MATERIA:PROGRAMACION Y METODOS NUMERICOS

CATEDRTICO:ING. ALFONSO SANCHEZ SOLIS

TEMA:Regresin, interpolacin y derivacin numricas

ALUMNO:ALMA ANGELINA LERDO REYES

ESPECIALIDAD:INGENIERA BIOQUMICA

GRADO: 4 SEMESTRE GRUPO: A

Unidad 4 Regresin, interpolacin y derivacin numricas

ObjetivoElaborar esta investigacin para conocer y resolver regresin, interpolacin y derivacin numricas de ecuaciones y solucionarlos de acuerdo de los temas que conforman esta unidad, conociendo los mtodos matemticos.

JustificacinEsta investigacin es elaborada con el fin de analizar ms a fondo la materia de programacin y mtodos numricos, analizando mtodos para regresin, interpolacin y derivacin numricas, para para la estimacin de relaciones entre variables.

Regresin, interpolacin y derivacin numricas4.1. Anlisis de RegresinEl anlisis de la regresin es un proceso estadstico para la estimacin de relaciones entre variables. Incluye muchas tcnicas para el modelado y anlisis de diversas variables, cuando la atencin se centra en la relacin entre una variable dependiente y una o ms variables independientes. Ms especficamente, el anlisis de regresin ayuda a entender cmo el valor tpico de la variable dependiente cambia cuando cualquiera de las variables independientes es variada, mientras que se mantienen las otras variables independientes fijas. Ms comnmente, el anlisis de regresin estima laesperanza condicionalde la variable dependiente dadas las variables independientes - es decir, el valor promedio de la variable dependiente cuando se fijan las variables independientes. Con menor frecuencia, la atencin se centra en uncuantil, u otro parmetro de localizacin de la distribucin condicional de la variable dependiente dadas las variables independientes. En todos los casos, el objetivo es la estimacin de unafuncin de las variables independientes llamada lafuncin de regresin. En el anlisis de regresin, tambin es de inters para caracterizar la variacin de la variable dependiente en torno a la funcin de regresin que puede ser descrito por unadistribucin de probabilidad.El anlisis de regresin es ampliamente utilizado para laprediccinyprevisin, donde su uso tiene superposicin sustancial en el campo deaprendizaje automtico. El anlisis de regresin se utiliza tambin para comprender que cuales de las variables independientes estn relacionadas con la variable dependiente, y explorar las formas de estas relaciones. En circunstancias limitadas, el anlisis de regresin puede utilizarse para inferir relaciones causales entre las variables independientes y dependientes. Sin embargo, esto puede llevar a ilusiones o falsas relaciones, por lo que se recomienda precaucin,1por ejemplo, la correlacin no implica causalidad.Se han desarrollado muchas tcnicas para llevar a cabo anlisis de regresin. Mtodos familiares tales como regresin lineal y ordinaria de mnimos cuadrados de regresin son paramtrica, en que la funcin de regresin se define en trminos de un nmero finito de desconocidos parmetros que se estiman a partir de los datos. Regresin no paramtrica se refiere a las tcnicas que permiten que la funcin de regresin mienta en un conjunto especfico de funciones, que puede ser de dimensin infinita.El desempeo de los mtodos de anlisis de regresin en la prctica depende de la forma del proceso de generacin de datos, y cmo se relaciona con el mtodo de regresin que se utiliza. Dado que la forma verdadera del proceso de generacin de datos generalmente no se conoce, el anlisis de regresin depende a menudo hasta cierto punto de hacer suposiciones acerca de este proceso. Estos supuestos son a veces comprobable si una cantidad suficiente de datos est disponible. Los modelos de regresin para la predicciamente, aunque pueden no funcionar de manera ptima. Sin embargo, en muchas aplicaciones, sobre todo con pequeos efectos o las cuestiones de causalidad sobre la base de los datos de observacin, mtodos de regresin pueden dar resultados engaosos.4.1.1. Fundamentos estadsticos.DEFINICIN Y UTILIDAD DE LA ESTADSTICA La Estadstica es una disciplina que utiliza recursos matemticos para organizar y resumir una gran cantidad de datos obtenidos de la realidad, e inferir conclusiones respecto de ellos. Por ejemplo, la estadstica interviene cuando se quiere conocer el estado sanitario de un pas, a travs de ciertos parmetros como la tasa de morbilidad o mortalidad de la poblacin. En este caso la estadstica describe la muestra en trminos de datos organizados y resumidos, y luego infiere conclusiones respecto de la poblacin. Por ejemplo, aplicada a la investigacin cientfica, hace inferencias cuando emplea medios matemticos para establecer si una hiptesis debe o no ser rechazada. La estadstica puede aplicarse a cualquier mbito de la realidad, y por ello es utilizada en fsica, qumica, biologa, medicina, astronoma, psicologa, sociologa, lingstica, demografa, etc. Cuando en cualquiera de estas disciplinas se trata de establecer si una hiptesis debe o no ser rechazada, no siempre es indispensable la estadstica inferencial. Por ejemplo, si sobre 60 veces que se mira un dado, sale un dos 10 veces, no se requiere la estadstica para rechazar la hiptesis el dado est cargado. Si sale un dos en 58 ocasiones sobre 60, tampoco se necesita la estadstica para aceptar la hiptesis el dado est cargado. Pero, qu ocurre si el nmero dos sale 20, 25 o 30 veces? En estos casos de duda, la estadstica interviene para determinar hasta qu cantidad de veces se considerar rechazada la hiptesis (o bien desde qu cantidad de veces se la considerar aceptada). En otras palabras, la estadstica interviene cuando debe determinarse si los datos obtenidos son debidos al azar o son el resultado de un dado cargado. Otro ejemplo. Si una persona adivina el color (rojo o negro) de las cartas en un 50% de los casos, se puede rechazar la hiptesis la persona es adivina. Si, en cambio, acierta en el 99% de los casos el color de las cartas, se puede aceptar la mencionada hiptesis. Los casos de duda corresponden a porcentajes de acierto intermedios, como el 60%, el 70%, etc., en cuyos casos debe intervenir la estadstica para despejarlos. La importancia de la estadstica en la investigacin cientfica radica en que la gran mayora de las investigaciones son casos de duda.CLASIFICACIONES DE LA ESTADSTICA Existen varias formas de clasificar los estudios estadsticos. 1) Segn la etapa.- Hay una estadstica descriptiva y una estadstica inferencial. La primera etapa se ocupa de describir la muestra, y la segunda etapa infiere conclusiones a partir de los datos que describen la muestra (por ejemplo, conclusiones con respecto a la poblacin). Tanto la estadstica descriptiva como la estadstica inferencial se ocupan de obtener datos nuevos. La diferencia radica en que la estadstica descriptiva procede a resumir y organizar esos datos para facilitar su anlisis e interpretacin, y la estadstica inferencial procede a formular estimaciones y probar hiptesis acerca de la poblacin a partir de esos datos resumidos y obtenidos de la muestra. Puesto que estas ltimas operaciones llevarn siempre a conclusiones que tienen algn grado de probabilidad, la teora de la probabilidad constituye una de sus herramientas principales. Tngase presente que en s misma la teora de la probabilidad no forma parte de la estadstica porque es otra rama diferente de la matemtica, pero es utilizada por la estadstica como instrumento para lograr sus propios objetivos. La estadstica descriptiva tambin incluye explcita o implcitamente- consideraciones probabilsticas, aunque no resultan ser tan importantes como en la estadstica inferencial. Por ejemplo, la eleccin de un determinado estadstico para caracterizar una muestra (modo, mediana o media aritmtica) se funda sobre ciertas consideraciones implcitas acerca de cul de ellos tiene ms probabilidades de representar significativamente el conjunto de los datos que se intenta resumir. Tanto la estadstica descriptiva como la inferencial implican, entonces, el anlisis de datos. Si se realiza un anlisis con el fin de describir o caracterizar los datos que han sido reunidos, entonces estamos en el rea de la estadstica descriptiva Por otro lado, la estadstica inferencial no se refiere a la simple descripcin de los datos obtenidos, sino que abarca las tcnicas que nos permiten utilizar los datos muestrales para inferir u obtener conclusiones sobre las poblaciones de las cuales fueron extrados dichos datos (Pagano, 1998:19). Kohan, por su parte, sintetiza as su visin de las diferencias entre ambos tipos de estadstica: Si estudiamos una caracterstica de un grupo, sea en una poblacin o en una muestra, por ejemplo talla, peso, edad, cociente intelectual, ingreso mensual, etc, y lo describimos sin sacar de ello conclusiones estamos en la etapa de la estadstica descriptiva. Si estudiamos en una muestra una caracterstica cualquiera e inferimos, a partir de los resultados obtenidos en la muestra, conclusiones sobre la poblacin correspondiente, estamos haciendo estadstica inductiva o inferencial, y como estas inferencias no pueden ser exactamente ciertas, aplicamos el lenguaje probabilstico para sacar las conclusiones (Kohan, 1994:25). Kohan emplea la palabra inductiva porque las inferencias realizadas en este tipo de estadstica son razonamientos inductivos, modernamente definidos como razonamientos cuya conclusin es slo probable.2) Segn la cantidad de variables estudiada.- Desde este punto de vista hay una estadstica univariada (estudia una sola variable, como por ejemplo la inteligencia), una estadstica bivariada (estudia la relacin entre dos variables, como por ejemplo inteligencia y alimentacin), y una estadstica multivariada (estudia tres o ms variables, como por ejemplo como estn relacionados el sexo, la edad y la alimentacin con la inteligencia). El siguiente esquema ilustra la relacin entre dos clasificaciones de la estadstica: descriptiva / inferencial y univariada / bivariada. La estadstica descriptiva se ocupa de muestras, y la estadstica inferencial infiere caractersticas de la poblacin a partir de muestras. A su vez, ambas etapas de la estadstica pueden estudiar una variable por vez o la relacin entre dos o ms variables. Por ejemplo, a) en el caso de la estadstica univariada, el clculo de medidas de posicin y dispersin en una muestra corresponde a la estadstica descriptiva, mientras que la prueba de la media corresponde a la estadstica inferencial; b) en el caso de la estadstica bivariada, el anlisis de correlacin de variables en una muestra corresponde estrictamente hablando a la estadstica descriptiva, mientras que el anlisis de regresin o las pruebas de hiptesis para coeficientes de correlacin (Kohan N, 1994:234) corresponden a la estadstica inferencial. 3) Segn el tiempo considerado.- Si se considera a la estadstica descriptiva, se distingue la estadstica esttica o estructural, que describe la poblacin en un momento dado (por ejemplo la tasa de nacimientos en determinado censo), y la estadstica dinmica o evolutiva, que describe como va cambiando la poblacin en el tiempo (por ejemplo el aumento anual en la tasa de nacimientos).

ORIGENEl trminoalemnStatistik, introducido originalmente porGottfried Achenwallen1749, se refera al anlisis dedatosdelEstado, es decir, la ciencia del Estado (o ms bien, de laciudad-estado). Tambin se llamaritmtica polticade acuerdo con la traduccin literal delingls. No fue hasta el siglo XIX cuando el trminoestadsticaadquiri el significado de recolectar y clasificar datos. Este concepto fue introducido por el militar britnicosirJohn Sinclair(1754-1835).En su origen, por tanto, la estadstica estuvo asociada a los Estados o ciudades libres, para ser utilizados por el gobierno y cuerpos administrativos (a menudo centralizados). La coleccin de datos acerca de estados y localidades contina ampliamente a travs de los servicios de estadstica nacionales e internacionales. En particular, loscensoscomenzaron a suministrar informacin regular acerca de lapoblacinde cada pas. As pues, los datos estadsticos se referan originalmente a los datos demogrficos de una ciudad o Estado determinados. Y es por ello que en la clasificacin decimal deMelvil Dewey, empleada en las bibliotecas, todas las obras sobre estadstica se encuentran ubicadas al lado de las obras de o sobre lademografa.Ya se utilizaban representaciones grficas y otras medidas en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para controlar el nmero de personas, animales o ciertas mercancas. Hacia el ao3000a.C.los babilonios usaban ya pequeos envases moldeados de arcilla para recopilar datos sobre la produccin agrcola y de los gneros vendidos o cambiados. Los egipcios analizaban los datos de la poblacin y la renta del pas mucho antes de construir las pirmides en el siglo XIa.C. Los libros bblicos deNmerosyCrnicasincluyen en algunas partes trabajos de estadstica. El primero contiene dos censos de la poblacin de laTierra de Israely el segundo describe el bienestar material de las diversastribus judas. EnChinaexistan registros numricos similares con anterioridad al ao2000a.C.Los antiguos griegos realizaban censos cuya informacin se utilizaba hacia el594a.C.para cobrarimpuestos.

ORGENES EN PROBABILIDADLos mtodos estadstico-matemticos emergieron desde la teora deprobabilidad, la cual data desde la correspondencia entre Pascal y Pierre de Fermat (1654).Christian Huygens(1657) da el primer tratamiento cientfico que se conoce a la materia. ElArsconiectandi(pstumo,1713) de Jakob Bernoulli y laDoctrina de posibilidades(1718) deAbraham de Moivreestudiaron la materia como una rama de las matemticas.1En la era moderna, el trabajo deKolmogrovha sido un pilar en la formulacin del modelo fundamental de la Teora de Probabilidades, el cual es usado a travs de la estadstica.Lateora de erroresse puede remontar a lapera miscellnea(pstuma, 1722) deRoger Cotesy al trabajo preparado porThomas Simpsonen 1755 (impreso en 1756) el cual aplica por primera vez la teora de la discusin de errores de observacin. La reimpresin (1757) de este trabajo incluye elaxiomade que errores positivos y negativos son igualmente probables y que hay unos ciertos lmites asignables dentro de los cuales se encuentran todos los errores; se describen errores continuos y una curva de probabilidad.Pierre-Simon Laplace(1774) hace el primer intento de deducir una regla para la combinacin de observaciones desde los principios de la teora de probabilidades. Laplace represent la Ley de probabilidades de errores mediante una curva y dedujo una frmula para la media de tres observaciones. Tambin, en 1871, obtiene la frmula para la ley de facilidad del error (trmino introducido porLagrange, 1744) pero con ecuaciones inmanejables.Daniel Bernoulli(1778) introduce el principio del mximo producto de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.

Fotografa deCerespor el telescopio espacial Hubble. La posicin fue estimada por Gauss mediante el mtodo de mnimos cuadrados.Elmtodo de mnimos cuadrados, el cual fue usado para minimizar los errores enmediciones, fue publicado independientemente porAdrien-Marie Legendre(1805),Robert Adrain(1808), yCarl Friedrich Gauss(1809). Gauss haba usado el mtodo en su famosa prediccin de la localizacin delplaneta enanoCeresen 1801. Pruebas adicionales fueron escritas por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823),James Ivory(1825, 1826), Hagen (1837),Friedrich Bessel(1838),W.F. Donkin(1844, 1856),John Herschel(1850) yMorgan Crofton(1870). Otros contribuidores fueron Ellis (1844),Augustus De Morgan(1864),Glaisher(1872) yGiovanni Schiaparelli(1875). La frmula de Peterspara, el probable error de una observacin simple es bien conocido.Elsiglo XIXincluye autores como Laplace,Silvestre Lacroix(1816), Littrow (1833),Richard Dedekind(1860), Helmert (1872),Hermann Laurent(1873), Liagre, Didion yKarl Pearson.Augustus De MorganyGeorge Boolemejoraron la presentacin de la teora.AdolpheQuetelet(1796-1874), fue otro importante fundador de la estadstica y quien introdujo la nocin del hombre promedio(lhommemoyen)como un medio de entender los fenmenos sociales complejos tales comotasas de criminalidad,tasas de matrimoniootasas de suicidios.ESTADO ACTUALDurante elsiglo XX, la creacin de instrumentos precisos para asuntos desalud pblica(epidemiologa,bioestadstica, etc.) y propsitos econmicos y sociales (tasa dedesempleo,econometra, etc.) necesit de avances sustanciales en las prcticas estadsticas.Hoy el uso de la estadstica se ha extendido ms all de sus orgenes como un servicio alEstadoo al gobierno. Personas y organizaciones usan la estadstica para entender datos y tomar decisiones en ciencias naturales y sociales, medicina, negocios y otras reas. La estadstica es entendida generalmente no como un sub-rea de las matemticas sino como una ciencia diferente aliada. Muchasuniversidadestienen departamentos acadmicos de matemticas y estadstica separadamente. La estadstica se ensea en departamentos tan diversos comopsicologa,educacinysalud pblica.

Regresin lineal Grficos dedispersinen estadstica.Al aplicar la estadstica a un problema cientfico, industrial o social, se comienza con un proceso opoblacina ser estudiado. Esta puede ser la poblacin de un pas, de granos cristalizados en una roca o de bienes manufacturados por una fbrica en particular durante un periodo dado. Tambin podra ser un proceso observado en varios instantes y los datos recogidos de esta manera constituyen unaserie de tiempo.Por razones prcticas, en lugar de compilar datos de una poblacin entera, usualmente se estudia un subconjunto seleccionado de la poblacin, llamadomuestra. Datos acerca de la muestra son recogidos de manera observacional oexperimental. Los datos son entonces analizados estadsticamente lo cual sigue dos propsitos: descripcin e inferencia.El concepto de correlacin es particularmente valioso. Anlisis estadsticos de unconjunto de datospuede revelar que dos variables (esto es, dos propiedades de la poblacin bajo consideracin) tienden a variar conjuntamente, como si hubiera una conexin entre ellas. Por ejemplo, un estudio del ingreso anual y la edad de muerte podra resultar en que personas pobres tienden a tener vidas ms cortas que personas de mayor ingreso. Las dos variables se dice que estn correlacionadas. Sin embargo, no se puede inferir inmediatamente la existencia de una relacin de causalidad entre las dos variables. El fenmeno correlacionado podra ser la causa de una tercera, previamente no considerada, llamadavariable confusora.Si la muestra es representativa de la poblacin, inferencias y conclusiones hechas en la muestra pueden ser extendidas a la poblacin completa. Un problema mayor es el de determinar cun representativa es la muestra extrada. La estadstica ofrece medidas para estimar y corregir por aleatoriedad en la muestra y en el proceso de recoleccin de los datos, as como mtodos para disear experimentos robustos como primera medida, verdiseo experimental.El concepto matemtico fundamental empleado para entender la aleatoriedad es el deprobabilidad. Laestadstica matemtica(tambin llamada teora estadstica) es la rama de lasmatemticas aplicadasque usa lateora de probabilidadesy elanlisis matemticopara examinar las bases tericas de la estadstica.El uso de cualquier mtodo estadstico es vlido solo cuando el sistema o poblacin bajo consideracin satisface los supuestos matemticos del mtodo. El mal uso de la estadstica puede producir serios errores en la descripcin e interpretacin, lo cual podra llegar a afectar polticas sociales, la prctica mdica y la calidad de estructuras tales como puentes y plantas de reaccin nuclear.Incluso cuando la estadstica es correctamente aplicada, los resultados pueden ser difciles de interpretar por un inexperto. Por ejemplo, el significado estadstico de una tendencia en los datos, que mide el grado al cual la tendencia puede ser causada por una variacin aleatoria en la muestra, puede no estar de acuerdo con el sentido intuitivo. El conjunto de habilidades estadsticas bsicas (y el escepticismo) que una persona necesita para manejar informacin en el da a da se refiere como cultura estadstica.

MTODOS ESTADSTICOSESTUDIOS EXPERIMENTALES Y OBSERVACIONALESUn objetivo comn para un proyecto de investigacin estadstica es investigar la causalidad, y en particular extraer una conclusin en el efecto que algunos cambios en los valores de predictores ovariables independientestienen sobre una respuesta ovariables dependientes. Hay dos grandes tipos de estudios estadsticos para estudiar causalidad: estudios experimentales y observacionales. En ambos tipos de estudios, el efecto de las diferencias de una variable independiente (o variables) en el comportamiento de una variable dependiente es observado. La diferencia entre los dos tipos es la forma en que el estudio es conducido. Cada uno de ellos puede ser muy efectivo.

NIVELES DE MEDICINHay cuatro tipos de mediciones o escalas de medicin en estadstica:niveles de medicin(nominal,ordinal,intervaloyrazn). Tienen diferentes grados de uso en lainvestigacinestadstica. Las medidas de razn, en donde un valor cero y distancias entre diferentes mediciones son definidas, dan la mayor flexibilidad en mtodos estadsticos que pueden ser usados para analizar los datos. Las medidas de intervalo tienen distancias interpretables entre mediciones, pero un valor cero sin significado (como las mediciones de coeficiente intelectual o temperatura en gradosCelsius). Las medidas ordinales tienen imprecisas diferencias entre valores consecutivos, pero un orden interpretable para sus valores. Las medidas nominales no tienen ningn rango interpretable entre sus valores.La escala de medida nominal, puede considerarse la escala de nivel ms bajo. Se trata de agrupar objetos en clases. La escala ordinal, por su parte, recurre a la propiedad de orden de los nmeros. La escala de intervalos iguales est caracterizada por una unidad de medida comn y constante. Es importante destacar que el punto cero en las escalas de intervalos iguales es arbitrario, y no refleja en ningn momento ausencia de la magnitud que estamos midiendo. Esta escala, adems de poseer las caractersticas de la escala ordinal, permite determinar la magnitud de los intervalos (distancia) entre todos los elementos de la escala. La escala de coeficientes o Razones es el nivel de medida ms elevado y se diferencia de las escalas de intervalos iguales nicamente por poseer un punto cero propio como origen; es decir que el valor cero de esta escala significa ausencia de la magnitud que estamos midiendo. Si se observa una carencia total de propiedad, se dispone de una unidad de medida para el efecto. A iguales diferencias entre los nmeros asignados corresponden iguales diferencias en el grado de atributo presente en el objeto de estudio.

ESTADSTICA SIMPLE Suponga que en el curso de un estudio de ingeniera se realizaron varias mediciones de una cantidad especfica. Por ejemplo, la tabla PT5.1 contiene 24 lecturas del coeficiente de expansin trmica del acero. Tomados as, los datos ofrecen una informacin limitada (es decir, que los valores tienen un mnimo de 6.395 y un mximo de 6.775). Se obtiene una mayor comprensin al analizar los datos mediante uno o ms estadsticos, bien seleccionados, que den tanta informacin como sea posible acerca de las caractersticas especficas del conjunto de datos. Esos estadsticos descriptivos se seleccionan para

4.1.2. Mtodo de mnimos cuadrados.Cuando los datos tienen errores sustanciales, la interpolacin polinomial es inapropiada y puede dar resultados poco satisfactorios cuando se utiliza para predecir valores intermedios. Con frecuencia los datos experimentales son de este tipo Ahora, si un polinomio de interpolacin de sexto grado se ajusta a estos datos pasar exactamente a travs de todos los puntos. Sin embargo, a causa de la variabilidad en los datos, la curva oscila mucho en el intervalo entre los puntos. En particular, los valores interpolados para x = 1.5 y x = 6.5 parecen estar bastante ms all del rango sugerido por los datos. Una estrategia ms apropiada en tales casos consiste en obtener una funcin de aproximacin que se ajuste a la forma o a la tendencia general de los datos, sin coincidir necesariamente en todos los puntos. Aunque tales procedimientos a ojo apelan al sentido comn y son vlidos para clculos superficiales, resultan deficientes por ser arbitrarios. Es decir, a menos que los puntos definan una lnea recta perfecta (en cuyo caso la interpolacin resultara apropiada), diferentes analistas dibujaran lneas distintas. Para dejar a un lado dicha subjetividad se debe encontrar algn criterio para establecer una base para el ajuste. Una forma de hacerlo es obtener una curva que minimice la discrepancia entre los puntos y la curva. Una tcnica para lograr tal objetivo, llamada regresin por mnimos cuadrados, se analizar en este captulo.

4.1.2.1. Regresin lineal simple.El ejemplo ms simple de una aproximacin por mnimos cuadrados es ajutar una lnea recta a un conjunto de observaciones definidas por puntos: (x1, y1), (x2, y2),, (xn, yn). La expresin matemtica para la lnea recta es y = a0 + a1x + e

Donde a0 y a1 son coeficientes que representan la interseccin con el eje y y la pendiente, respectivamente, e es el error, o diferencia, entre el modelo y las observaciones, el cual se representa al reordenar la ecuacin, como e = y a0 a1x As, el error o residuo es la discrepancia entre el valor verdadero de y y el valor aproximado, a0 + a1x, que predijo la ecuacin lineal.Criterio para un mejor ajuste Una estrategia para ajustar una mejor lnea a travs de los datos ser minimizar la suma de los errores residuales de todos los datos disponibles, como sigue:

4.1.2.2. Regresin polinomial.

Regresin polinomial es el ajuste de polinomios a los datos mediante una regresin polinomial el procedimiento de mnimos cuadrados se puede extender al ajuste de datos con un polinomio de grado superior.Ejemplo: Supongamos que ajustamos un polinomio de segundo grado o cuadrticoEn este caso la suma de los cuadrados de los residuos es:

Al seguir el procedimiento de la seccin anterior obtenemos la derivada de la ecuacin con respecto a cada uno de los coeficientes desconocidos del polinomio:

Estas ecuaciones se igualan a cero y se rodean para desarrollar el siguiente conjunto de ecuaciones normales:

Donde las sumatorias van desde i=1 hasta n las 3 ecuaciones son lineales y tenemos 3 incgnitas ao, a1 y a2. Los coeficientes de las incgnitas se evalan de forma directa a partir de los datos observados.*El problema de determinar un polinomio de segundo grado por mnimos cuadrados es equivalente a resolver un sistema de 3 ecuaciones lineales simultneas.El anlisis anterior se puede extender fcilmente a este caso ms general as la determinacin de los coeficientes de un polinomio de m- ensimo grado es equivalente a resolver un sistema de m+1 entonces el error estardar se formulara como:

Se divide n-(m+1) ya que m+1 son los coeficientes de los datos obtenidos ao, a1..am se utilizan para calcular sr Adems del error estardar tambin se calcula un coeficiente de determinacin para la regresin polinomial con la ecuacin

El procedimiento de mnimos cuadrados se puede extender fcilmente al ajuste dedatos con un polinomio de grado superior. Por ejemplo, suponga que ajustamos un polinomiode segundo grado o cuadrtico:y = a0 + a1x + a2x2 + eEn este caso, la suma de los cuadrados de los residuos es [compare con la ecuacin (17.3)]

Se toma la derivada de la ecuacion con respecto a cada uno de los coefiecientes del polinomio, para obtener:

. .. .. .

Estas ecuaciones se pueden igular a cero y reordenar de tal forma que se obtenga el siguiente conjunto de ecuaciones normales:

. .. .. .

En donde todas las sumatorias van desde i=i hasta n. Notese que las m+1 ecuaciones anteriores son lineales y tienen m+1 incgnitas:Los coeficientes de las incgnitas se pueden calcular directamente de los datos observados. Por lo tanto, el problema de determinar polinomios de grado m con mnimos cuadrados es equivalente a resolver un sistema de m+1 ecuaciones lineales simultaneas.4.1.2.3. Regresin lineal mltiple.

Una extensin til de la regresin lineal es el caso en el que y es una funcin lineal dedos o ms variables independientes. Por ejemplo, y podra ser una funcin lineal de x1y x2, como eny = a0 + a1x1 + a2x2 + eEn particular tal ecuacin es til cuando se ajustan datos experimentales donde la variablesujeta a estudio es una funcin de otras dos variables. En este caso bidimensional,la lnea de regresin se convierte en un plano

ANLISIS DE REGRESIN MLTIPLEDispone de una ecuacin con dos variables independientes adicionales:

Se puede ampliar para cualquier nmero "m" de variables independientes:

Parapoderresolver y obteneryen una ecuacin de regresin mltiple elclculose presenta muy tediosa porque se tiene atender 3 ecuaciones que se generan por el mtodo de mnimo de cuadrados:

Para poder resolver se puede utilizarprogramasinformticos como AD+, SPSS y Minitab yExcel.EL ERROR ESTNDAR DE LA REGRESIN MLTIPLEEs una medida de dispersin la estimacin se hace ms precisa conforme el grado de dispersin alrededor del plano de regresin se hace mas pequeo.Para medirla se utiliza la formula:

Y : Valores observados en la muestra: Valores estimados a partir a partir de la ecuacin de regresinn : Nmero de datosm : Nmero de variables independientesEl COEFICIENTE DE DETERMINACIN MLTIPLEMide la tasa porcentual de los cambios de Y que pueden ser explicados por,ysimultneamente.

4.1.2.4. Regresin no lineal

El mtodo de Gauss-Newton es un algoritmo para minimizar la suma de los cuadrados de los residuos entre los datos y las ecuaciones no lineales. El concepto clave detrs de esta tcnica es que se utiliza una expansin en serie de Taylor para expresar la ecuacin no lineal original en una forma lineal aproximada. Entonces, es posible aplicar la teora de mnimos cuadrados para obtener nuevas estimaciones de los parmetros que se mueven en la direccin que minimiza el residuo.Para ilustrar cmo se logra esto, primero se expresa de manera general la relacin entre la ecuacin no lineal y los datos, de la manera siguiente:yi = f(xi; a0, a1, , am) + ei donde yi = un valor medido de la variable dependiente, f(xi; a0, a1, , am) = la ecuacin que es una funcin de la variable independiente xi y una funcin no lineal de los par metros a0, a1, , am, y ei = un error aleatorio. Por conveniencia, este modelo se expresa en forma abreviada al omitir los parmetros,

yi = f(xi) + ei

El modelo no lineal puede expandirse en una serie de Taylor alrededor de los valores de los parmetros y cortarse despus de las primeras derivadas. Por ejemplo, para un caso con dos parmetros,

Donde j = el valor inicial, j + 1 = la prediccin, a0 = a0,j+1 a0,j, y a1 = a1,j+1 a1,j. DeEsta forma, hemos linealizado el modelo original con respecto a los parmetros.O en forma matricial [comprela con la ecuacin (17.24)],{D} = [Zj]{A} + {E}Donde [Zj] es la matriz de las derivadas parciales de la funcin evaluadas en el valorInicial j,

Donde n = el nmero de datos y fi /ak = la derivada parcial de la funcin con respecto al k-simo parmetro evaluado en el i-simo dato. El vector {D} contiene las diferencias entre las mediciones y los valores de la funcin,

Y el vector {A} contiene los cambios en los valores de los parmetros,

Si se aplica la teora de los mnimos cuadrados lineales a la ecuacin se obtienen las siguientes ecuaciones normales [recuerde la ecuacin:[[Zj]T[Zj]]{A} = {[Zj]T{D}} As, el procedimiento consiste en resolver de la ecuacin para {A}, que se utiliza para calcular valores mejorados de los parmetros, como en a0,j+1 = a0,j + a0Y a1,j+1 = a1,j + a1Este procedimiento se repite hasta que la solucin converge, es decir, hasta que

Est por debajo de un criterio de terminacin aceptable.

4.2. Interpolacin.Con frecuencia se encontrar con que tiene que estimar valores intermedios entre datos definidos por puntos. El mtodo ms comn que se usa para este propsito es la interpolacin polinomial. Recuerde que la frmula general para un polinomio de n-simo grado es f(x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn Dados n + 1 puntos, hay uno y slo un polinomio de grado* n que pasa a travs de todos los puntos. Por ejemplo, hay slo una lnea recta (es decir, un polinomio de primer grado) que une dos puntos. De manera similar, nicamente una parbola une un conjunto de tres puntos. La interpolacin polinomial consiste en determinar el polinomio nico de n-simo grado que se ajuste a n + 1 puntos. Este polinomio, entonces, proporciona una frmula para calcular valores intermedios.Aunque hay uno y slo un polinomio de n-simo grado que se ajusta a n + 1 puntos, existe una gran variedad de formas matemticas en las cuales puede expresarse este n polinomio. En este captulo describiremos dos alternativas que son muy adecuadas para implementarse en computadora: los polinomios de Newton y de Lagrange.

4.2.1. Polinomios de interpolacin condiferencias divididas de Newton

Como se dijo antes, existe una gran variedad de formas alternativas para expresar una interpolacin polinomial. El polinomio de interpolacin de Newton en diferencias divididas es una de las formas ms populares y tiles. Antes de presentar la ecuacin general, estudiaremos las versiones de primero y segundo grados por su sencilla interpretacin visual.La forma ms simple de interpolacin consiste en unir dos puntos con una lnea recta.Dicha tcnica, llamada interpolacin lineal, se ilustra de manera grfica. Utilizando tringulos semejantes,

Reordenndose se tiene

Que es una frmula de interpolacin lineal. La notacin f1(x) designa que ste es un polinomio de interpolacin de primer grado. Observe que adems de representar la pendiente de la lnea que une los puntos, el trmino [ f(x1) f(x0)]/(x1 x0) es una aproximacin en diferencia dividida finita a la primer derivada. En general, cuanto menor sea el intervalo entre los datos, mejor ser la aproximacin. Esto se debe al hecho de que, conforme el intervalo disminuye, una funcin continua estar mejor aproximada por una lnea recta. Esta caracterstica se demuestra en el siguiente ejemplo.

4.2.2. Polinomios de interpolacin de Lagrange.

El polinomio de interpolacin de Lagrange es simplemente una reformulacin del polinomio de Newton que evita el clculo de las diferencias divididas, y se representa de manera concisa como

Donde usamos polinomios bsicos de Lagrange:

Expandiendo el producto para verlo mejor:

Estos polinomios bsicos de Lagrange se construyen con una propiedad:

Entonces es muy fcil comprobar que estos polinomios pasan por todos la n+1 puntos dados (es decir, es un polinomio de interpolacin):El grado del polinomio de interpolacin de Lagrange es igual o menor que n. Es el menor grado posible. El polinomio encontrado es nico. Hay otras maneras de calcular este polinomio (con sus ventajas e inconvenientes). La forma de Lagrange es sencilla y se comprueba con facilidad que es un polinomio de interpolacin y su grado. Pero para conocer los coeficientes del polinomio hay que simplificar los trminos. Otra caracterstica de esta forma de encontrar el polinomio es que si aadimos o quitamos puntos hay que recalcularlo otra vez.Vamos a ver algunos ejemplos. El ms sencillo es una recta. Dados dos puntos (x0, y0) y (x1, y1) hay exactamente una recta que pasa por esos dos puntos:

Dados tres puntos (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2), con coordenadas x diferentes, o bien los tres puntos estn en una recta o hay un polinomio de segundo grado (una parbola) que pasa por esos tres puntos. En cualquier caso, hay un polinomio de grado como mucho 2 que pasa por esos tres puntos.

Si tenemos 4 puntos, podemos encontrar un polinomio de grado 3 (o quizs una parbola o una lnea recta en algunos casos) que pasa por esos 4 puntos:

Una funcin polinmica de grado 4 pasa a travs de 5 puntos:

Usaremos los polinomios de interpolacin de Lagrange para construir aplicaciones interactivas relacionadas con funciones polinmicas, susderivadase integrales.Lasfunciones polinmicascon coeficientes reales o complejos de grado n tienen siempre n races (reales o complejas)(Teorema fundamental del lgebra):

4.3. Derivacin numrica. Diferencias finitasDerivacin numricaLaderivacin numricaes una tcnica deanlisis numricopara calcular una aproximacin a laderivadade unafuncinen un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.Formulacin mediante diferencias finitasPor definicin la derivada de una funcines:

Las aproximaciones numricas que podamos hacer (para h > 0) sern:Diferencias hacia adelante:

Diferencias hacia atrs:

La aproximacin de la derivada por este mtodo entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximacin numrica al problema dado:Diferencias centrales:

Diferencias finitasUnadiferencia finitaes una expresin matemtica de la formaf(x+b) f(x+a). Si una diferencia finita se divide porbase obtiene una expresin similar alcocientediferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar deinfinitesimales. La aproximacin de las derivadas por diferencias finitas desempea un papel central en losmtodos de diferencias finitasdelanlisis numricopara la resolucin deecuaciones diferenciales.Diferencias finitas centradas y laterales

Diferencias finitas.Slo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central.Unadiferencia progresiva,adelantadaoposteriores una expresin de la forma

Dependiendo de la aplicacin, el espaciadohse mantiene constante o se toma el lmiteh 0.Unadiferencia regresiva,atrasadaoanteriores de la forma

Finalmente, ladiferencia centrales la media de las diferencias anteriores y posteriores. Viene dada por

Relacin con las derivadasLaderivadade la funcinfen un puntoxest definida por ellmite

Sihtiene un valor fijado no nulo, en lugar de aproximarse a cero, el trmino de la derecha se convierte en

Por lo tanto, la diferencia posterior dividida porhaproxima a la derivada cuandohes pequeo. El error de esta aproximacin puede derivarse delteorema de Taylor. Asumiendo quefes continuamente diferenciable, el error es:

La misma frmula es vlida en la diferencia anterior:

Sin embargo, la diferencia central lleva a una aproximacin ms ajustada. Su error es proporcional al cuadrado del espaciado (sifes dos veces continuamente diferenciable).

Clculo de diferencias finitasLa diferencia anterior puede considerarse unoperador diferencialque hace corresponder la funcinfcon f. El teorema de Taylor puede expresarse por la frmula

DondeDdenota el operador derivada, que hace correspondercon su derivada, es decir,Formalmente, invirtiendo la exponencial,

Esta frmula sigue siendo vlida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a unpolinomio. Incluso para funciones analticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de unaserie asinttica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones ms precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros trminos de la serie llevan a:

El error de la aproximacin es del orden deh2.Las frmulas anlogas para los operadores posterior y central son

Derivadas de rdenes mayoresDe forma anloga se pueden obtener aproximaciones en diferencias finitas para derivadas de orden mayor y operadores diferenciales. Por ejemplo usando la frmula de la diferencia central mostrada anteriormente con un espaciado deparayy aplicando la frmula de diferencia central a la derivada deenx, obtenemos la aproximacin de la diferencia central de la segunda derivada def:

Mtodos de diferencias finitasOtro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes diferenciales a medida quehse acerca a cero. As que se pueden usar diferencias finitas para aproximar derivadas. Esta tcnica se emplea a menudo enanlisis numrico, especialmente enecuaciones diferenciales numricas ordinarias,ecuaciones en diferenciasyecuacin en derivadas parciales. Los mtodos resultantes reciben el nombre demtodos de diferencias finitas.Las aplicaciones habituales de los mtodos de diferencias finitas son en los campos de la computacin y reas de la ingeniera como ingeniera trmica o mecnica de fluidos.

ConclusinDespus de elabora esta investigacin, me permiti conocer mas sobre Regresin, interpolacin y derivacin numricas, tambin conocer soluciones de ecuaciones con los mtodos estadsticos como regresin lineal, regresin de polinomio, interpolacin entre otros. Tambin en relacionar la estadsticas en esta materia.

RecomendacionesPracticar los ejercicios de los mtodos mencionados e investigar emplear otros mtodos para soluciones que pueda ver y estudiar mas afondo los mtodos estadstico como la media aritmtica interpolacin, regresin entre otros, ya que para esto permitir aplicar mas fcilmente en mtodos estadsticos, tambin utilizar software matemticos para la solucin de funciones, como Excel.

BIBLIOGRAFIAAntonio Huerta. Cerezuela,Josep Sarrate,Antonio Rodrguez-Ferran. (2001). Mtodos numricos: introduccin, aplicaciones y programacin. Jordi Girona salgado, Barcelona: UPC.Antonio Nieves. Federico C. Domnguez. (2005). mtodos numricos aplicados ala ingeniera. Mxico: cecsa.Justino Alavez Ramrez. (2005). Mtodos numricos. Mexico: primera edicin.Steven C. Chapra. Raymond P. Canale. (2007). Mtodos numricos para ingenieros. Impreso en Mxico: McGraw-Hill.