Una Superficie en r3

7/24/2019 Una Superficie en r3

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Definicin de Superficies

Una superficie es la representacin graficas del conjunto no vacos de puntos

(x,y,z) que satisfacen una ecuacin de 3 variables F(x,y,z)!"

#je$plo%xxo

2

&yyo

2

&zzo

2

! % #sfera

Tipos de superficies

'os tipos de uperficies son cilndricas y cudricas"

Superficies Cilndricas:on superficies generadas cuando una recta (generatriz)

se $ueve paralela$ente a s $is$a a lo largo de una curva (directriz)" u

ecuacin tiene dos de las tres variables x,y,z por lo tanto es del tipo F(x,y)!*

F(x,z)!* F(y,z)!" 'a generatriz es paralela al eje de la variable faltante y la

directriz es curva en el plano de las variables en la ecuacin"

222 ayx =+Cuando una de las variables x, y o z no aparece en la ecuacin de la

superficie, Entonces la superficie es un Cilindro.


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Cilindro hiperblico

2zy =+osee la ecuacin%


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Superficies Cudricas:

#s la grfica en el espacio de una ecuacin de segundo grado en x,y,z de la

for$a%

A x2

+ B y2

+C z2

+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+k=0

Con A, B, C no todos nulos.

#xisten superficies cudricas bsicas las cuales son%

-) #lipsoide.) /iperboloide de una /oja3) /iperboloide de dos /ojas0) paraboloide elptico

1) paraboloide /iperblico) cono elptico

1. Elipsoide

2iene por ecuacin

1

c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2=++

elipse12c

2z2b

2y0xSi =+= elipse1

2c

2z2a

2x0ySi =+=

'as trazas delelipsoide son elipses, es decir, la interseccin con planos paralelos a los planoscoordenados es una elipse

elipse12b

2y2a

2x0zSi =+=


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2. Hiperboloide de una hoja

2iene por ecuacin %

Hiperbola12c

2z2a

2x0ySi == 1

c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2=+

Elipse12b

2y2a

2x0zSi =+= Hiperbola1

2c

2z2b

2y0xSi ==

#l eje por donde se abre el /iperboloide es por el eje cuya variable

aparece en la ecuacin negativa (en este caso eje z)" 'a diferencia funda$ental

entre el /iperboloide de una /oja y el elipsoide es que tiene una variable con

signo negativo"


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3. Hiperboloide de dos hojas

Tiene por ecuacin

12

2

2

2

2

2

=+

b

y

a

x

c

z

'as trazas de estas superficies son%

iperbola12b

2y

2c

2z

0xsi ==

+ara planos paralelos a 4 son /ip5rbolas al

igual que para planos paralelos a 64"


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Elipse12

2

2

20zsi ==

b

y

a

x

hiperbola122

220ysi ==

a

x

c

z


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Paraboloides elpicos:

Tiene por ecuacin

Zb

y

a

x=+

2

2

2

2

par!bolac

z2b2yc

z2b

2y0xSi ===

"as trazas del paraboloide son#

par!bolac

z2a2xc

z2a

2x0ySi ===

+ara planos paralelos al 6 son

elipses, para planos paralelos al 4 o al 64 son parbolas .

Crculobasiy,2

2

2

2KzSi ==+= Elipse

c

k

b

y

a

x

Paraboloide Hiperblico


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Tiene por ecuacinc

z

b

y

a

x2

2

2

2=

parbolas2

20xsi

c

z

b

y==

Trazas#

+ara planos paralelos al 6 son /ip5rbola, para planos paralelos al 4 o al 64 son

parbolas"

Hipbola02

2

2

2

0zsi ==by

ax

par!bolasc

z2a

2x0ysi ==

Cono Elpico


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02

2

2

2

2

2

=+

c

z

b

y

a

x

2iene co$o ecuacin:

"as trazas del paraboloide son#

+ara planos paralelos al 6 son elipses, para planos paralelos al 4 o al 64 son

parbolas

Elipse02

2

2

20zsi =+=

b

y

a

xHiperbola0

2

2

2

20xsi ==

b

z

b

y

Hiperbola02

2

2

20ysi ==

c

z

a

x


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EJERCICIOS

PROPUEST

OS$.


11/27

%ara lasecuaciones

si&uientes,acer un

estudio co'pleto# trazas,

cortes con los


12/27

e(es,identificar la superficie

y acer un&r!fico

aproxi'ado.1.. . .

0 7 .. 3 !


13/27

x y z x y z

)Hiperboloidede una o(a con

centro en ) 1 ,1, *1+ +2.. . .


14/27

7 7 . 0

!x y z x y z

)Esfera+.. . .

. 0 7

x y z


15/27

)Cono el-pticode 2 o(as+.. . .

- ! . 1 !x y z z


16/27

)Cono circularabierto sobre

e(e y+/.. .3 3 8

y x z


17/27

)%araboloide el-ptico+.. .

1x z y

)%araboloide i

perblico+.. . .


18/27

0 0

- - 1!

x y z x y z

)Hiperboloidede una o(a+.. .

. !


19/27

y z x

)%araboloide ci

rcular abiertosobre e(e x+3.. .

3 . - -

z x y


20/27

)%araboloide abierto acia ar

riba en z +10.. . .-0 8 8

z y x


21/27

)Hiperboloidede dos o(as si

'4trico a z+11.. .-

x z


22/27

)Cilindro circular paralelo al e

(e y+12..-

x z


23/27

)Cilindro parablico paralelo al

e(e y+1.. .0 -

x y


24/27

)Cilindro iperblico paralelo

al e(e z+1.. .0 3

x y


25/27

)Cilindro el-ptico paralelo al e

(e z+1/..0

x y


26/27

)Cilindro parablico paralelo al

e(e z+1.. .0 -

x z


27/27

)Cilindro el-ptico paralelo al e

(e

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