Unidad 2. Matrices

Presentación de la unidad

Las matrices aparecen de forma explícita e implícita en nuestras actividades, tanto cotidianas como profesionales. Por ejemplo, una lista de los alumnos de un grupo es una matriz, los gastos y entradas de una empresa también se pueden modelar con matrices. La presentación de una muestra de ADN o las celdas de un panel solar pueden ser estudiadas como un arreglo matricial.

Las celdas son parte de nuestra vida diaria, aparecen continuamente como en las listas o en otros objetos como, en ese caso, algunas celdas.

En esta unidad conocerás la importancia de las matrices, las aplicaciones que tienen en nuestra vida cotidiana y en las diferentes áreas de estudio y la forma en que nos pueden beneficiar. También podemos modelar un problema que surja en las empresas u organizaciones planteando un sistema de ecuaciones.

Presentación de la unidad

En esta unidad, también se abordará todo lo referente a las principales características y elementos de los que se compone una matriz, asimismo, conoceremos los diferentes tipos de matrices que se utilizan en la actualidad así como la forma que éstas tienen. En general, se darán los conceptos fundamentales de las matrices para poder continuar en los siguientes temas y con el desarrollo de las mismas.

El sistema de ecuaciones lineales lo podrás resolver por medio de una matriz, con el método de operaciones elementales de renglón, pero antes de conocer este método, es necesario que conozcas cómo se realiza la suma y resta de matrices, el producto de un escalar por una matriz y el producto matricial, estas operaciones nos permiten comprender el método de operaciones elementales de renglón.

Asimismo, podrás resolver un sistema de ecuaciones lineales por medio del método de eliminación de Gauss o el método de Gauss-Jordan.

Propósito de la unidad

Utilizarás los métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales para resolver problemas de distintas áreas por medio del método de eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan.

Competencia específica

Competencias específicas.

Emplea matrices para resolver problemas de distintas áreas mediante diferentes métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales.

2.1. Introducción a matrices

Sabías que...

Una matriz es un arreglo de entradas organizadas en renglones y columnas.

El estudio de matrices es muy importante dentro de nuestra vida cotidiana, constantemente las utilizamos sin darnos cuenta de ello. Por ejemplo, una boleta de calificaciones es una matriz con los datos acomodados en filas y columnas, la lista de compras del mercado, el horario de clases, una cartilla de vacunación, etc.

Estudio de matrices.

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El buscador Google utiliza matrices para mostrar las páginas de búsqueda, de hecho, para que el servidor funcione se necesita álgebra lineal, teoría de grafos y probabilidad.

¿Podrías explicar cómo el buscador Google atiende 200 millones de consultas diarias aproximadamente e indexa varios miles de millones de páginas web? ¿Qué papel juegan las matemáticas en este servidor?

Para que este servidor funcione, se necesita un criterio de ordenación, si se etiquetan con los símbolos P1, . . . , Pn cada una de las páginas de la red, se le puede asignar a cada Pj un número xj , que representará su importancia. Estos números podrían ser, por ejemplo, números entre 0 y 1.

Supongamos que después de un censo de los sitios de la red, se construye la lista de páginas web y que se les asigna a cada una de ellas, de la manera que sea, una importancia. Esta lista queda a nuestra disposición para ser utilizada cada vez que realicemos una determinada consulta. Las páginas seleccionadas se mostrarán en el orden que indique dicha lista, pero ¿cómo se construye esa lista?

Cuando se tratan con grafos, se recurre a los dibujos en el papel en los que los vértices son puntos del plano, mientras que las aristas son flechas que unen esos puntos. Conviene considerar una interpretación alternativa, en este caso por medio de matrices.

La dimensión de una matriz está dada como el número de filas por el número de columnas. Por ejemplo, el horario se trata de una matriz de dimensión 6X6, o bien, de 5X5 si sólo te fijas en las entradas y no en la información que proporcionan, mientras que la boleta de calificaciones

es una matriz de 11X10, o bien, de 9X8. A la dimensión de una matriz también se le conoce como el orden de la matriz.

Ahora bien, en la matriz que formamos las filas y columnas van etiquetadas con los P1, . . . , Pn, y cuyas entradas son ceros y unos. La entrada mij de la matriz será un uno si es que hay un enlace de la página Pj a la página Pi y un cero en caso contrario:

Matriz

Supongamos que la página P1 es citada desde las páginas P2, P25 y P256, que P2 sólo se cita desde P1 y P256, etc., mientras que, digamos, hay enlaces a la última página, Pn, desde P1, P2, P3, P25 y Pn−1.

La página P1 tiene tres enlaces los cuales son: P2, P25 y P256, la página P2 tiene dos enlaces, P1 y P256, la página Pn tiene cinco enlaces que son: P1, P2, P3, P25 y Pn−1.

De acuerdo con esto, x1 debería ser proporcional a 3, porque tiene tres enlaces; x2 sería proporcional a 2, etc., mientras que xn habría de ser proporcional a 5.

Pero ahora nuestra asignación x1, . . . , xn debe cumplir lo siguiente:

x1 = K (x2 + x25 + x256) ,

x2 = K (x1 + x256) ,

...

xn = K (x1 + x2 + x3 + x25 + xn−1) ,

Donde K es una constante de proporcionalidad. Nos encontramos entonces, con un enorme sistema de ecuaciones cuyas soluciones son las posibles asignaciones de x1, . . . , xn.

En este curso aprenderás a calcular las soluciones de una matriz, sin las cuales, como te podrás dar cuenta, no podría existir una herramienta tan valiosa como Google.

Actividad 1. Foro: Planteamiento del problema

Antes de continuar con el siguiente subtema participa en el foro Planteamiento del problema.

Organiza un equipo con dos de tus compañeros, diferentes a aquellos con los que trabajaste en la unidad 1, denle un nombre a su equipo y elijan a un moderador.

Descarga el documento Planteamiento del problema.

Lee con atención el Planteamiento del problema y realicen lo que se solicita en cada punto.

Una vez que hayan terminado lo que se les solicitó, publíquenlo en el foro. Firmen su participación con el nombre de su equipo e incluyan los nombres de los integrantes.

*Recuerden que el moderador es el encargado de escribir en el foro, sin embargo, todos deben leer la participación de los demás compañeros.

5. Lee con atención las participaciones de los demás y si crees que a tu equipo le faltó considerar algún aspecto, coméntenlo e inclúyanlo como otra participación en el foro.

6. Descarga la rúbrica de foro para conocer cómo se evaluará su participación en la actividad.

Para ingresar al foro: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clic en Álgebra lineal. Se enlistarán las actividades de la unidad, da clic en Actividad 1. Foro: Planteamiento del problema.

Da clic en el icono para descargar el documento Planteamiento del problema.

Documento descargable Word.

Da clic en el icono para descargar el documento Rúbrica de foro.

Documento descargable PDF.

2.1.1. Renglones y columnas

A lo largo de la primera unidad se trabajaron los conceptos referentes a los vectores, en esta unidad, clasificaremos los vectores por su tipo, es decir, por renglón o por columna, así, tenemos lo siguiente:

Vector renglón Vector columna

Da clic en el icono para descargar el documento Renglones y columnas.

Documento descargable PDF.

2.2. Operaciones con matrices

Sabías que...

La variedad de aplicaciones de las matrices se presenta en nuestro alrededor, y si bien, es cierto que en todo momento las utilizamos, también es cierto que con ellas realizamos diferentes operaciones sin darnos cuenta.

Por ejemplo, en las situaciones más básicas como al realizar operaciones con los vectores, los cuales son matrices formadas por una columna o un renglón o al realizar la suma o resta de dos vectores columna o renglón, estamos realizando operaciones con matrices.

Otra situación en la que se utiliza matrices más complejas sería la comparación de precios.

2.2.1. Suma y resta de matrices

Las propiedades de la suma de matrices, son similares a las propiedades de los números reales, las cuales se muestran a continuación.

Sean A, B y C tres matrices de m x n, entonces se verifican las siguientes propiedades.

A + 0 = A, A – 0 = 0 la suma o resta de una matriz con la matriz cero nos da como resultado la misma matriz, es decir, que la matriz cero es el elemento neutro de la adición y sustracción de matrices. A + B = B + A la suma de matrices es conmutativa. (A + B) + C = A + (B + C) la suma de matrices es asociativa. A + (-A) = 0 Existe una matriz opuesta o el inverso aditivo de la matriz.

2.2.2. Producto de un escalar por una matriz

2.2.3. Producto matricial

2.3. Representación matricial

En este tema se verá la representación de los sistemas de ecuaciones lineales por medio de una matriz. Comúnmente nos encontramos con situaciones cotidianas que se pueden representar mediante un sistema de ecuaciones lineales. Por ejemplo, la cantidad de personas que caminan por una calle bajo ciertas condiciones que pueden ser la hora, si llevan mascotas, si van comiendo o ejercitándose, etc. También, el número de ciertos contaminantes en el ambiente o en el agua o la cantidad necesaria de ciertos átomos para crear una molécula determinada, etc.

Una vez que un fenómeno, problema o situación se ha modelado mediante un sistema de ecuaciones, su representación matricial es demasiado sencilla tal y como lo veremos en los siguientes subtemas.

A continuación construirás, paso a paso, un ejemplo de aplicación en investigación de las operaciones de matrices. Lo primero que debes hacer es representar los elementos de tu problema en forma matricial. Para ello, estudiémoslo primero.

2.3.1. Matriz principal y ampliada

2.3.2. Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales

2.4. Operaciones elementales de renglón

2.4.1. Aplicación de las operaciones elementales de renglón de una matriz

¿Qué aspectos recuerdas de los sistemas de ecuaciones lineales?

Da clic en la siguiente imagen y compara tus respuestas con las que se te presentan.

Recuerda el concepto de ecuaciones lineales.

Por ejemplo, en los cursos de álgebra en la secundaria y en el bachillerato cuando se trata el tema de sistemas de ecuaciones lineales, se revisa que al multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por un número distinto de cero da una nueva ecuación que es equivalente a la original.

Otra de las cosas que se revisan de un sistema de ecuaciones es que al sumar un múltiplo de una ecuación con otra del mismo sistema, se obtiene una ecuación que no la modifica y además, si se intercambian dos ecuaciones de un mismo sistema, resulta un sistema equivalente al primero, es decir, que las soluciones serían las mismas.

2.4.1. Aplicación de las operaciones elementales de renglón de una matriz

Las operaciones elementales con renglones aplicados a la matriz aumentada que representa un sistema de ecuaciones

lineales son las siguientes:

Multiplicación o división de un renglón por un número

diferente de cero.

Suma de un múltiplo deun renglón a otro renglón.

Intercambio de dos renglones.

Las operaciones anteriores, aplicadas sobre una matriz aumentada, no modifican la matriz ya que forman una matriz equivalente a la primera.

El proceso de aplicar las operaciones elementales con renglones para simplificar una matriz aumentada se conoce como reducción por renglones.

A continuación se te presenta un ejemplo con los pasos que puedes realizar para simplificar una matriz. Cuando la matriz está asociada a un sistema de ecuaciones, la simplificación hace más sencillo encontrar la solución.

Descarga el archivo Operaciones entre renglones y lee con atención el ejemplo que se desarrolla para simplificar una matriz. Cuando la matriz está asociada a un sistema de ecuaciones la simplificación hace más sencillo encontrar la solución.

Da clic en el icono para descargar el documento Operaciones con renglones.

2.4.2. Matriz inversa mediante operaciones de renglón

Diremos que la matriz inversa de una matriz cuadrada  An es la matriz que cumple la siguiente propiedad:

A-1·A = A·A-1 = I

y la representaremos por  A-1  , de manera formal tenemos lo siguiente:  

Sean A y B dos matrices cuadradas, B es la matriz inversa de A si:

AB = BA = 1

Es decir, si el producto matricial de A y B nos da como resultado a la matriz identidad, entonces B es la matriz inversa de A y la denotamos por B-1, de esta manera, podemos escribir la ecuación anterior en términos de A como sigue:

AA-1 = A-1A = 1

A las matrices que tienen inversa se les llama invertibles. Las matrices cuadradas que no tienen inversa se conocen como matrices singulares, a su vez, también a las matrices invertibles se les conoce como no singulares.

Cabe destacar que el hecho de que una matriz cuadrada sea invertible, no garantiza que todas las matrices cuadradas lo sean, ya que existen matrices que no tienen inversa.

Da clic sobre el ícono y lee con atención el ejemplo. 

2.5. Solución de sistemas lineales

 

En este tema vamos a desarrollar los sistemas de ecuaciones lineales utilizando matrices. Veremos el procedimiento para encontrar la solución de un sistema mediante la representación matricial y el empleo de los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan, dichos procedimientos facilitan la manera de resolver cualquier sistema de ecuaciones mediante una matriz. Otra forma de dar solución a un sistema de ecuaciones es utilizando el determinante de una matriz asociada, pero este método lo veremos en la siguiente unidad de forma más detallada. 

2.5.1. Método de eliminación de Gauss

El método de eliminación de Gauss es el método más básico y simple que se puede utilizar para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Este método consiste en aplicar operaciones de renglón a una matriz hasta convertirla en una matriz triangular superior y a partir de ello, encontrar las soluciones del sistema de ecuaciones del cual procede nuestra matriz por un método más simple, este puede ser el de inspección.

Da clic sobre el ícono y lee con atención el ejemplo.