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UNA TRAYECTORIA REAL DEL JUEGO LA ESCALERA
VINCULADA A HIPÓTESIS QUE POTENCIAN EL
APRENDIZAJE DE LAS FUNCIONES DESDE POBLACIONES
DIVERSAS
Natalia Andrea Palomá Barrera
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ciencias y Educación
Bogotá D. C., Colombia
Julio de 2018
UNA TRAYECTORIA REAL DEL JUEGO LA ESCALERA
VINCULADA A HIPÓTESIS QUE POTENCIAN EL
APRENDIZAJE DE LAS FUNCIONES DESDE POBLACIONES
DIVERSAS
Natalia Andrea Palomá Barrera
Trabajo de investigación presentado como requisito para optar al título de:
Magíster en Educación con énfasis en Educación Matemática
Directora
Olga Lucía León Corredor
Doctora en Educación con énfasis en Educación Matemática
Línea de investigación didáctica del lenguaje y las matemáticas
Grupo de Investigación Interdisciplinaria en Pedagogía del Lenguaje y las
Matemáticas - GIIPLyM
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ciencias y Educación
Bogotá D. C., Colombia
Julio de 2018
Dedicatoria
A 17, 19 y 20.
Todo idealismo es exagerado, necesita serlo. Y debe ser cálido su idioma, como
si desbordara la personalidad sobre lo impersonal; el pensamiento sin calor es
muerto, frío, carece de estilo, no tiene firma. Jamás fueron tibios los genios, los
santos y los héroes. Para crear una partícula de Verdad, de Virtud o de Belleza, se
requiere un esfuerzo original y violento contra alguna rutina o prejuicio; como
para dar una lección de dignidad hay que desgoznar algún servilismo.
Todo ideal es, instintivamente, extremoso; debe serlo a sabiendas, si es
menester, pues pronto se rebaja al refractarse en la mediocridad de los más.
Frente a los hipócritas que mienten con viles objetivos, la exageración de los
idealistas es, apenas, una verdad apasionada. La pasión es su atributo necesario,
aun cuando parezca desviar de la verdad; lleva a la hipérbole, al error mismo; a
la mentira nunca.
Ningún ideal es falso para quien lo profesa: lo cree verdadero y coopera a su
advenimiento, con fe, con desinterés. El sabio busca la Verdad por buscarla y
goza arrancando a la naturaleza secretos para él inútiles o peligrosos. Y el artista
busca también la suya, porque la Belleza es una verdad animada por la
imaginación, más que por la experiencia. Y el moralista la persigue en el Bien,
que es una recta lealtad de la conducta para consigo mismo y para con los
demás.
Tener un ideal es servir a su propia Verdad. Siempre.
José Ingenieros
El hombre mediocre
Agradecimientos
Este trabajo es posible gracias a la valiosa y dedicada asesoría de la profesora
Olga Lucía León, quien me ha ayudado hasta en los momentos más
infortunados.
Agradezco a mi familia, a mi abuelita Gloria por su entereza y nobleza, y a mi
abuelito Juan por la ayuda que me brindó a lo largo de estos años, cuya partida
dejó un vacío indescriptible en mi vida.
A María, Brandon y Juan Carlos por ser mi motivación. Y a mi tía Alicia, quien me
acogió en su casa durante el segundo año de esta maestría.
No puedo dejar de agradecer a las personas que participaron en el juego La
Escalera y que dispusieron de su tiempo para esta investigación, ni a quienes
integraron el laboratorio de exploración, en especial, al profesor John Páez, que
articuló este trabajo a su proyecto de doctorado y me facilitó material valioso
para el análisis de resultados.
…
Este trabajo se lleva a cabo en el marco del proyecto ACACIA (Apoya, Cultiva,
Adapta, Comunica, Innova y Acoge) desarrollado por
la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, la Universidad Pedagógica
Nacional, la Corporación Universitaria Iberoamericana y otras 11 universidades
de América Latina y Europa, con la financiación de la Unión Europea.
Resumen
Se identifica una Trayectoria Real de Aprendizaje (TRA) del juego de La Escalera,
complementada con hipótesis que potencian el aprendizaje de las funciones
matemáticas. La investigación refleja un interés por fomentar procesos de
aprendizaje de las matemáticas en poblaciones diversas, a partir de experiencias
con personas sordas y ciegas. Asimismo se tienen en cuenta aspectos del
desarrollo emocional, gestual y corporal de las personas al momento de
participar en el juego, y se analiza la importancia de estos aspectos para el
aprendizaje de las matemáticas.
Palabras clave: trayectorias de aprendizaje, juego La Escalera, funciones
matemáticas, matemáticas con todos.
Tabla de contenido
Agradecimientos ............................................................................................................... 7
Resumen .............................................................................................................................. 8
Introducción ........................................................................................................................ 9
Objetivo general .............................................................................................................. 11
Trayectorias de Aprendizaje ....................................................................................... 12
Trayectoria hipotética de aprendizaje (THA) y real (TRA) del juego de la
escalera……………..……………………………………………………..14
Fundamentación de Niveles de trayectoria del juego la
escalera……………………………………………………………………16
1.2.2. El juego como dispositivo didáctico ……………………………… 17
1.2.3. El juego de la escalera ...….………………..……………………….. 22
1.2.4. Relaciones y funciones matemáticas..……………......………...…25
1.2.5. Cuerpo y emociones ………………......……………………………...37
2. Diseño metodológico …...……………………………………………......…...…39
3. Resultados y análisis de resultados ..……………………………..…………...44
4. Referencias bibliográficas ……………………………………………......…….100
5. Anexos ……….......……………………………………………………………..….112
Introducción
El 2 de noviembre de 2017 el periódico El País de España publicó un artículo
titulado: “El 80% de lo que se aprende en la asignatura de matemáticas no sirve
para nada”1. En el artículo, el profesor inglés Conrad Wolfram afirma: “tener a los
niños en las aulas calculando a mano ecuaciones de segundo grado ya no tiene
sentido; hay que enseñarles a interpretar los datos y a sacar utilidad de las
matemáticas”. Puede que algunas personas que hacen parte del campo de la
educación matemática, ya sea como profesores, investigadores, profesores de
profesores de matemáticas, estudiantes que quieren ejercer como profesores de
matemáticas, e incluso matemáticos, se encuentren, después de leer este titular,
ante una situación que conocen de cerca y que no les sorprende. No es nuevo
considerar que algunos de los procesos que se llevan a cabo en las aulas, en las
clases de matemáticas, no son los más adecuados ni los más fructíferos desde
hace varios años, por lo menos en Colombia.
Esto no cambia mucho en la universidad. Según Gerardo Rodríguez, director
académico de la Universidad Nacional de Colombia en 2013, en las facultades
de Ciencias e Ingeniería de la sede de Bogotá es donde se pierde la mayor
cantidad de asignaturas, entre ellas Matemáticas básicas, con casi un 50% de
estudiantes que la inscriben y la pierden; Cálculo diferencial, con un 39,45% de
pérdida; Cálculo integral, con un 38,82%; Álgebra lineal, con un 33,33%; y
Probabilidad y estadística fundamental con un 25% de pérdida. Rodríguez afirma
que “la mayor concentración de pérdida de la calidad de estudiantes se registra
en los cuatro primeros semestres y de estos el más crítico es el primero, razón por
la cual se hace necesario reforzar la formación en ciencias desde el colegio”2.
1 Torres, A. (2017). “El 80% de lo que se aprende en la asignatura de matemáticas no sirve para
nada”. Periódico El País – Sección Economía. Disponible en:
https://elpais.com/economia/2017/10/30/actualidad/1509378342_617037.html
2 Rodríguez, G. (2014). Pérdida de asignaturas Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá,
periodo 2013 – I. Dirección Académica Sede Bogotá. Disponible en:
https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=cGFzYXJhbGF1bmFjaW9uYWwuY29tfGRvY3V
tZW50b3MtaWNmZXMtdW5hbHxneDozY2RkMjFlYmEyNWU5YzAx&embedded=true
Lo anterior no solo obliga a preguntarse por la profundidad de las experiencias
para aprender matemáticas que se están gestando en las aulas, sino también a
reflexionar sobre cómo se está teniendo en cuenta la diversidad de las personas
que aprenden, de sus capacidades y habilidades, de sus formas de pensar y de
expresar sus pensamientos; sobre cómo se están desarrollando experiencias de
aprendizaje en Colombia, y si se están teniendo en cuenta factores como las
características físicas, cognitivas, emocionales, afectivas y neurológicas de las
personas.
En este trabajo se aborda una experiencia de investigación que propicia una
intervención didáctica, que ofrece alternativas para la reflexión sobre el
aprendizaje, no solo en el sistema educativo institucionalizado, sino que permite
pensar cómo generar experiencias de aprendizaje de las matemáticas más
significativas, sensibles y duraderas para las personas, en diferentes contextos. Se
busca investigar las formas en las que las personas aprenden matemáticas por
medio de un juego, y mostrar un ejemplo de cómo los profesores investigadores
pueden construir y desarrollar experiencias de aprendizaje a partir de tres
componentes:
a.) El enfoque de trayectorias de aprendizaje propuesto por los profesores
estadounidenses Clements y Sarama.
b.) Una intervención didáctica que muestra principios de potencial de
desarrollo humano, corporal y emocional de las personas, desde una perspectiva
que considera la diversidad, e inicialmente la atención a poblaciones sordas y
ciegas.
c.) La exploración de las ideas y principios que giran alrededor de las
funciones matemáticas, cuyo aprendizaje se puede fomentar por medio de las
trayectorias de aprendizaje y del juego de La Escalera.}
Objetivo general
Identificar una trayectoria de aprendizaje del juego La Escalera con hipótesis que
potencien el aprendizaje de funciones matemáticas, que tenga en cuenta
elementos de la corporalidad y emocionalidad de los jugadores y fomente la
participación de poblaciones diversas en el aprendizaje de las matemáticas, a
partir de la experiencia con poblaciones sordas y ciegas.
1. Las trayectorias de aprendizaje
El aprendizaje se gesta recorriendo caminos que surgen a través del tiempo. Hay
quienes conocen esos caminos y entienden que se puede llegar a la misma
meta por diferentes vías. En este sentido, las trayectorias de aprendizaje son
caminos diseñados por el profesor investigador, en los que establece niveles y
plantea hipótesis de cómo las personas aprenden y cuáles son las actividades
particulares que les permiten recorrer dichos caminos hasta alcanzar
determinadas metas. Los niveles y las hipótesis son elaborados por el profesor con
base en investigaciones y en el estudio de los ámbitos a los que pertenecen las
metas.
El enfoque de trayectorias de aprendizaje ha sido promovida por Douglas
Clements y Julie Sarama (2015), quienes describen las trayectorias a partir de los
tres componentes descritos en la tabla 1. En Colombia, el Grupo de Investigación
Interdisciplinaria en Pedagogía del Lenguaje y las Matemáticas, liderado por la
profesora Olga Lucía León, ha adelantado diferentes investigaciones a partir del
enfoque de trayectorias de aprendizaje, como las de Guilombo (2015), Jiménez
(2015), Sicuamia (2015), Rodríguez (2016), Porras (2017) y Suárez (2017).
Metas matemáticas Progresión del desarrollo Tareas instructivas
‘Las metas son las grandes
ideas de las matemáticas,
agrupaciones de
conceptos y habilidades
que son
matemáticamente
centrales y coherentes,
consistentes con el
pensamiento de los niños y
generadoras de
aprendizaje hacia el
futuro’.
‘Se compone de niveles de
pensamiento, cada uno más
sofisticado que el anterior, que
conducen a la consecución de las
metas matemáticas. Esto significa que
la progresión del desarrollo describe
una ruta típica que los niños siguen
durante el desarrollo del
entendimiento y las habilidades
necesarias alrededor del tema
matemático’.
Es una ‘ruta de desarrollo a lo largo de
la cual los niños progresan para
alcanzar las metas’.
‘Esta parte de la
trayectoria de
aprendizaje está
compuesta por un
conjunto de tareas
instructivas, cada uno
en correspondencia
con uno de los niveles
de pensamiento de la
progresión de
desarrollo’.
Tabla 1. Componentes de las trayectorias de aprendizaje. Fuente: (Clements & Sarama, 2015 p.11- 12).
A partir de estos componentes se estructuran trayectorias con las cuales se busca
propiciar experiencias de aprendizaje significativas. La identificación de estas
trayectorias conlleva una responsabilidad, pues constantemente se está
pensando en lo que las personas pueden ganar con intervenciones didácticas
hechas a conciencia, y en cómo se van alcanzando las metas matemáticas a
través de dichas experiencias significativas.
Según Clements y Sarama (2015), las trayectorias permiten a las personas
pensar matemáticamente y emocionarse con ideas propias y con las de otros.
Las trayectorias, como experiencias significativas, posibilitan una educación
matemática de alta calidad. En particular, los autores señalan:
‘Las matemáticas de alta calidad a lo largo de la primera infancia no involucran la
imposición de la aritmética elemental para los niños más pequeños. En cambio, una
buena educación permite a los niños experimentar las matemáticas mientras juegan
y exploran su propio mundo’. p.10.
Así, se considera que con una educación matemática a partir de trayectorias
de aprendizaje, que promueva experiencias enriquecedoras para las personas
y la construcción de ambientes de aprendizaje apropiados, tal vez no se
presentarían porcentajes tan altos de pérdida de la asignatura de
matemáticas y no se leerían con tanta frecuencia titulares como “El 80 % de lo
que se aprende en el aula de matemáticas no sirve para nada”.
‘Cuando los profesores comprenden estos procesos de desarrollo, y elaboran
secuencias de actividades basadas en tales procesos, construyen ambientes de
aprendizaje de las matemáticas que son particularmente apropiados y efectivos en
términos de desarrollo’. p.10.
Las trayectorias no solo permiten investigar sobre el aprendizaje de las
matemáticas, sino también hacer un seguimiento a cómo surgen exploraciones
extraordinarias, a cómo se fomentan procesos en los que la imaginación emerge
y deja visualizar elementos que reflejan cómo piensan las personas. Mediante las
trayectorias se inventan caminos para resolver situaciones, se exploran lecturas y
soluciones alternativas de problemas e ideas matemáticas, que en ocasiones
pueden ir en contravía a las lógicas clásicas con las que se concibe el
aprendizaje.
Estos elementos a partir de los cuales se piensan las trayectorias permiten seguir
construyendo sobre un espectro en el que es posible dar importancia a la riqueza
de los aspectos visuales y comprender las matemáticas a través del cuerpo y de
todos los canales que éste activa.
1.1 Trayectoria Hipotética de Aprendizaje (THA) y Real (TRA) del Juego La
Escalera
Esta investigación toma como referencia las trayectorias de aprendizaje, para
identificar las rutas que trazan los participantes de un juego con estructura
matemática llamado La Escalera. Durante la identificación de la trayectoria del
juego se tejen procesos en los cuales se le da al cuerpo la posibilidad de
emerger, junto con hipótesis sobre las emociones de los jugadores e hipótesis que
nutren y promueven experiencias para el aprendizaje de las funciones
matemáticas.
La identificación de una trayectoria de aprendizaje del juego La Escalera
propicia un ambiente en el que afloran ideas matemáticas y se reconoce el
juego como un dispositivo con potencial para lograr que las personas desarrollen
habilidades matemáticas a partir del acto de jugar.
Para esta trayectoria de aprendizaje se han identificado tres niveles:
Principiante, Intermedio y Experto. Al igual que en las trayectorias propuestas por
Clements y Sarama, cada nivel es más sofisticado y complejo que el anterior. En
la primera parte de los resultados se muestra la THA, que consta de:
- Fundamentación de niveles: corresponde a los elementos teóricos, de
investigación y de exploración que soportan la THA del juego de La Escalera. Las
trayectorias de aprendizaje están basadas en la investigación que se hace en el
campo de la educación matemática, no son ocurrencias si no que están
debidamente fundamentadas. Al respecto, Clements y Sarama (2015) señalan:
‘Como profesores, es nuestra responsabilidad brindar el conocimiento y el placer
intelectual de las matemáticas a todos los niños, especialmente, a aquellos que
aún no han tenido experiencias educativas de alta calidad. Los buenos maestros
pueden afrontar este desafío utilizando ‘herramientas’ basadas en investigación’.
p.10.
- Descripción del nivel: se muestra y describe la acción más relevante del
jugador en el nivel y las características de éste en relación con el juego en dicho
nivel.
- Hipótesis de nivel: se enuncia, a modo de hipótesis, lo que podría hacer el
jugador en el nivel. Dichas hipótesis están fundamentadas en fuentes
bibliográficas y exploraciones primarias de laboratorio en comunidades de
práctica.
- Progresión del desarrollo: en esta parte de la trayectoria se muestra cómo
avanza el jugador a lo largo del nivel, teniendo en cuenta los componentes del
juego enunciados en Calderón, León y Orjuela (2010, p. 3): afectivo, actitudinal,
estratégico, motriz e instrumental.
Para estudiar la progresión del desarrollo de la trayectoria de aprendizaje del
juego se han añadido los componentes corporal y verbal. Así, en la THA estos
componentes se han agrupado de la siguiente forma:
• Afectivo - Actitudinal.
• Estratégico - Instrumental.
• Motriz - Corporal - Verbal.
- Intervención heurística del profesor: son elementos sugeridos al profesor que
permiten el buen desarrollo del juego.
- Hipótesis vinculadas al aprendizaje de las funciones: son enunciados,
descripciones o citas sobre el aprendizaje de las funciones, basados en la
fundamentación de niveles establecida previamente.
Después, en el proceso de análisis de resultados, aparece la TRA, como
una construcción y un análisis de datos del investigador que muestra cómo se
desarrolla la THA cuando un jugador la recorre. Particularmente, en la TRA se
desglosan los tres niveles propuestos y se contrastan las experiencias de los
jugadores. Es decir, en la trayectoria real se toman los mismos elementos de la
hipotética pero contrapuestos con las evidencias de los jugadores. En cada
sección de la TRA hay un apartado final de análisis y complementación de
hipótesis de la trayectoria de aprendizaje.
1. 2. Fundamentación de niveles de la trayectoria del juego La Escalera
Dos y dos no son cuatro cuando las unidades
matemáticas son seres humanos.
Arthur Koestler
El cero y el infinito
1.2.1 El juego
Desde edades tempranas las personas tienen acercamientos al juego que les
permiten conocer el mundo que los rodea. A través de los juegos se puede llegar
a sentir placer y a interactuar de forma asertiva con otras personas, y se ponen
en juego habilidades, conocimientos y el desarrollo de estrategias profundas.
Según Huizinga (1954),
‘cuando examinamos hasta el fondo, en la medida de lo posible, el contenido de
nuestras acciones, puede ocurrírsenos la idea de que todo el hacer del hombre no
es más que un jugar’. p.7.
Las matemáticas no están alejadas de estas experiencias de juego. En 1928 John
von Neumann desarrolló una teoría de juegos que en los últimos años se ha
convertido en una rama importante de las matemáticas. Actualmente se
considera que los juegos son, en primera instancia, una herramienta que genera
motivación en las aulas de clase y que permite desarrollar habilidades tanto
matemáticas como para la vida personal. Un ejemplo cercano de esos juegos es
el ajedrez, un juego de estrategia que ha existido por más de cinco siglos. Garri
Kaspárov, campeón del mundo entre 1985 y el 2000, afirma:
‘el ajedrez desarrolla habilidades y procesos del ámbito cognitivo tales como:
atención, razonamiento lógico, inteligencia, análisis, síntesis y creatividad. El ajedrez
organiza el pensamiento y facilita la expresión numérica y verbal’ (Blanco, 2004,
p.144).
Por su parte, José Manuel Vega, presidente de la Asociación de Go de
Andalucía en 2016, afirma que este juego milenario fomenta aún más
habilidades que el ajedrez, entre ellas la intuición, el sentido de anticipación y el
cálculo. John Nash, matemático estadounidense que recibió el premio Nobel de
Economía en 1994, se refería al Go como un juego perfecto por los algoritmos y
estrategias que surgen al intentar ganar. Asimismo Calderón y León (2016)
señalan otros juegos con estructura matemática como Triqui Tridimensional,
Tricubo, Mosaico Plano, Torres de Hanói, Induxor, Trinominós y Circuito Cerrado.
En esta línea, uno de los antecedentes de esta investigación es el
proyecto desarrollado por SIIDLyM3 en el 2013 en torno al juego Circuito Cerrado
como dispositivo didáctico para el aprendizaje de los números enteros. Este
juego ha sido implementado en algunas instituciones educativas, y en varias
ocasiones ha ocurrido que los estudiantes identifican, por un lado, las intenciones
del juego y, por otro, las oportunidades de aprender matemáticas. En una
oportunidad se incluyó en una evaluación bimestral de matemáticas un punto
que consistía en completar el nivel Experto del juego Circuito Cerrado, lo cual les
pareció extraño a algunos estudiantes.
‘Para muchos de los que ven la matemática desde fuera, esta, mortalmente
aburrida, nada tiene que ver con el juego. En cambio, para los más de entre los
matemáticos, la matemática nunca deja totalmente de ser un juego, aunque
además de ello pueda ser otras cosas (De Guzmán, 1984, p.3).
Es por eso que el juego es el eje central de esta investigación, con el ánimo de
fomentar una cultura del juego en la que las personas no solo se involucren y
participen sino que también se pregunten qué experiencias significativas de
juego han tenido en sus vidas y qué elementos de la educación se fortalecen al
jugar.
1.2.2 El juego como dispositivo didáctico
Para afrontar las situaciones en las que el juego no se potencia y no trasciende
a otras experiencias se requiere un ambiente en el que las personas que
juegan puedan desarrollar habilidades relacionadas con las matemáticas.
Para esto no basta con la acción de jugar ni con llevar los artefactos de juego
3 Proyecto titulado: El desarrollo de procesos del lenguaje y las matemáticas con incorporación
tecnológica y llevado a cabo en 2013 por el Semillero de Investigación Interdisciplinaria en
Didáctica del Lenguaje y las Matemáticas – SIIDLyM de la Universidad Distrital Francisco José de
Caldas.
al aula, sino que se debe propiciar el juego desde un punto de vista didáctico.
En este sentido, Romero et al (2013) afirman:
‘El juego desde una perspectiva de dispositivo didáctico se articula desde dos
dimensiones: la cultural, en tanto actividad común a los grupos humanos y la
formativa en tanto ambiente de desarrollo de habilidades y aprendizaje’. p. 173.
La figura el juego se entiende entonces dentro de un marco amplio que lo ubica
en ambientes desarrollados por medio de diseños didácticos. Así, para la
identificación de la THA se establecen los niveles de la progresión del desarrollo
en relación con elementos que no solo indagan por el juego, los movimientos
que realiza el jugador y los resultados, sino también por un conjunto de
componentes que engloban al juego de manera integral. Estos componentes y
momentos se detallan a continuación:
Componentes
Momentos del juego
Manipulación de los objetos del
juego.
Momento de conocimiento de
las reglas.
Momento de Jugar.
Afectivo
Auto reconocimiento y
valoración de “lo otro” y del
“otro”.
Transformación de las reglas en
deseos.
Desarrollo de un “yo” ficticio.
Tensión y alegría.
Actitudinal
Uso voluntario y libre de los
objetos del juego.
Disposición a la creatividad.
Reconocimiento del contexto de
juego.
Aceptación libre de reglas.
Respeto por los jugadores.
Sorpresa, admiración y
creatividad.
Participación intencional y
autocontrol.
Admiración por los buenos
jugadores.
Estratégico
Delimitación espacial y temporal
de los contextos.
Apreciación profunda de los
objetos, sus atributos y sus
relaciones.
Partir de lo fácil a lo difícil.
Supongamos resuelto el
problema.
Identificación de los tipos de
reglas y de los roles de los
jugadores
Uso de relaciones entre reglas.
Identificación, selección y
jerarquización de las jugadas.
Motriz Subordinación de las acciones a
las objetos.
Subordinación de las acciones
a las reglas.
Subordinación de las acciones
a las reglas y a los objetos.
Instrumental Uso de objetos y sistemas de
representación de objetos
aritméticos.
Adecuación de las condiciones
de las reglas.
Optimización de los objetos
según las intenciones de las
jugadas.
Tabla 2. Componentes y momentos del juego. Fuente: Calderón, León y Orjuela (2010, p.3).
Las hipótesis de los tres niveles del juego de La Escalera se fundamentan en estos
elementos, los cuales se complementan con el siguiente esquema del juego
como dispositivo didáctico:
Esquema 1. El juego como dispositivo didáctico.
Elaboración propia a partir de lo establecido en
Calderón, D., & León, O. (2016).
Una fundamentación general del
juego proveniente de dos perspectivas
teóricas.
Huizinga (1933/1990)
Fröbel (1912)
Piaget (1986)
Cultural - Antropológica Psicológica
Landeira (sf)
Bruner (1984)
Desde una perspectiva didáctica
Se analizan los requerimientos
didácticos de un diseño (Calderón
y León, 2001). Desde dimensiones:
Epistemológicas Cognitivas
Comunicativas Sociales - Culturales
Vygostky (1989) Gutton (1982)
Öfele (1999)
Callois (1986)
El juego como
dispositivo didáctico
Es
Una propuesta intencionada y
estructurada con fines educativos para ser
implementada en una relación de
enseñanza y aprendizaje.
Hay dos tipos de condiciones
para su diseño
Macroestructurales Microestructurales
Elementos relacionados con la misma
naturaleza del juego y su vínculo
pedagógico y curricular.
Relaciones entre las posibilidades de
acción del juego y su papel en la
estructura de la interacción natural entre
estudiante – saber - profesor.
Se consideran Se consideran
A partir de estos elementos planteados por Calderón y León (2016), se toma
como punto de partida la teoría del aprendizaje de corte social constructivista
(Vygotski, 1973; Bruner, 1997/1999; Ausubel, 1978; Echeverry, 1996), en la que se
identifican dos elementos:
a) El lenguaje como factor de desarrollo psicosocial y como potencial
semiótico, noético e interactivo que faculta al ser humano para su
participación en la vida social.
b) La mediación semiótica como un factor que opera en todo proceso de
aprendizaje y en toda relación social. p. 11.
En el esquema 1 se mencionan los aspectos macroestructurales del juego como
dispositivo didáctico, entre los cuales se destacan el ejercicio, el símbolo y la
regla en el juego, y algunos aspectos microestructurales como las dimensiones
epistemológicas, cognitivas, comunicativas y socioculturales del aula. Mediante
este esquema se construyen interpretaciones que permiten complementar las
hipótesis propuestas en la THA. Bajo estas condiciones macro y microestructurales
se establece, por ejemplo, que la generación de hipótesis sobre la experiencia
de los jugadores es, en general, un proceso de observación de las relaciones
entre los pensamientos de los jugadores y las interacciones que el juego de La
Escalera propicia.
Así, para comprender algunos aspectos de las matemáticas a través de
situaciones de juego es necesario elaborar diseños cuyo objetivo principal sea
formar jugadores expertos que en algún momento puedan sustraerse de las
particularidades del juego. Para esto se tomaron aportes, sobre todo, de Huizinga
(1954), Piaget (2007), De Guzmán (1984) y León, Rocha y Vergel (2006), autores
que ofrecen grandes ideas de cómo propiciar ambientes para que los jugadores
entiendan el juego y luego puedan salirse de él para verlo desde diferentes
perspectivas.
Una de esas perspectivas es la que plantea Piaget (2015), quien establece
cuatro categorías que constituyen la transición entre el juego simbólico y las
actividades no lúdicas o adaptaciones “serias”, como se muestra a
continuación:
Juego de Ejercicios Juego Simbólico
‘La forma primitiva del juego, la única que está
representada en el nivel sensorio-motor, pero que se
conserva parcialmente con posterioridad es el “juego de
ejercicios”, que no conlleva ningún simbolismo ni ninguna
técnica específicamente lúdica, sino que consiste en repetir,
por gusto, actividades adquiridas en otra situación con un fin
de adaptación’. p.62.
‘Es el juego que transforma lo real mediante la
asimilación más o menos pura a las
necesidades del yo, mientras que la imitación es
acomodación más o menos pura a los modelos
exteriores, y la inteligencia es equilibrio entre
asimilación y la acomodación’. p.62.
Juego de Reglas Juego de Construcción
‘Son instituciones sociales, en el sentido de su permanencia
a lo largo de las transmisiones de una generación a la
siguiente y de sus caracteres independientes de la voluntad
de los individuos que lo aceptan. Algunos de esos juegos se
transmiten con la participación del adulto, pero otros son
específicamente infantiles’. p.104.
‘En los juegos de reglas, los niños reciben las reglas hechas
por parte de los mayores y las consideran como “sagradas”,
intocables y de origen trascendente. Por el contrario, los
mayores ven en la regla un producto del acuerdo entre
coetáneos, y admiten que se pueda modificar, con tal de
que haya consenso regulado democráticamente’. p.109.
‘Finalmente, a partir del juego simbólico, se
desarrollan juegos de construcción,
impregnados todavía al comienzo de
simbolismo lúdico, pero que tienden después a
constituir verdaderas adaptaciones
(construcciones mecánicas, etc.) o soluciones
de problemas y creaciones inteligentes’. p.62.
Tabla 3. El contexto piagetiano del juego. Fuente: (Piaget, 2015).
Bajo estas categorías un jugador experto en el juego de La Escalera podría pasar
por procesos del contexto piagetiano, y no solo desarrollar juegos de ejercicios y
pruebas sino también obtener respuestas a preguntas que van más allá del
juego.
Los elementos mencionados en este apartado son una invitación a que el
jugador se tome en serio el juego y a que el profesor lo considere un dispositivo
estructurador de sujetos, de desarrollo humano y de aprendizaje. La pretensión
del juego no es que el jugador al finalizar recite qué es una función o memorice
alguna indicación del profesor, sino, por el contrario, que se lleve consigo un
conjunto de prácticas y experiencias que después le permitan describir de
manera más formal ciertos aspectos de las matemáticas escolares.
1.2.3 El juego La Escalera
La Escalera o Salto de la Rana es un juego de carácter individual que consiste en
intercambiar la posición de dos grupos de fichas puestas sobre un “tablero” o
escalera (Merchán, 1994). En la ilustración 1 se observa la disposición de las fichas
en el juego: cuatro piezas de un color a cada lado. En los laboratorios
desarrollados para esta investigación se experimentó con juegos de hasta cinco
fichas a cada lado de Escalera.
Romero et al (2013) describen así el objetivo del juego de La Escalera o Salto de
la Rana:
‘En la escalera hay dos grupos de fichas, uno a la izquierda y otro a la derecha, el
objetivo del juego es intercambiar las posiciones de los grupos de fichas en forma
simultánea para lograr que un grupo de fichas ocupe el lugar del otro’. p. 491.
Asimismo resaltan las reglas de juego:
- Las fichas pueden pasar a una casilla o posición vacía que se encuentre
inmediatamente contigua a su posición.
- Las fichas pueden saltar a una casilla vacía que tenga delante o saltar por
encima de otra ficha propia o de diferente color, si la casilla siguiente está vacía.
- La ficha movida no puede retroceder a la posición anterior. p. 492.
Además de este proyecto de investigación realizado por Romero et al en 2013,
en Colombia, hay por lo menos tres investigaciones más asociadas a este juego.
Por un lado está el trabajo realizado por un grupo de profesores de matemáticas
de la Escuela Pedagógica Experimental4 que presenta soluciones al juego de La
4 Segura, D., Malagón, J., (2003). El modelaje matemático en estudiantes de educación básica (6°,
7º 8º y 9º grados): la validación de los modelos y los procesos de matematización de la experiencia.
Estudio a partir de dos familias de problemas. Investigación e Innovación educativa y Pedagógica
(IDEP) Bogotá, Colombia.
Ilustración 1. Disposición del juego La Escalera.
Fuente: (Romero et al., 2013, p.487)
Escalera o Salto de la Rana. Los maestros implementaron el juego con
estudiantes de 12 a 15 años de los grados séptimo, octavo y noveno, quienes
desarrollaron soluciones a partir de más de 23 representaciones entre aritméticas,
geométricas y algebraicas. En dicha investigación los maestros resaltan algunos
procesos suscitados por el juego, como la resolución de problemas, la
construcción de patrones, la modelación, la formalización y la generalización
matemáticas.
También hay un trabajo de investigación sobre la Trayectoria Hipotética
de Aprendizaje de las operaciones de suma y resta asociada al juego La
Escalera5 desarrollada por una estudiante de Licenciatura en Educación Básica
con énfasis en Matemáticas en el 2016. En ella se destacan aspectos como el
proceso de construcción de diferentes prototipos del juego con el fin de que sea
accesible para diferentes poblaciones, y su relación con las tareas instructivas de
la trayectoria de las operaciones propuesta por Clements y Sarama en el 2015.
En paralelo a la presente investigación se adelanta otro trabajo de
maestría6 en el que se destaca el surgimiento de patrones aritméticos, corporales
y lingüísticos por parte de personas sordas tras la participación en el juego de La
Escalera.
A continuación se muestra una tabla con segmentos de algunos talleres
elaborados por Romero et al (2013) a partir del juego de La Escalera, los cuales
buscan propiciar conexiones entre la experiencia del juego y elementos de las
matemáticas. La intención didáctica de dichos talleres no es la de fragmentar
desarrollos del juego, sino la de entenderlo a partir de los caminos que un
jugador puede recorrer gracias a él durante la experiencia.
5 Rodríguez, M. (2016). Trayectoria hipotética de aprendizaje: aprendizaje de las operaciones suma
y resta en aulas inclusivas con incorporación tecnológica. Universidad Distrital Francisco José de
Caldas.
6 Rodríguez, G. (2018). El juego La Escalera como dispositivo para la formulación de patrones
aritméticos. Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
Taller 1. Experiencias,
cantidades y
comparar clasificar.
Taller 2. Formulación de
relaciones cuantitativas,
cualitativas y espaciales.
Taller 3. Operaciones.
Taller 4. Problemas.
Identificación de
propiedades:
manipular el material,
identificar tamaños,
texturas, olores y
colores.
Comparación y
Clasificación:
categorizar el material
según sus
características, por
ejemplo, en tablas.
Relaciones Cuantitativas: realizar
preguntas del tipo: ¿Cuántos
movimientos se utilizan para
cambiar la posición de dos
fichas (1 azul y 1 café)? Hacer
uso de tablas en las que se
pregunte por movimientos en
diferentes intentos del juego.
Relaciones Cualitativas: solicitar
llenar tablas haciendo
preguntas a sus compañeros
sobre el juego y hacer preguntas
de cómo pueden exponer
relaciones encontradas.
Pedir realizar el menor
número de movimientos
en el juego. Preguntará
qué pasa con el juego si
se tienen más fichas y
cuántos serían los
movimientos en cada
caso.
Plantear preguntas
que giran en torno a
cómo generalizar los
procesos
desarrollados en los
diferentes talleres.
Tabla 4. Algunos aspectos de la estructura matemática del juego La Escalera a partir de talleres.
Adaptación a partir de la Fuente: (Romero et., 2013, p. 488 – 498).
Las descripciones del juego, las reglas y las investigaciones sobre él permiten
analizar las hipótesis de la trayectoria de aprendizaje en contraste con la
trayectoria real. En el análisis de los resultados se incluyen algunas
consideraciones hechas a partir de las investigaciones mencionadas.
En el marco de las trayectorias de aprendizaje aparece una sección
exclusiva a las tareas instructivas, para este caso, el juego en sí mismo hace parte
de la gran tarea de cada uno de los niveles, por eso, en los resultados no
aparece una sección particular de tareas. No obstante, con el juego se pueden
propiciar talleres como los descritos en la tabla anterior, es decir, aún hay más
elementos del juego que se pueden vincular a una trayectoria más amplia que
contemple no solo a La Escalera sino también que incorpore proyectos de aula,
talleres y actividades más sofisticadas que utilicen ahora no solamente el juego
La Escalera sino todo un sistema de juegos, que se consolide de manera más
amplia en jornadas de seguimiento continuo a los jugadores.
1.2.4 Relaciones y funciones matemáticas
¿En qué lugar encontrar matemáticas? ¿Dónde existen?
En la página impresa, qué duda cabe, y antes de la imprenta,
en tabletas y en papiros. He aquí un libro de matemáticas;
tómelo con sus manos: tendrá en ellas un registro palpable
de las matemáticas en tanto esfuerzo intelectual.
Pero tienen que existir primero en las mentes de las personas,
pues un estante de libros no crea matemáticas.
Lynn Stenn
La enseñanza agradable de las matemáticas
A lo largo de la historia, se ha dado una evolución de las nociones e ideas
innatas de relación. La relación se constituye como uno de los principios básicos
de toda conceptualización el cual, al ser aplicado a dos o más elementos de
uno o varios conjuntos, capta o genera cierto vínculo, nexo o correspondencia
entre ellos, produciendo una proposición acerca de ellos (León, 2005). El ejercicio
de caracterizar una relación matemática pasa por el reconocimiento de dos
elementos:
1. el nivel de generalidad que se le asigna a este término.
2. la importancia que se le asigna a la formulación de una relación en la
elaboración de conocimiento. (León, 2005).
Así, la relación puede ser vista como un enunciado que vincula objetos
matemáticos y que permite el posterior establecimiento de estructuras en
determinado universo y con dominios aritméticos, geométricos o algebraicos.
Esto da paso al establecimiento inicial del concepto de función.
La noción matemática de función se compone de un macro concepto que a su
vez se nutre de aportes de diferentes comunidades y corrientes de las
matemáticas. Las funciones son objetos matemáticos que dan razón de patrones
que pueden ser modelados y operados mentalmente. Asimismo, de manera
intuitiva, se puede definir el concepto de ”función” como una asociación entre
dos elementos de dos conjuntos distintos, llamados dominio y rango
respectivamente.
Spivak (1967) señala particularmente, que una función es una regla la cual
asigna a cada número real otro número real. Sin embargo, la definición formal
desde las matemáticas es bastante distinta. ¿Cómo se puede definir a partir de
las operaciones básicas entre conjuntos? Y más aún, ¿cuál de esas definiciones
es comprensible a través del juego de La escalera?
Partiendo de la definición ”usual” de una función, es decir, un subconjunto del
producto cartesiano, no se establece en un primer instante una relación clara
entre el juego La Escalera y esta idea, ya que el juego no tiene dos conjuntos,
sino uno solo que es a la vez rango y dominio, lo cual puede producir confusiones
en el aprendizaje. ¿Se podrían usar entonces las definiciones encontradas en los
textos de cálculo diferencial? En principio, parece útil. Sin embargo, el conjunto
de los números reales es un conjunto ”especial”, en el sentido de tener
comportamientos algo patológicos (números irracionales). Por esto, es posible
pensar las funciones no solo desde la definición de Spivak (1967) sino considerar
por ejemplo:
• funciones como permutaciones, este tipo de funciones son muy
especiales, y sobre todo, muy útiles en muchas áreas de las matemáticas,
como la geometría o la teoría de grupos. Son particularmente útiles en el
caso del juego de La Escalera, ya que también son una función del
conjunto en él mismo, y el conjunto en particular debe ser finito. ¿Cómo
aproximarlas entonces? Una de las vías más interesante parece ser la de
‘jugar’ con permutaciones geométricas, por ejemplo, como las de las
rotaciones de un cuadrado, que son funciones del conjunto de vértices en
él mismo, ya que el juego de La Escalera es, fundamentalmente, jugar con
diferentes posiciones de objetos. ¿Qué objetos matemáticos presentan
este comportamiento? Las figuras geométricas, las raíces de funciones
algebraicas, las raíces de la unidad.
• las funciones como metáforas de los números, por ejemplo, Lakoff (2000)
señala que las funciones trigonométricas son aquellas en las que los
ángulos se conceptualizan metafóricamente como números.
• funciones desde la continuidad, Lakoff (2000) describe la noción de
continuidad para una función como:
The original notion of continuity for a function was conceptualized in terms of a
continuous process of motion—one without intermediate ending points. The very
idea of an algorithmic process of calculation involves a starting point, a process
that may or may not be iterative, and a well-defined completion. p.37.
Asimismo, se exploran rutas propuestas por Mac Lane (1986) que permiten
vislumbrar entradas a las funciones, que constituyen una estructura que las
vincula desde diferentes perspectivas y que las determinan como un elemento
dinámico dentro de las matemáticas.
- Fórmula: una función es una fórmula aplicada a una letra 𝑥. Cuando 𝑥 es
reemplazada por un número, la fórmula produce un número, es decir, el valor de
la función para el valor dado.
- Regla: la variable 𝑦 es una función de la variable 𝑥 cuando hay una regla dada
para la cual cada valor de 𝑥 produce un correspondiente valor de 𝑦.
- Gráfica: una función es una curva en el plano (𝑥, 𝑦) tal que cada línea vertical
𝑥 = 𝑎 encuentra la curva en a lo más un punto con coordenadas (𝑎, 𝑏). Cuando
esto pasa, el número 𝑏 es el valor de la función en el argumento 𝑎. Esta
descripción enfatiza el aspecto geométrico de las funciones e implica la noción
de una curva y la dependencia de la aritmética con la geometría.
- Dependencia: la variable cuantitativa 𝑦 es una función de la variable
cuantitativa 𝑥, sí y solo sí, una determinación del valor de 𝑥 también fija el valor 𝑦,
así que 𝑦 depende de 𝑥.
- Tabla de valores: una función está determinada por una tabla de valores, en los
cuales, para cada entrada de la primera cantidad 𝑥 corresponde un valor
numérico en la segunda cantidad 𝑦. Esta es una definición inspirada por las
tablas de funciones trigonométricas y logarítmicas.
- Sintaxis: una función 𝑓 que va del conjunto 𝑋 al conjunto 𝑌, es un símbolo 𝑓, tal
que siempre que el término 𝑥 representa un elemento de 𝑋, entonces cada
elemento de símbolos 𝑓 de 𝑥 representa un elemento de 𝑌, es decir, el valor de 𝑓
en el argumento 𝑥. Esta forma describe el uso de símbolos para las funciones.
A partir de estos elementos de Mac Lane (1986) se muestran algunos
ejemplos de cómo con talleres del juego La Escalera se pueden llevar a algunas
de las entradas propuestas. En tabla se visualizan las posibles vías que un jugador
al iniciar el nivel experto puede recorrer cuando se empiezan a desarrollar
preguntas alrededor del juego, indagando inicialmente por el número de
movimientos realizados por el jugador.
El juego La Escalera visto como
Tabla de Valores Regla Dependencia
Según el número
de movimientos:
Dos: 111
Tres: 12221
Cuatro: 1233321
Cinco : 123444321
El valor de la variable 𝑦 (número de
movimientos) depende de la variable
independiente 𝑥 (número de fichas).
Sintaxis Fórmula Gráfica
Fichas de color café y roja, a cada lado
- Con dos fichas ficha: roja, café, roja.
- Con tres fichas: roja, café, café, roja, roja,
café, café, roja.
- Con cuatro fichas: roja, café, café, roja,
roja, roja, café, café, café, roja, roja, roja,
café, café, roja.
- Con cinco fichas: roja, café, café, roja, roja,
roja, café, café, café, café, roja, roja, roja,
roja, café, café, café, café, roja, roja, roja,
café, café, roja.
𝒇(𝒙) = (𝒙 + 𝟏)𝟐 − 𝟏
Tabla 5. El juego La Escalera.
Cada una de estas rutas tienen un valor significativo dentro del contexto de
juego, ya que permiten que el jugador lleve a cabo procesos de comprensión de
la situación problema de juego y pueda plantear soluciones específicas para
resolverla desde diferentes vías. No obstante, en el marco de la THA del juego, se
considera que se deben tener en cuenta otros procesos que surgen al momento
que el jugador se enfrenta y que no necesariamente se encuentran en algunas
de las entradas propuestas por Mac Lane (1986).
Es decir, al primer contacto de un jugador con el juego La Escalera se
pueden propiciar algunos procesos iniciales, que, si se fortalecen desde los
primeros niveles de la THA, pueden permitir un espectro que posteriormente
brinda una entrada más formal a las funciones.
Esto implica una consideración sobre las nociones de funciones no precisamente
ajustadas a la rigidez o la formalidad de las matemáticas. Hay una intención aquí
de que el profesor investigador pueda reconstruir ideas usuales en torno a los
principios sobre las funciones matemáticas y la gran responsabilidad que hay
detrás del proceso de enseñanza y aprendizaje de estas.
En este sentido, se considera que las funciones matemáticas son
necesarias porque permiten el establecimiento de relaciones entre grupos o
conjuntos de elementos, estas relaciones expresan dependencias entre una
variable con respecto a otra, es decir, se tiene una respuesta a procesos de
variación. No obstante, puede que en el aula se lleven a cabo procesos que no
permitan a las personas conocer de forma consciente la importancia de las
funciones, por ejemplo, para asignaturas como el cálculo.
Al respecto, Stenn (1990) señala,
‘Los encabezados de los periódicos destacan alarmantes informes de analfabetismo
funcional, falta de capacidad para manejar números y otros síntomas de deterioro
educativo. Las escuelas del mañana pueden experimentar un renacimiento si
empezamos a trabajar ahora el terreno para lograr una educación eficaz en
matemáticas, ciencias y todas las asignaturas’. p.1.
A partir de estas consideraciones iniciales, la THA del juego del juego La
Escalera, empieza a identificarse a partir de tres niveles en, el jugador del juego
La Escalera sigue una trayectoria para solucionar el juego que consta
básicamente de tres niveles específicos, en el primer nivel el jugador analiza su
entorno e identifica posibles cambios en este. En el segundo nivel se identifican
los posibles movimientos y se analizan para determinar cual lleva a la solución del
juego. Y en el tercer nivel el jugador es capaz de plantear los movimientos a
seguir para solucionar el juego. A continuación, se profundiza más sobre estos
tres niveles y lo que conlleva cada uno.
Nivel 1. Jugador Principiante. Identificador de cambios
Para este primer nivel, se proponen aspectos en torno a las matemáticas del
cambio. Es decir, qué elementos de cambio capta un jugador que se enfrenta
por primera vez al juego o que se ubica en el nivel de principiante.
Al respecto, Stenn (1990) menciona:
‘Todo fenómeno natural, desde las vibraciones cuánticas de las partículas
subatómicas hasta el propio universo, es una manifestación del cambio. Los
organismos en desarrollo cambian conforme crecen’. p.193.
Si es así, un jugador de La Escalera se enfrenta ante un juego que tiene
posibilidades de exploración en cuanto al cambio. No es lo mismo para el
desarrollo del juego tener una ficha a cada lado de la escalera o dos o tres o mil
fichas. Los procesos que se realizan en subniveles por ejemplo de tres fichas a
cada lado no son recurrentes y por tanto el jugador entra en un proceso en el
que requiere ser consciente de los cambios que se trazan a través del juego.
En este sentido, Stenn (1990, p.193) aporta las siguientes tres premisas en cuanto
el cambio, que se han tomado para distinguir jugadores
- Representar los cambios en una forma comprensible.
- Entender los tipos fundamentales de cambio.
- Identificar tipos particulares de cambio cuando ocurran.
El ser humano es un ser que se adapta a los cambios, y para adaptarse a ellos
tiene primero que conocer que cambios ocurren en su entorno, por esta razón
cada variación es importante y es tenida en cuenta, como lo menciona Stenn
(1990), ‘cambios de toda índole influyen en nuestras vidas’. p. 193.
Un cambio genera una relación entre dos o más elementos, esto quiere
decir que una variación genera otra variación, para determinar la relación del
cambio de variables se utilizan diferentes áreas y métodos matemáticos, según
Stenn (1990, p.194):
‘El enfoque tradicional de las matemáticas del cambio se puede resumir en un solo
término: cálculo diferencial e integral. En el cálculo, el sistema cambiante se
representa por una ecuación particular (técnicamente, una ecuación diferencial)
que describe la relación entre las razones de cambio de las diferentes variables’. p.
194.
Stenn (1990, p.194) asegura que:
‘El cálculo es un componente esencial de las matemáticas del cambio’. p. 194.
Para representar y analizar estos cambios se recurre a las matemáticas en
formas básicas o complejas dependiendo de la naturaleza del problema, esto
quiere decir que las matemáticas juegan un papel fundamental en este
proceso. Por ejemplo, en los colegios se dicta una variedad de materias
relacionadas con matemáticas, enseñando a los estudiantes a tener ideas
para resolver problemas, además de prepararlos para carreras universitarias
como Ingenierías. Como lo plantea Stenn (1990):
‘Preparar a los estudiantes para el estudio del cálculo ha sido la meta central de las
matemáticas escolares; plantear y resolver las ecuaciones del cálculo es el fluido
vital de las matemáticas tradicionales enfocadas a la ingeniería’. p. 194.
Para concluir este nivel, se pueden realizar procesos de medición que
identifiquen los cambios realizados en el entorno, así se tiene un patrón de
referencia y se puede comparar con los cambios percibidos por el jugador para
un posterior análisis.
Nivel 2. Jugador Intermedio. Buscador de patrones
En este momento el jugador ya ha detectado e identificado cambios, ahora
debe predecir futuros cambios, analizando los posibles movimientos y cuáles de
estos movimientos llevan a la solución, se debe pensar en una jugada posterior al
movimiento que se va a realizar y si se puede o no avanzar de forma correcta o
determinar cuál sería el mejor camino a seguir. El jugador comienza a identificar
patrones en el juego, jugadas que se repiten una y otra vez o simplemente
movimientos sencillos que llevan a perder el juego. Asimismo, los patrones se van
instaurando en el cuerpo a través de los sentidos, a través de un ritmo musical,
una apreciación visual o táctil, e incluso por medio del olfato.
Una vez obtenidos los patrones del juego, el jugador tendrá más
posibilidades de reproducir en las fichas movimientos correctos. Por ejemplo,
Romero et al (2013, p.495) muestran el siguiente proceso de formulación de
patrón para solucionar el juego cuando se tienen 2, 4, 6 y 8 fichas en el tablero.
‘Para una ficha de cada tipo una grande y una pequeña, una forma de representar
la melodía sería: grande, pequeña, grande.
Para dos fichas de cada tipo, dos grandes y dos pequeñas: grande, pequeña,
pequeña, grande, grande, pequeña, pequeña, grande.
Para tres fichas de cada tipo, tres grandes y tres pequeñas: grande, pequeña,
pequeña, grande, grande, grande, pequeña, pequeña, pequeña, grande, grande,
grande, pequeña, pequeña, grande.
Para cuatro fichas de cada tipo, cuatro grandes y cuatro pequeñas: grande,
pequeña, pequeña, grande, grande, grande, pequeña, pequeña, pequeña,
pequeña, grande, grande, grande, grande, pequeña, pequeña, pequeña,
pequeña grande, grande, grande, pequeña, pequeña, grande’. p.468
Muchos de los problemas que se solucionan a diario presentan movimientos
periódicos y similitudes que llevan a un patrón en específico, puede que no sea
muy relevante, pero depende de cada quien hallar ese patrón y utilizarlo para
llegar a la solución del problema, el hallar este patrón no solamente acerca más
a la solución del problema sino que brinda una solución que permite agilizar los
tiempos de respuesta por parte de los jugadores hacia el problema. Por lo tanto,
como propone Stenn (1990)
‘… debemos ser sensibles a los patrones de cambio, incluyendo el descubrimiento
de patrones ocultos en los eventos que a primera vista parezcan no tenerlos’. p.8.
También se pueden presentar patrones de simetría, es decir, sucede una misma
acción de dos sitios distintos, como es en el caso del juego planteado, lo que
pasa a un lado de la escalera se replica al otro lado, generando movimientos
repetitivos que provocan un patrón que el jugador deberá percibir para
entender la trayectoria que toma la solución del problema.
Uno de los elementos que gesta el jugador a través de la trayectoria del juego,
es hacer emerger los patrones escondidos del mismo. Pasos que le van a permitir
después definir y comprender la definición formal de función. De cierta manera,
estos patrones se relacionan con las matemáticas, generando una serie de
números que se repiten una y otra vez, a esta matemática Stenn (1990) la
denomina como ‘el lenguaje y ciencia de los patrones’ en el siguiente contexto:
‘Durante la trayectoria el jugador: resuelve problemas, encuentra y comprende
obstrucciones, establece conjeturas, capta la esencia del juego. ‘La matemática
como el lenguaje y ciencia de los patrones’. p.1.
Todo lo que hace el jugador en el juego es informal, pero este conocimiento
informal puede convertirse más adelante en un conocimiento formal que
permite establecer rutas a seguir para determinar soluciones a distintos
problemas, Stenn (1990)
‘es posible desarrollar el pensamiento matemático, desde la exploración informal a
temprana edad hasta el estudio formal en escuela y universidades’. p.2
En la solución de un problema, puede que existan más de un patrón a
seguir, depende de cada individuo inclinarse por un patrón u otro, y esta
decisión se debe con la familiarización que tenga el jugador con el patrón, que
tan fácil le resulta identificar este patrón y ponerlo en práctica. Por ejemplo, a
muchas personas se les facilita encontrar patrones mediante un ritmo, creando
una secuencia musical que les permita recordar movimientos para
posteriormente tomar decisiones con pasos a seguir. Estos patrones dependen
del problema, y el entorno de este.
Actualmente, la tecnología cumple un papel muy importante en la sociedad,
el problema es que tendemos a volvernos dependientes de esta tecnología,
limitando nosotros mismos nuestras ideas, pensamientos y creatividad, grandes
matemáticos de la historia realizaban cosas increíbles sin ayuda de la tecnología,
porque siempre estaban un paso adelante, no se centraban únicamente en lo
que veían sino de lo que su intelecto y creatividad les enseñaba.
Al respecto, Stenn (1990) señala:
‘Gracias a las gráficas de computadora, gran parte de la investigación de patrones
realizada por matemáticos se encuentra dirigida ahora por lo que uno puede ver
realmente con los ojos, en tanto que los gigantes matemáticos del siglo XIX, como
Gauss y Poincaré, tuvieron que depender más de lo que veían con los ojos de la
mente. “Veo” siempre ha tenido dos significados distintos: percibir con la vista y
entender con la mente. Durante siglos la mente ha dominado a la vista en la
jerarquía de la práctica matemática; hoy se está restableciendo el equilibrio
conforme los matemáticos encuentran nuevas formas de ver patrones, tanto con la
vista como con la mente’. p.8.
Las matemáticas ayudan a establecer patrones para llegar a la solución de un
problema, algunos patrones generan una mayor eficacia para encontrar la
solución, depende del individuo escoger la más adecuada para él.
Stenn (1990) plantea lo siguiente:
‘A fin de elaborar planes de estudio de matemáticas eficaces para el futuro, debe
atenderse a los patrones en las matemáticas de hoy para proyectar, lo mejor que
podamos, qué es en realidad fundamental y qué no lo es’. p.8.
A medida que pasa el tiempo en el juego, el jugador adquiere
experiencia con patrones, y depende de él encontrar la solución; en ocasiones
hallar la solución significa encontrar un patrón y plantear pasos a seguir, muchas
de estas situaciones se presentan en aulas de clase. Stenn (1990) hace una
referencia a estas experiencias tempranas con patrones tales como:
‘El volumen, la semejanza, el tamaño y la aleatoriedad preparan a los estudiantes
tanto para las investigaciones científicas como para las matemáticas más formales y
con mayor precisión lógica. Así, cuando en el salón de clases se realice una
demostración rigurosa años más tarde, el estudiante que se haya beneficiado de las
experiencias matemáticas informales adquiridas mucho tiempo atrás podrán decir
con sincero placer: “ahora veo por qué eso es cierto”. p. 12.
Nivel 3. Jugador Experto. Estructurador
En este nivel el jugador empieza a desarrollar pensamiento algorítmico, en
este proceso no es la premura por hacer emerger los algoritmos por sí solos, sino
que el jugador y el profesor pueden ampliar la situación y preguntarse de dónde
salen o por qué son así y no de otra forma. Empieza un proceso en el que el
jugador puede hablar sobre el juego, sin el juego. Un desafío de estudiar
experiencias que lleven en un futuro al aprendizaje formal de las funciones, en
este nivel el jugador son:
- Aplicar estas técnicas al mundo exterior, y
- Controlar un universo cambiante para nuestro mejor provecho’. (Stenn, 1990, p.
193.
Es decir, en este punto el jugador continúa con un proceso en el que se acerca a
las funciones desde varias entradas e hilos conductores. Stenn (1990) señala que
la tradición escolar acierta en que la aritmética, la medición, el álgebra y ciertas
nociones de geometría representan los fundamentos de las matemáticas. Pero
hay mucho más, hay ideas profundas que alimentan el crecimiento de las ramas
de las matemáticas y que se pueden considerar como:
Estructuras matemáticas específicas:
Números Formas
Algoritmos Funciones
Razones Datos
O atributos:
Lineal Aleatorio
Periódico Máximo
Simétrico Aproximado
Continuo Uniforme
O acciones:
Representar Construir un modelo
Controlar Experimentar
Demostrar Clasificar
Descubrir Visualizar
Aplicar Calcular
O abstracciones:
Símbolos Equivalencia
Infinito Cambio
Optimización Semejanza
Lógica Recursión
O actitudes:
Preguntarse Belleza
Querer decir Realidad
O comportamientos:
Movimiento Estabilidad
Caos Convergencia
Resonancia Bifurcación
Iteración Oscilación
O dicotomías:
Discreto vs. Continuo Estocástico vs. Determinista
Finito vs. Infinito Exacto vs. Aproximado
Algorítmico vs. Existencial
Tabla 6. Ideas profundas que alimentan el crecimiento de las ramas
de la matemática. (Stenn, 1990, p.9 – 10).
Identificar la trayectoria alrededor de estos puntos consiste en generar hipótesis
sobre las matemáticas y que se encuentre con varias de las perspectivas e ideas
señaladas en la tabla. Es necesario establecer conexiones entre: conteo,
simetría, representación visual, algoritmos y propiciar una variedad de
experiencias en cuanto a las funciones matemáticas, no solo es una fórmula o
una tabla, es una variedad de experiencias matemáticas
1.2.5 Cuerpo y emociones
Se lleva a cabo un proceso de observación de las relaciones entre lo que exige
el juego y otros elementos en los que se determina qué tan pertinente es el
habla, la postura del cuerpo, los gestos y los sonidos al capturar patrones. Al
desarrollar un laboratorio se empiezan a establecer hipótesis entre movimientos
del cuerpo y la generación de patrones, hasta llegar a relaciones del tipo nivel
de matematización - cuerpo - pensamiento. Con esta búsqueda se intenta
continuar con propuestas de trabajo que parten de premisas en las que el
cuerpo guarda memoria sobre sus movimientos y cuáles de esas acciones que se
observan en la investigación conllevan a aspectos cognitivos y de aprendizaje. A
partir de esto, se consideran todos los canales posibles para el aprendizaje, en el
que el cuerpo a través de su movimiento refleja aspectos de su relación con el
cerebro.
En este sentido, se empiezan a determinar cuáles son las terminales
corporales que conectan con canales cerebrales, es decir, cuando se mueven
las manos o se producen sonidos qué canales se mueven o se activan de forma
cerebral y cómo se asocian los canales entre sí. Sobre esto Armstrong & Wilcox
(2007) muestran algunas evidencias sicológicas y lingüísticas sobre las conexiones
entre los gestos y el habla relacionadas con la pregunta sobre el origen de la
gramática a partir de algunas consideraciones sobre estructuras icónicas en
lenguajes por medio de gestos, denominadas ’construcciones clasificadoras’ y
teniendo en cuenta aspectos sobre el desarrollo del cerebro a partir de procesos
gestuales y del habla, junto con procesos del desarrollo gramatical, en relación
con la evolución histórica de lenguajes gestuales.
Esto permite observar que los movimientos del cuerpo no son gratuitos y
que las relaciones y conexiones entre cerebro, gesto y cognición son base
teórica, no solo para el conocimiento del cuerpo humano, sino para el estudio
de aspectos sobre el aprendizaje, de personas con situación de discalculia,
sordas, ciegas y en general con condiciones diversas. “La inteligencia verbal o
reflexiva reposa sobre una inteligencia práctica o sensorio motriz, que se apoya a
su vez sobre los hábitos y asociaciones adquiridos para combinarlos de nuevo.
Estos suponen, por otra parte, el sistema de los reflejos, cuya conexión con la
estructura anatómica y morfológica del organismo es evidente. Por consiguiente,
existe una cierta continuidad entre la inteligencia y los procesos puramente
biológicos de morfogénesis y de adaptación al medio” (Piaget, 2007, p. 13).
Se toman elementos de gestualidad y cognición, explora orígenes
gestuales del lenguaje y su relación con la cognición corporal, el cuerpo y el
aprendizaje y los efectos de dichos gestos. Asimismo, al explorar estas relaciones
en el juego La Escalera se estudia el valor cognitivo para el juego y la dimensión
de este como elemento que permite la aprehensión de aspectos de las
matemáticas por medio del cuerpo, que genera la formulación de los patrones y
cuyo primer patrón que permite es el corporal.
Se realiza un análisis del juego La Escalera desde la dimensión del
desarrollo de patrones que consolidan relaciones matemáticas y que
posteriormente tendrán una incidencia la trayectoria de aprendizaje, cuyo gran
proceso es la variación y en el que la formulación de patrones va generando
una entrada a elementos del dominio numérico. La exploración de estos
elementos permite concluir que al abrir canales de comunicación se generan
vías de acceso a todas las poblaciones en una comunidad que tiene en cuenta
la diversidad y a elementos cognitivos, matemático, instruccionales y gestuales
como elementos de desarrollo de una trayectoria de aprendizaje.
2. Diseño metodológico
El gran referente teórico que se tiene en cuenta para el diseño en el trabajo
de grado es la Investigación de Diseño y los experimentos de enseñanza, con los
que se busca integrar situaciones en las que los investigadores participan en la
creación de experimentos y en la observación de sus variables, duración y
componentes del aprendizaje, en este caso de las matemáticas. Los
experimentos de enseñanza se llevan a cabo con el fin de generar o ratificar
hipótesis durante el experimento o en cada uno de los sucesos de enseñanza,
siendo necesario algunas veces, abandonar o reformular hipótesis según los
resultados que los datos recogidos arrojan.
Por consiguiente, “el objetivo último es elaborar un modelo del aprendizaje
y/o desarrollo de los alumnos, en relación con un contenido específico,
entendiendo este aprendizaje como resultado de la manera de operar y las
situaciones puestas en juego por el investigador-docente” (Molina et al., 2011,
p.5). A partir de este último objetivo de los experimentos de enseñanza se
establecen las Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje (THA). Apartir de esto, se
realiza un estudio con jugadores llevando a cabo el juego La Escalera con
diferentes tecnologías, luego se establecen procesos e hipótesis iniciales sobre los
elementos encontrados en la exploración, para así identificar THA a partir del
estudio con poblaciones. Finalmente, se confrontan y reformulan las hipótesis por
medio de las tecnologías de análisis en función de la TRA.
Fuentes de información
- Revisión bibliográfica: autores que aportan elementos teóricos para el
desarrollo y sustento del trabajo de grado.
- Personas en condición de discapacidad auditiva: jóvenes o adultos que
tengan la condición de ser sordos o alguna disminución auditiva.
- Personas en condición de discapacidad visual: jóvenes o adultos que tenga
la condición de ser ciegos o baja visión.
- Estudiantes de bachillerato de colegios de Bogotá: con los cuales se pueda
llevar a cabo el juego de La Escalera
- Amigos o familiares cercanos: personas que quieran llevar a cabo el juego
de La Escalera.
Características del diseño
Se consideran dos elementos para el diseño de aprendizaje:
• Los objetos materiales y didácticos.
• Las condiciones para la interacción en el ambiente.
Estos diseños de aprendizaje se generan un ambiente como el que Formero (sf) citado
por Calderón & León (2016), define:
“Un todo indisociado de objetos, olores, formas, colores, sonidos y personas que
habitan y se relacionan en un determinado marco físico que lo contiene todo y, al
mismo tiempo, es contenido por todos estos elementos que laten dentro de él
como si tuviesen vida. En esta medida, el ambiente habla, nos transmite
sensaciones, nos evoca recuerdos, nos da seguridad o nos inquieta, pero nunca
nos deja indiferentes”. (p.23).
Asimismo, para la construcción del diseño, particularmente para este trabajo en un
principio para el experimento de enseñanza y posteriormente para la THA, ALTERNATIVA
(2013) reconoce cinco aspectos fundamentales a tener en cuenta en la educación para
la diversidad:
1. Las múltiples experiencias con lo matemático y su didáctica.
2. Las múltiples representaciones de lo matemático y de su didáctica.
3. Los múltiples tipos de interacción en los ambientes de aprendizaje.
4. Las poblaciones en vulnerabilidad educativa por sus condiciones sensoriales,
étnicas o económicas.
5. Una metodología de interacción y desarrollo definida por las comunidades de
práctica.
Finalmente, Forneiro (sf) citado por Calderón & León (2016) identifica cuatro variables a
tener en cuenta dentro del diseño:
Físicas: qué hay en el espacio y cómo se organiza.
Funcionales: para qué se utiliza y en qué condiciones:
Temporales: cuándo y cómo se utiliza:
Relacionales: quién y en qué condiciones.
Así, la investigación de diseño permite estructurar fases en torno a
experimentos de enseñanza en los que se utilizan las trayectorias hipotéticas de
aprendizaje (THA) como diseño instruccional. El siguiente, es el esquema que
estructura las fases de investigación de diseño de esta investigación, vinculada a
intervenciones tecnológicas para la recolección de la información y el análisis de
datos en la Trayectoria Real de Aprendizaje (TRA).
Fases para la identificación de THA y para el análisis de TRA
- Fase 1 - Nivel 1. Principiante
Para la identificar trayectorias de aprendizaje se utiliza el juego en su versión
primaria sin adaptaciones; para el análisis a priori de las expresiones emocionales
y los patrones corporales de los jugadores se utiliza el software ELAN, para
codificar acciones del jugador en diferentes estados del juego. Con el software
se observan videos, transcriben narraciones y se determinan vocablos y
expresiones del cuerpo emitidas por parte de los jugadores. De esta fase surge
una lista de acciones que ejecutan los jugadores con manos, ojos y cara y que
se toman como base para la incorporación tecnológica de las fases siguientes.
Tecnología primaria Tecnología de análisis
Tabla 7. Tecnologías de juego y para el análisis - nivel principiante.
- Fase 2 - Nivel 2. Intermedio uso de tecnologías inclusivas
Se vinculan otras personas a la comunidad de práctica7 para llevar a cabo la
adaptación del juego a diferentes poblaciones. Para esto, se hacen una lista de
requerimientos para que la escalera pueda segur jugada también por personas
sordas y ciegas. Además de esto, el sistema de tecnología inclusiva arroja un
documento de Excel en el que se muestran las jugadas desarrolladas por el
jugador junto con algunas emociones asociadas a los estados de juego.
Tecnología inclusiva Tecnología de análisis
Tabla 8. Tecnologías de juego y para el análisis - nivel intermedio.
- Fase 3 – Nivel 3. Experto uso de tecnologías aumentadas
Se lleva a cabo la experiencia de juego en un laboratorio de robótica en el que
7 López, J., & García, S. Propuesta tecnológica para un modelado cognitivo mediante
solución de problemas utilizando el juego La Escalera. Universidad Distrital Francisco José
de Caldas.
se desarrolla una plataforma informática que permite capturar los movimientos
de las fichas para construir un grafo de la trayectoria del jugador sobre el
espacio del problema del juego de la escalera. Adicionalmente, también se
desarrolla un sistema para el reconocimiento facial y corporal del jugador
asociado a cada estado del problema.
Tecnología aumentada Tecnología de análisis
Tabla 9. Tecnologías de juego y para el análisis - nivel experto.
Todo el ciclo de experiencias se llevó a cabo con poblaciones diversas: en la
primera fase con más de 20 personas entre niños, jóvenes y adultos de
poblaciones regulares, sordas, ciegas y sordo ciegas. Para la segunda fase, se
llevaron a cabo sesiones con personas ciegas y niños y, para la tercera fase, se
implementó el sistema con más de 40 jugadores entre personas ciegas y niños
entre 10 y 13 años de edad de colegios públicos y privados de Bogotá.
3. Resultados y análisis de resultados
Tejido entre fases de la metodología y los resultados Fase 1
Fase preliminar - laboratorio
Durante los tres primeros semestres de la investigación se llevó a cabo un proceso
de laboratorio conjunto entre los profesores Olga Lucía León, Jaime Romero Cruz,
John Páez y las estudiantes Paola Cárdenas, Gloria Rodríguez y Natalia Palomá.
Este laboratorio permitió trazar vínculos de la fase a priori de personas jugando La
Escalera con las hipótesis planteadas en los resultados.
En el laboratorio se llevaron a cabo sesiones de juego con La Escalera, de
más o menos una hora, en las que se compartía la experiencia con personas de
diferentes edades, sexo, condiciones físicas y ocupaciones.
Las sesiones 1 a la 6 se llevaron a cabo entre los años 2016 y 2017. Cada sesión
consistía en explicarle a la persona las reglas del juego La Escalera y permitirle
que jugara. En la mayoría de casos expuestos en el laboratorio, los jugadores no
completaron el objetivo del juego a los primeros intentos, por eso, se tomó la
decisión de desglosarlo en niveles: al inicio intentarlo con todas las fichas (cinco a
cada lado) y luego si no se cumplía con el juego, de a dos fichas a cada lado,
de a tres, y así hasta llegar a cinco fichas.
En las sesiones, se respetó el ambiente de juego, para un posterior análisis
a priori y producto de laboratorio y se tomaron grabaciones de la mayoría de
jugadores8.
A continuación, se muestran las fichas de referencia de las seis sesiones de los
jugadores analizados en una fase a priori:
8 Disponibles en:
https://www.youtube.com/channel/UCor547zwhVtWIwzqRJG53gA
Tabla 10. Sesión 1 - Agosto 5 de 2016
Jugador Paola Gloria
Sexo Femenino Femenino
Edad 25 años 28 años
Condición Sin discapacidad Sin discapacidad
Ocupación Estudiante de LEBEM - UD Estudiante Maestría en Educación - UD
Tabla 11. Sesión 2 - Agosto 7 de 2016
Jugador María Brandon
Sexo Femenino Masculino
Edad 47 años 14 años
Condición Sin discapacidad Sin discapacidad
Ocupación Administradora de Empresas Estudiante de grado noveno
Tabla 12
Sesión 3 - Octubre 31 2016 Sesión 4 - Noviembre 18 de 2016
Jugador Iván Walter
Sexo Masculino Masculino
Edad 27 años 24 años
Condición Sin discapacidad Sin discapacidad
Ocupación Flautista Matemático
Tabla 13.
Sesión 5 - Diciembre 22 de 2016 Sesión 6 - Enero 10 de 2017
Jugador Andrea Rafael
Sexo Femenino Masculino
Edad 24 años 26 años
Condición Sin discapacidad Sin discapacidad
Ocupación Docente de Español Flautista
Organización y sistematización en la fase 1 preliminar para el Nivel 1. Principiante
Para el desarrollo del laboratorio se utilizó el software de transcripción lingüística
ELAN para organizar algunos de los videos, transcribir las narraciones y determinar
vocablos controlados. Por ejemplo, para el caso de la sesión con Brandon, en la
imagen 1, se muestra el texto del video en la parte derecha y en la parte inferior
las líneas Brandon habla, Natalia habla y Brandon acciones. En esta última línea
se establecieron acciones llevadas a cabo con las manos, los ojos, la cara, y
sonidos emitidos por la boca entre otros.
Imagen 2:
Ejemplo de trascripción del video
Brandon
Jugando La Escalera en ELAN.
Imagen 1:
Organización del video Brandon jugando La Escalera en ELAN.
Trayectoria Hipotética del juego La Escalera vinculada a hipótesis de aprendizaje
de las funciones – Fase 1
Tabla 14. Nivel 1. Principiante
Descripción del nivel
El jugador es un reconocedor: explora el material, su presentación y tiene un conocimiento parcial
de las reglas del juego (Romero et al., 2013). Esto quiere decir que lleva a cabo un juego en un
nivel de pruebas o de ejercicios.
Hipótesis de nivel
- Participa de forma primitiva en el juego a partir de acciones sensorio - motoras. Es decir, ‘la
forma primitiva del juego, la única que está representada en el nivel sensorio - motor, pero que se
conserva parcialmente con posterioridad es el ‘juego de ejercicio’, que no conlleva ningún
simbolismo ni ninguna técnica específicamente lúdica, sino que consiste en repetir, por gusto,
actividades adquiridas en otra situación con un fin de adaptación’ (Piaget, 2015, p.62).
- Identifica las características de las fichas y su disposición en la escalera. Por ejemplo, toca las
fichas para determinar su textura, su color y cómo están relacionadas con las casillas de la
escalera. En general, ‘reconoce el contexto de juego y lleva a cabo heurísticas asociadas a un
juego de prueba. (Romero et al., 2013).
Progresión del desarrollo
Componentes y momentos del juego tomados de Calderón, León & Orjuela (2010, p.3),
complementados ajustados a la trayectoria.
Afectivo – Actitudinal
- ‘Es indispensable para su equilibrio afectivo e intelectual que pueda disponer de un sector de
actividad en donde la motivación no sea la adaptación a lo real, sino, por el contrario, la
asimilación de lo real al yo sin limitaciones ni sanciones’ (Piaget, 1945, p.61).
- El proceso que el jugador empieza a llevar a cabo está relacionado con sus creencias y
sentimientos. ‘Científicos del cerebro han insistido hace tiempo en que la cognición y el
aprendizaje, son aspectos que están conectados con las creencias y sentimientos de las personas.
Boaler, J (2016).
Estratégico – Instrumental
- El jugador inicia un proceso de organización, según Piaget, ‘la organización es una disposición
innata en todas las especies. Conforme el niño va madurando, integra los patrones físicos simples o
esquemas mentales a sistemas más complejos’. (Tomás, J & Almenara, J, 2008, p.3).
‘Jason Moser y otros investigadores han descubierto que cuando alguien comete un error, el
cerebro crece. En imágenes de resonancia magnética, se encuentra que cuando las personas
comenten un error, se dispara la sinapsis. Por el contrario, cuando no se comete, la sinapsis es
menor. Entonces, cometer errores es realmente bueno y es necesario que los estudiantes sepan
esto’. Boaler, J (2016).
Motriz - Corporal – Verbal
- ‘La inteligencia verbal o reflexiva reposa sobre una inteligencia práctica o sensorio - motriz, que
se apoya a su vez sobre los hábitos y asociaciones adquiridos para combinarlos de nuevo. Estos
suponen, por otra parte, el sistema de los reflejos, cuya conexión con la estructura anatómica y
morfológica del organismo es evidente. Por consiguiente, existe una cierta continuidad entre la
inteligencia y los procesos puramente biológicos de morfogénesis y de adaptación al medio’.
(Piaget, 2007, p.13).
- ‘El gesto es una unidad funcional, una clase de equivalencia de movimientos coordinados que
alcanzan un objetivo. Es decir, una unidad que abarca los movimientos articulatorios que
constituyen las palabras habladas y en señas, también con acciones corpóreas funcionales aún si
son o no intencionalmente producidas o comunicadas’. (Armstrong & Wilcox. 2002).
Intervención heurística del profesor
- Mientras se va construyendo el ambiente de juego, conversar con el jugador sobre sus
experiencias en otros juegos de mesa o con estructura matemática e indagar sobre cómo cree la
persona que se lleva a cabo este juego o lo que se debe hacer con las fichas. No consiste en un
interrogatorio sino en una pequeña conversación que permita romper el hielo y darle la
bienvenida a la persona que va a jugar.
- El profesor enuncia las reglas, muestra el objetivo inicial del juego y el jugador lleva a cabo unos
primeros juegos. Es propicio que el profesor le comunique al jugador que es libre de expresarse
como quiera durante el desarrollo del juego. Es importante, ante todo, respetar el ambiente de
juego.
Hipótesis vinculadas al aprendizaje de las funciones
‘Todo fenómeno natural, desde las vibraciones cuánticas de las partículas subatómicas hasta el
propio universo, es una manifestación del cambio. Los organismos en desarrollo cambian
conforme crecen’ (Stenn, 1990, p. 193).
- El jugador empieza a realizar procesos en los que relaciona fichas con casillas del juego La
Escalera y lleva a cabo jugadas y repeticiones en las que establece relaciones del tipo ‘qué pasa
si hago esto…’. ‘Identificar tipos particulares de cambio cuando ocurran’. p. 193.
Ilustración 2. Nivel 1. Principiante de la THA del juego La Escalera
Trayectoria Real del juego La Escalera vinculada a hipótesis de aprendizaje de las funciones - Fase 1
Tabla 15. Nivel 1. Principiante
1.1 Descripción del nivel: El jugador es un reconocedor.
a. Explora el material, su presentación y tiene un conocimiento parcial de las reglas del juego (Romero et al., 2013).
Evidencia 1 Evidencia 2
01:42. Brandon: ¿puedo hacer
esto? (pone la ficha roja encima
de la ficha blanca en la misma
casilla).
01:43. Natalia: ¡Ujum! ¿Dónde?
Ah no, no, dos fichas no pueden
quedar en una misma casilla,
pero esa roja sí puede saltar a
otra casilla.
01:47. Brandon: ¿acá? (señala
una de las casillas vacías).
01:48. Natalia: sí
01:50. Natalia: porque esa casilla
está vacía.
01:50. Brandon: sí, ahí ya lo bloqueé.
Análisis y complementación de hipótesis:
- El conocimiento parcial de las reglas es una construcción que se gesta a través de la interacción. El jugador tiene preguntas y manifiesta algunas de ellas, para
corroborar que algún movimiento en el juego no es válido, lo ejecuta e indaga si es posible. En este proceso hay momentos de señalización, de ensayos y errores y
empiezan a aparecer palabras del jugador para referirse al juego: ‘¿puedo hacer esto?’, ‘ya lo bloqueé’. Estos aspectos hacen parte de la exploración del
material, su presentación y el conocimiento parcial de las reglas del juego, por parte del jugador. Asimismo, se invita a observar en todo momento las expresiones
de la cara del jugador durante el momento inicial de juego, así como el movimiento y uso de sus manos, ojos y cuerpo. Los aspectos del juego remarcados en las
imágenes de las evidencias, muestran momentos del juego en los que se manifiesta la aparición de reglas y de movimientos que llevan a pasos no fructíferos. Los
recuadros azules muestran aspectos que se quieren resaltar respecto al juego y los verdes respecto al jugador en relación con su cuerpo.
b. Lleva a cabo un juego en un nivel de pruebas o de ejercicios.
Secuencia de evidencia
02:46. *Silencio*
02:49. *Silencio*
02:49. ¡Ah?!
02:52. Brandon: ¿y acá ya queda cancelada?
Análisis y complementación de hipótesis:
- En la secuencia de evidencia, cuando el jugador pregunta ‘¿y acá ya queda cancelada?’, al hablar en singular, se asume que la ficha que está considerando es
la roja remarcada en azul, en realidad, el jugador principiante en algún momento vislumbrará que en ese estado del juego hay tres grupos de fichas que están
canceladas. Su propósito a lo largo del juego es no cancelar, en palabras del jugador, ningún grupo de fichas, y esto lo logra poco a poco a través de diferentes
intentos fallidos como el anterior.
- Es importante observar el movimiento de la cabeza, las manos y las expresiones de la cara durante la secuencia presentada. En el juego de pruebas y ejercicios
pueden aparecer movimientos importantes en escasos segundos como se muestra en la secuencia.
1.2 Hipótesis de nivel
a. Participa de forma primitiva en el juego a partir de acciones sensorio - motoras. Es decir, ‘la forma primitiva del juego, la única que está representada en el nivel
sensorio - motor, pero que se conserva parcialmente con posterioridad es el ‘juego de ejercicio’, que no conlleva ningún simbolismo ni ninguna técnica
específicamente lúdica, sino que consiste en repetir, por gusto, actividades adquiridas en otra situación con un fin de adaptación’ (Piaget, 2015, p.62).
Secuencia de evidencia
03:18. *Silencio*
Movimiento de los ojos con dirección a la izquierda del
jugador.
03:19. *Respiración profunda*
Movimiento de los ojos con dirección al centro de
la escalera.
03:20 *Soplo profundo*
Movimiento de los ojos con dirección a la derecha
del jugador.
Análisis y complementación de hipótesis:
- En la secuencia de evidencia se vilumbra cómo en un corto periodo el jugador piensa a través de sus ojos y manos en un momento que es crucial para el juego. Por
eso, es importante resaltar la forma en la que el profesor permita al jugador que todo su cuerpo emerja y que se manifieste de la manera en la que él suele ser. Por
supuesto, cada jugador manifestará comportamientos diferentes y unos serán más corporales que otros, pero no se debe negar que en este nivel las acciones que
realiza el jugador le permitirán llegar exitosamente a la solución del juego o no, es decir, hay una influencia corporal en el resultado del juego.
b. Identifica las características de las fichas y su disposición en la escalera. Por ejemplo, toca las fichas para determinar su textura, su color y cómo están relacionadas
con las casillas de la escalera. En general, ‘reconoce el contexto de juego y lleva a cabo heurísticas asociadas a un juego de prueba. (Romero et al., 2013).
Secuencia de evidencia Evidencia 2 Evidencia 3
02:07. Natalia: entonces, hay dos
momentos en el juego: cuando pasas en
definitiva todas las blancas donde están
las rojas…
02:12 *Interrupción* Brandon: …o
cuando pierdes.
02:17. Brandon: déjame lo pienso
mejor.
03:26. Brandon: Y puedo mover de
una vez la roja, ¿no?
Análisis y complementación de hipótesis:
- El jugador ha explorado el material, sin previamente detallar o manifestar de forma hablada cómo es la textura, el tamaño y color de las fichas y la escalera. No
obstante, en este proceso inicial del juego, el jugador adquiere una conciencia, manifiesta o no, de que este se compone de dos tipos de fichas que tienen un color
y una textura diferente. Es decir, la exploración y presentación del material por parte del jugador se capta por diferentes vías: el tacto, la vista, el olor, y por tanto, el
jugador principiante inicia un proceso de conocimiento de los elementos del juego por alguna de estas vías de acceso, manifiéstelo o no explícitamente.
- Reconocer el contexto de juego implica la forma como el jugador participa en él, sus opiniones, su lenguaje, sus intervenciones y las formas en las que procede
para llevar a cabo el juego. Por ejemplo, en la secuencia de evidencia, la profesora indica al jugador que hay dos momentos en el juego y justo cuando va a
mencionar el segundo, es interrumpida por el jugador quien toma la palabra y hace aparecer la frase ‘o cuando pierdes’. Aquí el jugador ha traído a colación su
experiencia cercana con juegos y ha puesto en evidencia la forma como reconoce el juego.
- Asimismo, en las evidencias 2 y 3 se muestran algunas manifestaciones del jugador en torno al juego y a cómo lo desarrolla, ‘déjame lo pienso mejor’, muestra que el
jugador ha comprendido que este juego implica pensar en algún determinado nivel, es decir, que se requieren momentos de reflexión para conseguir el objetivo. En
este nivel de principiante, aparecen constantemente preguntas del tipo: ¿puedo hacer esto?, ¿esta ficha puede saltar aquí?, ¿este movimiento es posible?, y es
importante que, además del surgimiento de estas preguntas, el profesor esté ahí para acompañar ese proceso, tal vez respondiendo con otra pregunta o mostrando
qué pasaría si el movimiento se lleva a cabo o no.
1.3 Progresión del desarrollo
Componentes y momentos del juego tomados de Calderón, León & Orjuela (2010, p.3), ajustados y complementados a la trayectoria.
1.3.1 Afectivo – Actitudinal
a. ‘Es indispensable para su equilibrio afectivo e intelectual que pueda disponer de un sector de actividad en donde la motivación no sea la adaptación a lo real,
sino, por el contrario, la asimilación de lo real al yo sin limitaciones ni sanciones’ (Piaget, 1945, p.61).
Evidencia 1 Evidencia 2 Evidencia 2
02:41. Walter: esto está complicado.
02:42. Natalia: jajaja, listo, entonces vamos a
hacer una cosa, si quieres deja una blanca y
una roja y quita las otras cuatro.
02:50. Walter: pero déjame pensar por favor.
06:02. Walter: *Sonrisa*
06:06. Walter: menos mal no me vine
tomado.
06:08. Walter: *Carcajada*
06:08. Natalia: *Carcajada*
46:40. Walter: *Sonrisa*
46:43. Walter: *Risa*
46:45. Walter: otra vez me perdí.
46:47. Natalia: cuando la llamada te distrae (previamente sonó el
celular de Walter y él contestó una llamada).
46:49. Walter: no, a mí todo me distrae, jajaja, hasta la ausencia de
ruido me distrae.
46:55 Natalia: ¿ah sí?¨
46:57. Walter. *Risa* todo, tengo muchas ganas de fumar.
Análisis y complementación de hipótesis:
- La persona manifiesta expresiones de auto reconocimiento como sujeto y como jugador. Comparte frases en las que delibera y reflexiona sobre su gestión al jugar.
Se aplaude o alaba tras obtener buenos resultados, se cuestiona sobre algunos movimientos, el jugador es cálido, pausado, agresivo, silencioso, o manifiesta algún
otro tipo de actitud. En general, está en constante reconocimiento de sus habilidades y no habilidades en un espacio en el que se siente libre para ser y hacer lo que
él decide. Es decir, se comparte lo que dice Huizinga (1943): ’todo juego es, antes que nada, una actividad libre. El niño y el animal juegan porque encuentran gusto
en ello, y en esto consiste precisamente su libertad’. p.20.
1.3.1 Afectivo – Actitudinal
b. El proceso que el jugador empieza a llevar a cabo está relacionado con sus creencias y sentimientos. ‘Científicos del cerebro han insistido hace tiempo en que la
cognición y el aprendizaje, son aspectos que están conectados con las creencias y sentimientos de las personas. Boaler, J (2016).
Evidencia 1 Evidencia 2 Evidencia 3 Evidencia 4
6:15. Walter: Siempre he sido muy
malo para estos juegos.
09:15 Walter: Pensar es muy
complicado.
11:32 Walter: Se nota que tengo cero
memoria porque no estoy acordándome de
lo que hago.
11:40 Walter: No soy capaz de pensarlo.
No sé si me da como pereza. A ver,
intentemoslo.
Análisis y complementación de hipótesis:
- En este componente afectivo – actitudinal se quieren resaltar los aspectos que muestran lo que el jugador es, elementos de su personalidad que determinan su
esencia como ser humano, que intervienen en un momento primario del juego y que permiten reconocerlo. ‘Déjame pensar, por favor’, ‘menos mal no me vine
tomado’, ‘hasta la ausencia de ruido me distrae’, ‘tengo muchas ganas de fumar’, son expresiones que hacen parte de las características de la persona y no deben
ser juzgadas como buenas o malas, si no consideradas como elementos que hacen parte de un proceso indispensable en el que emergen libremente acitutudes,
emociones, defectos, características, cualidades y afectos del jugador.
- Asimismo, el jugador puede hacer uso de recursos que provienen de su contexto académico y personal cercano, es decir, alguien que trae a colación elementos
de su profesión, de sus gustos, de actividades preferidas que emergen en situaciones de juego y que le permiten al profesor reconocer al jugador como un sujeto que
va más allá de ser un movedor de fichas, un aprendiz de juegos con estructura matemática y un potencial experto en ellos.
1.3.2 Estratégico – Instrumental
a. El jugador inicia un proceso de organización, según Piaget, ‘la organización es una disposición innata en todas las especies. Conforme el niño va madurando,
integra los patrones físicos simples o esquemas mentales a sistemas más complejos’. (Tomás, J & Almenara, J, 2008, p.3).
Secuencia de evidencias
16:25. *Silencio*
16:31. *Toma la
botella con las
manos*
16:33. *Toma agua*
16:38. *Pasa el agua*
17:01. Walter: ¿Puedo hacer
algo?
17:02: Sí, a ver, muéstrame.
17:03 Wlater: *movimiento de
cabeza*
Análisis y complementación de hipótesis:
- Es importante que el jugador disponga de instrumentos que le permitan desenvolverse de la mejor forma sin importar sus características físicas y cognitivas. Así, es
necesario resaltar que el material de juego debe disponer de elementos de accesibilidad que le permitan al jugador su mejor actuación. Si el jugador es una persona
ciega, se debe garantizar que el material no se caiga y que se pueda distinguir con facilidad al ser tocado y si el jugador es una persona sorda, el material debe ser
fácilmente reconocible para ser o expresado en lengua de señas. Estos elementos de accesibilidad no solo favorecen a las poblaciones mencionadas sino también a
los oyentes y personas que ven, pues la mejor presentación posible del juego, en cuanto a colores, visibilidad, tamaños, texturas, permite a la mayor cantidad de
poblaciones su participación.
- El jugador evidencia intenciones de resolver la situación inicial de juego que se plantea con el juego La Escalera. Es decir, reitera procedimientos al mover las fichas,
prueba y valida algunas conjeturas y gran parte del tiempo está razonando sobre las estrategias que lleva a cabo. Para esto, requiero de procesos de visualización
de las fichas, de ubicación en la escalera, de disposión de los colores, de quitar y mover fichas y de realizar movimientos que permitan desglosar el juego, organizarlo
y acomadarlo según el jugador lo desee y necesite.
1.3.2 Estratégico – Instrumental
b. ‘Jason Moser y otros investigadores han descubierto que cuando alguien comete un error, el cerebro crece. En imágenes de resonancia magnética, se encuentra
que cuando las personas comenten un error, se dispara la sinapsis. Por el contrario, cuando no se comete, la sinapsis es menor. Entonces, cometer errores es
realmente bueno y es necesario que los estudiantes sepan esto’. Boaler, J (2016).
Evidencia 1 Evidencia 2 Evidencia 3 Evidencia 4
01:24. Walter: no, perdí.
01:26. Natalia: ¿cómo sabes que perdiste?
01:28. eh, porque no voy a poder
retroceder y ya se estancaron estas
(señalando las fichas rojas).
02:30. Walter: creo que volví a perder.
02:31. Natalia: ¿por qué volviste a
perder?
02:34. Walter: ¡umm! porque ahora las
estanqué al otro lado.
19:34. Walter: ¡aaaaahhhhhh!
19:37. Natalia: ¿qué te
confunde?
19:42. Walter: a ver, ¡ummm!
19:46. Walter: *silencio*
19:50. Walter: más bien, ya sé
cuáles son los dos primeros
pasos pero de ahí para arriba
estoy muy perdido, pero como
no entiendo cómo funciona,
no me siento como jugando a
hacer pasos, estoy intentando
pensar cómo funciona pero no
logro pensarlo, entenderlo.
20:10. Walter: el primer paso debería ser
este y luego debería repetir con la última
que avancé.
20:23. Walter: ahí tocaría mover esta
porque o si no me estanco.
20:26. Natalia: sí.
20:29. Walter: y ahí tengo dos opciones
subier esta para acá.
20: 31. Natalia: sí
20:32. Walter: si la subo quedo quieto.
20:36. Natalia: ¡ajam!
20:37. Walter: vamos a pasar esta para
acá, ¿verdad?
20:42. Walter: ahí tengo dos opciones: o
bajar esta para acá o subir esta para acá,
¿verdad? Digamos que intentemos
avanzar y no retroceder…
Análisis y complementación de hipótesis:
- Para el desarrollo del juego es indispensable que el jugador se encuentre con obstrucciones que lo lleven al error, eso en parte, hace del juego un ambiente para el
aprendizaje de las matemáticas. Las obstrucciones que llevan al error también permiten pensar por qué se genera el error y qué hacer para no cometerlo de nuevo.
Es indispensable que se comentan errores, que hay obstáculos y que estos sean superados a lo largo del juego, en este nivel principiante el error permite al jugador
pensar sobre el juego y evitar el azar y la improvisación.
1.3.3 Motriz - Corporal – Verbal
a. ‘La inteligencia verbal o reflexiva reposa sobre una inteligencia práctica o sensorio - motriz, que se apoya a su vez sobre los hábitos y asociaciones adquiridos
para combinarlos de nuevo. Estos suponen, por otra parte, el sistema de los reflejos, cuya conexión con la estructura anatómica y morfológica del organismo es
evidente. Por consiguiente, existe una cierta continuidad entre la inteligencia y los procesos puramente biológicos de morfogénesis y de adaptación al medio’.
(Piaget, 2007, p.13).
Evidencia 1 Evidencia 2 Evidencia 3 Evidencia 4 Evidencia 5
Análisis y complementación de hipótesis:
- En las evidencias se quieren resaltar algunos movimientos, gestos o expresiones de jugadores en diferentes momentos de juego. La postura corporal no es la
misma cuando una persona se enfrenta en un primer instante al juego, esta cambia según la forma como el juego se desarrolle y cómo el jugador se desenvuelva
en él. Aquí influyen aspectos como la estructura anatómica de la persona y las condiciones físicas que lleve consigo misma, por eso, es importante que la persona
pueda desplegar su cuerpo de la mejor forma y hacer uso de todos los canales que requiera para llevar a cabo los procesos del juego. Si el jugador se cohibe o
limita movimientos o partes de su cuerpo, esas limitaciones pueden afectar el desarrollo del juego. Por el contrario, si el jugador no necesita constantemente de su
cuerpo hay otros canales internos que están siendo activiados por la vista, el tacto, el sentido del gusto y toda la percecpción en general.
- Se considera que hay vínculos entre la forma como se dispone el cuerpo con el avance o no del juego. Por ejemplo, en la evidencia 1 hay una mano en el
mentón que suscita reflexión cuando se está pensando en un paso importante del juego. En la evidencia 2 hay una carcajada del jugador al encontrar
bloqueado el juego, situación que cambia en otra jugada de bloqueo en otro momento del juego en la evidencia 3. En la evidencia 4, se muestra la disposición
del jugador cuando se le explica de qué trata del juego y lo que debe hacer, postura del cuerpo que cambia en la evidencia 5 cuando hay una posición de la
mano en el mentón cuando se está pensando en una jugada particular de juego, que de hacer un movimiento no propicio para el juego, cambia el sentido de
todas las jugadas.
1.3.3 Motriz - Corporal – Verbal
b. ‘El gesto es una unidad funcional, una clase de equivalencia de movimientos coordinados que alcanzan un objetivo. Es decir, una unidad que abarca los
movimientos articulatorios que constituyen las palabras habladas y en señas, también con acciones corpóreas funcionales aún si son o no intencionalmente
producidas o comunicadas’. (Armstrong & Wilcox. 2002).
Evidencia 1 Evidencia 2 Evidencia 3 Evidencia 4 Evidencia 5
Análisis y complementación de hipótesis:
- En la mayoría de jugadores hay movimientos del cuerpo muy notorios que permiten al profesor identificar qué tipo de jugador es y cómo está considerando y
asumiendo el juego. Por ejemplo, en la evidencia 1 hay una sonrisa particular al momento de encontrarse frente a una situación de bloqueo. En la evidencia 2,
hay una sonrisa diferente a la evidencia 1, que va acompañada con una mano sobre la cabeza y una postura relacionada con la situación de juego que aún no
se encuentra bloqueada. En la evidencia 3 hay un subnivel del juego en el que se disponen de dos fichas a cada lado y la postura del cuerpo ha cambiado en
relación con la evidencia 2, las expresiones de la cara y la mano de izquierda de esta evidencia muestran momentos corpóreos diferentes que merecen ser
resaltdos. Asimismo, el gesto emitido en la evidencia 4 muestra el resultado del cuerpo tras el resultado exitoso del juego y en la evidencia 5, se observa a un
jugador que no emite movimientos continúos y notorios pero sí un jugador que con su postura muestra actitudes frente a un juego que está iniciando.
- Igualmente, el jugador establece relaciones primarias entre los movimientos que hace de las fichas y las casillas de la escalera que ocupan, por medio de
procedimientos propios. Estas relaciones están vinculadas con movimientos del cuerpo y estados del juego de los cuales el jugador puede hacer uso más
adelante. Es decir, el cuerpo va construyendo una memoria que a la que algún momento vuelve cuando se presente un nivel del juego diferente o cuando se
lleve a cabo una experiencia similiar.
1.4 Hipótesis vinculadas al aprendizaje de las funciones
a. ‘Todo fenómeno natural, desde las vibraciones cuánticas de las partículas subatómicas hasta el propio universo, es una manifestación del cambio. Los
organismos en desarrollo cambian conforme crecen’ (Stenn, 1990, p. 193).
b. El jugador empieza a realizar procesos en los que relaciona fichas con casillas del juego La Escalera y lleva a cabo jugadas y repeticiones en las que establece
relaciones del tipo ‘qué pasa si hago esto…’. ‘Identificar tipos particulares de cambio cuando ocurran’. p. 193.
Evidencia 1
50:52. Natalia: ¿me quieres volver a contar cómo lo estabas haciendo ahorita?
50:57. Andrea: Sabemos que funciona hasta acá.
50:58. Natalia: okay.
51:10. Si inicio con la derecha tengo dos movimientos a la izquierda. El siguiente es derecha. Porque así funcionó el anterior. Pero entonces no sé si por la cantidad
de fichas haya dos o tres movimientos, o sea, que se repitan los movimientos o más cantidad.
Evidencia 2
51:28. Andrea: entonces de nuevo.
51:29. Natalia: vale, otra vez.
51:30. Andrea: si empiezo con la derecha tengo dos movimientos para la izquierda.
51:33. Natalia: okay.
51:34: Andrea: El siguiente es otro para la derecha.
51:37. Natalia: sí.
51:38. Andrea: tal vez después podría ser otro para la derecha.
51:39. Natalia: sí.
51:44. Andrea: quizá uno más para la derecha. Se completarían tres. Tres para la derecha.
51:50. Natalia: entonces sigamos.
51:51. Andrea: uno para la izquierda, dos para la izquierda, tres para la izquierda.
52:00. Natalia: ¿y ahora?
52:01. Andrea: uno para la derecha, dos para la derecha, tres para la derecha, y otra vez uno para la izquierda, dos para la izquierda y uno para la derecha.
52:15. Andrea: es decir, el patron es de tres.
Evidencia 3
52:18. Natalia: a ver, probémoslo otra vez.
52:20. Andrea: uno, uno, dos. La siguiente va uno, dos, tres. Uno, dos, tres. Uno, dos, tres, uno, dos y uno.
52: 50. Andrea: listo, ya entendí que en el primero son dos y en el segundo son tres, vamos a ver qué pasa con
cuatro.
Análisis y complementación de hipótesis:
- Expresa en lenguaje natural cambios que se presentan en el juego. Es decir, identifica por ejemplo cuáles son los elementos a relacionar: fichas, casillas y número
de fichas a usar y en este proceso de identificación reconoce los cambios que sufre el juego tras realizar un movimiento, poner una ficha de más, cambiar la
disposición de las fichas.
- Aunque en un nivel de principiante los patrones que lleva a cabo el jugador son todavía muy inconscientes, no podría llevarse a cabo un proceso de
construcción de patrones si antes el jugador no ha identificado qué cambia y cómo cambia el juego tras algún movimiento o nivel desarrollado. En la evidencia 1,
primero hay un cuestionamiento por querer saber si algo cambia cuando hay más fichas a cada lado y en la evidencia 2 hay una relación de esta pregunta con
la forma como se van moviendo las fichas. Cuando la jugadora dice, ‘es decir, el patrón es de tres’ ha respondido la pregunta sobre el cambio que hizo en la
evidencia 1 ‘pero entonces no sé si por la cantidad de fichas haya dos o tres movimientos’. El encontrar ese patrón inicial es gracias a que se ha pregunta por un
tipo de cambio.
Sobre las funciones en el nivel 1. Principiante
Las hipótesis inicialmente planteadas en la THA para este nivel refieren a la
caracterización de un jugador que es consciente de los cambios que emergen
en el desarrollo del juego.
Cambios en torno a:
• la disposición de las fichas en la escalera. Dada la posición (0) inicial del
juego:
y que la jugada número 1 sea:
o que sea:
En principio, el jugador principiante considera que el juego se logra
dependiendo de la ficha con la que se inicie. Con el tiempo, su percepción
sobre este aspecto no solo cambia sino que se vuelve irrelevante. En este
proceso surgen preguntas como: ¿con cuál color empecé?
• la realización e implicación de una jugada en un determinado momento
de juego.
Las jugadas iniciales del jugador principiante pueden entrar en una dinámica de
azar, hasta que este empieza a adquirir una conciencia en la que tras varias
jugadas llega al mismo impedimento para lograr el juego. En este proceso surgen
preguntas como: ¿Para dónde van las fichas de este color? Pregunta cuya
identificación sí es relevante para el juego, en contraposición a la anterior,
empezar con una ficha de un color no es determinante en el juego, reconocer
hacia donde van las fichas de un color sí lo es.
• la captación de un invariante como que dos fichas del mismo color no
pueden quedar seguidas. Por ejemplo, si se tiene el subnivel de dos fichas
a cada lado como se muestra a continuación:
Los siguientes movimientos a. Verde, roja, verde o b. Roja, verde, roja conducen
a que queden dos fichas del mismo color seguidas, el jugador reconoce aquí,
no solo la incidencia de una determinada jugada en el desarrollo del juego sino
la consecuencia de dejar dos fichas del mismo color seguidas.
• la recurrencia o no de los procesos llevados a cabo en cada subnivel del
juego. Es decir, si el procedimiento realizado para una ficha a cada lado
de la escalera, es el mismo si se tienen dos, tres, cuatro o cinco a cada
lado.
Tras la TRA se considera que en este nivel se generan acciones de juego en las
que se llevan a cabo procesos de identificación de cambios que en el siguiente
nivel permitirán identificar patrones. Al respecto Kaput (2008) señala que se
puede hacer uso de una amplia gama de sistemas de símbolos que vayan más
allá de la cadena de caracteres habituales de sistemas que se basan
únicamente en la inclusión de tablas, gráficas y elementos como las
denominadas "máquinas de función".
Es decir, en este caso el jugador no solo es consciente de los diferentes tipos
de cambio que se manifiestan en el juego sino que los expresa a través de
acciones que lleva a cabo con su cuerpo. En este primer nivel, no emergen
directamente fórmulas alrededor del juego o situaciones en las que este se
vislumbre a través de una tabla pero sí surgen algunas relaciones de
dependencia como las que se establecen entre el número de fichas de cada
subnivel y el número mínimo de movimientos para lograr el juego.
Tejido entre fases de la metodología y los resultados - Fase 2
Recolección de la información Nivel 2. Intermedio
Con base en la fundamentación y en los tres niveles de la trayectoria hipotética
de aprendizaje del juego La Escalera, se llevan a cabo sesiones con jugadores
de poblaciones ciegas y sordas. En el desarrollo de estas sesiones se utiliza un
prototipo del juego, desarrollado por el grupo de investigación DIGITI, que
además de captar valores en cuanto a los gestos y emociones del jugador,
captura en una tabla las veces que una ficha del juego estuvo en determinada
casilla.
En este caso, se muestra la ficha de la sesión 7 llevada a cabo con personas
ciegas, que desarrollaron el juego con el prototipo.
Tabla 16. Sesión 7 - Abril 7 de 2018
Jugador Orlando Tatiana
Sexo Masculino Femenino
Edad 46 años 37 años
Condición Ciego Ciega
Ocupación Técnico en Sistemas Fisioterapeuta
Las siguientes tablas muestran el desarrollo del juego de Luis en dos pruebas.
Asimismo, valores numéricos que muestran las emociones que predominaron en
la persona al momento de jugar La Escalera.
Prueba 1 - Orlando
Prueba 2 - Orlando
A continuación, se muestran las fichas de referencia de las seis sesiones de los
jugadores analizados en una fase a priori:
Tabla 17. Sesión 8 - Abril 15 de 2018
Jugador Niño Niña
Sexo Masculino Femenino
Edad 10 años 8 años
Condición Sin discapacidad Sin discapacidad
Ocupación Estudiante Estudiante
Tabla 18. Sesión 8 - Abril 15 de 2018
Jugador Adolescente Adolescente
Sexo Masculino Masculino
Edad 15 años 12 años
Condición Sin discapacidad Sin discapacidad
Ocupación Estudiante de básica secundaria Estudiante de básica secundaria
Tabla 19. Sesión 8 - Abril 15 de 2018
Jugador Niño Niño
Sexo Masculino Masculino
Edad 22 años 5 años
Condición Sin discapacidad Sin discapacidad
Ocupación Estudiante universitario Estudiante de preescolar
Trayectoria Hipotética del juego La Escalera vinculada a hipótesis de aprendizaje
de las funciones - Fase 2
Tabla 20. Nivel 2. Intermedio
Descripción del nivel
El jugador es un practicante: se apropia del material y de las reglas y tiene una mayor
experiencia debido a que ya maneja el juego (Romero et al., 2013). Esto quiere decir que lleva a
cabo un juego en un nivel de conocimiento y captación de reglas.
Hipótesis de nivel
- ‘En esta parte del juego se presenta la situación más favorable en su doble calidad de lúdica y
exclusivamente infantil, para dar lugar a un impulso de la vida social entre niños y jóvenes’.
(Piaget, 2015, p.104).
- ‘En los juegos de reglas, los niños menores de siete años, que reciben las reglas hechas por parte
de los mayores las consideran como “sagradas”, intocables y de origen trascendente. Por el
contrario, los mayores ven en la regla un producto del acuerdo entre coetáneos, y admiten que
se pueda modificar con tal de que haya consenso regulado democráticamente’ (Piaget, 2015,
p.109).
Progresión del desarrollo
Componentes y momentos del juego tomados de Calderón, León & Orjuela (2010, p.3),
complementados ajustados a la trayectoria.
Afectivo – Actitudinal
- ‘Entre las calificaciones que suelen aplicarse al juego se menciona la tensión. Este elemento
desempeña un papel especialmente importante. Tensión quiere decir: incertidumbre, azar. Es un
tender hacia la resolución. Con un determinado esfuerzo, algo tiene que salir bien’ (Huizinga,
1943, p. 24).
- ‘En esta tensión se ponen a prueba las facultades del jugador: su fuerza corporal, su resistencia,
su inventiva, su arrojo, su aguante y también sus fuerzas espirituales, porque en medio de su ardor
para ganar el juego, tiene que mantenerse dentro de las reglas, de los límites de lo permitido en
él’ (Huizinga, 1943, p. 25).
- ‘En las didácticas de las disciplinas y en los enfoques pedagógicos se valora la actividad juego
como una actividad que controla ansiedades, controla las expresiones de agresividad, facilita la
resolución de conflictos, entre otras’. Vergel, Rocha & León (2006, p.6).
Estratégico – Instrumental
- ‘El adecuado uso de los instrumentos que intervienen en el juego es fundamental para que el
juego cumpla una función muy importante en el desarrollo cognitivo del sujeto. El desarrollo de la
imaginación y de la actividad creativa está vinculado al uso del instrumento’ Vergel, Rocha &
León (2006, p.6).
Motriz - Corporal – Verbal
- ‘Las palabras con que solemos designar los elementos del juego corresponden, en su mayor
parte, al dominio estético. Son palabras con las que también tratamos de designar los afectos de
la belleza: tensión, equilibrio, oscilación, contraste, variación, traba y liberación, desenlace. El
juego oprime y libera, el juego arrebata, electriza, hechiza. Está lleno de las dos cualidades más
nobles que el hombre puede encontrar en las cosas y expresarlas: ritmo y armonía’ (Huizinga,
1943, p. 24).
- Los gestos contribuyen a la construcción de significado de conceptos matemáticos (Vergel,
2014).
Intervención heurística del profesor
- Desglosar el juego en subniveles: jugarlo primero con una ficha a cada lado de la escalera,
luego con dos fichas y así hasta llegar a cinco. Entre cada subnivel dar un tiempo prudente para
que la persona repita jugadas ganadoras.
- Permitir que la persona vuelva a jugar con dos o tres fichas. Por ejemplo, si está en un subnivel
de cinco fichas, que pueda volver a jugar con dos o con tres fichas para afianzar
procedimientos, estrategias y conjeturas.
- Si el jugador se encuentra atascado o parece que va a abandonar el juego, incluso si se han
llevado a cabo subniveles, conversar con él sobre procesos o jugadas que haya intentado o
sobre los caminos que quisiera explorar o retomar.
- Es importante que el profesor no permita que el jugador abandone el juego.
Hipótesis vinculadas al aprendizaje de las funciones
Según Stenn (1990):
- ‘La matemática, desde el punto de vista común, es una disciplina estática basada en fórmulas
aprendidas en las asignaturas escolares de aritmética, geometría, álgebra y cálculo. Pero fuera
de esta perspectiva, las matemáticas continúan creciendo con rapidez, incursionando en
nuevos campos y generando nuevas aplicaciones. La pauta de este crecimiento no son los
cálculos ni las fórmulas sino una búsqueda abierta de patrones’. P.7
- El jugador tiene una percepción más sólida de los cambios que ocurren en el juego,
empezando por la comprensión de que lo que pasa a un lado de la escalera, en algún
momento, del juego se replica al otro lado de la escalera. ‘Aprender a reconocer la simetría
constituye un entrenamiento para el ojo matemático’. P. 12.
Ilustración 3. Nivel 2. Intermedio de la THA del juego La Escalera
Trayectoria Real del juego La Escalera vinculada a hipótesis de aprendizaje de
las funciones - Fase 2
Tabla 21. Nivel 2. Intermedio
Descripción del nivel: el jugador es un practicante.
a. Se apropia del material y de las reglas y tiene una mayor experiencia debido a que ya maneja el juego
(Romero et al., 2013). Esto quiere decir que lleva a cabo un juego en un nivel de conocimiento y captación
de reglas.
2.1 Hipótesis de nivel
a. ‘En esta parte del juego se presenta la situación más favorable en su doble calidad de lúdica y
exclusivamente infantil, para dar lugar a un impulso de la vida social entre niños y jóvenes’. (Piaget, 2015,
p.104).
b. ‘En los juegos de reglas, los niños menores de 7 años, que reciben las reglas hechas por parte de los
mayores las consideran como “sagradas”, intocables y de origen trascendente. Por el contrario, los mayores
ven en la regla un producto del acuerdo entre coetáneos, y admiten que se pueda modificar con tal de
que haya consenso regulado democráticamente’ (Piaget, 2015, p.109).
2.2 Progresión del desarrollo
Componentes y momentos del juego tomados de Calderón, León & Orjuela (2010, p.3), complementados
ajustados a la trayectoria.
Afectivo – Actitudinal
a. ‘Entre las calificaciones que suelen aplicarse al juego se menciona la tensión. Este elemento desempeña
un papel especialmente importante. Tensión quiere decir: incertidumbre, azar. Es un tender hacia la
resolución. Con un determinado esfuerzo, algo tiene que salir bien’ (Huizinga, 1943, p. 24).
b. ‘En esta tensión se ponen a prueba las facultades del jugador: su fuerza corporal, su resistencia, su
inventiva, su arrojo, su aguante y también sus fuerzas espirituales, porque en medio de su ardor para ganar el
juego, tiene que mantenerse dentro de las reglas, de los límites de lo permitido en él’ (Huizinga, 1943, p. 25).
c. ‘En las didácticas de las disciplinas y en los enfoques pedagógicos se valora la actividad juego como una
actividad que controla ansiedades, controla las expresiones de agresividad, facilita la resolución de
conflictos, entre otras’. Vergel, Rocha & León (2006, p.6).
Evidencia
Qué muestra esta evidencia
- A un jugador (Niño 5) que ha llevado a cabo doce jugadas que han sido tomadas por el software. Este
software emite un documento en Excel que muestra porcentajes de determinadas emociones por cada una
de las jugadas. Así, el gráfico que se muestra en la evidencia, referencia en la parte horizontal las doce
jugadas (de la 1 a la 12) y en la parte vertical el porcentaje de las siguientes nueve emociones que el
software rastrea: engagement (compromiso), valence (valencia), contempt (desdén), surprise (sorpresa),
anger (enojo), sadness (tristeza), disgust (disgusto), fear (miedo) y joy (alegría). De estas nueve emociones, la
única que presenta un porcentaje negativo es valence porque el software no determina exactamente cuál
de las otras emociones presenta el jugador en esa jugada o porque considera como falso el grado de
naturalidad de la emoción. En esta sección solo se tienen en cuenta las emociones que el jugador presentó
en las doce jugadas que duró su juego, aún no se presentan las jugadas que este llevó a cabo.
Análisis y complementación de hipótesis:
- Se observa que en las primeras jugadas las emociones del jugador tienen poca presencia y estas empiezan
a tomar fuerza desde la jugada número cuatro en la que aparece una manifestación facial y corporal de
desdén. De la jugada cuatro a la once el jugador experimenta un sube y baja de emociones, en este caso,
el jugador Niño 5 pasa del desdén al compromiso y a la sorpresa, hasta llegar a un punto máximo de alegría
no sin antes manifestar presencia de miedo. Se considera que estas emociones dotan de sentido al juego y
viceversa, el juego se ve influenciado por la forma como el jugador lo asume. Es decir, existen relaciones
entre las emociones del gráfico del Niño 5 con las jugadas llevadas a cabo durante el juego y que más
adelante se detallan en la progresión del desarrollo Motriz - Corporal - Verbal.
- En relación con las hipótesis del nivel principiante, el jugador intermedio es más consecuente con su forma
de actuar, no está tan a la deriva de sus gestos y en cuanto a sus emociones hay manifestaciones con más
frecuencia que luchan contra otras que quieren aparecer con menos frecuencia. En este nivel se mantienen
comportamientos, emociones y expresiones corporales del jugador que ya habían sido manifestadas en el
nivel anterior; no es que el jugador pierda esta experiencia sino que la trae a colación y la consolida para el
desarrollo del juego. Estas emociones detalladas en este nivel muestran el sentido que el jugador dio al juego
y su relación con los movimientos ejecutados en cada jugada.
- La Interacción del jugador con el juego y la forma como el material está dispuesto influyen en cómo el
jugador lleva a cabo o no jugadas exitosas. En esta sección no solo se quieren resaltar las emociones que se
marcan en este nivel sino cómo el jugador pasa por cada una de estas emociones en diferentes momentos
del juego. Por supuesto que el jugador se mueve entre niveles, y sobre todo, entre los de principiante e
intermedio, pero lo que se quiere resaltar aquí es que el caso del Niño 5 se ubica en este nivel porque la
mayoría de sus acciones permiten establecerlo aquí, esto no quiere decir que no tenga experiencias todavía
asociadas al nivel de principiante.
2.2 Progresión del desarrollo
Componentes y momentos del juego tomados de Calderón, León & Orjuela (2010, p.3), complementados
ajustados a la trayectoria.
Estratégico – Instrumental
a. ‘El adecuado uso de los instrumentos que intervienen en el juego es fundamental para que el juego
cumpla una función muy importante en el desarrollo cognitivo del sujeto. El desarrollo de la imaginación y de
la actividad creativa está vinculado al uso del instrumento’ Vergel, Rocha & León (2006, p.6).
Evidencia 1 Evidencia 2
Qué muestra esta evidencia
- En la evidencia 1 se observa el prototipo del juego La Escalera que consta de: escalera de nueve casillas
para un juego de cuatro piezas a cada lado. Un sistema de software que capta las emociones del jugador a
través de la cámara (resaltada en el cuadro amarillo), que transmite al computador y que emite un
documento en Excel con las jugadas y emociones que lleva a cabo el jugador. Asimismo, se incluyen sonidos
para favorecer a la población ciega. Cada escalón tiene su tono representativo según la escala musical: Do,
Re, Mi, Fa, Sol, La, Si, Do, Do sostenido y Re sostenido. A medida que se pone una caja sobre una casilla se
reproduce un sonido en el parlante. Este también reproduce el avance en los niveles, por ejemplo, cuando
hay dos cubos el sonido es diferente a cuando hay uno a cada lado. En general, el parlante lo que permite
es reproducir momentos para los cuales el programa está diseñado: si el jugador pierde, si gana, los sonidos
de cada escalón al poner una pieza, y los niveles a los que va avanzando el jugaldor.
- Asimismo, las luces verdes en cada escalón indican que esa pieza (cubo) corresponde a esa casilla. Es
decir, el instrumento está programado para avisarle al jugador si esa pieza está bien ubicada o no.
- En la evidencia 2 se muestra una adaptación de las piezas en relación con las fichas del nivel 1 de
principiante. Ahora, las fichas son cubos que se diferencian también por su color pero también por su textura.
Las piezas de color rojo están impresas en impresora 3D y las de color verde son cajas de madera con textura
lisa, ambas fácilmente de manejar y diferenciar.
Análisis y complementación de hipótesis:
- En el nivel intermedio hay un tránsito entre el reconocimiento que se hace en el nivel principiante y la
práctica que ahora realiza el jugador. Con este prototipo se permite un juego en el que el jugador no solo
realiza ejercicios sino que los pone a prueba. En este sentido, como lo expone Huizinga (1943) ‘en nuestra
consciencia el juego se opone a los serio’. p 17, pero en este nivel, en un proceso como en el del juego La
Escalera, hay un momento en el que el jugador trasciende ese espacio no serio y piensa con más
detenimiento y reflexión cada jugada, por eso, los bombillos de luz verde, propician un espacio idela para
que el jugador no solo realice juegos de prueba sino que practique movimientos y los piense a profundidad.
- Es importante resaltar cómo se sinte el jugador con la experiencia que lleva a cabo con un prototipo como
este.
2.2 Progresión del desarrollo
Componentes y momentos del juego tomados de Calderón, León & Orjuela (2010, p.3), complementados
ajustados a la trayectoria.
Motriz - Corporal – Verbal
a. ‘Las palabras con que solemos designar los elementos del juego corresponden, en su mayor parte, al
dominio estético. Son palabras con las que también tratamos de designar los afectos de la belleza: tensión,
equilibrio, oscilación, contraste, variación, traba y liberación, desenlace. El juego oprime y libera, el juego
arrebata, electriza, hechiza. Está lleno de las dos cualidades más nobles que el hombre puede encontrar en
las cosas y expresarlas: ritmo y armonía’ (Huizinga, 1943, p. 24).
b. Los gestos contribuyen a la construcción de significado de conceptos matemáticos (Vergel, 2014).
Evidencia
Qué muestra la evidencia
- El documento de Excel arrojado por el sistema con cada una de las doce jugadas del jugador Niño 5 y las
emociones asociadas a cada jugada. En rojo están resaltadas las emociones positivas y en azul las
emociones negativas
Análisis y complementación de hipótesis:
- En este nivel el jugador no solo realiza juegos de pruebas y de ejercicios ahora también sus jugadas van un
poco más allá de los ensayos y entran en un campo en el que la repetición requiere de más consciencia.
Este jugador está en un nivel intermedio porque su práctica toma en cuenta elementos de jugadas anteriores
y no es una repetición superflua o per se, sus jugadas son más deliberadas.
- El jugador Niño 5 es un practicante porque sabe cuándo volver a empezar, no necesita llegar hasta la parte
final de una jugada no prometodora porque el consolidar la regla es precisamente darse cuenta de cómo
esta se incumple inmediatamente se ejecuta, e incluso antes. Si el jugador se quedara en un nivel
principiante podría repetir varias veces la misma jugada y no saldría de ella porque no ha tomado
consciencia de los momentos de obstrucción del juego que deben superar.
-Todas las expresiones del grupo conceptual, cuya conexión solo vagamente se capta, y al que pertenecen
las de juego: risa, diversión, broma, lo cómico y lo necio, tienen de común el carácter inmediato, no
derivable, de su concepto, carácter que ya adscribimos al juego. Su ratio reside en una capa especialmente
profunda de nuestro ser espiritual’. p.17.
- Se señalan por ejemplo los valores que presenta el segmento de alegría en el jugador en relación con el
enojo y el compromiso, al respecto Huizinga (1954) señala ‘la risa se halla en cierta oposición con la seriedad,
pero en modo alguna hay que vincularla necesariamente al juego’. p.18.
2.4 Hipótesis vinculadas al aprendizaje de las funciones
Según Stenn (1990):
a. ‘La matemática, desde el punto de vista común, es una disciplina estática basada en fórmulas
aprendidas en las asignaturas escolares de aritmética, geometría, álgebra y cálculo. Pero fuera de esta
perspectiva, las matemáticas continúan creciendo con rapidez, incursionando en nuevos campos y
generando nuevas aplicaciones. La pauta de este crecimiento no son los cálculos ni las fórmulas sino una
búsqueda abierta de patrones’. p.7
b. El jugador tiene una percepción más sólida de los cambios que ocurren en el juego, empezando por la
comprensión de que lo que pasa a un lado de la escalera, en algún momento, del juego se replica al otro
lado de la escalera. ‘Aprender a reconocer la simetría constituye un entrenamiento para el ojo matemático’.
p. 12.
Evidencias
Qué muestra la evidencia
Se ha desarrollado el juego llevado a cabo por el jugador Niño 5 pero ahora visto desde La Escalera y no
desde el documento de Excel. Los números al costado izquierdo indican el número de la jugada y los signos
de admiración de cierre, las jugadas en las que el jugador comete algún error y posteriormente repara el
patrón.
Análisis y complementación de hipótesis:
- Existe una percepción del jugador hacia una estrategia ganadora. Una intuición de sentirse cerca o lejos
de estrategias ganadoras. Relaciones entre disfrute del juego y la armonía de la regla y saber que se está
yendo hacia una estrategia ganadora.
- Casos en que el Y (número mínimo de movimientos) se “valida” porque el proceso mediante el cual se
obtiene sigue ciertos patrones de simetría y de recurrencia (en especial, la identificación de bucles). Segura
& Malagón (2006, p.15).
- El jugador ha captado patrones de juego. ‘Al aprender a representar los patrones matemáticos se
incorpora el don de la vista como un aliado invaluable de la educación matemática’. p.13
Sobre las funciones en el nivel 2. Intermedio
Las hipótesis planteadas para este nivel refieren a la búsqueda e identificación
de patrones por parte del jugador. Los patrones en este nivel consisten en cómo
el jugador encuentra regularidades a lo largo del juego y cómo estos se van
articulando a la solución del juego.
En este sentido, English et al., (2016) señalan:
‘Para matemáticos y educadores de matemáticas se encarnan caminos
afectivos, intelectuales y cualitativos de las artes, que ofrecen nuevas formas de
llegar a los demás y de comunicar la belleza de los patrones matemáticos.
Muchas personas no tienen la formación o el interés educativo de acceder a los
patrones matemáticos a través del lenguaje proposicional especializado de las
pruebas, explicaciones, y ecuaciones, pero la mayoría puede apreciar las
cualidades estéticas de las matemáticas cuando se expresan mediante música,
danza, pintura, fotografía, escultura, cine, teatro, entre otros’. p. 79.
Así, en este nivel intermedio, se puede observar cómo un jugador recorre los
estados ideales del juego según los subniveles del juego propuestos. Por ejemplo,
si se considera el juego a partir de tener dos fichas a cada lado de la escalera (4
y 5) se tiene dos posibilidades de desarrollo dentro de la THA, una en la que se
inicia con la ficha verde (4) y otra en la que se inicia con la ficha roja (5). Así, en
la tabla del subnivel 1 se muestra cómo un jugador de la TRA de los que participó
en la segunda fase de exploración, va siguiendo la situación de juego ideal y va
capturando en las diversas jugadas patrones del juego.
Subnivel 1
Jugada THA TRA
Nº. Inicia 4 Inicia 5 Jugador
1 4 0 5 4 0 5 4 0 5
2 0 4 5 4 5 0 4 5 0
3 5 4 0 0 5 4 0 5 4
4 5 0 4 5 0 4 5 0 4
En este sentido, no solo es considerar cómo la persona capta el patrón sino
cómo lleva a cabo procesos de recomposición de patrones y finalmente va
haciendo emerger con el juego llevado a cabo por las manos, los ojos y la
mente, patrones de los que no es totalmente consciente pero que está en
proceso de formulación.
Por ejemplo, en el caso del juego con dos fichas a cada lado, para el mismo
jugador, este lleva a cabo procesos de ajuste y recomposición de los patrones
como se observa en las jugadas 4, 5 y 6. Se considera así, que estos elementos le
permiten hacen emerger patrones de juego así este sea o no consciente de él.
Tras la TRA se considera que en este nivel se generan acciones de juego en las
que se llevan a cabo procesos de búsqueda y formulación de patrones en un
estado inicial de juego.
Subnivel 2
Jugada THA TRA
Nº. Inicia 4 Inicia 5 Jugador
1 3 4 0 5 6 3 4 0 5 6 3 4 0 5 6
2 3 0 4 5 6 3 4 5 0 6 3 4 5 0 6
3 3 5 4 0 6 3 0 5 4 6 3 0 5 4 6
4 3 5 4 6 0 0 3 5 4 6 3 5 0 4 6
5 3 5 0 6 4 5 3 0 4 6 3 4 5 0 6
6 0 5 3 6 4 5 3 6 4 0 3 0 5 4 6
7 5 0 3 6 4 5 3 6 0 4 0 3 5 4 6
8 5 6 3 0 4 5 0 6 3 4 5 3 0 4 6
9 5 6 0 3 4 5 6 0 3 4 5 3 6 4 0
10 5 3 6 0 4
11 5 0 6 3 4
12 5 6 0 3 4
Tejido entre fases de la metodología y los resultados - Fase 3
Recolección de la información Nivel 3. Experto
Tabla 22. Sesión 9 - Abril 15 de 2018
Jugador Brandon María
Sexo Masculino Femenino
Edad 15 años 48 años
Condición Sin discapacidad Sin discapacidad
Ocupación Estudiante de grado décimo Administradora de empresas
Tabla 23. Sesión 9 - Abril 15 de 2018
Jugador Orlando Tatiana
Sexo Masculino Femenino
Edad 46 años 37 años
Condición Ciego Ciega
Ocupación Técnico en Sistemas Fisioterapeuta
Tabla 24. Otras sesiones desarrolladas en el marco del laboratorio
Jugador Mónica Leidy
Sexo Femenino Femenino
Edad Sin registro Sin registro
Condición Sin discapacidad Sin discapacidad
Ocupación Sin registro Estudiante grado décimo
Tabla 25. Otras sesiones desarrolladas en el marco del laboratorio
Jugador Niño 1 Gerson
Sexo Masculino Masculino
Edad Sin registro Sin registro
Condición Sin discapacidad Sordo
Ocupación Sin registro Estudiante grado décimo
Trayectoria Hipotética del juego La Escalera vinculada a hipótesis de aprendizaje
de las funciones - Fase 3
Tabla 26. Nivel 3. Experto
Descripción del nivel
El jugador es un estratega: genera estrategias de control y dominio por anticipación de jugadas
(Romero et al., 2013). Esto quiere decir que lleva a cabo un juego en un nivel simbólico y de
construcción.
Hipótesis de nivel
- Formula estrategias ganadoras e identifica patrones ganadores y no asertivos del juego.
- A partir del juego simbólico, se desarrollan juegos de construcción, impregnados todavía al
comienzo de simbolismo lúdico, pero que tienden después a constituir verdaderas adaptaciones
o soluciones de problemas y creaciones inteligentes. (Piaget, 2015, p.62).
Progresión del desarrollo
Componentes y momentos del juego tomados de Calderón, León & Orjuela (2010, p.3),
complementados ajustados a la trayectoria.
Afectivo – Actitudinal
- ‘<<Algo está en juego>>: esta frase expresa de la manera más rotunda la esencia del juego.
Este <<algo>> no es, sin embargo, el resultado material del juego; por ejemplo, que la pelota se
quede en el agujero, sino el hecho ideal de que el juego sale bien, resulta. Este salir bien
proporciona al jugador una satisfacción que puede mantener más o menos tiempo. Esto lo
vemos ya en los juegos de paciencia’ (Huizinga, 1943, p. 72).
- ‘Se lucha o juega <<por algo>>. En primera y última instancia se lucha y se juega por la victoria
misma; pero a esta victoria se enlazan diferentes modos de disfrutarla: en primer lugar, como
exaltación de la victoria, como triunfo’ (Huizinga, 1943, p. 73).
Estratégico – Instrumental
- ‘Los participantes de los juegos desarrollan reglas que además de determinar los límites del
juego, permiten sancionar como válidas o no las jugadas realizadas y finalmente establecer la
finalización del juego’ Vergel, Rocha & León (2006, p.3).
Motriz - Corporal – Verbal
- ‘El uso de formas de representación adecuadas no solo se vincula a las necesidades internas
del juego, sino también a formas de organizaciones discursivas como la narración y la
explicación, la argumentación y eventualmente como desarrollo de esta última la demostración.
La primera es necesaria para la presentación del juego, de sus reglas y de sus instrumentos; la
segunda es necesaria para la comunicación de las estrategias usadas; la tercera para justificar la
legitimidad de sus estrategias y la última para garantizar el resultado pretendido en la jugada
final (como los juegos que exigen el menor número de movimientos)’ (Vergel, Rocha & León,
2006, p.8).
‘Las acciones instrumentales son transformadas en acciones simbólicas’. (Armstrong & Wilcox,
2002).
Intervención heurística del profesor
- Motivar una conversación más extensa con el jugador una vez que haya encontrado patrones
y jugadas ganadoras.
- Preguntarle si puede hacerlo con los ojos cerrados, si puede repetir varias veces el objetivo,
cambiar constantemente el orden de las fichas.
- Permitirle a la persona que comparta su experiencia como jugador.
Hipótesis vinculadas al aprendizaje de las función
Según Stenn (1990):
‘… hoy en día existen muy pocas ramas de las matemáticas que no guarden alguna relación
con el cambio. Esto se debe en parte a que las matemáticas son una estructura altamente
integrada e interconectada’. p.195.
- ‘La cultura matemática contemporánea se construye aprendiendo a pensar
algorítmicamente’. p.13
- ‘Aplicar estas técnicas al mundo exterior, y controlar un universo cambiante para nuestro mejor
provecho’. p.193.
Ilustración 4. Nivel 3. Experto de la THA del juego La Escalera
Trayectoria Real del juego La Escalera vinculada a hipótesis de aprendizaje de
las funciones - Fase 3
Tabla 27. Nivel 3. Experto
3.1 Descripción del nivel
a. El jugador es un estratega: genera estrategias de control y dominio por anticipación de jugadas (Romero et al.,
2013). Esto quiere decir que lleva a cabo un juego en un nivel simbólico y de construcción.
3.2 Hipótesis de nivel
a. Formula estrategias ganadoras e identifica patrones ganadores y no asertivos del juego.
b. A partir del juego simbólico, se desarrollan juegos de construcción, impregnados todavía al comienzo de
simbolismo lúdico, pero que tienden después a constituir verdaderas adaptaciones o soluciones de problemas y
creaciones inteligentes. (Piaget, 2015, p.62).
3.3 Progresión del desarrollo
Componentes y momentos del juego tomados de Calderón, León & Orjuela (2010, p.3), complementados
ajustados a la trayectoria.
3.3.1 Afectivo – Actitudinal
a. ‘<<Algo está en juego>>: esta frase expresa de la manera más rotunda la esencia del juego. Este <<algo>> no
es, sin embargo, el resultado material del juego; por ejemplo, que la pelota se quede en el agujero, sino el hecho
ideal de que el juego sale bien, resulta. Este salir bien proporciona al jugador una satisfacción que puede
mantener más o menos tiempo. Esto lo vemos ya en los juegos de paciencia’ (Huizinga, 1943, p. 72).
b. ‘Se lucha o juega <<por algo>>. En primera y última instancia se lucha y se juega por la victoria misma; pero a
esta victoria se enlazan diferentes modos de disfrutarla: en primer lugar, como exaltación de la victoria, como
triunfo’ (Huizinga, 1943, p. 73).
3.3.3 Motriz - Corporal – Verbal
a. ‘El uso de formas de representación adecuadas no solo se vincula a las necesidades internas del juego, sino
también a formas de organizaciones discursivas como la narración y la explicación, la argumentación y
eventualmente como desarrollo de esta última la demostración. La primera es necesaria para la presentación del
juego, de sus reglas y de sus instrumentos; la segunda es necesaria para la comunicación de las estrategias
usadas; la tercera para justificar la legitimidad de sus estrategias y la última para garantizar el resultado pretendido
en la jugada final (como los juegos que exigen el menor número de movimientos) Vergel, Rocha & León (2006,
p.8).
b. ‘Las acciones instrumentales son transformadas en acciones simbólicas’. (Armstrong & Wilcox, 2002).
Secuencia de evidencias
Qué muestra esta evidencia
- En este apartado se vinculan dos de los indicadores de la progresión del desarrollo. La primera secuencia de
evidencia surge del proceso de captación de expresiones y emociones del jugador por medio de tecnologías
desarolladas por Páez (2018). Las imágenes de la secuencia muestran expresiones de Mónica en diferentes
momentos en los que cambia de estado en el juego, es decir, cuando mueve un ficha. Las cincon imágenes
muestran valores comprendidos entre 0 y 100 de momentos del jugador en los que está: relajado, sonriente,
risueño, decepcionado, furioso y atento. Asimismo, se muestran movimientos generados en torno a la cara del
jugador, como: parpadear, ruborizarse, gritar, guiñar el ojo, morderse el labio, cerrar los ojos, abrir la boca, sonreír y
mover la mandíbula, con valores igualmente comprendidos entre 0 y 100.
Análisis y complementación de hipótesis
- Con el sistema de captación de expresiones y emociones del juego se permite la observación de los aspectos
considerados desde el primer nivel de principiante, pero ahora más consolidados respecto a los valores numéricos
que aparecen según van surgiendo determinadas expresiones y emociones. En este nivel de experto no se
alcanza a determinar de manera profunda (por ahora) cuándo el jugador pasa de un nivel intermedio a experto
porque, por ejemplo, los valores de Mónica para los indicadores de sonriente y risueño no superar en ningún
momento el valor de 1, estos oscilan entre 0,22, 0,5 y 0,7. No obstante, esta categorización de nivel experto se
logra de mejor forma con el grafo del jugador que emite el sistema.
Evidencia 1 Evidencia 2
En una sesión, el jugador explica al profesor cómo
lleva a cabo un juego con cuatro fichas a cada lado.
Posteriormente, en otra
sesión, el profesor pregunta
en LSC a Gerson por el
número de movimientos que
se hacen si se tienen cuatro
fichas de un color a cada
lado de la escalera
El jugador realiza la tabla
indicando movimientos de
las fichas según sea roja o
amarilla.
Qué muestran estas evidencias
- Dos momentos de la experiencia llevada a cabo con Gerson. El primero se expone en la evidencia 1 en la que se
muestra una sesión que el jugador lleva a cabo del juego y en la que explica cómo lo va desarrollando. Y un
segundo momento en el que se pide al jugador que responda una serie de preguntas sobre la cantidad de
movimientos en cada uno de los subniveles del juego, es decir, con una ficha, con dos, y así hasta llegar a seis
fichas. En la evidencia 2 se muestra la tabla correspondiente al proceso que Gersón lleva a cabo para el subnivel
de cuatro fichas a cada lado de la escalera. Las dos evidencias hacen parte de aspectos encontrados en
Rodríguez (2018).
Análisis y complementación de hipótesis
- En la evidencia 1, después de que el jugador ha llevado a cabo el juego, se empieza por un proceso de
indagación en el que el jugador no solo es consciente del patrón que logró llevar a cabo sino que comunica
cómo este emerge. Gerson no está en una etapa de buscar patrones sio de revelarlos, en este sentido Stenn
(1990) comenta que ‘ver y revelar patrones ocultos es lo que mejor hacen los matemáticos’. p.7., y esto es lo que
en parte ha logrado Gerson.
3.4 Hipótesis vinculadas al aprendizaje de las función
Según Stenn (1990):
‘… hoy en día existen muy pocas ramas de las matemáticas que no guarden alguna relación con el cambio. Esto
se debe en parte a que las matemáticas son una estructura altamente integrada e interconectada’. p. 195.
- ‘La cultura matemática contemporánea se construye aprendiendo a pensar algorítmicamente’. P. 13
- ‘Aplicar estas técnicas al mundo exterior, y controlar un universo cambiante para nuestro mejor provecho’. p.
193.
3.2 Estratégico – Instrumental
- ‘Los participantes de los juegos desarrollan reglas que además de determinar los límites del juego, permiten
sancionar como válidas o no las jugadas realizadas y finalmente establecer la finalización del juego’ Vergel, Rocha
& León (2006, p.3).
Evidencia 1 Evidencia 2
Grafo de un jugador ideal Grafo de un jugador en nivel intermedio.
Qué muestran estas evidencias
- Ambas evidencias son producto de un proceso tecnológico desarrollado por Páez (2018) cuyo resultado es un
grafo con todos los posibles movimientos que un jugador puede llevar a cobo cuando juego La Escalera, estos
puntos son denominados nodos, como los que se muestran en el proceso del nivel intermedio de la trayectoria, y
son corresponden a los puntos negros del grafo. En la evidencia 1, se muestra el grafo ideal del jugador de La
Escalera, es decir, el de una persona que lleva a cabo la menor cantidad de movimientos posibles para el subnivel
de cuatro fichas a cada lado. El color azul indica que el jugador pasó una sola vez por los nodos del juego.
- Por su parte, en la evidencia 2 se muestra el grafo de un jugador que lleva a cabo el juego La Escalera, cuyo
desempeño se encuentra en entre principiante y experto. El color verde presente en el grafo indica que el jugador
pasó muchas veces por los nodos del juego, es decir, que reitera varias veces las mismas jugadas. En este sentido,
los grafos representan estados reales del juego que lleva a cabo la persona y produce marcas de los nodos
visitados con mayor frecuencia.
En este sentido, los grafos se convierten en mecanismos que permiten confrontar las hipótesis de la trayectoria y
jugadores expertos del juego La Escalera.
Análisis y complementación de hipótesis:
- El jugador experto es capaz de completar el juego La Escalera desde los diferentes subniveles; con una, dos, tres,
cuatro, cinco y hasta seis fichas a cada lado.
- El jugador ha llevado a cabo el juego y ha pasado por una experiencia en la que ha tenido que determinar
diferentes momentos de cambio. Por ejemplo, ha detallado la importancia o no del lado de la escalera en el que
se ubican las fichas, la recurrencia o no de los pasos ganadores cuando se tienen una ficha a cada lado o
cuando se tienen dos, o se tienen tres; la diferencia o no de que se empiece con una ficha de un color o de otro.
- lleva a cabo una experiencia en la que ha atravesado momentos a partir del cuerpo, en los que ha guardado
una memoria que le permite un paso siguiente hacia la formalización de las funciones.
- El jugador que inicia un nivel experto ha identificado cambios del juego y ha encontrado patrones que identifica
visual, sonora o corporalmente y que ahora logra representar a través de otras formas, por ejemplo, escritas. Estos
aspectos le permitirán estructurar las formas del juego y desarrollar algoritmos y fórmulas alrededor de él.
Evidencia 1 Evidencia 2
Grafo del juego llevado a cabo por Mónica. Grafo del juego llevado a cabo por Niño 1.
Qué muestra estas evidencias
- Los grafos de las evidencias dan cuenta de jugadores que se inician en un nivel experto. En la evidencia 1, se
muestra el grafo del juego llevado a cabo por Mónica y en la evidencia 2, se muestra el grafo del jugador
denominado Niño 1.
Análisis y complementación de hipótesis
- En el caso del juego de Mónica, este se sitúa en un principio de experto porque su grafo se asimila de alguna
manera a la forma del grafo ideal. Pese a que Mónica ha enfrentado un inicio de juego en el que ha realizado
varias veces la misma jugada, aspecto que se observa con el cambio de color de los primeros nodos que no son
propiamente azules, la jugadora ha logrado llevar a cabo el juego superando etapas de prueba.
Evidencia 1 Evidencia 2 Evidencia 3
Patrones corporales de la jugadora
Conteo de los movimientos mínimos para
cada uno de los niveles, realizado por la
jugadora
Representación en tabla de
los movimientos mínimos
para el subnivel de cinco
fichas a cada lado.
Qué muestra estas evidencias:
- La evidencia 1, muestra el patrón corporal de Leidy, al que Rodríguez (2018) señala como: mano, mirada
cabeceo. Este patrón, va en consonancia con el movimiento de las fichas y guarda memoria al plasmarse de
forma escrita.
- En la evidencia 2, se observa una parte del proceso de conteo que Leidy lleva a cabo para encontrar el menor
número de movimientos para cada uno de los subniveles del juego, es decir, dos, tres, cuatro y cinco fichas del
juego a cada lado.
- La evidencia 3, se encuentra una representación en forma de tabla en que la escribe cómo llegó a obtener el
menor número de movimientos para el subnivel de cinco fichas a cada lado.
Análisis y complementación de hipótesis:
- Es en este nivel de juego se observa que el jugador no solo realiza pruebas y ejercicios sino que ahora sus jugadas
entran al campo de comunicar patrones encontrados. En este sentido, Rodríguez (2018) establece el vínculo entre
las expresiones emitidas por la LSC, el momento de juego y el siguiente patrón que encuentra Leidy y que genera
la tabla de la evidencia 3: 1,2,2,1,1,1,2,2,2,2,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,2,2,2,2,1, 1,1,2,2,1. Asimismo, Gerson emite
con el movimiento de las fichas y en en lengua de señas el siguiente patrón, y el patrón que el jugador expresó en
LSC y con sus manos. RAARRRAAAARRRRRAAAARRRAAR.
- Se resalta que se muestran los procesos primarios que lleva a cabo un jugador en el nivel experto, en los que
empieza a vislumbrar algunos elementos de los mostrados por Mac Lane (1990) y señalados en la fundamentación
de niveles. Para desarrollarse plenamente en este nivel se requiere de una ampliación del proceso llevado a cabo
sobre el juego y esto sucede cuando se implementan talleres como los propuestos por Romero et al (2013) en los
que el jugador alcanza una percepción más profunda del juego y se adentra formalmente en las funciones.
Sobre las funciones en el nivel 3. Experto
En este nivel las hipótesis refieren a los procesos en los que jugador es un
estructurador de los dos niveles anteriores, es decir, entre un identificador de
cambios en el juego y un buscador de patrones. Asimismo, se amplía la situación
inicial a la que además de resolver el juego, ahora el jugador puede pasar a la
experiencia de pensarlo sin necesidad de jugarlo. En este sentido, empieza a
llevarse a cabo un proceso en torno a cómo las experiencias vividas en los
primero niveles pueden materializarse hacia la consolidación del concepto de
función.
En este sentido Kaput (2008) señala que dos componentes centrales del
razonamiento algebraico son: la generalización y la expresión de
generalizaciones, y el razonamiento como acción sintáctica guiada entre
símbolos. A través de estos componentes el álgebra se considera por medio de
varios aspectos, uno de ellos corresponde al álgebra como el estudio de las
funciones, las relaciones y la variación.
Particularmente, Kaput (2008) señala:
‘la generalización hacia una idea de función consiste en que, con la
generalización se puede describir una variación sistemática de elementos a través
de algún dominio. El aspecto sintáctico del álgebra generalmente se aplica para
cambiar la forma de expresiones que denotan regularidades, al comparar
diferentes expresiones de un patrón para determinar si son equivalentes, o para
determinar cuándo las funciones toman valores particulares (por ejemplo, raíces)
o si satisfacen varias restricciones (construir y resolver ecuaciones). p.13.
Así, se espera que además de resolver el juego, el jugador experto pueda
consolidar proceso en torno a:
• El establecimiento de enunciados del tipo: Si A es el número de fichas del
juego y B el número de movimientos mínimo, entonces bajo qué
condiciones A se relaciona con B.
• Establecer el tamaño de una magnitud del juego en relación con el
tamaño de otra y cómo se pueden generar dependencias entre ellas.
• La elaboración de reglas que permitan determinar cuándo al aplicar la
regla a una variable se produce otro determinado valor. En este caso, las
variables son fichas del juego y número de movimientos mínimo y las reglas
se pueden constituir como fórmulas.
• La posibilidad de ampliar las posibilidades de representación y no
solamente pensar el juego a través de fórmulas, sino también por
experiencias que permitan sentir las descripciones de una curva, por
ejemplo, a través del sonido. Para esto, se puede ampliar la experiencia
hacia el uso de programas como Mathtrax, el cual al graficar funciones
genera un sonido que permite identificarlas.
• Dependencia entre las variables del juego que se pueden establecer a
través de una tabla de valores cuyas columnas corresponden a fichas del
juego y movimientos mínimos.
• Procesos de descripción de funciones polinómicas de grado dos que
modelen parte de la situación de juego.
Así, se considera que los anteriores aspectos permiten la comprensión inicial
de aspectos formales de las matemáticas. En este sentido, English et al., (2016)
señalan:
‘Consideramos que, con una mayor atención a las propiedades matemáticas de las
gráficas por medio de gestos corporales, el movimiento y la voz, así como a través de
imágenes vívidas, narrativas y metáforas, todos los estudiantes podrían mejorar su
conocimiento y comprensión de los gráficos de funciones matemáticas’. p. 88.
Tras la TRA se considera que en este nivel de experto el jugador logra articular
toda la trayectoria del juego a un inicio de una trayectoria de funciones
matemáticas.
Otros resultados
• Participación como ponente en el XXIII Encuentro de Geometría y sus
Aplicaciones. Realizado en la Universidad Nacional Pedagógica, sede
Bogotá, en calidad de ponente del taller: Investigación sobre trayectorias
de aprendizaje del pensamiento espacial en una educación geométrica
inicial.
• Postulación del artículo: Desarrollos tecnológicos y desarrollos didácticos.
Una relación necesaria en educación, a la Revista Científica de la
Universidad Distrital Francisco José de Caldas, en conjunto con Olga Lucía
León, John Jairo Páez y Gloria Rodríguez.
• Postulación de un artículo en el marco del proyecto ACACIA.
Conclusiones
A lo largo de la investigación se muestra un interés por establecer un tejido entre
trayectorias de aprendizaje, juegos, cuerpo, emociones y funciones
matemáticas, con el fin de permitir experiencias significativas de aprendizaje a
personas de poblaciones diversas. En este apartado se muestran las conclusiones
a partir de los siguientes elementos que hacen parte del objetivo general de la
investigación, desglosado en dos partes:
• Identificar una trayectoria de aprendizaje del juego La Escalera con
hipótesis que potencien el aprendizaje de funciones matemáticas, que
contemple elementos de la corporalidad y las emociones de los jugadores
Se ha identificado una THA del juego La Escalera con niveles que están dados
según experiencias de laboratorio llevadas a cabo con diferentes poblaciones y
con elementos teóricos sobre el juego y sus potencialidades didácticas. Esta THA
puede ser llevada a cabo con jugadores de los primeros años de la vida escolar
secundaria quienes se clasifican en los tres niveles que se identificaron en la
investigación:
Principiante: es un nivel que está consolidado tanto con las acciones que realiza
el jugador como con la experiencia que lleva a cabo a través de su cuerpo y las
emociones que manifiesta. El principiante es un reconocedor tanto de reglas
como de posibilidades de juego y en cuanto a las hipótesis de aprendizaje de las
funciones lleva a cabo procesos de identificación de cambios y
transformaciones del juego que luego consolidar búsquedas y formulación de
patrones.
Intermedio: es un nivel en el que el jugador es un practicador de jugadas más
consolidadas. Su experiencia de prueba y de ejercicios se va consolidando hacia
la captación de movimientos ganadores y no ganadores. En cuanto al
Experto: es el nivel que aún falta por revelar más elementos que permitan
catalogar a un jugador en este nivel. Se deben propiciar aún más espacios de
investigación para caracterizar de forma más sólida las hipótesis sobre el tejido
de juego, emociones y funciones matemáticas.
La THA del juego La Escalera hace parte de otra meta trayectoria de funciones,
con esta se identifican hipótesis para entrar a las funciones y luego trabajarlas
como un objeto matemático formal, que se puede operar mentalmente y cuyos
procesos de aprendizaje se fomentan con el juego a través de una experiencia
física que tiene una connotación mental. Se considera que el juego La Escalera
permite vislumbrar una estructura de funciones matemáticas porque da razón de
experiencias que giran en torno a la búsqueda e identificación de cambios, de
regularidades, de patrones y de modelaciones. En este sentido, los elementos de
la estructura mostrada apuntan a identificar un sistema que vincula situaciones
de juego con situaciones de aprendizaje, no se están determinando solo
procesos de emerger patrones o fórmulas, ni de objetos aislados sino de
establecer relaciones entre el juego y lo que este propicia.
Tampoco se trata de los movimientos o jugadas realizadas sino de las
relaciones de estas con el cuerpo del jugador. A lo largo de la THA y la TRA se
logran establecer procesos de organización del juego, de conexión con
aspectos emocionales y corporales y con posibilidad de asociación a una
trayectoria más compacta y completa de funciones. La THA del juego no genera
de forma directa la formalidad y el rigor de las matemáticas pero sí potencia la
adquisición de saberes y nociones que permiten hacer dicha transición hacia la
parte formal. Si bien los jugadores no obtienen un lenguaje formal y de rigor sobre
las funciones, sí viven experiencias de aprendizaje que les permiten pasar de la
informalidad a la formalidad de una manera más significativa.
• y que fomente la participación de poblaciones diversas en el aprendizaje
de las matemáticas, desde la experiencia con poblaciones sordas y
ciegas
Es importante integrar este enfoque de trayectorias a diferentes tipos de
poblaciones ya que se amplían las posibilidades de enriquecer hipótesis que
favorezcan a la mayor cantidad de jugadores. Así, esta investigación siguió
trabajando bajo el enfoque de promover diferentes diseños matemáticos que
reconozcan e incluyan en el trabajo cooperativo a toda una comunidad, que
fomente el trabajo colaborativo logrando así experiencias significativas hacia
unas matemáticas con todos y para todos. Se busca que el jugador empiece por
el camino que más le quede fácil, hablar, observar, buscar relaciones, cambios,
dependencias, patrones. Un que jugador siempre aprende.
En general, la trayectoria trata de girar en torno a diferentes poblaciones como
lo son: estudiantes con necesidades educativas especiales (sordos, ciegos, entre
otros), personas que ven y que oyen, mujeres, hombres, niños de varias edades y
profesionales puesto que las ventajas que este método de enseñanza tiene son
significativas para todos los miembros involucrados en estas.
Es importante que los docentes investigadores busquen la construcción y
el desarrollo de diferentes experiencias que propicien la comprensión de
conceptos matemáticos en los estudiantes y por ello, al realizar este tipo de
investigaciones permite reflexionar sobre las prácticas educativas y en este caso,
como las trayectorias, con un enfoque que permite al docente asumir roles de
investigador y potenciar, mediante el juego la adquisición, de nociones y
conceptos matemáticos involucrando más a los estudiantes dentro de su
proceso de formación.
Por otra parte, es importante tener presente que esta investigación es de tipo
exploratorio y que pretende ser una apuesta por investigar y empezar a
profundizar sobre los juegos dentro de los procesos de enseñanza y aprendizaje
como grandes dispositivos que permiten fomentar la comprensión de diferentes
conocimientos involucrando emociones, los gestos y la corporalidad de los
estudiantes puesto que son herramientas que se pueden vincular a la clase de
matemáticas.
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Anexos
