Una matriz A Є Mn se le denomina idempotente si y solo si A2 = A

El determinante de una multiplicación de matrices es el producto de los determinantes, esto es

det(A·B) = det(A)det(B)

Por consiguiente, si tomamos B = A, se tendrá

det(A²) = det(A·A) = det(A)det(A) = det(A)²

Pero A² = A, luego det(A²) = det(A). Como acabamos de probar que además det(A²) = det(A)², entonces se sigue que

det(A) = det(A)²

pero entonces pasamos a restar el lado derecho y se tiene

det(A) - det(A)² = 0,

y podemos factorizar un det(A) para obtener

det(A)·(1 - det(A)) = 0

por consiguiente alguno de los dos factores es cero. Así, det(A) = 0 ó 1 - det(A) = 0, que implica det(A) = 1. Esto demuestra lo pedido.