4.5 Deformaciones y direcciones principalesDeformaciones principales

De las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O de un slido, relativas a las infinitas direcciones OD que se puedan considerar, habr unas que tengan los valores mximo y mnimo a las que se denominar: deformaciones principales. A las direcciones correspondientes en la que eso ocurre, se las denominar: direcciones principales

Ocurrir pues igual que con las tensiones, que en las direcciones principales se cumplir que: / 2= 0y portanto: =.

Una deformacin fsicamente admisible de un slido deformable viene caracterizada por undifeomorfismoTDcuyojacobianoDTD(x,y,z) es positivo en todo instante y para todos los puntos del cuerpo. A partir de esta deformacin admisible podemos construir el campo vectorial de desplazamientos y a partir de sus derivadas primeras construimos el llamadotensor deformacin.Puede demostrarse que fijado un punto de un slido deformable, toda deformacin fsicamente admisible puede aproximarse localmente por tres alargamientos (o acortamientos) i segn direcciones perpendiculares, el valor de estos alargamientos ipuede determinarse resolviendo para cada punto la siguiente ecuacin:

Las tres direcciones segn las cuales se produciran estos alargamientos son precisamente las rectas que pasan por el punto considerado y son paralelas a cada uno de los vectores ni. Si para una determinada direccin principal i> 0 entonces en esa direccin tenemos alargamiento, mientras que i< 0 corresponde a direcciones principales donde existe acortamiento.

Calculo de deformaciones principales

Para obtener el valor de las deformaciones principales, recodemos que si i es el valor de una de ellas; por serti = 0 resultar de acuerdo a:

Para que el sistema homogneo de dos ecuaciones con dos incgnitas admita soluciones distintas de la trivial (sen i = cos i = 0), la que no representa solucin para el problema fsico planteado, puesto que no cumple la ecuacin de condicin sen 2 i + cos2 i =1

Y cuyas races son:

Para ubicar las direcciones principales, bastar con plantear la nulidad de la deformacin especfica transversal

Si la ecuacin XVI se satisface para i = I, tambin lo hara para 2I + = 2IIPor lo tanto II = I + /2

Es decir, que existen en el plano (x-y) dos direcciones ortogonales entre s para las cuales tr resulta nula. Resulta claro que ambas direcciones resultan tambin normales al ejez (tercera direccin principal)

Calculo de las deformaciones principales

Las ecuaciones correspondientes para calcular las Deformaciones Principales, se obtendrn, por lo dicho antes, haciendo los cambios:

Y quedarn las ecuaciones:

Resolviendo este determinante, que da lugar a una ecuacin de tercer grado, se obtendrn las Deformaciones Principales: 1, 2, 3 y se cumplir:1=1,2=2,3=3

Direccin principalDefinicin matemtica

Dada una magnitud fsica detipo tensorialTse plantea el problema matemtico de buscar los vectores no nulosvque cumplan la ecuacin:

Dicho problema constituye unproblema matemticodevectores propios, donde los auto valores (o valores principales) son valores del parmetro para los que existe solucin y cada una de las rectas generadas por un vectorvse llamadireccin principal. El significado fsico tanto de los valores y direcciones principales vara segn la magnitud tensorial considerada. En los siguientes apartados se explica el significado e importancia de valores y direcciones principales para algunas magnitudes tensoriales importantes.

Direccin principalEnfsicaeingeniera, unadireccin principalse refiere a una recta de puntos formada porvectores propiosde algunamagnitud fsicade tipotensorial. Los dos ejemplos ms notorios son las direcciones principales de inercia, usualmente llamadasejes principales de inerciay lasdirecciones principales de tensinydeformacinde unslido deformable.Este artculo resume las propiedades matemticas de las direcciones principales y el significado fsico de las mismas en diferentes los contextos.

Ejes principales de inercia

Como es sabido enmecnica del slido rgido, lainercia rotacionalde un cuerpo viene caracterizada por un tensor llamadotensor de inercia, que en una base ortogonal se expresa mediante una matriz simtrica.

Losejes principales de inerciason precisamente las rectas o ejes formados por vectores propios del tensor de inercia. Tienen la propiedad interesante de que un slido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no vara suorientacinen el espacio. En cambio, si el cuerpo gira alrededor de un eje arbitrario que no sea principal, el movimiento de acuerdo con lasecuaciones de Eulerpresentar cambios de orientacin en forma deprecesinynutacin.

El hecho de que el giro alrededor de un eje principal sea tan simple se debe a que, cuando un slido gira alrededor de uno de sus ejes principales, elmomento angularLy lavelocidad angular son vectores paralelos por estar ambos alineados con una direccin principal:

Donde es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia corresponiente a dicho eje. En general, un cuerpo rgido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Puede probarse adems que si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Todo cuerpo slido tiene al menos un sistema de tres ejes de inercia principales (eltensor de inerciasiempre se puede diagonalizar) aunque, en particular, el nmero sistemas de ejes de inercia principales puede llegar a ser infinito si el slido rgido presenta simetra axial o esfrica. En el caso de la simetra axial dos de los momentos de inercia relativos a sendos ejes tendrn el mismo valor y, en el caso de la simetra esfrica, todos sern iguales. Los slidos rgidos que tienen simetra esfrica se denominanpeonzas esfricasy, los que slo tienen simetra axial,peonzas simtricas.

Calculo de direcciones principales

En el tema 1 relativo a las tensiones, el clculo de las Direcciones Principales venan dadas por las ecuaciones 1.17.a yb.:

Pues bien, haciendo nuevamente los cambios:

Obtendremos las Direcciones Principales correspondientes a las Deformaciones Principales y sern:

1. Ecuacin de compatibilidad

Unaecuacin de compatibilidades una ecuacin adicional a un problema mecnico de equilibrio necesario para asegurar que la solucin buscada es compatible con las condiciones de contorno o para poder asegurar la integrabilidad del campo de deformaciones.

Ecuaciones de compatibilidad en deformaciones

En el planteamiento delproblema elstico, las ecuaciones de compatibilidad son ecuaciones que si se cumplen garantizan la existencia de un campo de desplazamientos compatible con las deformaciones calculadas. En otras palabras, las ecuaciones de compatibilidad son las condiciones necesarias de integrabilidad para el campo de desplazamientos en trminos de las componentes del tensor deformacin.

Elasticidad lineal

En elasticidad lineal unadeformacinser fsicamente posible si es compatible con un determinado campo de desplazamientoses decir si se cumplen las siguientes relaciones para las componentes deltensor deformacin:

Normalmente las componentes del campo de desplazamiento son desconocidas por lo que necesitamos una relacin expresable slo en trminos de las componentes del tensor deformacin. La expresin buscada es precisamente: (1)Estas ltimas relaciones son precisamente las que se conocen comoecuaciones de compatibilidadde laelasticidadlineal.

Elasticidad no-lineal

En teora de la elasticidad no lineal la relacin entre el vector de desplazamientos y las componentes del tensor tensin son no lineales y substancialmente ms complicadas:

Por lo que las ecuaciones de compatibilidad en elasticidad no lineal tambin sonno-lineales:(2)Donde lossmbolos de Christoffelvienen dados por:

La ecuacin (2) se puede reinterpretar en trminos degeometra diferencial, si consideramos que el slido se deforma sobre un espacio eucldeo una vez deformado las coordenadas materiales dejarn de ser cartesianas y la medicin de distancias requerir el uso de un tensor mtrico de la forma:

Y en ese caso la condicin (2) no expresa ms que eltensor de Riemanndel espacio eucldeo expresado en esta mtrica debe ser nulo

Ecuaciones de compatibilidad en desplazamiento

Con frecuencia, en problemas mecnicos o de resistencia de materialeshiperestticosel clculo de alguna fuerza u otra magnitud resulta insuficiente a partir de las condiciones deequilibrio. En ese caso, las ecuaciones de equilibrio forman un sistema compatible indeterminado. Puesto que la situacin fsica real s presenta una solucin unvoca, es decir, las piezas mecnicas toman valores de tensin concretos y las reacciones reales tienen valores totalmente determinados, concluimos que las ecuaciones de equilibrio deben ser complementadas con algn otro tipo de informacin adicional que haga que el problema sea determinado.De hecho, muchos problemas se vuelven completamente determinados si tenemos en cuenta que los desplazamientos observados en la realidad tienen valores determinados. As si introducimos ecuaciones que expresen ciertos desplazamientos en funcin del resto de variables, podemos llegar a construir un sistema de ecuaciones compatible determinado. Dicho sistema estara formado por las ecuaciones de equilibrio, y varias ecuaciones adicionales llamadas ecuaciones de compatibilidad.

(Fig. 1) Problema unidimensionalestticamente indeterminado.

Por ejemplo en la figura (Fig. 1) se muestra un problema unidimensional consistente en la aplicacin de una fuerza en un punto intermedio empotrado en sus extremos. En este caso, el problema esestticamenteindeterminado ohiperestticoel anlisis de fuerzas lleva a una nica ecuacin para las dosreaccionesincgnita existentes:

En este casoPes una fuerza conocida. Para poder determinar las reacciones observamos que la parte izquierda (entreRAyP) esttraccionaday por tanto se estirar, mientras que la parte derecha (entrePyRB) estcomprimiday por tanto se encoger. Puesto que la pieza es un nicoslido deformableel estiramiento de parte izquierda compensar exactamente el estiramiento de la parte derecha, de lo contrario la pieza se rompera. Por tanto estiramiento y acortamiento deben ser compatibles, sa es precisamente la condicin de compatibilidad adicional que resuelve el problema:

Las ecuaciones adicionales pueden obtenerse por diversos mtodos, por ejemplo usando losteoremas de Castiglianoo usando la ecuacin de lacurva elstica. Si el problema es suficientemente sencillo, como en el ejemplo anterior, puede encontrarse la ecuacin de compatibilidad directamente.