Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

SOLUCIONES POR SUSTITUCION(Método de sustitución)

Sustituciones

Suponga que se desea transformar la ecuación diferencial de primer ordenmediante la sustitución y=g(x,u),donde u se considera una función de la variable x.Si g posee derivadas parciales, entonces la regla de la cadena genera

),( yxfdx

dy

dx

du

u

g

dx

dx

x

g

dx

dy

.),(),(dx

duuxguxg

dx

dyux

Sustituciones…

Si dy/dx se sustituye por la derivada anterior y y se reemplaza en f(x,y) por g(x,u) entonces, la ecuación diferencial se convierte en

que si se resuelve para du/dx, tiene la forma:

Si de esta última ecuación se puede determinar una solución u=(x), entonces una solución de la ecuación diferencial original es y=g(x,(x)).

),( yxfdx

dy

)),(,(),(),( uxgxfdx

duuxguxg ux

).,( uxFdx

du

Funciones homogéneas

Si una función f posee la propiedad f(tx,ty)=tf(x,y) para algún número real , se dice entonces que f es una función homogénea de grado .

Por ejemplo:f(x,y) = x3+y3 es una función homogénea de grado 3 mientras que f(x,y) = x3+y3 +1 no lo es.

Polinomios homogéneos

Polinomios homogéneos son aquellos en los que todos los términos son del mismo grado.

Ejemplos:x2y + 8xy2 – x3 +y3

(la suma de los exponentes de cada uno de los cuatro términos son de grado 3).

5x2y3 + 4xy4 +8x5

(la suma de los exponentes de cada uno de los tres términos son de grado 5).

Ecuaciones homogéneas

Cuando las funciones M(x,y) y N(x,y) de la ecuación diferencial de primer orden M(x,y)+N(x,y)=0 son ambas polinomios homogéneos del mismo grado “n”, la ecuación diferencial se denomina: ecuación diferencial homogénea de grado n.

Ecuaciones homogéneas…

Para la ecuación diferencial homogénea M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, M y N tienen la propiedad de que para toda t>0, la sustitución de x por tx y la de y por ty hace que M y N sean del mismo grado n.

En otras palabras, la ecuación diferencial es homogénea si: M(tx,ty)=tnM(x,y) y N(tx,ty)=tnN(x,y).Para n R.

Ecuaciones homogéneas…

Las ecuaciones diferenciales homogéneas de grado n siempre se pueden reducir a ecuaciones diferenciales de variables separables, utilizando cualquiera de las dos sustituciones, o cambios de variables siguientes:

.;

;

dy

duyu

dy

dxuyx

y

xu

dx

dvxv

dx

dyvxy

x

yv

Problema

Resuelva la ecuación diferencial

mediante la sustitución:

dx

dvxv

dx

dyvxy

x

yv ;

0222 dyxyxdxyx )()(

Ecuación de Bernoulli

La ecuación diferencial

Donde n es cualquier real se llama Ecuación de Bernoulli.

Para n=0 y n=1 la ecuación anterior es lineal. Para n diferente de 0 ó 1, la sustitución u=y1-n

reduce la ecuación de Bernoulli a una ecuación lineal.

nyxfyxPdx

dy)()(

Ecuación de Bernoulli…

Resuelva la ecuación diferencial con la sustitución adecuada.

2

1

yy

dx

dyx

Otras reducciones

Una ecuación diferencial de la forma:

Se reduce siempre a una ecuación con variables separables por medio de la sustitución:

)( CByAxfdx

dy

.0 BconCByAxu

Otras reducciones…

Resuelva las ecuaciones diferencial con la sustitución adecuada.

23 2 )( yxdx

dy

21)( yxdx

dy