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Unidad 3
FuncionesM.C. Mireya Tovar Vidal
Una función f es una relación que asigna a cada elemento x de un
conjunto A un único elemento b de un conjunto B, es decir
F: A B
Para que sea función debe cumplirse:
Dom(R)=A , es decir el dominio de R debe ser todo el conjunto A.
Si hay dos pares ordenados (a,b) y (a,c) que pertenecen a f, entonces
b=c, es decir a cada elemento del dominio debe estar relacionado con
sólo un elemento del codominio.
Sean los conjuntos A={1,2,3,4} y B={a,b,c}
a) R={(1,b),(2,c),(3,a),(4,b)}
b) R={(1,a),(2,c),(1,b),(3,a),(4,c)}
c) R={(1,c),(2,c),(3,c),(4,c)}
d) R={(1,b),(2,c),(4,a)}
Inyectiva
Biyectiva
Sobreyectiva
Una función se llama uno a uno (inyectiva), si a cada elemento
distinto del conjunto A le corresponde un elemento distinto del
conjunto B, esto es, para todo a, a’A si f(a)=f(a’) implica que
a=a’.
Ejemplo 2:
Sea A={1,2,3}, B={rojo, verde,azul},
f={(1,verde),(2,azul),(3,rojo)}
Ejemplo 1
Una función se llama sobre (sobreinyectiva), si el conjunto de
los segundos elementos de los pares ordenados de la función es
igual al conjunto B, es decir si Cod(f)=B.
Ejemplo 2:
Sea A={1,2,3}, B={rojo, verde,azul},
f={(1,verde),(2,azul),(3,rojo)}
Ejemplo 1
Una función se llama (biyectiva), si cumple que sea tanto
inyectiva como sobreyectiva.
Ejemplo 2:
Sea A={1,2,3}, B={rojo, verde,azul},
f={(1,verde),(2,azul),(3,rojo)}
Ejemplo 1
Determinar si las siguientes relaciones son
funciones:
R={a Z, b Z= a2 + 2a + 1}
A={1,2,3,4,5}=B, R={(1,3),(2,5),(4,3),(3,5),(5,1)}
Determinar si las siguientes funciones son
inyectiva, sobreyectiva y biyectiva
A={1,2,3,4,5}=B, f={(1,2),(2,5),(3,1),(4,4),(5,3)}
A={a,b,c,d},B={1,2,3}, f={(a,2),(b,3),(c,2),(d,1)}
Si f: A B y g: B C son funciones, entonces la combinación g°f
llamada composición también es una función g°f: AC
Hay que observar que (a,c)(g°f) si y sólo si (a,b) f y (b,c) g
Composición de funciones
g°f
A B C
f g
a b=f(a) c
C=g(b)=(g°f)(a)
Ejemplos de composición de funciones
Sean A=B=C=R y las funciones
f: A B, f(a)=a2-1
g: BC, g(b)=b+2
a) (g°f)(3)=g(f(3))=g(32-1)=g(9-1)=g(8)=8+2=10
b) (f°g)(-1)=f(g(-1))=f(-1+2)=f(1)=(12-1)=0
c) (g°f)(x-1)= g(f(x-1))=g(x2-2x)=x2-2x+2
d) (g°g°f)(1)= g(g(f(1)))=g(g(12-1))=g(g(0))=g(2)=4
Ejemplo
}0:{: xxf 6)( 24 xxxf
4)(,}0:{: xxgxxg
Una función f: A B es invertible si su relación inversa f-1 es una
función, además debe ser biyectiva.
Funciones Invertibles
Ejemplo 1:
Sea f:A B con A={1,2,3} y B={rojo, verde, azul}.
Entonces f={(1,verde),(2,azul),(3,rojo)}.
Obtener la inversa de la función.
Solución: Como la función es inyectiva y sobreyectiva entonces su inversa es f-1: B A,
es decir: f-1={(verde,1),(azul,2),(rojo,3)}.
Ejemplo 2:
Sea A=B=R y f(a)=a3+2.
Obtener la inversa de la función.
Solución: Como la función es inyectiva y sobreyectiva, se obtiene la inversa al despejar la
variable independiente en la función inicial
f(a)=a3+2. entonces b= a3+2.
b-2= a3
a=(b-2)1/3 por tanto f-1(a)=f(b)=(b-2)1/3
Sea A=B=R; f(x)=-4x3-2; g(y)=3y2-1; h(z)=5z+3
Establecer si son funciones invertibles y si es así obtener su
inversa.
Determinar el valor de la composición
h°g°g(1)
g°h(-x)
Ejercicios