UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES

OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

EL PLANO CARTESIANO.

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las ‘X’ y uno de las ‘Y’, respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:

P (x, y)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:

1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.

2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.

Ejemplos:

Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano.

Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.

Determinar las coordenadas del punto M.

Las coordenadas del punto M son (3,-5).

De lo anterior se concluye que:

Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.

Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad .

Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de Doña Lupe:

Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos oriente.

El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a la farmacia.

La cantidad de cuadras que tenemos que caminar las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano.

Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera:

Para el problema planteado, el origen del plano será el punto de partida que es en donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia.

Cada punto del plano cartesiano tiene una única forma de escritura y se llama par ordenado.

El punto P (2,3) es un par ordenado.

El punto Q (3,2) es otro par ordenado

Por lo tanto el punto P no es igual al punto Q.

Si ubicamos dos puntos en el plano cartesiano y los unimos, tenemos graficada una recta.

Ubiquemos los puntos R(6,4) y S(10,8) en el plano cartesiano, al unirlos obtenemos una línea recta.

Ejemplo:

En el plano cartesiano siguiente encontrarás la representación de los siguientes pares ordenados:

(1; 1);(-3/2; 2);(-4; -4);(3/2;-3/2).

Distancia entre dos puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1)

d = 5 unidades

Punto medio es el punto que divide a un segmento en dos partes iguales.

El punto medio de un segmento, es único y equidista de los extremos del segmento. Cumpliendo esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.

La fórmula para determinar el punto medio de un segmento en el plano, con coordenadas:

(x1,y1) y (x2,y2) es: [(x1 + x2) / 2] + [(y1 + y2) / 2]

Segmentos

Dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.

Ejercicios Propuestos

1. Ubicar en un plano cartesiano los siguientes puntos:(-2, 3), (2, -3), (2, 3), (-2, -3), (0, 5), (5, 0), (4, 4), (-4, -4)

2. Tres vértices de un rectángulo son los puntos (2, -1); (7, -1) y (7, 3). Hallar el cuarto vértice y el área del rectángulo sol: (2, 3); 20.

Relaciones

Una relación binaria , en los conjuntos A1,A2 es un subconjunto del producto cartesiano

Una relación binaria es una relación entre dos conjuntos.

Dominio: conjuntos con todos aquellos valores para los cuales la función esta definida.

Rango: conjunto de valores que se obtienen al aplicar la función a cada elemento del dominio.

Funciones

Se llama función a una relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida (dominio) le corresponde sólo un elemento (o imagen) del conjunto de llegada (codominio).

Esto se expresa:

fY = f(x) o x —→ y

El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores para los cuales la función está definida. Entonces, el dominio de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente. Se denota Dom f o Df.

El conjunto imagen, también llamado codominio, está formado por los valores que alcanza la función. Entonces, la imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente.

Tipo de funciones:

Función Inyectiva:

Es aquella donde cada elemento del conjunto de partida o dominio tiene diferente imagen en el conjunto de llegada o codominio.

Es decir a los elementos del conjunto de llegada les corresponde a lo sumo un elemento del conjunto de partida.

Observa en el gráfico siguiente como TODOS los elementos del conjunto X, tienen diferente imagen en el conjunto Y.

Función Sobreyectiva

Es aquella donde cada elemento del conjunto de llegada (codominio) es imagen de algún elemento del conjunto de partida o dominio. Es decir el conjunto de llegada e imagen son iguales.

En el gráfico siguiente observa como TODOS los elementos del conjunto Y, son imagen de los elementos del conjunto X.

Función Biyectiva

Es aquella función donde se cumplen ambas propiedades inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Funciones reales

– Función afín: todas las funciones de R → R cuya representación grafica es una línea recta la llamamos función afín y su forma general es: F (x)= ax + b a y b Є R

– - Función cuadrática: es una función de la forma f(x)= ax2+bx+c con a, b y c números reales y a ≠ 0.

- Función inversa: una función f(x) tiene inversa, f -1 (x) si y solo si f(x) es una función biyectiva.

- Función exponencial de base a: Es una función de la forma y= f(x) =ax, donde a es un numero real positivo distinto de uno.Una función de la forma y= f(x) = ax, donde a > 0 y a ≠ de 1, es una función exponencial, donde a es la base de la exponencial.

- La Función logarítmica: para a> 0 y a ≠ 1 el logaritmo en base a de un numero x>0 es el componente al que hay que elevar la base para obtener dicho numero. Log a x= y es equivalente a x= ay.

Funciones trigonométrica.

- Función seno: es un función real tal que a cada ángulo α, expresado en radianes, se le hace corresponder un numero real denotado como sen x.Sen: R → R tal que sen (α)= y

- Función coseno: es una función real de variable real de variable real que a cada ángulo α medido en radianes se le hace corresponder un numero real denotado como cos α.

Cos: R → R tal que cos (x)= y

- La función tangente:Es una función de variable real definida como el cociente f(x) = sen x, siendo cos α.Coseno de x distinto de 0 denotada por f(x) = tag x, de forma tal que cada ángulo, expresado en radianes, le haga corresponder el valor de su tangente.

Representación grafica:

Simetría: es una propiedad que se encuentra con frecuencia en los fenómenos naturales: acción y reacción, materia y antimateria, izquierda y derecha objeto e imagen, etc.

TraslacionesSean dos puntos P y Q cualquiera del plano, y sean P’ y Q` sus respectivas imágenes por el movimiento T entonces T es una traslación si los dos segmentos PP’ y QQ`.a) son de la misma longitud.b) Tienen direcciones paralelas.c) Tienen el mismo sentido.

Funciones definidas por intervaloSon aquellas en las cuales la obtención de las imágenes varían de acuerdo al

intervalo del eje x que se esta utilizando. Ellas se caracterizan porque contienen varias expresiones algebraicas.

Graficación de funciones en el plano cartesiano

El plano cartesiano nos sirve para representar gráficamente funciones. En dichas funciones los valores que adquiere Y, dependen de los valores que le asignemos a la variable X.

Para representar una función en el plano cartesiano seguimos los siguientes pasos:

Resolvamos el siguiente ejemplo: Y = 3X

1.- Elaboramos una tabla de valores colocando en el lado izquierdo los valores de la variable “independiente” X, mientras que en el lado derecho ubicaremos los resultados para la función dada.

Damos valores a x, (utiliza números negativos, positivos y el cero inclusive) (-2), (-1), (0), (1), (2).

2.- Los valores de X los reemplazamos en la función Y = 3X para obtener los valores de Y

Y = 3 (-2) = -6 Y = 3 (-1) = -3 Y = 3 ( 0) = 0 Y = 3 ( 1) = 3 Y = 3 ( 2) = 6

3.- Con los datos obtenidos de X y de Y, se forma la tabla de valores (tabla de pares ordenados)

4.- En el plano cartesiano ubicamos los pares ordenados de la siguiente manera: (observa el gráfico)

5.- Al unir los puntos obtenemos una línea recta que corresponde al gráfico de la función Y = 3 x, y que por sus características es la representación de una función lineal.

Traslaciones

Sea un punto en , un vector del plano. Entonces es el punto

trasladado en el vector . Abreviaremos lo anterior diciendo que es el punto trasladado en el vector . Luego definimos:

(Traslación de un punto en un vector )

Ejemplo 1: Tomemos el cuadrado , donde

, , ,

Este cuadrado lo queremos trasladar en el vector

Figura 4.2: imagenes/ Trasladando un cuadrado

Si llamamos al cuadrado trasladado , tenemos que

Aplicando la misma idea a todos los vertices del cuadrado, se obtiene:

, , ,

Funciones definidas por intervalos

Las funciones definidas para distintos intervalos de x, puede ser discontinua en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo:

• La Función parte entera de x, E(x), donde E(x) es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que:

E(x) ≤ x < E(x) + 1.

Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante.

• Otras funciones definidas por intervalos son:

Función escalón unitarioFunción signo

3. Determine el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x) = +

b) f(x) =

c) g(x) =

Ejercicio nº 1.-

Halla el dominio de definición de las funciones siguientes:

1

1 a)

2 +=

xy

x

xy

1 b)

+=

Ejercicio nº 2.-

Asocia a cada gráfica su ecuación:

xy3

5 c) −=

24 d) xy −=

I) II)

III) IV)

Ejercicio nº 3.-

Representa la gráfica de la siguiente función:

15

3 +−= xy

Ejercicio nº 4.-

Halla la expresión analítica de la recta cuya gráfica es:

Ejercicio nº 5.-

Representa la gráfica de la siguiente función:

42 +−= xy

4. Trace la gráfica de las siguientes funciones: a) f(x) = (x - 1)(x - 3)

b) g(x) = si x < 1 2 - x si -1 x 2 x + 2 si x > 2

5. Determine si la función es par, impar o ninguna de las dos: a) f(x) = x6 - x2 + 5 b) f(x) = x3 - 1 c) f(x) = |x| / x

6. Hallar la distancia entre los puntos P1 (2, -8) y P2 (3, 5)

SOLUCIÓNx2 – x1 = 3 – 2 = 1 ; y2 – y1 = 5 – (-3) = 13

Luego,

7. Sean P1 (-1, 1) y P2 (3, 0) dos puntos en el plano. Determine:

Coordenadas del punto medio M del segmento

Coordenadas del punto P sobre el segmento tal que

SOLUCIÓN

En la figura adjunta se ilustra el segmento y los puntos pedidos en a) y

Si el punto medio M tiene coordenadas. M (x m, y m) entonces:

Luego, las coordenadas del punto M son. M (1, 1/2)

Como entonces

Si P(x, y) denota las coordenadas del punto P, se tiene de acuerdo a las fórmulas (5) y (6):

Luego, las coordenadas del punto P, son: P

8. Escribir la ecuación de las rectas l, m, n, y r indicada en la figura.

SOLUCIÓN

Para la recta l, se tiene y = (tan 30º) .

Para la recta n, se tiene y = (tan 45º) . Es decir y = x

Igualmente, para la recta m, se tiene:

y = (tan 135º) x = (-tan 45º). x = -1.x Esto es, y = -x

Ahora, como el punto P(1, 3) g r, se tiene que

Luego, y = 3x es la ecuación de la recta r

9. Escribir la ecuación de las rectas l, m, n y r indicadas en la figura

SOLUCIÓN

Para la recta l, el intercepto con el eje y es b = 1. Además, . Luego, la ecuación de la recta l es: y = x + 1.

Para la recta m, b = 1 y

Por lo tanto, y = -x + 1 es la ecuación de la recta m.

También para la recta n, b = -2 y la ecuación de la recta n, tiene la forma, y = mx – 2.

Como el punto (2, 0) n, entonces satisface su ecuación, es decir,

0 = 2m – 2 , de donde m = 1.

Por tanto, y = x – 2 es la ecuación de la recta n.

Para la recta r, se procede como se hizo para l, obteniendo como ecuación:

y = 2x + 2.

10. Determine las ecuaciones de las rectas l y r que se muestran en la figura adjunta.

SOLUCIÓNPara la recta l, se tiene: y – 3 = ml (x + 1).

Pero ml = tan 135º

= - tan 45º = -1

Luego, y – 3 = - (x + 1)

ó x + y – 2 = 0 es la ecuación de la recta

Para la recta r se tiene: y – 3 = mr (x + 1).

Pero, mr =

Luego, y – 3 = 3(x + 1) ó 3x – y + 6 = 0 representa la ecuación de la recta r.

11. Aplique al triángulo de vértices una

traslación en el vector . Dibuje la situación utilizando un gráfico.

12.Encuentre qué traslación transforma al triángulo con vértices

en el triángulo con vértices

13. Encuentre una traslación que anule el efecto de , o sea que

, para todo punto .

14.Un robot se puede mover utilizando las instrucciones que recibe con un

programa. Un programa no es más que una secuencia vectores ,

donde cada . Cuando el robot recibe un programa, éste hace una

secuencia de movimientos: primero se mueve hacia donde es el

punto desde donde inicia su recorrido, luego, se mueve a , y así

sucesivamente, hasta que llega a y se detiene.

a. Escriba el vector en función de y b. Escriba un programa de modo que si el robot parte en el origen de coordenadas,

éste se mueva al punto . c. Muestre que si el robot parte en el origen de coordenadas, entonces no existe

ningún programa que le permita llegar a d. Muestre que si el robot parte en el origen de coordenadas, no existe ningún

programa que le permita llegar a

15. Demuestre que la traslación preserva distancias, es decir, muestre que si y están

a distancia , entonces y también se encuentran a distancia .