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Una estrategia didctica en funcin de la resolucin de una
integral triple
Antonio Mazn vila
Madeln C Garfalo Novo
Introduccin
Este trabajo surge por la necesidad de proporcionar en los
estudiantes de la carrera de Mecnica de la
Universidad de Pinar del Ro, Cuba, las habilidades necesarias
para resolver integrales triples. En este
proceso est implcita la representacin grfica de un slido.
A partir de un conjunto de tareas en forma de sistema las cuales
estn incluidas en la estrategia se
proporcionan las habilidades bsicas para la construccin y
proyeccin del slido, contribuyendo esto a la
solucin adecuada de un integral triple
Desarrollo
Fundamentos tericos en los que se fundamenta la estrategia
Las integrales triples son muy importantes, pues son usadas para
calcular de un cuerpo, el volumen y su
masa, los momentos de 1er orden con respecto a los planos
coordenados, los momentos de inercia con
respecto a los ejes coordenados, las coordenadas de su centro de
gravedad, as como para calcular el flujo
que atraviesa la frontera del mismo
En el Plan de Estudio D elaborado por el Ministerio de Educacin
Superior de Cuba para la carrera de
Ingeniera Mecnica en el curso regular diurno, la disciplina
matemtica contiene las asignaturas: Algebra
Lineal y Geometra Analtica, Matemtica I, Matemtica II, Matemtica
III, Probabilidades y Estadstica,
adems de un curso introductorio. En la primera se estudian las
ecuaciones de las rectas, planos, cudricas
centradas y no centradas, as como la representacin de curvas y
sus proyecciones en los diferentes planos
coordenados. En la misma no est concebida la construccin de
slidos, que se estudia en la Matemtica II
donde el profesor la retoma en el momento que se imparten las
integrales triples. El tiempo empleado no
es suficiente para que el alumno desarrolle habilidades en la
construccin de slidos.
A travs del proceso de enseanza de la Matemtica II hemos
constatado las dificultades que presentan
los estudiantes para representar el slido, lo cual influye de
forma negativa en el proceso de solucin de
una integral triple.
A continuacin, expondremos algunas caractersticas generales
relacionadas con la formacin de concepto,
donde el concepto de integral triple est incluido en las
mismas
El proceso de elaboracin de un concepto consta de tres
fases:
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La primera est caracterizada por consideraciones y ejercicios
preparatorios que comienzan, a veces, mucho antes de la introduccin
del concepto. Mediante ellos los alumnos se familiarizan con
fenmeno y formas de trabajo correspondientes, para ms tarde poder
relacionar inmediatamente con el concepto, las ideas adquiridas
sobre el contenido. Los alumnos conocen parcialmente el concepto
mucho antes de su tratamiento en la clase, porque se ha trabajado
de forma implcita en la preparacin del concepto.
La segunda consiste en la formacin del concepto. Se entiende por
esto, a la parte del proceso que conduce desde la creacin del nivel
de partida, la motivacin y la orientacin hacia el objetivo, y que
pasa por la separacin de las caractersticas comunes y no comunes,
hasta llegar a la definicin o explicacin del concepto.
La tercera consiste en la asimilacin del concepto, a ella
pertenecen las ejercitaciones, profundizaciones, asimilaciones y
las aplicaciones. En esta fase el alumno asimila el contenido del
concepto, ante todo a travs de acciones mentales y prcticas
dirigidas hacia ese objetivo.
En nuestro trabajo estn presentes las tres fases.
Definicin de slido: Es la porcin del espacio limitado por una o
ms superficie.
Si el slido est limitado por una sola superficie tal como la
esfera o un elipsoide, el mismo puede
representarse geomtricamente por la construccin de dicha
superficie. Si el slido est limitado por ms
de dos superficies la construccin del mismo requiere de varios
pasos, por ejemplo, sea el slido dado por
el conjunto
E = ,, 3: 0 2 + 2 ; 2 + 2 + 2 4; 3
Los pasos para trazar este slido son los siguientes:
1- El trazado de cada una de las superficies.
2- La determinacin de las curvas de interseccin de las
superficies tomadas dos a dos.
3- Interpretacin de las desigualdades:
0 2 + 2 ( Puntos que se encuentran en la regin que est sobre el
plano x y,
incluyendo al mismo y por fuera del semi- cono)
x2+2 + 2 4 ( Puntos que se encuentran en el interior y sobre la
esfera)
x 3x ( Puntos que se encuentran en la regin comprendida entre
los semiplanos)
4- El slido est constituido por la interseccin de cada uno de
los conjuntos de puntos
determinados por las desigualdades
El slido est asociado a una integral triple, a continuacin,
veremos la definicin del mismo
Definicin
Sea f(x, y, z) acotada en R3, E cerrado, acotado. Dividamos E en
un nmero finito de regiones
elementales 1,2, , y en cada una de ellas elijamos un punto Mi
(x i , y i , z i ) , i =1, 2, 3, ,
n ; a la suma
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= ,,
=0
donde , es el volumen de la i- sima regin, se le llama suma
integral tridimensional y d es el dimetro
mayor de las regiones (su dimensin lineal ms grande)
Si cuando d 0 , el lmite existe y no depende de las formas de
las regiones elementales, ni de la eleccin
de los puntos M, entonces
lim0
,,
=0
=
, , ) .
La funcin f(x, y, z) es integrable en E.
Teorema : Si f(x, y, z) es continua en E 3 cerrada y acotada,
entonces es integrable en E
Para f(x, y, z) = 1,
=
Dos propiedades importantes de las integrales triples.
Si f (x, y, z) y G (x, y, z) son integrables en E, se cumple
Propiedad 1:
,, + ,, = , , + ,,
Propiedad 2:
, , = ,, + ,, ; = 1 2
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Estas dos no tienen puntos interiores comunes
Superficies y curvas coordenadas.
Al igual que en las integrales dobles, las curvas coordenadas
resultan un recurso muy valioso para
determinar los lmites de integracin de una integral triple, sin
embargo, para definir las curvas
coordenadas en un sistema de coordenadas de R3, es necesario
definir primero las llamadas superficies
coordenadas.
Las superficies coordenadas se obtienen igualando las variables
del sistema a constantes, por ejemplo
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x = k 1, y = k2 y z = k3 constituyen planos paralelos a los
planos coordenados y z , x z y x y
respectivamente
Curvas coordenadas: son las curvas que resultan de la
interseccin de las superficies coordenadas, por
ejemplo (x = k1, y = k2) es una z-curva, la cual constituye una
recta paralela al eje z que se desplaza en el
sentido positivo de z
(y = k2, z = k3) es una x-curva, la cual constituye una recta
paralela al eje x que se desplaza en sentido
positivo de x
(x = k1, z = k3) es una y-curva, la cual constituye una recta
paralela al eje y que se desplaza en sentido
positivo de y
Integrales iteradas o sucesivas
Al igual que en la integral doble, en integrales triples las
integrales sucesivas constituyen el procedimiento
para calcular su valor
En este caso se nos pueden presentar tres tipos distintos de
regiones, cada una de ellas con su
correspondiente integral sucesiva, de acuerdo con el orden de
integracin que se tome para las variables x,
y, z. Los tres casos mencionados son los siguientes:
Consideremos una regin E definida como:
E = ,, 3: , ; 1 , 2 , esta regin es regular en direccin de z,
porque para
cualquiera z-curva los puntos de la misma varan de de z1 a z 2 ,
siendo proy XY E =D , esta regin est
asociada a la integral sucesiva
,, 2( ,)
1( ,)
aqu se resuelve primero la integral interior, reducindose la
integral triple a una doble, veamos la segunda
regin:
E = ,, 3: , ; 1 , 2 , esta regin es regular en direccin de y,
porque para
cualquier y-curva los puntos de la misma varan de y1 a y2 ,
siendo proy X Z E = D , esta regin est asociada
a la integral sucesiva
, , 2( ,)
1( ,)
La tercera regin es la siguiente: E= , , 3: , ; 1 , 2 , esta
regin es
regular en direccin de x, porque para cualquier x-curva los
puntos de la misma varan de de x1 a x2 , siendo
proy y z E= D, esta integral est asociada a la integral
sucesiva
,,
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Observe que en una integral triple la primera integracin es de
superficie a superficie, la segunda de curva a
curva y la tercera de punto a punto, adems si la regin de
integracin no es regular en las direcciones de x,
y , z, se puede descomponer la misma en regiones regulares para
usar la propiedad 2 de las integrales
triples
Todo lo explicado anteriormente se refiere a la integracin
triple en coordenadas cartesianas. Existen un
conjunto de integrales triples cuyo clculo en coordenadas
cartesianas pude ser complicado, sin embargo,
al transformarlas al sistema de coordenadas cilndricas o al
sistema de coordenadas esfricas, se pueden
calcular de una forma muy simple, a partir de sus frmulas de
transformacin respectivamente
En los tres sistemas de coordenadas, generalmente el alumno debe
construir el slido para plantear la
integral sucesiva y posteriormente resolverla. Un gran porciento
de los estudiantes no aprueba esta
pregunta en el examen final de la asignatura, pues no posee las
habilidades necesarias para la construccin
del slido.
Es por esta razn que elaboramos una estrategia didctica con el
objetivo de aplicarla en la Disciplina de
Matemtica para la Carrera de Mecnica en particular en el Curso
Introductorio, la Matemtica I y la
matemtica II con el objetivo que el alumno se apropie de la
habilidad para representar el slido
Una estrategia didctica en funcin de la resolucin de una
integral triple
1-En la imparticin del curso introductorio resolver sistemas de
inecuaciones lineales y no lineales, por
ejemplo: Representar grficamente la solucin del sistema( y ,y 4
+ , y 4 2, x 0, x 4)
La representacin de esta regin en el plano va preparando a los
alumnos para trabajar en el espacio, pues
aqu tiene que interpretar las desigualdades y determinar la
interseccin de todos los conjuntos de puntos
dados por las desigualdades
2-Dado una regin del plano con sus curvas fronteras escribir el
sistema de inecuaciones que la representa
Aqu se invierte el problema, del grfico se pasa a obtener las
desigualdades lo que requiere de una
interpretacin por parte de los alumnos de las desigualdades
3-En la Matemtica I en el contenido de funciones vectoriales de
una variable, se propone a los estudiantes
que representen grficamente una curva en forma implcita y que la
proyecten en los diferentes planos
coordenados
Esto aproxima parcialmente a los alumnos a la proyeccin del
slido sobre los distintos planos coordenados
4-Dado la representacin de una curva del espacio, escribir su
ecuacin en forma implcita
5-En la matemtica II proponer ejercicios tales como: Determine y
represente el grfico del dominio de la
funciones escalares de dos y tres variables siguientes:
f (x, y) = - + + 1 + 1
,, = ( + + + 4 + 2 + + )
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6
h (x, y, z) =( 1 + 2 + 2 + 4 2 2+ 4
)
p (x, y, z)= ( 9 2 2 2 + 1
3 + + 2 + 2 + )
En el caso de las funciones de tres variables el grafico es la
representacin de un slido.
Es notorio destacar que en ningn libro de texto aparece la
determinacin de un dominio de una funcin
que desencadene la representacin de un slido
6 Determinar la proyeccin sobre los tres planos coordenados de
los grficos de los dominios de las
funciones g(x, y, z), h(x, y, z) y (x, y, z)
7- Dado la representacin grfica del dominio de una funcin de
tres variables, escribirlo en forma analtica
Aqu se invierte el problema, del grfico se pasa a obtener las
desigualdades lo que requiere de una
interpretacin por parte de los alumnos
8-Determine y represente el grfico del dominio de funciones
vectoriales de varias variables, por ejemplo:
(x, y, z) = , 2
2 ,
2
4+ , 1 ,
Tambin aqu el dominio de la funcin vectorial constituye un
slido
9- Dado la integral doble , 224
4
2
6, determine la regin del plano D asociada al mismo e
invierta el orden de integracin
En la funcin f (x, y) los estudiantes tienen que interpretar las
desigualdades en el plano, lo cual los va
preparando para interpretar las desigualdades en el espacio
10-La solucin de los sistemas de inecuaciones lineales y no
lineales, se evaluarn en clases y en el examen
final del curso introductorio
11- Evaluar los problemas correspondientes a 3 y 4 en clases y
en un trabajo extra case correspondiente a la
matemtica I
12- Evaluar en clases y en el trabajo extra clase 1 de la
matemtica II los problemas correspondientes a
5,6,7,8
13-Evaluar en clases y en el trabajo extra clase 2 el problema
correspondiente a 9.
La evaluacin del aprendizaje le permite al profesor indagar
sobre el grado de aprendizaje y desarrollo de
los estudiantes en su proceso de formacin, as como la capacidad
que poseen para aplicar los contenidos
en la resolucin de problemas. Le brindar informacin oportuna y
confiable para descubrir aquellos
elementos de su prctica, que interfieren en los procesos de
enseanza y aprendizaje, de tal manera que
pueda reflexionar en torno a estos para mejorarlos y
reorientarlos permanentemente.
Sin el uso de la estrategia didctica los resultados alcanzados
por los estudiantes eran psimos, la cantidad
de estudiantes aprobados en la pregunta de integrales triples en
el examen final de la asignatura
matemtica II estaba en el rango del 30 al 40%
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La estrategia se aplic en los cursos 2014-2015 y 2015-2016,
obtenindose 60,3% y 65,7% de aprobados en
la pregunta relacionada con las integrales triples
Conclusiones
La aplicacin de la estrategia didctica contribuye a que los
alumnos se apropien de la habilidad
para la construccin del slido, as como para efectuar su
proyeccin en los diferentes planos
coordenados, lo que constituye una condicin necesaria para
resolver una integral triple
La construccin del slido proporciona un medio de visualizacin,
esto facilita una relacin activa
entre el mismo y los alumnos, lo cual permite que la enseanza
sea ms significativa y duradera
Esta estrategia puede ser aplicada en las diferentes carreras de
ciencias tcnicas
Bibliografa:
A Efimov y otros. 1981.Problemas Matemticos Superiores.
B.P, Demidvich. 1989. Anlisis Matemtico.
M. Krasnov y otros. Matemticas Superiores para Ingenieros
II.
Ya. S. Bugrov, S.M, Nikolski 1981.. Matemticas Superiores.
Werner Jungk. 1989. Conferencias sobre Metodologa de la enseanza
de Matemtica 2,
Primera parte.
Antonio Mazn vila
Master en ciencias de la Educacin, Universidad de Pinar del Ro,
Cuba.
[email protected]
Madeln C. Garfalo Novo,
Mster en Matemtica Avanzada para la Ingeniera.
[email protected]
mailto:[email protected]:[email protected]
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