INSTITUTO TECNOLOGICO DE ACAPULCO

INGENIERIA ELECTROMECANICA

MATERIA:Calculo Vectorial

ALUMNO:CRISTIAN FERNANDO OJEDA GUTIERREZ

No. De control:11320138

ACAPULCO, GRO.

Unidad IV Funciones de varias variables

4.1 Definición de una función de dos variables.

4.2 Gráfica de una función de dos variables.

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z.

El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia dá un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio.

Una función de dos variables se denota usualmente con la notación

z = f (x, y)

Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente.

La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y).

Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.

En consecuencia, la grafica de una función f de dos variables es una superficie que consta de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas cartesianas están determinadas por las ternas ordenadas de números reales (x, y, z). Como el dominio de f es un conjunto de puntos del plano x, y, y puesto que cada par ordenado (x, y) del dominio de f corresponde a solo un valor de z, ninguna recta perpendicular al plano x,y puede intersectar a la grafica de f en mas de un punto.

Ejemplo ilustrativo 1

La función f del ejemplo 1 es el conjunto de todos los pares ordenados de la forma (P, z) tales que

z=v25- x2 -y2

Por tanto, la grafica de f es la semiesfera en el plano x y por arriba de este cuyo centro es el origen y tiene radio 5. Esta semiesfera se muestra en la figura 1.

Ejemplo 2: dibuje la grafica de la función

Sol/: la grafica de f es la superficie que tiene la ecuación z=x2 +y2 . La traza de la superficie en el plano x,y se obtiene al utilizar la ecuación z=0 simultáneamente con la ecuación de la superficie. Al hacerlo resulta x2 +y2=0 la cual representa el origen. Las trazas en los planos xz y yz se obtiene al emplear las ecuaciones z=x2 +y2. Estos trazos son las parábolas z= x2 y z= y2.

4.3 Curvas y superficies de nivel.

El conjunto de parejas ordenadas x,y se llama dominio de la función y el conjunto de valores correspondiente a z se llama contra dominio, rango, ámbito. Una función de dos variables se escribe z = “f(x,y) de x, y”.

Las variables x, y se denominan variables independientes y z la variable dependiente.La gráfica de una función Z es una superficie del espacio tridimensional. El potencial electrostático en un punto P(x,y) del plano debido a una carga puntual unitaria, colocada en el origen está dada por:

Donde C es una constante positiva, las líneas o curvas equipotenciales son círculos alrededor de la carga y se les denomina curvas del nivel

Las curvas de nivel se usan en la elaboración de mapas orográficos o planos de configuración.En los mapas meteorológicos o climáticos, las curvas de nivel se llaman isotérmicos (cuando la temperatura es constante: isotérmico), en un mapa meteorológico que represente la presión atmosférica se les llama isobalos (presión barométrica constante).

4.4 Límites y continuidad.¿QUE SON LOS LIMITES?

En matemáticas, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión no una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad,derivación,integración, entre otros.

PROPIEDADES DE LOS LIMITES

1. UNICIDAD DEL LIMITE: Si el límite de una función existe, este debe ser único, es decir, si existe el límite de f(x) cuando x se acerca a un cierto punto ‘a’, f(x) no puede acercarse simultáneamente a dos puntos distintos, b y c.Ejemplo

entonces Lim f(x)= ∄x→ -1

porque si evaluamos los limites laterales nos da como resultado dos numeros diferentes. observemos:Lim f(x)= 2 x→ -1ˉ

Lim f(x)= -1x→ -1⁺y la propiedad nos dice que el limite debe ser unico, de lo contrario tal limite no existe

2. LIMITE DE UNA FUNCION CONSTANTE: Es igual a la misma constanteLim k = k            k Є R

x→ a                      .Ejemplo .                                     .        Lim 4 = 4

x→ 7     .

3. LIMITE DE UNA FUNCION POLINOMICA:Para evaluar el limite de una funcion polinomica se cambia la x por el valor que se pide evaluar el limite y se realiza el calculo

f(x)= b₁ xⁿ + b₂ xⁿˉ¹ b₃ xⁿˉ² + bn

Lim (b₁ xⁿ + b₂ xⁿˉ¹ b₃ xⁿˉ² + bn)= b₁ aⁿ + b₂ aⁿˉ¹ b₃ aⁿˉ² + bn x→ a                                                                                    .

Ejemplo: f(x)= x² + 3x + 1

Lim x² + 3x + 1= (2)² + 3(2) + 1x→ 2                                     .

Lim x² + 3x + 1= 4 + 6 + 1 = 11x→ 2                                     .

Continuidad

Una función es continua en un punto a si el límite de la función cuando la variable tiende a es igual al valor de la función en ese punto a. Es decir, si f(a)=b, la continuidad en a se expresa así:

Algunas propiedades interesantes son:

1. Si existe la derivada en a, la función es continua en a. Aclarar que el recíproco no se cumple, siendo un ejemplo de ello la función valor absoluto en el 0.

1. Si dos funciones y son continuas, las funciones , y (para el cociente, siempre que no sea 0).

4.5 Definición de derivadas parciales de funciones de dos variables, así como su interpretación geométrica.

4.6 Derivadas parciales de orden superior.

4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena.

4.8 Derivación parcial implícita.

4.9 Coordenadas cilíndricas y esféricas.

Coordenadas Cilíndricas

En el sistemas de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada (r,θ,z), donde r y el θ son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P.

Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Rectangulares

Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetría

Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Cilíndricas

Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Esféricas

El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.

Coordenadas Esféricas

Las coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) de un punto P en el espacio, donde ρ =│OP│ es la distancia del origen a P, θ es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas, y φ es el ángulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OP. Note que

P≥ 0 0≤φ≤ π

El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.

Dado un vector del espacio tridimensional y tres planos que se cortan en el punto origen de , se definen las coordenadas esféricas como los tres números que se obtienen desde las proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de intersección de los planos perpendiculares, por las relaciones siguientes:

Sistema de Coordenadas Esfericas

Es el sistema de coordenadas esféricas un punto p del espacio que viene

representado por un trío ordenado , donde:

1.- es la distancia de P al origen, .

2.- es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilíndricas para .

3.- es el Angulo entre el semieje positivo y el segmento recto , .

Nótese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas.

Coordenadas Esféricas

Ecuaciones para transformar de Esféricas a Rectangulares

Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Esféricas

Ecuaciones para transformar de Esféricas a Cilíndricas

4.10 Derivada direccional, gradiente divergencia y rotacional.

Un campo vectorial es una función que asigna a cada tripla ordenada (x, y, z) un vector F

F= (M(x, y, x), N(x, y, z), P(x, y, z)) = M(x, y, x) i + N(x, y, z) j + P(x, y, z) k

El campo puede ser bidemensional, cuando a cada par ordenado (x, y) le asigna un vector F n- dimensional, cuando a cada enetupla ordenada (x1, x2, ….., xi,…..xn) le asigna un vector de n componentes F.

Un campo escalar es cualquier función f, que a cada tripla ordenada ( o dupla o n-etupla según sea el caso) le asigna un valor único.

1. Gradiente de un Campo Escalar

Sea f (x,y,z) es un campo escalar

Sea ∇ el operador Nabla o Del

∇ = ∂ /∂x i + ∂ /∂y j +∂ /∂z k

∇ f = ∂f /∂x i + ∂f /∂y j +∂f /∂z k

∇ f = grad f = fx i + fy j + fzk

Que es una nomenclatura más amable.

La expresión ∇ f Se denomina gradiente de f y la leemos nabla f o "del" f o gradiente f.

Para el caso de funciones escalares de dos variables f(x, y)

Si u es el vector unitario (senθ, cosθ), ubicado en el plano xy, θ el ángulo que hace el radio vector con la parte positiva del eje x.

Entonces la derivada direccional de f será Duf = grad f. u

Duf = fx cosθ + fy senθ = Mod Grad. Mod u cosβ

Si θ = 0o……………..Duf = fx

Si θ = 90º……………Duf = fy

Si aplicamos la propiedad del producto escalar para Duf, podremos escribir que:

Duf = Mod Grad. Mod u cosβ

Duf será máximo cuando β = 0, es decir, cuando u tiene la dirección del gradiente.

Esto implica que el vector gradiente tiene la dirección en la cual la derivada direccional es máxima o lo que es lo mismo, la dirección en la cual la función varía mas intensamente (crece o decrece).

2. Divergencia de un campo vectorial

Sea

F= (M(x, y, x), N(x, y, z), P(x, y, z)) = M(x, y, x) i + N(x, y, z) j + P(x, y, z) k

La divergencia de F es el producto escalar ficticio entre

∇ . F = (∂ /∂x i + ∂ /∂y j +∂ /∂z k ) (M i + N j +P k)

Divergencia F = Div F = ∂ M/∂x + ∂N /∂y +∂P /∂z

3. Significado físico de la divergencia

La divergencia de un campo vectorial suele definirse como el producto escalar del operador vectorial nabla o del por el campo vectorial. Con base en esta definición, el matemático inglés George Green estableció el siguiente teorema:

Si tenemos un campo vectorial tridimensional F, dentro del cual hay un volumen V, limitado por una superficie S entonces:

El flujo neto que ingresa o sale del volumen a través de la superficie, es igual a

∫ S F.n ds……donde n es el vector unitario normal al diferencial de superficie ds.

Este flujo es igual a ∫ S F.n ds = ∫ v Div F dv……….. (1)

Figura 1

Flujo de Vectores que entra y sale de un volumen dado, que está en medio del campo vectorial.

Recordemos que ∫S F.n ds = ∫v Div F dv = ΣDiv Fi ∆Vi…cuando ∆Vi tiende a 0

Si hacemos la abstracción de que reducimos el volumen hasta convertirlo en infinitesimal, entonces la expresión anterior se convierte en:

∫S F.n ds = Div Fi ∆Vi……cuando ∆Vi tiende a 0

De donde: Div Fi = (∫S F.n ds)/ ∆Vi, cuando ∆Vi tiende a 0.

Div F = lim cuando ∆v tiende a 0 de ∫S F.n ds / ∆V

Es decir, la divergencia es una medida del flujo neto en un punto, por unidad de volumen.

Si la divergencia es positiva en un punto dado, y si este flujo neto es positivo, se dice que el punto es una fuente. Si pensamos en un gas saliendo a presión por la boquilla de una manguera, el gas se dispersa, lo que nos indica que en una fuente, las líneas de flujo que salen del punto dado tienden a abrirse.

Cuando la divergencia es negativa, están entrando más vectores que los que salen y el punto actúa como un sumidero y en un sumidero, las líneas de campo o de flujo, se van acercando unas a otras, hasta casi confundirse en el punto.

Si la divergencia de F es cero, no hay flujo neto a través de la superficie.

Si un líquido que es incompresible, se mueve de acuerdo con un campo de velocidades, la divergencia tiene que ser 0, ya que la incompresibilidad del mismo, no permite ni aumento, ni disminución de la masa en un volumen dado.

Una divergencia elevada en un punto dado, indica que en ese punto el campo se está "abriendo" como los rayos de luz que emergen de una fuente puntual. Una divergencia nula indica que en esa zona los rayos son paralelos, como las velocidades de un fluido sin turbulencias dentro de un tubo. Una divergencia negativa indica que en ese punto el campo se está cerrando o está siendo absorbido como en un desagüe o sumidero.

Rotacional de un campo vectorial

El Rotacional de un campo vectorial F, es otro vector o campo vectorial que se obtiene al multiplicar vectorialmente el operador nabla o del por el vector F.

4.11 Aplicaciones geométricas y físicas de los operadores vectoriales.

En cálculo vectorial, un potencial vectorial es un campo vectorial cuyo rotacional es un campo vectorial. Esto es análogo al potencial escalar, que es un campo escalar cuyo gradiente negativo es también un campo vectorial.Formalmente, dando un campo vectorial v, un potencial vectorial es un campo vectorial A tal queSi un campo vectorial v admite un potencial vectorial A, entonces de la igualdad(la divergencia del rotacional es cero) se tienelo cual implica que v debe ser un campo vectorial solenoidal. Una pregunta interesante es si cualquier campo vectorial solenoidal admite un potencial vectorial. La respuesta es afirmativa si el campo vectorial satisface ciertas condiciones.Teorema Sea un campo vectorial solenoidal el cual es dos veces diferenciable. Asumamos que v(x) decrece suficientemente rápido cuando ||x||→∞. DefinamosEntonces, A es un potencial vectorial para v, esto es, Una generalización de este teorema es la descomposición de Helmholtz la cual establece que cualquier campo vectorial puede descomponerse como una suma de campo vectorial solenoidal y un campo vectorial no rotacional.

Unidad V Integrales múltiples.

5.1 Integrales iteradas.

La integración iterada es un método de integración en el cual efectuamos la operación de integración en cascada con respecto a cualquier variable en relación con las otras variables que se mantienen constantes. La notación convencional de la integración iterada es como se muestra a continuación,

En el ejemplo anterior, primero se calcularía la integración con respecto a la variable y, y luego con respecto a la variable x. Por motivos de conveniencia y para aumentar la comprensión, también puede ser escrita como,

La integración iterada también puede realizarse como integración definida e indefinida.

En el ejemplo anterior hemos mostrado una integración indefinida iterada.

Del mismo modo también puede hacerse que la integración definida itere.

Lo anteriormente definido es una integración iterada doble. De manera similar,también puede llevarse a cabo una integración iterada triple.

En esa situación, efectuamos la integración tres veces en cascada cada momento con respecto a una variable diferente, mientras que tratamos las otras dos variables como términos constantes.

La notación convencional para la integración triple es,

En la figura siguiente, tenemos una función como, z = f(x, y),

Si calculamos la integración doble de esta función, la salida sería algo como,

Vamos ahora comprender el método de cálculo para esta integral. El método para determinar el volumen de una figura sólida mediante dividirla en trozos de igual tamaño e integrarla para el sólido entero es conocido por todos. Sin embargo, es conocido por muy pocas personas que también este puede utilizarse para determinar la integral doble de una función.

Attach:cv115.jpg Δ

Suponga que la columna cilíndrica Q pasa a través de la figura dada, como se muestra en la figura anterior. Dibuje un plano paralelo al plano y-z en esta figura y nombre el plano como xx’.El área transversal de la columna Q es similar al área de la curva z = f (x’, y). Esta área yace entre (x’, Y2) y (x’, Y1). Aquí los puntos (x’, Y2) y (x’, Y1), son los puntos de intersección de la región dada y del plano de intersección.

La sección transversal de esta pieza es,

La figura anterior es una mirada cercana de la parte inferior de la figura dada. Suponga que el mayor valor adquirido por x es b y el valor más pequeño es a. Como se puede ver en la figura anterior la recta x= x’ intersecta el plano R en sólo dos puntos y los valores correspondientes de y en estos puntos son Y1 y Y2. El valor de Y1 es menor que Y2. Es posible determinar el valor de Y para algún valor de x a partir de la ecuación de frontera de la región R.

La ecuación anterior puede reescribirse como,Al colocar este valor en la ecuación del volumen obtenemos,Donde la ecuación de volumen es,

Para esta ecuación, primero realizamos la integración con respecto ay, la cual es la integración interior considerando a x como un término constante y luego con respecto a x considerando a y como término constante.

De la misma forma, la integración iterada triple se utiliza para calcular el momento de inercia, centroides, etc. La integración triple también es calculada en los sistemas de coordenadas esféricas y cilíndricas.

5.2 Definición de integral doble: Áreas y Volúmenes.

De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una “integral triple” de una función f (x, y, z) definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El Dominio de Integración se representa simbólicamente para cada diferencial sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

Es importante destacar que es imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.

Definicion

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,…,xn) y una región T en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función f (si T es una región cerrada y acotada y f está definida en la región T). Por ejemplo, si n = 2, el volumen situado entre la superficie definida por x3 = f(x1,x2) y una región T en el plano x1×2 es igual a algúna integral doble, si es que la función f está definida en región T.

Se puede dividir la región T en una partición interior Δ formada por m subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en T. La norma | | Δ | | de esta partición está dada por la diagonal más larga en las m subregiones.

Si se toma un punto (x1i,x2i,…,xni) que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones Δx1iΔx2i…Δxni para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por xn + 1 = f(x1,…,xn) y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:

Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,…,xn) y la región T mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los m espacios correspondientes a cada una de las subregiones:

Esta aproximación mejora a medida que el número m de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:

El significado riguroso de éste último límite es que el límite es igual L si y sólo si para todo existe un δ > 0 tal que

para toda partición Δ de la región T (que satisfaga | | Δ | | < δ), y para todas las elecciones posibles de (x1i,x2i,…,xni) en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral múltiple:

Si f está definida en una región cerrada y acotada T del definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral de f sobre T está dada por:

siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice que f es integrable con respecto a T.