Unidad 4. Prueba de Hipotesis

8/19/2019 Unidad 4. Prueba de Hipotesis

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Estadística II

Unidad IV

PRUEBA DE HIPÓTESIS

4.1Elementos de una prueba de hipótesis

4.2 Error tipo I Y tipo II

4.3 Prueba de hipótesis sobre medias y diferencias de medias en muestras pequeñas y randes

4.4 Pruebas de hipótesis sobre proporciones y diferencias de proporciones en muestras pequeñas y randes

4.! Pruebas de hipótesis sobre des"iación est#ndar

4.1 Elementos de una pue!a de "ip#tesis


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$tra manera de hacer inferencia es haciendo una afirmación acerca del "alor que el

par#metro de la población ba%o estudio puede tomar. Esta afirmación puede estar basada en

aluna creencia o e&periencia pasada que ser# contrastada con la e"idencia que nosotros

obtenamos a tra"'s de la información contenida en la muestra. Esto es a lo que llamamos Pue!ade Hip#tesis

Hip#tesis$ Es una suposición acerca del "alor de un par#metro de una población con el propósitode discutir su "alide(.

E%emplo de hipótesis acerca de un par#metro de una población son)

El sueldo promedio de un profesional asciende a *2+,2!.

El "einte por ciento de los consumidores utili(a aceite de oli"a

Pue!a de "ip#tesis$ es un procedimiento+ basado en la e"idencia de la muestra y en lateor-a de las probabilidades+ usado para determinar si la hipótesis es una afirmación ra(onable y

deber-a no ser recha(ada o si no es ra(onable deber-a ser recha(ada.

na prueba de hipótesis comprende cuatro elementos principales)

1. /ipótesis 0ula%. /ipótesis lternati"a&. Estad-stica de Prueba4. eión de echa(o

a "ip#tesis nulaH'+ es la primera de dos opuestas en una prueba de hipótesis. Es unadescripción del estado de cosas en un momento dado status quo 5 de sabidur-a con"encional+ de lo

que las personas han pensado durante mucho tiempo que es cierto. 6i la /7+ se corrobora en unaprueba de hipótesis+ no es necesario tomar ninuna acción. a Hip#tesis (ula + denotada como /7 siempre especifica un solo "alor del par#metro de la población si la hipótesis es simple o un

con%unto de "alores si es compuesta es lo que queremos desacreditar5.

a "ip#tesis altenati)aH1+ es la seunda de dos opuestas en una prueba de hipótesis. Es unmedio para hacer ase"eraciones sorprendentes que contradicen la sabidur-a con"encional. 6i la /7+

no se puede corroborar en una prueba de hipótesis+ /1se acepta tentati"amente y esto requiereiniciar una acción. Por lo tanto+ se puede considerar a la /1 como la hipótesis de acción. a

Hip#tesis Altenati)a + denotada como /1 es la que responde nuestra preunta+ la que se estableceen base a la e"idencia que tenemos. Puede tener cuatro formas)


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a Estadística de Pue!a es una estad-stica que se deri"a del estimador puntual del par#metroque estemos probando y en ella basamos nuestra decisión acerca de si recha(ar o no recha(ar la

/ipótesis 0ula.

El Estadístico de pue!a$ Es un "alor+ determinado a partir de la información de la muestra+ usadopara decidir si recha(ar o no la hipótesis nula.

a Re*i#n de Rec"a+o$ es el con%unto de "alores tales que si la prueba estad-stica cae dentro deeste rano+ decidimos recha(ar la /ipótesis 0ula

El )alo cítico) Es el punto que di"ide la reión entre el luar en el que la hipótesis nula esrecha(ada y la reión donde la hipótesis nula es no recha(ada.

E,emplo$

Estable(ca las dos hipótesis para cada una de las situaciones siuientes)

1. n fabricante+ utili(a l#minas de aluminio para la elaboración de la latas pararefrescosaseura que 'stas tienen 1 mil-metro de espesor en promedio.

Soluci#n$

%. n fabricante de "arillas de acero especial que son utili(adas en la construcción de edificiosmuy altos aseura que 'stas poseen una resistencia promedio a la tracción de al menos

2777 libras.

Soluci#n$

Etapas !-sicas en pue!as de "ip#tesis

1. 8ormular dos hipótesis opuestas.%. 6eleccionar un estad-stico de prueba.&. 9eri"ar una rela de decisión.4. :omar una muestra+ calcular el estad-stico de prueba y confrontarlo con larela de

decisión.

Paso 1$ omulaci#n de dos "ip#tesis opuestas

El primer paso para probar una hipótesis es siempre formular dos hipótesisopuestas+ quesean mutuamente e&cluyentes y+ tambi'n colecti"amentee&hausti"as+ del e&perimento que

estemos e"aluando. ;ada una de estashipótesis complementarias es una proposición sobre un

par#metro de lapoblación tal que la "erdad de una implique la falsedad de la otra. a

primerahipótesis del con%unto+ simboli(ada por /7+ se denomina "ip#tesis nula/ laseunda+simboli(ada por /1 o bien por /a+ es la "ip#tesis altenati)a.

Paso %$ Selecci#n de un estadístico de pue!a


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El seundo paso para probar una hipótesis es la selección de un estad-stico deprueba. n

estadístico de pue!a es aquel calculado con base en una solamuestra aleatoria simple tomada dela población de inter's< en una prueba dehipótesis sir"e para establecer la "erdad o falsedad de la

hipótesis nula.

Paso &$ Dei)aci#n de una e*la de decisi#n

na "e( que hemos formulado de manera apropiada las dos hipótesis opuestas y

seleccionado el tipo de estad-stico con qu' probarlas+ el paso siuiente en laprueba de hipótesis es

la deri"ación de una rela de decisión)na e*la de decisi#n es una rela para pue!a de"ip#tesis que nospermite determinar si la hipótesis nula debe ser aceptada o si debeserec"a+ada a fa"or de la alternati"a.

6e dice que los "alores num'ricos del estad-stico de prueba para los que /7+ es aceptada+ es

decir+ est#n en la e*i#n de aceptaci#n y sonconsiderados no si*ni0icati)os estadísticamente.

Por el contrario+ si el "alor num'rico del estad-stico de prueba seencuentra en la reión de

recha(o+ esto aconse%a que la hipótesis alternati"asustituya a la desacreditada hipótesis nula<

entonces este "alor es considerado estad-sticamente sinificati"o.

Es importante notar que la aceptación o recha(o se refiere a la hipótesisnula / 7 .

Paso 4$ Toma de una muesta c-lculo del estadístico de pue!a 2con0ontaci#n con la e*lade decisi#n.

El paso final en la prueba de hipótesis requiere)

a5 6eleccionar una muestra aleatoria simple de tamaño n de la población deinter's+b5 ;alcular el "alor real opuesto al cr-tico5 del estad-stico de pruebaseleccionado en el paso

25.c5 ;onfrontar con la rela de decisión deri"ada en el paso 35.

Tipos de pue!as de "ip#tesis

as pruebas de hipótesis se clasifican como dieccionales o nodieccionales+dependiendo de cuando la hipótesis nula in"olucra o no el sino de iualdad=5.

6i la afirmación de /7contiene el sino de iualdad+ entonces la prueba sellama no

direccional mientras que si tal afirmación no contiene el sino deiualdad esto es+ si in"olucra lossinos menor o mayor que5+ entonces laprueba se llama direccional.

as pruebas no direccionales se llaman tambi'n pue!as de dos colas o !ilateal y lasdireccionales se nombran pruebas de una cola.


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En la pr#ctica la pue!a !ilateal se utili(a siempre que la di"erencia de ambasdirecciones sea cr-tica+ como podr# ser el caso de la fabricación de ropa+donde las camisas que

sean demasiado randes o demasiado pequeñas conrespecto a la talla marcada espec-fica. $tro

e%emplo+ un tornillo que tiene queembonar o a%ustar perfectamente y e&iste un ra"e problema si es

m#s randeo m#s pequeño.

Prueba bilateral

s-+ si la afirmación de /7 contiene el s-mbolo 3˃+ entonces la prueba se llama pue!a

dieccional o unilateal de cola deec"a y puede ser >til cuando est#ndares m#&imos no debenser rebasados. Por e%emplo+ la cantidad de rasa permitida en la leche descremada+ la radiación

emitida por estaciones nucleares+ el n>mero de art-culos defectuosos en embarque y el rado de

contaminación producido por una chimenea.

;ola derecha

Por el contrario 6i la afirmación de /7tiene el s-mbolo 3˂+ entonces la prueba se denominapue!a dieccional o unilateal de cola i+5uieda y es >til cuando se quiere obser"ar si se hacumplido un est#ndar m-nimo. lunos e%emplos) m-nimo de rasa en la leche entera+ el peso neto

de productos empacados+ la tensión de los cinturones de seuridad+ la "ida >til de un producto+

se>n lo especificado por la arant-a.

;ola i(quierda

na hipótesis altenati)a o de in)esti*aci#n+ denotada con /1+ es un enunciado acerca dela población. a hipótesis nula+ denotada con /7+ es la neación de la hipótesis alternati"a /1. a


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estrateia b#sica en las pruebas de hipótesis es tratar de apoyar la hipótesis alternati"a

3contadiciendo la hipótesis nula.

A6TIVIDAD DE APRE(DI7A8E.

In"estiar dos e%emplos de prueba hipótesis+ indicando su /ipótesis 0ula /7 y su /ipótesis

lternati"a /1.

4.% Eo tipo I 9 tipo II

;omo las conclusiones a las que lleuemos se basan en una muestra+ hay posibilidades deque nos equi"oquemos.

Dos decisiones coectas son posi!les$

echa(ar /7cuando es falsa.0o echa(ar /7cuando es "erdadera.

Dos decisiones incoectas son posi!les$

echa(ar /7 cuando es "erdadera.0o echa(ar /7cuando es falsa.

Eo tipo I

En una prueba estad-stica+ recha(ar la hipótesis nula cuando 'sta es "erdadera se

denomina eo tipo I Y a la probabilidad de cometer un error tipo I se le asina el s-mbolo letrariea alfa5


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a probabilidad de aumenta o disminuye a medida que aumenta o disminuye el tamaño

de la reión de recha(o. Entonces+ ?por qu' no se disminuye el tamaño de la reión de recha(o

para hacer tan pequeña como sea posible@

9esraciadamente+ al disminuir el "alor de aumenta la probabilidad de no recha(ar la

hipótesis nula cuando 'sta es falsa y aluna hipótesis alternati"a es "erdadera.

umenta entonces la probabilidad de cometer el llamado error de tipo II+ el cual ser#

e&plicado m#s adelante+ para una prueba estad-stica.

E,emplo$

n fabricante de "arillas de acero especial que son utili(adas en la construcción de edificios muyaltos ha contratado a un estadista para que pruebe si sus "arillas ciertamente tienen un promedio

de resistencia a la tensión de al menos 2777 libras ?;u#les son las implicaciones si el ni"el de

sinificancia de la prueba de hipótesis se fi%a en) = 7.7A@

Soluci#n$

9adas las hipótesis)El procedimiento aseura aunque cuando las "arillas tenan un promedio deresistencia a la

tensión de 2777 libras o m#s+ en el AB de todas las pruebas laconclusión ser# lo contrario.

Eo tipo II

En una prueba estad-stica+ aceptar la hipótesis nula cuando 'sta es falsa se denomina eo

tipo II. la probabilidad de cometer un error de tipo II se le asina el s-mbolo letra riea beta5.

Para un tamaño de muestra fi%o+ y est#n in"ersamente relacionados< al aumentar unoel otro disminuye. El aumento del tamaño de muestra produce mayor información sobre la cualpuede basarse la decisión. En una situación e&perimental+ las probabilidades de los errores de tipoI y II para una prueba miden el rieso de tomar una decisión incorrecta. El e&perimentadorselecciona los "alores de estas probabilidades y la reión de recha(o y el tamaño de muestra seescoen de acuerdo con ellas.

E,emplo$

El fabricante de computadoras ha contratado a un estadista para probar si el ensamble de unacomputadora toma un promedio de al menos !7 minutos. ?;u#les son las implicaciones si el rieso

de la prueba es iual a 7.2@

Soluci#n$


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9adas las hipótesis)

El procedimiento aseura que si el tiempo de ensamble en efecto promedia m#sde !7minutos+ en el 27B de todas las pruebas la conclusión ser# lo contrario.6in embaro+ en el A7B de

dichas pruebas este tipo de error se e"ita+ lo queindica la potencia de la pue!a .

:abla de tipos de errores en una prueba de hipótesis.

H' Vedadea H' alsa

Rec"a+amos H'Error tipo I

Perror tipo I5 =9esición correcta

(o ec"a+amos H' 9esición correctaError tipo II

Perror tipo II5 =

a Probabilidad de cometer un error :ipo I se conoce como (i)el de Si*ni0icancia + sedenota como a y es el tamaño de la reión de recha(o.

El complemento de la reión de recha(o es 1C y es conocido como el 6oe0iciente de6on0ian+a .

En una prueba de /ipótesis de dos colas la reión de no recha(o corresponde a uninter"alo de confian(a para el par#metro en cuestión.

(i)el de si*ni0icancia

El ni"el de sinificancia o sinificación es la probabilidad de cometer un errortipo I+ es

decir+ el "alor que se le asina a .

Potencia de la pue!a

Es posible determinar la probabilidad asociada con tomar una decisión correcta norecha(ar /7 cuando es "erdadera o recha(arla cuando es falsa.

a probabilidad de no recha(ar /7cuando es "erdadera es iual a 1C . Esto se puede demostrar

notando que)

Precha(ar /7 cuando es "erdadera5 D Pno recha(ar /7 cuando es "erdadera5 = 1

;omo Precha(ar /7 cuando es "erdadera5 = +

tenemos)

Pno recha(ar /7 cuando es "erdadera5 = 1C

0ote que la probabilidad de no recha(ar /7 cuando es "erdadera es el ni)el de con0ian+a 1C


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a probabilidad de recha(ar cuando es falsa es iual a 1C . Esto se puede demostrar notando que)

Precha(ar /7 cuando es falsa5 D Pno recha(ar /7 cuando es falsa5 = 1

Pero como) Pno recha(ar /7 cuando es falsa5 = +

tenemos)

Precha(ar /7 cuando es falsa5 = 1C

a probabilidad de recha(ar la hipótesis nula /7 cuando es falsa se llamapotencia de lapue!a.

Po!a!ilidades asociadas con los cuato esultados posi!les de unapue!a de "ip#tesis.

Sím!olo de la po!a!ilidad De0inici#n

0i"el de sinificancia. Error tipo I.

Probabilidad de un error tipo II.

1C 0i"el de confian(a. Probabilidad de no recha(ar /7 cuando es "erdadera.

1CPotencia de la prueba. Probabilidad de recha(ar /7 cuando es falsa.


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4.& Pue!a de "ip#tesis so!e medias 2 di0eencias de medias en muestas pe5ue:as 2*andes

/asta aqu-+ hemos "isto las dos t'cnicas cl#sicas para hacer inferencias sobre el "alor de un

par#metro desconocido) la estimaci#n 2 la pue!a de "ip#tesis.

na comparación de un par#metro desconocido con una constante conocida que utili(a una

prueba de dos colas con un ni"el de sinificancia iuala + se puede hacer construyendo un

inter"alo del ;1< =1''> de confian(apara el par#metro. 6i el "alor supuesto del par#metro est#contenido en elinter"alo de confian(a+ entonces no podemos concluir que ese par#metro

seadistinto de la constante conocida.

E,emplo 1$

n laboratorio farmac'utico anuncia que una de sus tabletas para ba%ar latemperatura contiene 17

miliramos de aspirina. El estudio de una muestraaleatoria de 177 tabletas produ%o una media de17.2 ramos y una des"iación est#ndar de 1.4. ?Podemos concluirque es diferente de 17 con un

ni"el desinificancia del !B@

esol"amos este e%emplo+ utili(ando la prueba de hipótesis)

Paso 1.

Establecemos las dos hipótesis opuestas y dado que se supone que la tableta contiene 17

miliramos de aspirina entonces)

$bser"emos que+ dado que aparece el sino de iualdad en la hipótesis nula+ entonces la prueba es

de dos colas no direccional5 y la reión de recha(o consiste de los "alores en las colas i(quierda y

derecha de la distribución. ;omo la probabilidad de cometer un eo tipo I+ recha(ar /7 cuando


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es cierta5 es 7.7! y la reión de recha(o se ubica en ambas colas+ colocamos de la

distribución en cada una de las reiones de las colas+ tal y como se indica en la siuiente fiura)

;ur"a de la distribución normal est#ndar.

En la r#fica anterior se puede apreciar las (onas de aceptación y de recha(o.

Paso %.

6eleccionar el estad-stico de prueba+ que es el "alor de ( para . 6i n=177+ la des"iación est#ndar

muestral proporciona unbuen estimado para . Por lo tanto)

Paso &.

9eri"ar una rela de decisión< recha(ar /7+ si ( (7.72! ó( ˃(7.72! resulta claro al utili(ar una tabla

de la distribución normal est#ndar en la que los "alores cr-ticos son)

F(7.72! = F 1.G,+ tal y como se muestra en lasiuiente fiura)

(i)el de con0ian+a 6ali0icaci#n +

7.G7 7.7! 1.,4!

7.G! 7.72! 1.G,

7.GA 7.71 2.33

7.GG 7.77! 2.!H!


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Paso 4.

:oma de la muestra+ c#lculo del estad-stico de prueba y confrontación del mismo con la rela de

decisión)

Para este caso+ tenemos que los datos son)

;onsiderando que el estad-stico de prueba es)

Entonces+ al sustituir datos en el estad-stico de prueba tenemos que)

Para finalmente al reali(ar operaciones obtenemos el "alor) ( = 1.43 y al confrontarlo con la rela de

decisión finalmente "emos que)

;ur"a de la distribución normal est#ndar


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6e puede apreciar la confrontación del estad-stico de prueba con la rela dedecisión.

El "alor de ( cae dentro de la (ona de aceptación+ por lo tanto+ aceptamos lahipótesis nula / 7+ con

lo cual concluimos que no hay e"idencia estad-stica deque sea diferente de 17. ceptar /7se

interpreta como que nuestra e"idenciaes estad-sticamente sinificati"a con =!B.

(ota$ e&iste la posibilidad de cometer un error tipo II+ pues /7puede serfalsa y no la recha(amos< la

probabilidad en este caso es desconocida. Enconsecuencia+ el e&perimentador debe reser"arse

el %uicio sobre /7 hastaobtener m#s datos< en este caso+ la decisión es no recha(ar / 7. ;omo lo

di%imosantes+ esta decisión no implica que /7se acepte como "erdadera o plausible.

6olución utili(ando inte)alos de con0ian+a.6i ahora construimos un inter"alo de confian(a delG!B de confian(a para elpromedio del contenido de aspirina+ tenemos que recordar que los l-mites

delinter"alo de confian(a se encuentran usando)

y teniendo en cuenta que el "alor cr-tico es) ( 7.72!=1.G,+ que n=177 y que es desconocida+ s

proporciona un buen estimado de . En consecuencia los l-mites son)

Es decir+ un inter"alo del G!B de confian(a para es G.G3+ 17.4H5< por lotanto+ como el "alor

supuesto 17 est# contenido en el inter"alo no podemos concluir que 17 (ota ) este resultadoda la misma conclusión a la quelleamos usando el procedimiento de prueba de hipótesis5.

;omo podemos obser"ar+ un inter"alo de confian(a proporciona m#sinformación que una prueba

de hipótesis< con base en los datos+ pudimosrecha(ar la hipótesis nula y encontrar que el resultado


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no ten-a importanciapr#ctica+ pero si usamos el inter"alo de confian(a correspondiente y un poco

desentido com>n podemos determinar si los resultados de la prueba de hipótesisson de

importancia pr#ctica.

E,emplo %$

En una muestra aleatoria de 37 "ia%es en bus entre la ciudad y la ciudad J+ se obtu"o un tiempo

promedio de "ia%e de 17! minutos. a des"iación est#ndar de la población se ha estimado en A

minutos. $btener un inter"alo de confian(a para el "erdadero tiempo promedio de "ia%e. tilice un

ni"el de confian(a del G!B.


0i"el de confian(a G!B

6olución utili(ando inte)alos de con0ian+a.6i ahora construimos un inter"alo de confian(a delG!B de confian(a para el promedio del contenido de aspirina+ tenemos que recordar que los l-mites

del inter"alo de confian(a se encuentran usando)

y teniendo en cuenta que el "alor cr-tico es) ( 7.72!=1.G,+ que n=3, y que es desconocida+ s


Es decir+ un inter"alo del G!B de confian(a para es 172.14+ 17H.A,5.


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Resumiendo$

1. na prueba de hipótesis puede producir resultados sinificati"os+ pero que no tenanimportancia pr#ctica.

%. n tamaño de muestra rande aumenta la posibilidad de recha(ar la hipótesis nula.&. n procedimiento de prueba se considera como bueno cuando tanto las probabilidades

de suceso del error tipo I como del tipo II son pequeñas.

a. Pue!as de "ip#tesis ;muestas pe5ue:as=

En las pruebas de hipótesis que hemos reali(ando+ se utili(ó la distribución normal

est#ndar+ que es la distribución K(L+ como estad-stico de prueba. Para emplear la distribución K(Les necesario conocer la des"iación est#ndar sima5 de la población o tener una muestra randede 37 obser"aciones por lo menos5.

6in embaro+ en muchas situaciones no se conoce sima y el n>mero de obser"acionesen la muestra es menor de 37. En estos casos+ se puede utili(ar la des"iación est#ndar de la

muestra KsL como una estimación de alfa< pero no es posible usar la distribución K(L como

estad-stico de prueba. El estad-stico de prueba adecuado es la t de Studento simplementedistribución t. ;uando se utili(a la t de 6tudent se supone que la población tiene una distribuciónnormal.

A6TIVIDAD DE APRE(DI7A8E.

1. a duración media de una muestra de 177 tubos fluorescentes producidospor una

compañ-a resulta ser de 1!H7 horas+ con una des"iación t-pica de 127 horas. 6i es la

duración media de todos los tubos producidos por la compañ-a. ;omprobar la hipótesis

=1,77 contra la hipótesis alternati"a 1,77 horas con un ni"el de sinificación de 7.7!.

%. En una muestra aleatoria de !7 tuercas+ se obtu"o una lonitud promedio de !mm. a

des"iación est#ndar de la población se ha estimado en 7.72mm. $btener un inter"alo deconfian(a para la lonitud promedio de las tuercas. tilice un ni"el de confian(a del G!B.


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4.4 Pue!as de "ip#tesis so!e popociones 2 di0eencias de popociones en muestaspe5ue:as 2 *andes

?uestas *andes

;onsidere una población dada con una proporción poblacional p de cierta caracter-stica y el

estad-stico asociado a p para muestras de tamaño n . ecuerde que si y entonces)

En una prueba de hipótesis con una proporción la hipótesis nula es de la forma

s-+ ba%o la hipótesis nula + si y entonces.

E,emplo$

n in"estiador afirma que al menos el 17B de los cascos para motocicleta marca 86:tienendefectos de fabricación que pueden pro"ocar daños a quien lo usa. na muestra aleatoria de277

cascos re"ela que 1, de ellos contienen tales defectos.

a= ?;u#l es "alor P de la prueba@!= ?/ay e"idencia que respalde la afirmación del in"estiador con a =7.7!@c= 9etermine las reiones de aceptación y recha(o con a =7.7!.

a= ?;u#l es "alor P de la prueba@

6ea p el porcenta%e de cascos 86: con defectos.

El "alor obser"ado es . El "alor P es)


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Malor

0ote que n=277 y p7=7.1+ como np7=27N! y nq7=1A7N!+ entonces

Malor P =

!=

A6TIVIDAD DE APRE(DI7A8E. ;4.&=

@a duaci#n media de una muesta de 1'' tu!os 0luoescentes poducidos po una

compa:ía esulta se de 1' "oas con una des)iaci#n típica de 1%' "oas. Si esla duaci#n media de todos los tu!os poducidos po la compa:ía.6ompo!a la

"ip#tesis C1'' conta la "ip#tesis altenati)a 1'' "oas con un ni)el desi*ni0icaci#n de '.'.

Paso 1.

Establecemos las dos hipótesis opuestas y dado que se supone que la duración de los tubos

fluorescentes es de 1,77 entonces)


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$bser"emos que+ dado que aparece el sino de iualdad en la hipótesis nula+ entonces la prueba es

de dos colas no direccional5 y la reión de recha(o consiste de los "alores en las colas i(quierda y

derecha de la distribución. ;omo la probabilidad de cometer un eo tipo I+ recha(ar /7 cuando

es cierta5 es 7.7! y la reión de recha(o se ubica en ambas colas+ colocamos de la

distribución en cada una de las reiones de las colas+ tal y como se indica en la siuiente fiura)

;ur"a de la distribución normal est#ndar.

En la r#fica anterior se puede apreciar las (onas de aceptación y de recha(o.

Paso %.

6eleccionar el estad-stico de prueba+ que es el "alor de ( para . 6i n=177+ la des"iación est#ndar

muestral proporciona un buen estimado para . Por lo tanto)

Paso &.

9eri"ar una rela de decisión< recha(ar /7+ si ( (7.72! ó( ˃ (7.72! resulta claro al utili(ar una

tabla de la distribución normal est#ndar en la que los "alores cr-ticos son)

F (7.72! = F 1.G,+ tal y como se muestra en la siuiente fiura)

(i)el de con0ian+a 6ali0icaci#n +

7.G7 7.7! 1.,4!

7.G! 7.72! 1.G,

7.GA 7.71 2.33

7.GG 7.77! 2.!H!


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Paso 4.

:oma de la muestra+ c#lculo del estad-stico de prueba y confrontación del mismo con la rela de

decisión)


;onsiderando que el estad-stico de prueba es)

Entonces+ al sustituir datos en el estad-stico de prueba tenemos que)

Para finalmente al reali(ar operaciones obtenemos el "alor) (= C2.! y al confrontarlo con la rela de

decisión finalmente "emos que)

;ur"a de la distribución normal est#ndar

6e puede apreciar la confrontación del estad-stico de prueba con la rela de decisión.


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El "alor de ( cae fuera de la (ona de aceptación+ por lo tanto+ recha(amos la hipótesis nula / 7+ con

lo cual concluimos que hay e"idencia estad-stica de que es diferente de 1,77.ueo la duración

media de lostubos es sinificati"amente menor que 1,77 horas. ;omo se puede apreciar en

elr#fico+ la media muestral cae fuera de la (ona de aceptación)



y teniendo en cuenta que el "alor cr-tico es) ( 7.72!=1.G,+ que n=177 y que es desconocida+ s


Es decir+ un inter"alo del G!B de confian(a para es 1!4,.4A+ 1!G3.!25< por lo tanto+ como el

"alor supuesto de 1,77 no est# contenido en el inter"alo podemos concluir que 1,77 (ota )este resultado da la misma conclusión a la que lleamos usando el procedimiento de prueba de

hipótesis5.

;omo podemos obser"ar+ un inter"alo de confian(a proporciona m#s información que una prueba

de hipótesis< con base en los datos+ pudimos recha(ar la hipótesis nula y encontrar que el resultado

no ten-a importancia pr#ctica+ pero si usamos el inter"alo de confian(a correspondiente y un poco

de sentido com>n podemos determinar si los resultados de la prueba de hipótesis son de

importancia pr#ctica.

A6TIVIDAD DE APRE(DI7A8E. ;4.&=

En una muesta aleatoia de ' tuecas se o!tu)o una lon*itud pomedio de mm. @a

des)iaci#n est-nda de la po!laci#n se "a estimado en '.'%mm. F!tene un inte)alo decon0ian+a paa la lon*itud pomedio de las tuecas. Utilice un ni)el de con0ian+a del G>.



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0i"el de confian(a G!B



y teniendo en cuenta que el "alor cr-tico es) ( 7.72!=1.G,+ que n=3, y que es desconocida+ s


Es decir+ un inter"alo del G!B de confian(a para es 4.GG4!+ !.77!!5.

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Unidad 4. Prueba de Hipotesis