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Una introducción sencilla a los métodos cuantitativos.
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Introduccin a mtodos cuantitativos
Unidad I - Clase 1
Plano cartesiano
Distancia entre dos puntos y punto medio.
Pendiente y ecuacin de la recta.
1
Las noticias nos proporcionan
informacin sobre el huracn
Claudius. El huracn se encuentra
cerca de la interseccin de la lnea
vertical que indica los 91o de
longitud y la lnea horizontal que
seala los 25o de latitud. Este punto
se puede identificar asignndole un
par ordenado de nmeros,
conocidos como coordenadas, que
muestran primero la longitud y
despus la latitud.
De este modo, el huracn Claudius
tendra las coordenadas: (91, 25).
91: es la longitud (unidades a la derecha o a la izquierda)
25: es la latitud (unidades hacia arriba o hacia abajo)2
3Coordenadas de un punto
Frecuentemente, para ubicar la posicin de un objeto en un plano, se considera un
punto de referencia llamado origen, por el cual se trazan dos ejes perpendiculares como
se muestra enseguida:
1 2 3 4 5
1
2
3
0
Eje horizontal
Distancia de la casa al eje horizontal
Eje vertical
Origen
Distancia de la casa
al eje vertical
Observa que cada eje es una copia de la recta numrica.
La distancia de la casa al eje horizontal es 3 unidades.
La distancia de la casa al eje vertical es 4 unidades.
Los nmeros 3 y 4 forman una pareja que se ordena (4, 3) y se llama las
coordenadas del punto en el cual se ubica la casa.
4Ejemplo 1 Localizar en el plano cartesiano el punto de coordenadas (3, 2)
1
3
01 2 3 4
2
4
y
x
(3, 2)
Al eje horizontal se le llama eje de las abscisas o eje de las x, y al eje vertical se le
llama eje de las ordenadas o eje de las y, a un diagrama coordenado como el anterior
se le llama sistema de coordenadas cartesianas o plano cartesiano.
Una pareja ordenada se puede localizar en el plano, teniendo en cuenta que cada
pareja denota un recorrido desde el origen hacia la derecha o hacia la izquierda; y
luego, hacia arriba o hacia abajo, dependiendo ello del signo de cada coordenada o
componente de la pareja.
5Ejemplo:
En el siguiente diagrama, cul es la posicin de cada uno de los aviones?
x
1
3
0 1 2 3 4
2
4
5 6 7
y
5
32
1
-1
-2
-3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
b
a
-
-
Sistema coordenado rectangular
X
Y
a: abscisa de P
b: ordenada de P
P(a,b)..( + , + )
.( - , + )
.( - , - ) .( + , - )
II
III IV
I
6
Ejemplo:
Ubique cada uno de los puntos siguientes en el plano cartesiano:
A(0, -2), B(10, 0), C(3, -2),
D(3 , 5), E(-1.5, 9)
7
Si a y b son nmeros reales tales que: a>0 y
b
9x
1
3
0 1 2 3 4
2
4
5 6 7
y
5
Distancia entre dos puntos
A
BC
D
E
Cul es la distancia entre el avin A y el B? o Cules la distancia entre el avin C y el D?
La distancia entre dos puntos del plano P1 (x1, y1)
y P2 (x2, y2) se puede obtener a travs de la
siguiente frmula:
d(P1, P2) = 2
21
2
21 )()( yyxx
Distancia entre dos puntos
11
Distancia entre dos puntos
Particularidades:Si dos puntos difieren slo en una de
sus coordenadas, la distancia entre
ellos es el valor absoluto de su
diferencia.
Caso 1 Caso 2
Determinar la distancia entre el puntoF = ( 2, 5 ) y el punto M = ( 2, - 3 )
Ejemplo:
12
Determinar la distancia entre el puntoP = ( 3 , 17 ) y el punto Q = ( 17 ,17)
Ejemplo:
13
Distancia entre dos puntos
x
y
.P1
.P2
x1 x2
y2
y1 |x2 - x1 |
|y2 - y1 |
d(P1, P2) = ( ) ( )x x y y1 22
1 2
2 14
Determinar la distancia entre el puntoM = (4.7,- 5.2) y el punto F = (- 1.3, 2.8)
Ejemplo:
15
Frmula de punto medio de un segmento
x
y
x1 x2
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
.M(x,y)
x
x1 + x22
M = (---------, ---------)y1 + y22 16
Determinar el punto medio de lossiguientes segmentos:
1.( 2 , 7 ) y (- 2 , 4 )
2.( - 3.14 , 1.42 ) y ( 3.14 , - 1.42 )
3.( 0.75 , 1.72 ) y ( 0.25 , - 6 )
Ejemplo:
17
Qu significan estas seales de trnsito?
18
L1
L2
0 x
y Cul de las rectas est ms inclinada?
Cmo medimos esa inclinacin?
Pendiente de una recta l
19
La pendiente m de la recta l es:
Cambio en y yCambio en x x
m = =
20
Sea l una recta no vertical que pasa por
los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2).
y2 - y1x2 - x1
m =
Clculo de la pendiente de una
recta
21
0 x
y
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
x=x2 - x1
y=y2 - y1
y2 - y1x2 - x1
m =
Clculo de la pendiente de una
recta
22
Ubique los puntos en el plano y determine la pendiente de estos segmentos:
1. A(-6, 1) y B(1, 2)
2. C(-1, 4) y D(3, 1)
3. E(4, 2) y F(6, 2)
4. G(2, 1) y H(2, -3)
Ejemplos
23
1. Si m>0 la recta l es creciente
2. Si m
25
x
y
m = 0
x
y
NO existe m
(Indefinida)
x
y
x
y
m > 0 m < 0
Tipos de pendiente
La ecuacin de la recta de pendiente m,
y punto de paso (x1, y1) es:
(x1, y1)y - y1 = m(x - x1)
X
Y
Ecuacin de la recta 1.
26
27
y y1 = m (x x1)
Cul es la ecuacin de la recta de pendiente m = -6, que
pasa por el punto (3,-2) es:
y (-2) = -6 (x 3)
y + 2 = -6x + 18
y = -6x + 16
Ejemplo:
La grfica de una recta de pendiente m y
ordenada en el origen b, es:
by = mx + b
X
Y
Ecuacin de la recta 2.
28
29
Ejemplo: Dada la grfica de la recta, encontrar su ecuacin principal.
b = 3.
Por lo tanto, la pendiente (m) de la recta es 2, y el coeficiente de posicin o intercepto
es 3 (ordenada del punto donde la recta intersecta al eje Y), de modo que su ecuacin
principal es y = 2x + 3
Con (0,3) y (1,5) encontraremos su pendiente
5 3
1 0m =
2
1m = = 2
-1-2
-2
-1
ECUACIN GENERAL DE LA RECTA
La grfica de una ecuacin lineal:Ax + By = C, es una recta,
y recprocamente, toda recta es la grfica de una ecuacin lineal:Ax + By = C
Ecuacin de la recta 3.
30
m1 = m2
Dos rectas no verticales l1 y l2 cuyas
pendientes son m1 y m2 , son paralelas (l1 // l2) si y slo si tienen
la misma pendiente.
Es decir:
Rectas paralelas
31
32
Rectas paralelas
Ejemplo: l1: y = 5x +3 y l2: y = 5x - 10
(m = 5) (m = 5)
m1 . m2 = -1
Dos rectas no verticales l1 y l2 cuyaspendientes son m1 y m2 , son perpendiculares (l1 l2) si y slo siel producto de sus pendientes es -1.
Es decir:
Rectas perpendiculares
33
34
l1: y = -5x +3 y l2: y = 2x - 102 5
(m = -5 )2
(m = 2 )5
Rectas perpendiculares
Ejemplo:
A. Conociendo dos puntos de paso.1. A (-2,4) , B(3, 7)
2. A(-4,-6) , B(6, 8)
B. Conociendo un punto y su pendiente.
1. A(5, -3) y m = -2
2. A(-1, 8) y m = 3
Determinar la ecuacin de las rectas bajo las siguientes condiciones:
35
Graficar las rectas determinadas anteriormente
Grafica de una recta
Sugerencia:
Encontrar los puntos de interseccin con los
ejes coordenados y unirlos.
36
Interceptos con los ejes
Los puntos de interseccin de la grficade una ecuacin con los ejes
coordenados X e Y son:
Con eje X: (a, 0)
Se obtiene haciendo y = 0
Con eje Y: (0, b)
Se obtiene haciendo x = 0
37
4xyc)
y4b)
32xya)
x
Ejemplo:
Dibujar las siguientes grficas dando los
interceptos con los ejes
38