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UNIDAD 2 HIDROSTATICA

FUERZA DE PRESION Y PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

Daniel Vega

1

Arturo Silisque2

Daniel Aguilar2

Ver. Abril.2010

CONTENIDO

1 INTRODUCCION -------------------------------------------------------------------------------------------------- 2

2 FUERZA DE PRESION ------------------------------------------------------------------------------------------- 2

3 NOMENCLATURA RELACIONADA CON LA FUERZA DE PRESIÓN ----------------------------- 4

4 CALCULO DE LA FUERZA DE PRESION EN SUPERFICIES PLANAS ---------------------------- 5

4.1 MÉTODO DE LA CUÑA DE PRESIONES ------------------------------------------------------------------------------ 6 4.2 INTEGRACIÓN Y FÓRMULAS DE CÁLCULO ------------------------------------------------------------------------ 8

5 PRINCIPIO DE ARQUIMEDES ------------------------------------------------------------------------------ 11

6 CALCULO DE LA FUERZA DE PRESION EN SUPERFICIES CURVAS ------------------------- 14

APENDICE 1

REFERENCIAS BRUNETTI, F. 1985. Curso de mecánica de fluidos. 2 ed. San Pablo, Brasil. s.n. 266 p.

BUECHE, F. 1984. Fundamentos de física. 2 ed. México D.F., México. Mc. Graw-Hill.

915 p.

FRANCO G, A. 2006. Curso Interactivo de Física en Internet. Obtenido el 17 de marzo de 2009 en

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/estatica/arquimedes/arquimedes.htm

STREETER, V.L., WYLIE, E.B. 1979. Mecánica de los fluidos. Trad. Por Jaime Gonzalo

Cervantes de Gortari. 6 ed. México D.F., México. Mc Graw-Hill. 775 p.

1 Docente de Hidráulica, Facultad de Agronomía – UMSS.

2 Auxiliar de docencia, Facultad de Agronomía – UMSS.

2

1 INTRODUCCION

Los fluidos ejercen presiones sobre las estructuras que los contienen. Estas presiones

originan fuerzas que necesitan ser calculadas para el adecuado diseño de estas estructuras

hidráulicas: dimensionamiento frente a fuerzas/empujes actuantes y cálculo de estabilidad.

Asimismo, para este fin, es determinante conocer los puntos donde se ejercen estas fuerzas,

denominados centros de presión.

En estos apuntes se desarrollan los conceptos relativos a la fuerza de presión, tanto sobre

superficies planas como en curvas, y el principio de Arquímedes. Los conceptos son

apoyados con ejemplos de aplicación sencillos. El propósito es brindar una base general,

que posteriormente sea útil para profundizar en temas afines.

2 FUERZA DE PRESION

También conocida como empuje hidrostático, es la fuerza que ejerce un fluido sobre una

superficie, fuerza debida a la presión hidrostática.

Cuando un fluido está en reposo no existen fuerzas tangenciales actuando, de lo contrario

se produciría movimiento; consecuentemente, todas las fuerzas son normales a las

superficies que contienen el fluido. La Figura 1 es útil para comprender cómo se distribuye

la presión hidrostática sobre distintas superficies, dispuestas de manera usual.

Figura 1 Distribución de la presión hidrostática

Para el cálculo de las fuerzas de presión, no debemos olvidar el concepto y propiedades de

la presión hidrostática. Especialmente vale recordar que:

- la presión en puntos situados en un mismo plano horizontal, o nivel, es la misma,

porque tienen la misma altura de carga.

- la presión en un punto de un fluido en reposo es la misma en cualquier dirección, por

ello se dice que la presión es isotrópica.

h1

h2

h3

A

B C

D

E F

Gg

gh2

gh1

gh3

gh3

3

Siguiendo la Figura 1 es posible distinguir tres situaciones:

Patrón de distribución de

la presión hidrostática

Diagrama de presiones Superficie Observaciones

1. Rectangular

B-C

E-F

Superficie horizontal, la presión es constante: P1 = γh1

Superficie horizontal, la presión es constante: P3 = γh3

2. Triangular

A-B

F-G

Superficie vertical, la presión varía desde 0 (relativo) hasta P1 = γh1

Superficie inclinada, la presión varía desde 0 (relativo) hasta P3 = γh3

3. Trapezoidal

C-D

D-E

Superficie vertical sumergida, la presión varía desde P1 = γh1 hasta P2 = γh2

Superficie inclinada sumergida, presión varía desde P2 = γh2 hasta P3 = γh3

“Visualizar” el patrón de distribución de las presiones sobre una determinada superficie nos puede ser muy útil en el cálculo de la

fuerza de presión resultante y su punto de acción.

4

3 NOMENCLATURA RELACIONADA CON LA FUERZA DE PRESIÓN

La fuerza de presión que actúa sobre una determinada superficie es el resultado de la

sumatoria de los productos de las presiones que se ejercen en cada diferencial de dicha

superficie. En la Figura 2 se muestra el diagrama de presiones sobre una superficie (A),

totalmente sumergida, que da lugar a una fuerza de presión (F); en la misma figura se detalla

la nomenclatura relacionada.

Figura 2 Nomenclatura relacionada con la fuerza de presión

Superficie (A), corresponde a la superficie sobre la cual se desea calcular la fuerza de presión.

Esta superficie puede ser vertical o inclinada; y estar parcial o totalmente sumergida, donde

dA=dy*b es un diferencial del área (A) sobre el cual actúa una presión P=γh.

Centro de gravedad (CG), también conocido como centroide de una superficie es el punto de

equilibrio si ésta se quedara suspendida en este punto, es el punto en el que puede considerarse

que actúa el peso.

Altura al centro de gravedad (hcg), altura o profundidad existente desde la superficie libre del

líquido hasta el centro de gravedad de la superficie sobre la cual se determina la fuerza de

presión.

Distancia al centro de gravedad (ycg), distancia existente desde la intersección de la superficie

libre y el plano inclinado, o sus proyecciones (punto O, Figura 2), hasta el centro de gravedad

de la superficie sobre la cual se determina la fuerza de presión. El plano inclinado está

determinado por el ángulo , respecto al plano horizontal.

O

5

Centro de presiones (CP), es el punto donde se localiza o actúa la fuerza resultante de las

presiones sobre la superficie (A).

Altura al centro de presión (hcp), altura o profundidad existente desde la superficie libre del

líquido hasta el centro de presiones.

Distancia al centro de presión (ycp), distancia existente desde la intersección de la superficie

libre y el plano inclinado, o sus proyecciones (punto O, Figura 2), hasta el centro de presiones.

Las alturas y distancias, h y y respectivamente, se relacionan como sigue:

ysenh * , consecuentemente: cgcg ysenh * ; cpcp ysenh *

4 CALCULO DE LA FUERZA DE PRESION EN SUPERFICIES PLANAS

El cálculo de la fuerza de presión consiste en la determinación del producto de la presión por

el área sobre la cual ésta actúa.

Cuando la distribución de presiones es uniforme en toda la superficie, como es el caso de las

superficies B-C y E-F del ejemplo mostrado en la Figura1, la fuerza debida a la presión será

simplemente:

PAF = (gh)(l*b)

Esto también puede asumirse como cierto en el caso de la

presión ejercida por los gases sobre las superficies de los

depósitos que los contienen.

Sin embargo, en el caso de los líquidos esto puede ser diferente, debido a que la distribución

de las presiones actuantes puede variar a lo largo de la superficie, como es el caso de la

superficie A-B del ejemplo mostrado en la Figura 1.

En este caso, la fuerza de presión será igual a la sumatoria de los

productos de las presiones por las áreas respectivas sobre las que

actúan:

APdAF

6

El calculo de la magnitud de la fuerza de presión, y su punto de aplicación (centro de presión),

puede realizarse de dos maneras:

Método de la cuña de presiones

Integración y uso de fórmulas de cálculo

A continuación, se explican las formas de cálculo indicadas, para este fin se toma como

ejemplo el caso mostrado en la Figura 1.

4.1 Método de la cuña de presiones

Al observar el patrón de distribución de la presión sobre una superficie se percibe la

“conformación” de un cuerpo con cierto volumen, este volumen es conocido como “cuña o

prisma de presiones”. La fuerza de presión actuante sobre la superficie considerada

corresponde al volumen de la cuña de presiones. A su vez, la localización de la fuerza de

presión (centro de presión) coincidirá con el centro de gravedad de la misma cuña.

No se debe confundir el centro de gravedad de la superficie sobre la cual se calcula la fuerza

de presión con el centro de gravedad de la cuña de presiones.

El método de la cuña de presiones es bastante útil, principalmente para la determinación de las

fuerzas de presión en superficies rectangulares, verticales o inclinadas, pues simplifica el

procedimiento de cálculo. En caso de superficies con geometría más compleja la

determinación del volumen de la cuña de presión y su centro de gravedad se complica, por ello

es aconsejable integrar o emplear fórmulas de cálculo, deducidas del análisis diferencial.

Para la aplicación del método de la cuña de presiones vale recordar:

Volumen Centro de gravedad

cubo o prisma rectangular

V = a*b*c

Prisma triangular

Intersección de medianas

Prisma trapecial

A continuación se muestra un ejemplo de aplicación, tomando como referencia la Figura 1:

a

b2

b1 b1/2

b2/2 a’

a

b

a/3

b/2 a/2

a

b

a

b

c

a

b

c

a

b2

c

b1

a’=a/3*(b2+2b1)/(b2+b1)

7

Ejemplo de aplicación 1: método de la cuña de presiones para el cálculo de la fuerza de presión y su localización

Asumir los siguientes valores: gagua = 1000 kg/m3 ; Ancho del depósito b = 5 m ; h1 = 1 m ; h2 = 2 m ; h3 = 2.5 m

A-B = B-C = C-D = 1 m ; D-E = E-F = 3 m ; F-G = 4 m

Patrón de distribución de la

presión hidrostática

Superficie Fuerza de presión*

(volumen de la cuña de presiones) Centro de presión

(centro de gravedad de la cuña de presiones)

1. Rectangular

cubo o prisma rectangular

Superficie horizontal

blhAhPAF **gg

hhh cuñacgcp _

B-C

FB-C=1000 kg/m3*1 m *1 m *5 m = 5000 kg

hcp(B-C) = 1 m

E-F

FE-F=1000 kg/m3*2,5 m *3 m *5 m = 37500 kg

hcp(E-F) = 2,5 m

2. Triangular

cuña triangular

Superficie vertical

Superficie inclinada

bhh

F *2

g

byh

F *2

g

hhcp3

2

senhy cpcp /

A-B

FA-B = (1000 kg/m3*1 m *1 m)/2 *5 m = 2500 kg

hcp = 2/3*1 m = 0.7 m

F-G

FF-G = (1000 kg/m3*2,5 m *4 m)/2 *5 m = 25000 kg

= arcsen (2,5/4) = 38,7º

hcp = 2/3*2.5 m = 1,7 m

ycp = 1,7 m /sen(38,7º) = 2,7 m (desde G)

3. Trapezoidal

cuña trapecial

Superficie vertical

Superficie inclinada

bhhhh

F *)(*2

)(12

21

g

byyhh

F *)(*2

)(12

21

g

)(3

2

21

2

221

2

1

hh

hhhhhcp

,

senhy cpcp /

C-D

FC-D = [1000 kg/m3*(2+1) m]/2*(2-1) m)*5 m = 7500 kg

hcp = 2/3*(12+1*2+22)/(1+2) m

hcp = 1.6 m

D-E

y2-y1 = D-E = 3 m

FD-E = [1000 kg/m3*(2+2,5) m]/2*3 m*5 m = 33750 kg

hcp = 2/3*(22+2*2,5+2,52)/(2+2,5) m

hcp = 2,3 m

= arcsen (0,5/3) = 9,6º

ycp = hcp/sen = 2,3 m/sen(9,6º)

ycp = 13,6 m (desde H)

* En todos los casos las fuerzas calculadas corresponden a la fórmula de cálculo de la fuerza de presión: AhF cgg (ver 4.2)

8

Las fuerzas de presión calculadas y sus puntos de aplicación se muestran esquemáticamente

en la Figura 3:

Figura 3 Ejemplo de aplicación 1: Fuerzas y centros de presión (la figura no está a escala)

4.2 Integración y fórmulas de cálculo

De acuerdo con la Figura 2, la presión efectiva sobre la superficie A varía desde P1=γh1

hasta P2=γh2; por tanto, la presión a lo largo de la superficie A no es constante.

En principio, para la determinación de la fuerza de presión resultante sobre la superficie A,

se considera una presión genérica (P) que actúa sobre un diferencial de la superficie (dA).

El producto de la presión (P) por el diferencial (dA) representa un diferencial de la fuerza

de presión (dF):

dF = P*dA ; P = γ*h

dF = γ*h*dA ; h = sen*y

dF = γ*sen*y*dA (1)

El valor de la fuerza de presión resultante se obtiene integrando la expresión (1) a lo largo

de la superficie A:

A A

dAysendAysenF ***** gg (2)

Sabiendo que la localización del centro de gravedad respecto a un eje horizontal es:

A

cg dAyA

y *1

; luego: AydAy cgA

** (ver Apéndice 1)

Reemplazando en (2)

A*y*sen* F cgg ; finalmente: A*h* F cgg

A

B C

D

E F

G H

β Centro de presión (CP)

Fuerza de presión (F)

ycp

hcp

FDE Referencias:

9

Consecuentemente, la fuerza de presión resultante (F) será igual al producto de la presión

correspondiente a la altura, o profundidad, a la que se encuentra el centro de gravedad de la

superficie (Pcg=g*hcg) por el área de la misma (A).

El centro de presión (CP) se determina por el cálculo de momentos de las fuerzas de

presión actuantes.

El momento de la fuerza resultante será igual a la sumatoria de los momentos de giro de los

diferenciales de fuerza a lo largo de la superficie (A), respecto a un punto de giro. El punto

de giro asumido para el cálculo es el punto de intersección de la línea del plano inclinado

con la superficie libre del líquido (punto, Figura 2).

Por tanto:

Acp ydFyF * ; recordando que: dF = γ*sen*y*dA

Se obtiene:

A

cp dAysenyF 2* g ; entonces: F

dAyseny A

cp

2g

Donde, A dAy2 es el momento de inercia de la superficie A con relación a un eje

perpendicular al plano de la hoja y que pasa por el punto O, el cual es igual a:

AyIdAy cgcA

*22 (ver Apéndice 1)

Luego:

A

AyIseny

cgc

cp*h*

)*(

cg

2

g

g , siendo

sen

hy

cg

cg

Finalmente:

Cuando la superficie está ubicada verticalmente, la expresión de cálculo será:

cg

cg

ccp y

Ay

Iy

*

cg

cg

ccp h

Ah

Ih

*

cpcp ysenh *

10

Donde ycp y hcp indican la distancia y la profundidad al centro de presión (CP),

respectivamente. El valor de Ic se calcula de acuerdo con a la forma geométrica de la

superficie (ver Apéndice 1).

Ejemplo de aplicación 2: Según la Figura 1, y tomando los mismos valores del ejemplo de

aplicación 1:

gagua = 1000 kg/m3 ; Ancho del depósito b = 5 m ; h1 = 1 m ; h2 = 2 m ; h3 = 2.5 m

A-B = B-C = C-D = 1 m ; D-E = E-F = 3 m ; F-G = 4 m

Superficie Fuerza de presión

A*h* F cgg

Centro de presión

cg

cg

ccp h

Ah

Ih

* ;

cg

cg

ccp y

Ay

Iy

*

B-C

E-F

hcg = 1 m; A = 1*5 m2 = 5 m2

FB-C=1000 kg/m3*1 m *5 m2 = 5000 kg

hcg = 2,5 m; A = 3*5 m2 = 15 m2

FE-F=1000 kg/m3*2,5 m *15 m2 = 37500 kg

hcp(B-C) = hcg = 1 m (desde sup. libre)

hcp(E-F) = hcg = 2,5 m (desde sup. libre)

A-B

F-G

hcg = 1/2 m; A = 1*5 m2 = 5 m2

FA-B = 1000 kg/m3*0,5 m *5 m2 = 2500 kg

hcg = 2,5/2 m; ycg = 1,25 m/sen(38,7º) = 2 m

A = 4*5 m2 = 20 m2

FF-G = 1000 kg/m3*1,25 m *20 m2 = 25000 kg

Ic = 1/12*b*h3 = 1/12*5*13 m4

I c = 0,42 m4

hcp = 0,42 m4/(0,5 m*5 m2) + 0.5 m

hcp = 0.67 m (desde sup. libre)

Ic = 1/12*b*h3 = 1/12*5*43 m4

I c = 26,67 m4

ycp = 26,67 m4/(2 m*20 m2) + 2 m

ycp = 2,7 m (desde G)

hcp = sen(38,7º)*2,7 m = 1,7 m

C-D

D-E

hcg = (1/2 + 1) m = 1,5 m; A = 1*5 m2 = 5 m2

FC-D = 1000 kg/m3*1,5*5 m2 = 7500 kg

hcg = (0,5/2 + 2)m = 2,25 m

ycg = 2,25 m/sen(9,6º) = 13,5 m

A = 3*5 m2 = 15 m2

FD-E = 1000 kg/m3*2,25 m *15 m2 = 33750 kg

Ic = 1/12*b*h3 = 1/12*5*13 m4

I c = 0,42 m4

hcp = 0,42 m4/(1,5 m*5 m2) + 1.5 m

hcp = 1,6 m (desde sup. libre)

Ic = 1/12*b*h3 = 1/12*5*33 m4

I c = 11,25 m4

ycp = 11,25 m4/(13,5 m*15 m2) + 13,5 m

ycp = 13,6 m (desde H)

hcp = sen(9,6º)*13,6 m

hcp = 2,3 m (desde sup. libre)

Los resultados son iguales a los obtenidos por el método de la cuña de presiones.

11

5 PRINCIPIO DE ARQUIMEDES3

Los objetos aparentemente pesan menos cuando flotan o están sumergidos en un fluido.

Este hecho evidencia la existencia de una fuerza de abajo hacia arriba que ayuda a sostener

el objeto. Esta fuerza se denomina Fuerza de flotación o Empuje.

El principio de flotación fue descubierto por Arquímedes4 y se enuncia como sigue:

Todo cuerpo sumergido (total o parcialmente) en un

fluido experimenta un empuje vertical, dirigido de abajo

hacia arriba, igual al peso del líquido que desaloja.

Consecuentemente, la fuerza de flotación (FF) o empuje

(E) será igual a:

E = - gV

Donde:

E = Fuerza de flotación o Empuje

g = peso específico del fluido

V = volumen desalojado * ¡EUREKA!

Siguiendo a Franco (2006), suponer un cuerpo sumergido en un fluido. El área de la base

del cuerpo es A y su altura h (Figura 4).

Figura 4 Presiones y fuerzas sobre un cuerpo sumergido

La presión debida al fluido sobre la base superior es p1= g x. La presión debida al fluido en

la base inferior es p2= g (x+h). La presión sobre las superficies laterales es variable y

depende de la altura, está comprendida entre p1 y p2.

Las fuerzas debidas a la presión del fluido sobre las superficies laterales se anulan. Como la

presión en la cara inferior del cuerpo p2 es mayor que la presión en la cara superior p1, el

3 Adaptado de Franco, 2006 (http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/estatica/arquimedes/arquimedes.htm)

4 Arquímedes (287 – 212 aC), científico griego con importantes obras en el campo de la matemática, la física

y la mecánica. Fundador de la hidrostática.

*

12

resultado es una fuerza hacia arriba (F1 – F2) sobre el cuerpo debida al fluido que le rodea,

esta fuerza es llamada “Fuerza de flotación o Empuje” (E).

E = F1 – F2

E = p1·A - p2·A

E = g x·A - g (x+h)·A

E = - g h A = - g V ; el signo negativo indica la dirección del empuje, abajo hacia arriba.

Por medio de la noción de empuje es posible establecer

la condición de flotación de un cuerpo.

La Figura 5 muestra un cuerpo completamente

sumergido. El cuerpo flotará siempre que el empuje (E)

sea mayor o igual al peso del cuerpo (W = mg):

E ≥ W Figura 5 Flotación de un cuerpo

Al estar el cuerpo totalmente sumergido se tiene:

Vdesalojado = Vcuerpo ; recordando W = g V ; entonces:

gfluido Vdesalojado ≥ gcuerpo Vcuerpo ; gfluido ≥ gcuerpo ; ρ fluido ≥ ρ cuerpo

Por tanto, un cuerpo flotará siempre que el peso específico, o la densidad del cuerpo, sea

menor o igual que del fluido.

Con esta explicación surge un problema interesante y debatido. Supongamos que un cuerpo

de base plana, y con densidad menor al fluido, descansa en el fondo del recipiente. Luego

se llena el recipiente con agua (Figura 6). ¿Desaparece la fuerza de flotación?

Figura 6 Presiones y fuerzas sobre un cuerpo que se encuentra en el fondo

g cuerpo

g fluido

13

Si no existiese la fuerza de empuje el cuerpo quedaría en reposo, sujeto por su propio peso

mg y la fuerza p1A que ejerce la columna de fluido situada por encima del cuerpo, incluso si

la densidad del cuerpo fuese menor que la del fluido. Sin embargo, la experiencia

demuestra que el cuerpo flota y llega a la superficie, por tanto existe la fuerza de empuje

(E). Consecuentemente, la fuerza de flotación o empuje tiene su origen en la diferencia de

presión entre la parte superior y la parte inferior del cuerpo sumergido en el fluido; por

tanto, este principio sigue siendo aplicable en todos los casos.

Ejemplo de aplicación 3. Principio de Arquímedes

Según la Figura 7, se quiere calcular la distancia (X) a la cual se debe colocar un flotador para que

la compuerta AB se comience a abrir cuando el nivel de agua alcance los 3 metros. El flotador tiene

un diámetro de 2 metros y su peso es de 600 kg. A su vez, el ancho de la compuerta es de 1 metro;

despreciar su peso para el cálculo.

La compuerta se comenzará a abrir en el instante que

el momento de giro en el sentido de las agujas del

reloj (-), en torno al punto A (eje de giro de la

compuerta), sea mayor al momento de giro en sentido

contrario (+).

Entonces, el valor de X puede ser calculado como

sigue:

0AM (sumatoria de momentos de giro en torno

al punto A) Recordar que el momento de giro es igual a una fuerza

multiplicada por su brazo respecto a un punto de giro. Figura 7 Ejemplo de aplicación 3

Las fuerzas actuantes y sus brazos respecto al punto A son:

Fuerza Brazo de la fuerza

F = fuerza de presión sobre la compuerta AB

AhF CGg

F = 1000 kg/m3*(3/2 m)*(3 m*1 m)

F = 4500 kg

2/3h; siendo h=3m

2/3h = 2/3(3 m)

2/3h = 2 m

W = peso del flotador

W = mg = 600 kg

X (distancia que se desea calcular).

Distancia desde el punto A hasta el centro de

gravedad del flotador.

E = empuje sobre el flotador

E = g*V ; Vol esfera = 1/6**D3

E = 1000 kg/m3*1/2*(1/6**2

3) m

3

E = 2094.4 kg

X (distancia que se desea calcular).

En este caso la línea de acción del empuje coincide

con el centro de gravedad del flotador.

Los momentos de giro serán:

W*X + F*(2/3*h) - E*X = 0 ; F*(2/3*h) = X(E-W) ; X = F*(2/3*h) / (E-W), remplazando:

X = 4500 kg * 2 m / (2094.4 – 600) kg

X = 6 m (el flotador debe ser colocado a una distancia de X = 6 metros respecto al punto A)

14

6 CALCULO DE LA FUERZA DE PRESION EN SUPERFICIES CURVAS

La fuerza de presión resultante sobre una superficie curva se determina calculando sus

componentes, tanto horizontal (Fx) como vertical (Fy). Consecuentemente, la fuerza total se

calculará por suma vectorial:

F F FX Y 2 2

La dirección de la fuerza será: = arctg Fy/Fx ; y su localización, respecto a cierto punto

de giro, se determina por cálculo de momentos:

F

bFbFb

FyyFxx

F

; donde: b = brazos correspondientes a las fuerzas indicadas.

A continuación, se esquematizan algunas situaciones usuales de superficies curvas

sometidas a una fuerza de presión.

En los tres casos mostrados arriba, la fuerza de presión sobre la superficie curva BC se

calcula como sigue:

Componente Fx: (fuerza sobre la proyección vertical de la superficie)

Componente Fy: (fuerza igual al peso del fluido o empuje sobre la superficie curva)

Fuerza de presión resultante F: F F FX Y 2 2

Fx

FyF

Sy

A

B

C

D

Sy

Fx

Fy

F

A

B

C

D

Fx

Fy

F

Sy

A

B

C

D

15

Ejemplo de aplicación 4. Fuerza de presión sobre superficies curvas

En la figura se muestra una compuerta de sección cilíndrica. Calcular la fuerza de presión

resultante sobre la compuerta, y su dirección, si un cuarto de la misma está en contacto con

el agua.

a) Cálculo de la componente horizontal de la fuerza de presión (Fx)

La componente horizontal de la fuerza de presión (Fx)

se calcula sobre la proyección vertical de la superficie

curva (Sy)

;

(

)

;

b) Cálculo de la componente vertical de la fuerza de presión (Fy)

La componente vertical de la fuerza de presión (Fy) es

igual al empuje.

;

;

=0.76m

La fuerza de presión resultante: √

√

con un angulo respecto al plano horizontal de:

(

)

Fy

r=1.8 m

xcg

16

Y su localización respecto al punto de giro C será:

F

bFbFb

FyyFxx

F

kg

mkgmkgbF

9050

764.0*76342.1*4860

mbF 0

Como es de suponer, pues la fuerza de presión resultante es perpendicular a la superficie

curva, por tanto coincide con la dirección del radio de la misma, por ello pasa por el centro

(C).

CA

B

Sy

Fx

bFx=2/3r

Fy

bFy=4r/(3)

-

F

17

APENDICE 15

MOMENTOS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDENES

El momento de una superficie se puede determinar como se determina el momento de una

fuerza respecto a un eje.

Momentos de primer orden

El momento de una superficie A respecto al eje x (ver Figura A.1) se expresa mediante

A ydA

Donde la integración se efectúa a lo largo de

toda la superficie para determinar el momento

respecto a un determinado eje. Por ejemplo, si

tomamos un eje y=k se tiene:

) kAydAdAkyAA

(1)

Figura A.1 Nomenclatura momentos de primer y

segundo orden

Expresión que demuestra que siempre existirá un eje paralelo yky , respecto del cual

el momento es cero. Este eje recibe el nombre del eje centroidal y se puede obtener de la

ecuación (1), haciendo igual a cero el lado izquierdo y despejando y :

A

ydAA

y1

(2)

Asimismo, se puede determinar otro eje centroidal, paralelo al eje y:

AxdA

Ax

1 (3)

El punto de intersección de los ejes centroidales ( x , y ) recibe el nombre de centroide o

centro de gravedad del área.

5 Tomado de Streeter y Wylie, 1979.

18

El momento de primer orden del área respecto a cualquier eje que pase por el centroide es

cero. Cuando un área tiene un eje de simetría este constituye un eje centroidal, puestos que

los elementos de área correspondientes a uno y otro lado del eje de simetría tiene igual

magnitud pero signo contrario.

Cuando se conoce la localización del centroide, el momento de primer orden con respecto a

cualquier eje se puede obtener sin necesidad de integrar simplemente calculando el

producto del área y la distancia desde el centroide del eje.

AyydAA

(4)

Momento de segundo orden

El momento se segundo orden de una superficie, también conocido como momento de inercia, con

respecto al eje x se define como:

Ax dAyI 2

Si el momento de inercia se toma en relación al eje que pasa por el centro de gravedad de la

misma (eje c-c), se expresa como:

A

c dAyyI 2)( A

AA

c dAyydAydAyI22 2

Como:

AyydAA

xA

IdAy 2 AdA

A

Resulta:

AyII xc

2 , entonces: AyII cx

2

Los momentos de inercia para superficies simples (Ic) son:

b

c ch

h/2c c

h/3

b

c c

r

r

rc c

4r/(3)