Unidad 3 Medicion de Angulos

Escuela de Ingeniería Civil-UTPL TOPOGRAFÍA ELEMENTAL

Autora: Nadia Chacón Mejía

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UNIDAD 3 Medición de ángulos

ÁNGULOS:

Los ángulos sirven para la determinación de puntos y la orientación de líneas. Existen 3

condiciones para poder determinar un ángulo, las cuales son las siguientes:

“La línea de referencia

El sentido del giro, y

La amplitud (valor del ángulo o distancia angular)” 1

Figura 3.1 Condiciones para determinar un ángulo.

Fuente: Modificado de la página Web: Doble vía-Ingeniería Civil. Obtenido de la red el 03 de enero del 2010 a través de www.doblevia.wordpress.com/2007/07/18/introduccion-a-la-medicion-de-angulos-horizontales/

LÍNEA DE REFERENCIA: Es la línea desde donde se mide el ángulo. Existen tres tipos de líneas de

referencia para medir ángulos horizontales: el Norte (o Sur) magnético, el Norte (o Sur) geográfico

y el Norte (o Sur) arbitrario. Se puede escoger cualquiera de estas tres líneas para realizar la

medición dependiendo de la precisión e importancia del levantamiento y de los instrumentos que

se utilice.

Norte Magnético: Es la línea que pasa por los polos magnéticos. “Los Polos Magnéticos se definen

como el punto en la superficie de la Tierra donde las líneas del campo magnético son

perpendiculares a la superficie terrestre.” 2

1 RUSSELL C. BRINKER, Topografía, Novena edición, pág.177

2 Doble vía-Ingeniería Civil. Obtenido de la red el 03 de enero del 2010 a través de

www.doblevia.wordpress.com/2007/07/18/introduccion-a-la-medicion-de-angulos-horizontales/

http://www.doblevia.wordpress.com/2007/07/18/introduccion-a-la-medicion-de-angulos-horizontales/




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Norte Geográfico: Es la recta que pasa por los polos geográficos de la Tierra, Norte y Sur. “Los

Polos Geográficos de la Tierra se definen como los puntos en su superficie que se cortan con el eje

de rotación del planeta.” 3 También es llamado Norte verdadero, en la actualidad es utilizado con

más frecuencia como referencia para la medición de ángulos ya que no presenta variaciones como

las del norte magnético pero este debe estar señalado con puntos determinados con

levantamientos de gran precisión.

Declinación magnética: Es el ángulo formado por el norte geográfico y el norte magnético, tiene

un valor diferente en cada punto de la Tierra y puede estar dirigida al este o al oeste.

Norte Arbitrario: Esta línea de referencia es utilizada cuando no se dispone de los medios

necesarios para ubicar el norte magnético o el geográfico o cuando los levantamientos no

requieren estar sujetos a estas referencias. La línea puede encontrarse cerca o dentro del lugar de

trabajo y debe ser más o menos estable, puede ser la esquina de un edificio, la junta de un

pavimento, etc.

SENTIDO DE GIRO: El sentido indica la dirección del ángulo desde la línea de referencia hasta línea

donde se mide. En Topografía existen dos sentidos:

A la derecha: Este sentido es considerado como positivo (+) y se mide en la misma dirección de las

manecillas del reloj.

A la izquierda: Este se considera como negativo (-) y se mide en sentido contrario al de las


Es más común medir los ángulos hacia la derecha ya que los antiguos equipos solo permitían

hacerlo en esta dirección, en la actualidad si se puede realizar mediciones a la izquierda gracias a

los nuevos instrumentos pero se conserva la costumbre de medir los ángulos a la derecha. Si es

necesario medir ángulos a la izquierda como es el caso de los ángulos de deflexión se debe anotar

en las libretas de campo, para evitar confusiones.

AMPLITUD: Es la magnitud del giro entre la línea de referencia y la línea respecto a la cual se

desea medir el ángulo. La amplitud también se conoce como distancia angular. Existen dos

unidades de medida para los ángulos: el radian y el grado sexagesimal, para las mediciones

realizadas en topografía se utiliza con más frecuencia el grado sexagesimal que usualmente se lo

llama grado.

“El sistema sexagesimal se llama así porque está basado en múltiplos de 60, por eso:






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1 min = 1’ = 60 s = 60”

1 grado = 1° = 60’ = 3 600’’” 4

Los ángulos se clasifican en: Horizontales y verticales

ÁNGULO HORIZONTAL:

Un ángulo horizontal es un ángulo formado por dos líneas ubicadas en un plano horizontal, este

plano es paralelo a una superficie de nivel y representa la base para la proyección de los puntos

medidos en el terreno. El valor del ángulo se utiliza para definir la dirección de una línea. “Los

ángulos horizontales son las medidas básicas que se necesitan para determinar rumbos y acimut.”5

Los ángulos horizontales se clasifica a su vez en:

Ángulos interiores

Ángulos exteriores

Ángulos a la derecha

Ángulos a la izquierda, y

Ángulos de deflexión

Ángulos interiores: Son los ángulos que se encuentran dentro de un polígono cerrado.

Ángulos exteriores: Estos quedan fuera del polígono cerrado.

Ángulos a la derecha: Son los ángulos que se miden en el mismo sentido que el de las manecillas

del reloj, se consideran positivos.

Ángulos a la izquierda: Son los ángulos que se miden en el sentido contrario al de las manecillas

del reloj, se consideran negativos.

Los valores de los ángulos varían entre 0 y 360°.



5 RUSSELL C. BRINKER, Topografía, Novena edición, pág.176




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Figura 3.2 Ángulos interiores medidos en el sentido de las manecillas del reloj y en el sentido contrario al de las


Fuente: La autora.

Ángulos de deflexión: Son los ángulos medidos a partir de la prolongación de alineación anterior

con la siguiente, se pueden medir a la izquierda o a la derecha y el sentido de giro se define

colocando una D (derecha) o una I (izquierda) al valor del ángulo. Su magnitud varía entre 0 y 180°.

Este tipo de ángulos por lo general se mide en las poligonales abiertas.

En las poligonales cerradas la suma de los ángulos de deflexión es igual a 360°.

Figura 3.3 Ángulos de deflexión a la derecha (D) y a la izquierda (I).

Fuente: La autora.




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ÁNGULOS VERTICALES:

Figura 3.4 Clases de ángulos verticales: Ángulo de pendiente positivo (AOB), ángulo cenital (BOC), ángulo nadiral (EOD)

Fuente: La autora.

Un ángulo vertical está contenido dentro de un plano vertical, este plano es perpendicular a un

plano horizontal, y sirve para definir la inclinación de una línea sobre el terreno. Existen algunas

clases de ángulos verticales:

Ángulo de pendiente: Cuando se toma como línea de referencia la línea horizontal, el cual puede

ser positivo o de elevación o negativo o de depresión. “Este es el ángulo que se conoce como

pendiente de una línea, el cual puede ser expresado tanto en ángulo como en porcentaje.” 6

Ángulo cenital: Cuando se toma como línea de referencia el extremo superior de la línea vertical.

El cenit es perpendicular a la superficie de la tierra.

Ángulo nadiral: Cuando se escoge como línea de referencia el extremo inferior de la línea vertical.

El nadir es el punto opuesto al cenit.

Dirección e inclinación de una línea:

La dirección de una línea es el ángulo horizontal que existe entre la línea y una línea de referencia,

mientras que la inclinación es el ángulo vertical formado con la horizontal.







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RUMBOS Y AZIMUT:

Rumbos: Es el ángulo agudo horizontal medido desde una línea de referencia, se lo mide desde el

norte o desde el sur hacia el este o el oeste, su valor varía entre 0 y 90°. Se lo representa por dos

letras y un valor numérico entre las dos.

Los rumbos pueden ser verdaderos, magnéticos o arbitrarios dependiendo desde que meridiano

de referencia se lo mida ya sea este el verdadero, magnético o una recta cualquiera escogida

árbitramente como meridiano.

Figura 3.5 Rumbos

Fuente: Modificado del libro RUSSELL C. BRINKER, Topografía, Novena edición, pág. 180

Los rumbos también pueden ser directos e inversos, los rumbos directos son los que se miden

hacia adelante y los inversos hacia atrás, los dos tipos de rumbo tienen el mismo valor pero

corresponden a cuadrantes opuestos. Por ejemplo si el rumbo de AB es N 75° E, el de BA es S 75°

W.

LINEA RUMBO

OA N 50° E

OB S 72° E

OC S 15° W

OD N 68° W



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Figura 3.6 Rumbos directos e inversos

Fuente: La autora.

En la figura 3.6 los rumbos AB, BC, CD Y DE son rumbos directos y BA, CB, DC, y ED son inversos.

Azimut: Es el ángulo horizontal medido desde una línea de referencia, generalmente desde el

norte, en el sentido de las manecillas del reloj. Su valor varía entre 0 y 360°. El azimut también

puede ser verdadero, magnético o arbitrario según el meridiano desde el cual se mida.

Al igual que los rumbos también pueden ser directos e inversos, y para transformar un azimut de

inverso a directo o viceversa se resta o se suma 180° dependiendo en que cuadrante este, si esta

en el primero o en el segundo se suma 180° y si esta en el tercero o en el cuarto se resta 180°. Por

ejemplo en la figura el azimut OA es 50° y el azimut AO es 50°+180°=230°.

Figura 3.7 Azimut

Fuente: Modificado del libro RUSSELL C. BRINKER, Topografía, Novena edición, pág. 182.

LINEA AZIMUT

OA 50°

OB 108°

OC 195°

OD 292°




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Comparación entre rumbos y azimut:

Equivocaciones al trabajar con rumbos y azimut:

Confundir ángulos positivos y negativos.

Intercambiar rumbos y acimut.

Excluir el cambio de las letras de rumbo al usar el rumbo inverso de una línea.

Excluir el ajuste de los ángulos de una poligonal antes de calcular rumbos o azimut.

Conversión de Azimut a rumbos:

Conversión de rumbos a azimut:

Su valor varía entre 0° y 360°.

Se miden desde el norte.

Se miden en el sentido de las


Solo se indica su valor numérico.

RUMBOS AZIMUT

Su valor varía entre 0° y 90°.

Se miden desde el norte o desde el

sur.

Se miden en los dos sentidos.

Su valor se indica entre dos letras.

VALOR DEL AZIMUT VALOR DEL RUMBO

Az = 0° = 360° Norte ( N )

0° < Az < 90° N Az E

Az = 90° Este ( E )

90° < Az < 180° S (180° - Az ) E

Az = 180° Sur ( S )

180° < Az < 270° S (Az - 180° ) W

Az = 270° Oeste ( W )

270° < Az < 360° N ( 360° - Az) W

UBICACIÓN DEL RUMBO VALOR DEL AZIMUT

1er Cuadrante (N-E) Az = Rumbo

2do Cuadrante (S-E) Az = 180° - Rumbo

3er Cuadrante (S-W) Az = 180° + Rumbo

4to Cuadrante (N-W) Az = 360° - Rumbo



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Medición de ángulos con brújula:

La brújula es de gran utilidad, pues con este instrumento se pueden medir ángulos en el terreno.

La línea que utiliza como referencia la brújula es el norte magnético con la cual se alinea

automáticamente.

Antes de utilizar la brújula para realizar la medición de un ángulo se debe hacer algunos ajustes. La

brújula debe satisfacer las siguientes condiciones:

La línea recta que une las puntas de la aguja debe pasar por su centro

La punta del pivote debe proyectarse perpendicularmente al centro del limbo

Debe existir agilidad en el movimiento de la aguja

Cuando no se satisfacen estas condiciones se deben hacer los respectivos ajustes para poder

utilizarla.

“Para leer el rumbo o el azimut de una recta se coloca la brújula sobre la línea, se nivela, se suelta

la aguja para que pueda girar libremente, se da vista a otro punto de la recta, y cuando la aguja se

quede quieta, se lee el ángulo que esta indica.” 7

La aguja debe ser asegurada con el tornillo de fijación antes de trasladar la brújula a otro lugar.

La brújula se coloca sobre una superficie plana, la palma de la mano, o el piso, lo cual permitirá a

la aguja moverse libremente. Nunca se debe medir un ángulo mirando constantemente la brújula,

con esto solo se consigue sumar impresiones debido al movimiento de la persona; se debe

identificar un punto de referencia y en este realizar la nueva lectura.

Existen varios tipos de brújulas pero las más utilizadas son las cartográficas y las lensaticas.

Para poder utilizar la brújula primero se deben identificar sus partes:

Brújulas cartográficas:

Figura 3.8 Brújula cartográfica

Fuente: Mundo trekking. Obtenido el 05 de enero del 2010 a través de

www.mundotrekking.com.ar/manual_trekking/orientacion_2_como_usar_la_brujula_puntos_cardinales_direcciones_compas.htm

7 TORRES NIETO ALVARO, Topografía, Cuarta edición, pág. 59.



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1. Base de plástico.

2. Limbo, anillo giratorio graduado o dial.

3. Aguja magnética.

4. Flecha orientadora y sus líneas auxiliares.

5. Punto de lectura o línea de índice.

6. Flecha de dirección de viaje.

Brújulas lensáticas:

Figura 3.9 Brújula lensática

Fuente: Mundo trekking. Obtenido el 05 de enero del 2010 a través de


1. Base que contiene la aguja y el limbo flotante

2. Flecha indicadora del norte magnético

3. Cubierta o tapa que contiene la mira delantera con alambre vertical

4. Mira trasera con lente

5. Punto de lectura, línea de índice

6. Línea girable.

7. Cápsula transparente externa giratoria, anillo de rotación externo.

Un ángulo se mide de la siguiente manera:

“Con brújula cartográfica:

1. Apuntar hacia la referencia con la flecha de dirección (ref Nº 6)

2. Girar el limbo, anillo giratorio graduado o dial (ref Nº 2) hasta que la marca N del mismo, flecha

orientadora, (ref Nº 4) coincida con la aguja magnética (roja, ref Nº 3)

3. Leer el rumbo en el punto de lectura o línea de índice (ref Nº 5)

Con brújula lensatica:

1. Apuntar hacia la referencia con mira delantera que tiene el alambre vertical (ref Nº 3).

2. Esperar que el limbo flotante gire y se alinee con el N magnético.



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3. Leer el rumbo en el punto de lectura o línea de índice (ref Nº 5) con el lente de la mira trasera

inclinada hacia delante 45º (ref Nº 4).” 8

8 Mundo trekking. Obtenido el 05 de enero del 2010 a través de


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