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Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
SOLUCIÓN MEDIANTESERIES DE POTENCIAS
Introducción
La teoría necesaria para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden fue presentada en las secciones “Repaso de series de potencias” y “Solución de ecuaciones mediante series de potencias” de la Unidad II. Se presentarán ahora algunos conceptos necesarios para la solución de ED de orden dos y superior.
Ecuación diferencial de segundo orden en forma estándar
Suponga que la ecuación diferencial lineal de segundo ordense escribe en forma estándar al dividir entre a2(x).
0012 yxayxayxa )(´)(´´)(
0 yxQyxPy )(´)(´´
Puntos ordinarios y singulares
Se dice que un punto x0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial
si P(x) y Q(x) en la forma estándar son
analíticas en x0.Un punto que no es un punto ordinario es un punto singular de la ecuación.
0012 yxayxayxa )(´)(´´)(
0 yxQyxPy )(´)(´´
Soluciones respecto a puntos ordinarios
Si x=x0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial , siempre es posible hallar dos soluciones linealmente independientes en la forma de una serie de potencias centrada en x0, es decir . Una solución en serie converge por lo menos en un intervalo definido por |x-x0|<R, donde R es la distancia desde x0 al punto singular más próximo.
0 yxQyxPy )(´)(´´
0
0n
nn xxCy )(
Soluciones respecto a puntos ordinarios…
Se dice que una solución de la forma:
Es una solución respecto a un punto ordinario x0.
0
0n
nn xxCy )(
Soluciones respecto a puntos singulares
Un punto singular x0 de una ecuación diferencial linealse clasifica como regular o irregular. La clasificación depende de las funciones P(x) y Q(x) en la forma estándar
Se dice que un punto singular x0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial si ambas funciones: p(x)=(x-x0)P(x) y q(x)=(x-x0)Q(x) son analíticas en x0. Un punto que no es regular es un punto singular irregular de la ecuación.
0012 yxayxayxa )(´)(´´)(
.)(´)(´´ 0 yxQyxPy
Soluciones respecto a puntos singulares…
Teorema de Frobenius:Si x=x0 es un punto singular de la ecuación diferencial, entonces por lo menos existe una solución de la forma:
donde el número r es una constante por determinar. La serie converge por lo menos en algún intervalo 0<x-x0<R.
0012 yxayxayxa )(´)(´´)(
00
0n
rnon
n
non
r xxCxxCxxy )()()(
Soluciones respecto a puntos singulares…
En el teorema de Frobenius, las palabras por lo menos significa que no garantiza la posibilidad de hallar dos soluciones en serie del tipo indicado.
El método de Frobenius es similar al método de coeficientes indeterminados de series en la que se sustituye
en la ecuación diferencial dada y se determinan los coeficientes desconocidos cn mediante una relación de recurrencia. Sin embargo, se tiene una tarea más en este procedimiento: antes de determinar los coeficientes, se debe encontrar el exponente desconocido r. Si se encuentra que r es un número que no es un entero negativo, entonces la solución de la correspondiente no es una serie de potencias.
0n
rnon xxCy )(
Ejemplo 1
Resuelva la ED 3xy´´+y´-y=0
Debido a que x=0 es un punto singular de la ecuación diferencial, se intenta encontrar una solución de la forma:
Con ella:
0n
rnn xCy
0
2
0
1 1n
rnn
n
rnn xCrnrnyxCrny ))((´´)(´ y
Ejemplo 1...
...
y
:que significa que lo
,, , , kCCrkrk
Crr
xCCrkrkxCrrx
xCxCrkrkxCrrx
xCxCrnrnxCrrx
xCxCrnrn
xCxCrnxCrnrn
xCxCrnxCrnrn
xCxCrnxCrnrnxyyxy
kk
k
nkk
r
k
kk
k
kk
r
n
nn
n
nn
r
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
321001331
023
0133123
133123
23323
233
333
13
133
1
0
0
11
10
001
10
01
110
00
1
00
1
0
1
00
1
0
1
00
1
0
2
))((
)(
]]))([()([
]))(()([
]))(()([
))((
)())((
)())((
)())((´´´
Ejemplo 1...
, ..., , , kkk
CCr
, ..., , , kkk
CCr
rrr
rkrk
CC
rr
r
rr
C
kk
kk
kk
3210131
0
3210153
32
023
1331
032
023
11
11
1
21
0
:diferentes arecurrenci de ecuaciones dos
obtienen se ecuación la satisfacen que de valores
dos los en sustituye se Cuando
y
:son ecuación la satisfacen que de valores dos Los
:tener debe se
entonces 0, haciendo nada gana se no que a Debido
))((,
))((,/
)(
))((
/
)(
Ejemplo 1...
, ..., , , kkk
CCr
, ..., , , kkk
CCr
rrr
rkrk
CC
rr
r
rr
C
kk
kk
kk
3210131
0
3210153
32
023
1331
032
023
11
11
1
21
0
:diferentes arecurrenci de ecuaciones dos
obtienen se ecuación la satisfacen que de valores
dos los en sustituye se Cuando
y
:son ecuación la satisfacen que de valores dos Los
:tener debe se
entonces 0, haciendo nada gana se no que a Debido
))((,
))((,/
)(
))((
/
)(
Ejemplo 1...
)(**))()(!*(
))()()(!*())((
))()(!*())((
))(!*())((
))((
))((
231185
1411854414
11853311
85228
15
153
0
034
023
012
01
1
nn
CC
CCC
CCC
CCC
CC
kk
CCCon:
n
kk
)(**))()(!*(
))()()(!*())((
))()(!*())((
))(!*())((
))((
))((
23741
107414104
741373
41242
11
131
0
034
023
012
01
1
nn
CC
CCC
CCC
CCC
CC
kk
CCCon:
n
kk
Ejemplo 1…
Aquí se encuentra algo que no sucedió cuando se obtuvieron soluciones respecto a un punto ordinario; se tiene lo que parecen ser dos conjuntos de coeficientes diferentes, pero cada conjunto contiene al mismo múltiplo C0. Si se omite este término, las soluciones en serie son:
n
n
n
n
xnn
xxy
xnn
xxy
1
02
1
321
23741
11
231185
11
)(****)!*()(
)(****)!*()( /
Ejemplo 1…
Es evidente que ninguna de estas soluciones es múltiplo de la otra y por lo tanto y1 y y2 son linealmente independientes, así por el principio de superposición y = c1y1+c2y2 , así, la solución general de la ecuación diferencial es:
n
n
n
n
xnn
xcxnn
xcy1
02
1
321 23741
11
231185
11
)(****)!*()(****)!*(/
Ecuación indicial
En la ecuación diferencial anterior, el término: r(3r-2) de denomina “ecuación indicial” y r=2/3 y r=0 se llaman “raíces indiciales” o exponentes de la singularidad x=0.
Tres casos posibles
Al utilizar el método de Frobenuis para resolver la ecuación diferencial de segundo orden se distinguen tres casos que corresponden a la naturaleza de las raíces indiciales r1 y r2.
r1 y r2 son reales y la diferencia r1 - r2 no es un entero positivo.
r1 y r2 son reales y la diferencia r1 - r2 es un entero positivo.
r1 y r2 son reales e iguales.
0012 yxayxayxa )(´)(´´)(
CASO I
Si r1 y r2 son reales y la diferencia r1 - r2 no es un entero positivo.En este caso existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de la forma:0012 yxayxayxa )(´)(´´)(
0
0
00
2
00
1
2
1
bxbxy
cxcxy
rn
nn
rn
nn
)(
)(
CASO II
Si r1 y r2 son reales y la diferencia r1 - r2 es un entero positivo.En este caso existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de la forma:
Donde C es una constante que podría ser cero.
0012 yxayxayxa )(´)(´´)(
0
0
00
12
00
1
2
1
bxbxxCyxy
cxcxy
rn
nn
rn
nn
ln)()(
)(
CASO III
Si r1 y r2 son reales e iguales.En este caso existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de la forma:0012 yxayxayxa )(´)(´´)(
rn
nn
rn
nn
xbxxyxy
cxcxy
112
00
1 0
ln)()(
)(
Ejemplo 2
Encontrar la solución general de la ecuación: 2xy´´-y´+2y=0
Partiendo de la sustitución de
en la ecuación diferencial, tenemos:
0n
rnn xCy
0
2
0
1 1n
rnn
n
rnn xCrnrnyxCrny ))((´´)(´ y
Ejemplo 2…
02
3
0032
012
0212
0212
0212
21222
21
02
0
00
11
00
1
0
1
00
00
1
0
1
00
1
0
2
rrentonces
CComorrC
rCCrr
xCxCrkxCrkrk
xCxCrnxCrnrn
xCxCrnxCrnrn
xCxCrnxCrnrnxyyxy
indicialEcuación
k
rkk
rk
kk
rk
kk
nk
n
rnn
nk
n
rnn
nk
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
,:
)(
])([
)())((
)())((
)())((
)())((´´´
:índices los igualar para sumatorias primeras dos las de término un Tomando
:ecuación la de lados ambos x por ndoMultiplica
Ejemplo 2…
Como las raíces no difieren en un entero (Caso I) la soluciones deben ser de la forma:
La ecuación de recurrencia para k=1,2,3,… es:
0
0
00
2
00
1
2
1
bxbxy
cxcxy
rn
nn
rn
nn
)(
)(
))(( 322
2 1
rkrk
CC k
k
Ejemplo 2…
43201
40
30
20001
44
33
2210
03
4
02
3
01
2
01
111
10395
2
945
2
35
2
5
21
10395
2
945
2
35
2
5
2
10395
2
44
24
945
2
27
23
35
2
14
22
5
21
32
2
223
2
323
2223
22
3
xxxxCy
xCxCxCxCCy
xCxCxCxCCySi
CC
Ck
CC
Ck
CC
Ck
CCkPara
kk
C
kk
C
kk
CC
rCon
kkkk
:
))(())(())((
:
Ejemplo 2…
43202
40
30
20002
44
33
2210
03
4
02
3
01
2
00
1
11
45
2
9
4221
45
2
9
422
45
2
20
24
9
4
9
23
22
22
21
21
32
2
30220
2
0
xxxxby
xbxbxbxbby
xbxbxbxbbySi
bb
bk
bb
bk
bb
bk
bb
bkPara
kk
b
kk
bb
rCon
kkk
:
))(())()((
:
Ejemplo 2…
.
:,
indicadateinicialmenformalaaecorrespondque
xxxxbxxxxCy
yyy
esldiferenciaecuaciónladesoluciónlaelloCon
4320
4320
21
45
2
9
4221
10395
2
945
2
35
2
5
21
Ejemplo 3
Encontrar la solución general de la ecuación: x3y´´-x2(1+x)y´+xy=0
Partiendo de la sustitución de
en la ecuación diferencial, tenemos:
0n
rnn xCy
0
2
0
1 1n
rnn
n
rnn xCrnrnyxCrny ))((´´)(´ y
Ejemplo 3…
iguales. reales raíces dos Obtenemos
:0n para que tenemos x,las en exponente menor de sumatorias las Tomando
1
0112
0012
01
01
11
21
22
02
0
000
0
1
0 0
21
0
1
00
132
0
2323
rrr
rrrentonces
CComorrC
CrCCrr
xCxCrnxCrnxCrnrn
xCxxCrnxxxCrnrnxxyyxxyx
indicialEcuación
n
rnn
n n
rnn
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
)(:
)(
])(
)()())((
)()())((´)(´´
Ejemplo 3…
Como las raíces son reales e iguales (Caso III) la soluciones deben ser de la forma:
La ecuación de recurrencia con r=1 para los valores de k=2,3,4,… es:
12
1
k
CC k
k
rn
nn
rn
nn
xbxxyxy
cxcxy
112
00
1 0
ln)()(
)(
Ejemplo 3…
0
1
0101
00
0
5432
0
5040302000
44
33
2210
045
034
023
012
01
2100
54321
12024621
12056
2445
634
223
12
1
m
mx
x
m
m
kk
m
xCyoxeCy
eCm
xC
xxxxxCy
xC
xC
xC
xC
xC
Cy
xCxCxCxCCySi
CCCk
CCCk
CCCk
CCCk
CCkPara
k
CCyCCCon
!
!!!!!
:
Ejemplo 3…
Para encontrar y2, utilizaremos:
Con:
dxy
exyy
Pdx
21
12 )(
1111
3
2
1
xx
x
x
xxxPyxey x )()()(
Ejemplo 3…
11
5432
1
5432
11
432
1
5432
11221
2212121
11
12
1
12052446322
12052446322
12024621
1
432
11
m
mmx
x
xx
x
x
xx
x
xxdx
x
mm
xxexy
xxxxxxexy
xxxxxyxy
dxxxxx
xy
Dividiendo
dxxxx
xx
ydxxe
ydxex
xey
dxex
eydx
xe
eydx
y
eyy
!)(
)(ln
)****
(ln
)****
(ln
)(
:!!!
lnln
.indicadateinicialmenformalaaecorrespondque
Ejemplo 4
Encontrar la solución general de la ecuación: y´´+2y´+xy=0
Partiendo de la sustitución de
en la ecuación diferencial, tenemos:
0n
rnn xCy
0
2
0
1 1n
rnn
n
rnn xCrnrnyxCrny ))((´´)(´ y
Ejemplo 4…
entero. número un en difieren que reales raíces dos Obtenemos
:0n para que tenemos x,las en exponente menor de sumatorias las Tomando
1
0
0112
001
021
021
212
2
1
22
00
00
0
1
0
1
0
1
00
1
0
2
r
r
rrrentonces
CComorrC
rCCrr
xCxCrnxCrnrn
xCxxCrnxCrnrnxxyyxy
indicialEcuación
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
)(:
)((
)(
)())((
)())((´´´
Ejemplo 4…
Como las raíces son reales y la diferencia es un entero (Caso II) la soluciones deben ser de la forma:
La ecuación de recurrencia para r=0 y los valores de k=2,3,4,… es: ya que para k=0 obtenemos la ecuación indicial y para k=1 C1=0.
)( 12
kk
CC k
k
0
0
00
12
00
1
2
1
bxbxxCyxy
cxcxy
rn
nn
rn
nn
ln)()(
)(
Ejemplo 4…
x
SenxCy
xxx
x
SenxEntonces
xxxxSenxComo
xC
xC
xC
CxCxCxCxCCySi
CCCk
CCk
CCCk
CCk
CCkPara
kk
CCyCconrPara k
kk
01
642753
6040200
44
33
2210
046
35
024
13
02
2
7531
753
753
504056
04
5
120204
012
3
62
100
!!!:
!!!
!!!
:
)(
Ejemplo 4…
Cosxbxxy
Cosxbxxx
bxbxbxbxbbySi
bbbk
bbk
bbbk
bbk
bbkPara
kk
bbybbconrPara k
k
01
2
0
642
04
43
32
210
046
35
024
13
02
210
0
6421
720306
0120
5
24124
06
3
22
1001
ln
)!!!
(
:
)(,,
Ejemplo 4…
.
:,
indicadateinicialmenformalaaecorrespondformaesta
x
Cosxb
x
SenxCy
yyy
esldiferenciaecuaciónladesoluciónlaelloCon
00
21
