Unidad 10 – Trigonometría en ángulos orientadossaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/70/...Razones trigonométricas de ángulos agudos. Determina las razones trigonométricas

Unidad 10 – Trigonometría en ángulos orientados PÁGINA 174

SOLUCIONES_________________________________________________________________

Razones trigonométricas de ángulos agudos.

Determina las razones trigonométricas de los ángulos marcados en los siguientes triángulos. a)

2 2 2 2 2 2Teorema de Pitágoras: 5 4 3 cmcateto opuesto 4sen( ) 0 '8

hipotenusa 5cateto contínuo 3cos( ) 0 '6

hipotenusa 5cateto opuesto 4cos( ) 1'33cateto contínuo 3

H C c C c

b)2 2 2 2 2 2Teorema de Pitágoras: 12 5 13 cm

cateto opuesto 5sen( ) 0 '38hipotenusa 13

cateto contínuo 12cos( ) 0 '92hipotenusa 13

cateto opuesto 5cos( ) 0 '42cateto contínuo 12

H C c H H

471

Determina las razones trigonométricas restantes si: 2 2

2 2 2

2 2 2 2

a) sen ( ) cos ( ) 11 24cos ( ) 1 sen ( ) cos ( ) 1 cos( ) 0 '9825 25

sen( )tan( ) 0 '20cos( )

1sen( ) , cos( ) 0 '98, tan( ) 0 '205

s en( )b) tan( ) 2 s en( ) 2cos( )cos( )

s e n ( ) cos ( ) 1 4cos ( ) cos ( )

2

2 2 2 2

2

11cos ( ) cos( ) 0 '45 s en( ) 0 '895

sen( ) 0 '89, cos( ) 0 '45, tan( ) 2

c) tan( ) 3sen( )tan( ) 3 sen( ) 3 cos( )cos( )

sin ( ) cos ( ) 1 3cos ( ) cos ( ) 1

1 1 3cos ( ) cos( ) sen( )4 2 2

3sen( ) , cos( )2

1 , tan( ) 32

472

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SOLUCIONES_________________________________________________________________

1.a) La división 735º entre 360º, da como cociente 2, y de resto 15, luego da dos vueltas y se corresponde con un ángulo de 15º.

b) La división 1010º entre 360º, da como cociente 2, y de resto 290, luego da dos vueltas y, al trasladar el ángulo de 290º al primer cuadrante, se corresponde con un ángulo de 70º.

c) La división 900º entre 360º, da como cociente 2, y de resto 180. Da dos vueltas y no tiene correspondencia con el primer cuadrante.

d) La división 630º entre 360º, da como cociente 1, y de resto 270, luego da una vuelta y se corresponde con un ángulo de 90º.

e) La división 1470º entre 360º, da como cociente 4, y de resto 30, luego da cuatro vueltas y se corresponde con un ángulo de 30º.

2.a)cos( ) primera coordenada del punto cos(90º ) 0

sen( ) segunda coordenada del punto sen(90º ) 1

sen( ) segunda coordenada del punto 1tan( ) tan(90º )cos( ) primera coordenada del punto 0

x

y

yx

la tangente del ángulo.

b)cos( ) primera coordenada del punto cos(270º ) 0


sen( ) segunda coordenada del punto 1tan( ) tan(270º )cos( ) primera coordenada del punto 0

x

y

yx

la tangente del ángulo.

473

c)cos( ) primera coordenada del punto cos(360º ) 1


sen( ) segunda coordenada del punto 0tan( ) tan(360º ) tan(360º )cos( ) primera coordenada del punto 1

x

y

yx

0

d)cos( ) primera coordenada del punto cos(450º ) cos(90º ) 0 cos(450º ) 0

sen( ) segunda coordenada del punto sen(450º ) sen(90º ) 1 sen(450º ) 1

sen( ) segunda coordenada del puntotan( )cos( ) primera c

x

y

yx

sen(450º ) sen(90º )oordenada del punto

la tangente del ángulo

e)cos( ) primera coordenada del punto cos(720º ) cos(360º ) cos(720º ) 1

sen( ) segunda coordenada del punto sen(720º ) sen(360º ) sen(720º ) 0

sen( ) segunda coordenada del puntotan( )cos( ) primera coo

x

y

yx

0tan(720º ) tan(360º ) tan(720º ) 0 rdenada del punto 1

3.A todos aquellos ángulos cuyo coseno sea nulo.

474

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SOLUCIONES_________________________________________________________________

4.

2 2 2 2

2

a) sen( ) 0 '2sen ( ) cos ( ) 1 cos ( ) 1 sen ( ) 1 0 '04 0 '96 cos ( )= 0'98Como queremos que el ángulo esté en el segundo cuadrante, su coseno tiene que ser negativo,

luego cos( ) 0 '98

1b) sen( )5

sen ( 2 2 2 1 24 2 6) cos ( ) 1 cos ( ) 1 sen ( ) 1 cos ( )= 0 '9825 25 5

Como queremos que el ángulo esté en el segundo cuadrante, su coseno tiene que ser negativo,

luego cos( ) 0 '98

5.

2 2 2 2

2a) cos( )3

4 5 5sen ( ) cos ( ) 1 sen ( ) 1 cos ( ) 1 sen( )= 0 '759 9 3

Como queremos que el ángulo esté en el tercer cuadrante, su seno tiene que ser negativo,

luego sen( ) 0 '75

475

2 2 2

b) tan( ) 1sen( )tan( ) 1 sen( ) cos( )cos( )

2sen ( ) cos ( ) 1 2sen ( ) 1 sen( )2

Como queremos que el ángulo esté en el segundo cuadrante, su seno tiene que ser negativo,

2luego sen( )2

6.

2 2 2 2

a) cos( ) 0 '5sen ( ) cos ( ) 1 sen ( ) 1 cos ( ) 1 0 '25 0 '75 sen( ) 0 '87Si el ángulo está en el cuarto cuadrante, su seno es negativo, luego tomamos el valor 0 '87

sen( ) 0 '87tan( ) , luego cos( ) 0 '5

2 2 2 2

tan( ) 1'73

1b)sen( )4

1sen ( ) cos ( ) 1 cos ( ) 1 sen ( ) 1 0 '875 cos( ) 0 '948

Si el ángulo está en el cuarto cuadrante, su coseno es positivo, luego tomamos el valor 0 '94.1sen( ) 4tan( )

cos( ) 0, luego tan( ) 0 '27

'94

476

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SOLUCIONES_________________________________________________________________

7.a) Grados Radianes

30 180º radianes.180 6 6

30º

b) Grados Radianes 180º 120º

x xx

120 2 2 radianes.180 3 3

c) Grados Radianes60 180º radianes.180 3 3

60º

d) Grados R

x xx

x xx

adianes300 5 5 180º radianes.180 3 3

300º

e) Grados Radianes 180º 234º 34' 29''

x xx

x

234º 34' 29'' 1'3 1'3 radianes.180º

f) Grados Radianes169º 21' 12'' 180º 0 '94 0 '94 radianes.

180º 169º 21' 12''

x x

x xx

477

8.

a) Radianes Grados180 180º 90 90º

2

2

b) Radianes Grados 180º

3

x x

x

180 60 60º3

c) Radianes Grados2 180 180º 72 72º5

2 5

d) Radianes Grados

x x

x

x x

x

180 180º 30 30º6

6

e) Radianes Grados5 180 180º 150 150º6

5 6

x x

x

x x

x

478

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SOLUCIONES_________________________________________________________________

9.a) El ángulo de 133º pertenece al segundo cuadrante, luego, su correspondiente en el primer cuadrante es: 180º 133º 47º .Así, sus razones trigonométricas se relacionan del modo siguiente:sen(133º) sen(47º) 0 '73cos(133º) cos(47º) 0 '68tan(133º) tan(47º) 1'07

Luego: sen(133º) 0 '73, cos(133º) 0 '68, tan(133º) 1'07

b) El ángulo de 195º pertenece al tercer cuadrante, luego, su correspondiente en el primer cuadrante es: 195º 180º 15º .Así, sus razones trigonométricas se relacionan del modo siguiente:sen(195º) sen(15º) 0 '26cos(195º) cos(15º) 0 '97tan(195º) tan(15º) 0 '26

Luego: sen(195º) 0 '26, cos(195º) 0 '97, tan(195º) 0 '26

479

c) El ángulo de 215º pertenece al tercer cuadrante, luego, su correspondiente en el primer cuadrante es: 215º 180º 35º.Así, sus razones trigonométricas se relacionan del modo siguiente:sen(215º) sen(35º) 0 '57cos(215º) cos(35º) 0 '82tan(215º) tan(35º) 0 '7


d) El ángulo de 110º23'10'' pertenece al segundo cuadrante, luego, su correspondiente en el primer cuadrante es: 180º 110º 23'10 '' 69º 36 '5 ''.Así, sus razones trigonométricas se relacionan del modo siguiente:sen(110º23'10'') sen(69º 36 '5 '') 0 '94cos(110º23'10'') cos(69º36 '5 '') 0 '35tan(110º23'10'') tan(69º36 '5 '') 2 '69

Luego: sen(110º23'10'') 0 '94, cos(110º23'10'') 0 '35, tan(110º23'10'') 2 '69

e) El ángulo de 335º pertenece al cuarto cuadrante, luego, su correspondiente en el primer cuadrante es: 360º 335º 25º .Así, sus razones trigonométricas se relacionan del modo siguiente:sen(335º) sen(25º ) 0 '42cos(335º) cos(25º ) 0 '91tan(335º) tan(25º ) 0 '47

Luego: sen(335º) 0 '42, cos(335º) 0 '91, tan(335º ) 0 '47

f) El ángulo de 260º pertenece al tercer cuadrante, luego, su correspondiente en el primer cuadrante es: 260º 180º 80º.Así, sus razones trigonométricas se relacionan del modo siguiente:sen(260º) sen(80º) 0 '98cos(260º) cos(80º) 0 '17tan(260º) tan(80º) 5 '67


10.a) sen(133º) 0 '73, cos(133º) 0 '68, tan(133º) 1'07b) sen(195º) 0 '26, cos(195º) 0 '97, tan(195º) 0 '27c) sen(215º) 0 '57, cos(215º) 0 '82, tan(215º) 0 '7

480

d) sen(110º23'10'') 0 '94, cos(110º23'10'') 0 '35, tan(110º23'10'') 2 '69e) sen(335º) 0 '42, cos(335º) 0 '91, tan(335º) 0 '47f) sen(260º) 0 '98, cos(260º) 0 '17, tan(260º) 5 '67

11.5a) El ángulo de pertenece al segundo cuadrante, luego, su correspondiente en el primer cuadrante es: 6

5 .6 6

Así, sus razones trigonométricas se relacionan del modo siguiente:5sen sen6 6

0 '5

5cos cos 0 '876 6

5tan tan 0 '586 6

5 5 5Luego: sen 0 '5, cos 0 '87, tan 0 '586 6 6

5b) El ángulo de pertenece al tercer cuadrante, luego, su corres4

pondiente en el primer cuadrante es:

5 .4 4

Así, sus razones trigonométricas se relacionan del modo siguiente:

5 2sen sen4 4 2

5 2cos cos4 4 2

5tan tan 14 4

Lueg 5 2 5 2 5o: sen , cos , tan 14 2 4 2 4

481

7c) El ángulo de pertenece al tercer cuadrante, luego, su correspondiente en el primer cuadrante es: 4

72 .4 4


7sen sen4 4

22

7 2cos cos4 4 2

7tan tan 14 4

7 2 7 2 7Luego: sen , cos , tan 14 2 4 2 4

482

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SOLUCIONES_________________________________________________________________

12.1 3 3a) sen(30º ) , cos(30º ) , tan(30º )2 2 3

b)120º y 60º son ángulos suplementarios, luego:

3sen(120º) sen(180º 60º) sen(60º)2

1cos(120º) cos(180º 60º) cos(60º)2

tan(120º) tan(180º 60º) tan(60º) 3

c)210º 180º 30º 180º ( 30º )

sen(210º) sen(180º 1( 30º )) sen( 30º ) sen(30º )2

3cos(210º) cos(180º ( 30º )) cos( 30º ) cos(30º )2

1tan(210º) tan(180º ( 30º )) tan( 30º ) tan(30º )3

d)225º 180º 45º 180º ( 45º )

2sen(225º ) sen(180º ( 45º )) sen( 45º ) sen(45º )2

2cos(225º ) cos(180º ( 45º )) cos( 45º ) cos(45º )2

tan(225º ) tan(180º ( 45º )) tan( 45º ) tan(45º ) 1

483

e)1sen( 150º ) sen(150º ) sen(180º 30º ) sen(30º )2

3cos( 150º ) cos(150º ) cos(180º 30º ) cos(30º )2

1tan( 150º ) tan(150º ) tan(180º 30º ) tan(30º )3

f)

2sen( 135º ) sen(135º ) sen(180º 45º ) sen(45º )2

2cos( 135º ) cos(135º ) cos(180º 45º ) cos(45º )2

tan( 135º ) tan(135º ) tan(180º 45º ) tan(45º ) 1

13.2 2Si sen(15º ) 0 '2588, entonces, sabiendo que sen cos 1, obtenemos que cos(15º ) 0'9659.

a) sen(75º ) sen(90º 15º ) cos(15º ) 0'9659.cos(75º ) cos(90º 15º ) sen(15º ) 0'2588.

1 cos(15º )tan(75º ) 3'7323.tan(15º ) sen(15º )

b) sen(105º ) sen(90º ( 15º )) cos( 15º ) cos(15º ) 0'9659.cos(105º ) cos(90º ( 15º )) sen( 15º ) sen(15º ) 0'2588

1 1 cos(15º )tan(105º ) 3'7321.tan( 15º ) tan(15º ) sen(15º )

c)sen( 195º ) sen(195º ) sen(180º 15º ) sen(15º ) 0 '2588cos( 195º ) cos(195º ) cos(180º 15º ) cos(15º ) 0 '9659tan( 195º ) tan(195º ) tan(180º 15º ) tan(15º ) 0 '2679

484

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SOLUCIONES_________________________________________________________________

14.3a) sen(855º) sen(45º 360º )

23 cos(855º ) cos(45º 360º )

2 tan(855º ) tan(45º 360º ) 1

b) sen( 1045º) sen( 35º 360º ) 0 '57 cos( 1045º) cos( 35º 360º ) 0 '82 tan( 1045º) tan( 35º 360º ) 0 '7

c)

k

k

k

kkk

13sen sen 02

13 cos cos 2 12

13 tan tan 2 02

13d) sen sen 2 14 2

13 cos cos 04 2

13 tan tan 24 2

k

k

k

k

k

k

485

15.1 1

2 2

1 1

2

352º 56 '5 '02 '' 77º 45'37 '5 ''a) sen( ) 0'123 c) cos( ) 0 '212

187º 3'54 '98'' 282º14 '22 '5 ''

30º 120ºb) sen( ) 0 '5 d) cos( ) 0 '5

150º 2 240º

486

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487

SOLUCIONES_________________________________________________________________

Razones trigonométricas de ángulos orientados.

16.a) El ángulo de 1190º equivale a un ángulo de 110º después de haber dado 3 vueltas completas a la circunferencia.

b) El ángulo de 3284º equivale a un ángulo de 44º después de haber dado 9 vueltas completas a la circunferencia.

c) El ángulo de 2453º32’ equivale a un ángulo de 293º32’ después de haber dado 6 vueltas completas a la circunferencia.

d) El ángulo de 834º42’12’’ equivale a un ángulo de 114º42’ después de haber dado 2 vueltas completas a la circunferencia.

17.a) El ángulo de -50º equivale a un ángulo de 360º - 50º = 310º.

b) El ángulo de -135º equivale a un ángulo de 360º - 135º = 225º.

c) El ángulo de -234º32’ equivale a un ángulo de 360º - 234º32’ = 125º28’.

d) El ángulo de -126º45’23’’ equivale a un ángulo de 360º - 126º45’23’’ = 233º14’.

e) El ángulo de -302º equivale a un ángulo de 360º - 302º = 58º.

f) El ángulo de -286º48’ equivale a un ángulo de 360º - 286º48’ = 73º12’.

18.a) El ángulo de -394º equivale a un ángulo de 326º. 394º - 360º = 34º 360º - 34º = 326º.

b) El ángulo de -783º equivale a un ángulo de 297º. -783º = -2·360º - 63º360º - 63º = 297º.

c) El ángulo de -1998º equivale a un ángulo de 162º. -1998º = -5·360º - 198º360º - 198º = 162º.

d) El ángulo de -2345º equivale a un ángulo de 175º. -2345º = -6·360º - 185º360º - 185º = 175º.

488

e) El ángulo de -1235º23’ equivale a un ángulo de 204º37’. -1235º23’ = -3·360º - 155º23’ 360º - 155º23’ = 204º37’.

f) El ángulo de -4567º12’32’’ equivale a un ángulo de 112º47’. -4567º12’32’’ = -3·360º - 247º12’ 360º - 247º12’ = 112º47’.

19.Ángulo Coseno Seno Tangente 0º 1 0 0 90º 0 1 180º -1 0 0 270º 0 -1 360º 1 0 0

20.Ángulo Coseno Seno Tangente -90º 0 -1 -180º -1 0 0 -270º 0 1 -360º 1 0 0

21.

a)1800 5 360º

cos( ) primera coordenada del punto cos(1800º ) cos(0º ) 1

sen( ) segunda coordenada del punto sen(1800º ) sen(0º ) 0

sen( ) segunda coordenada del puntotan( )cos( ) primera coordenada d

x

y

yx

0tan(1800º ) tan(1800º ) 0. el punto 1

b)1980 5 360º 180º



sen( ) segunda coordenada del puntotan( )cos( ) primera co

x

y

yx

0tan(1980º ) tan(1980º ) 0. ordenada del punto 1

489

c)990 2 360º 270º



sen( ) segunda coordenada del puntotan( )cos( ) primera coord

x

y

yx

1tan(990º )enada del punto 0

tan(990º )

d)1530 4 360º 90º



sen( ) segunda coordenada del puntotan( )cos( ) primera coorde

x

y

yx

1tan(1530º )nada del punto 0

tan(1530º )

22.a) 1440º 4 360º

cos( ) primera coordenada del punto cos( 1440º ) cos(0º ) 1

sen( ) segunda coordenada del punto sen( 1440º ) sen(0º ) 0

sen( ) segunda coordenada del puntotan( )cos( ) primera coorden

x

y

yx

0tan( 1440º ) tan( 1440º ) 0 ada del punto 1

b) 990º 2 360º 270º



sen( ) segunda coordenada del puntotan( )cos( ) primera coo

x

y

yx

1tan( 990º )rdenada del punto 0

tan( 990º )

c) 1620º 4 360º 180º



sen( ) segunda coordenada del puntotan( )cos( ) prime

x

y

yx

0tan( 1620º ) tan( 1620º ) 0 ra coordenada del punto 1

d) 1170º 3 360º 90º



sen( ) segunda coordenada del puntotan( )cos( ) primer

x

y

yx

1tan( 1170º )a coordenada del punto 0

tan( 1170º )

490

Valores máximos y mínimos del seno y el coseno.

23.52(cos( ) 3) 1 cos ( ) 3cos( ) 5 cos( ) 13

Solución: No existe ningún ángulo que verifique la ecuación puesto que los valores del coseno oscilan entre 1 y 1, pero nunca menores que 1.

24.1 3sen( ) 1sen( ) 1 1 3sen( ) 2sen( ) 2 sen( ) 1,1

2 5348º 27 '

Solución: Sí existen ángulos que verifican la ecuación, por ejemplo 348º 27 '

25.a) sen(105º)>0 porque 105º II cuadrante. b) cos(300º)>0 porque 300º IV cuadrante. c) tan(250º)>0 porque 250º III cuadrante.d) sen(250º)<0 porque 250º III cuadrante.e) cos(68º)>0 porque 68º I cuadrante. f) tan(322º)<0 porque 322º IV cuadrante. g) cos(125º)<0 porque 125º II cuadrante. h) sen(190º)<0 porque 190º III cuadrante.i) tan(110º)<0 porque 110º II cuadrante.

26.

491

27.

2 2

2 2 2

2a) sen( )3

sen ( ) cos ( ) 1

4 5 5cos ( ) 1 sen ( ) cos ( ) 1 cos( ) 0 '759 9 3

Descartamos el valor negativo porque estamos en el primer cuadrante y tanto el seno como el coseno son positivos.

sen( ) 2 5tan( ) 0 '89cos( ) 5

2Solución: sen( ) , cos( ) 0 '75, tan( ) 0 '893

2 2

2 2 2

1b) cos( )5

sen ( ) cos ( ) 11 24sen ( ) 1 cos ( ) sen ( ) 1 sen( ) 0 '9825 25


stan( ) en( ) 0 '2cos( )

1Solución: sen( ) 0 '98, cos( ) , tan( ) 0 '25

2 2 2 2 2

c) tan( ) 2sen( )tan( ) 2 sen( ) 2cos( )cos( )

1 5sen ( ) cos ( ) 1 4cos ( ) cos ( ) 1 cos ( ) cos( ) 0 '455 5


2 5sen( ) 0 '895

Solución: sen( ) 0 '98, cos( ) 0 '45, tan( ) 2

492

2 2 2 2

2d) tan( )3

sen( ) 2 2tan( ) sen( ) cos( )cos( ) 3 3

4 9 3 13sen ( ) cos ( ) 1 cos( ) cos ( ) 1 cos ( ) cos( ) 0 '839 13 13

Descartamos el valor negativo porque estamos en el primer cuadrante y tanto el senocomo el coseno son positivos.

2 13sen( ) 0 '5513

2Solución: sen( ) 0 '55, cos( ) 0 '83, tan( )3

493

28.

2 2

2 2 2

a) sen( ) 0 '3sen ( ) cos ( ) 1cos ( ) 1 sen ( ) cos ( ) 1 0 '09 0 '91 cos( ) 0 '95Descartamos el valor positivo porque estamos en el segundo cuadrante y el seno es positivo, pero el coseno es negativo.

t sen( ) 0 '3an( ) 0 '31cos( ) 0 '95

Solución: sen( ) 0 '3, cos( ) 0 '95, tan( ) 0 '31

2 2

2 2 2

b) cos( ) 0 '8sen ( ) cos ( ) 1sen ( ) 1 cos ( ) sen ( ) 1 0 '64 0 '36 sen( ) 0 '6Descartamos el valor negativo porque estamos en el segundo cuadrante y el seno es positivo.

sen( )tan( ) 0 '75cos( )


2 2

2 2 2

1c) sen( )4

sen ( ) cos ( ) 1

1 15 15cos ( ) 1 sen ( ) cos ( ) 1 cos( ) 0 '9716 16 4

Descartamos el valor positivo porque estamos en el segundo cuadrante y el seno es positivo, pero el coseno es negativo.

sen( )tan( ) 0 '26cos( )


2 2

2 2 2

3d) cos( )4

sen ( ) cos ( ) 1

9 7 7sen ( ) 1 cos ( ) sen ( ) 1 sen( ) 0 '6616 16 4

Descartamos el valor negativo porque estamos en el segundo cuadrante y el seno es positivo.

494

sen( )tan( ) 0 '88cos( )


29.

2 2

2 2 2

a) cos( ) 0 '4sen ( ) cos ( ) 1sen ( ) 1 cos ( ) sen ( ) 1 0 '16 0 '84 sen( ) 0 '91Descartamos el valor positivo porque estamos en el tercer cuadrante y tanto el seno como el coseno son negativos.

tan( sen( )) 2 '29cos( )


2 2

2 2 2

1b) sen( )3

sen ( ) cos ( ) 1

1 8 2 2cos ( ) 1 sen ( ) cos ( ) 1 cos( ) 0 '949 9 3

Descartamos el valor positivo porque estamos en el tercer cuadrante y el coseno es negativo.sen( )tan( ) 0 '35cos( )

Sol 1ución: sen( ) , cos( ) 0 '94, tan( ) 0 '353

2 2

2 2 2

2c) cos( )5

sen ( ) cos ( ) 1

4 21 21sen ( ) 1 cos ( ) sen ( ) 1 sen( ) 0 '9225 25 5

Descartamos el valor positivo porque estamos en el tercer cuadrante y tanto el seno como el coseno son negativos.

ta sen( )n( ) 2 '29cos( )


495

2 2

2 2 2

d) sen( ) 0 '7sen ( ) cos ( ) 1cos ( ) 1 sen ( ) cos ( ) 1 0 '49 0 '51 cos( ) 0 '71Descartamos el valor positivo porque estamos en el tercer cuadrante y el coseno es negativo.

sen( )tan( ) 0 '98cos( )


496

PÁGINA 185

497

SOLUCIONES_________________________________________________________________

30.

2 2

2 2 2

a) cos( ) 0 '36sen ( ) cos ( ) 1sen ( ) 1 cos ( ) sen ( ) 1 0 '1296 0 '8704 sen( ) 0 '93Descartamos el valor positivo porque estamos en el cuarto cuadrante y el seno es negativo.

sen( )tan( ) 2 '5cos( )

9


2 2

2 2 2

1b) sen( )6

sen ( ) cos ( ) 1

1 35 35cos ( ) 1 sen ( ) cos ( ) 1 cos( ) 0 '9936 36 6

Descartamos el valor negativo porque estamos en el cuarto cuadrante y el coseno es positivo.sen( )tan( ) 0 '1cos( )

7


2 2

2 2 2

3c) cos( )5

sen ( ) cos ( ) 19 16 4sen ( ) 1 cos ( ) sen ( ) 1 sen( )25 25 5

Descartamos el valor positivo porque estamos en el cuarto cuadrante y el seno es negativo.

sen( ) 4tan( )cos( ) 3

Solución: 4 3 4sen( ) , cos( ) , tan( )5 5 3

498

2 2

2 2 2

d) sen( ) 0 '98sen ( ) cos ( ) 1cos ( ) 1 sen ( ) cos ( ) 1 0 '9604 0 '0396 cos( ) 0 '2Descartamos el valor negativo porque estamos en el cuarto cuadrante y el coseno es positivo.

sen( )tan( ) 4 'cos( )

92


31.2 2

2 2

Si exite con estas condiciones debe cumplirse sen ( ) cos ( ) 1.

0'2 ( 0 '8) 0 '04 0 '64 0 '68 1.Solución: No existe ningún ángulo que cumpla esas condiciones.

Radianes y sistema sexagesimal.

32.

a) Grados Radianes45 180º radianes.180 4 4

45º

b) Grados Radianes 180º 135º

x xx

135 3 3 radianes.180 4 4

x xx

c) Grados Radianes315 7 7 180º radianes.180 4 4

315º

d) Grados Radianes 180º 225º

x xx

225 5 5 radianes.180 4 4

x xx

c) Grados Radianes35º12' 180º 0 '2 0 '2 radianes.

180 35º12'

x xx

499

d) Grados Radianes34º45'23'' 180º 0 '19 0 '19 radianes.

180 34º45'23''

x xx

33.

a) Radianes Grados180 180º 30 30º

6

6

b) Radianes Grados 180º

3 2

x x

x

3 180 270 270º2

c) Radianes Grados5 180 180º 225 225º4

5 4

d) Radianes Grados

x x

x

x x

x

3 180 180º 135 135º4

3 4

e) Radianes Grados7 180 180º 157º8

7 8

x x

x

x

x

30 ' 157º30 'x

500

f) Radianes Grados3 180 180º 67º 30 ' 67º 30 '8

3 8

x x

x

34.Ángulo Coseno Seno Tangente

20 1

-1 0 0 32

0 -1

2 1 0 0

35.2 4a) sen c) cos 0 '92 e) sen 0 '59

4 2 8 5

3 2 5b) cos d) tan 2 '41 f) tan 0 '24 2 8 16

36.

501

a) sen 0, cos 0, tan 06 6 63 3 3b) sen 0, cos 0, tan 04 4 4

15 15 15c) sen 0, cos 0, tan 08 8 8

4 4 4d) sen 0, cos 0, tan 03 3 3

e) s 5 5 5en 0, cos 0, tan 04 4 4

6 6 6f) sen 0, cos 0, tan 05 5 5

37.Ángulo Coseno Seno Tangente

20 -1

-1 0 0 32

0 1

2 1 0 0

38.a) sen 3'5 0 '35 d) sen 5 0 '96

cos 3'5 0 '94 3'5 III cuadrante. cos 5 0 '28 5 IV cuadrante.

tan 3'5 0 '37 tan 5 3'38

b) sen 1 0 '84

cos 1 0 '54 1 I cu

tan 1 1'56

e) sen 5'65 0 '59

adrante. cos 5'65 0 '81 5'65 IV cuadrante.

tan 5'65 0 '73

c) sen 2 '3 0 '75 f) se

cos 2 '3 0 '67 2 '3 II cuadrante.

tan 2 '3 1'12

n 6 '4 0 '12

cos 6 '4 0 '99 6 '4 I cuadrante.

tan 6 '4 0 '12

502

39.3a) 2 II cuadrante. c) II cuadrante. e) 3'2 III cuadrante. 5

4 4b) II cuadrante. d) 2'15 II cuadrante. f) III cuadrante. 5 3

40.

a) El ángulo de 135

equivale a un ángulo de 35

después de haber dado 1 vuelta completa a la

circunferencia.

b) El ángulo de 114



circunferencia.

c) El ángulo de 235


después de haber dado 2 vueltas completas a la

circunferencia.

d) El ángulo de 196



circunferencia.

e) El ángulo de 265


después de haber dado 2 vueltas completas a la

circunferencia.

f) El ángulo de 7 equivale a un ángulo de después de haber dado 3 vueltas completas a la circunferencia.

41.1e) sen 210º sen 30º2a) sen 100º sen 80º 0 '98

3 cos 100º cos 80º 0 '17 cos 210º cos 30º2

tan 100º tan 80º 5 '67 3 tan 210º tan 30º3

2f) sen 225º sen 45º2b) sen 110º sen 70º 0 '942 cos 110º cos 70º 0 '34 cos 225º cos 45º

2 tan 110º tan 70º 2 '75 tan 225º tan 45º 1

503

2 2c) sen 135º sen 45º g) sen 315º sen 45º2 2

2 2 cos 135º cos 45º cos 315º cos 45º2 2

tan 135º tan 45º 1 tan 315º tan 45º 1

3h) sen 330º sen 60º2d) sen 165º sen 15º 0 '26

1 cos 165º cos 15º 0 '97 cos 330º cos 60º2

tan 165º tan 15º 0 '27 tan 330º tan 60º 3

42.3 2 5 2a) sen sen d) sen sen4 4 2 4 4 2

3 2 5 cos cos cos4 4 2 4

3 tan tan 14 4

2cos4 2

5 tan tan 14 4

3 2b) sen sen 0 '955 5

3 2 cos cos 0 '31 5 53 2 tan tan 3'085 5

9e) sen sen 0 '388 8

9 cos cos 0 '928 89 tan tan 0 '418 8

5 3c) sen sen 0 '928 8

5 3 cos cos 0 '388 8

tan

7 2f) sen sen4 4 2

7 2 cos cos4 4 2

5 3 7tan 2 '41 tan tan 18 8 4 4

43.a) b) c)

504

PÁGINA 186

505

SOLUCIONES_________________________________________________________________

Ángulo complementario y suplementario.

44.a) Complementario de 35º = 90º - 35º = 55º.

b) Complementario de 4 2 4 4

c) Complementario de 3 2 3 6

d) Complementario de 35º42’35’’= 90º - 35º42’35’’ = 54º17’25’’

e) Complementario de 35 2 5 10

f) Complementario de 43’234’’ = 90º - 43’234’’ = 89º13’6’’

45.a)sen(35º) 0 '57 cos(55º ) cos(35º) 0 '82 sen(55º )

2b)sen cos4 2 4

3c)sen cos3 2 6

1 cos sen3 2 6

d)sen(35º42'35'') 0 '58 cos(54º17'25'') cos(35º42'35'') 0 '81 sen(54º17'25'')

3e)sen 0 '59 cos5 10

3 cos 0 '81 sen5 10

d)sen(43'234'') 0 '01 cos(89º13'6'') cos(43'234'') 0 '99 sen(89º13'6'')

506

46.a) Suplementario de 120º = 180º - 120º = 60º.

b) Suplementario de 4 43 3 3

c) Suplementario de 34 4 4

d) Suplementario de 5 5 38 8 8

e) Suplementario de 50º = 180º - 50º = 40º f) Suplementario de 90º = 180º - 90º = 90º

47.a) b) c)

48.sen( )sen( ) 0'3, cos( ) 0'95 tan( ) 0'32cos( )

sen(90º ) cos( ) 1a) sen(90º ) cos( ) 0'95 d) tan(90º ) 3'17 cos(90º ) sen( ) tan( )

b) cos(180º ) cos ( ) 0'95 e) tan(180º ) tan( ) 0'32c) tan( ) 0 '32 f) sen(180º ) sen( ) 0 '3

49.sen( )sen( ) 0'5, cos( ) 0'87 tan( ) 0'57cos( )

a) sen( ) sen( ) 0'5 d) tan( ) tan( ) 0 '57

sen )2b) cos ) sen( ) 0 '5 e) tan )

2 2cos( ) 1 1'74sen( ) tan( )cos )

2

c) tan( ) 0 '57 f) sen ) cos( ) 0 '872

507

50.a) 90º 270º d) 120º 240º

3sen( 90º ) sen(270º ) 1 sen( 120º ) sen(240º )2

cos( 90º ) cos(270º ) 0 cos( 1 120º ) cos(240º )2

tan( 90º ) tan(270º ) tan( 120º ) tan(240º ) 3

7 7 9b) e) 4 4 8 8

7 2 7 9sen sen sen sen4 4 2 8 8

0 '38

7 2 7 9cos cos cos cos 0 '924 4 2 8 8

7 7 9tan tan 1 tan tan 0 '414 4 8 8

5 3c) 4

f) 300º 60º 4

5 3 2 3sen sen sen 300º sen 60º4 4 2 2

5 3 2cos cos cos 300º4 4 2

1cos 60º2

5 3tan tan 1 tan 300º tan 60º 34 4

Periodicidad de las razones trigonométricas.

51.1a) cos(1200º ) cos(120º 2 ) d) tan 1315º tan 235º 2 1'432

b) tan(1380º ) sen(300º 2 ) 3 e) sen 810º sen 90º 2 11c) sen 2670º sen 150º 2 d) cos(2700º ) cos(180º 2 ) 12

k k

k k

k k

52.

508

a) cos(7 ) cos( ) 1 d) cos 18 cos 2 1

9 25b) cos cos 0 e) tan tan 22 2 2 2

k k

k k

19 3c) sen 30 sen 2 0 f) sen cos 02 2

k k

53.13 5 2 35 11 3a) cos cos 2 d) cos cos 2

4 4 2 6 6 2

18 8 17 5 3b) cos cos 2 0 '31 e) tan tan 25 5 6 6 3

2c) sen

k k

k k

5 2 49sen 2 f) cos cos 2 0'924 4 2 8 8

k k

54.a) cos( 540º ) cos(180º 2 ) 1 d) tan 1485º tan 315º 2 1

b) tan( 630º ) sen(90º 2 ) 1 e) sen 1260º sen 180º 01c) sen 1350º sen 90º 2 d) cos( 1500º ) cos(300º 22

k k

k k

k k 1)2

55.13 3a) tan tan 2 1

4 424 6b) cos cos 2 0 '81

5 523 15c) sen sen 2 0'38

8 8

k

k

k

56.a) b) c)

509

57.1 1

2 2

1 1

2 2

72º 32 '32 '' 306º52 'a) cos( ) 0 '3 d) sen( ) 0 '8

287º 27 ' 233º 7 '48''

210º 44º 25'37 ''b) sen( ) 0 '5 e) sen( ) 0 '7

330º 135º34 '

510

1 1

2 2

143º 7 '48'' 101º 32 'c) cos( ) 0 '8 f) cos( ) 0 '2

216º 52 ' 258º 27 '

58.1

2

1

2

1

2

135ºa) tan( ) 1

315º

45ºb) tan( ) 1

225º

60ºc) tan( ) 3

240º

59.

222

2 22 2

a) Planteamos el siguiente sistema, con la ecuación que nos dan y una de las igualdades trigonométricas:5sen( ) 1cos ( )5sen( ) 2cos ( ) 1 5sen(sen ( )2

sen ( ) cos ( ) 1 sen ( ) cos ( ) 12

2

1

2

) 1 12

2sen ( ) 5sen( ) 3 0Hacemos el cambio de variable sen( ) y resolvemos la ecuación de segundo grado que resulta:

5 25 24 5 72 5 3 04 4

1 1sen( )2 2

3 sen( ) 3 Descartamos esta sol

x

x x x

x

x ución porque el seno de un ángulo no puede ser menor que 1.

1Por lo tanto, verificarán nuestra ecuación todos los ángulos cuyo seno sea , es decir, 2

30º 2 150º 2 .

Solución: 30º 2 150º 2

k k

k k

22

2 22 2

b) Planteamos el siguiente sistema, con la ecuación que nos dan y una de las igualdades trigonométricas:7cos( ) 5sen ( )7cos( ) 3sen ( )+5 0 7cos( ) 5 c3

3sen ( ) cos ( ) 1 sen ( ) cos ( ) 1

2

2

os ( ) 1

3cos ( ) 7cos( ) 2 0

511

2

1

2

Hacemos el cambio de variable cos( ) y resolvemos la ecuación de segundo grado que resulta:

7 49 24 7 53 7 2 06 6

1 1cos( )3 32 cos( ) 2 Descartamos esta solución porque el coseno de

x

x x x

x

x un ángulo no puede ser menor que 1.

1Por lo tanto, verificarán nuestra ecuación todos los ángulos cuyo coseno sea , es decir,3

109º 28' 2 250º 31' 2 .

Solución: 109º 28' 2 250º 31' 2

k k

k k

512

PÁGINA 187

513

SOLUCIONES_________________________________________________________________

60. Si hacemos la equivalencia entre radianes y grados, obtenemos que

180º radianes 3030º 180 6Solución: Sigue mirando al frente, en la misma posición en la que estaba al principio.

xx

61.2 radianes 1 vuelta

75 1 75 9 '375 vueltas.75 4 2 8 vueltas4

Solución: Ha dado 9'375 vueltas.

xx

62.Primero calcularemos el ángulo en radianes. Si la velocidad angular es

3'2 0 '5 1'6 radianes.

Ahora hacemos la equivalencia con grados: radianes 180 grados 1'6 180 91º 4

1'6 radianes

v v tt

xx

0 '23'69 ''

Solución: En 0'5 segundos recorrrá un ángulo de 91º40'23'69''

63.1En cada segundo, la aguja avanza d e toda la circunferencia, entonces, 60

avanza un ángulo de 6º, es decir, radianes: 30

30 rads1 30

Solución: El segundero avanza a una velocidad angular de

v v vt

rad .s30

514

64.43Juan ha avanzado radianes, es decir 1290º en el sentido opuesto al de las agujas del reloj.

6Esos 1290º, equivalen a haber dado 3 vueltas completas y 210º más. (El cociente de la división 1290º entre 360º, tiene como cociente 3 y como resto 210)Por otra parte, Pedro ha recorrido 870º en el sentido de las agujas del reloj, es decir, 2 vueltas y 150º.Podemos simplificar la situación diciendo que Juan se encuentra a 210º del inicio recorridos en sentido positivo, y Pedro, a 150º en sentido negativo, es decir, 360º 150º 210º

Solución: Pedro y Juan se encuentran en el mismo punto, pero Juan ha dado una vuelta más a la pista.

65.Los ángulos de un triángulo suma 180º, luego, 30º y el ángulo son suplementarios, así:

1sen( ) sen(180º 30º ) sen(30º )2

3cos( ) cos(180º 30º ) cos(30º )23tan( ) tan(180º 30º ) tan(30º )

3

Solu 1 3 3ción: sen( ) , cos( ) , tan( ) 2 2 3

66.2

círculo

2 2

El área de un círculo viene dado por: AUn círculo completo tiene 360º, luego el área del sector circular dado podemos calcularla con una simple regla de tres:

360º 120360120º

r

r r rxx

2

22

sector circular

2

3

16 16 '76 m3 3

Solución: El área de tierra cultivable es de 16'76 m

rA

1.a) 360º-60º = 300º Solución: El ángulo que se forma es de 300º.

515

b) 360º-240º = 110º Solución: El ángulo formado es de 110º.

c) 2050º23'54'' equivale a haber dado 5 vueltas y a haber recorrido 250º23'. Solución: El ángulo formado es de 250º23'.

2.a) El ángulo de 1890º equivale a un ángulo recto, por lo tanto:

sen(1890º) = sen(90º) = 1

cos(1890º) = cos(90º) = 0

b) El ángulo -1170º equivale a un cuarto d circunferencia recorrida en sentido negativo, es decir, un ángulo de -90º.

sen(-1170º) = sen(-90º) = -1

cos(-1170º) = cos(-90º) = 0

3.Si resolvemos dicha ecuación obtenemos:

Solución: Los ángulos que tiene como seno la unidad, son 90º+2k .

4.

2 2 2 2

3cos( )4

9 7 7sen ( ) cos ( ) 1 sen ( ) 1 cos ( ) 1 sen( )16 16 4

7Si el ángulo está en el cuarto cuadrante, su seno es negativo, luego tomamos el valor 4

7Solución: sen( )4

5.a) Grados Radianes

32º23'12'' 180º 0 '18 0 '18 radianes.180

32º23'12'' x x

x

3(2sen( )+1) 8sen( )+1 6sen( )+3 8sen( )+1 sen( ) 1

516

b) Grados Radianes110'45'' 180º 0 '01 0 '01 radianes.

180 110'45''

x xx

6.a) El ángulo de 155º pertenece al segundo cuadrante, luego, su correspondiente en el primer cuadrante es: 180º 155º 25º.Así, sus razones trigonométricas se relacionan del modo siguiente:sen(155º) sen(25º) 0 '42cos(155º) cos(25º) 0 '91tan(155º) tan(25º) 0 '47


5b) El ángulo de pertenece al cuarto cuadrante, luego, su correspondiente en el pri3

mer cuadrante es:

52 .3 3


5 3sen sen3 3 2

5 1cos cos3 3 2

5tan tan 33 3

5 3Luego: sen3

5 1 5, cos , tan 32 3 2 3

c) El ángulo de 235º pertenece al tercer cuadrante, luego, su correspondiente en el primer cuadrante es: 235º 180º 55º.Así, sus razones trigonométricas se relacionan del modo siguiente:sen(235º) sen(55º) 0 '82cos(235º) cos(55º) 0 '99tan(235º) tan(55º) 1'43

Luego: sen(235º) 0 '82, cos(235º) 0 '99, tan(235º) 1'43

7. 1 24 sen( ) 24sen( ) , cos( ) tan( )5 5 cos( ) 24

517

24 24a) sen(90º ) cos( ) c) cos( ) cos( ) 5 5

24 24b) tan(180º ) tan( ) d) tan( ) tan( )24 24

8.10 4a) cos(1640) cos(200 2 ) 0'94 c) tan tan 2 3

3 31 17 7b) sen( 390º ) sen( 30º 2 ) d) cos cos 2 0 '312 5 5

k k

k k

9.1 1

2 2

109º 52 ' 28º 41'7 '4 ''a) cos( ) 0'34 b) sen( ) 0 '48

250º8 ' 151º18'

10.

2 22

2 2 2 2

Planteamos el siguiente sistema, con la ecuación que nos dan y una de las igualdades trigonométricas:

cos( ) sen ( ) 1 sen ( ) cos( ) 1cos ( ) cos( ) 2 0

sen ( ) cos ( ) 1 sen ( ) cos ( ) 1Hac

2

1

2

emos el cambio de variable cos( ) y resolvemos la ecuación de segundo grado que resulta:

1 1 8 1 32 02 2

1 cos( ) 12 cos( ) 2 Descartamos esta solución porque el coseno de un ángulo

x

x x x

xx no puede ser menor que 1.Por lo tanto, verificarán nuestra ecuación todos los ángulos cuyo coseno sea 1, es decir, 0 2 .Solución: 0 2 .

kk

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Vamos a hallar el área de la circunferencia y posteriormente restarle las 4 partes que no están sombreadas:

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Unidad 10 – Trigonometría en ángulos orientadossaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/70/...Razones trigonométricas de ángulos agudos. Determina las razones trigonométricas