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Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES: TEORÍA BÁSICA. Problemas de valores iniciales (PVI). Para una ecuación diferencial lineal, un problema de valor inicial de n-ésimo orden es: Resuelva: Sujeto a:. Existencia de una solución única. - PowerPoint PPT Presentation
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Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES: TEORÍA BÁSICA
Problemas de valores iniciales (PVI)
Para una ecuación diferencial lineal, un problema de valor inicial de n-ésimo orden es:
Resuelva:
Sujeto a:
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Existencia de una solución única
Sean an(x), an-1(x), …, a1(x), a0(x) y g(x) continuas en un intervalo I, y sea an(x) diferente de 0 para toda x en este intervalo. Si x=x0 es cualquier punto en este intervalo, entonces una solución y(x) del problema de valor inicial
existe y es única.
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Resuelva
Problema de valores en la frontera (PVF)
Otro tipo de problema consiste en resolver una ecuación diferencial lineal de orden dos o mayor en el que la variable dependiente y o sus derivadas se especifican en diferentes puntos. Un problema como:
Se llama problema de valores en la frontera.
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Resuelva
Ecuaciones homogéneas
Una ecuación diferencial lineal de orden n de la forma:
es homogénea, mientras que una ecuación:
con g(x) no igual a cero, es no homogénea.
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Principio de superposición, ecuaciones homogéneas
Sean y1, y2, …, yk, soluciones de la ecuación homogénea de n-ésimo orden
en un intervalo I. Entonces la combinación lineal , donde ci=1,2,…,k son constantes arbitrarias, también es una solución en el intervalo.
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Dependencia lineal e independencia
Un conjunto de funciones f1(x), f2(x), …, fn(x), es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes c1, c2, …, cn, no todas cero, tales que:
para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.
02211 )()()( xfcxfcxfc nn
Wronskiano
Suponga que cada una de las funciones f1(x), f2(x), …, fn(x), posee al menos n-1 derivadas. El determinante:
donde las primas denotan derivadas, se llama el wronskiano de las funciones.
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Criterio para soluciones linealmente independientes
Sean y1, y2, …, yn, n soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo oden
en el intervalo I. El conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y sólo si W(y1, y2, …, yn) es diferente de cero para toda x en el intervalo.
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Conjunto fundamental de soluciones
Cualquier conjunto y1, y2, …, yn de n soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden
en un intervalo I es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.
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Existencia de un conjunto fundamental de soluciones
Existe un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación diferencial homogénea de n-ésimo orden
en un intervalo I.
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Solución general, ecuaciones homogéneas
Sean y1, y2, …, yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden
en el intervalo I. Entonces, la solución general de la ecuación en el intervalo es:
donde ci, i=1,2,…,n son constantes arbitrarias.
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