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Unidad 2: La derivada

Funciones crecientes y decrecientes.

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¡Interrogante!

donde t es el tiempo para los próximos seis meses. Sin trazar la gráfica de esta función, ¿Cómo podemos determinar en qué intervalos de tiempo las ventas serán decrecientes?

Si el ingreso por ventas en una empresa viene dado por la expresión:

3 21( ) 4 12 303

v t t t t

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Observe el comportamiento de las siguientes curvas:

q

p

S

q

p

D

Una función f es creciente en un intervalo I, si para todo x1 < x2 en el intervalo I, entonces f (x1) < f (x2)

Una función g es decreciente en un intervalo I, si para todo x1 < x2 en el intervalo I, entonces g (x1) > g (x2)

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Criterios para funciones monótonas (crecientes y decrecientes)

Si f ´(x) > 0 para todo x en algún intervalo ]a; b[, entonces f es creciente en ]a; b[.

Si f ´(x) < 0 para todo x en algún intervalo ]a; b[, entonces f es decreciente en ]a; b[.

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Máximos relativos:f (0) y f (e)

Mínimos relativos:f (b) y f (c)

Valores críticos:a, b, 0, c, d y e

Valores críticos, extremos relativos y puntos silla

Puntos Silla

0b

a c d e x

y

Puntos silla:(a; f(a)), (d; f(d))

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Extremos relativos de una función:Se denomina valor extremo de una función f a un valor máximo o un valor mínimo de la misma.

Una función f tiene un máximo relativo en x = c, si f (c) > f (x) para todo x en algún intervalo ]a; b[ que contenga a x = c.

x

y

c

0f 0f

f (c)

a b

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Extremos relativos de una función:

Una función f tiene un mínimo relativo en x = c, si f (c) < f (x) para todo x en algún intervalo ]a; b[ que contenga a x = c.

x

y

c

0f 0f

f (c)

a b

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Valor crítico:Si c está en el dominio de f y:

f ´(c) = 0 o f ´(c) no está definida,

entonces c se denomina valor crítico de f.

Punto crítico:Si c es un valor crítico, entonces:

el punto (c; f (c)) se denomina punto crítico

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Sea “c” un valor crítico para f (x). El punto crítico correspondiente (c; f (c)) es:

Un máximo relativo si f (x) > 0 a la izquierda de “c” y f (x) < 0 a la derecha de “c”

Un mínimo relativo si f (x) < 0 a la izquierda de “c” y f (x) > 0 a la derecha de “c”

Criterio de la 1ra derivada para extremos relativos

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Para una función continua y derivable en x = c, si f (c) es un extremo relativo entonces: f ´(c) = 0.

Lo contrario no sucede.

x

y

c

0f 0f

( ) 0f c

x

y

c

0f

0f

Es decir, en x = c, si f ´(c) = 0, no necesariamente f (c) es un extremo relativo pues se puede presentar el punto de silla.

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EjemploHalle los extremos relativos de las funciones:

a) f (x) = (x – 1)2 – 3 b) g(x) = x3 – 3x2

EjemploTrace la gráfica de una función que tenga las siguientes propiedades: f ´(0) = f ´(1) = f ´(2) = 0 f ´(x) < 0 cuando x < 0 y x > 2 f ´(x) > 0 cuando 0 < x < 2