4. EJES.Una flecha es un elemento rotatorio, por lo general de
seccin transversal circular, que se emplea para transmitir potencia
o movimiento. Ella constituye el eje de rotacin u oscilacin de
elementos como engranes, poleas, volantes de inercia, manivelas,
catarinas y miembros similares y, adems, controla la geometra de su
movimiento. Un eje es un elemento no giratorio que no transmite par
de torsin que se utiliza para soportar ruedas rotatorias, poleas y
elementos parecidos. Un eje no giratorio puede disearse con
facilidad y analizarse como una viga esttica, pero no justifica la
atencin especial que se le da en este captulo a los ejes giratorios
que estn sometidos a carga por fatiga.
4.1. ANLISIS POR RESISTENCIA.
Un eje de transmisin es un elemento de seccin circular cuya
funcin es la de transmitir movimiento y potencia. La transmisin del
movimiento se realiza a travs de otros elementos tales como
engranes, poleas, cadenas, etc.
Disear un eje consiste bsicamente en la determinacin del dimetro
correcto del eje para asegurar una rigidez y una resistencia
satisfactorias, cuando el eje transmite potencia bajo diferentes
condiciones de carga.
El diseo de un eje debe estudiarse a partir de los siguientes
puntos de vista:
1.- Anlisis por resistencia. Bajo cargas estticas. Bajo cargas
dinmicas.
2.- Anlisis por rigidez. Clculo de deformaciones. Velocidades
crticas.4.1.1. BAJO CARGAS ESTTICAS.En un eje redondo macizo de
dimetro d, que se somete a cargas de flexin, axiales y de torsin se
desarrollan los siguientes esfuerzos:
a) (esfuerzo por flexin y carga axial).
b) (esfuerzo por torsin).
Para ejes huecos:c)
d)
Los esfuerzos principales no nulos son:
(4.1)
El esfuerzo cortante mximo es: (4.2)El esfuerzo de Von Mises
(energa de distorsin mxima) es: (4.3)Sustituyendo las ecuaciones
(a) y (b) en (3.2) y (3.3) se tiene: (4.4) (4.5)Si el anlisis o
diseo ha de ser con base a la teora del esfuerzo cortante mximo,
entonces el valor admisible de es: (4.6)Donde:
Con base a la teora de la energa de distorsin se tiene que:
(4.7)En la mayora de los casos la componente axial F es nula, o es
tan pequea que su efecto puede despreciarse. Con F = 0 las
ecuaciones (4.4) y (4.5) se transforman en: (4.8)
(4.9)
Si utilizamos el esfuerzo cortante admisible a partir de la
ecuacin (4.8) tenemos que: (4.10) Si se conoce entonces: (4.11)Si
utilizamos la teora de la energa de distorsin mxima, entonces:
(4.12)Si se conoce entonces (4.13)
4.1.2. BAJO CARGAS DINMICAS.En cualquier eje rotatorio cargado
por momentos estacionarios de flexin y torsin, actuarn esfuerzos
por flexin completamente invertida debido a la rotacin del rbol,
pero el esfuerzo torsional permanecer estable. Por lo tanto se
tiene que:a) (amplitud del esfuerzo atenuante)
b) (esfuerzo de punto medio o estable) De acuerdo con lo
anterior se han desarrollado una serie de teoras para el diseo por
fatiga, siendo las ms populares:
Relacin elptica ASME para la fatiga y la energa de distorsin
para el esfuerzo. (Norma ANSI B106.1M-1985).
(4.14)
Relacin de Goodman modificada para la fatiga y la energa de
distorsin para el esfuerzo.
(4.15)En donde
(4.16)Donde:
4.2 RESTRICCIONES GEOMTRICAS.El diseador tiene libertad para
adoptar cualquier configuracin geomtrica de ajuste para ejes y
agujeros que garantice la funcin propuesta. Se ha acumulado una
experiencia suficiente con situaciones comnmente recurrentes para
hacer normas tiles. En Estados Unidos existen dos normas de lmites
y ajustes: una se basa en unidades del sistema ingls y la otra en
unidades del sistema mtrico. Las normas difieren en nomenclatura,
definiciones y organizacin.No servira de nada estudiar por separado
cada uno de los sistemas. La versin mtrica es la ms reciente de las
dos y est bien organizada, por lo que aqu slo se presenta esta
versin, pero se incluye un conjunto de conversiones al sistema
ingls para permitir que se utilice el mismo sistema con cualquier
tipo de unidades.Al utilizar la norma, las letras maysculas siempre
se refieren al agujero; las minsculas se usan para el eje.Las
definiciones que se dan en la figura 7-20 se explican de la manera
siguiente: Tamao bsico es el tamao al cual se asignan lmites o
desviaciones y es el mismo para ambos elementos del ajuste.
Desviacin es la diferencia algebraica entre un tamao y el tamao
bsico correspondiente. Desviacin superior es la diferencia
algebraica entre el lmite mximo y el tamao bsico correspondiente.
Desviacin inferior es la diferencia algebraica entre el lmite mnimo
y el tamao bsico correspondiente. Desviacin fundamental es la
desviacin superior o inferior, en funcin de cul se aproxime ms al
tamao bsico. Tolerancia es la diferencia entre los lmites de tamao
mximo y mnimo de una parte. Grado de tolerancia internacional es el
conjunto de nmeros IT (siglas en ingls de la tolerancia
internacional) que designan grupos de tolerancia tales que las
tolerancias de un nmero IT en particular tengan el mismo nivel
relativo de exactitud, pero varen segn el tamao bsico. Agujero base
representa un sistema de ajustes correspondientes a un tamao de
agujero bsico. La desviacin fundamental es H. rbol base representa
un sistema de ajustes correspondiente a un tamao de eje bsico. La
desviacin fundamental es h. Aqu no se incluye al sistema de eje
base.
La magnitud de la zona de tolerancia es la variacin de tamao de
la parte y es igual para las dimensiones internas y externas. Las
zonas de tolerancia se especifican en nmeros de grado de tolerancia
internacional, llamados nmeros IT. Los nmeros de grado menores
especifican una zona de tolerancia menor, y varan de IT 0 a IT16,
pero para los ajustes preferentes slo se necesitan los grados IT6 a
IT11. En las tablas de la A-11 a la A-13 se presentan los ajustes
para tamaos bsicos de hasta 16 pulg o 400 mm.En la norma se emplean
letras de posicin de tolerancia, donde las letras maysculas
representan dimensiones internas (agujeros) y las minsculas denotan
dimensiones externas (ejes). Como se muestra en la figura 7-20, la
desviacin fundamental localiza la zona de tolerancia con relacin al
tamao bsico.4.3 EJES HUECOS.La figura muestra un eje circular de
seccin transversal uniforme cargado en sus extremos por los pares
de torsin T que lo tuercen alrededor de su eje longitudinal. Puede
demostrarse experimentalmente que las secciones transversales
perpendiculares al eje antes de la aplicacin de la carga,
permanecen planas y perpendiculares despus de las cargas T han sido
aplicadas. El dimetro de la barra no cambia y las lneas radiales
permanecen rectas y radiales despus de la torcedura.La nica
deformacin en la barra es la rotacin de las secciones transversales
entre s. Como se muestra en la figura 3.1, la seccin transversal
del fondo ha girado un ngulo con respecto a la de la parte
superior.Los lados de un elemento sobre la superficie cilndrica de
radio no cambian de longitud, pero los ngulos en las esquinas
cambian un ngulo respecto a sus valores originales de 90. El
elemento est sometido as a un cortante puro. Segn se aprecia en la
figura 3.1,. La sustitucin de la ley de Hooke, , donde G es e
modulo de elasticidad en cortante, da.
(1)Como son importantes en la figura 3.1, el valor del esfuerzo
cortante vara directamente con el radio .Si la porcin de la barra
arriba del elemento en la figura 3-1 se retira, el par del esfuerzo
cortante , al sumarlo o integrarlo sobre toda la seccin
transversal, ser igual al par de torsin aplicado T. Por tanto,
El lado derecho se multiplica y despus se divide entre . Por la
ecuacin (1), la razn es una constante y puede retirarse de la
integral. As,
En la ltima forma de la ecuacin (b), el smbolo , llamado momento
polar de inercia, ha sido sustituido por la integral .El valor
mximo del esfuerzo cortante se presenta en la superficie externa,
donde . Por consiguiente, de la ecuacin (b)
La similitud de la ecuacin (2) con la ecuacin para el esfuerzo
de flexin, , debe ser patente. La razn se llama mdulo de seccin del
eje.Para una seccin transversal circular slida,
Debe notarse que el valor de J para un crculo es dos veces mayor
que el correspondiente valor de I. Para un eje hueco con dimetro
exterior y diametro interior , el valor neto del momento polar de
inercia es igual al valor de J para el crculo exterior menos la J
del crculo interior. Por consiguiente, para un eje hueco.
La eliminacin de entre las ecuaciones (b) y (1) da
Esta ecuacin puede memorizarse fcilmente cuando se advierte su
parecido con la ecuacin (4), del captulo 1, , para deformacin
axial.El ngulo debe expresarse en radianes. Recuerde que 1 es igual
a o bien 1 rad= 57.296.
4.4 ANLISIS POR RIGIDEZ.
El problema de la deflexin en un eje es de suma importancia
cuando este efecto es una limitante en el diseo del mismo.Para
determinar la deflexin de un eje en cualquier punto, podemos
utilizar los siguientes criterios:a).- Mtodo de la doble
integracin.b).- Mtodo del rea de momentos.El mtodo de la doble
integracin recomendado para ejes de seccin uniforme, se basa
principalmente en determinar la ecuacin de la curva elstica, a
partir de la ecuacin de momentos.
(1)Resolviendo la ecuacin (1) y aplicando las condiciones
iniciales, se obtiene una ecuacin de la forma (2)A partir de la
ecuacin (2), se obtienen las deflexiones en los puntos deseados.El
mtodo del rea de momentos recomendado para ejes de seccin variable,
est fundamentado en dos teoremas bsicos:El primer teorema dice: El
ngulo de las tangentes A y B es igual al rea del diagrama de
momentos flectores entre esos dos puntos divididos por el producto
EI. (Ver figura 4.1).
(3)El segundo teorema dice: La distancia vertical entre el punto
B de la elstica y la tangente trazada a la curva por A es igual al
momento respecto a la vertical por B del rea del diagrama de
momentos flectores entre A y B divididas por EI. (Ver figura 4.1).
(4)
4.5 VELOCIDAD CRTICA.Cuando un eje gira, la excentricidad
ocasiona una deflexin debida a la fuerza centrfuga que se resiste
por la rigidez a flexin del eje EI. Siempre y cuando las
deflexiones sean pequeas, no se ocasiona ningn dao. Sin embargo,
otro problema potencial se llama velocidades crticas: a ciertas
velocidades el eje es inestable, y las deflexiones se incrementan
sin un lmite superior. Por fortuna, aunque la forma de la deflexin
dinmica se desconoce, mediante una curva de deflexin esttica se
obtiene una estimacin excelente de la velocidad crtica. Esa curva
cumple con la condicin de frontera de la ecuacin diferencial
(momento y deflexin cero en ambos cojinetes) y la energa del eje no
es en particular sensible a la anatoma de la curva de deflexin.El
eje, debido a su propia masa, tiene una velocidad crtica. De igual
forma, el ensamble de elementos a un eje tiene una velocidad crtica
que es mucho menor que la velocidad crtica intrnseca del eje. La
estimacin de estas velocidades crticas (y sus armnicas) es una
tarea del diseador.
Donde m es la masa por unidad de longitud, A el rea de la seccin
transversal y el peso especfico. En el caso de un ensamble de
elementos, el mtodo de Rayleigh para masas concentradas
establece:
Donde es el peso de la i-sima ubicacin y yi es la deflexin en la
ubicacin del i-simo cuerpo.Para contrarrestar la complejidad mayor
del detalle, se adopta un punto de vista til. Puesto que el eje es
un cuerpo elstico, se utilizan coeficientes de influencia, que son
las deflexiones transversales en la ubicacin i de un eje, debida a
una carga unitaria en la ubicacin j del eje. De la tabla A-9-6 se
obtiene, para una viga simplemente apoyada con una sola carga
unitaria, como la que se muestra en la figura 7-13,
Para tres cargas los coeficientes de influencia se presentaran
como:
El teorema de reciprocidad de Maxwell establece que hay una
simetra respecto de la diagonal principal compuesta por , de la
forma . Esta relacin reduce el trabajo de encontrar los
coeficientes de influencia. A partir de los coeficientes de
influencia anteriores, se pueden determinar las deflexiones , para
lo cual se emplea la ecuacin (7-23) de la manera siguiente:
Las fuerzas Fi pueden surgir del peso sujeto o de las fuerzas
centrfugas . El conjunto de ecuaciones (7-25), escrito con las
fuerzas de inercia, se representa como
Que pueden reescribirse como
Esta idea puede ampliarse a un eje con n cuerpos:
Esta expresin se llama ecuacin de Dunkerley. Si se desprecia el
trmino o los trminos de modo superior, la estimacin de la primera
velocidad crtica es menor de lo que en realidad sucede.Como en la
ecuacin anterior no aparecen cargas, se deduce que si cada carga se
pudiera colocar en una ubicacin convenientemente transformada en
una carga equivalente, entonces la velocidad crtica de una serie de
cargas se podra determinar sumando las cargas equivalentes, todas
colocadas en una sola ubicacin conveniente. Para la carga de la
estacin 1, colocada en el centro del claro y denotada con el
subndice c, la carga equivalente se determina mediante:
4.6 MATERIALES PARA EJES.La deflexin no se ve afectada por la
resistencia sino por la rigidez, representada por el mdulo de
elasticidad, que es esencialmente constante en todos los aceros.
Por esa razn, la rigidez no puede controlarse mediante decisiones
sobre el material, sino slo por decisiones geomtricas.La
resistencia necesaria para soportar esfuerzos de carga afecta la
eleccin de los materiales y sus tratamientos. Muchos ejes estn
hechos de acero de bajo carbono, acero estirado en fro o acero
laminado en caliente, como lo son los aceros ANSI 1020-1050.A
menudo no est garantizado el incremento significativo de la
resistencia proveniente del tratamiento trmico ni el contenido de
alta aleacin. La falla por fatiga se reduce moderadamente mediante
el incremento de la resistencia, y despus slo a cierto nivel antes
de que los efectos adversos en el lmite de resistencia a la fatiga
y la sensibilidad a la muesca comience a contrarrestar los
beneficios de una resistencia mayor. Una buena prctica consiste en
iniciar con un acero de bajo o medio carbono de bajo costo, como
primer paso en los clculos del diseo. Si las consideraciones de
resistencia resultan dominar sobre las de deflexin, entonces debe
probarse un material con mayor resistencia, lo que permite que los
tamaos del eje se reduzcan hasta que el exceso de deflexin adquiera
importancia. El costo del material y su procesamiento debe
ponderarse en relacin con la necesidad de contar con dimetros de
eje ms pequeos. Cuando estn garantizadas, las aleaciones de acero
tpicas para tratamiento trmico incluyen ANSI 1340-50, 3140-50,
4140, 4340, 5140 y 8650.Por lo general, los ejes no requieren
endurecimiento superficial a menos que sirvan como un recubrimiento
real en una superficie de contacto. Las elecciones tpicas para el
material para el endurecimiento superficial incluyen los grados de
carburizacin ANSI 1020, 4340, 4820 y 8620.Por lo general, el acero
estirado en fro se usa para dimetros menores de 3 pulgadas. El
dimetro nominal de la barra puede dejarse sin maquinar en reas que
no requieren el ajuste de los componentes. El acero laminado en
caliente debe maquinarse por completo. En el caso de ejes grandes
que requieren la remocin de mucho material, los esfuerzos
residuales pueden tender a causar alabeo. Si la concentricidad es
importante, puede ser necesario maquinar las rugosidades, despus
tratar trmicamente para remover los esfuerzos residuales e
incrementar la resistencia, luego maquinar para el terminado y
llegar a las dimensiones finales.Cuando se debe seleccionar el
material, la cantidad que se producir es un factor sobresaliente.
Para pequeas producciones, el torneado es el proceso de formado ms
comn. Un punto de vista econmico puede requerir la eliminacin de
una cantidad mnima de material.La alta produccin puede permitir un
mtodo de conformado conservador de volumen (formado en caliente o
en fro, fundicin) y un mnimo de material en el eje puede
convertirse en una meta de diseo. Se puede especificar el hierro
fundido si la cantidad de produccin es alta, y los engranes debern
fundirse de manera integral con el eje.Las propiedades del eje
dependen localmente de su historia: trabajo en fro, formado en fro,
laminado de los rasgos del filete, tratamiento trmico, incluyendo
el medio de temple, agitacin y rgimen de templado.El acero
inoxidable puede resultar apropiado para algunos entornos.4.7
FLECHAS FLEXIBLES.4.8 CIGEALES.Para determinar los esfuerzos en un
cigeal, debe determinarse la carga en cada una de las diversas
partes de ste. Un ejemplo tpico se muestra en la figura 3-16(a),
que ilustra una compresora de aire impulsada por banda y de un solo
cilindro. Suponga que se conocen las dimensiones de la mquina y que
se desea encontrar los esfuerzos en el brazo CD del cigeal. Con el
dimetro interior del cilindro y la presin de aire, la fuerza sobre
el pistn puede determinarse. Dibujando un triangulo de fuerzas
puede determinarse la fuerza en la biela. Esta fuerza tambin acta
sobre el pasador A. Como se muestra en la figura 3-16(b), esta
fuerza se divide en las componentes tangencial y normal al plano de
la manivela. Las fuerzas en los lados tensos y flojos de la banda
se determinan ahora a partir del par y la suma se divide en
componentes en las direcciones coordenadas, como se muestra en la
figura 3-16(c).
El diagrama de cuerpo libre para la manivela debe ahora
dibujarse como se muestra en la figura 3-16(d), usando las fuerzas
en la biela y en la banda y con las reacciones de apoyo
determinadas por esttica. Es costumbre suponer que toda la carga de
apoyo acta en el centro del cojinete. La manivela puede ahora
cortarse, y las fuerzas y momentos de cada porcin puede
determinarse de manera usual. La figura 3-16(e) muestra el brazo
despus de cortado en el punto medio entre C y D con varias fuerzas
y momentos que actan sobre la superficie cortada.
