Unidad 2. Límites y Continuidad.pdf

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Matemticas Administrativas

Unidad 2. Lmites y Continuidad

Programa de la asignatura:


Semestre

Segundo

Universidad Abierta y a Distancia de Mxico

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ndice

Introduccin ............................................................................................................. 3

Propsito de la unidad ............................................................................................. 3

Competencia especfica .......................................................................................... 4

2.1. lgebra de lmites ............................................................................................. 5

2.1.1. Lmite de una funcin y sus propiedades ...................................................... 8

2.1.2. Lmites de una funcin cuando la variable tiende al infinito......................... 10

Actividad 1. Limite de funciones ............................................................................ 12

2.2. Funciones continuas y discontinuas ............................................................... 13

2.2.1. Conceptos relacionados a la continuidad y a la discontinuidad en una

funcin ................................................................................................................... 13

2.2.2. Aplicacin de funciones continuas y discontinuas ....................................... 15

Actividad 3. Continuidad ........................................................................................ 16

Autoevaluacin ...................................................................................................... 16

Evidencias de aprendizaje. lgebra de lmites y continuidad ................................ 16

Para saber ms ..................................................................................................... 17

Fuentes de consulta .............................................................................................. 17

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Unidad 2: Lmites y Continuidad

Introduccin

En la unidad anterior viste el concepto de funcin y

algunos de los diferentes tipos, as como su

aplicacin para describir el comportamiento de las

diversas situaciones que se presentan dentro del

rea econmico-administrativa, tales como ingresos,

costos, utilidades y punto de equilibrio.

En el presente tema estudiars el concepto de lmite

y cmo describe de forma precisa el comportamiento

de una funcin cuando los valores de la variable

independiente estn muy prximos, aunque nunca

igual, a un valor constante y su utilidad en los

procesos econmico-administrativos tales como

rendimiento y produccin mxima; as mismo,

determinars cuando una funcin es continua y su

aplicacin en procesos productivos y su impacto en

los costos de produccin.

Propsito de la unidad

En esta unidad:

Identificars los elementos del lgebra de lmites y

terico prctico de la continuidad de una funcin.

Aplicars los elementos del lgebra de lmites para

determinar el alcance de un proceso desde el punto

de vista econmico-administrativo.

Calculars la continuidad de una funcin en relacin

a los puntos en los que el proceso de produccin

presenta una tendencia diferente de costos.

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Competencia especfica

Determina el comportamiento de una

funcin de acuerdo a los lmites de la

misma para conocer su impacto en los

procesos econmico-administrativos,

mediante la aplicacin de los teoremas de

lmites de una funcin y su relacin con

funciones continuas y discontinuas.

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2.1. lgebra de lmites

Con el lgebra de lmites podemos

aproximarnos a un valor ya sea un nmero

cualquiera o el infinito de manera exacta.

As podramos decir que el lmite de una

funcin describe el comportamiento de una

funcin f(x) conforme la variable

independiente se aproxima a un valor

constante.

Ejemplo

Se tiene la funcin y se requiere determinar su comportamiento cuando los valores de x

tienden o se acercan a 1.

Solucin

Podemos observar que la funcin no est definida en x = 1, esto es que cuando x toma el

valor de 1, la funcin tiende al infinito:

Ya que cualquier nmero dividido entre cero es igual a infinito.

Sin embargo si podemos determinar el comportamiento o valores que va tomando la

funcin cuando x 1 (x tiende a 1) ya sea con valores ms pequeos a uno o bien ms

grandes a uno: 1 > x > 1.

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X Grfica

-0.5 0.166667

0.5 0.500000

0.6 -0.200000

0.7 -1.566667

0.8 -4.600000

0.9 -14.300000

0.95 -34.150000

0.98 -94.060000

0.999 -1994.0030

0.999

9

-

19994.0003

1

1.000

1 20006.0003

1.001 2006.003

1.01 206.03

1.1 26.3

1.5 11.5

Como pudiste observar, conforme x se acerca a 1 la funcin es igual a 20000, dependiendo de si se va acercando por la derecha o por la izquierda a 1, es decir:

En conclusin, tenemos que:

Cuando f(x) se acerca cada vez ms a un nmero Lmite (C), conforme x se aproxima a

un valor constante a por cualquier lado, entonces C ser el lmite de la funcin y se

escribe:

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Operacin para determinar los lmites de una funcin

Solucin: Desarrollo

En la presente frmula de lgebra de lmites podemos observar que al evaluar el lmite de

una funcin sea f(x), g(x), o cualquiera, se tiene que sustituir en dicha funcin el valor del

nmero hacia el cual tiende x y el resultado ser siempre un nmero constante.

y

En esta segunda frmula observamos que al sumar o restar dos funciones evaluadas

en el valor hacia el cual tiende x, podemos obtener de manera independiente el resultado

de cada funcin al sustituir el valor de x en cada una y finalmente sumar o restar ambos

resultados segn sea el caso.

Para este caso, tenemos que al multiplicar dos funciones evaluadas en el valor hacia el

cual tiende x, podemos obtener de manera independiente el resultado de cada funcin al

sustituir el valor de x en cada una y finalmente multiplicar ambos resultados.

En la siguiente frmula, tenemos que al dividir dos funciones evaluadas en el valor hacia

el cual tiende x, podemos obtener de manera independiente el resultado de cada funcin

al sustituir el valor de x en cada una y finalmente dividir ambos resultados.

En esta frmula, el valor hacia el cual tiende x se sustituye en la funcin y posteriormente

se evaluar la potencia a la que est elevada la funcin.

En sta ltima frmula de igual manera sustituyes el valor de x en la funcin y

posteriormente calculas la raz n-sima a la que est elevada x.

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Conclusin:

El evaluar un lmite de una funcin es tan simple como sustituir el valor hacia el cual

tiende x en la funcin.

El aplicar el lgebra de lmites es nicamente aplicar las operaciones de suma, resta,

multiplicacin, divisin, raz n-sima y elevar a una potencia en los resultados obtenidos de

las funciones a las que ya se les ha sustituido el valor lmite

2.1.1. Lmite de una funcin y sus propiedades

Lmite de una funcin constante: si se tiene una funcin constante f(x) = C, el lmite de la

funcin cuando x tienda a un valor a, ser siempre C, esto es:

Ejemplo: determina el lmite de la funcin: f(x) = 10, cuando x 8.

Solucin: siguiendo el razonamiento de la frmula general anterior, se tiene que:

Lmite de una funcin idntica: si se considera la funcin idntica f(x) = x, cuando x

tiende a un valor a, su lmite ser siempre el valor constante a, es decir:

Ejemplo: determina el lmite de la funcin: f(x) = x, cuando x 3.

Solucin: siguiendo el razonamiento de la frmula general anterior, se tiene que:

Lmites infinitos: cuando se tiene una funcin racional en la que q(x) se hace

cero cuando x tiende a un valor constante a, entonces, f(x) = , es decir:

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Ejemplo: determina el lmite de la funcin: cuando x 1.

Solucin: sustituyendo el valor de x, en la funcin se tiene que:

Lmite de cualquier funcin: para cualquier funcin f(x), se tiene que el lmite de la

funcin cuando x a, el lmite es el nmero constante que resulta de sustituir el valor de

a en la funcin.

Ejemplo 1: determina el lmite de la funcin: f(x) = , cuando x 0 y cuando x

5.

Solucin: sustituyendo el valor de x, en la funcin para cada caso se tiene que:

Y

Ejemplo 2: determina el lmite de la funcin: cuando x 0 y cuando x 2.

Solucin: sustituyendo el valor de x, en la funcin para cada caso se tiene que:

Y

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2.1.2. Lmites de una funcin cuando la variable tiende al infinito

Cuando x , el valor de la funcin puede crecer o decrecer indefinidamente, sin

embargo existen casos en los que la funcin adquiere valores reales. A continuacin

veremos ejemplo para el clculo de lmite de una funcin cuando la variable

independiente tiende al infinito.

Ejemplo. Cul ser el lmite de f(x) = 7x4 2x3 + x2 +100, cuando x ?

Solucin: al aplicar el lmite infinito en la funcin, se tiene que:

Ejemplo. En una fbrica de electrodomsticos, se tienen costos fijos de produccin de

$1000,000.00 anuales y sus costos especficos son del orden de $430.00 por

electrodomstico. Hasta qu punto puede reducir los costos promedio de produccin al

aumentar la produccin indefinidamente?

Solucin: se observa que la funcin de costo tendr la forma C(x)=430x + 1000,000, en

donde x representa la cantidad de electrodomsticos producidos, de ah que para

determinar el costo promedio de produccin se tendr que dividir la funcin de costo entre

el nmero de artculos a producir, x:

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Y si lo que se desea conocer es el costo promedio de produccin cuando el nivel de

produccin se eleve indefinidamente se tiene que:

Por lo tanto, el costo promedio de produccin ser de $430.00 cuando el nivel de fabricacin de productos electrodomsticos crezca indefinidamente. NOTA: es importante notar que cuando se divide un nmero cualquiera entre , el resultado siempre ser cero, ya que el valor del divisor siempre ser mucho ms grande que el valor del nmero que se quiere dividir. Ejemplo. El nivel de satisfaccin (%), de clientes en un autoservicio de acuerdo al nmero de artculos comprados, fue medido mediante la siguiente funcin:

En donde x representa el nmero de artculos comprados, determine cul ser el nivel

de satisfaccin del cliente (%), conforme aumentan las compras del cliente?

Solucin: si se considera que el cliente comprar un nmero infinito de artculos podremos

observar cual ser el comportamiento del nivel de satisfaccin del cliente en el punto ms

alto de sus compras:

Con el fin de eliminar la indeterminacin, en el caso de una funcin racional es

conveniente dividir cada uno de los factores de la funcin entre la variable independiente

con la potencia ms alta, as se tiene que, para este caso en particular, se tiene que la o

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Por lo que el nivel de satisfaccin del cliente ser del 83.33% y nunca podr ser mayor a

ste.

Actividad 1. Limite de funciones

Con la presente actividad logrars:

Ejecutar clculos de lmites de funciones

Aplicar el concepto de lmite a situaciones reales Para realizar tu actividad:

Descarga el documento Act 1. Limite de funciones que

encontrars dentro de tu aula virtual.

Actividad 2. Limite de funciones

Con la presente actividad logrars:

Analizar el lmite de funciones aplicados a un caso prctico Para realizar tu actividad:

1. Ingresa al foro Limite de funciones

2. Atiende a las indicaciones que de tu Docente en lnea

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2.2. Funciones continuas y discontinuas

A qu nos referimos con las funciones continuas y discontinuas?

2.2.1. Conceptos relacionados a la continuidad y a la discontinuidad en una funcin

Segn se pudo observar, al realizar el clculo de lmites de una funcin, no siempre el

lmite coincide con el valor de la funcin en el punto hacia el cual se aproxima la variable

independiente, esto es fcil de detectar al graficar la funcin en los valores cercanos al

lmite, ya que la grfica de la funcin se puede cortar o tener una interrupcin en algn

punto cercano al lmite.

Por ejemplo, se tiene la siguiente funcin: en la que se dice que x 1, y

que al graficar las coordenadas que van acercndose al lmite, se tiene la siguiente

grfica:

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En donde se observa que hay un punto exactamente cundo x = 1, en el que la grfica de

la lnea ya no contina con el resto de los valores, es decir que hay un ruptura en la

grfica.

De ah que podemos definir qu una funcin es continua cuando no se presenta un corte

en la lnea que representa su grfica, mientras que una funcin es discontinua cuando se

presentan cortes en la lnea que representa la grfica de la funcin.

As se tienen tres condiciones que nos permiten descubrir si una funcin es continua o

discontinua:

Una funcin ser continua si f(x) est definida en x = a, es decir, que sus valores son

reales.

Una funcin ser continua si el Lmite de la funcin f(x) cuando x a existe.

Una funcin ser continua si:

Por lo que si una de las condiciones anteriores no se cumple la funcin ser discontinua. Operaciones con funciones continuas. Si las funciones f(x) y g(x) son continuas en un punto a, entonces las funciones podrn sumarse, multiplicarse o dividirse (para g(x) 0 en el caso de divisin). Toda funcin polinomial es continua.

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2.2.2. Aplicacin de funciones continuas y discontinuas

EJEMPLO: Oferta y demanda. Un vendedor de aceites orgnicos en frascos de 250 ml,

vende aceite de uva a $90.00 peso cada frasco, pero si le compran ms de 5 frascos, el

precio por frasco es de $68.00. Qu se le podra recomendar al vendedor para que

pueda conservar su escala de precios de mayoreo sin que se le presenten problemas

econmicos con su promocin?

Solucin: si definimos como p(x) a la funcin de precio de x frascos de aceite de uva, se

tiene la siguiente funcin:

El modelo grfico que representa a esta funcin de oferta vs demanda es:

Con lo que se observa que el precio de 10 frascos es de $900.00 pesos, y de 11 frascos

es de $935.00 pesos, por lo que para evitar contradicciones, el precio de 11 frascos debe

ser superior al de 10; si decimos que p es el precio de cada frasco de aceite cuando se

compran ms de 10 frascos, se debe cumplir que 11p > 900, es decir, p > 900/11 =

$81.81 pesos, por lo tanto, el vendedor debe asignar un precio superior a $81.81 pesos

para cada frasco cuando le compren ms de 10 frascos de aceite de uva.

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Actividad 3. Continuidad

Con la presente actividad logrars: Identificar el concepto de funciones continuas y discontinuas. Analizar la aplicacin de las funciones continuas y discontinuas Para realizar tu actividad:

Descarga el documento Act 3. Continuidad que encontrars en los materiales descargables de tu unidad.

Autoevaluacin

Es momento de verificar el logro de tu aprendizaje en la unidad.

Ingresa a la herramienta del aula virtual nombrada

Autoevaluacin

Evidencias de aprendizaje. lgebra de lmites y continuidad

La Evidencia de aprendizaje es la actividad integradora de

tu unidad; realizarla te permitir demostrar que adquiriste

la competencia especfica de la unidad

Para realizar tu actividad, descarga el documento EA. lgebra de lmites y continuidad

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Para saber ms

Si deseas saber ms de estos temas te sugerimos las siguientes ligas:

Nota: para algunas pginas debers tener instalado el software Adobe Acrobat para

visualizar el PDF.

http://ima.ucv.cl/pdf/analisis/cap3.pdf

http://www.youtube.com/watch?v=G0soakUZqKE&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=OacQSQB7qLo&feature=related

Fuentes de consulta

Bibliografa Bsica:

Barry Render, Ralph M. Stair, Michael E. Hanna. Mtodos cuantitativos para los

negocios. Pearson Educacin, Mxico. 2006.

Chiang. Mtodos fundamentales en economa matemtica. 4 Edicin, Editorial

McGraw-Hill, Mxico, 2006.

Harshbarger, Ronald J. & Reynolds, Jame J. Matemticas Aplicadas a la

Administracin, Economa y Ciencias Sociales, 7 Edicin, McGraw-Hill, Mxico,

2005.

Leithold, Louis. El clculo. 7 Edicin, Editorial Cspide, Oxford. 2006.

Thomas. Clculo de una Variable. Editorial Prentice Hall. 2006.

Bibliografa complementaria:

Cissell, Robert, Helen Cissell y David C. Flaspohler, Matemticas Financieras, 2

edicin, Editorial CECSA, Mxico, 1999.

Garca Gonzlez, Enrique, Matemticas Financieras por medio de Algoritmos,

Calculadora Financiera y PC; Editorial McGraw-Hill, Mxico, 1998.

Hernndez Hernndez, Abraham, Matemticas Financieras Teora y Prctica, 4

edicin, Ediciones Contables, Administrativas y Fiscales, Mxico, 1998.

Motoyuki Yasakawa, Alberto, Matemticas Financieras, Despeignes Editora,

Crdoba, Argentina, 2000.

Murray R. Spiegel. Manual de Frmulas y Tablas Matemticas. Traduccin de la 1

edicin. McGraw-Hill. Mxico. 1994.

Toledano y Castillo, Mario Alfonso y Lilia E. Himmelstine de Chavarria,

Matemticas Financieras, Editorial CECSA, Mxico, 1984.

Vidaurri Aguirre, Hctor Manuel, Matemticas Financieras, 2 edicin, Ediciones

Contables, Administrativas y Fiscales - Thomposn Learning, Mxico, 2001.

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