UNIDAD 3. INTERÉS COMPUESTO Y EQUIVALENCIA DE TASASvirtual.umng.edu.co/distancia/ecosistema/ovas/administracion... · • Resolver problemas de interés compuesto a tasa nominal

FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA

1

UNIDAD 3. INTERÉS COMPUESTO Y EQUIVALENCIA DE TASAS

Interéscompuestoyequivalenciadetasas


2

Tabla de contenido

UNIDAD3.INTeréscompuestoyequivalenciadetasas..................................................1Tabladecontenido.................................................................................................................................2Introducción.............................................................................................................................................3Objetivos....................................................................................................................................................3Objetivogeneral......................................................................................................................................................3Objetivosespecíficos............................................................................................................................................3

3.1Interéscompuesto...........................................................................................................................43.2Cálculodevalorpresente–pagoúnico.................................................................................103.3Tasadeinterésnominalyefectiva.........................................................................................153.4Equivalenciaentretasas............................................................................................................163.4.1 Conversióndetasadeinterésnominalaefectiva.................................................................163.4.2Conversióndetasadeinterésefectivaanominal.....................................................................18

3.5Conversióndetasadeinterésdeanticipadaavencidayviceversa............................193.5.1 Conversióndetasadeinterésanticipadaavencida............................................................203.5.2 Conversióndetasadeinterésvencidaaanticipada............................................................20

3.6Aplicaciónapagosúnicos..........................................................................................................233.7Ecuacióndevalor..........................................................................................................................32Resumen.................................................................................................................................................34Bibliografía............................................................................................................................................35


3

Introducción

Laotra formade realizaroperaciones financieras es a interés compuesto, bien sea atasanominal o tasa efectiva, en formavencidao anticipada.Estaunidadmostrará alestudiantecómoresolverproblemasdeinteréscompuestoencualquieradelasformasenquesepresente.

Objetivos

Objetivo general

Resolver e interpretar problemas que involucren el interés compuesto, tanto a tasaefectivacomoatasanominal.

Objetivos específicos

• Comprenderquéeselinteréscompuesto.• Deduciryaplicarlasfórmulaspropiasdelcompuesto.• Resolverproblemasdevalorpresente,valorfuturo,tiempoytasasdeinterésa

interéscompuesto.• Entenderquésignificatrabajarcontasanominalocontasaefectiva.• Comprenderlaequivalenciaentrelatasanominalylatasaefectiva.• Hallar tasas efectivas a partir de tasas nominales y viceversa, sean ellas

vencidasoanticipadas.• Resolverproblemasde interéscompuestoa tasanominaloefectiva,vencidao

anticipada.• Hallarecuacionesdevalorainteréscompuesto.


4

3.1 Interés compuesto

Enlaunidadanteriorsemanejaronlasoperacionesfinancierascuandolosinteresessecalculansolamentesobreelcapital,peroenestaunidadseverálaformaderealizarlasoperacionesfinancierascuandoelinterésseliquidasobreelcapitalmáslosintereses,esdecir,ainteréscompuesto. Teniendoclaroelconcepto,seprocederáahoraacalcular,tantoelvalorfuturocomoelvalorpresenteainteréscompuestopagoúnico. CálculodelvalorfuturoLasimbologíaquesemanejaparacalcularelvalorfuturoes:

VF=ValorfuturoVA=Valorpresenten=tiempoí=tasadeinterés

Gráficamenteelcálculodelvalorfuturodeunpagoúnicoserepresentaasí:

Lafórmulaqueseutilizaparaelcálculodelvalorfuturopagoúnicoes:

!" = !$(& + ()*

Ejemplo

Manuelinviertehoy$8.000.000enunacuentaquepagael7%compuestoanual,¿quécantidadpodráretirardentrode4años?Elproblemaplantea lanecesidaddehallarelvalor futuroporque lapersona inviertehoyyesperaretirareldinerodentrode4años.Esainteréscompuestoporqueasí loexpresaelproblema.


5

Gráficamenteelproblemaseplanteaasí:

Losdatosqueelproblemaentregason:

VA=$8.000.000 i=0,07compuestoanual n=4añosVF=¿?

Lafórmulaquedebeusarsees:

Reemplazandolosvaloresenlafórmula,setiene:

LarespuestamuestraqueManuel,aloscuatroaños,podráretirar$10.486.368,10.Es de capital importancia que las cifras se manejen con todos los decimales que lacalculadorapermitaylarespuestasedéconmáximodosdecimales. NOTA: Para resolver las operaciones financieras a interés compuesto, éstas debenexpresarqueeseeseltipodeinterésconelcualoperan.Acontinuaciónsepresentalaformadecalcular,tantoeltiempocomolatasadeinterésapartirdevalorfuturo. Cálculodeltiempoapartirdevalorfuturo

( )niVAVF += 1

1,368.486.10031079601,1000.000.8)07,1(000.000.8)07,01(000.000.8

4

4

=

=

=

+=

VFxVF

VF

VF

$8.000.000

VF=?

0123

i=0,07


6

En ocasiones lo que se requiere es encontrar el tiempo en el cual se debe tenerinvertida una cantidad A de dinero, a una determinada tasa de interés para poderretirarenelfuturounacantidadB.Paraefectosdenoconfundirallector,lacantidadAseráelvalorpresenteylacantidadBelvalorfuturo.Parapoderencontraresestiempo,setomacomopuntodepartidalaecuaciónutilizadaparahallarelvalorfuturoysevadespejando ésta hasta llegar a la fórmula que permite calcular el tiempo a partir devalorfuturo. Acontinuaciónsepresentaelprocesoquehadeseguirse:

, Luegoseprocedeadespejarnasí:

Comoloquesedeseadespejareslan,sedebeaplicarlogaritmoymásespecíficamenteeldeunapotencia.Sepuedetrabajarconlogaritmoenbase10ologaritmoenbasee.Aquísetrabajaráconlogaritmoenbase10.

Ejemplo

Saratiene$1.000.000yquierequintuplicarlos.Silatasadeinterésquelepaganesdel12%compuestoanual,¿enquétiempoloconseguirá?

( )niVAVF += 1

( )

( )n

n

iVAVF

iVAVF

+=

+=

1

1

( )[ ]

( )

( )iVAVF

n

ordenando

ni

VAVF

inVAVF

iVAVF n

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=

=+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

1log

log

:)1log(

log

1loglog

1loglog


7

Esteesuncasotípicodecálculodeltiempoapartirdevalorfuturo.¿Porqué? Acontinuaciónloselementosdelproblema:

1. Tienehoy$1.000.0002. Quierequintuplicarlos,esdecir,convertirlosen$5.000.000.3. Latasadeinterésquelepaganparaconseguirloesel12%compuestoanual.

Gráficamenteelproblemaseveasí:

Segúnestegráfico,elproblemaentregalossiguientesdatos: VA=$1.000.000 VF=$5.000.000 i=12%compuestoanual n=¿?Reemplazándolosenlafórmula:

Dadoqueelnumeradoresellogaritmodeunadivisión,lafórmulaseconvierteen:

( )

( )12,01log000.000.1000.000.5

log

)1log

log

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=

n

iVAVF

n

20150518,1470492180226,0

698970004,070492180226,06698970004.612,1log

000.000.1log000.000.5log

=

=

−=

−=

n

n

n

n


8

Saratardará14,20añosenacumular$5.000.000apartirde$1.000.000,aunatasadel12%compuestoanual. Resolviéndoloconellogaritmoenbasee,elproblemaquedaría:

Seobtienelamismarespuesta.

Cálculodelatasadeinterésapartirdevalorfuturo Aligualqueconeltiempo,enocasionesloquesedebeencontrareslatasadeinterésquepermitiráacumularunaciertacantidad(VF),apartirdeunacantidadinicial(VA),aunadeterminadatasadeinteréscompuesto.Enestecaso,seestáhallandolatasadeinterésapartirdevalorfuturo.Parahacerlo,separtenuevamentedelafórmulaparaelcálculodelvalorfuturoysellegaalaquepermiteencontrarlatasadeinterés,así:

Comoloquesedeseahallares“i”,sedebeaplicarradicalalosdosladosdelaigualdadasí:

( )

( )

20150517.141133286853,060943791.1

1133286853,081551056.1342494847.15

12,1ln000.000.1ln000.000.5ln

12,01ln000.000.1000.000.5ln

)1ln

ln

==

−=

−=

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=

n

n

n

n

iVAVF

n

( )

( )n

n

iVAVF

iVAVF

+=

+=

1

1


9

Ejemplo

La empresa de comestibles, El Cerdito Feliz, quiere saber a qué tasa de interéscompuesto puede colocar sus excedentes de tesorería que ascienden a $10.000.000,paraqueen6mesesseleconviertanen$12.000.000.Elproblemaes claro,puespidehallar la tasade interésapartirdevalor futuro,porcuantocolocará$10.000.000yquiereretirar,alos6meses,$12.000.000. Gráficamente,elproblemaseveasí:

Losdatosdelproblemason: VA=$10.000.000VF=$12.000.000n=6mesesi=¿? Aplicandolafórmulaseobtiene:

( )

( )

1

:

1

1

1

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

+=

n

n

n

n nn

VAVFi

Ordenando

iVAVF

iVAVF

iVAVF


10

Laempresadebecolocarlos$10.000.000enunacuentaquelepagueel3,1%mensual,siquiereretiraralos6meses$12.000.000. NOTA:Sieltiempoestáenmeseslatasadeinterésesmensual;sieltiempoestáenañoslatasadeinterésesanual.

3.2 Cálculo de valor presente – pago único

Laotraexpresióndelvalordeldineroeneltiempoeselvalorpresente,esdecir,siseconocecuántosevaaacumularopagarenundeterminadoperiododetiempoaunatasadeinterés,sepuedeencontrarelvalorinicial.Lasimbologíaautilizar,enestecaso,eslamismausadaenelcasodelcálculodelvalorfuturo,así:

VF=ValorfuturoVA=Valorpresenten=tiempoí=tasadeinterés

Tasanominal Gráficamenteelcálculodelvalorpresentees:

( )

.%1,3031,0

1030853321.112.1

1000000.10

000.000.12

1

6

6

mensualiiii

i

VAVFi n

=

=

−=

−=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=


11

Lafórmulaautilizarparaelcálculoes:

Ejemplo

Jaimequierecomprarunacasay leofrecen lassiguientesalternativas:Comprarladecontado por $120.000.000 o pagarla dentro de 30 años por $350.000.000 con uninterésdel4,8%compuestoanual.¿Quéleconvienemás?Este es el típico caso de cálculo de valor presente. Para poder comparar lasalternativas,éstasdebencolocarseavalorpresente.A laprimeraalternativanose lehacenadaporqueelpagodecontadoseentiendecomosifuerahoy. Lasegundaalternativasídebesertraídaavalorpresenteasí:

Dónde:

Va=¿?VF=$350.000.000n=30añosi=4,8%compuestoanual

Gráficamenteseveasí:

Reemplazándoloenlafórmula,resulta:

niVFVA −+= )1(

niVFVA −+= )1(

90,098.749.852449974254,0000.000.350048,1000.000.350

)048,01(000.000.35030

30

=

=

=

+=−

−

VAxVAxVA

VA


12

Dadoqueestevaloresmenorhoyque los$120.000.000de laprimeraalternativa, lomejor que puede hacer Jaime es comprarla para pagarla dentro de 30 años por$350.000.000. Cálculodeltiempoapartirdevalorpresente EnocasionesloqueserequiereesencontrareltiempoenelcualsetuvoinvertidaofuehechounpréstamodeunacantidadAdedineroaunadeterminadatasadeinterésparapoderretirarenelfuturoopagarunacantidadB.Paraefectosdenoconfundirallector, lacantidadAseráelvalorpresentey lacantidadBelvalorfuturo.Parapoderencontraresetiempo,setomacomopuntodepartidalaecuaciónutilizadaparahallarelvalorpresenteysevadespejandoéstahastallegaralafórmulaquepermitecalculareltiempoapartirdevalorpresente. Acontinuaciónsepresentaelprocesoquehadeseguirse:

,

Ejemplo

AMateo,elBancoXXXleprestó$2.000.000aunatasadel5%compuestoanual.Sabequetranscurridoel tiempoestipulado,él tendráquecancelar$3.124.987,56.¿Dequétiemposeestáhablando? Esteesuncasotípicodecálculodetiempoapartirdevalorpresente¿Porqué?Consulteloselementosdelproblema:

( ) niVFVA −+= 1

( )[ ]

( )

( )iVFVA

n

ordenando

ni

VFVA

inVFVA

iVFVA n

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=−

−=+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

1log

log

:)1log(

log

1loglog

1loglog


13

1. Mateotieneunpréstamode$2.000.0002. Sabequedebepagar$3.124.987,563. Latasadeinterésquelecobranesel5%compuestoanual.

Gráficamenteelproblemaseveasí: Segúnestegráfico,elproblemaentregalossiguientesdatos: VA=$2.000.000 VF=$3.124.987,56 i=5%compuestoanual n=¿?Reemplazándolosenlafórmula:

Dadoqueelnumeradoresellogaritmodeunadivisión,lafórmulaseconvierteen:

Dadoque-n=-9,146989552,porlaleydelossignosn=9,146989552 Mateosedemorará9,15añosencancelar ladeudade$2.000.000por3.124.987,56aunatasadel5%compuestaanual.

( )

( )05,01log56,987.124.3

000.000.2log

)1log

log

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=−

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=−

n

iVFVA

n

146989552,970211892990,0

1938182972,070211892990,0

494848293.6301029996.605,1log

56,987.124.3log000.000.2log

−=−

−=−

−=−

−=−

n

n

n

n

$2.000.0000

0

i=0,05%

$3.124,987,65

n=¿?


14

Resolviéndoloconellogaritmoenbasee,elproblemaquedaría:

Seobtienelamismarespuesta. Cálculo de la tasa de interés a partir de valor presente Aligualqueconeltiempo,enocasionesloquesedebeencontrareslatasadeinterésquepermitirápagarunadeudaopermitióacumularunaciertacantidad(VF)apartirde una cantidad inicial (VA), a una determinada tasa de interés compuesto. En estecaso, se está hallando la tasa de interés a partir de valor presente. Para hacerlo, separtenuevamentede la fórmulaparael cálculodevalorpresentey se llegaa laquepermiteencontrarlatasadeinterés.

Ejemplo

La empresa de comestibles, El Cerdito Feliz, quiere saber a qué tasa de interéscompuesto puede colocar sus excedentes de tesorería que ascienden a $10.000.000,paraqueen6mesesseleconviertanen$12.000.000. Elproblemaes claro,puespidehallar la tasade interésapartirdevalor futuro,porcuantocolocará$10.000.000yquiereretiraralos6meses$12.000.000. Gráficamenteelproblemaseveasí:

( )

( )

14698955,91133286853,060943791.1

70487901641,095494086,1450865774,14

05,1ln56,987.124.3ln000.000.2ln

05,01ln56,987.124.3

000.000.2ln

)1ln

ln

==−

−=−

−=−

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=−

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=−

n

n

n

n

iVFVA

n

$12.000.0000123456

i=¿?


15

Losdatosdelproblemason: VA=$10.000.000 VF=$12.000.000n=6mesesi=¿? Aplicandolafórmulaseobtiene:

Laempresadebecolocarlos$10.000.000enunacuentaquelepagueel3,1%mensualsiquiereretiraralos6meses$12.000.000. Nota:Sieltiempoestáenmeseslatasadeinterésesmensual,sieltiempoestáenañoslatasadeinterésesanual.

3.3 Tasa de interés nominal y efectiva

Las operaciones financieras se realizan utilizando dos tipos de tasa de interés, unasnominalesyotrasefectivas.Asuvez,éstaspuedenseranticipadasovencidas.Enesteaparte,setrabajalaformadeconvertirtasasnominalesaefectivasytasasefectivasanominales,ydetasasanticipadasavencidasyviceversa.TasadeinterésnominalEsunatasadereferenciaqueexistesólodenombre,puesnodeterminalaverdaderatasa de interés que se cobra en la operación financiera. Esta tasa de interés estáafectada por los periodos de capitalización de los intereses, los cuales pueden ser:Mensual,bimestraltrimestral,cuatrimestral,semestral.Losperiodosdecapitalizaciónsereconocenconlaletramyelnúmerodeperiodosdecapitalización,segúnlamodalidadson:

m=12silacapitalizaciónesmensual(cadames).m=6silacapitalizaciónesbimestral(cadabimestre).

( )

.%1,3031,0

1030853321.112.1

1000000.10

000.000.12

1

6

6

mensualiiii

i

VAVFi n

=

=

−=

−=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=


16

m=4silacapitalizaciónestrimestral(cada3meses).m=3silacapitalizaciónescuatrimestral(cada4meses).m=2silacapitalizaciónessemestral(cada6meses).

Cuandoenunanegociaciónsedice,porejemplo,al12%concapitalizaciónmensual,laoperación se está planteando a una tasa nominal de interés del 12% anual, conliquidacióndeinteresesmensual. Tasadeinterésefectiva Eslatasadeinterésquerealmentesereconoceenunaoperaciónfinanciera.ElDecretoNo.1229de1972,delalegislacióncolombiana,definelatasaefectivadeinteréscomoaquellaque, “aplicadaconperiodicidaddiferenteaunañodeacuerdoconlasfórmulasdeinteréscompuesto,produceexactamenteelmismoresultadoquelatasaanual”.

3.4 Equivalencia entre tasas

Se dice que dos tasas son equivalentes cuando, al partir de una cantidad inicial dedinero una vez transcurrido el mismo tiempo, producen un valor futuro o presenteigual.Sea cual sea la forma en la cual se pacte la negociación, los dos tipos de tasas sonequivalentes, esto significa que para la tasa nominal existe una tasa efectivaequivalenteyviceversa.Laequivalenciaentre tasasseexpresamediante la siguienteecuación:

Dónde: í=tasaefectivaj=tasanominalm=períododecapitalizaciónenelañon=númerodeañosAcontinuaciónseverálaformadeconvertirtasasdeinterés.

3.4.1 Conversión de tasa de interés nominal a efectiva

( )nxm

mj

i ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=+ 11


17

Partiendo de la ecuación de equivalencia entre tasas, se puede convertir una tasanominalenunatasaefectiva,así:

Ejemplo

Convertirel12%concapitalizaciónmensualenlatasaefectivaanual.Enestecaso:

j=12%m=12n=1

Utilizandolafórmulaquepermiteconvertirlatasanominalentasaefectiva,setiene:

Es decir, una tasa del 12% con capitalizaciónmensual es equivalente al 12,68% deinterésefectivaanual.

Ejemplo

Convertirel12%concapitalizacióntrimestralenlatasaefectivaanual.Enestecaso:

j=12%m=4n=1

Utilizandolafórmulaquepermiteconvertirlatasanominalentasaefectiva,setiene:

( )

11

11

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=+

nxm

nxm

mj

i

mj

i

%68,121268,0

11268,1101,1

1)01,01(

11212,01

12

12

121

=

=

−=

−=

−+=

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

iiii

i

ix


18

Esdecir,queel12%concapitalizacióncuatrimestralesequivalenteal12,55%efectivaanual.

3.4.2 Conversión de tasa de interés efectiva a nominal

Partiendo de la ecuación de equivalencia entre tasas, se puede convertir una tasaefectivaenunatasanominal,así:

Ejemplo

Convertir el 15% efectivo anual en la tasa nominal con capitalización bimestralequivalente.Enestecaso:

í=15%m=6n=1

Utilizandolafórmulaquepermiteconvertirlatasaefectivaentasanominal,setiene:

%55,121255,0

11255,1103,1

1)03,01(

1412,01

4

4

41

=

=

−=

−=

−+=

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

iiii

i

ix

( )

[ ]{ } 10011

11

1 xxmij

mj

i

xm

nxm

−+=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=+


19

Una tasa del 15% efectiva anual es equivalente a una tasa del 14,14% concapitalizaciónbimestral.

Ejemplo

Convertir el 15% efectivo anual en la tasa nominal con capitalización semestralequivalente.Enestecaso:

í=15%m=2n=1

Utilizandolafórmulaquepermiteconvertirlatasaefectivaentasanominal,setiene:

Una tasa del 15% efectiva anual es equivalente a una tasa del 14,48% concapitalizaciónsemestral.

3.5 Conversión de tasa de interés de anticipada a vencida y viceversa

Lastasasdeinterésnominalesoefectivaspuedensercanceladasenformaanticipadaovencida.Sedenominatasade interésanticipadaaaquellaquesecancelaal iniciodelperiododepagoyvencidaaaquellaquesecancelaalfinaldelperíododepago.Aligual

[ ][ ][ ]

%14,141414,0

6023567073,061023567073,1

6115,1

6115,016

61

=

=

=

−=

−=

−+=

jj

xjxj

xj

xj x

[ ][ ][ ]

%48,141448,0

2072380529,021072380529,1

2115,1

2115,012

21

=

=

=

−=

−=

−+=

jj

xjxj

xj

xj x


20

queen las tasasnominalesyefectivas, sepuedenhallar lasequivalenciasentre tasasanticipadasytasasvencidas.Simbología:

ia=tasaanticipadaiv=tasavencida.

3.5.1 Conversión de tasa de interés anticipada a vencida

Paraconvertirunatasaanticipadaavencidaseutilizalasiguientefórmula:

Ejemplo

Convertirel12%anticipadoanualaunatasavencidaanual.Ía=12%Utilizandolafórmulaquepermiteconvertirlatasaanticipadaatasavencida,setiene:

Unatasadel12%anticipadaesequivalenteauntasadel13,64%vencida.

3.5.2 Conversión de tasa de interés vencida a anticipada

Paraconvertirunatasavencidaaunatasaanticipadaseutilizalasiguientefórmula:

( )100

1x

ii

ia

av −=

( )

( )

%64,131006363,13,0

10088,012,0

10012,0112,0

1001

=

=

=

−=

−=

v

v

v

v

a

av

ixi

xi

xi

xii

i

( )100

1x

ii

iV

Va +=


21

Ejemplo

Convertirel12%anticipadoanualaunatasavencidaanual. ÍV=12% Utilizandolafórmulaquepermiteconvertirlatasavencidaatasaanticipada,setiene:

Unatasadel12%vencidaanualesequivalenteauntasadel10,74%anticipadaanual. De igual forma, se puede convertir una tasa efectiva vencida a una tasa nominalanticipadaoviceversa.

Ejemplo

Hallar la tasa efectiva anual anticipada equivalente a una tasa del 14% concapitalizaciónmensual.Sehallalatasaefectivaanualequivalenteal14%concapitalizaciónmensual.

( )

( )

%71,1010714,0

10012,112,0

12,0112,0

1001

=

=

+=

+=

a

a

a

a

v

Va

ii

xi

i

xii

i

%93.141493,0

11493,1101166666,0,11)01166666,01(

11214,01

12

12

121

=

=

−=

−=

−+=

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

iiii

i

ix


22

Sehallalatasaefectivaanticipadaequivalente.

Ejemplo

Hallarlatasaconcapitalizacióntrimestralvencida,equivalenteaunatasaefectivadel18%anualanticipada.Primerosehallalatasanominalconcapitalizacióntrimestralanticipadaequivalente:

Ahorasehallalatasanominalvencida:

( )

( )

%99,121299,0

1001493,193,14,0

1001493,011493,0

1001

=

=

+=

+=

a

a

a

a

v

Va

ii

xi

xi

xii

i

[ ][ ][ ]

%48,141689,0

4042246635,041042246635,1

4118,1

4118,014

41

=

=

=

−=

−=

−+=

a

a

a

a

a

xja

jj

xjxj

xj

x

( )

( )

%93,161001693,0

1008552,01448,0

1001448,011448,0

1001

=

=

=

−=

−=

v

v

v

v

a

av

jxj

xj

xj

xii

j


23

Parasaberelvalortrimestralsedivide latasanominalvencidaentre losperiodosdecapitalización,esdecir:

3.6 Aplicación a pagos únicos

Sedenominapagoúnicoaaquellacantidaddedineroquesóloseinvierteoprestaporunavezysobreelcualsegeneranopaganinteresesaunatasadeinterésquepuedesernominaloefectiva.Yasesabequeexisteunaequivalenciaentreestetipodetasas,portanto,enesteaparteseverálaformaenlacualestaequivalenciasehacepresente.Caberesaltarqueparapodersaberconquétipodeinterésseestátrabajando,esnecesarioquelaoperaciónfinancieraseaplanteadaenformaclara,esdecir,debeseñalarsiellaserealizaráconunatasaefectivao,porelcontrario,aunatasaconcapitalización. Enlossiguientesejemplossemostrarálaformaenlacualseplanteanlasoperacionesfinancieras,utilizando,tantotasasefectivascomotasasnominales,tasasanticipadasytasasvencidas.

Ejemplo

Camila quiere saber qué cantidad podrá retirar dentro de 5 años, si invierte hoy$600.000enunacuentaquepagael3%efectivotrimestral.Setratadehallarelvalorfuturodeunpagoúnicotasaefectiva. Segúnloquesevioenelcálculodelvalorfuturo,lafórmulaautilizares:

Cuandosetrabajaainterésefectivo,estaeslafórmulaqueseemplea.Identificandocadatérminodelafórmulasetiene:

i=3%efectivatrimestraln=5añosque,convertidosentrimestres,serán:5x4=20trimestres.

%0423,041493,0/ ==mj

( )niVAVF += 1

00.600$=VA


24

Reemplazandolosdatosenlafórmula,setiene:

Camilapodráretirardentrode5años$1.083.666,74

Ejemplo

Camila quiere saber qué cantidad podrá retirar dentro de 5 años, si invierte hoy$600.000enunacuentaquepagael3%concapitalizacióntrimestral.Setratadehallarelvalorfuturodeunpagoúnicotasanominal.Segúnloquesevioenelcálculodelvalorfuturo,lafórmulaautilizares:

Perocomoestasanominal,yasesabeque

Reemplazándolaenlafórmulaoriginalqueda:

Identificandocadatérminodelafórmula,setiene:

j=3%concapitalizacióntrimestraln=5añosm=4(númerodetrimestresen1año). Reemplazandolosdatosenlafórmula,setiene:

( )( )

74,666.083.1800611123,1000.60003,1000.600

03,01000.60020

20

=

=

=

+=

VFxVF

VF

VF

( )niVAVF += 1nxm

mJ

i ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=+ 1)1(

nnx

mj

VAVF ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ += 1

00.600$=VA


25

Camilapodráretirardentrode5años$696.710,48 Sisecomparanlosresultadosdelosdosejemplosanteriores,seveclaramentequenoeslomismohablarde3%efectivotrimestralque3%concapitalizacióntrimestral.

Ejemplo

¿Qué cantidad le prestaron a Santiago para que a los 3 años la cancelara por $2.456.789.56,aunatasadel6%efectivaanual?Setratadehallarelvalorpresentedeunpagoúnicoatasaefectiva.En el aparte sobre cálculo del valor presente se vio que la fórmula a utilizar paracalcularelvalorpresentees:

Aligualqueenelcasodelvalorfuturo,éstaeslafórmulaquesedebeemplearsilatasaesefectiva.Identificandolostérminosdelproblemasetiene: VF=$2.456.789,56i=6%efectivaanualn=3años. Reemplazándolosenlafórmula,setiene:

Elvalordelpréstamofuede$1.731.939,7

Ejemplo

( )

48,710.69616118414,11000.600

0075,01000.600

403,01000.600

20

45

=

=

++=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

VFxVF

VF

VFx

( ) niVFVA −+= 1

( )( )

7,939.731.170496054,056.789.456.206,156,789.456.2

06,0156,789,456.26

6

=

=

=

+=−

−

VAxVAxVA

VA


26

¿Qué cantidad le prestaron a Santiago para que a los 3 años la cancelara por $2.456.789.56,aunatasadel6%concapitalizaciónbimestral?Setratadehallarelvalorpresentedeunpagoúnicoatasanominal.En el aparte sobre cálculo del valor presente se vio que la fórmula a utilizar paracalcularelvalorpresentees:

Aligualqueenelcasodelvalorfuturoysabiendoquelastasasnominalesyefectivassonequivalentes,lafórmulaquesedebeempleares:

Identificandolostérminosdelproblemasetiene: VF=$2.456.789,56j=6%concapitalizaciónbimestraln=3añosm=6(númerodebimestresquetieneelaño) Reemplazándolosenlafórmula,setiene:

Elvalordelpréstamofuede$.1.717.111,52 Sisecomparan losdosúltimosejemplos, sevequenoes lomismotrabajarcon tasaefectivaquecontasanominal.

Ejemplo

¿Encuántos semestres sepodránacumular$4.000.000apartirde$2.600.000,aunatasadel4%concapitalizaciónsemestral?

( ) niVFVA −+= 1

nxm

mj

VFVA−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ += 1

( )

( )

52,111.717.190204524,056.789.456.201,156,789.456.2

606,0156,789,456.2

36

63

=

=

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

−

−

VAxVAxVA

VAx


27

Se sabe que es cálculo del tiempo a partir de valor futuro, porque se invierten$2.600.000yseesperaobtener$4.000.000.Estasanominalporquedicequeesel4%concapitalizaciónsemestral.Identificandolostérminosdelafórmula,setiene:

VA=$2.600.000VF=$4.000.000j=4%CCSm=2

Lafórmulaparaelcálculodeltiempoapartirdevalorfuturoes:

Dadoquelatasaesnominal,lafórmulaseconvierteen:

Dónde:

VA=$2.600.000VF=$4.000.000j=4%CCSm=2

Reemplazandolosvaloressetiene:

( ))1log

log

iVAVF

n+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

xm

mj

VAVF

n

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=)1log

log


28

Sedemorará43,51semestres.

Ejemplo

¿Quétasadeinterésconcapitalizacióncuatrimestralpermitirácuadruplicaruncapitalen10añosy8meses?Elejercicioqueseplanteacorrespondealcálculodelvalordelatasadeinterésapartirdevalorfuturotasanominal,debidoaqueelcálculodelatasadeinterésa partirdevalor futurotasaefectiva,eselquesevioenelapartecorrespondiente(cálculode latasa a partir del valor futuro). En el interés compuesto, sólo se hace este ejercicio.Además, se presenta otra de las formas en las que se puede plantear este tipo deproblemas.Lafórmulaqueseutilizaparaestetipodeproblemaseslasiguiente:

DóndeVA=1VF=4n=10años8mesesm=3(unañotiene3cuatrimestres)

Enestecaso,loprimeroquehadehacerseesconvertirnennxmasí:10x3=30+(8/4)=2=32cuatrimestres.

51.43275.21

2620086001717,0

414993348.6602059991.6

202,1log

000.600.2log000.000.4log

2)

204,0

1log

000.600.2000.000.4

log

=

=

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

nxn

xn

xn

xn

xmVAVF

j nxm

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 1


29

Reemplazandolostérminosconlosdatosdelproblema,setiene:

La tasa de interés con capitalización cuatrimestral que permitirá cuadruplicar uncapitalen10años8meseses13,28%.

Ejemplo

Tadeo desea saber cuánto tiempo se demoró su padre en pagar un préstamo de$5.000.000,si laentidadfinancieralecobróel12%concapitalizaciónmensualy fuepagadopor$6.000.000. En este caso, se pide calcular el tiempo a partir de valor presente, debido a que elproblema está planteado en pasado. Esta es una de las características del valorpresente,susproblemas,normalmente,seplanteandeestaforma. Cuando se vio el cálculo del tiempo a partir de valor presente, se estableció que lafórmulaautilizarera:

Comoelproblemaesatasanominal,éstaseconvierteen:

Dónde:

VA=valorpresente

( )[ ][ ]

%28,13132821,0

3044273782,031044273782.1

314

3114

32

32

=

=

=

−=

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

jj

xjxj

xj

xj

)1log(

log

iVFVA

n+

=−

xm

mj

VFVA

n

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=−

)1log(

log


30

VF=valorfuturoj=tasanominalm=periododecapitalizaciónporaño

Losdatosdelproblemason:

VA=$5.000.000VF=$6.000.000j=12%conCCMm=12(unañotiene12meses)

Reemplazándolosenlafórmulaquedaría:

El padre de Tadeo se demoró 219,88 meses en pagar la deuda de $5.000.000 por$6.000.000. Si se quiere saber cuántos años, el resultado se divide entre doce y da18,32años.

Ejemplo

Encontrarlatasadeinterésconcapitalizaciónbimestral,quecobraronporunadeudade$3.000.000por$4.098.765,43en37bimestres.Enestecasosedebehallar latasade interésnominal(concapitalización)apartirdevalorpresente,debidoaqueelplanteamientodelproblemaespasado.

88,21988,219

1232316528.18

12830043213737,050791812460.0

12830043213737,0

77815125.6698970004.6

1201,1log

000.000.6log000.000.5log

12)

1212,0

1log(

000.000.6000.000.5

log

=

−=−

−=−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=−

nn

xn

xn

xn

xn

xn


31

Cuandoseviocómocalcularlatasadeinterésapartirdelvalorpresente,seplanteólasiguientefórmula:

Dadoqueelproblemaescontasanominal,lafórmulaseconvierteen:

Dónde:

Antilog=antilogaritmoenbase10VA=valorpresenteVF=valorfuturoj=tasanominalm=períododecapitalizaciónenunañonxm=tiempo

Enelproblemaplanteadolosdatosson:

VA=$3.000.000VF=$4.098.765,43j=¿?m=6(unañotiene6bimestres)nxm=37bimestres

Reemplazándolosenlafórmula,setiene:

1log

log −

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

nVFVA

antii

xmnxmVFVA

antij

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−= 1

loglog


32

Latasadeinteréscobradafuedel5,08%concapitalizaciónbimestral.

3.7 Ecuación de valor

Enciertascircunstanciasesnecesariocambiarolafechadepagooelvalorapagarenoperaciones que se realizan a interés compuesto. En este aparte se verá cuál es elprocedimientoaseguirencadaunodeellos.CambioeneltiempodepagoPararealizarelcambiodefechadepagosedebe:

1. Ubicarlospagosoriginalesenlalíneadetiempo.2. Traerlosvaloresavalorpresente,tantolosoriginalescomoeldepago.3. Despejarnenlafórmula,aplicandolavistaencálculodeltiempoapartirde

valorpresente.

Ejemplo

[ ]{ }( )

%08,51000508,0

600847009,06100847009,1

61890036630218,0log

6137

1355318099,0log

6137612653065.6477121255.6

log

6137

43.765.098.4log000.000.3loglog

6137

43,765.098.4000.000.3

loglog

=

=

=

−=

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

xjxj

xjxantij

xantij

xantij

xanij

xantij


33

Rosa tiene tresdeudas: la primera, a los 2 añospor $1.000.000yuna tasadel 3,8%efectivaanual;lasegundapor$1.800.000alos3años5mesesaunatasadel6%concapitalizaciónbimestraly laterceraalos10semestrespor$2.000.000aunatasadel5%concapitalizaciónsemestral.Siquiererecogerlaspor$4.000.000,¿cuándodeberácancelarlaaunatasadel4%efectivaanual?1. Ubicarlospagoseneltiempo:

2. Traertodoslosvaloresavalorpresente:

Ladebepagaralos0,27años,esdecir,alos3,36meses.Cambioenelvalorapagar Paracalcularunnuevovalordepagoserequiere:

1. Ubicarlosvaloresenlalíneadetiempo.2. Ubicarelmomentoenquesequierepagar.3. Llevarlospagosoriginalesalmomentodepago;bienutilizandolafórmulapara

elcálculodelvalorfuturoobienladelvalorpresente.

Ejemplo

Recogertresdeudasde$1.000.000cadauna.Laprimeraconpagoalos6mesesyunatasa del 1% efectiva mensual; la otra a los 9 bimestres y una tasa del 5% concapitalización bimestral y la tercera a los 2 años, 4 meses y una tasa del 4,8% concapitalizacióncuatrimestral,conservandosustasasoriginales.

( ) ( ) ( ) ( )( )

27,00170333393,0

460046244002,004,1log

000.000.4log66,633.957.3log)04,1log(000.000.466,633.957.3

log

66,633.957.3)04,1(000.000.4

80,396.562.138,114.467.148,122.928)04,1(000.000.4

7811984017,0000.000.2815063543,0000.800.19281224825,0000.000.104,01000.000.4

2/05.01000.000.212/06,01000.800.1038,01000.000.104,01000.000.4 10412

=−

=−

==−

=

++=

++=+

+++++=+

−

−

−

−−−

n

xxx

n

n

n

n


34

1. Ubicarlosvaloresenlalíneadetiempo:

Primeroseconviertenlostiemposaañosparaconstruirlalíneadetiempoasí:6meses=0,5deaño9bimestres1,5años2años4mesesson2,33años.Seconstruyelalíneadetiempo

Como se ve en el gráfico, los dos primeros valores se van al futuro y el tercero sedevuelve.2añosenmeses=242añosenbimestres=122añosencuatrimestre=6

Elresultadoes:

Lacantidadquerecogelastresdeudasesde$2.795.680,23

Utilizarunauotra,dependerádelasnecesidadesdelinteresado.

Resumen

( ) ( ) ( )( ) ( )

23,680.795.287,251.98495,410.97531,017.83698425187,0000.000.1)97541095,0000.000.183601731,0000.000.1

016,1000.000.100833333,1000.000.1)01,1(000.000.1

3/048,01000.000.16/05,01000.000.101,01000.000.11318

76912624

=++=

++=

++=

+++++=−−

−−−

XxxxX

X

X


35

Hoy en día las operaciones financieras se adelatan a interés compuesto, es decir,pagandointereses,nosólosobreelcapitalsinosobrelosintereses.Si se quiere saber qué cantidad se podrá retirar en un tiempo futuro, se habla delcálculodelvalorfuturo.Sisedeseaconocerquécantidadinicialseinvirtióoprestóaunatasadeinteréscompuestoquesecancelaoretiradespuésdedeterminadotiempo,sehabladelcálculodelvalorpresente.Igualmente,sepuedecalculareltiempoylatasadeinterésapartirdecadaunodeellos.Peroel interéscompuestonosetrabajaenunaúnicaforma.Puedeserquelatasadeinterés sea efectiva (realmente pagada) o nominal (la pactada) y que se capitalizavariasvecesenelaño(tasasnominales).Lastasasnominalesy/oefectivaspuedenservencidasoanticipadas.Todatasanominaltienesuequivalenciaenunatasaefectivayviceversa.Todatasaanticipadatienesuequivalentevencidayviceversa.Tambiénexisten tasasque sepaganen formaanticipada, reconocidas como tasasdedescuentoytasasquesepaganenformavencida.

Bibliografía


36

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• Blank L. y Tarquin A. (1991). Ingeniería Económica. McGraw-Hill. 3ª edición.Capítulo3.Bogotá.

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• Díaz, Alfredo, Aguilera Gómez, Víctor. Matemáticas financieras. Editorial McGrawHill,Terceraedición.

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