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Unidad 1. Álgebra lineal
Presentación de la unidad
El álgebra lineal tiene un enfoque amplio, ya que se encarga del estudio de conceptos tales como vectores, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. De manera más formal el álgebra lineal estudia los espacios vectoriales y las transformaciones lineales.
En esta unidad, revisarás temas de historia del álgebra lineal, vectores, operaciones con vectores, productos vectoriales y triples productos. También, encontrarás ejemplos, ejercicios y planteamientos de problemas, y conforme vayas conociendo la teoría, podrás darte cuenta de cómo esta información es útil para resolver los problemas.
Se considera que es muy importante conocer un poco sobre el origen del álgebra lineal, ya que el ser humano ha utilizado las matemáticas para beneficiarse desde la antigüedad hasta nuestros días. Entre una de las primeras necesidades que tuvieron fue la de contar, muestra de ello, la podemos encontrar en las diferentes culturas: maya, china, inca, etc.
Las operaciones con vectores, tales como la suma, resta y multiplicación te permitirán resolver situaciones de la vida cotidiana, por ejemplo, las ganancias que obtiene un comerciante se pueden determinar por medio del producto escalar. Los productos vectoriales tienen diversas aplicaciones, sobre todo en las ramas de la Física. El triple producto te permitirá hallar el volumen de un paralelepípedo sin necesidad de aplicar la fórmula geométrica, esto lo podemos hacer representando la figura en el plano y conociendo los valores de cada uno de los componentes del vector.
En la actualidad, muchos problemas se plantean en términos de una ecuación o de un sistema de ecuaciones, los cuales contienen las restricciones en cada uno de los problemas. La interpretación de los resultados te permitirá elegir la mejor opción y de esta manera podrás ofrecer alternativas a la sociedad para que se vean beneficiados con las aplicaciones del álgebra lineal.
Propósitos de la unidad
Identificarás los aspectos históricos que permitieron el desarrollo del álgebra lineal.
Representarás los vectores en el plano y en el espacio para resolver problemas de distintas áreas utilizando vectores
Competencia específica
Uiliza vectores para resolver problemas de distintas áreas mediante el álgebra vectorial
1.2. Vectores
En diferentes libros se encuentra el concepto de vector, en la mayoría de ellos, se representa como una línea que apunta hacia alguna parte. En diferentes áreas de las ciencias, se utilizan los vectores para facilitar la información que se tiene de algún fenómeno, proyecto o situación que se plantea, debido a que representa la información de manera ordenada, general y simple, podría decirse que es un símbolo general que facilita la representación de un problema
En la vida cotidiana, hemos usado los vectores sin darnos cuenta. Por ejemplo, al ver una señal en la carretera en la cual se muestra una flecha, al ver los juegos de video cuyos controles indican diferentes direcciones para moverse, al ver correr el agua en una pendiente y en varias situaciones más.
1.2.1. Conceptos básicos
Uno de los conceptos más importantes en Matemáticas es el de vector, ya que por medio de un vector puedes ubicar el lugar en el que se encuentra un avión, un barco, un automóvil, etc. Para determinar la ubicación de cada uno de ellos, es necesario, conocer la distancia, la dirección y el sentido
1.2.5. Componentes de un vector: horizontal y vertical
Existen dos vectores en el plano, éstos permiten obtener a todos los demás. Dichos vectores son el (1, 0), representado por i y el vector (0, 1), representado por j.
Así, si v = (a, b) es un vector del plano, entonces, se puede escribir (a, b) de la siguiente manera:
La coordenada a coma be es igual a la suma de los productos de a con la coordenada uno coma cero más be con la coordenada cero coma uno.
también, se puede escribir a v como:
El vector uve es igual a la coordenada a coma be es igual a la suma de los productos de a con i y be con jota.
Con la representación anterior, se dice que v está en términos de sus componentes rectangulares
1.2.6. Igualdad de vectores
Vectores iguales
Dos vectores son iguales, únicamente cuando cada uno de sus componentes son iguales entre sí, es decir, para que los vectores: u=(a, b, c) y v=(d, e, f) sean iguales, entonces, a=d, b=e, c=f.
Vectores distintos
Los vectores: u=(2, 3, -5) y v=(2, -3, -5) son distintos, debido a que el signo de la segunda coordenada de u es diferente de la segunda coordenada de v, por lo cual, no se puede decir que los vectores sean los mismos.
Si bien, es cierto que dos vectores necesitan tener las mismas coordenadas para ser iguales, a pesar de esto, dos vectores pueden tener diferentes extremos y ser iguales
1.3. Operaciones con vectores
Debido a su uso, los vectores poseen ciertas propiedades que permiten sumarlos, restarlos y multiplicarlos, sin estas propiedades, prácticamente serían inservibles, ya que se utilizarían únicamente como una representación de un problema sin mayor uso.
Sabías que...
Actualmente, se les da un uso similar al de los números racionales, ya que a pesar de no poder colocar todos sus elementos, se sobrentiende la manera en que éstos se extienden. Por ejemplo, al colocar una serie de números: 2, 4, 6, 8 …, se deduce que se deben colocar los números pares, de manera análoga, con el uso de vectores se puede escribir u=(2, 4, 6, 8,….) y de igual manera se entiende con este lenguaje. A continuación, verás las operaciones que se pueden efectuar con los vectores, sus propiedades y algunos de sus usos.
1.3.1. Multiplicación de un escalar por un vector
Cuando un vector es multiplicado por un escalar, es decir un número, puede causarle un cambio de sentido o de magnitud.
Si un vector se multiplica por un escalar, el nuevo vector tiene la misma dirección y sentido si el escalar es positivo, pero su magnitud puede ser distinta.
Los vectores pueden aumentar o disminuir su tamaño. Por ejemplo, si se multiplica un vector por un escalar mayor que 1, aumenta su tamaño y si se multiplica por un escalar menor que 1, disminuye el tamaño del vector.
Si un vector se multiplica por un escalar negativo cambia su sentido. El tamaño del vector puede aumentar o disminuir si el escalar es mayor o menor que 1.
Utilizarás vectores y los multiplicarás por un escalar.
Sea el vector v=(a, b) y sea Alfa un número, se tiene:
El producto de alfa con uve es igual a la coordenada del producto de alfa con a coma el producto de alfa con be.
con lo que:
La magnitud del producto de alfa con el vector uve es igual a la raíz cuadrada de la suma de los productos elevados al cuadrado de alfa con a y alfa con be.
Es igual a la suma de los productos de alfa elevada al cuadrado con a elevada al cuadrado y alfa elevada al cuadrado con be elevada al cuadrado.
Es igual al producto del valor absoluto de alfa con la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de a y be.
Es igual al producto punto del valor absoluto de alfa con la magnitud del vector uve.
Cuando un vector es multiplicado por un escalar distinto de cero hace que la longitud de dicho vector se multiplique por el valor absoluto del escalar
1.3.2. Propiedades del producto de un vector por un escalar
A continuación, se presentan algunas propiedades del producto de un vector por un escalar.
Sean v y w vectores y sean alfa y beta escalares, entonces, se cumplen las siguientes propiedades del producto:
Multiplicación de un vector por un escalar αu.
2 Propiedad distributiva de la suma de vectores con respecto a un escalar: α(u+v) = αu + αv
3 Propiedad distributiva de la suma de dos escalares por un vector: (α+β)u=αu+βu
4 Propiedad asociativa de los escalares con respecto a un vector: α(βu)=(αβ)u
En el subtema 1.3.1. Multiplicación de un escalar por un vector, sólo se utilizó y se comprobó la primera propiedad, es decir, la multiplicación de un vector por un escalar, conforme avances en el curso, si es necesario se hará uso y demostración de las demás
Suma de vectores en el espacio
El proceso para sumar vectores en el espacio es similar al de la suma de vectores en el plano, lo único que cambia es la suma de tres coordenadas, como se muestra a continuación:
Sean El vector u es igual a las coordenadas a subíndice uno coma a subíndice dos coma a subíndice tres. y El vector uve es igual a la coordenada be subíndice uno coma be subíndice dos coma be subíndice tres. dos vectores, entonces la suma de ellos se representa por u + v:
La suma de los vectores de u y uve es igual a la coordenada la suma de a subíndice uno y be subíndice uno coma a subíndice dos y be subíndice dos coma a subíndice tres y be subíndice tres.
1.3.4. Resta de vectores
¿Cómo te imaginas que debe
ser el procedimiento para restar
vectores en el plano?
En la suma de dos vectores es necesario unir los vectores por su origen, se traza el vector paralelo a cada uno de los vectores y se forma el paralelogramo, a continuación, se traza un nuevo vector que es la diagonal del paralelogramo, el cual representa la suma de los vectores.
La resta de vectores es muy similar a la suma. Para poder obtener la resta de los vectores, se restan las coordenadas que se encuentran en la misma posición de cada uno de los vectores.
1.4. Productos vectoriales
Los productos vectoriales tienen diversas aplicaciones, sobre todo en las ramas de la Física, de igual manera, es común encontrarlos en diferentes situaciones de nuestra vida
Ejemplo
Vectores en la vida cotidiana
Un ejemplo del uso de vectores en la vida cotidiana se puede observar en una competencia de salto de longitud. Aparentemente, ésta consiste en correr, saltar y caer, pero en esta actividad también intervienen los vectores.
Si todos los atletas tienen las mismas capacidades físicas, los vectores definirían quién sería el ganador, debido a un producto de dos vectores: uno que estaría representado por la velocidad de un atleta y otro, representado por la velocidad con la cual salta. Este producto, permitiría encontrar el ángulo entre los vectores ya mencionados, y a partir de él, se puede encontrar la dirección en qué los atletas deben saltar para llegar más lejos
.4.1. Producto punto
Sean El vector u es igual a la coordenada a subíndice uno coma be subíndice uno. y El vector uve es igual a la coordenada a subíndice dos coma be subíndice dos., entonces, se define el producto escalar o producto punto de dos vectores El producto punto de u con uve. como sigue:
El producto punto de u con uve es igual a la suma de los productos de a subíndice uno con a subíndice dos y be subíndice uno con be subíndice dos.
Esto significa que el producto escalar de dos vectores da como resultado un escalar, de ahí que lleve el nombre de producto escalar.
A continuación, verás la representación geométrica del producto escalar de dos vectores.
Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Entonces el ángulo Tetaentre u y v está definido como el ángulo más pequeño entre las representaciones de u y v que tienen el origen como punto inicial.
Si El vector u es igual al producto de alfa con uve. para algún escalar Alfa, entonces:
Teta es igual a cero si alfa es mayor que cero.
Teta es igual a pi si alfa es menor que cero.
El ángulo comprendido entre dos vectores puede presentarse de diferentes formas…
1.4.2. Condición de perpendicularidad
Antes de comenzar con las condiciones que deben cumplir dos vectores para ser perpendiculares, verás los vectores paralelos.
Definición de vectores paralelos
Dos vectores diferentes de cero u y v son paralelos si el ángulo que existe entre ellos es cero o π.
Esta condición, dice que los vectores paralelos pueden tener la misma dirección u otra diferente, dependiendo del valor del ángulo que entre ellos existe.
El cálculo del producto escalar de dos vectores paralelos, se realiza de manera similar al producto de dos vectores no paralelos, el resultado del producto es lo que hace ver si dos vectores son o no paralelos.
1.4.2. Condición de perpendicularidad
Da clic en cada vínculo y lee con atención los siguientes ejemplos y teoremas que te permitirán diferenciar si dos vectores son paralelos o perpendiculares
1.4.3. Propiedades del producto punto
El producto punto tiene propiedades básicas dentro del álgebra lineal que se presentan en el siguiente mapa conceptual.
Demostración de la Propiedad conmutativa
Dados los vectores u y v, demostrar que:
El producto punto de u con uve es igual al producto punto de uve con u.
supón que u=(a, b) y además que v=(c, d). Ahora:
El producto punto de u con uve es igual al producto punto de los pares ordenados a coma be y ce coma de
es igual a la suma de a por ce más be por de.
Debido a que a ce y be de, es el producto ordinario de dos números, entonces se puede utilizar la conmutatividad de la multiplicación.
El producto punto de u con uve es igual a la suma de ce por a más de por be.
Es igual al producto cruz de los pares ordenados ce coma de con a coma be.
Es igual al producto punto de uve con u.
con lo cual, se demuestra la primera propiedad del producto escalar.
1.4.4. Aplicaciones del producto punto
En esta sección se dará respuesta a un problema, con el fin de mostrar las aplicaciones que tiene el producto punto o escalar.
Planteamiento del problema
Un piloto de una prestigiada aerolínea mexicana tuvo vacaciones en su trabajo y regresó con su familia a la capital mexicana, debido a que viajó por todo el mundo, traía consigo efectivo en diferentes tipos de monedas, siendo éstas: 8,500 yen, 300 libras esterlinas, 400 euros, 85 dólares, 500 soles y 200 francos suizos. Si el tipo de cambio en moneda mexicana es de 0.16 el yen, 20.15 una libra esterlina, 16.76 un euro, 12.96 el dólar, 4.7 el sol y 13 el franco suizo.
Aplicaciones del producto punto
Lee atentamente cada proposición.
Ingresa tu respuesta en el recuadro que se encuentra debajo de los enunciados.
Enseguida da clic sobre el botón Compara tu respuesta.
Con base en el análisis y la investigación que realizaron y comentaron en los foros Análisis del problema I y II, efectúen lo siguiente: 1.Elaboren un reporte donde desarrollen los siguientes puntos:
##¿Existía claridad en el planteamiento del problema?
##¿Se proporcionaron los datos necesarios para resolverlo o hacían falta?
##De manera general respondan ¿Cuál es la información o aspectos que consideran importantes de comprender y obtener para poder resolver problemas en diferentes situaciones y contextos?
##Investiguen la relación del álgebra lineal con otras disciplinas y en específico con su carrera.
##Escriban cómo podrían aplicarla en la vida diaria y en su carrera.
*El reporte debe tener una extensión máxima de cinco hojas, carátula con los nombres de los integrantes, introducción, desarrollo (solución a las preguntas), conclusión y bibliografía consultada. Es necesario que la redacción del mismo sea clara y sin errores ortográficos
2.Antes de enviar su documento, nombren a su equipo.
3.Guarden su documento con la siguiente nomenclatura ALI_U1_RP_XX. Sustituyan las XX por las dos primeras letras del nombre de su equipo.
*Recuerden que su archivo no debe pesar más de 4 MB.
4.Envíen su documento y esperen la retroalimentación de su Facilitador(a).
*Recuerden que el (la) moderador(a) es responsable de enviar el documento creado por todos(as) los (las) integrantes del equipo.
Para enviar el documento: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clic en Álgebra. Se enlistarán las actividades, da clic en Reporte: Solución del problema.
1.5.1. Triple producto escalar
Se llama triple producto escalar, al escalar que se obtiene de un producto cruz entre dos vectores, seguido de un producto escalar.
Sean u, v y w tres vectores en el espacio, el producto definido como sigue:
Se conoce como triple producto escalar la interpretación geométrica que tiene este producto, que es similar a la que tiene el producto punto, puesto que se realiza como operación final.
El producto entre dos vectores es el que resulta del producto cruz y el último vector introducido.
Sobre los triples productos escalares, se tiene:
1.5.2. Triple producto vectorial
En este subtema se introduce una breve noción del triple producto vectorial, debido a que más adelante se utilizará, aunque no se especificará qué es un triple producto vectorial.
La representación de un triple producto vectorial es la siguiente:
Sean u, v y w, tres vectores en el espacio, el producto cruz de estos tres vectores está representado por:
El producto cruz de u con el producto cruz de uve con doble uve.
El resultado del producto anterior, es un vector que se encuentra en el mismo plano que v y que w.
Cierre de la unidad
En esta unidad identificaste algunos aspectos históricos que permitieron el desarrollo del álgebra lineal, además revisaste temas sobre vectores, operaciones con vectores, productos vectoriales y triples productos.
También, realizaste ejercicios y análisis que te apoyaron para seleccionar información, de tal manera que pudiste darte cuenta qué es necesario y útil para plantear tanto soluciones como problemas.
Cierre de la unidad
Repasa los temas y subtemas que no hayan quedado claros. Pide ayuda a tu Facilitador(a) si necesitas resolver tus dudas.
Relaciona los temas que revisaste con otras disciplinas e investiga cómo se aplican, esto te ayudará a comprender más la asignatura y otros temas que revisarás más adelante.
Para saber más
##Introducción a Matlab. Consultado el 12 de septiembre de 2010 en: <http://www.mat.ucm.es/~jair/matlab/notas.htm>
Bibliografía
•Bernard Kolman, David R. Hill. (2006). Algebra lineal. México: Pearson Educación.
•Lay, D. C. (2007). Álgebra lineal y sus aplicaciones. México: Pearson Educación.
•Williams, G. (2004). Álgebra lineal con aplicaciones. México: Mc Graw Hill.
Fuentes electrónicas:
•Corcobado, J. L. y Marijuán, J. Matemáticas I. Consultado el 12 de septiembre de 2010 en: http://www.sectormatematica.cl/libros.htm
•Un viaje por la historia de las matemáticas en China. Consultado el 12 de septiembre de 2010 en: http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo_4032_un_viaje_por_historia_las_matematicas_china.htm
•http://www.edomex.gob.mx/medioambiente/dependencias/dcypc/ecotecnias/impermeabilizantenatural
