PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BASICAS

Una operación es un conjunto de reglas que permiten obtener otras cantidades o

expresiones.

Las siete operaciones básicas de la Aritmética son:

Suma

La operación suma consiste en obtener el número total de elementos a partir dos o más

cantidades.

a + b = c

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

Propiedades de la suma

1. Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)

2. Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

3. Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo

número.

a + 0 = a

4.Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

a− a = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

La suma de números naturales no cumple esta propiedad.

Resta

La resta o sustracción es la operación inversa a la suma.

a - b = c

Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al

resultado, c, lo llamamos diferencia.

Propiedades de la resta

No es Conmutativa:

a− b ≠ b − a

Multiplicación

Multiplicar dos números consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas

veces como indica el otro factor.

a · b = c

Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

Propiedades de la multiplicación

1. Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado

(a · b) · c = a · (b · c)

2. Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

3. Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él

da el mismo número.

a · 1 = a

4. Elemento inverso:

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el

elemento unidad.

La suma de números naturales y de enteros no cumple esta propiedad.

5. Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho

número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

6. Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto

extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

División

La división o cociente es una operación aritmética que consiste en averiguar cuántas

veces un número está contenido en otro número.

D : d = c

Los términos que intervienen en un cociente se llaman, D, dividendo y d divisor. Al

resultado, c, lo llamamos cociente.

Tipos de divisiones

1. División exacta:

Cuando el resto es cero.

D = d · c

2. División entera:

Cuando el resto es distinto de cero.

D = d · c + r

Propiedades de la división

1. No es Conmutativo:

a : b ≠ b : a

2. Cero dividido entre cualquier número da cero.

0 : a = 0

3. No se puede dividir por 0.

Sistema Binario Como en el sistema binario sólo hay 2 símbolos (bits) la adición y la

multiplicación resultan muy simples:

Nota: A partir de este punto los números se representan en base 2.

Tablas de la Adición y la Multiplicación

* 0 1

0 0 0

1 0 1

Para sumar dos números en base 2 utilizamos el mismo procedimiento que en

base 10, puesto que el algoritmo se establece por se un sistema posicional.

Suma Binaria:

1 1 1

1 1 0 1 1

+ 1 0 0 1

--- --- --- --- --- ---

1 0 0 1 0 0

Producto Binario: / poner tablas

+ 0 1

0 0 1

1 1 10

1 1 1

1 0 0 1 1

+ 1 1 1 0

--- --- --- --- --- ---

1 0 1 0 0 1

1101 2 10101 2

x 110 2 x 101 2 --------------- ---------------

0000 2 10 101 2

1 101 2 00000 2

1 1 01 2 101 01 2 --------------- ---------------

1 001 1 10 2 1 10 1001 2

Nota: Para la operación de resta veremos un algoritmo en base a

complementos y sumas donde no intervienen comparaciones por lo que resulta

más simple en computación.

Resta Binaria

Fórmula

Algoritmo

Ejemplos

Sistema Octal Para el sistema octal utilizamos los símbolos {0,1,2,3,4,5,6,7} y por la

característica de los sistemas posicionales con conocer las operaciones de

adición y multiplicación para estos valores se puede calcular el de los demás con

un algoritmo similar al de base 10 o de base 2.

A partir de este punto, los números están en base 8.

Adición

+ 0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 1 2 3 4 5 6 7

1 1 2 3 4 5 6 7 10

2 2 3 4 5 6 7 10 11

3 3 4 5 6 7 10 11 12

4 4 5 6 7 10 11 12 13

5 5 6 7 10 11 12 13 14

6 6 7 10 11 12 13 14 15

7 7 10 11 12 13 14 15 16

Ejemplos. poner tablas

1 1 1 1 1

17406 8 4613.524 8

63054 8 261.37 8

--------------- ----------------

102560 8 5075.114 8

Nota: En base diez utilizamos el punto decimal para separar las unidades y los

dígitos después del punto represntan décimas, centésimas, milésimas, etc.

¿Qué valores representan los símbolos después del punto en base 8?

Multiplicación

* 0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7

2 0 2 4 6 10 12 14 16

3 0 3 6 11 14 17 22 25

4 0 4 10 14 20 24 30 34

5 0 5 12 17 24 31 36 43

6 0 6 14 22 30 36 44 52

7 0 7 16 25 34 43 52 61

Ejemplos. / poner tablas

14

25

427 8

* 56 8

----------

3212

2563 ------------

31042

Ejercicio MCI 1

Operaciones en Sistema Hexadecimal

Para el sistema hexadecimal utilizamos los símbolos

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} y por la característica de los sistemas

posicionales con conocer las operaciones de adición y multiplicación para estos

valores se puede calcular el de los demás con un algoritmo similar al de

base 10 , base 8 o de base 2.

Adición

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10

2 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11

3 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12

4 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13

5 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14

6 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15

7 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16

8 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17

9 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18

A A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

B B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A

C C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B

D D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C

E E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D

F F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E

Ejemplos. / poner tablas

1 1 1 1 1

9A30C 16 7DB11.4C2 16

62F4B.21E 16 16

--------------- ----------------

102560 8 5075.114 8

Nota: En base diez utilizamos el punto decimal para separar las unidades y los

dígitos después del punto represntan décimas, centésimas, milésimas, etc.

¿Qué valores representan los símbolos después del punto en base 8?

Multiplicación FALTA EDITAR LA TABLA DEL 5 EN ADELANTE

* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

2 0 2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E

3 0 3 6 9 C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D

4 0 4 8 C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C

5 05 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14

6 0 C 12 18 1E 24 2A

7 7 E

8 0 8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78

9 0 9 12 1B 24

A 0 A 14 1E 28

B 0 B

C 0 C

D 0 D 19

E 0 E |

F 0 F

Ejemplos. FALTA EDITAR / poner tablas

1 1 1 1 1

427 8 125.46 8

* 56 8

FALTAN 2 RENGLONES 2.5 8

--------------- ----------------

8 5075.114 8

Ejercicio MCI 1

Resta / subir la resta antes de la multiplicación

Operaciones basicas.

Revisar lo que sigue / si algo sirve, cambiarlo al tema de conversiones.

Ej.: Convertir el número octal 1274 en binario.

1 2 7 4 001 010 111 100 Por lo tanto el número octal en binario es igual a:

001010111100 SUMA OCTAL: Se debe restar o dividir la semisuma de cada

columna, cuando la misma exceda la base del sistema, y colocar en la columna

inmediata del lado izquierdo, el valor del acarreo tantas veces se haya superado

la base del sistema. De esta misma forma cada unidad que se acarree equivale

a ocho unidades de la columna anterior. Ejemplo: Dado los números binarios:

A. 40740647 y B. 25675300, Obtener A+B

1 1 0 0 1 1 1 0 1 MULTIPLICACIÓN OCTAL: Ej: Multiplicar A. 672348 y B. 168

6 7 2 3 4

x 1 6

5 1 3 6 5 0

+ 6 7 2 3 4 1 4 0 6 2 1 0

Sistema Hexadecimal Un gran problema con el sistema binario es la verbosidad.

Para representar el valor 20210 se requieren ocho dígitos binarios, la versión

decimal sólo requiere de tres dígitos y por lo tanto los números se representan

en forma mucho más compacta con respecto al sistema numérico binario.

Desafortunadamente las computadoras trabajan en sistema binario y aunque es

posible hacer la conversión entre decimal y binario, ya vimos que no es

precisamente una tarea cómoda. El sistema de numeración hexadecimal, o sea

de base 16, resuelve este problema (es común abreviar hexadecimal como hex

aunque hex significa base seis y no base dieciseis). El sistema hexadecimal es

compacto y nos proporciona un mecanismo sencillo de conversión hacia el

formato binario, debido a ésto, la mayoría del equipo de cómputo actual utiliza

el sistema numérico hexadecimal. Como la base del sistema hexadecimal es 16,

cada dígito a la izquierda del punto hexadecimal representa tantas veces un

valor sucesivo potencia de 16, por ejemplo, el número 123416 es igual a:

1*163 + 2*162 + 3*161 + 4*160 lo que da como resultado: 4096 + 512 + 48

+ 4 = 466010 Cada dígito hexadecimal puede representar uno de dieciseis

valores entre 0 y 1510. Como sólo tenemos diez dígitos decimales, necesitamos

inventar seis dígitos adicionales para representar los valores entre 1010 y 1510.

En lugar de crear nuevos simbolos para estos dígitos, utilizamos las letras A a la

F. La conversión entre hexadecimal y binario es sencilla, considere la siguiente

tabla: Binario Hexadecimal

0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9

1010 A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F Esta tabla contiene toda la

información necesaria para convertir de binario a hexadecimal y visceversa.

Para convertir un número hexadecimal en binario, simplemente sustituya los

correspondientes cuatro bits para cada dígito hexadecimal, por ejemplo, para

convertir 0ABCDh en un valor binario: 0 A B C D (Hexadecimal) 0000 1010

1011 1100 1101 (Binario) Por comodidad, todos los valores numéricos los

empezaremos con un dígito decimal; los valores hexadecimales terminan con la

letra h y los valores binarios terminan con la letra b. La conversión de formato

binario a hexadecimal es casi igual de fácil, en primer lugar necesitamos

asegurar que la cantidad de dígitos en el valor binario es múltiplo de 4, en caso

contrario agregaremos ceros a la izquierda del valor, por ejemplo el número

binario 1011001010, la primera etapa es agregarle dos ceros a la izquierda para

que contenga doce ceros: 001011001010. La siguiente etapa es separar el valor

binario en grupos de cuatro bits, así: 0010 1100 1010. Finalmente buscamos en

la tabla de arriba los correspondientes valores hexadecimales dando como

resultado, 2CA, y siguiendo la convención establecida: 02CAh. SUMA

HEXADECIMAL: Se debe restar o dividir la semisuma de cada columna, cuando

la misma exceda la base del sistema, y colocar en la columna inmediata del lado

izquierdo, el valor del acarreo tantas veces se haya superado la base del

sistema. Cada unidad que se acarree equivale a dieciséis unidades de la

columna anterior. Ejemplo: Dado los números binarios:

Aleación de las operaciones básicas

La suma y la resta van de la mano no se puede dar un sin la otra por que la restas es

la inversa de la sumas,

Para realizar una multiplicación es necesario saber sumar y restar para poder resolver

los problemas.

En la división para poder realizarla es necesario aplicar las 3 anteriores operaciones de

otra manera no se puede resolver dicho problema.

http://roderoburlo.wordpress.com/2008/04/08/la-suma/

http://www.ditutor.com/numeros_naturales/operaciones.html