Unidad 1.- Introducción a los Métodos Numéricos

1.1 Importancia de los métodos numéricos.

1.2 Conceptos básicos: cifra significativa, precisión, exactitud, incertidumbre y sesgo.

1.3 Tipos de errores.

1.4 Software de cómputo numérico.

1.5 Métodos iterativos.

Instalar Matlab

Competencia específica de la unidad

Comprender la importancia de los métodos numéricos.

Conocer y manejar software de cómputo numérico.

Criterios de evaluación de la Unidad

Establecimiento de Conclusiones: 40%Mapa conceptual: 30%Cuadro comparativo: 30%

Actividades de aprendizaje

Establecimiento de conclusiones: Realizar la búsqueda e identificación de la importancia de los métodos numéricos.

Mapa conceptual: Investigar sobre tipos de errores y su aplicación.

Cuadro comparativo: Elaborar un cuadro comparativo sobre el software de cómputo numérico.

Unidad 1. Introducción a los métodos numéricos 1.1. Importancia de los métodos numéricos

La ciencia y la tecnología describen los fenómenos reales mediante modelos matemáticos. El

estudio de estos modelos permite un conocimiento más profundo del fenómeno, así como de su

evolución futura. La matemática aplicada es la rama de las matemáticas que se dedica a buscar y

aplicar las herramientas más adecuadas a los problemas basados en estos modelos.

Desafortunadamente, no siempre es posible aplicar métodos analíticos clásicos por diferentes

razones:

+No se adecúan al modelo concreto.

+Su aplicación resulta excesivamente compleja.

La solución formal es tan complicada que hace imposible cualquier interpretación posterior.

Simplemente no existen métodos analíticos capaces de proporcionar soluciones al problema.

En estos casos son útiles las técnicas numéricas, que mediante una labor de cálculo más o menos

intensa, conducen a soluciones aproximadas que son siempre numérica. El importante esfuerzo de

cálculo que implica la mayoría de estos métodos hace que su uso esté íntimamente ligado al

empleo de computadores. De hecho, sin el desarrollo que se ha producido en el campo de la

informática resultaría difícilmente imaginable el nivel actual de utilización de las técnicas numéricas

en ámbitos cada día más diversos

Importancia de los Métodos Numéricos.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.El análisis numérico trata de diseñar métodos para aproximar de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.El objetivo principal es encontrar soluciones aproximadas a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética.Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en: Cálculo de derivadas, Integrales, Ecuaciones diferenciales, Operaciones con matrices.

1.2. Algunos conceptos básicos: precisión, exactitud, cifra significativa, incertidumbre y sesgo.La precisión

La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros. Por ejemplo, los números “2.1” y “2.10” de un cálculo realizado implican un distinto nivel de precisión. La primera cifra sugiere que el cálculo se realizó con una precisión de sólo décimas de unidad; la segunda cifra (“2.10”) se obtuvo con una mayor precisión porque se introdujo hasta centésimas. Por tanto, el empleo de ceros en un número tendrá que ser manejado con cuidado y las implicaciones deben ser comprensibles.

Exactitud

Existen dos tipos de números, los exactos y los aproximados. Los números exactos son precisos al número exacto de cifras presentados, de la misma forma que sabemos que existen 12 manzanas en una docena y no 12.1.

Sin embargo, en los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos.

Cifras significativas

Es posible determinar la precisión de una lectura mediante el número de cifras significativas (dígitos) presentes.

Las cifras significativas son aquellos enteros (de 0 al 9) que pueden suponerse como precisos para los cálculos se realice. El resultado de esto es que:

1) Todos los números distintos de cero se consideran significativos. Por ejemplo el numero “376” tiene tres cifras significativas.

2) Los ceros los serán únicamente en ciertos casos. Por ejemplo, los ceros en el numero “1005” se consideran significativos debido a que definen el tamaño del número y a que están rodeados de números distintos de ceros (el “1” y el “5”). Sin embargo, para el número “0.064”, los dos ceros no se consideran significativos debido a que solo se emplean para definir la ubicación del punto decimal y no para la precisión de la lectura. Para el número “0.4020”, el cero a la izquierda del punto decimal no es significativo, pero los otros dos ceros sí lo son ya que definen la magnitud del número y la precisión de la cuarta posición de la lectura.

Incertidumbre y sesgo.

Se le conoce como incertidumbre al grado de alejamiento entre sí, a las diversas aproximaciones a un valor verdadero. Es por ello que la incertidumbre también se le conoce como imprecisión.Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos (es decir, sin diferencia entre el valor esperado de un estimador y el verdadero valor) para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería.

CONCEPTOSCifras significativas: Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos.1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos.2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras.Exactitud: Se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero.Precisión: Se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros.Inexactitud: (conocida como sesgo) se define como un alejamiento sistemático de la verdad a calcular.Imprecisión: También se le conoce como incertidumbre. Se refiere al grado de alejamiento entre sí, a las diversas aproximaciones a un valor verdadero.

1.3 Tipos de errores.

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas.

Errores de redondeo

Este tipo de errores se deben a que las computadoras solo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Por ejemplo: si solo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede almacenar y usar p como p = 3.141 592 y generando un error de redondeo.

Esta técnica de retener solo los primeros números se le llamo "Truncamiento" en el ambiente de computación de preferencia se le llamara de corte para distinguirlo de los errores de truncamiento discutidos. Un corte ignora los términos restantes de la representación decimal completa. Por ejemplo: el octavo numero significativo en este caso es 6. Por lo tanto p se representa de manera exacta como 3.141593 que como 3.141592 obtenido mediante un corte, ya que el valor esta mas cercano del valor verdadero. Esto se puede visualizar de la siguiente forma: si p se aproxima por p = 3.141593, el error de redondeo se reduce a; Eu = 0.000 000 035........

Errores de truncamiento

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto.

dv = D u = u(t-1) – v(t)

dt D t t-1 - t

Se introdujo un error de truncamiento en la solución numérica ya que la ecuación de diferencias solo se aproxima el valor verdadero de la derivada.

Error numérico total

El error numérico total es la suma de los errores de redondeo y de truncamiento. (Los errores de truncamiento decrecen conforme él numero de cálculos aumenta, por lo que se encara el siguiente problema: la estrategia de disminuir un componente del error total lleva al incremento del otro).

Errores por equivocación, de planteamiento o incertidumbre en los datos

En los primeros años de la computación, los resultados numéricos erróneos fueron atribuidos algunas veces al mal funcionamiento de la computadora misma. Hoy en día, esta fuente de error es muy improbable y la mayor parte de las equivocaciones se pueden atribuir a errores humanos.

Errores de formulación

Los errores de formulación o de modelamiento degeneran en lo que se podría considerar como un modelo matemático incompleto. Un ejemplo de un error de formulación imperceptible es el hecho de que la segunda Ley de Newton no explica los efectos relativistas.

Errores Inherentes a los Métodos Numéricos. Un error es una incertidumbre en el resultado de una medida. Se define como la diferencia entre el valor real y una aproximación a este valor. Error de redondeo

Se originan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de cifras que permita el instrumento de cálculo que se esté utilizando. Error por TruncamientoExisten muchos procesos que requieren la ejecución de un número infinito de instrucciones para hallar la solución exacta de un determinado problema. Puesto que es totalmente imposible realizar infinitas instrucciones, el proceso debe truncarse. En consecuencia, no se halla la solución exacta que se pretendía encontrar, sino una aproximación a la misma. Error Numérico TotalSe entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo. Errores HumanosSon los errores por negligencia o equivocación. Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los hombres. Los errores humanos son inevitables pero se pueden minimizar. Error inherenteEn ocasiones, los datos que se inician los cálculos contienen un cierto error debido a que se han obtenido mediante la medida experimental de una determinada magnitud física. Error AbsolutoEl error absoluto no es negativo. Es una colección (suma) de errores. Debido a que si un número y su parte fraccionario conformada por un conjunto de dígitos infinita requieren ser representada numéricamente es su forma aproximada es donde se presenta este tipo de error. Error relativoEs el error absoluto dividido entre un número positivo adecuado. Generalmente, el divisor es una de tres elecciones: la magnitud del valor exacto, la magnitud del valor calculado (o redondeado) o el promedio de estas dos cantidades. Errores Inherentes al uso de las Computadoras. a) Suma de números muy distintos en magnitud

Vamos a suponer que se trata de sumar 0.002 a 600 en la computadora decimal imaginaria.

0.002 = .2000 x 10-2

600 = .600 x 103

Estos números normalizados no pueden sumarse directamente y, por tanto, la computadora debe desnormalizarlos antes de efectuar la suma.

b) Resta de números casi iguales

Supóngase que la computadora decimal va a restar 0.2144 de 0.2145.

.2144 x 100 - .2145 x 100 = .0001 x 100

Como la mantisa de la respuesta esta desnormalizada, la computadora automáticamente la normaliza y el resultado se almacena como .100 x 10 -3.

Hasta aquí no hay error, pero en la respuesta hay un error significativo; por tanto, se sugiere no confiar en su exactitud, ya que un pequeño error en alguno de los números originales produciría un error relativo muy grande en la respuesta de un problema que involucra este error.

c) Overflow y Underflow

Con frecuencia una operación aritmética con dos números validos da como resultado un número tan grande o tan pequeño que la computadora no puede manejarlo ya que esta sin duda tiene un límite; como consecuencia se produce un overflow o un underflow, respectivamente.

Por ejemplo, al multiplicar 0.5000 x 104 por 0.2000 x 109 se tiene.

0.5000 x 104 x 0.2000 x 109 = 0.1000 x 1017

Cada uno de los números que se multiplican pueden guardarse en la palabra de la computadora imaginaria; sin embargo, su producto es muy grande y no puede almacenarse por que la característica requiere tres dígitos. Entonces se dice que se ha llevado a cabo un overflow.

Las computadoras por lo general reportan estas circunstancias con un mensaje que varía dependiendo de cada máquina. El underflow puede aparecer en una multiplicación o una división al igual que el overflow.

d) División entre un número muy pequeño

La división entre un número muy pequeño puede causar overflow.

Supóngase que se realiza en la computadora una división valida y que no se comete error alguno en la operación; pero considérese que ocurrió un pequeño error de redondeo previamente en el programa, cuando se calculó el denominador. Si el numerado es grande y el denominador pequeño, puede presentarse un error absoluto considerable en el cociente. Si este se resta después, de otro número del mismo tamaño relativo, puede presentarse un error mayor en la respuesta final.

e) Error de discretizacion

Dado que un numero especifico no se puede almacenar exactamente como un numero binario de punto flotante, el error generado se conoce como error de discretizacion (error de cuantificación), ya que los números expresados exactamente por la maquina(números maquina) no forma un conjunto continuo sino discreto.

f) Errores de salida

Aun cuando no se hay cometido error alguno durante la fase de cálculos de un programa, puede presentarse un error al imprimir resultados.

1.4 Software de cómputo numérico Muchos problemas de cómputo en ingeniería pueden ser divididos en pedazos de cálculos bien conocidos, como solución de sistemas de ecuaciones lineales, transformada rápida de Fourier, etc. Por consecuencia, frecuentemente el programador sólo tiene que escribir una rutina pequeña (driver) para el problema particular que tenga, porque el software para resolver las subtareas se encuentra ya disponible. De esta forma la gente no tiene que realizar el problema una y otra vez.Para álgebra lineal y algunos otros cómputos numéricos básicos hay software de calidad gratis (a través de Netlib).

NETLIB

Netlib (NET LIBrary) es una colección grande de software, documentos, bases de datos gratis que son de interés para las comunidades científicas y de métodos numéricos. El depósito es mantenido por los Laboratorios Bell de AT&T, la Universidad de Tennessee y el Laboratorio Nacional Oak Ridge, y replicado en varios sitios alrededor del mundo.

Netlib contiene software de alta calidad que ha sido probado en forma intensiva, pero todo el software libre no tiene garantía y tiene poco soporte. Para poder usar el software, primero se tiene que descargar en su computadora y entonces compilarlo.

PAQUETES DE SOFTWARE COMERCIAL PARA CÓMPUTO NUMÉRICO GENERAL: NAGEl Grupo de Algoritmos numéricos (Numerical Algorithms Group) (NAG) ha desarrollado una biblioteca de Fortran conteniendo alrededor de 1000 subrutinas accesibles al usuario para resolver problemas generales de matemáticas aplicadas, incluyendo: ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, transformada rápida de Fourier, cuadratura, álgebra lineal, ecuaciones no lineales, ecuaciones integrales, y más.

IMSLLa biblioteca numérica de Fortran IMSL hecha por Visual Numerics, Inc. cubre muchas de las áreas contenidas en la biblioteca NAG. También tiene soporte para analizar y presentar datos estadísticos en aplicaciones científicas y de negocios.

NUMERICAL RECIPESLos libros de Numerical Recipes in C/Fortran son muy populares entre los ingenieros porque pueden ser usados como libro de cocina donde se puede encontrar una "receta (recipe)" para resolver algún problema a mano. Sin embargo, el software correspondiente de Numerical Recipes no es comparable en alcance o calidad al dado por NAG o IMSL. Es un software muy usado en universidades, centros de investigación y por ingenieros. En los últimos años ha incluido muchas más capacidades, como la de programar directamente procesadores digitales de señal, crear código VHDL y otras.

MATLABEs un programa de cálculo numérico, orientado a matrices y vectores. Por tanto desde el principio hay que pensar que todo lo que se pretenda hacer con él, será mucho más rápido y efectivo si se piensa en términos de matrices y vectores.

GNU OCTAVEEs un programa libre para realizar cálculos numéricos. Como indica su nombre es parte de proyecto GNU. MATLAB es considerado su equivalente comercial. Entre varias características que comparten se puede destacar que ambos ofrecen un intérprete permitiendo ejecutar órdenes en modo interactivo. Nótese que Octave no es un sistema de álgebra computacional como podría ser GNU Máxima, sino que usa un lenguaje que está orientado al análisis numérico.

Netlib

Netlib (NET LI Brary) es una colección grande de software, documentos, bases de datos gratis que son de interes para las comunidades científicas y de métodos numéricos. El depósito es mantenido por los Laboratorios Bell de AT&T, la Universidad de Tennessee y el Laboratorio Nacional Oak Ridge, y replicado en varios sitios alrededor del mundo.

Netlib contiene software de alta calidad que ha sido probado en forma intensiva, pero todo el software libre no tiene garantía y poco (si existe) soporte. Para poder usar el software, primero se tiene que descargar en su computadora y entonces compilarlo.

Paquetes de software comercial para cómputo numérico general:

NAG

El Grupo de Algoritmos numéricos (Numerical Algorithms Group) (NAG) ha desarrollado una biblioteca de Fortran conteniendo alrededor de 1000 subrutinas accesibles al usuario para resolver problemas generales de matemáticas aplicadas, incluyendo: ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, transformada rápida de Fourier, cuadratura, álgebra lineal, ecuaciones no lineales, ecuaciones integrales, y más.

IMSL

La biblioteca numérica de Fortran IMSL hecha por Visual Numerics, Inc. cubre muchas de las áreas contenidas en la biblioteca NAG. También tiene soporte para analizar y presentar datos estadísticos en aplicaciones científicas y de negocios.

NUMERICAL RECIPES

Los libros de Numerical Recipes in C/Fortran son muy populares entre los ingenieros porque pueden ser usados como libro de cocina donde se puede encontrar una “receta (recipe)” para resolver algún problema a mano. Sin embargo, el software correspondiente de Numerical Recipes no es comparable en alcance o calidad al dado por NAG o IMSL. Es un software muy usado en universidades, centros de investigación y por ingenieros. En los últimos años ha incluido muchas más capacidades, como la de programar directamente procesadores digitales de señal, crear código VHDL y otras.

MATLAB

Es un programa de cálculo numérico, orientado a matrices y vectores. Por tanto desde el principio hay que pensar que todo lo que se pretenda hacer con él, será mucho más rápido y efectivo si se piensa en términos de matrices y vectores.

GNU OCTAVE

Es un programa libre para realizar cálculos numéricos. Como indica su nombre es parte de proyecto GNU. MATLAB es considerado su equivalente comercial. Entre varias características que comparten se puede destacar que ambos ofrecen un intérprete permitiendo ejecutar órdenes en modo interactivo. Nótese que Octave no es un sistema de álgebra computacional como podría ser GNU Máxima, sino que usa un lenguaje que está orientado al análisis numérico.

1.5 Métodos iterativos

El método de Gauss y sus variantes se conocen con el nombre de métodos directos: se ejecutan a través de un número finito de pasos y dan lugar a una solución que sería exacta si no fuese por los errores de redondeo.

Por contra, un método indirecto da lugar a una sucesión de vectores que idealmente converge a la solución. El cálculo se detiene cuando se cuenta con una solución aproximada con cierto grado de precisión especificado de antemano o después de cierto número de iteraciones. Los métodos indirectos son casi siempre iterativos: para obtener la sucesión mencionada se utiliza repetidamente un proceso sencillo.

Un método iterativo trata de resolver un problema (como una ecuación o un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial.

Esta aproximación contrasta con los métodos directos, que tratan de resolver el problema de una sola vez (como resolver un sistema de ecuaciones Ax=b encontrando la inversa de la matriz A).Los métodos iterativos son útiles para resolver problemas que involucran un número grande de variables (a veces del orden de millones), donde los métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador disponible.