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Los números redondos son siempre falsos.
Samuel Johnson.
Unidad 4Números reales
Objetivos
n cifras
decimales.
Introducción
I niciaremos esta unidad recapitulando los diferentes tipos de números que hemos estudiado
hasta ahora. Lo haremos a través de un diagrama de Venn para ilustrar la contención entre
los conjuntos.
Figura 4.1. Los diferentes tipos de números que hemos visto.
En la figura 4.1 podemos observar que el conjunto más grande de los estudiados hasta ahora
es el de los números racionales, es decir, aquellos que pueden representarse como cociente de dos
enteros. En la unidad 3 dijimos que cuando un número se puede representar como el cociente de
dos enteros, entonces el decimal que lo representa es periódico
o termina en cero. La pregunta es: ¿existen decimales que no
son periódicos? O de manera equivalente, ¿existen números
que no pueden escribirse como el cociente de dos enteros? La
respuesta es sí, pero ¿cómo aparece este t ipo de números?
La forma más senci lla para i lustrar esta idea es apoyándonos
en el aspecto geométrico.
Trabajemos un poco al estilo griego antiguo. Sabemos
que la ecuación x2= 25 nos indica que el área de un cuadrado,
cuyo lado se desconoce, es 25 unidades cuadradas (figura 4.2). ¿Cuánto mide el lado? Fácilmente
determinamos que la longitud es 5 unidades (un número entero). Si consideramos la ecuación
x2= 25/9, entonces nos interesa conocer el lado de un cuadrado cuya área es 25/9 unidades cuadradas.
Concluimos que la longitud del lado es 5/3 unidades (un número racional).
Sin embargo, si nos topamos con la ecuación x2= 2, ¿cuánto mide el lado de un cuadrado
cuya área es 2? ¿Existe un número racional (recuerda que es el conjunto más grande conocido hasta
ahora) tal que al elevarlo al cuadrado nos dé como resultado 2? ¡no! Los números racionales no
NZQ
x
x
x 2 = 25 u2
x= 5u
Figura 4.2. x 2 = 25u 2 .
mat emát ic as 1
165
son suficientes para medir todas las longitudes. De hecho, varios
siglos antes de Cristo los griegos tuvieron que enfrentarse a este
problema. Demostraron que si se considera un triángulo rectángulo
isósceles con catetos de longitud 1 unidad, su hipotenusa mide 2
unidades y este número no puede representarse como el cociente
de dos enteros, es decir, como una razón, de aquí el nombre de
número irracional.
Un número irracional no puede representarse como el cociente de dos enteros.
El conjunto de este tipo de números recibe el nombre de números irracionales . Su
símbolo es Q’.
Tenemos ahora dos grandes conjuntos de números, los que pueden escribirse en la forma
a/b, en donde a y b son enteros y b 0, y los que no pueden escribirse de esta forma.
Los números reales están formados por la unión del conjunto de los números racionales con el de los números irracionales .
Su símbolo es . = Q Q’
y en general la raíz de un número primo son algunos números irracionales.
Existen dos números irracionales sumamente famosos: e y . La prueba de su irracionalidad
queda fuera de los objetivos de este libro, ya que requiere de recursos matemáticos más elaborados.
Es importante enfatizar que un número es irracional si su expansión decimal no se repite,
es decir, no es periódica y además infinita.
Por ejemplo : 2 = 1.414213562373095048801688724209698078569...
e = 2.718281828459045235360287471352662497757...
= 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307...
Observa que si omitimos los puntos suspensivos en cada una de estas expansiones decimales
la igualdad ya no se cumple, ya que sería posible encontrar un cociente de dos enteros que tuviera
como resultado ese decimal. Consideremos el caso de
1.41421358342= ¡Un racional!
A continuación reforzaremos algunas de las ideas que ya hemos estudiado con los números naturales, enteros y racionales, debido a que las propiedades de las operaciones fundamentales
Teorema de Pitágoras
1
12
12 + 12 = 2
Unidad 4
166
que se satisfacen con estos conjuntos se siguen cumpliendo en el caso de los números reales. La diferencia consiste en que este último conjunto, , contiene elementos que los conjuntos de
números anteriores no tenían: los números irracionales.
Ejercicio 1
1. Clasifica con una “equis” los siguientes números según las categorías. Pueden pertenecer a
más de una.
Z+ Z– Q Q– N Primo Par Impar
–8
–4/3
2
2
1/2
0
El conjunto de los números reales se representa gráficamente por la recta numérica .
Existe una correspondencia entre los puntos de la recta numérica y los números reales.
A cada punto de la recta numérica le corresponde un número real y a cada real le corresponde un punto en la recta numérica.
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
El hecho de que la recta no es una línea punteada es muy significativo, ya que esto nos
indica que todos sus puntos pueden relacionarse con un número real y viceversa. Aunque ya hemos
dicho que los números reales no sólo están formados por los enteros, es usual que éstos se ubiquen y
se destaquen en la recta real para tomarlos como puntos de referencia. De esta forma si queremos
localizar 3 , podemos recurrir a nuestra calculadora para encontrar una aproximación:
3
mat emát ic as 1
167
Entrada: 3 Salida: 1.732050807569
Este número sólo es una aproximación de 3 , por lo que debes evitar escr ibir el
signo de igualdad (= ) y en su lugar ut i l izar el de aproximación ( ). Tenemos entonces
que 3 1.732050807569. Ahora sabemos que 3 está entre 1 y 2. De hecho está muy cercano
(Ver figura 4.3). Basándonos en la gráfica de los enteros o de algunos racionales,
podemos ubicar de una manera aproximada, pero “ razonable” , números como e 2.71828,
.
e
–1 0 1 2 3 4
Figura 4.3.
Reales positivos y reales negativosLos puntos a la derecha del origen representan los reales positivos + y los puntos a la
izquierda representan los negativos –, como el cero no es positivo ni negativo de aquí que los
números reales estén formados por:
= + {0} –
Una línea vertical también puede representar una recta numérica;
arriba del 0 se encuentran los + y abajo los –.Si queremos utilizar la recta numérica para sumar o restar
números reales, el procedimiento es el mismo que se siguió en
las unidades 2 y 3 con los números enteros y con los números
racionales.
El cuadro sinóptico que aparece a continuación muestra cómo
están divididos los números reales:
2 + 3
3
0 origen
Reales
positivos
Reales
negativos
Unidad 4
168
4.1.1. Redondeo
Cuando medimos algunas magnitudes es común que aparezca una gran cantidad de cifras
decimales que en la práctica no tiene sentido conservar. Para facilitar entonces los cálculos y la
interpretación de datos es conveniente considerar números aproximados.
El proceso de redondeo consiste en eliminar las cifras que siguen a una determinada, sumando
una unidad a esta última si la primera que se elimina es mayor o igual que 5. En caso contrario se
deja igual.
Ejemplo :
1. El redondeo de 78.543432 a décimas (1 cifra decimal) es 78.5, ya que al desechar 43432
la primera cifra eliminada es menor que 5.
El redondeo de a milésimas (3 cifras decimales) es 1.414, ya que la
primera de las cifras eliminadas es 2 y 2< 5.
El redondeo de 3765.3567896 a diezmilésimas (4 cifras decimales) es 3765.3568.
El redondeo de 0.2599978 a 5 cifras decimales es 0.26000= 0.26.
Cifras significativas: son aquellas que aparecen, en un número, a partir de la primera que
no es cero, leyendo de izquierda a derecha.
Ejemplo:
2. 145786 tiene 6 cifras significativas. 0.00000678 tiene 3 cifras significativas: el 6, el 7 y el 8.
Reglas del redondeo
Suma y resta Multiplicación y división
El resultado de una suma o resta de números Si se multiplican o se dividen números redondeados
redondeados se debe redondear a la cifra que el resultado se debe redondear al menor número
el signo.
Ejemplos :
3. 29.564+ 7.987– 675.09–3 – 640.54. Se redondeó a 2 cifras decimales porque 675.09
es la cantidad más grande sin considerar los signos.
4. 45.45673 875 0.039786 0.002. Se redondeó a 3 cifras decimales porque 875 es la
cantidad con el menor número de cifras significativas.
Los siguientes ejemplos aplican el redondeo para ubicar números reales en la recta numérica.
mat emát ic as 1
169
5. Localizar en la recta numérica 4+ 2.5+ 7 . Lo primero que haremos será calcular una
aproximación de 7 . Apoyándonos en la calculadora obtenemos que 7 2.645751311065.
Entrada: 7 Salida: 2.645751311065
Como son demasiadas cifras aproximaremos a 3.
Si queremos sumar 4+ 2.5+ 7 procedemos así:
Entrada: 4 + 2.5 + 7 = Salida: 9.145751311065
Redondeando a milésimas tenemos: 9.146.
2.646 9.146
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4+ 2.5 + 7
6. Localizar en la recta numérica . Si tomamos 5 2.23 y 2 = 2 = 0.6366203.
Por la regla de redondeo para la suma obtenemos –1.13.
–1.13 0.6366 2.23
–1 0 1 2 2.5 3 4
Ejercicio 2
Resuelve las siguientes operaciones y ubica el resultado en la recta numérica.
1. 6.2–
2. e
3. 7.
4. Los lados de un rectángulo son u. y u. Suma el doble de cada uno para que encuentres
su perímetro.
2.5
0.5–4
Unidad 4
170
5. representan las longitudes de los lados de un triángulo. Encuentra su
perímetro.
4.2. Valor absoluto de un número real
H emos visto que el uso de la calculadora puede ser útil para ubicar aproximadamente los
números reales en la recta numérica. Al representar un número en la recta real siempre hay errores
en las mediciones, pero en el caso de algunos irracionales esto se acentúa más.
El valor absoluto es un concepto que nos permitirá no depender de las aproximaciones para
operar números reales.
Valor absoluto de un número real
Sea x , el valor absoluto de x se representa por | x| y está dado por xx x
x x
Ejemplos :
7. Encontraremos el valor absoluto de los siguientes números. Cuando el número sea un
irracional daremos una aproximación con tres decimales.
a) | –89.3| = 89.3
b) | 8.5| = 8.5
c)
d)
e)
f) . Con ayuda de la calculadora obtenemos que 1.682:
Entrada: 8 shift x y 4 = Salida: 1.68179283 Por lo tanto | | 1.682
g) porque . Por lo
tanto, .
mat emát ic as 1
171
h) , ya que
= . Por lo tanto, 2.048.
i) , porque La respuesta con
una aproximación de tres decimales es: . Con la calculadora se procede como sigue:
Entrada: 2 shift 1
3 ( 2 ) =
Salida: 0.802090652 0.802 Observa que se consideró la igualdad: .
Ejercicio 3
1. Un submarino se sumergió en el mar –27.98 m. Calcula el valor absoluto de –27.98 para
determinar a cuánto asciende la profundidad. _______________________________________________________.
2. La base de un pentágono tiene su vértice derecho descansando sobre el origen. Para indicar que
está en el lado negativo de la recta numérica se ha escrito que “mide” cm. Calcula el valor absoluto
de esta cantidad para determinar la longitud real de la base.________________________.
Aproxima a milésimas cada una de las siguientes cantidades:
3.
4.
5. e=
4.3. Operaciones con números reales
Dado que los números naturales, los enteros y los racionales son números reales, la forma
de operarlos, aún bajo la perspectiva de reales, no puede ser diferente; por esta razón las reglas que
ya hemos estudiado (ver página 132) para operar estos tipos de números se conservan y se heredan
a los irracionales y por lo tanto a los reales.
Unidad 4
172
4.3.1. Suma y resta de reales
Suma de realesLa suma de dos reales con signos iguales se obtiene sumando sus valores absolutos.
El signo de la suma es el mismo que el de los sumandos originales.
La suma de dos reales con signos diferentes se obtiene restando al mayor valor absoluto
el menor.
El signo de la suma es el signo del número con mayor valor absoluto.
Ejemplos :Resuelve con una aproximación de tres decimales
8. 8.3 – 9. + 11.442 – 9. . Como | 11.442| = 11.442 y | –9. | = 9.7545454... 9.755,
el signo del resultado será positivo. Por lo tanto, (8.3+ )–9. 11.442 – 9.755 = 1.687.
9. e e e.
e
Ejercicio 4
Resuelve con una aproximación de tres decimales. También expresa el resultado exacto.
1. _____________y _______________________________.
2. e _________________ y e _______________________.
3. e
___________________ y e
___________________.
4. Los lados de un cuadrilátero irregular miden en decímetros: 8.65, 0.34, e . ¿Cuál es su
perímetro?____________________________________________________________________________________.
5. El lado de un triángulo escaleno mide exactamente cm. Expresa su longitud con
una aproximación de 3 cifras decimales.___________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________.
mat emát ic as 1
173
4.3.2. Multiplicación y división de números reales
Simbólicamente
Multiplicación y división de reales. Para multiplicar o dividir dos números con signos iguales, Regla de los signos
ambos diferentes de cero, se multiplican o se dividen sus valores absolutos y el resultado será positivo.
Para multiplicar o dividir dos números con signos diferentes, ambos diferentes de cero, se multiplican o se dividen sus valores
absolutos y el resultado será negativo.
Ejemplos :
Aunque los numeradores y los denominadores no son números enteros, el
producto y la división de fracciones con componentes irracionales se efectúa de
la misma forma como se haría si fueran fracciones que representan números
racionales.
10. Calcularemos ( )(–8 e)= (+ )(–8)(+ e)= (+ )(–)(+ )(8 e)= –8 e. Una
aproximación con 3 decimales arroja el siguiente resultado: –8 e
–8(3.14159)(2.71828)= – 68.31782 68.318. Observa que se hicieron
todos los cálculos con más decimales de los que se piden y que se cortó en la cifra indicada hasta el final.
11. La base de un triángulo es cm y su altura cm. Calcularemos su área:
12. Para obtener el costo mínimo en la elaboración de una caja rectangular, sus dimensiones
en teoría deben ser las siguientes: largo e
m, ancho m, y alto m. Si el precio de venta
es de $26.50 por m3, ¿a qué precio debe venderse la caja, si en la práctica las dimensiones se ajustan a tres decimales? Volumen:
e e
¿Cómo mult iplicamos o dividimos fracciones con numerador o denominador i r racional?
Unidad 4
174
e e.
Por lo tanto, el precio de la caja es $(8.543)(26.50) = $226.3895 $ 226.39
13. El volumen de un cilindro circular recto es e
y su altura es h= 5 dm. Si sabemos
que el radio R está dado por la fórmula h
, ¿cuánto mide la mitad del radio? Dividiendo ambos
miembros de la igualdad por 2 y sustituyendo los valores en la fórmula obtenemos:
e
e e
Por lo tanto, la mitad del radio mide 0.932 dm.
14. Calcularemos e
e
e e e
Regla de los signos para un producto de números rea les con más de dos factores .
Si todos los factores son positivos o el número de factores negativos es par, el producto
es positivo.
Si el número de factores negativos es impar, el producto es negativo.
Ejemplos :
15. Calcularemos con una aproximación de 3 decimales .
Observa que el número de factores con signo negativo es 3, ya que:
.
Por lo tanto, el resultado será negativo:
mat emát ic as 1
175
16. Calcularemos con una aproximación de 3 decimales: e
e
Ejercicio 5
Con ayuda de tu calculadora resuelve los siguientes ejercicios dando el resultado con una aproximación
de 3 decimales.
1. Se desea fabricar una cubierta de lámina para un chapoteadero de forma rectangular cuyas
dimensiones son 8 m de ancho por 5e m de largo. ¿Cuántos metros cuadrados de lámina se deben
comprar? _________________________________________________________________________.
2. ¿Cuál es el volumen de un paralelepípedo (una caja rectangular) cuyas dimensiones son: 3/7 m,
, si se sabe que el volumen de este cuerpo está dado por el producto de sus dimensiones?
_________________________________________________________________________________.
3. La constante de proporcionalidad k entre el volumen de un cono circular recto y su radio está dada
por . Si el volumen es 7 3 pl3 y el radio es pl, encuentra el valor de k._____________
__________________________________________________________________________________.
4. e
e
5. e
e
4.3.3. Potencias de reales
Es usual que en los negocios las ecuaciones que representan los movimientos de las empresas, como pueden ser las ventas o las ganancias, involucren potencias de números reales. Por ejemplo, para una empresa A las ventas se calculan a través de la ecuación x , en donde x representa la cantidad en miles de pesos que se invierte en publicidad. Así, si la inversión ha sido de
Unidad 4
176
$2 560.00, las ventas están dadas por . Para una empresa B, las
ganancias se calculan a través de la ecuación x x en donde x representa el nivel de
producción por hora. De esta forma si el nivel de producción fue de 35 unidades por hora, las
ganancias quedan determinadas por (2 + 35)–2 + 3(35) .
En ciencias hay innumerables “ leyes” o “ fórmulas” en las que aparecen exponentes. Aquí te
mostramos algunas:
l= l2.
m en energía = mc2. Donde c es la velocidad de la luz en el vacío.
r r 2 .
r r .
kex. .
.
P a interés compuesto .
v0 y ángulo .
r y altura h= 2 .
(donde k es la constante de la gravitación universal).
m que se mueve a una velocidad v = .
En esta sección estudiaremos cómo calcular este tipo de operaciones con reales.
Potencia entera de un real
Ejemplos :
17. ¿Cuántos litros de agua caben en un recipiente cúbico cuyo lado mide e
m?
El volumen del recipiente es
Como 1 m3= 1 000 litros, al recipiente le caben aproximadamente (3.1565)(1 000)= 3 156.5
litros de agua. Observa: base positiva, potencia positiva.
mat emát ic as 1
177
Para todo a 0 se cumple que , por lo tanto 1
Considera la anterior igualdad para continuar con los ejemplos.
18. Calcularemos con una aproximación de 3 decimales:
e
Observa que como la base es positiva y el exponente es entero negativo, la potencia es
positiva.
19. Con el fin de mostrar sus dotes matemáticas, un estudiante ha aceptado el siguiente reto:
de no resolver cierto problema pagará a quien se lo plantee una multa de $ –n
, en donde
n representa los días que tarda en dar la respuesta. Si han transcurrido 5 días y el estudiante no ha
resuelto el problema, ¿a cuánto asciende su deuda? Recuerda que es usual utilizar un signo menos
para representar cantidades que se deben.
Por lo tanto, su deuda es aproximadamente de –$0.473. Observa que el estudiante es
realmente listo, pues utilizó una base menor que 1. De esta manera a medida que aumenta el
número de días de retraso su deuda disminuye.
20. Calcularemos con una aproximación de 3 decimales e
e
Observa que como la base es negativa y el exponente es impar, la potencia es negativa.
Ejercicio 6
Con ayuda de tu calculadora resuelve los siguientes ejercicios con una aproximación a 3 decimales.
1. =
Unidad 4
178
2. ¿Cuál será el costo de dos caras cuadradas de una caja rectangular cuyos lados miden , si el
costo por decímetro cuadrado es de $ 35.45?____________________________________________.
3. ¿Cuántos litros de agua caben en un recipiente cúbico cuyo lado mide e
?_____________
_______________________________________________________________________________________.
4. Considera el ejemplo 19 y calcula para n= 6, n= 7 y n= 8. Comprueba que a medida que aumenta
el número de días la deuda disminuye. ___________________________________________________.
5. e
= _______________________________________________________________________.
N otación científica
Cualquier fracción decimal se puede expresar como el producto de un número entre 1 y
10 y alguna potencia entera de 10. Cuando un número se representa de esta forma se dice que
está dado en notación científica . Simbólicamente se escribe como a 10 n, en donde a es un
entero tal que 1 a < 10.
En general el exponente del 10 indica el número de lugares que se debe recorrer el
punto decimal. Si n es positivo el punto se recorre a la derecha y si n es negativo se recorre a la
izquierda.
Ejemplos :
21. 1 decímetro cúbico= 1 000 000 milímetros cúbicos. Con notación científica se escribe:
1 decímetro cúbico = 1 106 milímetros cúbicos. Recuerda que el punto decimal en un entero se
encuentra a su derecha, pero no se escribe. (1.= 1).
22. Un decímetro cúbico de hielo pesa 921 gramos, es decir 9.21 102 gramos.
23. El número de cabellos en una persona morena es aproximadamente de 102 000, es
decir, 1.02 105.
24. La población de bacterias en un cultivo después de 10 días es 78 600 000, es decir,
7.86 107.
25. El espesor de una lámina es .005 mm, es decir, 5 10 –3.
26. Se midió el diámetro de un eje de acero con un pálmer micrométrico y se obtuvo el
siguiente resultado: 0.57846 in, es decir, 5.7846 10 –1.
27. 0.0000675= 6.75 10–5.
28. El número de Avogadro (número de moléculas por mol) es 6.02 1023.
mat emát ic as 1
179
29. Es usual que las calculadoras expresen números muy grandes o muy pequeños con
notación científica. Por ejemplo, realiza las siguientes instrucciones en la calculadora:
Entrada: 65 1689234795
Salida: 3.847896112–08 = 3.847896112 10–8 = 0.00000003847896112
Pantalla N úmero representado
5.87965413 5.879654 1013 = 58 796 540 000 000
4.87698874–15 4.87698874 10– = 0.00000000000000487698874
Aun cuando trabajes con la calculadora, en ocasiones será imprescindible que utilices la
notación científica para realizar tus cálculos. Por ejemplo, en la siguiente expresión no todas las
cantidades pueden entrar directamente en la calculadora:
, entonces puedes escribirlas con notación científica:
y efectuar los cálculos con . El resultado final debe
considerar la potencia 1035 que no has tomado en cuenta.
Por lo tanto,
Ejercicio 7
1. Si la masa de la Tierra es aproximadamente de 6.1 1027g y cada gramo equivale aproximadamente
a 2.2 10–3 libras, ¿cuál es la masa de la Tierra en libras? Expresa el resultado con notación científica y
en forma natural.___________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________.
2. Expresa en forma natural 7.65 10–6_________________________________________________
_______________________________________________________________________________________.
3. Expresa con notación científica 0.0000000007845 ____________________________________
__________________________________________________________________________________.
Unidad 4
180
4. Suponiendo que una gota de agua es una esfera de 1 mm de radio, ¿cuántas gotas de agua hay en
los océanos en donde se estima un volumen de 1 300 000 000 000 000 000 de litros? Expresa esa
cantidad con notación científica. La fórmula para el volumen de una esfera es: r ___________
__________________________________________________________________________________.
5. Uti liza la notación científica para realizar las siguientes operaciones con tu calculadora
. Expresa tu resultado en notación científica __________
____________________________________________________________________________________.
_____________________________________________________________________________________.
6. El oxígeno libre de la Tierra pesa 1.5 1021 g. Si un gramo equivale aproximadamente a 2.2 10–3
libras, ¿cuál es el peso del oxígeno libre en libras? _______________________________________.
Potencias racionales de un real
Recuerda que los números racionales contienen los enteros, por lo que las siguientes leyes
de los exponentes son válidas para ambos.
Leyes de los exponentesSi a, b , diferentes de cero y n, m Q, entonces:
1. an am = an + m
2. (an)m = anm
3. anbn = (ab)n
Si n= , entonces
Ejemplos :
30. Calcularemos con aproximación de 3 decimales el área de un rectángulo cuyas dimensiones
son y .
31. Calcularemos con aproximación de 3 decimales e e :
mat emát ic as 1
181
e e e e
32. Calcularemos con aproximación de 4 decimales el área del triángulo que tiene como
hipotenusa la diagonal de un cuadrado de lado e
.
e e
Por lo tanto el área del triángulo es 2)
33. Calcularemos el volumen de un cono circular recto con radio cm y altura
cm con una aproximación de 2 decimales.
Volumen= (radio)2 altura= r2h
e ee
e
Exponentes fraccionarios negativos
Si a= es una fracción diferente de cero (q 0) y es un racional, entonces se cumple que
34. Calcularemos con una aproximación de 3 decimales e
Unidad 4
182
e e e
35. Calcularemos con aproximación de 3 decimales e e
e e e e e
Ejercicio 8
Con ayuda de la calculadora resuelve los siguientes ejercicios con una aproximación a 3
decimales:
1. El área de un triángulo rectángulo con catetos de longitud es______
__________________________________________________________________________________.
2. e= ________________________________________________________________.
3. e
= ______________________________________________________________.
4. El producto de las áreas de dos cuadrados, uno de los cuales tiene de lado e unidades y
el segundo de lado unidades es ____________________________________________________.
mat emát ic as 1
183
5. El radio de una esfera está dado por unidades. Si se sabe que el volumen es e
u , ¿cuál es el radio de la esfera? __________________________________________________.
4.3.4. Operaciones combinadas
El tipo de operaciones que deben resolverse en los problemas de aplicación rara vez involucran
una sola operación. Veamos los siguientes ejemplos.
Ejemplos :36. Al realizar una inversión en publicidad de $2 560.00, la empresa A puede calcular las
ventas adicionales mediante la siguiente expresión.
Por lo tanto, una inversión de $2 560.00 en publicidad impulsa la venta de 67.500 unidades adicionales.
37. Para encontrar las ganancias de la empresa B, cuando el nivel de producción ha sido de 35 unidades por hora, debemos calcular:
Por lo tanto, las ganancias son de aproximadamente $ 21 741.59.
38. Aplicaremos la prioridad entre las operaciones (ver unidad 2) y calcularemos con una aproximación de 3 decimales:
e
e
Unidad 4
184
Ejercicio 9
Aplica la prioridad entre operaciones y con ayuda de la calculadora resuelve los siguientes ejercicios
con una aproximación a 3 decimales:
1. ¿Cuál sería el incremento en las ventas de la empresa A del ejemplo 36, si la inversión en publicidad
hubiera sido de $1 785.50?______________________________________________________________.
2. ¿Cuáles serían las ganancias en la empresa B del ejemplo 37, si la producción hubiera sido de 57
unidades por hora? _________________________________________________________________.
3. e
e= _____________________________________________________.
4. e e
= _______________________________________________.
5. Los segmentos que forman una línea quebrada tienen las siguientes longitudes en centímetros.
e . ¿Cuál es la longitud de la línea? __________________.
4.4. Radicales
Fórmulas tan familiares como las siguientes son expresiones que involucran radicales:
hipotenusa=
rea de un triángulo de lados a, b, c es A= ; donde 2
Tiempo de caída desde una altura h es t = 2
Periodo de oscilación de un péndulo de longitud l es 2
mat emát ic as 1
185
En realidad al estudiar las potencias con exponentes fraccionarios se han contemplado las
operaciones con radicales, ya que si p y q 0 son enteros y a 0 es un real para el cual tiene sentido
la expresión , entonces . Sin embargo, en los cursos de álgebra elemental es usual dar
las reglas de los radicales por separado, con la finalidad de agilizar algunos desarrollos.
Raíz cuadrada de un número real
Si a , entonces decimos que b es una raíz cuadrada de a si b2= a. El símbolo se utiliza
para indicar la raíz positiva (principal) de a. Por lo tanto, si b es la raíz cuadrada positiva de a.
y
4.4.1. Existencia de la raíz n–ésima de un real
Algunas características importantes sobre las raíces de un número real son:
a) Si a + y n Z+ , entonces (raíz n–ésima de a) + .
b) Si a – y n Z + es impar, entonces (raíz n–ésima de a) –.
c) Si a – y n Z+ es par, entonces (raíz n–ésima de a) no tiene sentido en reales.
d) Si n Z+ , entonces 0 0n
Ejemplos :
Analizaremos si cada una de las siguientes expresiones tiene sentido en los reales. En caso
afirmativo calcularemos la raíz indicada con una aproximación a 4 decimales:
39. El lado de un cubo cuyo volumen es 345 m3 está dado por l= m. Como el radicando
es positivo, por el inciso (a) esta raíz cúbica sí pertenece a los reales positivos. Por lo tanto, con
ayuda de la calculadora obtenemos:
Entrada: 345 shift x y 3 = Salida: 7.013579083
Por lo tanto, l 7.013579083 m.
40. El lado de un cuadrado cuya área es cm2 está dado por:
l cm. Por el inciso (a) esta raíz cuarta sí existe en los
reales y es positiva. Por lo tanto, con ayuda de la calculadora obtenemos .
cualquier real negativo no existe, ya que ningún número multiplicado por sí mismo nos da un número negativo. (Recuerda las leyes de los signos).
0 0
Unidad 4
186
41. , por el inciso (b) esta raíz novena sí existe en los reales y es negativa. Por lo
tanto, con ayuda de la calculadora obtenemos:
Entrada: –576 shift x y 9 =
Salida: –2.026346027 Por lo tanto, –2.0263
Recuerda que la raíz n–ésima de un número significa encontrar un real tal que al elevarlo
a la n–ésima potencia dé como resultado el radicando.
Si x es positivo y n entero positivo, la notación representa la raíz positiva .
42. , como el radicando es negativo y el índice es par, esta expresión no tiene sentido
en los reales.
Supongamos que existe un número a tal que a , entonces aaaaaa= –541. No puede
a ser cero porque a6= 0. Si a> 0, entonces a6> 0 y no podría ser igual a –541. Si a< 0, entonces
a6 = aaaaaa arrojaría un producto de 6 signos negativos: , pero sabemos que
, con lo que obtenemos que y por lo tanto a6 no
puede ser igual a –541. Concluimos entonces que no existe en los números reales.
Ejercicio 10
Llena el espacio blanco con: “positiva” , “negativa” o “que no existe en reales” .
1. es una raíz ________________________________________________________________.
2. es una raíz ________________________________________________________________.
3. es una raíz ______________________________________________________________.
4. es una raíz __________________________________________________________________.
5. es una raíz ______________________________________________________________.
Ejemplos :
43. Considera . Sabemos que el resultado es 2. Ahora calcula 23. Observa que el resultado
es 8: ¡el radicando!
mat emát ic as 1
187
44. Considera . Para calcular esta raíz emplea tu calculadora. Obtendrás 2.5 como
resultado.
Ahora eleva 2.5 a la cuarta potencia; el resultado es 39.0625: ¡el radicando!
45. Considera 3.25; con ayuda de la calculadora obtendrás 335.54432. Ahora extrae su raíz
quinta; el resultado es 3.2: ¡la base!
46. Considera (–67.3)3. El resultado es –304 821.217. Ahora extrae su raíz cúbica; obtienes
la base –67.3.
Estos ejemplos comprueban que en los reales también se satisface que la potencia n–ésima
y la raíz n–ésima son operaciones inversas .
La forma como puede ser expresado un radicando resulta importante porque existen ciertos
tipos de expresiones que nos permiten efectuar los cálculos con mayor facilidad. Por ejemplo, si
te piden seleccionar entre la expresión ó 1 820 2 , ¿cuál escogerías? No te desgastes
demasiado en tomar una decisión porque las dos representan el mismo número. Pero, ¿cómo
podemos simplificar los radicandos? Las propiedades que nos lo indican se desprenden directamente
de la descomposición en factores primos (el teorema fundamental de la aritmética, visto en la
unidad 2) y de la igualdad 1
(I gualdad 4.1).
Ejemplos :
47. Consideremos
48. Simplificaremos
49. Simplificaremos
50. Simplificaremos
En general esta forma de proceder es una regla que se obtiene como sigue:
51. Suponiendo que a y b son números reales y n un entero positivo, y suponiendo también
que los radicales existen, apliquemos la igualdad 4.1 para expresar en forma distinta . Tenemos que
. Por la propiedad de los exponentes podemos asegurar que .
Unidad 4
188
Aplicando de nuevo la igualdad 4.1 concluimos que Tenemos entonces
nuestra primera ley de los radicales : .
Las reglas básicas para los radicales son:
Leyes de los radicales. Si a y b son números reales, n un entero positivo y los radicales existen, entonces se cumple que:
i) ii) iii)
Cada una se deduce de una forma análoga a la que se presentó en el ejemplo 51.
52. Simplificaremos . Como el radicando en un cociente, es factible aplicar
la regla (ii). Factoricemos (en factores primos) el numerador y el denominador de la fracción:
Es común que este tipo de resultados se presenten sin
raíces indicadas en el denominador. Para cancelarlas sin alterar la fracción se multiplica numerador
y denominador por la raíz que se quiere eliminar (en este caso ). Obtenemos:
; aplicando la regla (i) tenemos que
53. Aplicaremos la regla (iii) para simplificar . Como el índice de la raíz interior
no aparece explícitamente, es 2, por lo tanto
Ejercicio 11
1. La longitud de una barda es m. Utiliza la factorización en números primos para
simplificar la expresión _____________________________________________________________.
2. Simplifica la expresión que representa el lado de un cubo de volumen 27 000 u3 ______
______________________________________________________________________________________________________________.
3. Simplifica _______________________________________________________________.
4. ¿Cuál es el lado de un cubo cuyo volumen es ? Simplifica tu respuesta ________________.
5. Simplifica _____________________________________________________________.
mat emát ic as 1
189
Caso práctico de aplicación
Un tanque que tiene la forma de un cono circular recto de 15 pies de alto y radio de la base
pies, tiene su eje vertical y su vértice al nivel del suelo. El tanque está lleno de agua. Calcular
el trabajo realizado al bombear toda el agua y hacer que salga por arriba del tanque.La ecuación para calcular el trabajo W para este problema en particular es:
lb pie.
en donde x es la altura del cono. Por lo tanto,
W
Unidad 4
190
Ejercicios resueltos
1. Representa gráficamente los resultados aproximados de las siguientes operaciones con
números reales. Aproxima a 3 decimales el resultado final:
a) –5.4 – e
b) e
Solución :
a) –5.4 – e . Comencemos por aproximar con 5 decimales e/3 y e3 0.90609;
. Por lo tanto, –5.4 – e .
b) e. Empecemos por aproximar con 5 decimales 4.21489, .4
y e . Así, e
– 4.21489+ 0.40000–0.23115 – 4.04604.
| | | | | | | | | |
–4 –3 –2 –1 0 –4 –3 –2 –1 0
2. El cometa H alley atraviesa el cielo cada 76 años. La última vez apareció en 1986. ¿En
qué año del siglo XXII I se espera que aparezca de nuevo?
Solución :
Como apareció en 1986 y 1986+ 76 , volverá a aparecer en el año 2062. Luego
como 2062 + 76 = 2138 , en el si glo XXI I aparecer á en el año de 2138. Como
2138 +76 = y como 2214 +76
en el si glo XXI I I aparecerá dos veces: una en el año 2214 y ot ra en el año 2291.
3. La longitud de una tela es de 30.5 m y se necesitan trozos de una longitud de 85 cm.
¿Cuántos trozos se pueden obtener?
Solución : L o pr imero que haremos será convert i r todo a met ros. Sabemos que
85 cm = m. Ahora representemos el decimal 30.5 como fracción; obtenemos:
. Por lo tanto tenemos que 30.5m = m. El número de trozos de tela con una
a) b)
–4.596 –4.04604
mat emát ic as 1
191
longitud de 17/20 m que se pueden obtener de m, está dado por ,
de donde concluimos que de estos 30.5 m pueden obtenerse 35 trozos con la longitud deseada.
4. Calcula:
a) | –0.000988| b) | 49.005 c)
d) e) e
Solución :
a) | –0.000988| = 0.000988. Como es un número negativo, al aplicarle el valor absoluto
lo convertimos en positivo.
b) | 49.005 = 49.005 . Como el número es positivo queda igual. Si aproximamos
con 3 cifras decimales, obtenemos 49.005, y con 6 cifras decimales obtenemos 49.005002.
c) . Aplicando la regla de los signos podemos observar que como ,
es positivo y como , es negativo; entonces .
d) . Aplicando la regla (i) de los radicales (sección 4.5.2) obtenemos que
.
Aplicando la ley de los signos
. Aproximación a 6 decimales.
e) e . Como , directamente obtenemos que
e ee e e
Aproximando con 3 decimales, tenemos que e – 0.327.
Unidad 4
192
5. Resuelve con una aproximación de 4 decimales:
a) e
b) e e
Solución :
a) e
b) e e
6. Resuelve con una aproximación a 3 decimales:
e
e
Solución :
e
e . Aplicando la ley de extremos y medios, obtenemos que
e
e ee . Aplicando la regla (i) de los radicales:
e e ee e e e
e
e
7. Calcula con una aproximación de 2 decimales:
a) b) e
c) e
mat emát ic as 1
193
Solución:
a) . Aproximando con 4 decimales el numerador y el denominador de la base
obtenemos:
b) e
. Aproximando con 4 decimales el numerador y el denominador de
cada fracción, obtenemos: e
c) e
e
e
e
e
e
8. Calcula con una aproximación de 4 decimales:
| – 4.75| –| –9.005 e
Solución :
| –4.75| –| –9.005e
4.75000–9.00542+ 4(3.03703) e
Unidad 4
194
9. El voltaje de un circuito está dado por la fórmula 2
.
Simbólicamente V 2= PR. Un electricista tiene un circuito que produce una potencia de 1 560 watts y necesita que la resistencia sea cuando mucho de 3.99 ohms. ¿Cuál debe ser el voltaje del circuito calculado en volts?
Solución :Llamemos x al voltaje. Sustituyendo los datos en la fórmula obtenemos que x ,
por lo tanto x . Por lo tanto, el voltaje del circuito debe ser cuando mucho
de (aproximadamente) 78.89 volts.
10. H allar el área del triángulo cuyos lados tienen 40, 50 y 60 cm de longitud, usando la
regla , en donde a, b y c son las longitudes de los lados y s el semiperímetro
que está dado por s =2
.
Solución :
s . Por lo tanto, A = cm2.
11. Si la base de una escalera de 19 m de longitud está separada 6 m de una pared, ¿qué
altura alcanza en la pared?
Solución :
Como se forma un t r iángulo rectángulo apl icamos el t eorema de Pi tágoras.
m.
irracional
mat emát ic as 1
195
Curiosidades matemáticas
Cuadrados mágicos
Los cuadrados mágicos son arreglos de números,
de tal forma que los elementos de cada una de sus
columnas, renglones y diagonales suman el mismo
número. Un ejemplo de cuadrado mágico es: la suma
de los elementos de todas sus columnas, de todos sus
renglones y sus dos diagonales es 0.
Tú puedes formar nuevos cuadrados mágicos si
añades a cada uno de los elementos un mismo número.
Te mostramos cómo hacerlo con –4.
Cuadrados con un número a 2 de celdas. a
número impar.
Con los números enteros del 1 hasta n se pueden
construir cuadrados mágicos de 9, 25, 49 o cualquier
número n de celdas, siempre y cuando el número sea el
cuadrado de un impar. La forma de llenarlos es como
sigue:
1. Se escribe el 1 en la celda central del primer
renglón.
2. Se avanza hacia arriba y a la derecha un paso cada vez. Si se cae en una celda ya ocupada
o fuera del cuadrado, entonces:
a) Si la celda está ocupada, en lugar del movimiento se baja al siguiente renglón. Si se cae
fuera de la esquina superior derecha, se omite el movimiento y se baja al siguiente renglón.
b) Si se cae fuera del cuadrado por el lado superior, se baja hasta la última celda de esa
misma columna. Si caemos fuera a la derecha, entonces la posición es en la celda de la izquierda
en el mismo renglón.
Cómo llenar un cuadrado de 3 3. La suma de sus renglones, columnas y diagonales es 15.
En general en un cuadrado de n n, con n impar, la suma de sus renglones, columnas y
diagonales es n n .
0 0 0 0 0
1 2 –3
–4 0 4
3 –2 –1
0
0
0
–12 –12 –12 –12 –12
–3 –2 –7
–8 –4 0
–1 –6 –5
–12
–12
–12
Unidad 4
196
Parece ser que los cuadrados mágicos aparecieron por vez primera en China y se les conocía
como Lu Shu. Se cuenta que hace muchos siglos antes de Cristo un hombre se encontraba a la
orilla del río Lo cuando de pronto emergió una extraña tortuga en cuyo caparazón venía inscrita
una configuración.
El interés por los cuadrados mágicos no ha mermado con el tiempo. En el Renacimiento
Cornelio Agrippa construyó cuadros mágicos con n2 número de celdas, para n igual de 3 a 9. Éstos
representaban simbólicamente a Saturno, Júpiter, Marte, el Sol, Venus, Mercurio y la Luna.
Por otra parte, los cuadrados también han estado presentes en el
arte. Basta recordar la obra M elancolía, del pintor alemán Alberto Durero,
en la que aparece en la esquina superior derecha el cuadrado de la derecha.
Observa que las casillas centrales en la última línea (1514) corresponden al
año de creación del grabado.
En 1693 Frénide de Bessy demostró que existen 880 formas de crear
cuadrados de 4 4. En 1973 Richard Schoeppel, apoyando sus cálculos
con una computadora, dedujo que existen 275 305 224 formas de crear
cuadrados de 5 5.
¿Quieres conocer un cuadrado mágico “en persona”? En los muros del Templo de la Sagrada
Familia en Barcelona existe uno como el de abajo.
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
1 14 14 4
11 7 6 9
8 10 10 5
13 2 3 15
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
6
5
4
1
3
2
1
3
2
6
5
4
8
7
9
mat emát ic as 1
197
Nota histórica
En esta unidad hemos estudiado los números reales y hemos visto que dicho conjunto se halla
dividido en dos grandes partes: el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números
irracionales. Aprendimos también que un irracional es un número real con una representación
decimal infinita y no periódica o también aquel que no puede representarse como el cociente de dos
enteros. Resulta interesante saber que a pesar de que desde la época de los antiguos griegos (siglo
V a. C.) ya se conocía la existencia de los números irracionales, no fue sino hasta el siglo XIX de
nuestra era cuando el matemático alemán Richard Dedekind dio una definición formal para ellos.
Más aún: explicó cuál era el lugar que ocupan dentro de los números reales. Todas estas ideas las
dejó clara y rigurosamente establecidas en su obra Continuity and Irrational Numbers.
La idea de Dedekind para definir los números irracionales fue la siguiente: Supón que el
conjunto de los números racionales está dividido en dos subconjuntos no vacíos A y B, de tal
forma que todos los números que pertenecen a A sean menores que cualquiera de los números que
pertenecen a B. A esto le llamó cortadura . Entonces asegura que existe un número c, tal que todo
número (racional) menor que c pertenece a A y todo número (racional) mayor que c pertenece a
B. Si c pertenece a A o a B, entonces c es un número racional. Pero si c no está ni en A, ni en B,
entonces c es un número irracional que queda definido por una cortadura de Dedekind específica.
Veamos un ejemplo de esto: Sea A el conjunto de todos los números (racionales negativos
y no negativos) que elevados al cubo son menores que 5 y sea B el conjunto de todos los números
(racionales) positivos que al elevarlos al cubo son mayores que 5. ¿Quién es c? Para determinar
su valor basta considerar que si a es elemento de A, entonces a3 5, lo que implica que a .
Análogamente, si b pertenece a B, entonces b , lo que implica que b . Por lo tanto, c= .
Como este número no es un racional, se concluye que es un número irracional.
Con esta interpretación de número irracional Dedekind pudo demostrar que la recta real es
completa , es decir, no tiene “hoyos” . Los espacios que dejaban los racionales, este genial matemático
los llenó con los números irracionales.
Unidad 4
198
Ej. 1
Ej. 2
Respuestas a los ejercicios
1.
Z+ Z– Q Q– N Primo Par Impar –8 X X X X
–4/3 X X
2 X
2 X X X X X X
1/2 X X
0 X X X X X
1. 6.361254481 0 1 2 3 4 5 6 7
2. 3.102175247 0 1 2 3 3.5
3. 6.846746452 0 1 2 3 4 5 6 7
4. Perímetro 9.956187198 u
5. Perímetro 14.11612007 u
1. 27.98 m
2. cm 0.55902 cm
3. 9.643
4. 2.122
5. 2.354
Ej. 3
3.1022
6.8467
6.3613
3
mat emát ic as 1
199
1. –5.872; exacto
2. 1.109; exacto e
3. –1.549; exacto e e
e
4. Perímetro 9.968 dm; exacto e
edm
5. 3.188 cm
1. 341.589 m2
2. 6.483 m3
3. k 1.459
4. 0.454
5. –5.524
1. 44.390
2. $55.30
3. 1 843.8 l
4. n= 6 –0.407; n= 7 –0.351; n= 8 –0.302
5. –75.068
1. Notación científica 1.342 1025 libras;
notación natural 13 420 000 000 000 000 000 000 000 libras.
2. 0.00000765 3. 7.845 10–10
Ej. 4
Ej. 5
Ej. 6
Ej. 7
Unidad 4
20 0
4. Volumen aproximado de una gota de agua: mm3. 1 m3 = 1 109 mm3. 1 m3 = 1 000
litros.
Volumen aproximado del agua del océano 1.3 1018 litros= 1.3 1015 m3= 1.3 1024 mm3.
La cantidad aproximada de gotas de agua que forman el océano es: 3.104 1023, es
decir, aproximadamente 310 400 000 000 000 000 000 000 gotas.
5. Notación científica: 3.4606 1037 .
6. 3.3 1018 libras.
1. 3.0713 u2 2. 1.357
3. 3.066
4. 1.512 u4
5. 0.853 u
1. 67.500 unidades
2. 73 588.237
3. –0.102 4. 2.355
5. 6.514
1. Positiva.
2. No existe en reales.
3. Negativa.
4. Positiva.
5. Positiva.
1.
Ej. 8
Ej. 9
Ej. 10
Ej. 11
mat emát ic as 1
20 1
2.
3.
4. u
5.
Unidad 4
20 2
Autoevaluación
1. Calcula con aproximación de 3 cifras decimales e
a) 24.31958152
b) –24.31958152
c) –24.320
d) 18.319
e) –204.319
2. Calcula con aproximación de 3 cifras decimales:
e
a) –324.6634906
b) –324.668
c) –234.663
d) 324.663
e) –324.663
3. Calcula con una aproximación de 3 decimales e
a) –0.25276
b) 0.2528
c) –0.253
d) –0.252
e) 0.253
4. Cierta ciudad se ve amenazada por el desbordamiento de un río, y se ve en la necesidad de ser
evacuada. La distancia del río al centro de la ciudad es de 27.5 km. Se han hecho 5 registros de las
distancias recorridas por el río en la última hora. Los primeros 12 min recorrió 117 m, los siguientes 12
min recorrió 166 m, los siguientes 12 min recorrió 213 m, los siguientes 12 min recorrió 258 m y
en los últimos 12 min recorrió 160 m. ¿Cuántos kilómetros faltan para que el río alcance la ciudad?
Matemáticas 1 (Álgebra 1) Unidad 4. Números reales
Nombre:
Grupo: Número de cuenta:
Profesor: Campus:
203
a) 26.5833125 m
b) 26.5833125 km
c) –26.5833125 km
d) 26.78 km
e) 26 000 m
5. El costo en pesos por tender una línea telefónica de una población a otra está dado por
a a , en donde a representa la distancia en kilómetros entre las poblaciones. Calcula
el costo si se sabe que la población A se encuentra a una distancia de km de la población B
que es en donde se encuentran las oficinas telefónicas.
a) $21 245.98
b) $21 254.6513
c) $212 450.6513
d) $21 245.6513
e) $21 245
204
