Unidad 1 2010.pdf

Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 1

1

1 CCCAAAPPPÍÍÍTTTUUULLLOOO

VVEECCTTOORREESS

William Rowan Hamilton

El matemático más eminente de los pueblos de habla inglesa, después de Isaac Newton, es William Rowan Hamilton, que nació en 1.805 y murió en 1.865. Su fama ha sufrido vicisitudes curiosas. Durante su vida fue aclamado, pero no entendido. Después de su muerte su reputación empezó a declinar y se llegó a ser tenido como figura de segunda categoría. En el siglo XX ha tenido lugar una revitalización extraordinaria del interés y la estima por él. Debido a los métodos educativos de su tío o a sus propios dones naturales, lo cierto es que se cuenta que a la edad de tres años William podía leer ya inglés fácilmente. A los cinco era capaz de traducir latín, griego y hebreo. A los ocho había añadido el italiano y

el francés a su lista. Antes de tener diez años estaba ya estudiando árabe y sánscrito. A la edad de catorce escribió una carta en persa al

embajador persa, entonces de visita en Dublín. William se decidió a dedicar su vida a las matemáticas. "Nada", afirmó más tarde, "ensalza la mente de igual manera o eleva al hombre de sus iguales como las investigaciones de la ciencia. ¿Quién es el que no preferiría tener la fama de Arquímedes que la de su conquistador Marcelo?.. Hamilton llegó a conjeturar que en el espacio de tres dimensiones un vector podría ser representado por un conjunto de tres números, de la misma forma que un vector en un plano es expresado en un par. Trató de encontrar la cuarta proporcional multiplicando ternas, conjuntos de tres números, pero encontró dificultades. Los miembros más jóvenes de la casa de Dunsink participaban con afecto en las esperanzas y desengaños de su ilustre padre, a medida que las investigaciones tenían lugar. William Edwin, de nueve años y Archibald Henry, de ocho solían preguntar en el desayuno: "¿Qué, papá, puedes multiplicar ya ternas?" A lo cual se veía obligado a contestar, sacudiendo tristemente su cabeza: "No, sólo los puedo sumar y restar". Un día, paseando de Dunsink a Dublín, Hamilton se dio cuenta repetidamente de la respuesta. Las operaciones geométricas de los espacios de tres dimensiones requerían para su descripción no conjunto de tres, sino de cuatro números. A fin de especificar la operación necesaria para convertir un vector en otro en el espacio, era necesario conocer cuatro números: (1) la relación entre la longitud de un vector y la del otro, (2) el ángulo entre ellos, (3) el nodo y (4) la inclinación del plano en el que estos vectores se encuentran.

Para un líder… como TÚ

Sé sumiso y rebelde. Sumiso para aceptar la vida, rebelde para transformarla. De corazón grande para sufrir, pero indómito frente al error y la injusticia. No doblegarse ni partirse: morir en pie. No tengas complejo de víctima. Sé tan fuerte que nadie pueda herirte, Sé tan noble que nadie pueda ofenderte, Sé tan valiente y humilde, que haga falta una gran cruz para crucificarte.

El Pez García - Salve

Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.1 Definición de un vector.


2

DDEEFFIINNIICCIIÓÓNN DDEE UUNN VVEECCTTOORR EENN RR22 YY RR

33

Para denotar un vector se emplean las primeras o las últimas letras minúsculas

del alfabeto en negritas como son: {a, b, c, d,..., u, v, w.}

En ocasiones se utilizan pares de letras mayúsculas solo cuando se conoce el

punto inicial y el punto final.

Ejemplos 𝐴𝐵 , 𝐶𝐷 , 𝑃𝑄 . La primera letra denota el punto inicial y la segunda el punto final del vector, y no

necesariamente tiene que seguirse el orden alfabético.

Ejemplos 𝑅𝑄 , 𝐷𝐴 , 𝑆𝐵 .

Sugerencia didáctica

EESSCCAALLAARR

Un escalar es sencillamente un número real, o bien, una cantidad que solo

tiene magnitud. Un escalar se emplea para definir magnitudes como la

Temperatura, el área, el volumen, que no requieren más que un sistema

dimensional apropiado. Por ejemplo 37 m2.

Ejemplos: {… -2 , -1 , 0 , ¼ , 1 , 2 …}

VVEECCTTOORR

Es una cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido. Se emplean para

indicar un desplazamiento, velocidad, fuerza. Se representa mediante una

flecha o un segmento de recta dirigido.

Formar equipos y leer durante 15 minutos, pag 3-7, en forma individual

y hacer su propio resumen, enseguida

hacer su resumen por equipo y seleccionar

uno para su exposición

1.1



3

VVEECCTTOORREESS EENN EELL PPLLAANNOO ((xx ,, yy)) OO VVEECCTTOORREESS EENN RR22..

Un vector bidimensional se define por sus componentes:

v = < v1, v2>.

Donde: Gráficamente: vx = v1 = x2 – x1

vy = v2 = y2 – y1.

El vector v tiene su punto inicial en el origen

por ello recibe el nombre de vector de

posición normal; también decimos que

cuando un vector se denota por el símbolo

< , >, es un vector con punto inicial en el

origen.

Tenemos otros vectores que tienen su punto inicial distinto de (0,0) como se ilustra

en la figura 1.1.1-2.

MMAAGGNNIITTUUDD DDEE UUNN VVEECCTTOORR ((LLOONNGGIITTUUDD))..

1.1.1

1.1.2



4

La longitud de un vector se calcula aplicando el teorema de Pitágoras, ya que

dicha magnitud corresponde a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y sus

lados son las componentes v1 y v2, como se muestra en la figura 1.1.2-1

En equivalencia con dicho teorema se tiene:

hip = 22 .)(.)( adycatetoopcateto || v || = 2

2

2

1 )()( vv

VVEECCTTOORREESS EENN EELL SSIISSTTEEMMAA TTRRIIDDIIMMEENNSSIIOONNAALL ÓÓ VVEECCTTOORREESS EENN RR33..

VVEECCTTOORREESS EEQQUUIIVVAALLEENNTTEESS

Dos o más vectores son equivalentes, solo cuando su dirección y su

magnitud sean iguales.

PQv

1 2 2 1 2 1, ,v v x x y y

MMAAGGNNIITTUUDD OO LLOONNGGIITTUUDD DDEE UUNN VVEECCTTOORR

Para indicar la magnitud de un vector se utiliza la notación ||v|| y se calcula:

2 2

1 2( ) ( )v vv

2 2

2 1 2 1( ) ( )PQ x x y y

1.1.3



5

Los vectores en el sistema tridimencional (x, y, z) son conocidos también, como

vectores en el espacio. Este sistema esta compuesto por 8 octantes (Ver figura

1.1.3-1). Sus características más importantes se resumen de la siguiente manera:

EJEMPLO 1

El punto inicial y final de un vector RS son R (3,-1,4) y S (2, -5, 3), hallar el punto

final de su vector equivalente PQ , si P (4, 3, 3). Graficar ambos vectores.

Solución

11.. SSUUSS CCOOMMPPOONNEENNTTEESS SSOONN::

v = <v 1 , v 2 , v 3 > = < x2 – x1, y2 – y1, z2 - z1 >

22.. LLOONNGGIITTUUDD::

|| v || = 2

3

2

2

2

1 vvv

|| PQ || = 2

12

2

12

2

12 )()()( zzyyxx

33.. IIGGUUAALLDDAADD DDEE VVEECCTTOORREESS

Sean u = 3,2,1 uuu y v = 321 ,, vvv vectores en el espacio, entonces

u = v si y solo si u1= v1, u 2 = v 2 y u 3 = v 3



6

Recordemos que dos vectores son equivalentes si:

RS = PQ

<x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1> = <x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1>

Sustituyendo los puntos, los cuales se designan como, inicial a R y final a S, de

manera análoga para PQ , inicial es P y final Q( x2, y2, z2 ) que es nuestra incógnita

2 2 22 3, 5 1 , 3 4 4, 3, 3x y z

2 2 21, 4, 1 4, 3, 3x y z

Igualando componentes correspondientes y despejando x2, y2 , z2

se tiene:

-1 = x2 - 4 -4 = y2 - 3 -1 = z2 - 3

4 -1 = x2 3 - 4 = y2 3 -1 = z2

x2 = 3 y2 = -1 z2 = 2

Por lo tanto: Q( 3, -1, 2 )

Comprobación. ¿Tienen la misma magnitud || RS || = || PQ || ?

|| RS || = 2 2 2(2 3) ( 5 ( 1) (3 4) || PQ || = 222 )32()31()43(

= 222 )1()4()1( = 222 )1()4()1(

= 1161 = 1161

= 18 = 18

|| || || ||RS PQ

R (3, -1, 4) , S (2, -5, 3)

Graficando RS y PQ :

z P (4, 3, 3) , Q (3, -1, 2)

Figura 1.7



7



8

EJEMPLO 2

Se desea construir un centro comercial que tenga la forma de un paralelogramo;

ya se tienen contemplados la ubicación de tres de sus vertices, cuyas

coordenadas son: A ( -1, 2 ), B ( 0, - 3 ), C ( 5, 1 ), hallar las coordenadas del

cuarto vertice que esta situado con rumbo al noreste aproximadamente:

Solución

Graficando los tres vertices conocidos se tiene:

Para obtener la posición exacta del cuarto vértice podemos considerar el vector,

BC en donde B punto inicial y C punto final, y así determinar el vector AD que

debe ser equivalente a BC

BC AD

< 5 - 0, 1 - (-3) > = < x2 - (-1), y2 – 2 >

< 5, 4 > = < x2 + 1, y2 – 2 >

Igualando componente a componente:

5 = x2 +1 4 = y2 - 2

-1 + 5 = x2 2 + 4 = y2

x2 = 4 y2 = 6

Por lo tanto las coordenadas exactas del cuarto vértice son: D (4, 6)

Comprobando: || || || ||BC AD



9

|| ||BC = 22 45 || ||AD = 22 45

= 22 1625 = 22 1625

= 41 = 41

|| || || ||BC AD

Enseguida, podemos observar como queda el paralelogramo completamente

trazado con el punto D

Ejercicios propuestos

11..11..22 CCOOMMPPOONNEENNTTEESS YY VVEECCTTOORREESS EEQQUUIIVVAALLEENNTTEESS EENN RR22 YY RR

33

En los ejercicios del 1-4,

a) expresar el vector v en componentes,

b) dibujar v con punto inicial en el origen.



10

En los ejercicios del 5-8, se dan los puntos inicial y final de un vector v.

a) Dibuje el segmento dirigido PQ .

b) Expresar v en componentes.

c) Dibujar el vector v con su punto inicial en el origen.

5. P(1,- 4), Q(5, 3)

6. P(7, -3), Q(-2, 4)

7. P(2, 5, -1) Q(-4, 3, 2)

8. P(-4, 6, 4) Q(-4, -2, 3)

En los ejercicios 9 - 11, se dan las componentes de un vector v y el punto inicial

de su vector equivalente, a) Hallar su punto final.

9. v = <-3,-2 >, punto inicial (2, 4)

10. v = <4,-1,3>, punto inicial (-2, 3, -1)

11. v = <2,-3,-1>, punto inicial (4, 0, 1)



11

12. Tres vértices de un paralelogramo en R2 son: (1, 3), (4, 1) y (9, 3); existen 3

formas diferentes de proyectar el paralelogramo. Halle los tres candidatos a un

cuarto vértice que los originan (véase la figura).

Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.2 Operaciones con vectores


12

OOPPEERRAACCIIOONNEESS CCOONN VVEECCTTOORREESS YY SSUUSS PPRROOPPIIEEDDAADDEESS..

MMUULLTTIIPPLLIICCAACCIIÓÓNN DDEE UUNN VVEECCTTOORR PPOORR UUNN EESSCCAALLAARR..

EJEMPLO 1

Las componentes de un vector son: v = < 3, -2, 4 >, hallar:

a) 2v = < (2)(3) , (2)(-2) , (2)(4) > = < 6 , -4 , 8 >

b) - 3

1v = < -1 ,

3

2, -

3

4 >

c) 2

1 v = <

2

3 , -1 , 2 >

TAREA 1

Se desea la construcción de un kiosco al centro de una plaza en forma de

paralelogramo cuyas coordenadas son:

A ( -1, 2 ), B ( 0, - 3 ), C ( 5 , 1 ) y D ( 4, 6 )

Hallar las coordenadas del centro para dicha construcción.

Solución

Se localizan los puntos en el plano (x, y) para dar forma al parelogramo

Se define como el producto de un número real, por las componentes de un

vector. Sea v = <v 1 , v 2 , v3> y q un escalar, entonces el múltiplo escalar de v se

expresa:

q v = < q v 1 , q v 2 , q v 3 >

1.2

1.2.1



13

Para determinar las coordenadas del centro trazaremos la bisectriz (diagonales)

entre 2 puntos, por ejemplo de B a D, obteniendo así, el vector BD sabemos que

al trazar las bisectrices del paralelogramo obtendríamos el punto medio, donde se

intercepten dichas rectas. Pero lo calcularemos analíticamente.

Considerando el vector BD , encontremos su punto medio;

BD = < x2 – x1 , y2 – y1 >

= < 4 – 0, 6 – (-3) >

= < 4, 9 >

Multiplicando a v por el escalar ½:

v = 1

2BD = < 2 ,

9

2 >

Sí v = BE ; ¿ E (x2, y2) ?

Verificando equivalencia:

v = BE

< 2, 9

2> = < x2 – 0, y2 – (-3) >



14

Igualando componentes:

2 = x2 – 0 9

2= y2 + 3

x2 = 2 y2 = 3

2

Por lo tanto las coordenadas exactas del centro de la plaza son E ( 2, 3

2).

Ejercicios Propuestos

11..22..11 MMÚÚLLTTIIPPLLOO EESSCCAALLAARR

En los ejercicios 1 - 2, dibuje el múltiplo escalar de v.

1. v = < 3, -1 > a ) 2v b) -3v c)3

1v

2. v = < 2, -3, 2 > a) 4v b)2

1 v c)

3

2v

3. Obtenga un vector en la dirección opuesta que v = < 3, -1, 5 >, pero que tenga

a) 3

2de su longitud b)

4

5 de su longitud

SSUUMMAA DDEE VVEECCTTOORREESS..

Sean dos vectores u = <u1, u2, u3> y v = <v1, v2, v3> la suma de u + v se

expresa como:

u + v = < u1 + v1 , u2 + v2 , u3+ v3>

A u + v se le conoce como vector suma o vector resultante.

1.2.2



15

Propiedades

1. u + v = v + u (Conmutativa)

2. u + (v + w) = (u + v) + w (Asociativa)

3. q (u + v) = qu + qv (Múltiplo escalar)

4. u + 0 = u (Neutro aditivo)

5. u + (-u) = 0 (Inverso aditivo)

Gráficamente:

Figura 1.2.2-1

EJEMPLO 1

Hallar 2a – 3b si a = < 3, -2, 5 > y b = < -2

1,

3

4, 1 >

2a = < 6, -4, 10 >

3b = < -2

3, 4, 3 >

2a - 3b = < 2

15, -8, 7 >

EJEMPLO 2

Utilice la figura 1.2.2-2 para hallar los vectores:

a) a + b + c b) a + ( b +c)



16

Solución

Con la magnitud y dirección que tienen los vectores a, b, y c mostrados en la

Figura 1.2.2-2, se efectúan las sumas solicitadas.

EJEMPLO 3

Hallar los escalares a y b de tal forma que:

v = a u + b w, si v = < 3, 2 >, u = < 4, 3 > y w = < -2, 5 >

Solución

Sustituyendo:

< 3, 2 > = a < 4, 3 > + b < -2, 5 >

< 3, 2 > = < 4a, 3a > + < -2b, 5b >

< 3, 2 > = < 4a - 2b, 3a + 5b >

Igualando:

3 = 4a - 2b (1) 2 = 3a + 5b (2)

Despejando de (1) a a:

4a = 3 + 2b 3 1

4 2

a b

Sustituyendo el valor de a en (2)

3 1 9 32 3 5 5

4 2 4 2b b b b

13 9 1 2 12 =

2 4 4 13 26b b

1

26b

Sustituyendo el valor de b en (1):



17

3 = 4a – 2(- )

4a = 3 – 13

1

a =

38

13 4 =

19

26a

Comprobación: Sustituyendo los valores de a y b en (1) y (2):

(1) 3 = 4( ) – 2(- ) (2) 2 = 4

3 ( ) +5 (- )

3 = 26

76 +

26

2 2 =

104

57 –

26

5.

3 = 3 2 = 2


11..22..22 SSUUMMAA DDEE VVEECCTTOORREESS

1. Escriba cada combinación de vectores como un solo vector

(a) PQ QR (b) RP PS

(c) QS PS (d) RS SP PQ

26

1

26

19

26

19

26

1

26

19

26

1

EEvvaalluuaacciióónn CCoonnttiinnuuaa

Todo el grupo resolverá el ejercicio 1 inciso a); y 7 de los propuestos y uno o

dos estudiantes lo resolverán en el pizarrón y se harán acreedores de 10%;

y a los tres primeros que terminen en su lugar antes que el del pizarrón se le

otorgarán 5% a cada uno.



18

2. Copie los vectores de la figura y empléelos para dibujar los siguientes vectores.

(a) u + v (b) u - v

(c) v + w (d) w +v + u

3. Dado u = < 2, 2, 2> y v = < -3, 5, 2 >, encuentre un vector en la misma

dirección de: a) u + v, pero que tenga 4 veces su longitud; b) 2v – ½ u , pero que

tenga 5/4 veces su longitud.

En los ejercicios 4 - 5 hallar a) u + (v + w) , b) 2v + 3u c) || u - v || para los vectores

indicados. Ilustre geométricamente.

4. u = < 5, 1, –2 >, v = <- 2, 4, 6 >, w = < 3, 10, -8 >

5. u = < 4,- 3, 1 >, v = < 1, 2, 1 >, w = < 4, 5, -6 >

En los ejercicios 6 - 9, determinar los escalares a y b de manera tal que satisfaga

la igualdad v = au + bw, para los valores de:

u = < 1, 2 >, y w = < 1, -1 >.

6. v = < 2 ,1 > 7. v = < 0, 3 >

8. v = < 1, 1 > 9. v = < -1, 7 >



19

VVEECCTTOORREESS UUNNIITTAARRIIOOSS CCAANNÓÓNNIICCOOSS..

Los vectores unitarios canónicos son i, j, k, y se encuentran localizados sobre los

ejes coordenados x, y, z, respectivamente, debido a los valores de sus

componentes, ver figura 1.2.3-1

Sus componentes son:

i = < 1 , 0 , 0 >

j = < 0 , 1 , 0 >

k = < 0 , 0 , 1 >

Los vectores unitarios cónicos tienen magnitudes iguales a uno por lo que:

i = 1 j = 1 k = 1

Se emplean para denotar a los vectores como una combinación lineal, y poder

expresarlos de otra forma diferente a la que ya se ha empleado antes, es decir,

.v =< v1, v2, v3 >; esto es como escribir nuestros textos ya sea con letra cursiva o

bien con letra script, sin que por ello cambie el significado del mismo; así pues

expresamos también

v = v1 i + v2 j + v3 k

EJEMPLO 1

Si v = 3i + 2j + k, trace este vector normal.

Solución

1.2.3



20

Componentes de un vector, conocidos su magnitud y su ángulo

Si conocemos la magnitud de un vector v y el

ángulo que le da su dirección, entonces

podemos calcular sus componentes v1 y v2,

aplicando el teorema de Pitágoras y poder

expresar el vector como:

v = < v cos , v sen >

o bien,

v = v cos i + v sen j


11..22..33 VVEECCTTOORREESS UUNNIITTAARRIIOOSS CCAANNOONNIICCOOSS


Todo el grupo resolverá el ejercicio 1 y los tres primeros que lo resuelvan se

harán acreedores de un 5%. Luego resolverán el ejercicio 7, y un estudiante

pasará al pizarrón a resolverlo y ganará 10%.



21

En los ejercicios 1-3 encuentre las componentes horizontal y vertical del vector

descrito.

1. Una niña tira de un trineo sobre la nieve ejerciendo una fuerza de 10 kg/f a un

ángulo de 45 con la horizontal. Represéntelo con un esquema.

2. Un avión despega con una velocidad aproximada de 150 km/hr. Con un ángulo

de 30 con respecto a la horizontal.

3. Un rifle, que imprime a la bala una velocidad inicial de 1200 pies/s, se dispara

con un ángulo de elevación de 6º. Halle sus componentes horizontal y vertical de

la velocidad.

4. Si v se encuentra en el primer cuadrante y forma un ángulo 3

con el eje x

positivo y v =4, determine v en forma de componentes. :<2, 2 3 >

5. Si un niño jala un trineo por la nieve con una fuerza de 50 N ejercida a un

ángulo de 38° arriba de la horizontal, encuentre las componentes horizontal y

vertical de la fuerza.

6. Un mariscal de campo lanza un balón con ángulo de elevación de 40° y una

velocidad de 60 ft/s. encuentre las componentes horizontal y vertical del vector

velocidad. : 45.96 fts

En los ejercicios 7 - 8. Encuentre la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo

que forma con el eje x positivo. (Ver Figura 1.2.3-4)



22

En los Ejercicios del 9 - 12, suponga el siguiente hecho: si un avión viaja con

vector velocidad aparente Va con respecto del aire y la velocidad del viento es w,

entonces el vector velocidad del plano con respecto del suelo es Vg = Va + w (Ver

Figura 1.2.3-5. El vector Va es el vector velocidad aparente, mientras que Vg es

el vector velocidad real.

De aquí que la velocidad real: Vg = Va + w.

9. Suponga que el viento sopla desde el noroeste a 50 millas por hora y que el

piloto desea volar hacia el este a 500 millas por hora. ¿Cuál debe ser el vector

velocidad aparente del avión?

10. Repita el problema 9 con la frase hacia el oeste en vez de hacia el este.

11. Repita el problema 9, si el piloto desea volar al noroeste a 500 millas por hora.



23

12. Un avión vuela en dirección 32 norte-oeste con una velocidad relativa al aire

de 900 km/h. El viento sopla del suroeste a 100 km/h (ver Figura 1.2.3-6). ¿Cuál

es la verdadera dirección de vuelo y la velocidad respecto del suelo?

13. Ubicación Un ave vuela desde su nido 5 km en la dirección 60° al norte del

este, donde se detiene a reposar en un árbol. Luego vuela 10 km en dirección

sureste y se para en un poste telefónico. Utilice un sistema de coordenadas xy de

modo que el origen esté en el nido del ave, el eje x apunte hacia el este y el eje y

apunte hacia el norte.

a) ¿En qué punto se ubica el árbol?

5 5 3

: 5cos60 , 5 sen60 ,2 2

b) ¿En qué punto está el poste?

5 10 2 5 3 10 2: 5cos60 10cos315 ,5sen60 10sen315 ,

2 2

14. Una mujer camina al oeste en la cubierta de un barco a 3 millas/h. El barco se

mueve al norte a una velocidad de 22 millas/h. Encuentre la rapidez y la dirección

de la mujer respecto a la superficie del agua.



24

VVEECCTTOORR UUNNIITTAARRIIOO UU EENN LLAA MMIISSMMAA DDIIRREECCCCIIÓÓNN DDEELL VVEECCTTOORR vv..

EJEMPLO 1

Hallar un vector unitario u que tenga la dirección que v = 2i + 3j – 3k, compruebe

que tiene magnitud igual a uno.

Solución

||v|| = 2 2 2

2 3 3 = 22

u = 2 3 3

22 22 22

v

v i j k

Comprobación:

||u|| =

222

22

3

22

3

22

2

= 1

22

22

22

9

22

9

22

4

Un vector unitario u tiene longitud igual a uno y la misma dirección que un

vector v = < v1, v2, v3 > si:

1.2.4



25


11..22..44 VVEECCTTOORREESS UUNNIITTAARRIIOOSS

En los ejercicios 1 y 2, encuentre un vector unitario, a) en la misma dirección de v

y b) en la dirección opuesta de v.

1. v = < 4, -1, 3 > 2. v = < 3, -4, 2 > 3. v = 8i –j + 4k

En los ejercicios 4 y 6, u = < 3, 0, -2 > y v = < 1, -2, 2 >. Halle un vector unitario

que tenga la misma dirección del vector indicado.

4. u - v 5. 2u + 2

1 v 6. 3v – 1/3 u


Todo el grupo resolverá el ejercicio 4, y un estudiante lo resolverá en el

pizarrón y se hará acreedor de 10%; y a los tres primeros que terminen en su

lugar antes que el del pizarrón se le otorgaran 5% a cada uno.



26

VVEECCTTOORREESS PPAARRAALLEELLOOSS..

EJEMPLO 1

Diga si los siguientes vectores son paralelos:

u = 4,2,3 , v = 5,4,6

Solución:

Comparamos a las primeras componentes de cada vector y observamos que la del vector u es menor, por ello elegimos la relación q u = v Despejamos q:

q = 1

1

v

u =

3

6 = 2

q = v

u q =

2

2

v

u =

2

4= 2

q = 3

3

v

u =

4

5

Dado que una de las q tiene diferente valor, entonces se dice que u y v no son

paralelos, no existe el escalar q que los iguale.

EJEMPLO 2

Dados los vectores u = 3, 2, 4 y v = 6, 4, 8 , diga si son paralelos.

Dos vectores u y v son paralelos si existe algún escalar que pueda

multiplicar a alguno de los dos vectores para igualarlos en magnitud y en

dirección.

u = q v ó bien q u = v

1.2.5



27

Solución

Elegimos la igualdad q u = v Despejamos q: sustituimos los valores de las componentes

q = 1

1

v

u=

3

6 = 2

q =v

u q =

2

2

v

u=

2

4 = 2

q = 3

3

v

u=

4

8 = 2

u y v son paralelos, existe el escalar q que es 2u = v.


11..22..55 VVEECCTTOORREESS PPAARRAALLEELLOOSS.. 1. Determine cuales de los siguientes vectores son paralelos a u = 2i + 2j - 4k. a) v = i + 2j - 3k b) b) v = -4i - 6j - 2k c) v = i + j - 2k

d) v = 4i + 4j - 8k e) v =2

1i + j - 2k

2. Obtenga un escalar c de manera que a = 3i + cj - 6k y b = -i + 9j + 2k sean

paralelos.

En los ejercicios 3 y 4 encuentre un vector v que sea paralelo al vector dado y

tenga la magnitud indicada.

3. u = 2

1i -

2

1j -

2

1k, ||v|| = 3

4. u = 3i + 7j + 6 k, ||v|| = 2


Todo el grupo resolverá el ejercicio 2, y un alumno pasará al pizarrón a resolverlo.



28

5. Demuestre que los tres puntos P (0, -2, 4), Q (1, -3, 5) y R (4, -6, 8) están

en una sola línea recta.

Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.3 Producto Escalar y Vectorial.


29

PPRROODDUUCCTTOO EESSCCAALLAARR YY VVEECCTTOORRIIAALL..

PPRROODDUUCCTTOO EESSCCAALLAARR OO PPRROODDUUCCTTOO PPUUNNTTOO..

PPrrooppiieeddaaddeess DDeell PPrroodduuccttoo PPuunnttoo

1. u v = v u (Conmutativa)

2. u (v + w ) = u v + u w (Distributiva)

3. u 0 = 0

4. u u = ||u||2

5. q (u v ) = q u v = u q v q es un escalar

Las demostraciones de las propiedades se dejan como ejercicios.

EJEMPLO 1

Hallar u v si u = 3 , -1 , 5 y v = -4 , 3 , -2

Solución

u v = (3)(-4) + (-1)(3) + (5)(-2) = -25

Una de las interpretaciones geométricas del producto punto u v en términos del

ángulo entre u y v, que se define como el ángulo entre las representaciones de

u y v que empiezan en el origen como se ilustra en la figura 1.3.1-1, se define en el

siguiente teorema.

DDEEFFIINNIICCIIÓÓNN

Dados dos vectores u =< u1 , u2 , u3 > y v = < v1 , v2 , v3 > el producto

escalar o producto punto se define por:

u • v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 = ESCALAR

El resultado del producto escalar es siempre un escalar, cuya

interpretación geométrica y física se verá más adelante.

1.3

1.3.1



30

Demostración

Si se aplica la ley de los cosenos al triángulo formado en la figura 1.3.1-1 se

obtiene el teorema. Se deja al lector la demostración.

Ángulos posibles formados entre dos vectores

EJEMPLO 2

Si los vectores u y v tienen magnitudes 2 y 5, y el ángulo entre ellos es 3

,

encuentre •u v .

TEOREMA 1

Si es el ángulo entre los vectores u y v, entonces

• cosu v u v



31

Solución

Con el teorema 1, se tiene

1

• cos 2 5 53 2

u v u v

EJEMPLO 3

Determine el ángulo entre los vectores

u = 2i +3j -2k y v = 4i + j – 3k

Solución

Calculamos las magnitudes de u y v

22 22 3 2 17u 22 24 1 3 26v

y el producto punto

2 4 3 1 2 3 17u v

Sustituimos en

17cos

17 26

u v

u v

Por lo tanto el ángulo entre u y v es

1 17cos 36.04

17 26

CCAALLCCUULLOO DDEELL AANNGGUULLOO EENNTTRREE DDOOSS VVEECCTTOORREESS (( 22 )) La fórmula del teorema 1 permite hallar también el ángulo entre dos vectores

no nulos, despejando se tiene

•cos

u v

u v



32

EJEMPLO 4

Dados los vectores u = 3i – 2j + k, y v = 4i + 2j – k, diga si son ortogonales.

Solución

Realizamos el producto escalar u v = 12 – 4 –1 = 7 observamos que u y v no son

ortogonales puesto que u v 0

EJEMPLO 5

Hallar el escalar q de tal manera que u y v sean ortogonales, siendo

u = 3i – qj + 3k y v = 2qi + qj + k

Solución

Multiplicamos con producto escalar a u y v:

u v = 6q – q2 + 3 = 0

Ordenando observamos que tenemos una ecuación de segundo grado

-q2 + 6q + 3 = 0

Utilizando la formula general para la resolución de ecuaciones cuadráticas:

TTEEOORREEMMAA DDEE OORRTTOOGGOONNAALLIIDDAADD

Dos vectores u y v son ortogonales (perpendiculares) si y solo si:

u v = 0



33

22

1

2

6 6 4 1 34 6 48

2 2 1 2

6 48 3 2 3 3 3.4641

2

0.4641

6.4641

b b ac

aq

q

q

q

Así los vectores u y v quedan expresados:

1. u = 3i + 0.46j + 3k v = -0.92i – 0.46j + k

2. u = 3i – 6.46j + 3k v = 12.92i + 6.46j + k

CCOOSSEENNOOSS DDIIRREECCTTOORREESS

Los ángulos directores de un vector u diferente de cero son los ángulos α, β y γ,

que u forma con los ejes positivos x, y y z (ver Figura 1.3.1-4).

Los cosenos de estos ángulos directores, cos α, cos β y cos γ, se llaman cosenos

directores de un vector u. si empleamos el cos θ con i en lugar de v, tenemos que

1 cos

uu i

u i u

De manera similar

2

3

cos

cos

j

k

uu

u j u

uu

u k u


Se deja al estudiante la comprobación del producto escalar

u • v = 0

1

2



34

Si se eleva al cuadrado las expresiones 1 y 2 y al sumarlas, se ve que

2 2 2cos cos cos 1

También un vector se puede expresar en términos de sus componentes

empleando los cosenos directores

1 2 3, , cos , cos , cosu u u u u u u

Factorizando cos , cos , cosu u

Por lo tanto cos , cos , cosu

u

EJEMPLO 1

Encuentre los ángulos de dirección del vector 2,2,1u

Solución:

Obtenemos 2 2 22 2 1 3u

sustituyendo en las ecuaciones 1 y 2, se tiene

2cos

3

2cos

3

1cos

3

de aquí que

1 2cos 48

3

1 2cos 48

3

1 1cos 70

3



35


11..33..11 PPRROODDUUCCTTOO EESSCCAALLAARR

PPRROODDUUCCTTOO PPUUNNTTOO En los ejercicios 1-6, calcular a) u • v b) u • u c)||u|| (v • w) d)(u • v) w

1. u = < 3 , 4 > v = < 2 , -3 > w = < 1 , 1 >

2. u = < 5 , 12 > v = < -3 , 2 > w = < -2 , 1 >

3. u = < 2, -3 , 4 > v = < 0 , 6 , 5 > w = < 3 , 1 , 3 >

4. u = 2i + j – 2k v = i – 3j + 2k w = -4i + 5k

5. ||u|| = 3 , ||v|| = 5 , ||w|| = 1, el ángulo entre v y w es 3

6. ||u|| = 4 , ||v|| = 6 , ||w|| = 3, el ángulo entre v y w es 45°

7. Encuentre el producto punto entre dos vectores si sus longitudes son 5 y 3

2

y el ángulo entre ellos es 4

VVEECCTTOORREESS OORRTTOOGGOONNAALLEESS

8. Determine que parejas de los vectores siguientes son ortogonales,

combinándolos entre sí.

a) < 2 , 0 , 1 >

b) 3i + 2j – k

c) 2i – j – k

d) i – 4j + 6k

e) < 1 , 1 , 1 >

f) < -4 , 3 , 8 >

9. Determine un escalar c de modo que sean ortogonales las parejas de

vectores indicados.

a) u = 4i – cj + 2k

v = 3i + 2j + 4k

b) u = < c , 1/3 , c >

v = < -2 , 4 , c >

10. Determine un vector v = < x , y , z > que sea ortogonal tanto a u = < 3 , 1 , -1

> como a w = < -3 , 2 , 2 >

Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.3 Producto Escalar y Vectorial


36

AANNGGUULLOOSS EENNTTRREE VVEECCTTOORREESS

Calcular el ángulo entre los vectores de los ejercicios 11 a 14 con una

aproximación de centésimas de radián.

11. u = i + 2j – k , v = 2i + j = 0.75 rad

12. u = 2i – 2j + k , v = 3i + 4k

13. u = 3 i + j – 2k , v = 3 i - 7j = 1.77 rad

14. u = < -1 , 1 , 1 > , v = < 1 , 2 , 2 >

15. Use el producto punto para calcular los ángulos del triángulo cuyos vértices

A, B y C se indican.

a) A = ( -1 , 0 ) , B = ( 2 , 1 ) , y C = ( 1 , -2 )

A 63.43 B 53.13 C 63.43

b) A = ( 3 , -1 , 2 ) , B = ( 0 , 2 , -1 ) , y C = ( -2 , 2 , 3 )

c) A = ( 4 , 0 , 1 ) , B = ( -3 , 2 , 0 ) , y C = ( -1 , -3 , 1 )

16. Calcule las medidas de los ángulos entre las diagonales del rectángulo

cuyos vértices son A = ( 1 , 0 ), B = ( 0 , 3 ), C = ( 3 , 4 ) y D = ( 4 , 1 )

17. Calcular los ángulos de dirección α, β y γ de los vectores dados:

a) u = 3i – 2j + 4k

b) u = < 5 , -1 , 2 >

c) u = 5i + 3k

d) u = 2i + 3j – 6k

18. Si un vector tiene ángulos directores α = / 4 y β = / 3 , encuentre el tercer

ángulo director γ.

PPRROOYYEECCCCIIÓÓNN DDEE UUNN VVEECCTTOORR SSOOBBRREE OOTTRROO..

Una de las aplicaciones del producto escalar es el cálculo de la proyección de un

vector u sobre un vector v. Supóngase que el Sol está en el zenit (12:00 am),

1.3.21



37

como se ilustra en la Figura 1.3.2-1, deseamos saber la cantidad de sombra que

produce el vector u sobre el vector v que representaría el suelo en esta posición.

Podemos apreciar en la figura tres posiciones en general en las que se puede

manifestar la proyección.

Deducción: si cosu

vComp u (1)

PPRROOYYEECCCCIIÓÓNN EESSCCAALLAARR ÓÓ CCOOMMPPOONNEENNTTEE::

La cantidad de “sombra” proyectada del vector u = < u1 , u2 , u3 > sobre el

vector v = < v1 , v2 , v3 > la podemos calcular de la siguiente manera

•uComp ESCALARv

u v

v



38

Y si •

cosu v

u v

Sustituyendo cos en (1) se tiene que:

• •uCompv

u v u vu

u v v

EJEMPLO 1

a) Hallar la proyección escalar o componente del vector u sobre v.

si u = 2i – 3j + 3k y v = 2j + 4k;

b) Grafique los vectores u y v, luego señale en la gráfica la componente.

Solución:

• - 6 12 31.34

20 5

uCompv

u v

v

EJEMPLO 2



39

Dados dos vectores a = 3i + j + 2k, c = 4i + 5j + k encontrar la proyección escalar

o componente del vector (a – c) sobre c:

Solución:

Estructuramos la fórmula

c(a-c)

a - c • cComp =

c

Formamos el vector a – c: a – c = <-1 , -4 , 1 >

Realizamos el producto escalar

( a – c ) c = -4 – 20 + 1 = -23

PPrrooyyeecccciióónn VVeeccttoorriiaall ddee uu ssoobbrree vv

Para obtener la proyección vectorial de u sobre v; se multiplica la componente

escalar por el vector unitario, con la finalidad de expresar dicha componente en

forma vectorial; de donde se obtiene la siguiente fórmula.

•uProyv

u v v

v v

Simplificando:

233 55

42

a c -Comp - .

c



40

2

•uProyv

u vv

v

PPrrooyyeecccciióónn OOrrttooggoonnaall ddee uu ssoobbrree vv

Esta proyección es la componente vertical del vector u expresada en forma

vectorial y se obtiene como la diferencia de los vectores u y la proyección

vectorial.

uuProy Proyv v u

EJEMPLO 3

Dados los vectores u = 3i – 3k, v = 2i – j + 5k y w = 3i + 2j + 4k

Hallar:

a) La proyección vectorial de ( 2w – v ) sobre u

b) La proyección ortogonal de ( 2w – v ) sobre u

c) La proyección escalar o componente de u sobre v

Solución

Hacemos nuestra fórmula

a) 2 -

2

2 - •Proy

uw v w v u

uu

2w = 6i + 4j + 8k , 2w – v = 4i + 5j + 3k

||u||2 = 18

2 -Proy

uw v

=

4 5 3 • 3 -3

3 -318

i j k i ki k

= 12-9 1 1 1

3 -3 3 -318 6 2 2

i k i k i k



41

2 -Proy

uw v

= ½ i – ½ k

b) 2 - Proy

uw v

= ( 2w – v ) - 2 -

Proyw v

u

Sustituyendo: 2 - Proy

uw v

= ( 4i + 5j + 3k ) – ( ½ i – ½ k )

2 - Proyu

w v =

2

7i + 5 j +

2

7 k

c) • • 6 15 9

30 30

uCompv

u v u vu

u v v

Graficando:

Figura 1.3.2-8


11..33..22 PPRROOYYEECCCCIIÓÓNN DDEE UUNN VVEECCTTOORR SSOOBBRREE OOTTRROO

En los ejercicios del 1 y 2 encuentre la componente del vector dado, en la

dirección que va del origen al punto indicado.

1. 4, 6 ;u P (3,10)

2. 3 2 u i j k P (-2,2,1)

y

z

x

v

u

w 2w-

v 2w vProy

u2w v

Proyu



42

En los ejercicios 3 y 4 determinar: a) la proyección vectorial del vector u sobre el

vector v; y b) la proyección ortogonal del vector u sobre el vector v.

3.

1, 2,7 u , 6, 3, 2 v

4. 4 2i j u , 3 v i j

En los ejercicios 5 y 6 se definen los vectores 5 3 u i j k y 4 2 v i k .

Obtenga el vector indicado.

5. u

u vProy 6. (2 )

v

u vProy

PPRROODDUUCCTTOO VVEECCTTOORRIIAALL OO PPRROODDUUCCTTOO CCRRUUZZ..

El vector resultante del producto cruz de u x v es un vector ortogonal a ambos vectores, a u y v, a diferencia del producto punto u v que es un escalar. Para calcular u x v. En forma de determinantes:

1 2 3

1 2 3

u u u

v v v

i j k

u v i 1 2 3

1 2 3

u u u

v v v

i j k

j 1 2 3

1 2 3

u u u

v v v

i j k

k

2 3

2 3

u u

v v

u v i

1 3

1 3

u u

v v

j1 2

1 2

u u

v v

k

u x v = (u2v3 - u3 v2)i - (u1v3 - u3 v1)j + (u1v2 - u2 v1)k

DDEEFFIINNIICCIIÓÓNN:: Sean dos vectores u = u1i + u2j + u3k y v = v1i + v2j + v3k en R3, el

producto vectorial entre ambos se definen como:

u x v = (u2v3 - u3 v2)i - (u1v3 - u3 v1)j + (u1v2 - u2 v1)k

1.3.3



43

Propiedades geométricas del producto vectorial

Si u y v son vectores no nulos del espacio y es el ángulo entre u y v, entonces

se verifican las siguientes propiedades:

1. u x v es ortogonal a ambos a u y v

2. ||uv|| = ||u|| ||v|| sen = Área del paralelogramo que tiene a u y v como lados

adyacentes.

3. El vector u x v es ortogonal a ambos vectores u y v, podemos demostrarlo

de la siguiente manera: (u x v) u = 0 (u x v) v = 0

PPRROOPPIIEEDDAADDEESS AALLGGEEBBRRAAIICCAASS

1) u v ≠ v u

2) u ( v + w) = (u v) + (u w)

3) c (u v) = (c u) v = u (c v) c es un escalar

4) u 0= 0 u = 0

5) u u = 0

6) u • (v w) = (u v) • w



44

4.- u x v = 0 si y solo si u y v son múltiplos escalares el uno del otro.

EJEMPLO 1

Hallar el producto vectorial entre los vectores unitarios i, j, y k.

Solución Por la propiedad geométrica (2) se tiene que:

u v = (u1 i + u2 j + u3 k) x (v1 i + v2 j + v3 k)

i i = || i || || i || sen 0° = (1) (1) 0 = 0

j j = 0

k k = 0

i j = || i || || j || sen 90° = (1) (1) (1) =1k

j i = || j || || i || sen (- 90°) = (1) (1) (-1) = -1k

i k = || i || || k || sen (- 90°) = (1) (1) (-1) = -1j

k i = || k || || i || sen ( 90°) = (1) (1) (1) = 1j

j k = || j || || k || sen ( 90°) = (1) (1) (1) = 1i

k j = || k || || j || sen (- 90°) = (1) (1) (-1) = -1i

EJEMPLO 2

Dados los vectores u =-i + 2j – 4k y v =5i – 3j + 2k hallar:



45

a) Un vector ortogonal a u y v.

b) El área del paralelogramo que tiene a u y v como aristas adyacentes.

Solución

Efectuamos el producto vectorial, con el método de determinantes:

1 2 4

5 3 2

i j k

u v

u x v = [ (2) (2) – (-4)(-3) ]i - [ (-1) (2) – (-4)(5) ]j + [ (-1)(-3) – (2)(5)]k

= [ 4 - 12 ]i – [-2 + 20 ]j + [3 - 10 ]k - 8 i –18 j - 7 k

a) u x v = - 8 i –18 j -7 k

b) || u x v || = 2227188 = 437 = 20.90

EJEMPLO 3

Hallar el área del triángulo que tiene vértices en A (4, -2, -2), B (1, 3, 1) y C (-3, -3, 2).

Solución

Formamos los vectores AB y AC y trazamos el triángulo:

AB = ( 1 - 4)i + ( 3 + 2) j + (1 + 2)k = -3i + 5j + 3k

AC = (-3 - 4)i + (-3 + 2) j + (2 + 2)k = -7i - j + 4k

3 5 3 20 3 – 12 21 3 35

7 1 4

AB AC

i j k

i j k

AB AC = 23 i -9 j + 38 k

|| AB AC || = 2054 rea = 1 20542



46


11..33..22 PPRROODDUUCCTTOO VVEECCTTOORRIIAALL

En los ejercicios 1-4 determine u x v.

1. u=<1,-3,1> , v=<2,0,4>

2. u=<1,1,3> , v=<5,-2,1>

3. u=<2,-1,2> , v=<-1,3-1>

4. u= 4i + 3j , v= 5j + 3k

En los ejercicios 5 - 7 encuentre el vector perpendicular al plano que pasa por los

puntos P, Q y R dados.

5. P(2,1,3), Q(0,3,-1), R(1,2,4)

6. P(3,0,0), Q(2,-3,1), R(4,-1,0)

7. P(1, 4, 6) Q(-2, 5, -1) R(1, -1, 1)

8. Sean u = <2,0,-1>, v = <-3,1,0>, y w = <1,-2,4>

Haga la determinación u ∙ (v x w) y (u x v) ∙ w

9. Demuestre que (u x v) ∙ v = 0 para los vectores u y v del ejercicio 7.

10. Emplee los vectores del ejercicio 3 para hallar u x v y v x u (demostración de la

propiedad 5)


Todo el grupo resolverá los ejercicios 5 y 8, y un alumno pasará al pizarrón a

resolverlos.

Capítulo 1 VVEECCTTOORREESS 1.5 Aplicaciones Físicas y Geométricas de los Producto Escalar y Vectorial.


47

TTRRIIPPLLEE PPRROODDUUCCTTOO EESSCCAALLAARR..

TTRRIIPPLLEE PPRROODDUUCCTTOO EESSCCAALLAARR..

Sean tres vectores u = u1 i + u2 j + u3 k y v = v1 i + v2 j + v3 k w = w1 i + w2 j + w3 k,

el triple producto escalar se puede escribir y resolver como un determinante como

se define a continuación:

o bien, puede resolver los productos por separado, es decir, primero v x w y el

vector resultante se hace producto punto con el vector u

IInntteerrpprreettaacciióónn ggeeoommééttrriiccaa

El volumen del paralelepípedo que tiene como aristas adyacentes a los vectores

u, v y w se calcula con el valor absoluto del triple producto escalar:

Donde:

El área de la base A = || v w ||

es el ángulo entre u y v w.

La altura del paralelepípedo es

h = ||u|| cos

Por lo tanto el volumen del paralelepípedo

V = Ah = || v w || ||u|| cos

=|| u (v w) ||

V = | u (v w) |

u • ( v w ) = Escalar

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( )

u u u

v v v

w w w

u v w

uv w (v2w3 – w2v3)u1 - (v1w3 – w1v3)u2 + (v1 w2 – w1 v2) u3

1.4

1.4.1



48

EJEMPLO 1

Hallar el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas adyacentes a:

u = 2i – 3j + 4k , v = 5i – j + 2k , w = 4i + 2j + k

Solución

Acomodamos las componentes de u, v, y w.

2 3 4

( ) 5 1 2

4 2 1

u v w

u v w = 2[(-1)(1) – (2)(2)] + 3[5 - 8] + 4[10 + 4] = -10 – 9 + 56 = 37

Volumen = 37

EJEMPLO 2

Hallar el volumen del tetraedro con vértices en A(3, -2, 0), B(2, 4, -3), C(5, 0, 0) y

D(-2, -2, 3), sabiendo que su volumen es una sexta parte del volumen del

paralelepípedo.

Solución

De la fórmula VT = 6

1 |u v w|, formamos tres vectores que sean aristas

adyacentes del tetraedro:

AB = <-1, 6, -3> AC = <2, 2, 0>

AD = <-5, 0, 3>

1 6 3

( ) 2 2 0

5 0 3

1 6 0 6 6 0 3 0 10 72

72 72

7212

6T

AB AC ADV

V

V

V



49


11..44..11 TTRRIIPPLLEE PPRROODDUUCCTTOO EESSCCAALLAARR

En los ejercicios 1 y 2, usar el producto mixto para calcular el volumen del

paralelepípedo con lados adyacentes u, v, w.

1. u=i+j 2. u=<1,3,1>

v=j+k v=<0,5,5>

w=i+k w=<4,0,4>

3 Calcular el volumen del paralelepípedo con los vértices dados: a) (1,1,1), (1,9,2), (4,0,0), (5,9,2)

( 2,3,7), (-1,8,5), (3,0,4), (4,9,6)

b) (0,0,0), (3,0,0), (0,5,1), (3,5,1)

(2,0,5), (5,0,5), (2,5,6), (5,5,6)

c) (1,1,1), (4,0,1), (-2,2,-5), (8,0,9)

4. (-1,-10,5), (3,2,8), (2,-7,0), (1,4,2)

En los ejercicios del 4-6 , Calcular el volumen del tetraedro cuyos vértices son 5. (3, 2, -2), (0, -3, -1), (2, 2, 1), (-2, -2, 3).

6. (0,-3,-4), (1, 1, 0), (0, 0, 0), (-1, 3, 4).

7. (-4, 4, 2), (0, -5, 5), (-2, 0, 2), (3, 2, -3)

W

U

V

U

W

V



50

AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS FFIISSIICCAASS YY GGEEOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEE LLOOSS

PPRROODDUUCCTTOOSS EESSCCAALLAARR YY VVEECCTTOORRIIAALL..

ÁÁNNGGUULLOO EENNTTRREE DDOOSS VVEECCTTOORREESS.. Como ya se dijo en la sección 1.3.1, una de las aplicaciones del producto

escalar, es el cálculo del ángulo entre dos vectores u y v , donde

•cos

u v

u v

EJEMPLO 1

Hallar los ángulos del triángulo que tiene los vértices A ( 3 , -1 , 1 ), B ( 0 , 3 ,

-1 ) y C ( -2 , 1 , 3 ).

Solución:

Primero trazamos el triángulo, para seleccionar el ángulo a calcular, como se

muestra en la Figura 1.5.1-3

Calculando el angulo A: hacemos dos vectores AB y AC :

AB = -3 , 4, -2

AC = -5 , 2, 2

cos

AB ACA

AB AC=

3329

4-8+15 = 0.6142

1 0.6142 52.1A Cos

1.5

1.5.1



51

Calculando el ángulo B:

BA = < 3 , -4 , 2 > y BC = < -2 , -2 , 4 >

6 8 8cos

29 24

BA BCB

BA BC

= 10 / 25.382 = 0.379

10.379 67.72 1 80B Cos C A B

1 80 52.1 67.72C

60.18C

IINNTTEERRPPRREETTAACCIIOONN FFÍÍSSIICCAA DDEELL PPRROODDUUCCTTOO EESSCCAALLAARR..

Cuando una fuerza constante de magnitud F hace mover un objeto una distancia d

en la misma dirección de la fuerza, el trabajo realizado es simplemente:

Sin embargo, si una fuerza constante F aplicada a un cuerpo actúa formando un

ángulo θ con la dirección del movimiento, entonces el trabajo realizado por F se

define como el producto de la componente de F en la dirección del

desplazamiento y la distancia d que recorre el cuerpo;

1.5.2



52

cos cosd dW F F

Si F causa un desplazamiento d de un cuerpo, entonces el trabajo realizado es:

• dW F

EJEMPLO 1

Determinar el trabajo realizado por una fuerza constante F = 2i + 4j, si su punto de

aplicación en un bloque se traslada de A (1, 1) a B (4, 6). Suponga que F está

medida en Newtons y d está en metros.

Solución

Observemos que la fuerza está expresada como vector, por lo tanto la distancia

también tenemos que expresarla como vector, de aquí que:

d = AB = B – A = (4 –1)i + (6 – 1)j = 3i + 5j

De esta forma, empleamos la fórmula:

• (2 4 )• (3 5 ) 6 20 26W F d i j i j

26 W N m


11..55..22 IINNTTEERRPPRREETTAACCIIÓÓNN FFÍÍSSIICCAA DDEELL PPRROODDUUCCTTOO PPUUNNTTOO YY PPRROODDUUCCTTOO EESSCCAALLAARR

1. Encuentre el trabajo realizado por una fuerza F = 8i – 6j + 9k que mueve un

objeto del punto ( 0 , 10 , 8 ) al punto ( 6 , 12 , 20 ) a lo largo de una línea

recta. La distancia se mide en metros y la fuerza en Newtons.



53

:144J

2. Un camión de remolque arrastra un auto a lo largo de un camino. La

cadena forma un ángulo de 30° con el camino y la tensión en la cadena es

de 1500 N. ¿Cuánto trabajo es realizado por el camión al tirar del auto 1

kilometro?

3. Un trineo es jalado por una cuerda lo largo de un sendero nivelado. Una

fuerza de 30 libras que actúa a un ángulo de 40° sobre la horizontal mueve

al trineo 80 pies. Encuentre el trabajo realizado por la fuerza.

:1839 / lft b

4. Un bote navega al sur con ayuda de un viento que sopla en la dirección .

S 36° E con una magnitud de 400 libras. Encuentre el trabajo realizado por

el viento cuando el bote se mueve 120 pies.

AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEELL PPRROODDUUCCTTOO VVEECCTTOORRIIAALL.. ÁÁRREEAA DDEE UUNN

PPAARRAALLEELLOOGGRRAAMMOO YY DDEE UUNN TTRRIIÁÁNNGGUULLOO EENN RR33..

Par de Torsión

La idea de un producto cruz ocurre con frecuencia en física. En particular, se

considera una fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido en un punto dado por un

vector de posición r. (Por ejemplo, si se aprieta un perno aplicando una fuerza a

una llave como en la figura 1.5.3-1, se produce un efecto de giro). El par de torsión

τ (relativo al origen) se define como el producto cruz de los vectores de posición y

fuerza.

τ r F

y mide la tendencia del cuerpo a girar respecto al origen. La dirección par de

torsión indica el eje de rotación. De acuerdo con la propiedad geométrica 2 del

producto cruz de la sección 1.3.3, la magnitud del vector de par de torsión es

r r senτ F F

1.5.3



54

Donde θ es el ángulo entre los vectores de posición y fuerza. Observe que la única

componente de F que puede causar rotación es la que es perpendicular a r, es

decir, ||F|| sen θ. La magnitud del par de torsión es igual al área del paralelogramo

determinado por r y F.

EJEMPLO 1

Se aprieta un perno aplicando una fuerza de 50 N a una llave de 0.35 m como se

muestra en la figura 1.5.3-2. Encuentre la magnitud del par de torsión respecto al

centro del perno.

Solución

La magnitud del vector del par de torsión es

sen 0.35 50 sen 75 17.5sen 75 16.9r r N mτ F F

si el perno tiene cuerda derecha, entonces el vector par de torsión es

17.5n nτ τ

Donde n es un vector unitario con dirección hacia la página.


11..55 ..33 AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEELL PPRROODDUUCCTTOO VVEECCTTOORRIIAALL.. ÁÁRREEAA DDEE UUNN

PPAARRAALLEELLOOGGRRAAMMOO YY DDEE UUNN TTRRIIÁÁNNGGUULLOO EENN RR33

En los ejercicios 1 - 3: (a) Encuentre un vector perpendicular al plano determinado

por los puntos P, Q y R; (b) Calcule el área del triangulo determinado por P, Q y R.

1. P(-3, 0, 5), Q(2, -1 ,3), R(4, 1, -1)

2. P(1, -1, 2), Q(0, 3, -1), R(3, -4, 1)

3. P(-1, 2, 0), Q(0, 2, -3), R(5, 0, 1)

En los ejercicios 4 y 5, comprobar que los puntos son vértices de un

paralelogramo y calcular su área.

4. (1, 1, 1), (2, 3, 4), (6, 5, 2), (7, 7, 5)



55

5. (2, -1, 1), (5, 1, 4), (0, 1, 1), (3, 3, 4)

En los ejercicios 6 - 9, calcular el área del triangulo cuyos vértices se especifican.

(Guía): El área del triangulo con u y v como lados adyacentes es 2

1|| u x v ||.

6. (0, 0, 0), (1, 2, 3), (-3, 0, 0)

7. (2, -3, 4), (0, 1, 2), (-1, 2, 0)

8. (1, 3, 5), (3, 3, 0), (-2, 0, 5)

9. (1, 2, 0), (-2, 1, 0), (0, 0, 0)

En los ejercicios 10 – 11 encuentre || u x v || y determine si u x v está dirigido hacia

la página o hacia afuera de ésta.

24entrandoala página

12. Encuentre dos vectores unitarios ortogonales a < 1, -1, 1 > y < 0, 4, 4 >

2 1 1 2 1 1, , , ,6 6 6 6 6 6

13. Encuentre dos vectores unitarios a i + j + k y 2i + k.

14. Encuentre el área del paralelogramo con vértices C (1, 2, 3), D (1, 3, 6),

. E (3, 8, 6) y F(3, 7, 3)



56

15. Un pedal de bicicleta es empujado por un pie con una fuerza de 60 N

como se ilustra en la figura 1.5.3-2. El eje del pedal es de 18 cm de largo.

Encuentre la magnitud del par de torsión respecto a P.

10.6 N m

16. Determine la magnitud del par de torsión respecto a P si se aplica una

fuerza de 36 lb como se ilustra a continuación.

17. Una llave de 30 cm de largo yace a lo largo del eje y positivo y sujeta un

perno en el origen. Se aplica una fuerza en la dirección < 0 , 3 , -4 > y al

final de la llave. Encuentre la magnitud de la fuerza necesaria para

suministrar 100 N·m de par de torsión al perno.

417 N


57

EECCUUAACCIIOONNEESS DDEE RREECCTTAASS YY PPLLAANNOOSS..

EECCUUAACCIIOONNEESS DDEE LLAA RREECCTTAA..

Nuestro objetivo principal en este tema es encontrar una ecuación de la recta que

nos permitirá graficarla en el espacio, a partir del conocimiento de un solo punto P

(x1, y1, z1) por el que deseamos pase dicha recta y definiremos a un vector de

posición normal v que le dará la dirección a nuestra recta suponiendo la existencia

de un punto Q de tal forma que v y PQ

deban ser paralelos.

a, b, c son números de dirección

v = < a, b, c > es el vector director

Si PQ es paralelo a entonces

PQ = t v

Donde t es un escalar denominado parámetro que al multiplicar a v puede

igualarlos.

Sustituyendo componentes:

< x- x1, y – y1, z – z1>= t < a, b, c>

Igualando componente:

x - x1 = a t y - y1 = b t z - z1 = c t

Despejando x, y, z tenemos:

Ecuaciones paramétricas de la recta

Si despejamos al parámetro t de cada ecuación paramétrica.

1xatx 1ybty 1zctz

1.6.1

1.6

Capítulo 3 FFUUNNCCIIOONNEESS VVEECCTTOORRIIAALLEESS 3.8 Aplicaciones Vector Velocidad, Aceleración, Componente Tangencial.de Aceleración


58

Llegamos a las ecuaciones simétricas de la recta

EJEMPLO 1

Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas y ecuaciones simétricas para la

recta que pasa por el punto P(3, -1, 3) y es paralela al vector v = 2i – j + 4k.

Solución

Identificamos los números de dirección a, b y c.

a = 2, b = -1, c = 4, x1 = 3 y1 = -1 z1 = 3

Así, determinaremos que las ecuaciones paramétricas son:

x = at + x1 y = bt + y1 z = ct + z1

x = 2t + 3 y = -t - 1 z = 4t + 3

Ecuaciones simétricas

1 1 1 x x y y z z

ta b c

3 1 3

2 1 4

x y zt

EJEMPLO 2

Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas y simétricas para la recta que pasa

por el punto P (4, -1, 5) y es paralela a los planos xz y yz.

Solución

El vector v que es paralelo a la recta es el unitario v = <0, 0, 1 > = k

Y por lo tanto las ecuaciones paramétricas

x = at + x1 y = bt + y1 z = ct + z1

x = 0t + 4 y = 0t + (- 1) z = 1t + 5

1 1 1 x x y y z z

ta b c

componente de PQt

componente de v



59

x = 4 y = -1 z = t + 5

Trazamos la recta con los diferentes puntos Q encontrados en la tabla adjunta.

Ecuaciones simétricas

c

zz

b

ty

a

xxt 211

1

5

0

1

0

4

zyxt

5 zt

4x , 1y

EJEMPLO 3

Determinar qué puntos de los que a continuación se dan, están en la recta L que

pasa por los puntos P(2, 0, -3) y Q(4, 2, -2).

a) (4, -1, -2) b) (5/2,½, -11/4 ) c) (-1, -3, -4)

Solución

Con los puntos P y Q formamos el vector director PQ v , así pues

2, 2, 1 Vector directorPQ

En la Figura 1.6.1-3 representamos los puntos P y Q por donde pasa la recta y

también se localizan los puntos A, B y C para plantear gráficamente este ejercicio.

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5

t -2 -1 0 1 2

x = 4 4 4 4 4 4

y = -1 -1 -1 -1 -1 -1

z = 5 + t 3 4 5 6 7



60

De las ecuaciones simétricas. c

zz

b

yy

a

xxt 111

a) (4, -1, -2) = (x, y, z) sustituimos este punto en las ecuaciones simétricas.

12

4 2 1 0 2 31

2 2 1t t

(4, 1, 2) No está en L.

b) (5/2, ½, -11/4 ) = (x, y, z) sustituimos este punto en las ecuaciones simétricas.

411

21

25 ,,

4

14

14

1411

21

25

1

3

2

0

2

2tt Si está en L.

c) (-1, -3, -4)

3 32 2

1 2 3 0 4 31

2 2 1t t

( 1, 3, 4) No está en L.

EECCUUAACCIIOONNEESS DDEELL PPLLAANNOO..

De manera análoga a las ecuaciones de la recta, el objetivo de encontrar una

ecuación de un plano en el espacio es para poder graficarlo. Los elementos

mínimos necesarios para esto son el conocimiento de un punto P(x1, y1, z1) por el

que pase dicho plano y un vector n que sea normal (u ortogonal). Como se puede

observar en la Figura 1.6.2-1, la ortogonalidad es el principio básico para llegar a

nuestro objetivo.

1.6.2



61

Sustituyendo componentes en la ecuación 0PQ n se tiene

< x- x1, y – y1, z – z1> < a, b, c > = 0

Multiplicando escalarmente tenemos:

Ecuación canónica del plano

Si multiplicamos término a término obtenemos:

EJEMPLO 1

Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto (4, -2, 2) y tiene como

vector normal a n = 2i – j + 3k.

Solución

Identificamos las componentes a,b y c, así como:

x1 = 4 y1 = -2 z1= 2

a = 2 b = -1 c = 3

Sustituyendo en la ecuación canónica del plano:

a ( x - x 1) + b ( y – y1) + c ( z – z1) = 0

2 ( x – 4) - 1 ( y + 2) + 3 ( z – 2) = 0

2x - 8 - y – 2 + 3z – 6 = 0

EECCUUAACCIIÓÓNN GGEENNEERRAALL DDEELL PPLLAANNOO

0ax by cz d

1 1 1Donde d ax by cz

0111 zzcyybxxa



62

Ecuación general del plano: 2x - y + 3z – 16 = 0

Para graficación: Método trazas 2x - y + 3z – 16 = 0

Traza: es la recta que corta a los ejes coordenados.

Traza xy si y = 0 y z = 0

22xx –– 1166 == 00 xx == 88 EEll ppuunnttoo eess ((88,, 00,, 00))

Traza xz si x = 0 y z = 0

--yy –– 1166 == 00 yy == -- 1166 EEll ppuunnttoo eess ((00,, --1166,, 00))

Traza yz si x = 0 y y = 0

33zz –– 1166 == 00 zz == 1166//33 EEll ppuunnttoo eess ((00,, 00,, 1166//33))

LLaa ggrrááffiiccaa ddeell ppllaannoo ssee mmuueessttrraa eenn llaa FFiigguurraa 11..66..22--22..

EJEMPLO 2

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (-3,-2,1) y es perpendicular a la

recta con ecuaciones paramétricas.

x = 4 – 2t y = 1 + 4t z = 4

Solución

Primero hacemos un bosquejo del sistema para darnos la idea de lo que tenemos

y de lo que nos falta. (Ver Figura 1.6.2.-3).

Dado que la recta es ortogonal al plano y contiene en su ecuación un vector

v = <-2, 4, 0>

Entonces v también es ortogonal al plano, así pues

se concluye que:

v = n

n = <-2, 4, 0>

Sustituyendo en la ecuación canónica del plano

a ( x - x 1) + b ( y – y1) + c ( z – z1) = 0

-2 ( x + 3) + 4 ( y + 2) + 0 ( z – 1) = 0 multiplicando

-2x – 6 + 4y + 8 = 0 reduciendo se obtiene:

Ecuación del plano:

-2x + 4y + 2 = 0 ó 2x - 4y - 2 = 0



63

La graficación del plano se realiza por el método de trazas y se representa en la

Figura 1.6.2-4

Casos generales de graficación de un plano:

Cuando alguna ecuación del plano está incompleta, es decir, que le haga falta una

o dos variables, los planos se grafican de la siguiente manera:



64


11..66..11 EECCUUAACCIIOONNEESS DDEE LLAA RREECCTTAA

En los ejercicios 1 – 8, hallar un conjunto de ecuaciones a) paramétricas y b)

simétricas para la recta L que pasa por el punto dado y es paralela al vector v.

Punto Paralela a

1. (2, 3, -1) v = < 0, -2, 5 >

2. (3, -3, 6) v = < 4, -3, 3 >

3. (0, 0, 0) v = < 1, 2, 3 >

4. (0, 0, 0) v = 1,2

5,2

5. (-2, 0, 3) v = 2i + 4j - 2k

6. (-2, 0, 3) v = 6i + 3j

7. (1, 0, 1) x = 3 + 3t, y = 5 - 2t, z = -7 + t

8. (-3, 5, 4) 32

1

3

1

z

yx

En los ejercicios 9 - 10, hallar ecuaciones a) paramétricas y b) simétricas para la

recta que pasa por los dos puntos. (Para cada recta, expresar los números

directores como enteros).

9. (5,-3,-2),

1,

3

2,

3

2

10. (1,0,1) , (1,3,-2)

En los ejercicios 11 y 12, hallar ecuaciones paramétricas para la recta.

11. La recta que pasa por el punto (2,3,4) y es paralela a los planos xz y yz

12. La recta que pasa por el punto (2,3,4) y es perpendicular al plano

3x + 2y – z = 6



65

11..66..22 EECCUUAACCIIOONNEESS DDEELL PPLLAANNOO Producto vectorial. En los ejercicios 1 y 2, a) hallar las coordenadas de tres

puntos P, Q y R del plano y considerar los vectores PQ y PR . b) Hallar PQ x PR

¿Qué relación entre las componentes del producto vectorial y los coeficientes en la

ecuación del plano? ¿Por qué?

1. 4x - 3y - 6z = 6 2. 2x + 3y + 4z = 4

En los ejercicios 3 - 8, hallar una ecuación del plano que pasa por el punto y es

perpendicular al vector o recta dados.

Punto Perpendicular a

3. (2, 1, 2) n = i

4. (1, 0, -3) n = k

5. (3, 2, 2) n = 2i + 3j - k

6. (0, 0, 0) n =- 3i + 2k

7. (0, 0, 6) tztytx 24,2,1

8. (3, 2, 2)

3

32

4

1

zy

x

En los ejercicios 9 – 20 hallar una ecuación del plano.

9. El plano que pasa por (0, 0, 0), (1, 2, 3) y (-2, 2, 3).

10. El plano que pasa por (1, 2, -3), (2, 3, 1), y (0, -1, -1).

11. El plano que pasa por (1, 2, 3), (3, 2, 1) y (-1, -2, 2).

12. El plano que pasa por el punto (1, 2, 3) paralelo al plano yz.

13. El plano que pasa por el punto (1, 2, 3) y es paralelo al plano xy.

14. El plano que contiene el eje y y forma un ángulo de 6/ con el semieje x

positivo.



66

15. El plano que contiene las rectas de ecuaciones.

zyx

4

2

1

y 1

2

4

1

3

2

zyx

16. El plano que pasa por el punto (2, 2, 1) y contiene la recta dada por

zyx

1

4

2

17. El plano que pasa por los puntos (2, 2, 1) y (-1, 1, -1) y es perpendicular al

plano 2x -3y + z = 3.

18. El plano que pasa por los puntos (3, 2, 1) y (3, 1, -5) y es perpendicular al

plano 6x + 7y + 2z = 10.

19. El plano que pasa por los puntos (1, -2, -1) y (2, 5, 6) y es paralela al eje x.

20. El plano que pasa por los puntos (4, 2, 1) y (-3, 5, 7) y es paralela al eje z.

En los ejercicios 21 – 26, marcar las intersecciones y dibujar la grafica del plano.

21. 4x +2y + 6z=12 22. 3x + 6y + 2z = 3

23. 2x – y + 3z=4 24. 2x – y + z=4

25. y + z=5 26. x + 2y=4

Documents

Unidad 1 2010.pdf