Unidad 2 Progamacion Numerica

5/10/2018 Unidad 2 Progamacion Numerica - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/unidad-2-progamacion-numerica 1/25

Ing. Mecatronica IV Semestre

1

Vázquez Mendoza Héctor Manolo

Especialidad:

Ingeniería en Mecatronica

Asignatura:

Programación Numérica

Profesor:ISC. César Arnoldo Solís Silva

Título del trabajo:

Funciones Enteras y Diferencias Finitas

Criterio de Evaluación:

Unidad 2

Alumno (a) s:

Héctor Manolo Vázquez Mendoza




2


Índice

2. Funciones Enteras y Diferencias Finitas…………………………………….…………….3

2.1. Aplicaciones de Productos……………………………...……………………… .………..5

2.2. Aplicaciones de Sumatorias……………………………………………………… .……...9

2.3. Cálculo Diferencial Aplicado al Cálculo de Diferencias………………………………11

2.4. Operadores en General………………………………………………………………….13

2.5. Operadores……………………………………………………………………………..… 16

2.5.1. Sigma………………………………………………………………………...… ..16

2.5.2. Nabla…………………………………………………………………………… ..17

2.5.3. Delta………………………………………………………………………...…… 18

2.5.4. Corrimiento…………………………………………………………………..…..18

2.6. Ecuaciones Recursivas Homogéneas………………………………………………….19

2.7. Raíces de la Ecuación Característica……….………………………………………….21

Ejersicios………………………………………….…………………………………………….23

Bibliografía………………………………………….………………………………………..…25




3


2. FUNCIONES ENTERAS Y DIFERENCIAS FINITAS.

FUNCIONES ENTERAS

Una función w (z ) se dice que es entera si es analítica en todo el plano excepto en

Ejemplos de esta clase de funciones son: y , puesto que tienen derivadas

múltiples en todo el plano excepto en .

Esta clase de funciones tiene propiedades interesantes como la siguiente:

Todas las funciones enteras w (z ) con ceros preestablecidos en los puntos

se escriben de la forma general

donde g (z ) es una función entera arbitraria y P v (z ) se define de la siguiente forma:

y |a v | debe ser dos veces mayor o igual que el círculo de convergencia de P .




4


DIFERENCIAS FINITAS

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f (x + b ) − f (x +a ). Si una

diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente

diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales.

La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en

los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de

ecuaciones diferenciales.

Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central.

Una diferencia progresiva, adelantada o

posterior es una expresión de la forma

Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se

mantiene constante o se toma el limite h → 0.

Una diferencia regresiva, atrasada o anterior es

de la forma

Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores.

Viene dada por

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3b/Latex.draw.tex.png







5


2.1. APLICACIONES DE PRODUCTOS.

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

El producto escalar de dos vectores a y b es el producto de sus módulos por el

coseno del ángulo que esos vectores forman entre sí.

--El producto escalar de dos vectores es igual que el producto escalar de uno de ellos

por el vector de proyección ortogonal del otro sobre él.

--El módulo de la proyección ortogonal de a sobre b es igual al producto escalar de a

por b, dividido por el módulo de b, cuando la proyección a y b tienen el mismo sentido.

--Si a y b son distintos de cero y ab es igual a cero, entonces los vectores a y b son

perpendiculares.

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

El producto vectorial de a y b se designa por axb y tiene las siguientes características:

--El módulo del producto vectorial es igual al producto de los módulos de los dos

vectores por el seno del ángulo que forman.

--La dirección de axb es la de la recta perpendicular a los vectores a y b.

--El producto vectorial no es conmutativo.




6


PRODUCTO CARTESIANO

En teoría de conjuntos, el producto cartesiano es un producto directo de conjuntos. En

particular, el producto cartesiano de dos conjuntos X y Y , denotado por X × Y , es el

conjunto de todos los pares ordenados en los que el primer componente pertenece a X

y el segundo a Y :

Ejemplo

El producto cartesiano del conjunto de trece rangos de la baraja inglesa

con el de los cuatro palos:

conjunto de las 52 cartas de la baraja:

la forma matemática de expresarlo es:

Si los conjuntos involucrados son finitos, la cardinalidad (o número de elementos) del

producto cartesiano es el producto de las cardinalidades de los conjuntos involucrados:

En el ejemplo anterior, el número de elementos del producto era 52, provenientes de la

multiplicación de los 13 rangos con los 4 palos de la baraja inglesa




7


PRODUCTO DE FUNCIONES

Dadas dos funciones f(x) y g(x), denotada por,

es otra función definida por . el dominio de

es la intersección de sus respectivos dominios.

PRODUCTO DE MATRICES

Producto de una Matriz por un Escalar

Dada una matriz A de m filas y n columnas, lo que podemos denotar como:

la multiplicación de A por un escalar k , que se denota k·A, k×A o simplemente kA, está

definida como:

es decir, corresponde a la matriz conformada por cada elemento de la matriz

multiplicado por dicho escalar.

Gráficament

e, si

y entonces




8


Producto de una Matriz por una Matriz

Dadas dos matrices A y B , tales que el número de columnas de la matriz A es igual al

número de filas de la matriz B ; es decir:

y

la multiplicación de A por B , que se denota A·B , A×B o simplemente AB , está definida

como:

Donde cada elemento c i,j está definido por:

Gráficamente, si y

entonces




9


2.2. APLICACIONES DE SUMATORIAS.

El sumatorio o la sumatoria es un operando matemático que permite representar sumas

de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos, se expresa con la letra griega

sigma ( Σ ), y se define como :

Algunas de las actividades más comunes que se realizan utilizando ciclos con la

sentencia for son sumatorias y productos repetitivos. Cuando se realizan estas

operaciones generalmente se tiene conocimiento de cuantos elementos tiene la

sumatoria o el producto repetitivo.

Como ejemplo consideremos que se tiene la expresión:

3

1n

nT f F

¿ Como evaluar dicha sumatoria utilizando un ciclo for ?

Las siguientes sentencias nos proporcionarían una forma de representar dicha

sumatoria en C++ :

Double FT, f[3];

int n;

for(n=0; n<3; n++)

cin>>f[n];

/* Lo siguiente es la sumatoria */

FT = 0.0;

for(n=0; n<3; n++)

FT = FT + f[n];




10


Los siguientes dos aspectos deberán cuidarse siempre que se desea realizar una

sumatoria o un producto repetitivo:

1) Se declarará una variable a la cual se le asignará el valor de la sumatoria o el

producto. Dicha variable debe inicializarse. Cuando se trata de una sumatoria la

variable generalmente se inicializa con el valor de cero. Cuando se trata de un

producto generalmente se inicializa con el valor de uno.

2) La sumatoria o el producto se logra a partir de una asignación dentro de un ciclo.

Note que, dentro del ciclo, la variable a contener la sumatoria o el producto aparece

en ambos lados de la asignación.

Observe que las mismas reglas aplican para el siguiente ejemplo de un producto

repetitivo:

3

1n

n M V V

Este cálculo se puede realizar a través de las siguientes sentencias en C++:

double VM, V[3];

int n;

for(n=0; n<3; n++)

cin>>V[n];

/* Lo siguiente es la sumatoria */

VM = 1.0;

for(n=0; n<3; n++)

VM = VM * V[n];




11


2.3. CALCULO DIFERENCIAL APLICADOO AL CÁLCULO DE

DIFERENCIAS

El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos variables

relacionadas por la ecuación y = f(x), en donde la función f expresa la dependencia delvalor de y con los valores de x.

Las derivadas se definen tomando el límite de

la pendiente de las rectas secantes conforme

se van aproximando a la recta tangente.

Es difícil hallar directamente la pendiente de la

recta tangente de una función porque sólo

conocemos un punto de ésta, el punto donde

ha de ser tangente a la función. Por ello,

aproximaremos la recta tangente por rectas

secantes. Cuando tomemos el límite de las

pendientes de las secantes próximas,

obtendremos la pendiente de la recta tangente.

Para obtener estas pendientes, tomemos un

número arbitrariamente pequeño que

llamaremos h . h representa una pequeña variación en x , y puede ser tanto positivo

como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos (x ,f (x )) y (x + h ,f (x + h )) es

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/Derivative.png




12


Esta expresión es un Cociente Diferencial de Newton. La derivada de f en x es el

límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a

la tangente:

Si la derivada de f existe en cada punto x , podemos definir la derivada de f como la

función cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x .

Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado una división por cero,

calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo. Una técnica es simplificar el

numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada. Esto resulta muy

sencillo con funciones polinómicas.




13


2.4. OPERADORES EN GENERAL

Son elementos que relacionan de forma diferente, los valores de una o mas

variables y/o constantes. Es decir, los operadores nos permiten manipular valores.

Operadores Aritméticos

Los operadores aritméticos permiten la realización de operaciones matemáticas con losvalores (variables y constantes).

Los operadores aritméticos pueden ser utilizados con tipos de datos enteros o reales. Si

ambos son enteros, el resultado es entero; si alguno de ellos es real, el resultado es

real.

Operadores Aritméticos

"+ " Suma

"-" Resta

* Multiplicación

/ División

mod (%)Modulo (residuo de la divisiónentera)




14


Prioridad de los Operadores Aritméticos

Todas las expresiones entre paréntesis se evalúan primero. Las expresiones con

paréntesis anidados se evalúan de dentro a fuera, el paréntesis más interno se evalúa

primero.Dentro de una misma expresión los operadores se evalúan en el siguiente orden:

^ Exponenciación

*, /, mod Multiplicación, división, modulo.

+, - Suma y resta.

Los operadores en una misma expresión con igual nivel de prioridad se evalúan de

izquierda a derecha.

Ejemplos:

4 + 2 * 5 = 14 23 * 2 / 5 = 9.2

3 + 5 * (10 - (2 + 4)) = 23 2.1 * (1.5 + 12.3) = 2.1 * 13.8 = 28.98

Operadores Relacionales

Se utilizan para establecer una relación entre dos valores. Luego compara estos valores

entre si y esta comparación produce un resultado de certeza o falsedad (verdadero o

falso).

Los operadores relacionales comparan valores del mismo tipo (numéricos o cadenas).

Estos tienen el mismo nivel de prioridad en su evaluación.

Los operadores relaciónales tiene menor prioridad que los aritméticos.




15


Operadores Lógicos

Estos operadores se utilizan para establecer relaciones entre valores lógicos. Estos

valores pueden ser resultado de una expresión relacional.

Tipos de operadoresRelacionales

“>” Mayor que“<” Menor que

“> =” Mayor o igual que

“< =” Menor o igual que

“< >” Diferente

“=” Igual

Tipos de operadores Lógicos

And Y

Or O

Not Negacion

Operador OrOperando1 Operando2 Resultado

T T T

T F T

F T T

F F F

Operador NotOperando Resultado

T F

F T

Operador AndOperando1 Operando2 Resultado

T T T

T F F

F T F

F F F

Prioridad de los Operadores engeneral

()

^

*,/,Mod,Not

+,-,And

>,<,>=,<=,<>,=,or

Prioridad de los OperadoresLógicosNot

And

Or




16


2.5. OPERADORES

2.5.1. Sigma (∑)

Sigma (Σ σ ς). La sigma minúscula tiene dos formas: al final de una palabra, se usa la

forma ς; al inicio y en medio de palabra se usa la forma σ.

En el sistema de numeración griega tiene un valor de 200.

USOS

La mayúscula Σ se usa como símbolo para:

Sumatorio. Un cierto alfabeto de un lenguaje, u otro objeto dependiente de un alfabeto.

Expresado en términos matemáticos:

Ejemplo: "el lenguaje definido por el alfabeto Σ = {a, b, c}".

La minúscula σ se usa como símbolo para:

Desviación estándar

Varianza (σ²)

Conductividad eléctrica

La constante de Stefan-Boltzmann

Función sigma

Densidad superficial de carga




17


2.5.2. Nabla

En términos de geometría diferencial, nabla o del es un operador diferencial

representado por el símbolo: ∇ | (nabla).

En coordenadas cartesianas tridimensionales, nabla se puede escribir como:

Siendo , y los vectores unitarios en las direcciones de los ejes coordenados. Esta

base también se representa por: , ,

Este operador puede aplicarse a campos escalares (Φ) o a campos vectoriales F,

dando:

• Gradiente:

• Divergencia:

• Rotacional:

• Laplaciano:




18


2.5.3. Delta Δ

La diferencia entre dos valores próximos de una magnitud y varias funciones y

operadores:

Delta de Dirac.

Delta de Kronecker.

Dl operador laplaciano.

USOS

En matemáticas y ciencias aplicadas, delta es utilizada como una variable para

indicar un cambio en el valor de esa variable. Usualmente, la letra delta

mayúscula (por ejemplo, Δx ) es usada para cambios grandes o macroscópicos,

mientras que la minúscula (por ejemplo, δx ) se emplea para cambios pequeños o

microscópicos (infinitesimales). También se usa Δ en matemáticas para referirse

al discriminante de un polinomio.

En Física se utiliza normalmente para indicar el incremento de una variable, así

por ejemplo Δx puede ser x2-x1. Además se puede usar en la ecuación de

aceleración media para indicar un incremento de velocidad.

2.5.4. Corrimiento

Los operadores de corrimiento de bits corren los bits del operando izquierdo la cantidad

de posiciones indicadas por el operando derecho. El corrimiento ocurre en la dirección

indicada por el propio operador.

Operador Uso Operación




19


2.6. Ecuaciones Recursivas Homogéneas




20





21


2.7. Raíces de la Ecuación Característica




22





23


EJERSICIOS

FUNCIONES ENTERAS

Problema de selección para el Mathcamp (2010)

Sean r y s dos enteros positivos. Sea F una función del conjunto de todos los números

enteros positivos {1, 2, ...} en sí mismo que reúne las siguientes propiedades:

a) Si dos números n y m son diferentes, entonces F(n) es diferente de F(m).

b) Para todo valor n existe un valor m tal que F(m) = n.

c) Para todo valor n, o bien F(n) = n + r, o bien F(n) = n - s.

Responde a las siguientes cuestiones:

1) Si r = 5 y s = 8, ¿qué vale F(2010)?

2) Encuentra, demostrando que es cierto, el valor k más pequeño que verifica que al

aplicar la función F k veces obtenemos la identidad, es decir, que F(F(...F(n))...) = n

para cualquier valor n, donde aparece repetida k veces la F y los correspondientes

paréntesis. La respuesta, por supuesto, dependerá de r y s.

APLICACIONES DE SUMATORIAS

Escriba las sentencias en C++ (no es necesario que escriba todo el programa, como en

los ejemplos) que representen las siguientes sumatorias y productos repetitivos.

1)

5

1

)3(1n

x A

2) Escriba las sentencias que sumen todos los números pares entre 100 y 200.

3)

10

1k

k

k

xP

4) Escriba las sentencias que obtengan el producto de todos los números entre 37 y

55.




24


OPERADORES EN GENERAL

Para cada una de las soluciones debes incluir el resultado así como todo el

procedimiento que realizaste para llegar a la solución.

Ejemplo:

7 * (5 + 4) / 2.0

7 * 9 / 2.0

63 / 2.0

31.5

Resuelve los siguientes ejercicios:

1. 12 * (5 - 4)

2. 12 / 5 - 4

3. 13.0 / (5 - 2) * 4

4. 4 * (8 - 3 * 2) + (5 / 3 * 2) * 3.0

5. 7 * (5 % 3)

6. (1 + 2 + 3 + 4) * 3

7. (12 / 5) * 5 + 12 % 5

8. 5.0 + (4 / 7)

9. 5 + (4.0 / 7)

10. 165 / 7 + 165 % 7

RAÍCES DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA




25


BIBLIOGRAFÍA

http://www.buenastareas.com/ensayos/Diferencia-Finitas/797687.html

http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/comun/an2/node8.html

http://www.gfc.edu.co/estudiantes/anuario/2001/sistemas/sergio/node14.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_finita

http://es.wikipedia.org/wiki/Sumatorio

http://www.desarrolloweb.com/articulos/2165.php

http://felip_pedrell.tripod.com/c2.html

http://www.iqcelaya.itc.mx/~vicente/Programacion/EjerciciosAppArreUni.doc

http://problemate.blogspot.com/2011/02/familia-de-funciones-enteras.html

http://www.magusoft.net/compuv/02-1_operaciones.html Instituto de Ingeniería Eléctrica, Guía de Clase-Lenguaje de Programación Java

Ecuacionesdiferencialeslineales.pdf

Matemáticas Discretas—Ecuaciones de Recurrencia

Matemáticas discretas y Combinatoria-Ralph Grimaldi

Calculo Diferencial

Ecuaciones de Recurrencia















http://www.magusoft.net/compuv/02-1_operaciones.html












Documents

Unidad 2 Progamacion Numerica