eUNA PERSPECTIVA DE LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA CONTINUIDAD

Y LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN BACHILLERATO Y UNIVERSIDAD

ÁNGEL CONTRERAS DE LA FUENTE (*)LORENZO LUQUE CAÑADA (**)

LOURDES ORDÓÑEZ CAÑADA (**)

RESUMEN. La enseñanza del Análisis Matemático en 1. 0 y 2.. de Bachillerato yprimer año de Universidad presenta unos problemas, asociados a los fenómenos di-dácticos inherentes al propio contenido matemático, que es necesario tipificar a par-tir de la modelización del conocimiento matemático y del proceso de enseñanza es-colar. Este trabajo presenta una síntesis de los resultados obtenidos correspondientesa parte de un Proyecto de Investigación', ene! que estudian los conceptos elementa-les del Análisis Matemático —continuidad y derivada— desde la perspectiva de losobstáculos epistemológicos (Sierpinska, 1997), en cuanto al saber escolar (detectadoen los manuales) y el saber del alumno (identificado por medio de sus respuestas a uncuestionario), según el proceso de transposición didáctica (Chevallard, 1991; Che-vallard, Bosch y Gascón, 1997), tratando de extraer datos que faciliten el uso de es-trategias de enseñanza-aprendizaje de estas nociones en situaciones de enseñanzaadecuadas.

ABST1RACT. The teaching of Mathematical Analysis in 1" and 2nd year of seconda-ry school and in ist year of university presents some problems associated with didac-tic phenomena inherent to Math contents. It is necessary to dass those problems,parting from the modelling of mathematical knowledge and the process of schoolteaching. This work presents a synthesis of the results achieved in a Research Projectwhich tackles the elementary concepts of Mathematical Analysis —continuity andderivative— from the perspective of epistemological obstacles (Sier-pinska, 1997) re-garding school knowledge and pupas' knowledge, following the process of didactictransposition (Chevallard, 1991; Chevallard, Bosch and Gascón, 1997), and tryingto get data to facilitate the use of strategies for the teaching-learning of these con-cepts in adequate teaching situations.

(*) Universidad de Jaén.(**) Profesor de IES de Jaén.(I) El Proyecto corresponde a la convocatoria nacional de proyectos del CIDE convocada según Orden de

23 de septiembre de 1997, concedido en 1998 y evaluado positivamente, y cuyo director es el primer firmante.

Revista de Educación, núm. 331 (2003), pp. 399-419 399Fecha de entrada: 28-11-2001 Fecha de aceptación: 11-02-2002

INTRODUCCIÓN

Uno de los fenómenos didácticos que seconsidera fundamental dentro de la investi-gación en enseñanza del Análisis Matemáti-co es el de la «algebrización del cálculo dife-rencial escolar» (Azcárate, 1990; Tall, 1991;Wenzelburger, 1993; Tall, 1996; Artigue,1998 y Gascón, 1998), que se manifiestacuando se realiza un enfoque algebraico yreduccionista del Cálculo, basado en lasoperaciones algebraicas con límites, deriva-das e integrales, pero que trata de una formasimplista las ideas y técnicas específicas delAnálisis, como son las ideas de aproxima-ción infinita y razón de cambio instantáneo.

De este fenómeno didáctico, la alge-brización del cálculo diferencial escorar,emerge un problema didáctico-matemáti-co, cuyo estudio implica abordar todo unentramado complejo de problemas de en-señanza-aprendizaje (que constituyen unverdadero programa de investigación, quees el de la identificación de los factores yFenómenos didácticos que influyen enuna adecuada comprensión, por parte delos estudiantes, de los conceptos básicosdel Análisis Matemático: límite, continui-dad, derivada e integral.

La preocupación por la actividad mate-mática que se realiza en las clases y, por tan-to, la focalización en la modelización de lastareas y técnicas —.enfoque antropológico(Gascón y Fonseca, 2000)— o en los signifi-cados personales emergentes de esas tareas—teoría del significado (Godino y Batanero,1999 y Font, 1999)—, tiende a considerar lapropia tarea como «primitiva» que se aceptade modo acritico en las teorías. Sin embar-go, pensamos que las tareas que se planteanen las clases no son «inocentes».

Cuando el profesor «explica» una deter-minada noción matemática y, por desgra-cia, no aborda o lo hace de forma superficiallos problemas característicos del Análisis,deslizándose hacia posturas algorítmicasmás fáciles de gestionar y evaluar —en unaverdadera ruptura del contrato didáctico (ti-pificado ya de forma clásica por Brousseau[1986] y que se denomina «efecto Topa-ze»)—, no lo hace por falta de responsabili-dad o por comodidad, sino porque se en-frenta de forma fatalista a unos conceptosque, por su propia naturaleza, son proble-máticos en sí mismos. Es decir, se encuentraante diversos obstáculos epistemológicos in-herentes al saber matemático que, junto alos obstáculos propios del desarrollo de laclase (didácticos), han de ser superados, pormedio de actos de comprensión, por los es-tudiantes, si se busca que éstos vayan madu-rando los problemas específicos y más signi-ficativos del Análisis Matemático.

En el proyecto de investigación aludi-do, se estudiaron los conceptos de: límite,cuya bibliografía más relevante correspondea: Sierpinska (1985, 1987, 1990 y 1991),Sánchez (1997), Sánchez y Contreras(1998), Bessot y cols. (1999), Contreras ycol. (1999a y b), Blázquez (2000) y Contre-ras y Sánchez (2000); continuidad: ElBouazzoui (1988), Campillo (1999), Con-treras y col. (1999c); y derivada: Azcárate(1990), Wenzelburger (1993), Castela(1995), Cajaraville (1996), Font (1999),Contreras y col. (2000a), a fin de poder de-tectar las concepciones y obstáculos episte-mológicos asociados a los tres conceptos ci-tados. Del último concepto citado, laintegral, únicamente se realizaron análisisiniciales exploratorios, aunque actualmentese continúa el estudio'.

(2) El grupo de trabajo desarrolla hoy el proyecto: «Análisis de manuales de Matemáticas de 1. 0 y 2.° deBachillerato-LOGSE en Institutos de Educación Secundaria de Jaén y provincia, en cuanto a los conceptos bá-sicos del Cálculo Infinitesimal derivada e integral, según la perspectiva de la teoría de los obstáculos epistemoló-gicos», concedido a los miembros de este trabajo según convocatoria pública del Instituto de Estudios Giennen-ses de la Excma. Diputación Provincial de Jaén.

400

Una visión, lóeicamente reducida, delos resultados obtenidos, tanto de investiga-ción básica —con el estudio epistemológi-co-histórico de las concepciones y obstácu-los asociados a las nociones de continuidady derivada— como aplicada —con el estudiode manuales y de las respuestas de los alum-nos a las preguntas planteadas en un cues-tionario—, correspondientes a los conceptosde continuidad y derivada, se desarrolla enlos apartados siguientes.

CONCEPCIONES Y OBSTÁCULOSEPISTEMOLÓGICOSDE LA CONTINUIDAD

LA CONCEPCIÓN PRIMITIVA CA

El estudio de las concepciones y obstácu-los de la continuidad fue abordado por ElBouazzoui (1988). La originalidad de estetrabajo consiste en una aportación meto-dológica, en cuanto a la estructuración delanálisis epistemológico de la concepciónen tres dimensiones: etapa histórica, pro-blema más relevante estudiado y métodosempleados en las argumentaciones. Al tra-tarse de un trabajo de síntesis, para unamayor clarificación se remite al lector alproyecto citado.

Etapa: Desde el siglo y a. c. hasta el si-glo xvil.

Problema más relevante que se plan-tea: (Arquímedes) consideraba a las curvascomo el término fijo al que los polígonosinscritos y circunscritos se aproximabancontinuamente tanto como se quiera, amedida que aumenta el número de lados.

Métodos empleados en las argumen-taciones: La ley de continuidad seríacomo una guía en la aproximación conti-nua de los polígonos a la curva.

LA CONCEPCIÓN GEOMÉTRICA CB

Etapa: Desde el siglo xvii hasta la primeramitad del siglo

Problema más relevante que se plan-tea: (Descartes) distingue la clase de lascurvas algebraicas (que son expresablespor medio de una ecuación) que llamógeométricas y las curvas mecánicas que noson geométricas.

Métodos empleados en las argumen-taciones: Las variaciones de las magnitu-des que intervienen en las expresiones al-gebraicas de las curvas descritas porecuaciones de 2.° grado, se considerancomo que evolucionan de manera conti-nua y los puntos de estas curvas están enrelación con los puntos de una recta.

Obstáculos asociados a la concepción CB

La concepción cs como obstáculo sedenomina: Olics.

LA CONCEPCIÓN EULERIANA CC

Etapa: Segunda mitad del siglo xvIll.Problema más relevante que se plan-

tea: (Euler) define las funciones continuascomo aquellas en las que todos los valoresestán ligados por una misma ley o depen-dencia de la misma ecuación. Así, unafunción que no es continua es un conglo-merado de funciones continuas.

Métodos empleados en las argumen-taciones: Se define la continuidad porcomprensión, es decir, el enunciado dauna propiedad que deberán satisfacer lasabscisas y las ordenadas.

Obstáculos asociados a la concepción CC

La concepción cc como obstáculo sedenomina: 01D.cc.

LA CONCEPCIÓN DE CAUCHY CD

Etapa: Primera mitad del siglo xix.Problemas más relevantes que se

plantean: (Cauchy) dio un ejemplo defunción definida por expresiones analíti-cas distintas en intervalos diferentes deldominio de la variable independiente y

401

que se puede representar por una únicaexpresión:

{

y= x,x O

y= —x,x -‹ O

que es discontinua en el sentido de Eu-ler, por estar definida por dos expresio-nes, pero también puede representarsepor

y=

para todo x real, será también función.Métodos empleados en las argumen-

taciones: De tipo infinitesimal. Cauchydice: «... si un incremento infinitamentepequeño de la variable produce siempreun incremento infinitamente pequeño dela misma función».

LA CONCEPCIÓNDE WEIERTRASS-DARBOUX CE

Etapa: Segunda mitad del siglo xix.

Problema más relevante que se plan-tea: (Weiertrass) da el primer ejemplo deuna función continua en un dominio y noderivable en ninguno de sus puntos:f(x) = b n cos(a"nx), con a entero im-par; b constante y> 1; a.b > 1.

Métodos empleados en las argu-mentaciones: Al definir la continuidadcon E y 8 y cuantificadores como: «paratodo valor de xo», se convierte en «opera-tiva» y se dota de un rigor matemático,lo que permite aplicarla a funciones nu-méricas arbitrarias.

LA CONCEPCIÓN TOPOLÓGICA CG

Etapa: Primera mitad del siglo >o(.

Problema más relevante que se plan-tea: (Hausdorff) define el espacio topológi-co, la noción de entorno y otras nociones

básicas como: punto adherente, conjuntoabierto, cerrado, conexo, separable y espa-cio compacto.

Métodos empleados en las argu-mentaciones: Al ser la noción de conti-nuidad de carácter eminentemente to-pológico, se asegura la transferencia deciertas propiedades de un espacio a otro,por ejemplo, los homeomorfismos per-miten la transferencia de estructuras al-gebraicas y topológicas.

Además de estas concepciones, se handetectado otras dos concepciones:

• La concepción CH, relacionada conla contestación: «porque está defi-nida en todo punto». En esta con-testación subyace lo siguiente: si fes función la función traslada la«contigüidad» de los puntos del in-tervalo I a una «contigüidad» de lasimágenes la función es conti-nua; como esto supone decir que elconjunto de las funciones F está cen el de las funciones continuas Fc,se trata de una concepción erróneasustantivamente.

• La concepción Cl, ligada con la con-testación: «hay un punto no perte-nece a la curva». Es errónea sustan-tivamente.

CONCEPCIONES Y OBSTÁCULOSEPISTEMOLÓGICOSDE LA DERIVADA

En el estudio de la derivada se han utili-zado, además de las referencias ya cita-das, las ideas de Grabiner (Hauchart yRouche, 1992). Sin embargo, al ser éstasmuy incipientes y estar poco desarrolla-das, consideramos que el análisis que sepresenta en este trabajo constituye unaaportación orieinal al desarrollo del co-nocimiento epistemológico del concep-to de derivada.

402

LA CONCEPCIÓN DE LA DERIVADA COMOPENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE, CDP

Etapa: Segunda mitad del siglo xvii.Problema más relevante que se plan-

tea: (Leibniz) utiliza un nuevo métodopara buscar tangentes, usando la idea devariable y la idea de infinitésimo para eltrazado de tangentes.

Métodos empleados en las argumen-taciones: Se evita el paso al límite de la de-rivada al utilizarse la pendiente de la tan-

degente como el cociente —.

dyObstáculos relacionados con la CDP:

O p : «No hacer explícito el cambiocontinuo de la pendiente, cuando las se-cantes tienden a la tangente».

LA CONCEPCIÓN DE LA DERIVADACOMO RAZÓN DE CAMBIO, CDRC

Etapa: Primera mitad del siglo xvm.Problema más relevante que se plan-

tea: (Newton) resolvió uno de los proble-mas fundamentales del Cálculo, es decir,dadas las fluentes y sus relaciones hallar lasfluxiones correspondientes.

Métodos empleados en las argumenta-ciones: El de las primeras y últimas razones.Uso de formas canónicas simples para la ex-presión de fórmulas analíticas de las curvas.

infinitamente pequeños, de límites o defluxiones, reduciéndolo al análisis alge-braico de cantidades finitas.

LA CONCEPCIÓN NUMÉRICADE LA DERIVADA, CDN

Etapa: Primera mitad del siglo xix.Problema más relevante que se plan-

tea: (Cauchy) En su obra Curso de Análisisdesarrolla la teoría de la convergencia deseries.

Métodos empleados en las argumen-taciones: Utilización de una noción rigu-rosa del infinitamente pequeño en las de-mostraciones.

Obstáculos relacionados con la concep-ción CDN

O,: «Considerar que una función es de-rivable porque su función derivada lo es».

Además de estas concepciones, en losmanuales y en las respuestas de los alum-nos se han detectado:

• La concepción geométrico-gráfica,donde el estudiante utiliza las grá-ficas y la tangente en sus razona-miento, CDGG.

• La concepción algebraica, CDAL, aso-ciada a la idea de que la derivada deuna función consiste en realizaroperaciones mecánicas algebraicasde las reglas de derivación.

LA CONCEPCIÓN DE LA DERIVADACOMO FUNCIÓN, CDF

Etapa: Segunda mitad del siglo xvm.Problema más relevante que se plantea:

(Lagrange) en su obra Teoría de las Jùncionesanalíticas desarrolla cada función en serie depotencias y denomina primera, segunda...derivadas de una función a las funcionesque aparecen en los desarrollos.

Métodos empleados en las argumen-taciones: Desarrollan los principios delCálculo libre de toda consideración de los

DISEÑO Y METODOLOGÍA

OBJETIVOS

La experiencia de los miembros partici-pantes en el proyecto como profesores deenseñanza universitaria y media y comocoordinadores de Matemáticas I de cou,unida a las diversas investigaciones efec-tuadas sobre los procesos de enseñan-za-aprendizaje relativos a los conceptosdel Análisis Matemático, nos permitió es-tablecer las siguientes objetivos:

403

Primeramente, se formuló un dobleobjetivo general:

• La identificación de los factores yfenómenos didácticos que influ-yen en una adecuada compren-sión, por parte de los estudiantes,de los conceptos fundamentalesdel Análisis Matemático: conti-nuidad y derivada.

• El logro de una armonización de laenseñanza, por medio del uso deestrategias de enseñanza-aprendi-zaje en situaciones didácticas ade-cuadas, en los cursos que enlazandos niveles educativos (Bachillera-to-LOGSE y Universidad).

Para alcanzar este doble objetivo ge-neral se requieren los siguientes objetivosespecíficos:

Objetivo específico 1: Análisis episte-mológico de la génesis y evolución históricade las distintas nociones objeto de estudio.

Objetivo específico 2: Análisis com-parativo de libros de texto actuales, segúnautor y nivel de enseñanza, respecto a losconceptos citados.

Objetivo específico 3: Estudio cuali-tativo-cuantitativo de la evolución deconcepciones y obstáculos de los estu-diantes de ambos niveles por medio decuestionarios aplicados antes y después dela enseñanza de los conceptos.

Objetivo especifico 4: Realización deun diagnóstico, a la vista de los resultadosobtenidos, sobre los contenidos y el tipode enseñanza a realizar en ambos niveleseducativos con objeto de lograr su armo-nización.

HIPÓTESIS

Los objetivos anteriores nos conducen a for-mular las hipótesis de trabajo siguientes:

• Con referencia a las situaciones deenseñanza donde aparecen los

conceptos de continuidad y deri-vada, los libros de texto y losestudiantes muestran unas con-cepciones que pueden, en general,identificarse dentro de las que elestudio histórico determina sobrela noción.

• En el tratamiento didáctico que seda a los conceptos de continuidady derivada, en los textos dirigidos alBachillerato-LoGsE y al primer cur-so de Universidad, no aparece demodo sistemático una secuencia-ción adecuada de los pasos necesa-rios que permita a los estudiantessuperar los obstáculos inherentes alos conceptos tratados y al procesode transposición didáctica.

• Los estudiantes del Bachillera-to-LOGSE y de primer curso univer-sitario no muestran, en general,una evolución en la comprensiónde los conceptos objeto de estudio,en cuanto a la ampliación de susconcepciones y la superación deobstáculos, una vez recibida la ins-trucción.

• Las respuestas erróneas de los es-tudiantes no ocurren al azar, sinoque están asociadas a los distintosobstáculos inherentes a los con-ceptos y al proceso de transposi-ción didáctica.

POBLACIÓN, MUESTRAY PROCEDIMIENTO DE MUESTREO

El universo donde se realizó la investiga-ción lo constituyeron, por una parte, loslibros de texto más utilizados en la ense-ñanza de los conceptos matemáticos, an-tes señalados, en el Bachillerato-LoGsE yprimer curso de Universidad y, por otra,los estudiantes de los cursos que enlazanambos niveles educativos: 2.° de Bachille-rato-LoGsE y primer curso de enseñanzauniversitaria científico-tecnológica.

404

De acuerdo con las características deeste proyecto, la muestra y el tamaño de lamisma considerados en cada caso es la si-guiente:

• Estudiantes de 2.° curso de Bachi-llerato-LoGsE de los ¡ES Martín Ha-laja y Pablo de Olavide de La Caro-lina (Jaén): 30 alumnosaproximadamente.

• Estudiantes de 1. 0 de IT en Infor-mática de Gestión: 30 alumnosaproximadamente'.

• Respecto a libros de texto, se anali-zaron aproximadamente diez li-bros de texto y se efectuó su selec-ción atendiendo a diversosaspectos: relevancia de los autoreso que sean conocidos a nivel anda-luz y estatal o que se recomiendeno utilicen por los profesores y estu-diantes de los distintos niveles edu-cativos participantes en el proyec-to. La edición de los manualesanalizados corresponden al perío-do 1995-2000.

METODOLOGIA EMPLEADA

Una vez realizado el diseño de la investi-gación, se siguió la línea propuesta porFox (1981) en cuanto a las etapas que ha-bía que considerar en el proceso de la in-vestigación (diseño, recogida de datos,análisis de datos y resumen de resultados);en el enfoque metodológico se ha tenidoen cuenta lo indicado por Huberman yMiles (1994) y, además, las interaccionesde esas etapas con los componentes pro-pios del análisis de datos (reducción-clasi-ficación de datos y exposición de éstos).

Al tratarse de una investigación funda-mentalmente de tipo cualitativo interpreta-tivo, y dada la complejidad de los elementos

implicados en el proceso de enseñanza-aprendizaje de los conceptos considerados,abarca en su conjunto rasgos de los paradig-mas cualitativos-interpretativos, Goetz yLecompte (1988) y Pérez (1994); no obs-tante, como estos investigadores afirman,una investigación nunca es totalmente cua-litativa o cuantitativa y, por tanto, se consi-deran también aspectos cuantitativo-experi-mentales para los casos de los cuestionarios.

Como instrumentos de recogida dedatos, para el estudio de la evolución deconcepciones de los alumnos, se utilizó uncuestionario escrito con preguntas abier-tas y cerradas sobre las concepciones yobstáculos relativos a los conceptos objetode estudio. En aquellos casos en que fuepreciso aclarar o ampliar algunas de lasrespuestas, se realizaron entrevistas.

VARIABLES

Se han clasificado en la forma siguiente:En los libros de texto analizados

• Variables dependientes: - Número ytipo de obstáculos presentes. - Nú-mero y tipo de obstáculos supera-bles. - Número y tipo de obstáculosno superables. - Concepciones histó-ricas presentes. - Definición. - Con-ceptos asociados. - Ejemplos y ejerci-cios que se proponen. - Estatuto dela noción. - Introducción.

• Variables independientes: - Autor. -Nivel de enseñanza.

• Variables concomitantes: - Con-ceptos que se investigan. - Librosde texto elegidos. - Los períodosglobales de tiempo elegidos. - Con-cepciones históricas y asociadas. -Obstáculos epistemológicos y di-dácticos asociados.

(3) Al ser la participación de los alumnos voluntaria y al darse un fuerte absentismo en las clases de launiversidad, el número de participantes disminuyó cuando se recogieron los datos al final del curso 1998-99.

405

En los alumnos participantes

• Variables dependientes: - Númeroy tipo de obstáculos presentes. -Número y tipo de obstáculos supe-rados. - Número y tipo de obstácu-los no superados. - Número y tipode concepciones erróneas. - Nú-mero y tipo de concepciones co-rrectas. - Contextos utilizados enlos ejemplos que proponen.

• Variables independientes: - Gru-po. - Instante en el que se efectúa laevaluación (pretest y postest).

• Variables concomitantes: - Con-ceptos tratados - Nivel académico:Diplomatura Técnica, 2. ° cursode Bachillerato-LoGsE. - Nivel deconocimiento matemático pre-vio. - Procedencia según estudiosrealizados (COL), Bachillera-to-LoGsE, otros) - Sexo. - Concep-ciones históricas y asociadas. -Obstáculos epistemológicos y di-dácticos asociados.

TÉCNICAS DE ANÁLISIS

El análisis de libros de texto se efectuó desdeun punto de vista descriptivo, realizando unestudio comparativo que considera las inte-racciones entre autor y nivel (igual autor ydistinto nivel de enseñanza, igual nivel deenseñanza y distinto autor) teniendo encuenta los trabajos de Schubring (1985,1987 y 1997), Weber (1986), Sánchez yContreras (1995a y b, 1997, 2000 a y b) yContreras y Sánchez (1998).

Para el análisis de concepciones y obs-táculos de los alumnos se elaboró un cues-tionario piloto en el que se estudiaronaquellos aspectos que permitieron el dise-ño del cuestionario definitivo.

El análisis de los datos que se obtu-vieron del cuestionario definitivo que seaplicó a los estudiantes de ambos niveleseducativos tiene aspectos cualitativos ycuantitativos. Para la reducción de los

datos, que no está separada del análisis yaque forma parte de él, se consideraron lasrespuestas dadas por los estudiantes, cla-sificándolas en categorías, según la natu-raleza de las mismas y de los objetivosque se pretendían lograr con cada ítemteniendo en cuenta concepciones y obs-táculos. Se codificaron los datos y se apli-có el paquete estadístico SPSS.

RESULTADOS

En el apartado anterior se han formulado lashipótesis y objetivos del proyecto, de talmodo que la verificación y contraste de lasprimeras está en función del desarrollo delos objetivos que se plantearon para dar res-puesta a esas hipótesis. Ahora bien, como setrata de una investigación de carácter emi-nentemente cualitativo no se buscan refe-rentes estadísticos sino aspectos más ligadosa proporcionar información sobre posibleselementos teóricos detectados en el desarro-llo epistemológico de los conceptos y en loscomportamientos de los manuales analiza-dos y de los estudiantes de Bachillerato y deUniversidad implicados en los trabajos deanálisis realizados. Como Kilpatrick (1996,pp. 42-43) señala: «En el aula no existe laconjunción constante de hechos necesariapara el tipo de predicción que se realiza enun laboratorio. El aula está lejos de ser unsistema cerrado protegido contra entidadescausales interactivas. Pero, a pesar de que enclase de Matemáticas no podemos predecircon certeza comportamientos específicos, sípodemos buscar aquellas estructuras causa-les que tienden a producir determinadosefectos. También podemos buscar generali-zaciones, no en cuanto leyes naturales quedeterminen la labor de los profesores yalumnos, sino como tendencias o patronesen el discurrir de las actividades lectivas».

Consideramos que todo aporte al cono-cimiento de la Didáctica de las Matemáticasdebe construirse, obviamente, de un modoriguroso. Por tanto, nos parece fundamental,

406

además de la aportación de ideas originales ycontrastadas, la replicación de metodologíasde investigación de cara a su perfecciona-miento de modo que esto conduzca a lacreación de una ciencia de Didáctica de lasMatemáticas. Por tanto, estimamos que losresultados obtenidos en este proyecto hande tomarse en esta dirección prudente ycientífica que proponemos.

RESULTADOS SOBRE LA HIPÓTESIS 1. 0

Para dar respuesta a esta hipótesis tendre-mos presentes los objetivos 1, 2 y 3 desa-rrollados:

• Al desarrollar el objetivo 1, se haefectuado el análisis epistemológi-co de la génesis y desarrollo de lasnociones estudiadas que aparecenen los apartados 2 y 3.

• Al desarrollar el objetivo 2, se harealizado el análisis de los manualesde Bachillerato y Universidad im-plicados en la investigación. Unamuestra (para la continuidad) apa-rece en la tabla I.

• Al desarrollar el objetivo 3, se hananalizado las respuestas de los estu-diantes implicados en la investiga-ción al cuestionario propuesto en

TABLA IManual de 2. 0 de Bachillerato

McGraw-Hill 1996 (continuidad)

Ideas previas Límite y representación gráfica de funciones.

Conocimientos previos No hay una relación. Se acude al limite y a la representación de funciones.

Objetivos previos Se da una relación.

Referencias históricas Descontextualizadas.

Introducción Intuitiva ligada a CB, con un ejemplo previo se pasa a la definición formal ligada a CC ya CE.

Definición Mediante límite, formal E-15. apoyada en ejemplos gráficos.

Ejemplos Anterior a la definición Posterior a la definición1. Función racional (3/f(a); 3 hm). 2. Función cuadrätica. Continua. No se resuelve.

Resolución gráfica y analítica. 3. Función racional (3/f(a); 31imflx]). Resolu-ción gráfica y analítica.

Ejercicios Aplicación de la definición 5, (16,6%)Búsqueda e investigación 7, (23,3%)Cálculo y propiedades 13, (43,3%)Demostración 3, (10,0%)Vida real 2, (6,6%)

Concepción CB, CD, CE.

Obstáculos Asociados a CC.

Estatuto Objeto matemático.

Relación con conceptos Número real, funciones, gráfica de funciones, límite, asintotas.

407

torno a los conceptos de continui-dad y derivada de una función (queaparece en el Anexo I). Una mues-tra de los resultados obtenidos(para la continuidad) figura en latabla II.

En función de todos estos resultadospodemos decir que, efectivamente, en ge-neral, las concepciones y obstáculos detec-tados en manuales y alumnos están enconsonancia con aquellos que la génesis yel desarrollo de los conceptos manifiesta.Una limitación con respecto a esta hipóte-sis es que también hemos observado cier-tas respuestas que pueden deberse a lo queEl Bouazzoui denomina conocimiento es-colar específico -propiedades y teoremas,por ejemplo, aprendidos de forma más omenos memorística- que interfiere con la

detección de concepciones. Nuevas répli-cas y un número mayor de alumnospodrán ayudar a separar con una mayornitidez estos dos aspectos.

RESULTADOS SOBRE LA HIPÓTESIS 2.'

Para poder dar respuesta a esta hipótesis,hay que referirse al objetivo 2 del proyecto.En el desarrollo de este objetivo se ha podi-do ver que en casi todos los manuales el es-tudio de obstáculos y actos de comprensiónes bastante limitado, con alguna excepciónen los manuales de Universidad, por lo queconsideramos que no sólo es que no hayauna «secuenciación adecuada» es que, en lamayoría de los casos, no se realiza dicho es-tudio. Una muestra de todo esto (para lacontinuidad) aparece en la tabla III.

TABLA II

Frecuencias y porcentajes, según concepciones en el Ítem 5 (Derivada-Bachillerato)

CONCEPCIONES

Se manifiestan (n.") Conoc.CDGG CDRC CDN CDAL CDFD CDP Especif.

4 10 9 10 10 9 90

22,2 55.6 50,0 55,6 55,6 50,0 50,0

I7

38,9I

5,62

1 1 , I1

5,61

5,61

5,62

11,1

0 0 0 0 0 1 02

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 5,6 0,0

7 7 7 7 7 7 7

No contestan 38,9 38,9 38,9 38,9 38,9 38,9 38,9

18 18 18 18 18 18 18

Total 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0

Númerode alumnos

7 1 2 1 1 2 2

Número 7 1 2 1 1 3 2

de manifestaciones 41,1 5,9 11,8 5,9 5,9 17,6 11,8

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TABLA III

Manual de primer curso universitarioLarson. 1995 (continuidad)

1. Motivación No.

2. Conocimientos previos No.

3. Objetivos No.

4. Referencias históricas No.

5. Introducción Con una función abstracta en la que estudia todas las situa-ciones que dan lugar al concepto, salvo la situación en que131im„, f(x) y 13f(a). (p. 74).

6. Definición «Una función/se dice continua en c si se verifican las condi-ciones:1. fie) está definida.2. lim,,f(x) existe.3. lim,f(x)=fi'c).Una función/se dice continua en un intervalo (a,b) si lo esen todos los puntos de ese intervalo».

7. Ejemplos — Ejemplo 1 (p. 75):— Ejemplo (a): Función racional. Resolución gráfica y

analítica. Continuidad en un intervalo. Función conti-nua (p. 75).

— Ejemplo (b): Función racional. Resolución gráfica.Continuidad en un intervalo. Situación: y /3 Al).

— Ejemplo (c): Función polinómica. Resolución gráfica yanalítica. Continuidad en T.

— Ejemplo 2: Función irracional. Resolución gráfica y analíti-ca. Continuidad en un intervalo. Función continua (p. 76).

— Ejemplo 3: Función definida por intervalos. Resolucióngráfica y analítica. Función continua (p. 77).

8. Ejercicios (Tipo y %) — Aplicación del concepto: 57,8%— Búsqueda o investigación: 29,8% (p. 80)— Demostración: 5,2%— Vida real: 5,2%

9. Concepciones — Concepción geométrica (cß): Introducción.— Concepción de Cauchy (CD).

10. Obstáculos — Obstáculo inducido por la concepción geométrica (un 18% delos ejercicios propuestos se apoyan en la resolución gráfica).

— O,: Ejemplo introductorio (p. 74).

409

TABLA III (continuación)

Manual de primer curso universitarioLarson. 1995 (continuidad)

11. Actos de comprensión No.

12. Estatus: — Objeto de enseñanza.— Útil para otros conceptos matemáticos.

13. Relación con otrosconceptos

Obtención de las raíces de una ecuación.

14. Comentarios — En ningún momento se aborda la concepción ingenua(CA) ni la de Weiertrass-Darboux (CE).

— No trata ejemplos cercanos al lector y ligados a la vida real(salvo en los problemas propuestos).

— Parece ser que el concepto es transparente para el lector, esdecir, no cuestionable.

— Clasifica las discontinuidades en evitables y no evitables.

RESULTADOS DE LA HIPÓTESIS 3."

Para dar respuesta a esta hipótesis hay queacudir al objetivo 3 del proyecto, dondeaparece el estudio de la evolución de losestudiantes.

Para el concepto de continuidad, ob-servamos en las concepciones que se dauna compensación de los porcentajes deincorrectas, antes y después de la ense-ñanza en la concepción de mayor presen-cia, la GB, la cual experimenta aumentos ydisminuciones similares. En cambio, laconcepción de Euler CC aumenta en elpostest en todos lo casos. Para las otrasconcepciones, CD y CH, las variaciones secompensan y son escasas. En los obstácu-los, el CB experimenta una disminuciónde porcentaje de respuestas incorrectasen las dos primeras cuestiones, aunqueaumenta en la cuestión tercera. En cam-bio, el obstáculo cc aumenta en todos loscasos ese porcentaje de respuestas inco-rrectas —salvo para la cuestión en Univer-sidad—. Tablas IV y V.

RESULTADOS DE LA HIPÓTESIS 4."

Esta hipótesis puede contestarse teniendoen cuenta el objetivo 4, concretamente,para la continuidad, observando la ta-bla VI.

Se observa que las respuestas inco-rrectas se asocian, en general, a aquellosalumnos que más obstáculos manifies-tan, pero con diversas excepciones. Así,en algunos casos se dan numerosas res-puestas incorrectas y pocos obstáculos,sobre todo en Universidad, dándose elcaso de estudiantes con cinco, seis o sieterespuestas erróneas y un solo obstáculo,en estos casos consideramos que la faltade respuestas amplias en estos alumnoshace que manifiesten pocos obstáculos.Puede darse el caso extremo, todo correc-to con tres obstáculos manifestados, qui-zás aquí el conocimiento escolar está porencima del verdadero aprendizaje. Noobstante, en esta cuestión se requierennuevos y profundos estudios que aclarenestas cuestiones.

410

TABLA IV

Frecuencias y porcentajes de respuestas, según concepciones y obstáculos(continuidad-Bachillerato)

CB CC CD CH Cl Oh. CB Oh. CCSe manifiestan (n..)

¡'RE POS ¡'RE POS ¡'RE POS ¡'RE POS PRE POS ¡'RE POS ¡'RE POS

O 316,7

316,7

18100

1688,9

1583,3

1372,2

1161,1

1583,3

18100

1794,4

'38,9

1267,7

18100

1688,9

1 738,9

15,6

00,0

211,1

15,6

211,1

15,6

15,6

00,0

15,6

633,3

15,6

00,0

2II.!

2 422,2

211,1

00,0

00,0

00,0

00,0

15,6

00,0

00,0

00,0

316,7

00,0

00,0

00,0

3 00,0

738,9

00,0

00,0

15,6

15,6

'11, I

15,6

00,0

00,0

00,0

316,7

00,0

00,0

42

11.15

27,80

0,00

0,01

5,61

5,63

16,71

5,60

0,00

0,00

0,02

11,10

0,0O

0,0

52

11.10

0,00

0,00

0,00

0,01

5,60

0,00

0,00

0,00

0,02

I 1.10

0,00

0,00

0,0

Total 18100

18100

18100

18100

18100

18100

18100

18100

18100

18100

18100

18100

18100

18100

Númerode alumnos 11 15 0 2 3 5 7 3 0 I 11 6 0 2

Número total demanifestaciones 3 3 46 0 2 8 16 21 8 0 I 2' 18 O 2

Porcentajeindividual 41,8 58,2 0,0 100 33,3 66,7 72,4 27,6 0,0 100 55,0 45,0 0,0 100

Porcentaje global 53,2 64,8 0,0 2.8 12,9 19,7 33,9 11,3 0,0 1,4 100 90,0 0,0 10,0

411

TABLA VFrecuencias y porcentajes de respuestas, según concepciones y obstáculos

(continuidad-Universidad)

CB CC CD CH 06». CB Obs CCSe manifiestan (n..)

PRE POS PRE POS PRE POS PRE POS PEE POS PEE POS

O 8 9 13 II 12 13 8 9 10 12 13 1153,3 60,0 86,7 73,3 80,0 86,7 53,3 60,0 66,7 80,0 86,7 73,3

1 213,3

213,3

00,0

00,0

213,3

16,7

16,7

16,7

213,3

16,7

00,0

00,0

20

0,0o

0,02

13,3I

6,70

0,00

0,01

6,71

6,70

0,00

0,02

13,31

6,7

i 320,0

I6,7

o0,0

I6,7

00,0

00,0

320,0

213,3

213,3

00,0

00,0

16,7

40

0,00

0,00

0,00

0,0()

0,0o

0,01

6,7o

0,00

0,0o

0,0o

0,00

0,0

5'-

I 1,32

13,30

0,00

0,01

6,7o

0,01

6,71

6,71

6,71

6,7o

0,00

0,0

60

0,00

0,0o

0,01

6,7o

0,0o

0,00

0,0o

0,0o

0,0o

0,00

0,01

6,7

No contestan 00,0

16,7

00,0

16.7

00,0

16,7

00,0

I6,7

00,0

I6,7

00,0

16,7

T lota 15I 00,0

15100,0

15100,0

15100,0

15100,0

15100,0

15100,0

15100,0

15100,0

15100,0

15100,0

15100,0

Númerode alumnos 7 5 2 3 3 I 7 5 5 2 2 3

Número totalde manifestaciones 2 I 15 4 II 7 I 21 14 13 6 4 II

Porcentajeindividual 58,3 41,7 26,7 73,3 87,5 22,5 60,0 40,0 68,4 31,6 26,7 73,3

Porcentaje global 39,6 36,6 7,5 26,8 13,3 2,5 39,6 34,1 76,5 35,3 23,5 64,7

412

TABLA VIFrecuencia de porcentajes y respuestas correctas e incorrectas del itera 3 (continuidad-Bachillerato)

Se manifiestan (n.°)CORR(CB) INCO(CC) CORR(CD) INCO(CH) Ob.. CB Ob.. CC

PRE POS PRE POS PRE POS PRE POS PRE POS PRE POS

0 1583,3

1477,8

1583,3

1477,8

1266,7

633,3

738.9

1477,8

1583,3

1477,8

1583,3

1477,8

10

0,01

5,60

0,01

5,63

16,79

50.07

38,81

5.60

0,01

5,60

0,01

5,6

2 00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

I5,6

00,0

00,0

00,0

00,0

00,0

No contestan 316,7

316,7

316,7

316,7

316.7

316,7

316.7

316,7

316,7

316,7

316,7

316,7

Total 18100,0

18100,0

18100,0

18100,0

18100,0

18100,0

18100,0

18100,0

18100,0

18100,0

18100,0

18100,0

Númerode alumnos

0 1 0 1 9 8 1 0 1 0 I

Número totalde manifestaciones 0 1 0 I 3 9 9 I 0 I 0 I

Porcentajeindividual 0,0 100,0 0,0 100,0 25,0 75,0 90,9 10,0 0,0 100,0 0,0 100,0

Porcentajeglobal 0,0 8,3 0,0 8,3 25,0 75,0 75,0 8,3 0,0 50,0 0,0 50,0

CONCLUSIONES

CONCLUSIONES RESPECTOA LA ENSEÑANZA DE LA CONTINUIDADDE UNA FUNCIÓN

La idea de continuidad de una función esun concepto, a priori, más asequible parael alumno que la de límite de una función.Sin embargo, tras la investigación realiza-da y los resultados obtenidos, se observacomo la gran mayoría de los estudiantes escapaz de estudiar, de manera más o menossatisfactoria, la continuidad de una fun-ción definida a trozos mediante el empleode la concepción de Cauchy (El Bouaz-zoui, 1988), pero esos mismos estudianteshan sido incapaces de definir mediante di-cha concepción el concepto de funcióncontinua en un punto, dándose numero-sos casos en los que se presentan incluso

concepciones erróneas (de Euler y la de-nominada CH) a lo largo de la prueba.

Todo esto no hace sino reafirmar elproblema central de la investigación deque en la enseñanza de los conceptos tra-tados se produce un deslizamiento didác-tico hacia la algebrización del concepto.El alumno es capaz de aplicar el métodopara estudiar la continuidad de una fun-ción en un punto, pero podría ser que nosólo no estuviera entendiendo el conceptode continuidad sino que ni siquiera supie-ra lo que es una función definida a trozos.

CONCLUSIONES RESPECTOA LA ENSEÑANZA DE LA DERIVADADE UNA FUNCIÓN

El concepto de derivada de una funciónen un punto es, según nuestra experiencia

413

y los resultados de la investigación, el másdesconocido por los alumnos tras su ense-ñanza. La concepción que adquieren, a losumo, es la de la pendiente CDP (identifi-can la derivada de la función en un puntocon la pendiente de la recta tangente),aunque se vuelve a producir un desliza-miento hacia la algebrización del concep-to; el alumno es capaz de resolver proble-mas más o menos complicados sobre elcálculo de ecuaciones de rectas tangentesmediante técnicas aprendidas pero es difí-cil que entiendan realmente lo que cons-truyen y sean capaces de asociar la idea devariación con la de pendiente de la rectatangente.

La algebrización del concepto es pro-piciada en Bachillerato por el hecho deque no sea introducido normalmente —enla asignatura de Matemáticas— hasta elprimer trimestre de 2.°, mientras que enla asignatura de Física ya se habrá introdu-cido en 1. 0 como una herramienta pararesolver problemas cinemäticos.

Otro problema que se presenta en laenseñanza del concepto de derivada es lapoca atención que se presta a la concep-ción de razón de cambio CDRC, ya que apesar de que la mayoría de los manualesintroducen el concepto mediante la defi-nición y algunos ejemplos de la tasa de va-riación media, finalmente este tipo deejercicio es marginado en los de recapitu-lación final. Además, como en los exáme-nes no sólo del profesor sino también enlos de las instituciones (se puede observarla ausencia total de este tipo de ejerciciosen los exámenes de selectividad) no apare-cen situaciones de la concepción, su mar-ginación es casi total.

Finalmente, y no por ello menos im-portante, la dificultad ,de la comprensióndel concepto de derivada de una funciónen un punto puede deberse también a la«trasparencia» aparente del concepto derecta tangente. Hemos podido constatarlas concepciones erróneas, no sólo previassino incluso posteriores a la enseñanza de

la derivada, que los alumnos poseen sobrela recta tangente a una curva. Ningún ma-nual hace un estudio sobre las tangentes.Resulta paradójico que el problema fun-damental que condujo históricamente alconcepto de derivada no sea abordado porlos manuales, y es más, sea dado por sabi-do en el estudiante, es decir, como nocióntransparente para el estudiante.

LIMITACIONESDE LA INVESTIGACIÓN

Como en todo trabajo de investigación, alo largo de la evolución del mismo apare-cen factores y condicionantes que aconse-jan efectuar una reorientación de su desa-rrollo. En el caso de este proyecto, han sidovarios los factores que han influido en suelaboración definitiva, aunque de todosesos factores ha sido la propia formación,continuada sin duda, de los investigadoresel que más puede haber condicionado al-gunos de los pasos dados en este sentido.

La investigación se ha desarrollado alo largo de tres cursos, 1997-98 a 1999-2000, habiéndose estudiado los conceptosde límite, continuidad y derivada. Aun-que se eligieron estas nociones por las bá-sicas del Análisis Matemático, es obvioque un análisis profundo —como así lo re-quiere todo trabajo serio de indagación—de esos conceptos supone un plantea-miento a largo plazo que, en tres cursos,ha sido imposible lograr. En consecuen-cia, una primera limitación en el desarro-llo del proyecto es que si bien se analizanen toda su extensión el límite, la continui-dad y la derivada, en la integral se realizansolamente determinados planteamientosparciales.

Una segunda limitación ha sido el tra-bajo con los grupos de estudiantes a losque se aplicó el cuestionario. Si bien secontaba con 30 alumnos en cada uno delos dos grupos analizados, únicamente he-mos podido contar con 18 en Bachillerato

414

y 15 en Universidad. Las razones de ello esque como sólo ese número de sujetoscumplían la condición de haber realizadopretest y postest a la vez, y obviamente sehan aplicado escrupulosamente las condi-ciones metodológicas de la investigación,se dan los resultados obtenidos con esenúmero de individuos, aun a costa de lacuestión de la generalidad de los resulta-dos. Además, como se trata de un estudiocualitativo consideramos que son lasaportaciones teóricas que se efectúan en elproyecto las que han de servir fundamen-talmente a los futuros investigadores.

Hemos de llamar la atención sobre unfenómeno didáctico cada vez más frecuen-te, lo que hemos denominado «fracaso es-colar residual», consistente en que de los 30alumnos que pueden formar un grupo deMatemáticas, únicamente unos cuantos es-tudiantes son los que verdaderamente si-guen el curso hasta el final, lo cual limitaper se toda investigación en el campo de laDidáctica de las Matemáticas.

Dado que se está trabajando en elseno de un Grupo de InvestigaciónGIEAMJA (Grupo de Investigación y Ense-ñanza del Análisis Matemático de Jaén),habrá una continuidad natural en el desa-rrollo de la investigación, de tal forma quela idea es completar en el futuro el campoconceptual de los procesos infinitesimalesen cuanto a su enseñanza-aprendizaje.

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ANEXO

Cuestiones sobre la continuidad

Cuestión 1.—Imagina que tienes que ex-plicar a un compañero lo que significa queuna función sea continua en un puntox=a.

i) Escribe detalladamente como loharías.

ii) Usa los ejemplos que creas conve-nientes para ayudarte en la ante-rior explicación.

Cuestión 2.—En las gráficas siguientes: a,b, c, d, e, f y g, señala con (sí) debajo de lasque creas que representan a funcionescontinuas en el intervalo [a,13]. Igualmen-te, señala con (no) las que creas que no loson. Acompaña tu respuesta con una ex-plicación.

417

418

Cuestión 1.—Imagina que tienes que ex-plicar a un compañero lo que significaque una función sea derivable en unpunto x = a.

Cuestión 3.— Dada la función f(x) de Ren R: Cuestiones sobre la derivada

continua en R? qué?

f(x) =2x-1,

2 ,

4x+2,

si x <1si 1 xsi x >3

3

c) A

a

e)•b)

g) •

•a

1.0) Escribe brevemente cómo loharías.

2.°) Utiliza los ejemplos que creasconvenientes.

Cuestión 2.—Dada la función

{

x 2 ;x < 2

2x; x >-2

.es derivable esta función en R? Indica lasrazones por las que crees que es derivableo no.

Cuestión 3.—Una enfermera controla latemperatura de un paciente y registra losresultados en la tabla siguiente:

a) ¿Cuál es el cambio de temperaturaentre las 16:00 y 17:00 horas, las19:00 y las 22:00, y, las 22:00 y las23:00?

b) Trazar la curva de fiebre del pa-ciente.

c) Calcular la tasa de variación me-dia o cociente incremental entrelas 15:00 y las 23:00 horas paraintervalos de una hora.

d) Hacer una gráfica con los valoresobtenidos en c.

Cuestión 4.—La gráfica siguiente representala altura de un avión respecto al tiempo.

Altura

Tiempo2 4 6 8 10 12 14

a) igué es mayor: la altura a los 2 se-gundos o la altura a los 7 segun-dos? Indica las razones de tu con-testación.

b)o'Qué es mayor: la velocidad delavión a los 2 segundos o la veloci-dad a los 7 segundos? Indica las ra-zones de tu contestación.

Horas 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00

Temp. 36° 37 37,2 37.8° 37.9° 40° 40° 40° 37.5°

600

500

400

300

200

100

419