i@wi

p2@f2

i@p1

p2@f2

i@p2

. . . p2@f2

i@wi

......

......

�f1i �f

2i . . . 1

1

CCCCA

l⇥l

debido a que

X

j=1

pj@f

ji

@pk= �f

ki y

X

j=1

pj@f

ji

@wi= 1

Si tomamos a la columna `�esima de esta ultima matriz y la multiplicamos por la fki

y se la sumamos a la columna k�esima tenemos

0

BBBB@

p1@f1

i@p1

+ p1@f1

i@wi

f1i p1

@f1i

@p2+ p1

@f1i

@wif2i . . . p1

@f1i

@wi

p2@f2

i@p1

+ p2@f2

i@wi

f1i p2

@f2i

@p2+ p2

@f2i

@wif2i . . . p2

@f2i

@wi...

......

...0 0 . . . 1

1

CCCCA

l⇥l

El determinante de esta matriz es distinto de cero, ya que su valor se deriva de lasoperaciones realizadas hasta el momento desde la matriz Dfi(p, wi), es decir, el determi-nante de la ultima matriz es p1p2 . . . p`�1 detDfi(p, wi) y detDfi(p, wi) es distinto de ceroporque D

2fi(p, wi) es una matriz invertible.

Por otra parte, vale la pena notar que la entrada (j, k) de esta ultima matriz es espjmjk(p, wi) cuando 1 j, k ` � 1. En efecto, detMi(p, wi) es distinto de cero. Por lotanto, la matriz de Slutsky Mi(p, wi) es invertible.

Proposicion 10.6. El detHi(xi) 6= 0 donde Hi(xi) es la matriz Hessiana Orlada de lafuncion de utilidad del consumidor i�esimo.

Demostracion. Sea Hi(xi) definida como sigue

Hi(xi) =

✓0 Dui(xi)T

Dui(xi) D2ui(xi)

Supongamos que det Hi(xi) = 0. Esto implica que existe el sistema Hi(xi)X = 0 tieneuna solucion X no nula.

Supongamos que X =

✓y

X

◆donde X es `⇥ `.

Ası, los productos Du(xi)TX = 0 y XTD

2u(xi)X = X

T 0 = 0 tienen que ser cero porel sistema anterior. Como u(xi) cumple el supuesto de cuasiconcavidad suave, X debe ser

29

Page 34: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

nulo. Lo anterior implica que, como X es no nulo, tiene solo una entrada no nula quecorresponde a y.

El producto de la fila j�esima de la matriz Hi(xi) con X para j 6= 1 tiene comoresultado y[@u(xi)/@x

ji ]. Vale la pena resaltar que dicho producto debe ser cero gracias al

sistema Hi(xi)X = 0, luego y[@u(xi)/@xji ] = 0. Sin embargo, Du(xi) 2 R`

++, por lo que

y = 0. Por lo tanto, X = 0, lo cual es absurdo. En consecuencia, det Hi(xi) 6= 0 para todoxi 2 R`

++.

Corolario 3. Sea X una matriz ` ⇥ 1. Si Du(xi)TX = 0 y D2u(xi)X = 0, implica que

X = 0.

Demostracion. Supongamos que X 6= 0, entonces el sistema Hi(xi)X = 0 tiene una so-lucion no nula con X como la prueba anterior con y cualquier numero. Por lo tanto,detHi(xi) = 0, lo cual es contrario a la proposicion anterior.

Proposicion 10.7. Sea E un espacio metrico. Sea {xn} una sucesion de puntos en E

que converge al elemento x⇤ 2 E. El conjunto K =

Sn2N{xn} [ {x⇤} es compacto.

Demostracion. Consideremos {U↵} con ↵ 2 J un conjunto ındice un cubrimiento abiertodel conjunto K. Sea d la funcion de distancia del espacio metrico E. En particular, paraalgun ↵

⇤ se tiene que x⇤ 2 U↵⇤ , ya que U↵⇤ es abierto en un espacio metrico, entonces

existe ✏ > 0 tal que B✏(x⇤) ✓ U↵⇤

Por otra parte, dado que {xn} converge a x⇤, entonces para ✏ > 0 existe N 2 N tal que

d(xn, x⇤) < ✏ siempre que n > N . Ası, para todo n N existe ↵n tal que xn 2 U↵n . Porlo tanto, el conjunto

SNn=1 U↵n [ U↵⇤ es cobertura finita abierta de K. En consecuencia,

K es compacto.

Proposicion 10.8. La restriccion de la correspondencia de Walras al conjunto de eco-nomıas regulares R es hemicontinua inferior.

Partiendo de la definicion de hemicontinua inferior14. Con !⇤ 2 R, por el teorema deexistencia de precios de equilibrio para toda economıa, existe p⇤ 2 S tal que z(p⇤,!⇤) = 0,luego W (!⇤) 6= ;. Ahora, sea G ✓ S tal que W (!⇤)\G 6= ;. Para que W sea hemicontinuainferior en R, debemos encontrar V vecindad de !⇤ tal que para todo ! 2 V se cumpleque W (!) \G 6= ;.

Supongamos que p⇤ 2 G. Al aplicar el teorema de funcion implıcita en z(p⇤,!⇤) ga-

rantizamos la existencia de la funcion s : V ! V suave tal que p = s(!) para ! 2 V yz(s(!),!) = 0 con V vecindad de !⇤ y V vecindad de p

⇤. Por otra parte, como G y V sonabiertos en S, existe r > 0 tal que garantiza que Br(p⇤) ✓ G \ V . Por la suavidad de s,podemos concluir que s

�1(Br(p⇤)) es abierto en R.Para completar la prueba de que W es hemicontinua inferior, definamos V = V \

s�1(Br(p⇤)). Primero, resaltamos que V es no-vacıo, debido a que !⇤ 2 V . Si ! 2 V ,entonces s(!) 2 W (!) por definicion de s y W y, ademas, s(!) 2 G por la definicion deV . Por lo tanto, s(!) 2 W (!) \G. En conclusion, W es hemicontinua inferior en R.

Proposicion 10.9. Sea Q el conjunto de ⌦⇥Rm�1 cuyos elementos, que tienen la forma(x1, x2, . . . , xm,�2, . . . ,�m), satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones

Du1(x1) = �2Du2(x2) = · · · = �mDum(xm)

14La correspondencia W : U ! S con U abierto en ⌦ es hemicontinua inferior en !

⇤ 2 ⌦ si W (!⇤) 6= ; y

si para todo conjunto abierto G ✓ S con W (!⇤)\G 6= ; existe una vecindad V de !

⇤tal que W (!)\G 6= ;

para todo ! 2 V .

30

Page 35: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

Q es una subvariedad suave de ⌦⇥ Rm�1 cuya dimension es `� 1 +m.

Demostracion. Considere la funcion h : ⌦ ⇥ Rm�1++ ! Rm�1 tal que a cada elemento

(x1, x2, . . . , xm,�2, . . . ,�m) le asigna h(x1, x2, . . . , xm,�2, . . . ,�m) definido como

(Du1(x1)� �2Du2(x2), Du1(x1)� �3Du3(x3), . . . , Du1(x1)� �mDum(xm))

Note que h es suave en cada uno de sus componentes. Veamos que 0 es un valor regularde la funcion h, ası, por el Proposicion 9.2, Q es una subvariedad suave de ⌦⇥ Rm�1.La matriz Jacobiana de h es

0

BBBB@

D2u1 ��2D2

u2 0 . . . 0 �Du2 0 . . . 0

D2u1 0

. . . . . . 0 0. . . . . . 0

......

.... . .

......

.... . .

...D

2u1 0 0 . . . ��mD

2um 0 0 . . . �Dum

1

CCCCA

(m�1)`⇥(m`+m�1)

Como �j 6= 0 para j : 2, . . . ,m y D2ui para i : 1, . . . ,m es Definida Negativa, entonces

la submatriz

0

BBBB@

��2D2u2 0 . . . 0

0. . . . . . 0

......

. . ....

0 0 . . . ��mD2um

1

CCCCA

(m�1)`⇥(m�1)`

es invertible, debido a que su determinante es (�1)(m�1)`Qmi=2 �i detD

2ui 6= 0. Por lo

anterior, la funcion h no tiene valores singulares, lo cual implica que 0 es valor regular deh. Note que h

�1(0) = Q, ası Q es una subvariedad suave de ⌦⇥Rm�1 cuya dimension esm`+m� 1� (m� 1)` = `� 1 +m.

Proposicion 10.10. La proyeccion de Q en ⌦ es el conjunto de los optimos de ParetoP .

Demostracion. El conjunto de optimos de Pareto P es el subconjunto de ⌦ definido por

Dnu1(x1) = Dnu2(x2) = · · · = Dnum(xm)

Como (@ui/@x`)Dnui(xi) = Dui(xi) por la definicion de gradiente normalizado, enton-ces es suficiente con tomar �i = (@ui/@x`)/(@u1/@x`) para garantizar que la proyeccionde los elementos Q sobre ⌦ coinciden con los elementos de P , pues un elemento de Q quecumple con �i = (@ui/@x`)/(@u1/@x`) cumple con la condicion de optimo de Pareto.

31

Page 36: Una aproximaci´on geom´etrica al problema de transferencia

Referencias

Arrow, K. J. (1951). An extension of the basic theorems of classical welfare economics(Inf. Tec.). Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability(J. Neyman, ed.) University of California Press.

Arrow, K. J., y Debreu, G. (1954). Existence of an equilibrium for a competitive economy.Econometrica: Journal of the Econometric Society , 265–290.

Balasko, Y. (1978). The transfer problem and the theory of regular economies. Interna-tional Economic Review , 687–694.

Balasko, Y. (1979). A geometric approach to equilibrium analysis. Journal of MathematicalEconomics, 6 (3), 217–228.

Balasko, Y. (2009). The equilibrium manifold: Postmodern developments in the theory ofgeneral economic equilibrium. MIT Press.

Balasko, Y. (2011). General equilibrium theory of value. Princeton University Press.Balasko, Y. (2014). The transfer problem: A complete characterization. Theoretical

Economics, 9 (2), 435–444.Balasko, Y. (2020). General equilibrium. Agenda Publishing Limited.Debreu, G. (1959). Theory of value: An axiomatic analysis of economic equilibrium

(n.o 17). Yale University Press.Debreu, G. (1970). Economies with a finite set of equilibria. Econometrica: Journal of

the Econometric Society , 387–392.Edgeworth, F. Y. (1881). Mathematical psychics: An essay on the application of mathe-

matics to the moral sciences (n.o 10). CK Paul.McKenzie, L. (1954). On equilibrium in graham’s model of world trade and other compe-

titive systems. Econometrica: Journal of the Econometric Society , 147–161.Monsalve, S. (2017). Competencia bajo equilibrio parcial. Universidad Nacional de Co-

lombia.Samuelson, P. A. (1952). The transfer problem and transport costs: the terms of trade

when impediments are absent. The Economic Journal , 62 (246), 278–304.Simon, C. P., y Blume, L. (1994). Mathematics for economists (Vol. 7). Norton New

York.Walras, L. (1874). Elements of pure economics, translated from the french by w. ja↵e,

1954. London: Allen and Unwin.

32