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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TUXTLA GUTIÉRREZ
MARCO TEÓRICO UNIDAD 4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
CONTINUAS En el año de 1733, Abraham DeMoivre desarrollo la ecuación matemática de la curva normal, la cual es la base de los fundamentos de la teoría de la estadística inductiva. A esta distribución también se le llama distribución gaussiana, en honor a Karl Friedrich Gauss (1777-1855), quien derivó su ecuación de errores en mediciones repetidas de la misma cantidad…
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 02 de junio de 2011
Bautista León Fidel
Cárdenas de Paz Jairo
Molina González Carolina Isabel
Zepeda Rojas Roberto Carlos
Ingeniería Industrial
Q2-2C
2º semestre
Tabla de contenido Definición de variable aleatoria ......................................................................................................... 3
Distribución normal ......................................................................................................................... 3
Variable aleatoria continua ......................................................................................................... 3
Función de densidad y acumulada .............................................................................................. 4
Aproximación de la normal a la binomial .......................................................................................... 5
Distribución gamma y exponencial ................................................................................................. 5
Variable aleatoria continua de una distribución gamma ............................................................ 6
Variable aleatoria continua de una distribución exponencial .................................................... 6
Bibliografía .................................................................................................................................. 7
DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA
La conjunción entre probabilidad y estadística constituye la base fundamental para la comprensión
de las técnicas que se emplean en la estadística inferencial y la toma de decisiones.
En muchas ocasiones, cuando se repite un experimento se obtienen resultados diferentes, debido
a pequeñas variaciones en variables no controladas en el experimento; por ejemplo, los cambios
en al temperatura ambiental, las variaciones en los instrumentos de medición o pequeñas
impurezas en la composición química de los metales, podría arrojar distintas mediciones en la
resistencia eléctrica de un alambre.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribución continua de la probabilidad más importante en todo el campo de la estadística es la
distribución normal. Esta distribución muestra una grafica en forma de campana, la cual describe
aproximadamente demasiados fenómenos que ocurren en la naturaleza de la industria y la
investigación, como por ejemplo, los experimentos meteorológicos, lluvias y más las podemos
explicar con la distribución normal.
En el año de 1733, Abraham DeMoivre desarrollo la ecuación matemática de la curva normal, la
cual es la base de los fundamentos de la teoría de la estadística inductiva.
A esta distribución también se le llama distribución gaussiana, en honor a Karl Friedrich Gauss
(1777-1855), quien derivó su ecuación de errores en mediciones repetidas de la misma cantidad.
Variable aleatoria continua
Una variable aleatoria continua que tiene una distribución en forma de campana se llama variable
aleatoria normal tal como la siguiente figura:
La ecuación matemática para la distribución
de probabilidad de la variable normal
depende de los dos parámetros y , su
media y su desviación estándar. Por lo tanto
se representan los valores de densidad de X
por .
Función de densidad y acumulada
La función de densidad de la variable aleatoria normal X, con media y variancia , es:
.
Donde
Una vez especificada y , la curva normal se determina completamente.
Ahora se mostrará que los parámetros y son en realidad la media y la varianza de la
distribución normal. Para evaluar la media, se escribe:
.
Si se hace y , se obtiene.
.
La varianza de la distribución normal es:
.
Otra vez, si y , se obtiene:
.
Muchas variables aleatorias tienen distribuciones de probabilidades que pueden describirse
adecuadamente por medio de la curva normal, una vez que se especifican y .
La dificultad que se encuentra al resolver las integrales de las funciones de densidad normal hace
necesaria la tabulación de las aéreas de la curva normal para una referencia rápida. No obstante,
sería una tarea inacabable realizar tablas separadas para cada valor concebible de y . Por
fortuna es posible transformar todas las observaciones de cualquier variable aleatoria normal X en
un nuevo conjunto de observaciones de una variable aleatoria normal Z con medida cero y
variancia 1. Esto puede realizarse por medio de la transformación:
.
Siempre que asuma un valor , el correspondiente valor de es . Por lo tanto, si
cae entre los valores y , la variable aleatoria caerá entre los valores
correspondientes y para sustituimos a dentro de la formula.
La distribución de una variable aleatoria normal con media cero y variancia 1 se llama distribución
normal estándar.
APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL A LA BINOMIAL
Las probabilidades que se asocian con experimentos binomiales pueden obtenerse fácilmente
cuando es pequeña, de la formula de la distribución binomial.
Si es grande, es conveniente calcular las probabilidades binomiales por procedimientos de
aproximación.
La distribución normal frecuentemente es una buena aproximación a la distribución discreta
cuando esta ultima toma la forma de una campana simétrica.
Desde el punto de vista teórico, algunas distribuciones convergen a normales a medida que sus
parámetros se aproximen a ciertos límites. La distribución normal es una distribución de
aproximación conveniente debido a que la función de una distribución acumulativa se tabula de
manera sencilla.
La distribución binomial se aproxima demasiado bien a la normal en problemas prácticos cuando
se trabaja con la función de distribución acumulada. En seguida se plantea un teorema que
permite utilizar áreas bajo la curva normal para aproximar propiedades binomiales cuando es
suficientemente grande.
Si es una variable aleatoria binomial con media y variancia , entonces la forma
de límite de la distribución de:
, cuando , es la distribución normal estándar .
DISTRIBUCIÓN GAMMA Y EXPONENCIAL
Además de que la distribución normal la podemos utilizar para resolver problemas de diferentes
ámbitos tales como de ingeniería y demás ciencias, existen todavía numerosas situaciones que
necesitan diferentes tipos de funciones de densidad. En ello se presentan dos de tales funciones
de densidad, las distribuciones gamma y exponencial.
La distribución gamma toma su nombre de la bien conocida función gamma, que se estudia en
muchas áreas de las matemáticas. Estas son algunas de sus propiedades de esta función que se
presentaran a continuación.
La función gamma se define como:
Para .
Cuando se integra por partes con y para la formula recursiva:
la aplicación repetida de esta fórmula da:
, y así sucesivamente.
Nótese que cuando donde, es un entero positivo,
. Sin embargo, por la primera formula de la función gamma
y de aquí que, .
Variable aleatoria continua de una distribución gamma
La variable aleatoria continua X tiene una distribución gamma, con parámetros y , si su función
de densidad es:
.
La distribución gamma especial para la cual se llama distribución exponencial.
La media y la variancia de la distribución gamma son:
Y .
Variable aleatoria continua de una distribución exponencial
La variable aleatoria continua X tiene una distribución exponencial, con parámetro , si su función
de densidad es:
.
La distribución exponencial es una distribución continua definida por:
, para todo número real .
Está relacionada con el tiempo de reacción de un conductor frente a un estimulo, el diámetro del
punto producido por una impresora, el tiempo de incapacidad por enfermedad de un paciente,
etc.
Bibliografía Castellanos, C. B. (2006). SUMMA Enciclopedia Universal (2006 ed., Vol. 3). Bogotá: Grupo Editorial
Norma.
Freund John E., S. G. (1994). ESTADÍSTICA ELEMENTAL (octava edicion ed.). (C. R. Angel, Ed., & D.
D. Julian, Trad.) Edo. de México, Naucalpan de Juárez, México: PRENTICE HALL
HISPANOAMERICANA S.A.
Montogomery Douglas C., R. G. (1996). Probabilidad y Estadística aplicadas a la Ingeniería. (U. M.
G., Trad.) México D.F., México: Mc Graw Hill.
WALPOLE, E. (1998). ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD. En E. WALPOLE,
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA (4ª EDICION ed., págs. 113, 115, 124, 133, 136.). McGRAW-HILL.
