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UNI DAD 2
TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
Objetivos
Geometría analítica
49
Introducción
funciones trigonométricas
Variables: x, y z.
dependientes independientes xx
Constante: numérica absoluta arbitraria
a, b, c,
Funciones: función de una variable
2.1. Funciones circulares
50
funciones circulares
xy F(u x y
n n nn
Ejemplo 1
F(u x y
Solución
Geometría analítica
51
F(u = FF(u = F(F(u = F(F(u = F(F(u = F(2
F(u = FF(u = FF(u = FF(u = FF(u = F
x yF(u x y
u
2.1.1. Círculo unitario
Cuando se habla de círculo unitario se considera que éste tiene un radio cuya magnitud es la unidad.
52
El triángulo rectángulo ABC tiene por hipotenusa al segmento AB = c; asimismo, como lados adyacente y opuesto del ángulo A a los segmentos AC = b y BC = a respectivamente, además se observa que A, B y C también representan las medidas de los ángulos del triángulo, donde el ángulo A = u es agudo.
Geométricamente se sabe que los lados y ángulos de este triángulo son mutuamente dependientes, pero la trigonometría muestra la naturaleza de dicha dependencia y con base en las razones de los lados define las funciones trigonométricas. Las seis funciones trigonométricas del ángulo A, de acuerdo con el triángulo rectángulo, se definen como:
(1) (4)
(2) (5)
(3) (6)
Pero como c = 1, entonces se tiene que sen A = a y cos A = b, luego entonces F(u) = (b, a) = (cos A, sen A), por lo que el diámetro vertical del círculo unitario es considerado el eje de los senos, así como el diámetro horizontal el eje de los cosenos.
Puesto que las funciones trigonométricas se pueden representar por segmentos rectilíneos relacionados con el círculo trigonométrico o unitario, se denominan también funciones circulares.
2.1.2. Funciones circulares directas
funciones trigonométricas de cualquier ángulo
XOB POB x, y
Geometría analítica
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OQ = x QP = y OP = r OP radio.
x y 2 2
XOB
54
circulares directas
Ejemplo 2
Solución XOB
ángulo agudo c a
y b x
independiente de la posición P OB
OB OXOX
Geometría analítica
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2.1.3. Signos de las funciones circulares en los diferentes cuadrantes
Signos de las funciones trigonométricas
Tomando en cuenta la regla dada en la unidad anterior, para los signos de las abscisas y ordenadas de cualquier punto en el plano cartesiano y recordando que la distancia OP = r es siempre positiva, y con base en las funciones trigonométricas de la sección 2.1.2, tenemos que:
En el segundo cuadrante las funciones sen y csc son positivas, mientras que las restantes son negativas.
En el tercer cuadrante la tan y la cot son positivas y las restantes son negativas.
En el cuarto cuadrante el cos y la csc son positivas, pero las restantes son negativas.
56
Ejemplo 3
Solución
F F FF F
A A AA A
Ángulo sen cos tan cot sec csc
0° y 360° 0 1 0 1
90° 1 0 0 1
180° 0 –1 0 –1
270° –1 0 0 –1
Geometría analítica
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2.1.4. Dominio e imagen de las funciones trigonométricas
T F(t F(t+TT
Una función es un conjunto de pares ordenados de elementos, en los que ningún par tiene el mismo primer elemento. El conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados se llama dominio de la función, y el de los segundos elementos se llama imagen de la función.
En el ejemplo 1 sección 2.1 se dio la regla de correspondencia de las funciones circulares, en donde se expresa que a cada número real le corresponde un punto de la forma (x, y), es decir, que la recta numérica enrollada sobre la circunferencia es una función. Para mostrarlo en forma sintética se utiliza la notación F(u) = (x, y), donde u es un número real.
El dominio de las funciones trigonométricas son los números reales , y su imagen son los pares ordenados (x , y) asociados a cada número real u.
Ejemplo 4
F (u u F2(u uF F F
Solución u
F F FF2 F F
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2.1.5. Valores exactos de las funciones circulares en ángulos especiales
Funciones del ángulo de 45
Se puede trazar un triángulo cualquiera que satisfaga la condición de ser rectángulo e isósceles, asignándole a los catetos la longitud que se desee, aunque en el ejemplo se considerará que la longitud de los catetos sea la unidad, es decir, a = b = 1. Entonces observamos lo siguiente:
Utilizando el teorema de Pitágoras tenemos que además los ángulos A y B son de 45°. Al aplicar las funciones circulares directas obtenemos:
ca
b
Geometría analítica
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Funciones de los ángulos de 30 y 60
Dibujamos un triángulo equilátero ABD. Se traza la perpendicular BC de B a AD y se considera el triángulo ABC, en el que el ángulo A = 60 y el ángulo ABC = 30 Si se toma el lado más pequeño como unidad, es decir, si b = 1, se tendrá que c = AB = AD = 2; AC = 1; b = 1, como se observa en la figura 2.5:
Por lo tanto:
Análogamente, del mismo triángulo:
, ,
, ,
, .
Si escribimos estos resultados en forma de tabla tenemos:
b =
a
60
2.1.6. Gráfica de las funciones circulares
gráfica de la función
La gráfica de una función es el conjunto de puntos (x, y) en el plano cartesiano, en donde x está en el dominio de la función F y y = F(x).
En este caso la gráfica de las funciones trigonométricas se da como parejas ordenadas de la forma (u, F(u)), donde u es un número real, y F(u) es una pareja ordenada (x, y).
Ejemplo 5
Solución
Ángulo sen cos tan cot sec csc
30° 2
45° 1 1
60° 2
33
3
22
22
2 2
33
3
Geometría analítica
61
Ejemplo 6
Solución
62
Ejercicio 1
ABC C = 900
A a a b
2.2. Solución de ecuaciones trigonométricas
Las ecuaciones trigonométricas, lo mismo que las algebraicas, pueden ser de cualquier grado y simultáneas, asimismo, la raíz de una ecuación trigonométrica es el valor del ángulo que la satisface.
Geometría analítica
63
Una vez resuelta la ecuación algebraicamente, queda por resolver la parte trigonométrica; es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo se determina cuál es ese ángulo.
Las funciones trigonométricas de ángulos que difieren en un número exacto de vueltas son iguales, por lo que será necesario sumar o restar a las soluciones obtenidas, un múltiplo cualquiera de 360°.
En algunos casos es necesario utilizar identidades trigonométricas para la solución de las ecuaciones, por lo que éstas se presentan en el apéndice “A”.
Ejemplo 7
x x x
Solución x x x
x x = x =
x x x
x = °.
Ejemplo 8
x x
Solución x x
x x x x x
x x x x
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2.3. Ley de senos y ley de cosenos
Ley de los senos
Teorema. Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
Demostración
CD (h AB ABACD
A CAD
BCD
a
b
cc
ab
Geometría analítica
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AB
Ejemplo 9
ABC B C b
Solución
c
c
c
b
a
c
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AA A
a a
a
Ley de los cosenos
Teorema En un triángulo cualquiera el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.
a b c
a2 = b2 + c2 bc A
Demostración
2 2 2
2 2 2 2
C
a
b
c
C
c
ab
Geometría analítica
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DB = c AD
2 2 2 2
2 2 2 2
CAD
AD a2
CAD
AD = b DAC
A = – DAC
cos A = DAC
A
AD a2
A = 90 A a2 = b2 + c2
A
68
Ejemplo 10
ABCB = a = , c = b
Solución b
b
b
b
Geometría analítica
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2.3.1. Solución de triángulos
Cuando la solución de un problema determinado depende de la resolución de un triángulo, se debe considerar que un triángulo está compuesto de seis elementos, tres lados y tres ángulos.
Resolver un triángulo es encontrar los elementos que se desconocen, y puede resolverse si se conocen tres de sus elementos (por lo menos uno de ellos debe ser un lado). Se supone que las condiciones dadas deben ser compatibles, es decir, que es posible la construcción del triángulo con los elementos dados.
Ejemplo 11
C = 90 A b
Solución a
a a a
c
c
A + B + CB C ABB
70
Observación
Ejemplo 12
ABC a = b c
Solución
A
A A A
CC
C C
B
A + B + C B A + C
B
B
B
Geometría analítica
71
B B
B
2.3.2. Problemas de aplicación
Ejemplo 13
C c a
Solución A
A A A
b
b b
B
B B
B
c = a
?
?
b = ?
72
Ejemplo 14
A BC AC BC
ACB A B
Solución
AB
?
Geometría analítica
73
Ejercicio 2
1. ACB
2.
3.
4.
5. .
Ejercicios resueltos
1. ?
Solución
x
2.
Solución:
74
BC’ = CA
mm
=
3. x x x xx
0
2
‘
Geometría analítica
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Solución 2 x
x x = –2
x x x
x
x
xxx
4. x x 2x 2x, x.
Solución x xx
x.
x x x
x
76
x x x
x
xx
xx
5.
Solución
Geometría analítica
77
6.
Solución:
7. a a a
Solución
78
a aaa
aa
aa
aa
a a a aa a
a a a a a aa a
a a aa a
a
a aa a
a
a
aaa
aa
aa
a aa
a aa
a a aa a a
a aa a
a a
a a aa
a 2 a 2 a
a a a
8.
Solución
Geometría analítica
79
B B
C B b C
B B B
A a
A
A
a
a
40
b
A
C
c = ‘
80
a =
a + b +c
9. x x x x
Solución x x x
x x x x x xx
xxx
x xx x
xx
x
x xx x
xx
x x x x
x xx x x x x x x xx
x x
x
x x
x
Geometría analítica
81
10. x x x
Solución x xx x
x xx
x
x
x
x x
x x x
x x x
x
n
11. x x x0
Solución
x x
x x x x x
82
x x x
x x
x xx
x
x x
x
x
x =
x
x
Geometría analítica
83
Autoevaluación
1.
2.
3.
h ah ah ah a
4.
2
2
2
2
84
5.
6. BC AAB AC BAC AB AC
BAC 0
7.
8.
9.
Geometría analítica
85
10.
Ejercicios opcionales
1
2. CABP (AB P
C
3.
4.
5.
?
?
L
Geometría analítica
87
Respuestas a los ejercicios
c b B A B c
2 AC BD
a b
1
2
88
Respuestas a la autoevaluación
Respuestas a los ejercicios opcionales
L N P
