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Tlamati Sabiduría Volumen 7 Número Especial 1, Septiembre 2016
3er. Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT
Acapulco, Guerrero 22-24 de Septiembre 2016
Memorias
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Una experiencia de aprendizaje del significado de los números complejos
Olfa Nely Rayón Gerónimo (Becaria)
“Unidad Académica Preparatoria No 15” Universidad Autónoma de Guerrero
Dr. Gustavo Martínez Sierra (Asesor) [email protected]
Unidad Académica de Matemáticas, Universidad Autónoma de Guerrero.
Introducción
Los experimentos de enseñanza es la base fundamental para enriquecer nuestros
conocimientos, es la manera de como aprendemos, la idea que teníamos antes y la que
tendremos ahora en ello liberamos nuestras emociones, esto nos sirve para que nuestra
manera de aprender sea más compleja iniciando con lo difícil y terminando con lo más fácil
En mi estancia de este verano de investigación tuve la oportunidad de realizar varios
experimentos de enseñanza tales como el significado de los exponentes no naturales, el
significado de los números complejos, la construcción gráfica: en tanto de la función seno
como las funciones polinómicas y sus raíces con el manejo de Geogebra, Cada una de ellos
con experiencias distintas, al principio Sinceramente me gustaron todos los experimentos de
enseñanza porque eran muy entretenidos e interesantes para mí porque al estar buscando
soluciones para los ecuaciones el tiempo pasa sin darte cuenta e interesante porque realmente
es algo de mi agrado y me gusta saber más de matemáticas, eso servirá para darle seguimiento
a mi formación
En este reporte les voy hablar acerca del significado de los números complejos ya que
este fue el experimento que más me gustó porque tiene mucho que ver con las ecuaciones y
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las variaciones de números dado que eso es lo que más me agrada, mostraré el orden en que
nos dieron a trabajar las actividades, lo que se esperaba de cada una, mi razonamiento al
responder y al final el aprendizaje que obtuve. En mi caso lo en ese experimento de enseñanza
tenía una idea para solución de la ecuación porque eso era algo que ya había visto en algunas
clases que tuve, pero lo que no sabía era acerca de los números imaginarios, pero al ir
razonando sobre lo que estábamos viendo me di cuenta que no era tan complicado solo era
cuestión de ir observando detenidamente eh irnos imaginando en una posible solución.
Justificación
La primera formulación de lo que hoy entendemos como números complejos o
imaginarios la encontramos en relación a los números de la forma 𝐴 + 𝐵√−𝑁 (siendo N un
número natural). En la historia de las ideas este último tipo de números fueron aceptados en
un dominio algebraico; porque ellos aparecieron como útiles en la solución de ecuaciones de
tercer grado 𝑦3 + 𝑝𝑦 + 𝑞 = 0 (y no en las ecuaciones de segundo grado como se presentan
en los libros de textos modernos). Es decir, la existencia del número complejo puede
admitirse en tanto elemento unificador entre el grado de la ecuación y sus soluciones
(Antonio y Martínez-Sierra 2009, Martínez-Sierra, 2010)
Objetivos
1) Que los estudiantes del verano experimenten estrategias de enseñanza-aprendizaje
que son producto de la investigación en Matemática Educativa a nivel bachillerato.
2) Que los estudiantes del verano desarrollen su razonamiento matemático
3) Especifico del experimento
Propiciar la aceptación de los números complejos y la operatividad de la raíz cuadrada
de números negativos en estudiantes de nivel medio superior, dentro de un contexto
de cálculo de raíces de polinomios, de manera específica con polinomios de la forma
𝑥𝑛 − 1 = 0 (Antonio y Martínez-Sierra, 2009)
Metodología
Se presenta el orden en las que fueron entregadas las actividades, sus objetivos, la
manera en cómo las razoné y los resultados que obtuve al trabajarlas de manera individual o
en equipo.
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Actividad 1
El experimento inició con dos actividades que se trabajaron en
equipo donde se esperaba que desarrolláramos binomios de
distintos grados apoyándonos en el triángulo de Pascal.
Al momento de iniciar con esta actividad fue sencillo porque
solo tuvimos que seguir lo que el triángulo de pascal nos
guiaba ya que el triángulo
nos proporcionaba que números tenía que tener
según su elevación gracias a eso nos facilitó
desarrollar los binomios
Actividad 2
En esta siguiente
actividad al igual que la
anterior la trabajamos en equipo, a diferencia que la anterior en
esta teníamos que factorizar las ecuaciones con la fórmula de
diferencia de cuadrado y cubo.
Y este es resultado que obtuvimos al factorizar las ecuaciones,
aquí no tuvimos ningún problema porque solo era cuestión de
ir buscando números que fueran favorables para la ecuación
todo dependiendo de su número
de elevación o exponente mayor.
Actividad 3
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Aquí ya empezando con raíces simplemente encontrábamos
raíces de una ecuación las cuales todas eran cuadradas y nos
proporcionaron la fórmula de segundo grado ahí solo
desarrollamos ecuaciones con dos raíces.
Para resolver lo que nos pedía
solo fue cuestión de sustituir la
ecuación por cada uno de sus
valores y así solo teníamos que
desglosar la ecuación en la cual
tampoco hubo tanta
complicación.
Actividad 4
En esta siguiente actividad seguimos con lo mismo de raíces
solo que aquí nos proporcionaban las raíces y nosotros
tuvimos que buscar su posible ecuación, en otras nada más
hicimos las comprobaciones para ver si esas raíces
proporcionadas pertenecían a esa ecuación dada.
Al principio se nos
dificulto para obtener
la ecuación ya que la
ecuación tenía 3
raíces y eso era algo
nuevo para nosotras,
pero pudimos resolverlos porque el asesor nos
dijo que podríamos apoyarnos en las actividades
anteriores y dado a eso pudimos encontrar que la
manera de resolverlo era apoyándonos con el desarrollo de los binomios, una aclaración nada
más utilizamos los binomios buscar una ecuación con 3 o más raíces, para 2 solo
simplificamos si pertenece o no esto tiene que darnos una igualdad a 0.
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Actividad 5
Después de las actividades anteriores pasamos a esta
siguiente que solo pedía ubicar los valores de a, b y c. en
seguida se tenía que sustituir los valores de la ecuación y
desarrollarla, para las ecuaciones con exponentes mayor de
tres se tiene que factorizar y así desglosar sus ecuaciones y
encontrar las raíces
Para solucionarlo
observábamos con
detenimiento a la
ecuación tratando de obtener posibles soluciones, para
eso se le daba valor a la letra que no tenia ya que solo
nos proporcionaba 2 valores, como no tenía valor
nosotros le agregábamos el valor de 1 para que
pudiéramos sustituir la formula general de segundo grado.
Actividad 6
Aquí es donde tenemos que factorizar porque en esta
actividad las raíces son más de tres y aun no se ha visto
ninguna fórmula de tercer grado o alguna otra, es por eso
que tenemos que factorizarlos según su elevación, sabiendo
que el grado
de su
elevación es
el número
de raíces
que tiene
una ecuación.
Nos pudimos dar cuenta de que hay otros tipos de raíces que
como fraccionarias números positivos y negativos y es aquí donde nos damos cuenta de la
existencia de los nueros imaginarios porque en una de las ecuaciones nos resultaba raíz de in
numero negativo la cual nosotras pensábamos que no existía buscábamos de distintas
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maneras, pensábamos que eso no tenía solución pero el asesor nos dijo que eso no podía
quedar así que tenía solución.
Actividad 7
Sabemos que un número imaginario es raíz de menos n, la
raíz de un numero negativo no la podemos sacar solo la
pasamos así como esta. Tenemos que calcular algunas
potencias y aquí no se nos
dificulto porque solo fue
cuestión de fijarnos en las
actividades anteriores.
Teniendo conocimientos
adquiridos solo nos enfocamos
a verificar si todo lo aprendido tenía sentido al darle valor a la
letra i con un exponente.
Actividad 8
Para finalizar ya conociendo a los números imaginario y
sabiendo que los números reales son todos los números que
pueden existir. En esta última actividad teníamos que escribir a
los números imaginarios en forma ib donde i es un número
imaginario y b un número real
En la cual no tuvimos gran dificultad porque solo era cuestión
de quitar el signo negativo y sacarle su raíz cuadrada, pero sin
olvidar al número imaginario que es raíz de menos uno y tiene
que ir al lado del número real para quedar en su forma ib
Resultados
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Al inicio del verano mi concepción fue pensar que esto solo sería solucionar
problemas de matemáticas, me imaginaba que serían como las clases nórmales que recibes
en la escuela pero me di cuenta de que esta investigación iba más allá de solo recibir clases
por que tenías que resolver los problemas sin ayuda de del asesor, teníamos que hacerlo solo
con lo que nosotros sabíamos en caso de no saber nada el asesor solo nos daba ideas como
por ejemplo cuando no encontrábamos la solución para la raíz cuadrada de un numero
negativo nos dijo que eso si tiene solución que debe de existir algo para que le pudiera dar el
valor a esa raíz ya pudiera ser una elevación, multiplicación, división nosotros seguiríamos
desarrollándolo de acuerdo a lo que nosotros pensábamos y tomando en cuenta la sugerencia
que nos proporcionaba el asesor.
En el caso del experimento del que se tratara este reporte podríamos decir que el
asesor nos ayudó al inicio como le podríamos hacer para contestar lo que pedía y así nosotros
fuimos siguiendo lo que nos pedía que contestáramos, en el número uno, nos pedía desarrollar
algunos binomios, con ayuda del triángulo de pascal pudimos desarrollarlos, pero no solo
fueron simples porque después eso fue cambiando, iniciamos con signos positivos, en el
siguiente nos cambiaron a los negativos y por último de los binomios cambiaron los valores
y eso hizo a que nosotros fuéramos cambiando de idea y nos cambiáramos a otras, así fue
que en los números complejos fuimos experimentando con los números complejos.
Para factorizar ecuaciones utilizamos las diferencias de cuadrado y de cubos, después nos
pasamos a sacar raíces con la ecuación del segundo grado ahí nos pudimos dar cuenta de que
la raíz de √−𝑛 no existe porque al ponerlo en una calculadora nos marcaba error sin duda
no tiene raíz pero si tiene solución una cosa interesante
sobre ecuaciones de segundo grado es que pueden tener
hasta dos soluciones reales. Interesante porque siempre
que estés en estos tipos de temas o cualquier otro, se
tiene que tomar cada punto como importante ya que si a
algo no le tomas la suficiente importancia no tendría sentido
lo que se está realizando porque todo saldría mal. Y las
soluciones solo existen si hay un problema en este caso las
soluciones son darle sentido a lo realizado y verificar si es correcto en caso de no ser así
podríamos decir que no está solucionado el problema. Cuando el discriminante (el valor b 2 -
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4ac ) es negativo obtenemos complejas soluciones ejemplo si tenemos una ecuación
cuadrática dedos raíces complejas como esta 5x2+2x+1= 0 podríamos decir que los
coeficientes son a = 5, b = 2, c=1 tengamos en cuenta que el discriminante es negativo b2-
4ac =2 2 - 4 ×5×1 = -16 y usando la forma cuadrática esto sería x = -2±√ (-16)10 así es que
la raíz cuadrada de -16 es 4i ( donde i es un numero imaginario √−1 y esta es una solución
compleja y la otra solución es la solución real que es la que ya conocemos, cuando sacamos
la raíz de un numero positivo y es la comúnmente más conocemos ejemplo la raíz de 16
En este experimento de enseñanza aprendí a desarrollar binomios como factorizar
ecuaciones cuadráticas, cubicas o cualquier otra elevación así también a encontrar raíces dada
una ecuación, a distinguir cuantas raíces tiene una ecuación observando su mayor exponente.
Los distintos tipos de raíces que pude tener una ecuación ya sean positivos, negativos o
fraccionarios y para saber si esa raíz en correcta se tiene que a ser la comprobación la cual te
tendrá que dar igual a 0, finalmente como relacionar un número real con una unidad
imaginaria
Conclusión
Gracias a este experimento de enseñanza pude darme cuenta de la utilidad que tienen
las matemáticas en nuestra vida como al momento de construir casas edificios etc. también
cabe decir que todo tiene que ver con matemáticas al momento de hacer compras, obtener
cuentas, hacer transferencias bancarias, para administrar empresas u otras cosas entre otro y
es importe porque si ello no podríamos tener una vida como la que tenemos llena de negocios
y muchas otras actividades que nos ayude económicamente sin duda al no tener una
educación matemática seriamos unos analfabetos sin nada que nos podría ayudar a hacernos
la vida un poco más fácil. Decidí hablar de números complejos ya que este tema es el que
más me llamó la atención porque tiene más relaciona mucho con los números y ecuaciones
eso es lo que más me agrada ya que necesita eso te mantiene entretenida y se necesita mucha
concentración. Esto es algo que en un porvenir me va a servir de mucho en el transcurso de
mi vida ya que lo que quiero estudiar tiene que ver precisamente con matemáticas y al parecer
todo lo relacionado será de gran utilidad para mi formación académica. Para concluir
déjenme decir que este verano ha sido el mejor de todas mis experiencias que eh tenido en
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las matemáticas y que esto está muy bien para que más jóvenes emprendedores se interesen
por este verano de investigación y así pueda ser de gran utilidad para su futuro.
Referencias bibliográficas
Antonio, R. y Martínez-Sierra, G. (2009). Una construcción del significado del número
complejo. Revista Electrónica de Investigación en Educación en Ciencias. 4(1).
http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=273320453002
Martínez-Sierra, G. (2010). Los estudios sobre los procesos de convención matemática: una
síntesis metódica sobre la naturaleza de sus resultados. Revista Latinoamericana de
Investigación en Matemática Educativa, 13 (4), 269-282.
Steffe, L. P., & Thompson, P. W. (2000). Teaching experiment methodology: Underlying
principles and essential elements. In R. Lesh & A. E. Kelly (Eds.), Research design in
mathematics and science education (pp. 267307). Hillsdale, NJ: Erlbaum
![Untitled Document [tlamati.uagro.mx]tlamati.uagro.mx/t7e2/t7e2.pdf · Campos escalares en el formalismo de quintaesencia, ... Armando Emmanuel Vélez ... Inventario de la diversidad](https://img.pdfslide.es/doc/110x75/5ba123ca09d3f2666b8bbb29/untitled-document-campos-escalares-en-el-formalismo-de-quintaesencia-.jpg)
