Unid.2 - Conjuntos

8/4/2019 Unid.2 - Conjuntos

1/22

UNIDAD II

Conjuntos


2/22

Indice

Conjuntos

Conjuntos 03

Formas de escribir un conjunto 04

Tipos de Conjuntos 04

Subconjuntos 06

Propiedades de los Subconjuntos 08

Ejercicios 08

Operaciones con conjuntos 09

Ejercicios 13

Propiedades de los Conjuntos 14

Problemas de aplicacin 16

Autoevaluacin 21


3/22

CONJUNTOS

En el lenguaje cotidiano, decimos un curso de Algebra, un montn de libros de matemtica,

un cajn de ropa, la ciudad de Concepcin , etc., es decir, usamos muchas palabras para expresar una misma idea.

Los matemticos prefieren la palabra para expresar lo mismo.Conjunto

Por lo tanto, podemos decir que un conjunto es toda coleccin bien definida de objetos. Los conjuntos se

denotan por letras maysculas y a los objetos se les llama elementos denotndose por letrasE F G minsculas .+ , -

Algunos ejemplos de conjuntos son :

Ejemplo 1 : A Jugadores de la Seleccin chilenaao 2010 Ejemplo 2 : B + / 3 9 ?Ejemplo 3 : C nmeros naturales mayores que y menores que # '

Si el elemento est en el conjunto se dice que pertenece al conjunto en caso contrario se dice no pertenece,

esto se simboliza

Observe que los elementos de un conjunto se escriben entre llaves En la siguiente tabla se muestra un paralelismo entre este lenguaje simblico y cotidiano.

Jorge Valdivia integra la Seleccin Chilena del ao 2010 Jorge Valdivia A

F

Lenguaje Cotidiano Lenguaje Simblicoernando Gonzlez (que es tenista), no integra la Seleccin Chilena Fernando Gonzlez A

Te has dado cuenta que en ocasiones es ms fcil interpretar las cosas cuando se presentan en

forma grfica ? ... en los conjuntos pasa algo similar, de ah que es til el uso de Diagramas de Venn.

El Diagrama de Venn-Euler permite visualizar en forma sencilla e instructiva los conjuntos y sus

relaciones. Se representan por ejemplo las siguientes formas:


4/22

Formas de escribir un conjunto:

Usualmente un conjunto se escribe de dos maneras:

1) : En esta forma se escribe una caracterstica de los elementosPor Comprensin

Por ejemplo: es un rbol autctono de ChileE BB 2) : Escritura en la cual los elementos se identifican.Por Extensin

Por ejemplo: Raul, Avellano, Coihue, Roble, ...E

Ejercicio

Sea G el conjunto de nmeros naturales menores que 5:

a) Escriba el conjunto por Comprensinb) Escriba el conjunto por Extensin

Respuesta

a) G B B &b) G " # $ %

Algunos tipos de Conjuntos son:

1) Conjunto Vaco: es aquel conjunto que no tiene elementos. Se simboliza por g

: Conjunto de canciones rancheras interpretadas por el grupo KissEjemplo 1

: Nmeros que pertenezcan al conjunto de los nmeros naturales y que seanEjemplo 2

negativos

2) Conjunto Universo: es aquel conjunto que contiene todos los elementos a los cuales

pudiramos hacer referencia en un momento dado, estos pueden ser infinitos o finitos.

: El conjunto de jugadores de un equipo de ftbol es finitoEjemplo 1

: El conjunto de los nmeros Enteros es infinitoEjemplo 2

3) Conjuntos Disjuntos: Son aquellos conjuntos que no tienen ningn elemento en comn

: El conjunto de alumnos aprobados en Algebra es un conjunto disjunto con el conjunto deEjemplo 1

los alumnos reprobados.

: Sea y . Los conjuntos A y B no tienen ningnEjemplo 2 E " # $ F % & 'elemento en comn.

4) Conjuntos Numricos: Son aquellos conjuntos formados por nmeros y que tienen un nmero infinito de

elementos


5/22

Ejercicios

1) De los conjuntos dados, indique cul de ellos es o son vacos:

a) A / B ! B "

b) B / B ! B "

c) C / B ! B "

# Determine en qu caso, el par de conjuntos dados es disjunto:

a) A , , B , , " # $ & * !

b) A B " # $ " # &

c) A Tenistas Top Ten Ranking ATP tour B Tenistas chilenos

3) Determine a qu conjunto pertenece el nmero dado. Marque con una ww wwB


6/22

Respuesta

1) Son conjuntos vacos A y B

2) Son disjuntos los conjuntos dados en (a) y en (c)

3)

Igualdad Subconjuntosy

Dados dos conjuntos cualquiera A y B

: Decimos que dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos, no importa el Igualdadorden de stos. La igualdad se representa por A B

Ejemplo 1: Sean los conjuntos yE " # $ F # " $ G B B $

RespuestaLos conjuntos A y B muestran claramente que ambos tienen los mismos elementos aunque en distinto

orden. El conjunto C est escrito por comprensin y dice que los elementos de este conjunto son nmeros naturales

menores o iguales a 3, es decir, quienes cumplen esta condicin son los nmeros , y ." # $

Por lo tanto: E F G

Ejemplo 2: Sean los conjuntos A y B B # B ! " !

Respuesta Estos conjuntos son iguales, porque A tiene elementos del conjunto y estos son " !

Por lo tanto, A B


7/22

Decimos que A es subconjunto de B si cada elemento del conjunto A es tambin un Subconjunto:elemento del conjunto B, es decir, A est contenido en B.

Simblicamente:

A B significa " A es un subconjunto de B o igual a B"

Esto se muestra en el siguiente diagrama:

Si un conjunto de otro se denota por:no es subconjunto

Ejemplo 1: La seccin 1 de Ingeniera en Construccin es un subconjunto de toda la carrera de Ingeniera en

Construccin.

Ejemplo 2: Sea A y B 1 , el conjunto B tiene un slo elemento y pertenece al conjunto " # $ A, por lo tanto, B A

Ahora bien , los subconjuntos cumplen ciertas propiedades que conviene saber, ya que nos facilitan la

comprensin de los conjuntos y sus problemas.


8/22

Propiedades de los subconjuntos:

Estas propiedades se cumplen para cualquier conjunto A

1) El conjunto vaco es un subconjunto de cualquier conjunto: Ag

2) Todos los conjuntos son subconjuntos de s mismo A A:

3) Todos los conjuntos son subconjuntos del conjunto Universo U A U:

Todas estas propiedades son tiles para un conjunto denominado conjunto de las partes o conjunto

potencia.

Conjunto Potencia

Corresponde al conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado El nmero de elementos (o.

cardinalidad ) de l est dado por la solucin de la expresin: , donde " " indica la cardinalidad del conjunto# 8 8original. Su notacin es .TE

Ejemplo: Sea . Determinar su Conjunto Potencia.Q + , -

Respuesta: El conjunto M tiene elementos, es decir , por lo tanto el conjunto potencia tiene$ 8 $elementos y estos son:# )$

TQ g + , - + , ,- + - + ,-

Ejercicios

I) Sean Determinar si las siguientes proposiciones sonE $ ! & F ! & $ G ! & Verdaderas ( V ) o Falsas ( F ). En el caso de que sean falsas indique la razn:

a) C A .......... e) A C ..........

b) A B .......... f) .......... g g

c) C A .......... g) A B ...........

d) C B .......... h) B ........... g

II) Sea A Encontrar y luego determine si las siguientes proposiciones son Verdaderas ( V ) + , T Eo Falsas ( F ). En el caso de que sean falsas indique la razn:

a) ..... ........ d) .............+ T E + T E

b) ............. e) ..............+ T E + , T E

c) ........ ......+ T E


9/22

Respuesta

I) a) V

b) V

c) F C no es un elemento de A.d) V

e) Vf) F, la expresin , representa un conjunto que tiene un elemento y este esg gg) V

h) V

II) El Conjunto Potencia tiene elementos y es# % T E g + , + , #

a) F, porque " " es un elemento y la notacin representa subconjunto+ b) V

c) F, porque representa un elemento de+ T Ed) V

e) F, porque es un elemento de+ , T E

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Los conjuntos nos permiten resolver problemas cotidianos a travs de las operaciones que se pueden definir

con ellos.

Tomemos dos conjuntos cualquieras, a los cuales llamaremos A y B

1) :Unin La Unin de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos de A o B

o ambos.

La unin de A y B se representa simblicamente por A B

A B B B E B F

A continuacin, se presentan tres formas distintas de cmo se pueden relacionar los conjuntos, lo achurado

representa la unin de ellos.

Ejemplo 1: Sean . Determine A BE + , F + - .

Respuesta

El conjunto A B es el conjunto que tiene los elementos de A o B. + , - .

Ntese que cada elemento se escribe una sola vez aunque se haya repetido ms de una, como es elcaso de

la letra " " que aparece dos veces.+


10/22

Ejemplo 2: El diagrama presenta la unin de los conjuntos A, B y C.

A C

2) :Interseccin La Interseccin de los conjuntos A y B se define como el conjunto formado slo por los

elementos que tienen en comn A y B.

La interseccin se representa por A B

Simblicamente, se escribe: A B A B B B B

Los siguientes diagramas representan la interseccin de los conjuntos de A y B.

Ejemplo 1: Sean El conjunto A B es el conjunto formado por el elementoE + , F + - . +

que se repite, que en este caso es la letra " ".+

Ejemplo 2: En la figura lo achurado representa A C

Observacin: Dos conjuntos y son disjuntos si su interseccin es vacia.E F

3) :Complemento El Complemento de un conjunto A es el conjunto formado por todos aquellos elementos

que estn en el Universo, pero que no estn en A.

Simblicamente, se representa por A o A-w

A- B Y B E


11/22

Los siguientes diagramas representan el complemento del conjunto A

Consecuencias de esta definicin

Ejemplo 1: Sean , , , , , , , , es un nmero parY " # $ % & ' ( ) * E B Y B

Determine E-

Respuesta: El conjunto est formado por los nmeros pares que estn en el conjunto Universo dado:E Y E # % ' )

Luego, E " $ & ( *-

Ejemplo 2: En la figura lo sombreado representa E-

4) :Diferencia La Diferencia entre dos conjuntos A y B, la cual se denota por , es el conjuntoE Fformado por todos lo elementos que estn en A y no estn en B.

Simblicamente, se escribe: A B A B B B B

La entre B y A la cual se denota por es el conjunto formado por todos los elementosDiferencia F Eque estn en B y no estn en A E F F E


12/22

Por ejemplo:

Dados los conjuntos: yE " # $ F # % '

La diferencia E F " $La diferencia F E % '

Por lo tanto, E F F E " $ % '

Los siguientes diagramas representan la diferencia de los conjuntos de A y B.

Ejemplo 1: Sean Determine yE + , F + - . E F F E

Respuesta Para determinar la diferencia entre A y B, al conjunto A se le "quitan" los elementos que tenga encomn con B, lo cual da como resultado la letra " " es decir, E F ,

De igual forma se determina el conjunto F E - .

Ejemplo 2: En la figura, lo achurado representa A C

Como consecuencia de estas operaciones, tenemos las siguientes propiedades con respecto al conjunto

Universo y al conjunto Vaco:


13/22

Ejercicios

" Y B $ B ( Sea el conjunto : y sean los conjuntos:

U : : es divisible porE B $ B ( F B Y # U : mayor queG B B % H !

Determinar:

A B C A+ ,

C A B D C- . - -

A B C A D) C B/ 0 - - -

# Sea Y B " B (

E B Y B #

F B Y % B ( G B Y B $

Encuentre:

A B C A B C A+ , - -

A C A B A B C- . - -

C A B/ -

$ Sean los conjuntos:

Y "# $ % & ' ( ) *

A B C , " # % & ( ( ) * " # $ %

Es verdad que:

A A B A B A C) A B A+ , - - -

A B B A A- -

% Y Sea y sean:

A : B Y B "! B : B Y $ B $& C : B Y B ! B $

Determinar :

A B A C+ , F - -

A C A B C- F . - -


14/22

Respuesta

" Y $ # " ! " # $ % & '

E % & ' F # # % ' G & ' H !

A B+ % ' , G E % & ' C A B D C U- & . - -

(A B) C U [ (A D C B/ & ' 0 ! - - -

# Y ! " # $ % & ' (

E $ % & ' ( F % & ' G $ % & ' (

A B C A B C A+ ! " # , ! " # - -

A C A B- ! " # -

A B C. ! " # -

C A B/ % & ' -

$ + , -S , S , S

% Y

E _ "! F $ $& G _ $ ! _

A B+ "! _ $ $&-

B A C, - 9A C B- - A B C. $ ! " ! _ -

Propiedades de los Conjuntos

Sean tres conjuntos cualquieras A, B y C:

1) Asociatividad

a) A B C A B C b) A B C A B C

# Conmutatividad

a) A B B A b) A B B A

3) Distributividad

a) A B C A B A C b) A B C A B A C


15/22

% De Morgan

a) A B A B - - -

b) A B A B - - -

5) Absorcin

a) A A B A b) A A B A

6) No Idempotencia

a) A g gb) A A g c) A U A d) A U U e) A A g-

f) A A U -

7 Involucin

A A - -

8) Diferencia

a) A B A B -

9) Idempotencia

a) A A A b) A A A

Para resolver ejercicios en los cuales se usan las propiedades, conviene desarrollar el lado de la expresin

que presenta mayor dificultad justificando cada paso.

Ejemplo: Usando las propiedades dadas, demostrar que:

E E E F-

Respuesta:

Desarrollaremos la segunda parte de la expresin para llegar a la primera parte:

E E F -

De MorganE E F - - -De MorganE E F - - - -

InvolucinE E F AbsorcinE

Luego: E E F E-


16/22

Aplicaciones

Algunos problemas con enunciados son un buen ejemplo de la utilizacin de las operaciones de conjuntos.

Para resolverlos, el lenguaje cotidiano es transformado a lenguaje matemtico.

Ejemplo 1

En el diagrama que colocamos a continuacin, se han volcado los datos obtenidos en una encuesta,

realizada a personas, a las que se les pregunt si tomaban t o caf. Los nmeros que aparecen se refieren a las

cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles:

solamente t t y caf ninguna de las dos bebidas , , , etc.

Observe las preguntas y sus respectivas respuestas

1) Cuntas personas tomaban t? Rta. 6 personas.

2) Cuntas personas tomaban caf? Rta. 9 personas.

$ Cuntas personas tomaban t y caf? Rta. 4 personas.% Cuntas personas no tomaban ninguna de las dos bebidas? Rta. 1 persona.& Cuntas personas no tomaban t? Rta. 6 personas.

' Cuntas personas no tomaban caf? Rta. 3 personas.( Cuntas personas tomaban por lo menos una de esas dos bebidas? Rta. 11 personas.) Cuntas personas tomaban slo una de esas dos bebidas? Rta. 7 personas.* Cuntas personas tomaban slo caf? Rta. 5 personas."!Cuntas personas tomaban alguna de esas bebidas? Rta. 11 person

Ejemplo 2: En una encuesta realizada a consumidores de comida rpida se obtiene la siguiente informacin:'#

comen slo papas fritas y hamburguesas, comen slo completos, comen slo papas fritas, comen los tres"! "# % $tipos de alimentos, comen al menos dos de estos tipos de comida y comen papas fritas. Si todos nombran$$ #&alguna de las alternativas, encuentre:

a) Cuntas personas comen completos y hamburguesa?

b) Cuntas personas comen slo completos?

c) Cuntas personas comen exactamente dos tipos de esta comida?


17/22

Respuesta:

Se designa cada conjunto del problema con una letra mayscula convenientemente. Llamaremos U al

conjunto universo el cual est formado por el total de consumidores de Comida Rpida dados en el problema, los

cuales son , P ser el conjunto de consumidores de Papas Fritas, H el conjunto de consumidores de Hamburguesas'#y C los consumidores de Completos. Esto en notacin conjuntista es:

U consumidores de Comida Rpida B B P U consumidores de Papas Fritas B B H U consumidores de Hamburguesa B B C U consumidores de Completos B B

Completaremos la informacin en la figura dada a continuacin:

Las respuestas al problema planteado son:

a) personas comen completos y hamburguesas."&

b) personas comen slo completos."#

c) personas comen exactamente dos tipos de esta comida.$!


18/22

Ejercicios: Resuelve los siguientes problemas

" En una investigacin a mil estudiantes de un Instituto se determin que 720 tenan cassettes, 670 poseanCD y 540 tenan ambas cosas. Determinar:

a) Cuntos estudiantes tienen cassettes o CD?b) Cuntos estudiantes no tienen cassettes ni CD?

c) Cuntos estudiantes tienen slo CD?

d) Cuntos estudiantes tienen slo cassettes?

# . Se investig un grupo de 5500 personas en relacin con la estrategia a seguir con objeto de conservar elcombustible. De stas, 2000 opinaron que lo aceptable era el racionamiento, 1500 dijeron que lo apropiado

sera fijar un impuesto adicional por litro, y 750 personas indicaron que lo apropiado sera la aplicacin de

ambos procedimientos. El resto de las personas no aceptan ninguno de los dos sistemas.

Determinar:

a) Un diagrama de Venn, que resuma lo anterior.b) Cuntas personas aceptaran en forma voluntaria el racionamiento pero no el impuesto?

c) Cuntas personas aceptaran en forma voluntaria el impuesto, pero no el racionamiento?

d) Cuntas personas no aceptaran en forma voluntaria ninguno de los dos cursos de accin?

$ En una eleccin de directorio de una empresa asistieron 595 de un universo de 703 accionistas. Segn losestatutos de la empresa cada accionista recibe una papeleta con los nombres de todos los candidatos y en

donde el accionista marcar, si lo desea, hasta dos preferencias. De los resultados de la eleccin se

determin la siguiente informacin referente a las tres primeras mayoras. El candidato A obtuvo 324

preferencias, 47 de los accionistas slo votaron por A, 203 votaron por A y no por B, 164 votaron por C y

B, 358 votaron por C y 42 votaron slo por B. Determinar:

a) Quin obtuvo la primera mayora?b) Quin obtuvo la segunda mayora?

c) Cuntos votaron por dos candidatos?

d) De todos lo asistentes, cuntos no votaron por C?

e) Cuntos slo votaron por C?

f) Cuntos de los asistentes no votaron por ninguno de los tres?

g) Cuntos accionistas no se hicieron presente?

h) Cuntos accionistas votaron por los tres candidatos?

% De una encuesta a 200 personas que compran pasta de dientes 80 compran Pepsodent, 60 compransolamente Odontine, 20 compran solamente Signal, 14 compran Pepsodent y Odontine, 20 compran

Odontine y Signal, 12 compran Pepsodent y Signal y 10 compran todos. El resto compra otra marca.

a) Cuntos compran al menos una de estas marcas?

b) Cuntos no compran estos dentrficos?

c) Cuntos compran solamente Pepsodent?

d) Cuntos compran Signal?

e) Cuntos no compran Odontine?

f) Cuntos compran Signal u Odontine?


19/22

& Se realiz una encuesta a 200 alumnos de Ingeniera en Ejecucin en diversas disciplinas acerca de laforma en que ocupaban su tiempo libre, 30 dicen que slo leen, 60 dicen que slamente escuchan msica,

20 dicen que slo estudian, 16 dicen que leen y escuchan msica, 50 dicen que estudian, 16 dicen que

escuchan msica y estudian y 8 hacen las tres cosas . De acuerdo a la encuesta, responda las preguntas

dadas:

a) Grafique la informacin.b) Cuntos slo leen o estudian?

c) Del total deencuestados cuntos dicen que no leen?

d) Cuntas personas no contestan alguna de estas tres alternativas?

e) Cuntas personas escuchan msica, pero no leen?

f) Cuntas personas estudian y escuchan msica, pero no leen?

' Un grupo de jvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte(bicicleta,motocicleta y automvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes: Motocicleta solamente:

5, Motocicleta: 38, No gustan del automvil: 9, Motocicleta y bicicleta, pero no automvil:3, Motocicleta y

automvil pero no bicicleta: 20, No gustan de la bicicleta: 72, Ninguna de las tres cosas: 1, No gustan de la

motocicleta: 61 .

1.Cul fue el nmero de personas entrevistadas?

2.A cuntos le gustaba la bicicleta solamente?

3.A cuntos le gustaba el automvil solamente?

4.A cuntos le gustaban las tres cosas?

5.A cuntos le gustaba la bicicleta y el automvil pero no la motocicleta?

( Durante el mes de abril, una empresa ha fabricado diariamente productos del tipo A o del tipo B (o ambos),excepto 4 domingos durante los cuales no ha fabricado nada. Sabiendo que 15 das del mes ha fabricado A,

y 20 das ha fabricado B,

cuntos das del mes ha fabricado ambos productos?+

cuntos das del mes ha fabricado slo productos del tipo A?,) cuntos das del mes ha fabricado slo productos del tipo B?-


20/22

Respuesta

" + )&! , "&! - "$! . ")!

# +

, "#&! - (&! . #(&!

$ + G , F - %%" . #$( / $) 0 #(

ninguno1 "!) 2

% + "(! , $! - '% . %# / ""' 0 "!'

& +

, '% - "%! . / ') 0 )

' " #99 personas. ninguna.46 personas. 10 personas.$ %14 personas.&

( + , -) 9 das; ) 6 das; ) 11 das.


21/22

AUTOEVALUACION

" Una encuesta sobre 200 personas revel los siguientes datos acerca del consumo de tresproductos A , B y C : 5 personas consuman slo A 25 personas consuman slo B 0 personas consuman slo C 15 personas consuman A y B, pero no C 80 personas"

consuman B y C, pero no A 8 personas consuman C y A, pero no B 17 personas no consuman ninguno de los tres productos.

Cuntas personas consuman A?.+Cuntas personas consuman B?,Cuntas personas consuman C?-

.Cuntas personas consuman A, B y C? ..Cuntas personas consuman por lo menos uno de los tres productos?/Cuntas personas consuman A o B?0 Cuntas personas no consuman C ?1Cuntas personas no consuman ni C ni A?2

2) Sea el conjunto : y sean los conjuntos:Y B " B &

:E B Y " B ' : es mltiplo deF B Y # : menor que 3G B Y B

Determinar:

+ E GC, F

- E F G . E G - -

/ F G E-

$ E " $Sea . Determine si las siguientes proposiciones son V o F

+$ T E , " T E - $ E . $ E 0 TE 1 $ TE


22/22

Respuestas

" + 68 personas.160 personas.,

138 personas- 40 personas..183 personas./173 personas.0 62 personas.142 personas.2

# + E G # .C, F " ! " # %

- E F G % . E G " ! " $ % - -

/ F G E " ! " -

$ + J , Z - J . Z 0 Z 1 Z

Documents

Unid.2 - Conjuntos