Unidad 5. Ecuaciones de primer grado - jica.go.jp · ca de la forma y = ax2 + c • Función y = ax2 • Función y = ax2 + c Séptimo grado Noveno grado Primer año de bachillerato

Unidad 5. Ecuaciones de primer grado

– Conocerlaspropiedadesdeunaigualdadmatemáticayutilizarlasparalaresolucióndeunaecuaciónde primer grado.

– Identificar por iniciativa propia situaciones del entorno en las que a través del planteamiento ysolucióndeunaecuacióndeprimergradosepuedadarrespuestaaunainterrogantequesepresente.

Relación y desarrollo

Competencias de la Unidad

Unidad 3: Ecuación cuadrá-tica• Ecuacióncuadrática• Aplicaciones de la ecua-cióncuadrática

Unidad 4: Función cuadráti-ca de la forma y = ax2 + c• Funcióny = ax2

• Funcióny = ax2 + c

Séptimo grado Noveno grado Primer año de bachillerato

Unidad 5: Ecuaciones de pri-mer grado• Igualdad de expresiones matemáticas

• Ecuacióndeprimergrado• Aplicación de ecuaciones

de primer grado

Unidad 2: Sistemas de ecua-ciones de primer grado con dos incógnitas• Métodos para resolver

ecuaciones de primer gra-docondosincógnitas

• Aplicación de las ecuacio-nes de primer grado con dosincógnitas

Unidad 2: Operaciones con polinomios y números com-plejos• Productos notables y fac-torización

• Divisióndepolinomios• Ecuación cuadrática y nú-

meros complejos

Octavo grado

124

Lección Horas Clases

1. Igualdad de expresiones matemáticas

1 1.Igualdaddedosexpresionesnuméricas

1 2. Igualdad de dos expresiones algebraicas

2.Ecuacióndeprimergrado

1 1.Solucióndeunaecuación

1 2. Propiedades de la igualdad

1 3.Solucióndeecuacionesaplicandolapropiedad1delasigualdades


1 5.Métododetransposicióndetérminos



1 8.Solucióndeecuacionesaplicandomásdeunapropiedad

1 9.Solucióndeecuacionesconincógnitasenambosmiembros

1 10.Practicaloaprendido

1 11.Solucióndeecuacionesconsignosdeagrupación

1 12.Ecuacionesconsoluciónfraccionariaydecimal

1 13.Ecuacionescontérminosycoeficientesdecimales

1 14.Ecuacionescontérminosycoeficientesfraccionarios

1 15.Practicaloaprendido

Plan de estudio de la Unidad

125 Guía Metodológica

Lección 1: Igualdad de expresiones matemáticasPlantear la relacióndedosexpresionesmatemáticasquerepresentan lamismacantidad,utilizandopara ello el símbolo de igualdad: =.

Lección 2: Ecuación de primer gradoAbordar la solución de una ecuaciónyelusodelaspropiedadesdeuna igualdad matemática para determinarlasolucióndeunaecuación.Enestalecciónseestudiaránecuacionesconcaracterísticasespecialescomolasqueincluyensignosdeagrupación,lasquetienensoluciónfraccionariaodecimal,contérminosycoeficientesdecimalesyporúltimocontérminosycoeficientesfraccionarios.

Lección 3: Aplicación de ecuaciones de primer gradoEstalecciónesdesumaimportanciaporqueplantealaecuacióndeprimergradocomounaherramien-tapararesolverproblemascuyasoluciónesdifícildeencontrarsinelusodeunaincógnita.Enesesen-tido,durantelaclasehayquehacerénfasisnosoloenlamaneraderesolverunaecuaciónsinotambiénenlamaneradecómoplantearunaecuaciónparaunadeterminadasituación.

Lección Horas Clases

3.Aplicacióndeecuacionesdeprimer grado

1 1.Aplicacióndeecuacionesutilizandounapropiedaddelasigualdades

1 2.Aplicacióndeecuacionesutilizandomásdeunapropiedadde las igualdades

1 3.Aplicacióndeecuacionesqueincluyenunaincógnitaentérminosdeotra

1 4.Aplicacióndeecuacionesconvariablesenambosmiembros

1 5.Aplicacionesensituacionesdedistancia,velocidadytiempo

1 6.Aplicacionesensituacionesdeproporcionalidaddirecta,parte 1



1 Prueba de la Unidad 5

1 Prueba del segundo trimestre

25horasclase+pruebadelaUnidad5+pruebadelsegundotrimestre

Puntosesencialesdecadalección

Fecha:

Indicador de logro:

126

E

1.1IgualdaddedosexpresionesnuméricasMateriales:Cartelesconlailustracióndelasbalan-zasparael P .

Secuencia:En la clase 3.1 de la Unidad 4 se traba-jóporprimeravezelconceptodeunaigualdadmatemática,asíquelosestu-diantesyatienenunaideadelasigual-dades de expresiones matemáticas.Porlotanto,estaclaseestarádedicadasolo al planteamiento de igualdades de expresionesnuméricas.

Propósito:1 , 2 Plantearigualdadesnuméricasapartirdelaintuición.

3 Establecerqueelsímbolo(=)seuti-lizaparaindicar larelacióndedosex-presionesnuméricasque representanlamismacantidad.

4 Hacerénfasisenqueparaloslitera-lesc)yd) lasoluciónplanteadanoeslaúnica.

R

P

S

U5 1.1

a)6+1=5+2 b)8−3=5c)2+3=3+2 d)8−3=4+1

B1. B2. B3.3 = 3 1 + 1 + 1 = 3 1 + 1 + 1 = 2 + 1

1. a)3b)7,2c)2,6 d)7e)5f)1,3

2. a)5b)28c)20,3d)15,4 e)14,2f)21,7g)17,1h)20,2

Observalassiguientesbalanzasyescribelasigualdades representadas en cada una de ellas:

1

2

3

4

5 28 20 3

3 2

7

7

5 1 3

15 4

14 2 21 7 17 1 20 2

2 6

Expresaigualdadesdedosexpresionesnuméricas.

Tarea: página 90 del Cuaderno de Ejercicios.

Fecha:

Indicador de logro:


1.2 Igualdad de dos expresiones algebraicasMateriales:Cartelesconlailustracióndelasbalan-zasparael P yel E .

Secuencia:Dadoqueen la claseanterior solo seplantearon igualdades de expresiones numéricas,paralaclasedehoyseam-pliará el planteamiento de una igual-dadque incluyeexpresionesalgebrai-cas.

Propósito:1 , 2 Plantearigualdadesqueincluyenexpresiones algebraicas a partir de laprácticadelaclaseanterior.

3 Establecerqueelsímbolo(=)seuti-lizaparaindicar larelacióndedosex-presionesalgebraicasquerepresentanlamismacantidad.

R

P

S

EU5 1.2

Representa la igualdad matemática de lasexpresiones que están en los platillos de lasiguientebalanza.

x + 3 = 10 + 10 + 5

2x + 30 = x + 4 + 5

1

2

3

x + 8 = 10 4x + 3 = 39

3x + 6 = 8 + 4 4x + 2 = 2x + 6

a) x +8=10b)4x + 3 = 39

c)3x +6=8+4d)4x + 2 = 2x + 6

Expresa igualdades de dos expresiones algebraicas.


Fecha:

Indicador de logro:

128

a), c) y d) 5 noes solución de laecuación.

b)5essolucióndelaecuación.

2.1Solucióndeunaecuación

S

RPU5 2.1

Se cobrarán$470. Se reciben$300enbilletesde100yelresto en billetes de $5. ¿Cuántos billetes de $5 se recibirán? x cantidaddebilletesde$5¿Cuáleselvalordex en 5x + 300 = 470?

Por tanto: x es 34.

1

2

3

4

5 es solucióndelaecuación

5 no essolucióndelaecuación

5 no essolucióndelaecuación

Secuencia:Losestudiantesyasehanfamiliarizadocon el concepto de igualdad matemá-tica (planteamiento de la relación dedosexpresionesnuméricasoalgebrai-cas que representan la misma canti-dad), se aprovecha esta clase para laintroduccióndelostérminosecuación, incógnita, solución y resolución de una ecuación.Lostérminosdemiem-broizquierdoymiembroderechoyaseabordaron en la clase 3.1 de la Unidad 4,encasodequelosestudiantespre-senten dificultades para recordarlos,selespuedeorientarparaquerevisenla clase antes mencionada.

Propósito:1 , 2 Determinarelvalordelaincóg-nitautilizandotablas;esdecir,enestecasosebuscaqueelestudiantedeter-mineelnúmerodebilletesatravésdelensayoyerror,organizandolosresulta-dos en una tabla.

3 Establecer el significado de ecua-ción,incógnitaysolucióndeunaecua-ción. Al mismo tiempo se establecequealprocesoqueserealizaparade-terminar la solución de una ecuaciónse le llama resolver la ecuación.

4 Resolucióndealgunosítems.

b)3x – 8 = 73 × 5 – 8 = 7 15 – 8 = 7 7 = 7

c)8x + 9 = 178 × 5 + 9 = 17 40 + 9 = 1749≠17

d)4x – 8 = 44 × 5 – 8 = 4 20 – 8 = 412≠4

Por tanto, 5 essolución de laecuación.

Por tanto, 5 noessolucióndelaecuación.

Por tanto, 5 noessolucióndelaecuación.

Identificasiunvaloressolucióndeunaecuación.


Fecha:

Indicador de logro:


2.2 Propiedades de la igualdad

S R

Materiales:Cartelcon larepresentaciónde laba-lanza.

Secuencia:En laclaseanteriorseestudióelcon-ceptode resolucióndeunaecuación,yparaestaclasesepresentanlaspro-piedadesdeunaigualdadmatemáticacomoherramientasparalaresolución.

Propósito:1 , 2 Identificar las propiedades deuna igualdad a través de la intuición.En el caso particular de la situación,deberáidentificarlacantidaddeobje-tosquetienequeirretirandocadavezenlabalanzaparaquesemantengaenequilibrio.Enelsegundopasodela S sedebeenfatizarqueelnúmerodeob-jetosencadaladodelabalanzasehadivididoendospartes igualesy luegoseharetiradounadelaspartes.

3 Establecer las propiedades de una igualdad. En este punto se debe expli-car que esas propiedades son las he-rramientasautilizarpararesolverunaecuación.

PU5 2.2 E

2x + 1 = 7

Para 2x+1=7,¿cuáleselvalordex? x una bolita una unidad un cubo.

Quitando un cubo en ambos lados delabalanza.

Dividiendo en dos partes igualescada uno de los lados y quitandouna parte de estas en cada lado.

2x = 6

...

...x = 3

3x + 2 = 413x+2−2=41−2 Propiedad 2 3x = 39

3x ÷ 3 = 39 ÷ 3 Propiedad 4 x = 13

1

2

3

Propiedad 2

Propiedad 4

Propiedad 1

Propiedad 3

a)Propiedad 2 Propiedad 4

b)Propiedad 1 Propiedad 3

Identificalaspropiedadesdeunaigualdadmatemática.


Fecha:

Indicador de logro:

130

2.3Solucióndeecuacionesaplicandolapropiedad1delasigualdadesSecuencia:En la clase anterior se presentaron las propiedadesdeuna igualdad,yespe-cíficamentesetrabajólaidentificacióndeellasenlasolucióndeunaecuación.Porloqueapartirdeestaclaseseco-menzaráatrabajarensusaplicaciones,demodoqueseutilizarálapropiedad1pararesolverecuaciones.

Propósito:1 , 2 Aplicar la propiedad 1 de una igualdadpararesolver lasecuaciones.Los estudiantes en este momento yaconocen las propiedades de una igual-dadyhanpracticado la identificaciónde las propiedades en la solución deunaecuaciónenlaclaseanterior;portanto,seesperaquetenganlaoportu-nidadderesolverlasecuacionesplan-teadas.

3 Establecerquepara resolverecua-ciones como las presentadas en 1 se aplica la propiedad 1; en este puntoes importante señalar que al procesoquesesigueparaque x se encuentre enunmiembroyunnúmeroenelotromiembro se le llama resolver la ecua-ción,odespejar la incógnita.

4 Solucióndealgunosítems.

2.a)x – 4 = 5 x – 4 + 4 = 5 + 4 x = 9

d)x – 6 = –10 x – 6 + 6 = –10 + 6 x = –4

Resuelve:a)x−3=2b)−6+x=1c)x−7=−4d)x−4=−8

S

RPU5 2.3

b)−6+x = 1−6+x + 6 = 1 + 6 x = 7Se suma 6 en ambos miembros.d)x−4=−8x −4+4=−8+4 x = –4Se suma 4 en ambos miembros.

a)x−3=2x−3+3=2+3 x = 5Se suma 3 en ambos miembros.c)x−7=−4x −7+7=−4+7 x = 3Se suma 7 en ambos miembros.

1

2

3

4

4 4 + +5

3 3

x = 9 x = 10 x = 4 x = –4

1. a)4y4b)+y+ c)5d)3y3

2. a)x =9b)x = 10 c)x =4d)x = –4

Resuelveunaecuacióndeprimergradosumandolamismacantidadenambosmiembros.


Fecha:

Indicador de logro:


2.4Solucióndeecuacionesaplicandolapropiedad2delasigualdades

S

Secuencia:Anteriormente se aplicó la propiedad1 de una igualdad para resolver unaecuacióndeprimergrado,por loqueenestaclaseseresolveránecuacionesaplicando la propiedad 2.

Propósito:1 , 2 Aplicar la propiedad 2 de una igualdadpararesolver lasecuaciones.En este momento los estudiantes yaconocen las propiedades de una igual-dadyhanaplicadolapropiedad1pararesolver ecuaciones en la clase ante-rior; por tanto, se espera que tenganlaoportunidadderesolverlasecuacio-nesplanteadas.Encasodequeloses-tudiantes presenten dificultades pararesolver las ecuaciones, puede orien-tarlosparaqueseapoyende la infor-maciónquesepresentaenelrecuadrodepresaberyeldepista.

3 Establecerquepara resolverecua-ciones como las presentadas en 1 se aplica la propiedad 2.


2.a)x + 8 = 13 x + 8 – 8 = 13 – 8 x = 5

d)x + 6 = –10 x + 6 – 6 = –10 – 6 x = –16

RPU5 2.4

Resuelve:a)x+2=3b)4+x=9c)x+7=4d)x+4=−8

1

2

3

4

4 4

3 3

– –

–5

x = 5 x = 3 x = –4 x = –16

1. a)4y4b)–y– c)–5d)–11

2. a)x =5b)x = 3 c)x = –4 d)x = –16

Resuelveunaecuacióndeprimergradorestandolamismacantidadenambosmiembros.

a)x + 2 = 3x + 2 – 2 = 3 – 2 x = 1Se resta 2 en ambos miembros.c)x + 7 = 4x + 7 – 7 = 4 – 7 x = –3Se resta 7 en ambos miembros.

b)4+x = 94 + x – 4 = 9 – 4 x = 5Se resta 4 en ambos miembros.d)x + 4 = –8x + 4 – 4 = –8 – 4 x = –12Se resta 4 en ambos miembros.


–11

Fecha:

Indicador de logro:

132

2.5MétododetransposicióndetérminosSecuencia:Enlasclases2.3y2.4sehanaplicadolaspropiedades1y2respectivamentepara resolverunaecuacióndeprimergrado;porloqueenestaclasesepre-senta el método de transposición de términos comounaformaprácticadelaaplicaciónde laspropiedades1y2enlaresolucióndeecuacionesdepri-mer grado.

Propósito:1 , 2 Resolver la ecuación utilizandolapropiedad1deunaigualdad;cuan-dosehadeterminadolasolucióndebeseñalarseelhechodequeenelpaso3 del proceso se observa cómo el 3que estaba restando en el miembroizquierdopasóasumaralmiembrode-recho.Siestepasonoestáexplícitoenelprocesodesoluciónentoncesdebeescribirseen lasoluciónplanteadaenlapizarraparaquetodoslosestudian-tespuedanobservar.

3 Establecerquehayunmétodoprác-ticopara resolver la ecuación, el cuáltiene como nombre transposición de términos.Señalarquelatransposicióndetérminosesunaformaprácticadeaplicarlapropiedad1y2deunaigual-dad.


b)x – 1 = 3 x = 3 + 1 x = 4

f)x + 6 = 8 x = 8 – 6 x = 2

E

S

R

PU5 2.5

Resuelve:x−3=4

Observaqueenelpaso3,el3estásu-mandoenelmiembroderecho.

El 5 estaba sumando en el miem-bro izquierdo y pasa al miembroderechorestando.

1

2

3

4

x = 4 x = 457

x = 6

32

x = 2 x = 1 x = 2

a)5y7b)x = 4

c)x = 4 d)x = 6

e)3y2f)x = 2

g)x = 1 h)x = 2

Resuelveunaecuacióndeprimergradorealizandolatrans-posicióndetérminos.

x−3=4

x−3+3=4+3

x = 4 + 3x = 7

Paso 1

Paso 2

Paso 3

x + 5 = 12

x = 12 – 5x = 7


Fecha:

Indicador de logro:


2.6Solucióndeecuacionesaplicandolapropiedad3delasigualdadesSecuencia:Enclasesanterioressehanaplicadolaspropiedades1y2paralaresolucióndeecuaciones de primer grado y opcio-nalmenteelmétododetransposición.Por loqueenestaclaseseaplicará lapropiedad 3 de una igualdad para re-solverunaecuacióndeprimergrado.Al igualquesehizocon laspropieda-des1y2alofrecerunmétodoprácticode aplicación con la transposición detérminos,tambiénsepresentaunafor-maprácticadeaplicacióndelapropie-dad3enlaresolucióndeunaecuaciónde primer grado.

Propósito:1 , 2 Aplicar la propiedad 3 de una igualdadpararesolver lasecuaciones.En este momento los estudiantes yaconocenel recíprocodeunnúmeroylas propiedades de una igualdad. Por tantoseesperaquetenganlaoportu-nidadderesolverlasecuacionesplan-teadas.Enc),silosestudiantesnotie-nendificultades,enlugardereescribirelmiembro izquierdoenformadeunproducto,semultiplicanpor–2ambosmiembros, para que el denominadordelafracciónsea1yseelimineelsig-nonegativo.

3 Señalarqueenelprocesodondelaincógnita seencuentreenelnumera-dordeunafracción,sedebereescribirla ecuación de forma que la fracciónquede expresada como la multiplica-cióndeuna fracciónpor la incógnita,como en el caso de c). También hayque explicar que se puede aplicar lapropiedad3deunaformapráctica,enlaquesehacequeelcoeficientedelaincógnitasea1ysemultiplicaelnúme-ro del otro miembro por el recíproco delcoeficienteoriginaldelaincógnita.A este proceso no se le debe llamar transposicióndetérminoyaqueelco-eficientenoesuntérmino.


2. a) 14 x=3 d)– 5x

4 = –10 x = 3 × 4 x = –10 × – 45 x = 12 x = 8

S

RPU5 2.6

Resuelvelassiguientesecuaciones:

a)15 x=10b)23 x=6c)–

x2 = 6

a) 15 x = 10

15x × 5 = 10 × 5

x = 50

Semultiplicapor5 en ambos miembros.

b)23 x = 623 x × 3

2 = 6 × 32

x = 182

x = 9

Se multiplica por32 en ambos miem-bros.

c)– x2 = 6

– 12 x = 6

– 12 x ×(–2) = 6 ×(–2)

x = –12

Se multiplica por –2en ambos miembros.

Despejar ximplicaquetengacoeficiente1. 1.

a)9y9b)3y3c)(–6),(–6)y–18d)(– 32 )y(–

32 )

e)4f)3g)(–5)h)(– 53 )

1

2

3

4

9 93 3 (–6)

–18

4 3 –5

x = 12 x = 36 x = –14 x = 8

Resuelve una ecuación de primer grado multiplicando lamismacantidadenambosmiembros.


(–6)

(– 32 )(– 32 )

(– 53 )

Fecha:

Indicador de logro:

134

2.7Solucióndeecuacionesaplicandolapropiedad4delasigualdadesSecuencia:Para esta clase se aplicará la propie-dad 4 de una igualdad para resolverunaecuacióndeprimergrado.Aligualque se hizo con las propiedades 1, 2y 3 al ofrecer unmétodo práctico desu aplicación en la resolución de unaecuacióndeprimergrado,tambiénsepresentaunaformaprácticadeaplica-cióndelapropiedad4.

Propósito:1 , 2 Aplicar la propiedad 4 de una igualdadpararesolver lasecuaciones.En este momento los estudiantes yaconocenel recíprocodeunnúmeroylas propiedades de una igualdad. Por tantoseesperaquetenganlaoportu-nidadderesolverlasecuacionesplan-teadas;encasodequelosestudiantespresenten dificultades para resolver-las,puedeorientarlosparaqueseapo-yendelainformaciónquesepresentaen el recuadro de presaber. Se pueden aceptar dos soluciones, aplicando lapropiedad 4 o 3.

3 Establecerqueenecuacionescomolas presentadas en 1 se aplica la pro-piedad4o3pararesolverlas;tambiénhayqueexplicarquesepuedeaplicarlapropiedad4deuna formaprácticaenlaquesehacequeelcoeficientedelaincógnitasea1ysedivideelnúme-rodelotromiembroporelcoeficienteoriginaldelaincógnita.Aesteprocesonose ledebe llamartransposicióndetérminoyaqueelcoeficientenoesuntérmino.


2.a)7x = 14 x = 14 ÷ 7 x = 2

d)–x = 9 x=9÷(–1) x = –9

S

RP

U5 2.7

Resuelve:7x = –21

Sepuederesolverdedosformas.

Con propiedad 4 7x = –217x ÷ 7 =(–21)÷ 7 x = –3

Con propiedad 3

7x = –21

7x × 17 = –21 × 1

7 x =– 21

7 x = –3

Unnúmeromul-tiplicado por su“recíproco” es 1.

1

2

3

4

x = 2

3 3 24

6

–3

2

x = –4 x = –4 x = –9

1.a)3y3b)2c)4d)6y–3e)–5 f)(–3)y–9g)(–1)y–5h)(–2)y2

2.a)2b)–4c)–4d)–9

Resuelve una ecuación de primer gradodividiendopor lamismacantidadenambosmiembros.


(–3)–9

(–1) (–2)–5 –5

1

2

3

4

4

3 6 8

x = 2 x = –14 x = –30 x = 14

Fecha:

Indicador de logro:


2.8SolucióndeecuacionesaplicandomásdeunapropiedadSecuencia:Desde laclase2.3solosehanresuel-to ecuaciones de primer grado querequierendelaaplicacióndeunasolapropiedad.Porloqueahorasetrabaja-ráconecuacionesenlasquesedebenaplicar2propiedadespararesolverlas.

Propósito:1 , 2 Aplicar más de una propiedad deunaigualdadpararesolverlasecua-ciones.Encasodequelosestudiantespresenten dificultades para resolverlasecuaciones,puedeorientarlosparaqueseapoyendelainformaciónquesepresentaenel recuadrodepista.Hayquehacerénfasisenquenosepuedeaplicar directamente la propiedad 3 o 4hastaquesetengaeltérminoconlaincógnitasoloenunodelosmiembros.

3 Establecer los pasos para resolverecuaciones como las presentadas en el 1 .


2.a)2x + 1 = 5 2x = 5 – 1 2x = 4 x = 4 ÷ 2 x = 2

d) x2 – 3 = 4

12 x = 4 + 3

12 x = 7

x = 7 × 2

x = 14

R

S

PU5 2.8

Resuelve:a)5x+7=–8b)–2x–6=10c)x5 – 7 = 3

a)5x + 7 = –8 5x = –8 – 7 5x = –15 x = –15 ÷ 5 x = –3

b)–2x – 6 = 10 –2x = 10 + 6 –2x = 16 x=16÷(–2) x = –8

c)x5 – 7 = 3 x

5 = 3 + 7 x

5 = 10 x = 10 × 5 x = 50

Para poder aplicar la propiedad 3 o 4 solotienequehaberun término en elmiembroizquierdo.

1. a)3y4b)6,(–2)y–8c)8,12,10y120

2.a)x = 2b)x = –14c)x = –30d)x = 14

Resuelveunaecuacióndeprimergradoaplicandomásdeuna propiedad de una igualdad.


(–2)–8

1210

120

Fecha:

Indicador de logro:

136

2.9SolucióndeecuacionesconincógnitasenambosmiembrosSecuencia:En esta clase se presentan ecuacio-nes que tengan incógnitas en ambosmiembros. Al principio este tipo deecuaciones pueden presentar dificul-tades al estudiante por el hecho deque la aplicación de las propiedadessehaceutilizandounacantidaddesco-nocida(laincógnita),razónporlacualseabordaestetipodeecuacionesunavezquelosestudianteshanalcanzadocierto grado de dominio de las propie-dades de una igualdad.

Propósito:1 , 2 Aplicar las propiedades de una igualdadpararesolver laecuación.Lasolución de este tipo de ecuacionespuede representar problemas ya quees la primera vez que los estudiantesaplicarán las propiedades de una igual-dadutilizandouna cantidaddescono-cida representada por una variable;por tanto, se debe enfatizar que laspropiedades siguen siendo igualmente válidasenestoscasos.

3 Establecer los pasos para resolverecuaciones que tienen incógnitas enambos miembros.


2.a)2x = –3 + x 2x – x = –3 x = –3

d)8x + 2 = 3x + 7 8x – 3x = 7 – 2 5x = 5 x = 5 ÷ 5 x = 1

SR

PU5 2.9

Resuelvelaecuación:3x = 4 + 2x

3x = 4 + 2x ... Transponiendo3x −2x = 4 2x al miembro x =4izquierdo.

Ea)5x = 24 + x5x – x = 24 4x = 24 x = 6

b)6x + 3 = 3x + 246x −3x =24−3 3x = 21 x = 7

1

2

3

4

–

x = –3 x = –3 x = 3 x = 1

1.a)7x, –4x y –3 b)–,7x,–14y–2

2.a)x = –3 b)x = –3 c)x = 3 d)x = 1

Resuelveunaecuacióndeprimergradocon incógnitasenambos miembros.


–4x7x

–3–147x–2

Indicador de logro:


2.10 Practica lo aprendido

Solución de algunos ítems:

1. a) x – 4 = 3 x = 3 + 4 x = 7

c) x + 5 = 8 x = 8 – 5 x = 3

e) 4x = 16 x = 16 ÷ 4 x = 4

h) – 12 x = 6

x = 6 × (–2) x = –12

2. a) 3x + 8 = –4 3x = –4 – 8 3x = –12 x = –12 ÷ 3 x = –4

f) 5x – 3 = 12 5x = 12 + 3 5x = 15 x = 15 ÷ 5 x = 3

3. a) 2x – 3 = –x – 9 2x + x = –9 + 3 3x = –6 x = –6 ÷ 3 x = –2

f) x + 13 = 43 – 14x x + 14x = 43 – 13 15x = 30 x = 30 ÷ 15 x = 2

x = 7 x = –3 x = 3

x = –8 x = 4 x = –4

x = 15 x = –12 x = 24

x = –4 x = –4 x = 5

x = 4 x = –4 x = 3

x = –2 x = 3 x = –4

x = 4 x = 3 x = 2

Resuelve problemas correspondientes a ecuaciones de pri-mer grado.


Fecha:

Indicador de logro:

138

2.11SolucióndeecuacionesconsignosdeagrupaciónSecuencia:Unavezqueseresolvieronecuacionesdeprimergradoatravésdelautiliza-cióndirectadelaspropiedadesdeunaigualdad,secomenzaráconelestudiode aquellas con características espe-ciales.Paracomenzarconestetipodeecuaciones, en esta clase se trabajanaquellasquepresentansignosdeagru-pación.

Propósito:1 , 2 Resolver la ecuación, primerorealizando el producto indicado paraluego resolver la ecuación resultantetalcomosehahechoenlasclasesan-teriores. En la clase 2.4 de la Unidad 4 los estudiantes aprendieron la formade realizar el productodeunaexpre-sión algebraica con dos términos porunnúmero.Puededarsequealgunosestudiantes no realicen el producto,sinoquepasenel4arestaralmiem-broizquierdoyluegodividanpor2enambosmiembrosyquedespuéspasenel3arestaralmiembroizquierdo.Encasodeloanterior,aceptarsusoluciónyaqueestotalmenteválida,yenlapi-zarra pueden quedar escritas ambassoluciones.Tambiénesrecomendableexplicaralosestudiantesquesepuedeutilizar cualquier letra para represen-tara la incógnitayquenonecesaria-mente debe ser x.

3 En el numeral 1 se puede referirtambién como propiedad distributivaa la multiplicación de una expresiónalgebraicacondostérminosporunnú-mero. Si algúnestudiantepresenta laformadesolucióndelaecuaciónenlaquenoserealizaelproductoindicado,entoncesenestepuntotambiénesim-portantedecirqueesposibleresolverlaecuacióndeesaforma.

4 Solucióndealgunosítems.2.a)3+4(x–2)=7 3 + 4x – 8 = 7 4x – 5 = 7 4x = 7 + 5 x = 12 ÷ 4 x = 3d)–3(x–1)–2=10 –3x + 3 – 2 = 10 –3x + 1 = 10 –3x = 10 – 1 x=9÷(–3) x = –3

S R

PU5 2.11EResuelve:

2(x +3)+4=20

2(x+3)+4=202x + 2 × 3 + 4 = 20 2x + 6 + 4 = 20 2x + 10 = 20 2x =20−10 2x = 10 x = 5

Propiedaddistributiva: a(b + c)=a × b + a × c(b + c)×a = b × a + c × a

a)3+(x−5)=6 3 + x−5=6 x−2=6 x = 6 + 2 x = 8

b)4−(x−3)=94−x + 3 = 9−x + 7 = 9−x=9−7−x = 2 x=−2

1

2

3

4

x = 3 x = –3 x = 2 x = –3

1.a)6,6,6y24b)12,17,17y30

2.a)x = 3 b)x = –3 c)x = 2 d)x = –3

Resuelveunaecuacióndeprimergradoqueincluyesignosdeagrupación.


66

624

1217

1730

Fecha:

Indicador de logro:


2.12Ecuacionesconsoluciónfraccionariaodecimal

S

Secuencia:Siguiendoconlasecuacionesquepre-sentan características especiales, enestaclasesetrabajanecuacionescuyasolución es fraccionaria. La ecuaciónpuede ser de cualquiera de los tiposantes vistos pero lo importante es elhechodequesusoluciónesfracciona-ria,positivaonegativa.

Propósito:1 , 2 Resolver las ecuaciones cuyassolucionessonfraccionariasodecima-les. Por lo general se expresa la solu-ciónenformadefracción.Cuandoestafracciónnorepresentaundecimalfini-to,noesnecesariorepresentarloenlaformadecimal.

3 Solucióndealgunosítems.a)6x = 2 x = 2 ÷ 6

x = 26

x = 13

f)8(4x –1)–4=3(1–x) 32x – 8 – 4 = 3 – 3x 32x – 12 = 3 – 3x 32x + 3x = 3 + 12 35x = 15

x = 1535

x = 37

PU5 2.12

EResuelve:a)4x=2b)5x+1=−6

a)4x = 2 x = 2 ÷ 4 x = 1

2 o x = 0.5

b)5x+1=−6 5x=–6−1 5x = –7 5 = –7 ÷ 5 x=– 12 o x = –1.4

El cociente de dos números puede serexpresado como una fracción.

8x +10=3−6x8x + 6x=3−10 14x=−7 x=−7÷14 x=− 714 x=– 12 o x = –0.5

1

2

3

13

x = 32

x = 12x = –

47

x = 37

x =25x = –

Ra)x = 1

3 b)x = 32 c)x =– 12

d)x = 47 e)x =– 25 f)x = 3

7

Resuelveunaecuacióndeprimergradoquetienesolucio-nesfraccionariasydecimales.


Fecha:

Indicador de logro:

140

2.13EcuacionescontérminosycoeficientesdecimalesSecuencia:Para esta clase se aborda la soluciónde ecuaciones que tienen términos ycoeficientes decimales. Los estudian-tes en primaria aprendieron sobre las potenciasde10porloquesehaceusode ese hecho para mostrar la formaderesolverunaecuaciónconestaca-racterística. Opcionalmente se puedemostrar la formade resolver la ecua-ciónsinhacerusodelaspotenciasde10 y utilizando los conocimientos deoperacionescondecimalesqueloses-tudiantesadquirieronenprimaria.

Propósito:1 ,2 Resolverlaecuaciónconvirtiendolostérminosycoeficientesdecimalesaenteros. Los estudiantes ya conocenlaspotenciasde10y laspropiedadesde una igualdad por lo que cuentancon las herramientas necesarias pararesolverelproblema.Tambiénsepue-dehacerreferenciaalosrecuadrosdepista y presaber para que les sirvancomoapoyo.Laecuaciónpuedeserre-sueltadeunasegundaformaenlaquenosemultipliqueporunapotenciade10, y en todo el proceso se realicenoperaciones con decimales. Esta solu-ciónesigualmenteválida.

3 Establecerqueunamaneraderesol-verunaecuaciónquetienetérminosycoeficientes decimales es multiplicarambos miembros por una potencia de 10. Si algúnestudianteha resuelto laecuación sinmultiplicarpor lapoten-cia de 10, es importante aclarar queesteprocesoesigualmenteválido.

4 Solucióndealgunosítems.a)0.3x – 0.2 = 3.4 3x – 2 = 34 3x = 34 + 2 3x = 36 x = 12

d)0.02x + 0.04 = 0.18 – 0.05x 2x + 4 = 18 – 5x 2x + 5x = 18 – 4 7x = 14 x = 2

S

P EU5 2.13

Resuelve:0.5x−2.5=1.5

Sepuederesolverdedosformas:Con decimales0.5x − 2.5 = 1.5 0.5x = 1.5 + 2.5 0.5x = 4 x = 4 ÷ 0.5 x = 8

Semultiplicapor1000.25−0.02x = 0.03x + 0.225−2x = 3x + 20 –2x − 3x = 20 – 25 –5x = –5 x = –5

–5 x = 1

Cambiando a enteros 0.5x − 2.5 = 1.510(0.5x − 2.5)=10× 1.510 × 0.5x−10×2.5=15 5x = 40 x = 40 ÷ 5 x = 8

Seeligió lapotenciade10con igualcantidaddecerosqueeltérminoconmayorcantidaddecifrasaladerechadel punto decimal.

Silosnúmerosfueranenterosseríamásfácildespejarx.

1

2

3

4

x = 12 x = 13 x = –3 x = 2

Ra)x = 12 b)x = 13

c)x = –3 d)x = 2

Resuelveunaecuacióndeprimergradoconcoeficientesytérminosdecimales.


Fecha:

Indicador de logro:


2.14Ecuacionescontérminosycoeficientesfraccionarios

E

S

Secuencia:Para finalizar con las ecuaciones quetienen alguna característica especialsetrabajaconlasquetienentérminosy coeficientes fraccionarios. Los estu-diantes previamente han aprendidosobreelmcm,porloquesehaceusodeesehechoparamostrarcómoresol-verunaecuaciónconestacaracterísti-ca.Básicamentelaideaesconvertirlasecuacionesdeestetipoenecuacionescontérminosycoeficientesenteros.

Propósito:1 , 2 Resolverlaecuaciónconvirtien-do los términos y coeficientes frac-cionarios a enteros. Los estudiantes ya aprendieron el cálculo del mcm ylas propiedades de una igualdad por lo que cuentan con las herramientasnecesarias para resolver el problema.Tambiénsepuedehacer referenciaalrecuadro de pista para que les sirvacomoapoyo.

3 Esimportantehacerénfasisaloses-tudiantesdequenocometanelerror:–2(x+2)=–2x +2,esdecir,elnúme-rodebemultiplicarsepor losdos tér-minos de la expresión algebraica, talcomo se muestra en el libro de texto.


a) 12 x – 3 = 1

4 x 4×( 1

2 x–3)=4× 14 x

4 × 12 x – 4 × 3 = 4 × 1

4 x 2x – 12 = x 2x – x = 12 x = 12

f)– x + 52 = 3

4 4 × – x + 5

2 = 4 × 34

– 42 (x+5)=44 × 3

–2(x+5)=3 –2x – 10 = 3 –2x = 3 + 10 –2x = 13 x=– 13

2

R

PU5 2.14

Resuelve:a)13x – 5 = 16x b)x−22 = 1

4x

mcm: 6

a)13x – 5 = 16x

6 13x – 5 = 6 × 1

6x6 × 1

3x – 6 × 5 = 6 × 16x

63x – 30 = 6

6x 2x – 30 = x 2x – x = 30

x = 30

mcm: 4

b)x−22 = 14x

4 × x−22 = 4 × 14x

42 (x–2)=

44x

2(x–2)=x 2x – 4 = x 2x – x = 4

x = 4Secalculóelmcmdelosdenominadoresparamul-tiplicarambosmiembros.

3

4

1

2

132x = –10

9x =

x = 12 x = –8 x = 6

x = 3

a)x = 12 b)x = –8

c)x = 6 d)x = 3

Resuelveunaecuacióncontérminosycoeficientesfraccio-narios.

– x + 212 = 1

24x

24× – x + 212 = 24 × 1

24x

– 2412 (x+2)=

2424x

–2(x+2)=x–2x – 4 = x–2x – x = 4

–3x = 4

–x=– 43


Indicador de logro:

142

2.15 Practica lo aprendidoEn el literal e del numeral 2, la ecua-ción planteada debe ser:

0.05x – 0.034 = 0.015x + 0.001

Solución de algunos ítems:

1.a) 3 + 4(x – 2) = –3 – 5(x – 5) 3 + 4x – 8 = –3 – 5x + 25 4x – 5 = –5x + 22 4x + 5x = 5 + 22 9x = 27 x = 3

f) 3(x – 2) + x = 5(x – 3) + 9 3x – 6 + x = 5x – 15 + 9 4x – 6 = 5x – 6 4x – 5x = –6 + 6 –x = 0 x = 0

2.a) 0.5x + 3 = 0.4x + 3.3 5x + 30 = 4x + 33 5x – 4x = 33 – 30 x = 3

f) 2.25x + 1.97 = 3.75x – 4.03 225x + 197 = 375x – 403 225x – 375x = –403 – 197 –150x = –600 x = 4

3.

a) 12 x = 1

4 x + 52

4 × 12 x = 4 × 1

4 x + 4 × 52

2x = x + 102x – x = 10 x = 10

h) x + 512 = x + 7

2424 × x + 5

12 = 24 × x + 724

2(x + 5) = x + 7 2x + 10 = x + 7 2x – x = 7 – 10 x = –3

x = 3 x = 2

x = –4 x = 2

x = 4 x = 0

x = 3 x = 6

x = 8 x = 2

x = 1 x = 4

x = 10

x = –2

x = –4 x = –3

512

x = – 1748x =

32x =

710x =

Resuelve problemas correspondientes a ecuaciones de pri-mer grado.


Fecha:

Indicador de logro:


3.1Aplicacióndeecuacionesutilizandounapropiedaddelasigualdades

S

RPU5 3.1

Secuencia:En esta lección se trabajará la aplica-cióndelasecuacionesdeprimergradoa situaciones del entorno. Para resol-verlasseutilizaunapropiedaddeunaigualdad.

Propósito:1 , 2 Dar respuesta a las interrogantes decadaunodelosnumeralesatravésde laaplicacióndeecuacionesdepri-mer grado que se resuelven utilizan-do una propiedad de las igualdades;en la aplicación es importante elegirconvenientemente la cantidadque serepresenta con la incógnita y aclararquerepresentaalamisma.Tambiénesimportante orientar a los estudiantes sobrelaelaboracióndeungráficoodi-bujoquepuedeservircomounapoyopara encontrar una respuesta a la inte-rrogante planteada.

3 Solucióndelosítems.

1. Sea x la pérdida o ganancia endólareseneltercermes.

1,800+(–600)+x=7,0001,800–600+x=7,0001,200+x=7,0001,200+x=7,000 x=7,000–1,200 x=5,800Ganó5,800dólares.

2. Sea x elnúmerobuscado. x – 5 = –12 x = –7Elnúmerobuscadoes–7.

1

2

3

Ganó5,800dólares

Elvalordex es –7

1.Sea x lapérdidaogananciaendólareseneltercermes.1,800+(–600)+x=7,000 x=5,800Ganó5,800dólares.

2.Sea xelnúmerobuscado. x – 5 = –12 x = –7Elnúmerobuscadoes–7.

Resuelve:1.Preciodemembresíadelacancha:$16. Tarifaporuso:$1. ¿Cuántasvecessehausadosisehanpagado35dóla-

res? 2.Alrestarle8alnúmerox,resulta–3.Encuentrax.

1. Sea xelnúmerodevecesquehausadolacan-cha.

16 + x = 35 x = 35 – 16 x=19R.Sehausado19veces.2. Sea xelnúmerobuscado. x – 8 = –3 x = –3 + 8 x=5R.Elnúmeroes5.

Resuelveunasituacióndelentornoaplicandounaecuacióndeprimergradoqueseresuelveutilizandounapropiedaddeunaigualdad.


Fecha:

Indicador de logro:

144

Secuencia:Para esta clase se aplican ecuaciones querequierenlautilizacióndemásdeuna propiedad de una igualdad para su solución;sedifiereconlaestructuradelas clases anteriores por el hecho deque no cuenta con una C , pero estosedebeaqueen la claseanterior seestablecieron los pasos para la aplica-cióndeunaecuaciónpararesolverunproblema del entorno.

Propósito:1 Practicarlaaplicacióndeecuacionesqueseresuelvenaplicandomásdeunapropiedad a situaciones del entorno.

Solucióndelosítems.

1. Sea x la base salarial de cada traba-jador.

3(x+50)=1,425 3x+150=1,425 3x=1,425–150 3x=1,275 x = 425

La base salarial de cada trabajador es 425dólares.

2. Sea xelcostodelteléfonosindes-cuento.

12(x–20)=2,400 12x–240=2,400 12x=2,400+240 12x=2,640 x = 220

El costodel teléfonosineldescuentoes220dólares.

3. Sea x la cantidadmínimade librosquedebevender.

5x = 200 x = 200 ÷ 5 x = 40

Con 40 libros obtiene justamente loqueinviertemensualmenteporloquedebe vender como mínimo 41 librosparaempezaratenerganancias.

3.2Aplicacióndeecuacionesutilizandomásdeunapropiedaddelasigualdades

S

RPU5 3.2

Sehancortado3árboles.Cadaárbolrestantetiene5papayas.Lacosechatotaldespuésdecortar los árboles es 355 papayas. ¿Cuántosárboleshabíaalprincipio?

La base salarial de cada traba-jadores425dólares.

El costo del teléfono sin eldescuentoera220dólares.

1

Labasesalarialdecadatrabajadores425dólares

Elteléfonosindescuentocuesta220dólares

Debevendercomomínimo41libros

3(x+50)=1,425

12(x–20)=2,400 x = 220

x = 425

1. Sea x la base salarial de cada trabajador.

2. Sea xelcostodelteléfonosindescuento.

Sea xelnúmerodeárbolesqueteníaMiguelinicialmente.

R. 74 árboles

355355355 + 1537074

5(x −3)5x − 15

5x5xx

=====

Resuelveunasituacióndelentornoaplicandounaecuacióndeprimergradoqueseresuelveutilizandomásdeunapropiedaddeunaigual-dad.


Fecha:

Indicador de logro:


3.3Aplicacióndeecuacionesqueincluyenunaincógnitaentérminosdeotra

S

Secuencia:Siguiendo con la secuencia de la aplica-cióndediferentestiposdeecuacionesde primer grado a situaciones del en-torno;paraestaclaseseutilizanecua-cionesquetienenunaincógnitaentér-minos de otra.

Propósito:1 Practicarlaaplicacióndeecuacionesqueseresuelvenaplicandomásdeunapropiedad a situaciones del entorno. Solucióndelosítems.

1. Sea x el peso de un reproductor de DVD.

Por tanto: x + 10 el peso de un tele-visor.

5x+8(x +10)=106 5x + 8x + 80 = 106 13x = 106 – 80 13x = 26 x = 2Pesodeuntelevisor. x + 10 = 2 + 10 = 12ElreproductordeDVDpesa2librasyeltelevisor12libras.

2. Sea xelprimernúmero. Por tanto: x +1eselotronúmero. x+(x +1)=13 x + x + 1 = 13 2x = 13 – 1 2x = 12 x = 6Elotronúmero: x + 1 = 6 + 1 = 7Losnúmerosson6y7.

3. Sea xelprimernúmero. Por tanto: x +1elsegundonúmeroy x +2eltercernúmero.

x+(x +1)+(x +2)=18 x + x + 1 + x + 2 = 18 3x + 3 = 18 3x = 18 – 3 3x = 15 x = 5

Segundonúmero. x + 1 = 5 + 1 = 6Tercernúmero. x + 2 = 5 + 2 = 7

RPU5 3.3

Pago día de semana: $4 Pagodíadefindesemana:$6Sienelmestrabajó20díasylepagaron84dóla-res,¿cuántosdíasdesemanayfinesdesemanatrabajó?

Sea x el número de días de semanaque Josétrabajó.

R.18díasdesemanay2díasdefinesdesemana.

844x+6(20−x) =844x+120−6x =84120−2x =

−36−2x =18x =

84−120−2x =

El reproductor pesa 2 libras yeltelevisor12libras.

1

Elreproductorpesa2librasyeltelevisor12libras

Losnúmerosson6y7

Losnúmerosson5,6y7

1. Sea x el peso de un repro-ductor de DVD.

Por tanto x + 10 el peso de

untelevisor.

5x+8(x +10)=106x = 2

Pesodeuntelevisor x + 10 = 2 + 10 = 12

Aplicaunaecuacióndeprimergradoconunaincógnitaentérminosdeotraaunasituacióndelentorno.


Fecha:

Indicador de logro:

146

3.4AplicacióndeecuacionesconvariablesenambosmiembrosSecuencia:En esta clase se usan ecuaciones con miembrosenambostérminosparare-solverproblemasdelentorno.

Propósito:1 Resolver situaciones del entornoaplicandoecuacionesqueseresuelvenutilizandomásdeunapropiedad.Solu-cióndelosítems.

1. Sea xlacantidaddehorasqueseusaelparqueo.

x = 2 + 0.5x 10x = 20 + 5x 10x – 5x = 20 5x = 20 x = 4

El costoeselmismoa las4horasdeuso.

2. Sea x la cantidad de días que serentaelequipo.

20x + 10 = 18x + 26 20x – 18x = 26 – 10 2x = 16 x = 8

El costo es el mismo al rentarlo duran-te 8 días.

Marta20x + 10 = 20 × 5 + 10 = 100 + 10 = 110

José18x + 26 = 18 × 5 + 26 = 90 + 26 = 116

Para5díasesmejoralquilarconMar-ta,porqueelcostoesmenor.

3. Sea xlacantidaddesemanas.

200 – 2x = 328 – 4x –2x + 4x = 328 – 200 2x = 128 x = 64

Estaránalmismonivelen64semanas.

S

RPU5 3.4

Se irá al gimnasio por 5 meses. Cobran $20 mensuales sin membresía. Cobran $10 mensuales conmembresíayunacuotaúnicade$30.¿Despuésdecuántosmesessehabrágastado lamismacan-tidad de dinero con o sin membresía?¿Convienepagarlamembresíasegúneltiempoquesehapla-nificadoentrenar?

Sea x la cantidaddemesesquehanpasadohastahaberpagadolamismacantidaddedinero.

R. En el mes 3 el gasto es el mismo con o sin membre-sía. Para que le salga másbarato le convieneadquirirlamembresíadadoque irápor 5 meses.

30 + 10x30303

20x20x−10x

10xx

====

Elcostoeselmismoalas4horasde uso.

1

Elcostoeselmismoalas4horas

Elcostoeselmismoalos8días,por5díasesmejoralquilarconMarta

Alas64semanastendránlamismacantidad

1. Sea xlacantidaddehorasqueseusaelparqueo.

x = 2 + 0.5xx = 4

2. Sea xlacantidaddedíasqueserentaelequipo.

20x + 10 = 18x + 26x = 8

El costo es el mismo al rentarlo durante 8 días.

Marta: 110 José:116Para5díasesmejoralquilarconMarta,porqueelcostoesmenor.

Resuelveunasituacióndelentornoaplicandounaecuacióndeprimergradoconlaincógnitaenambosmiembros.


Fecha:

Indicador de logro:


3.5Aplicacionesensituacionesdedistancia,velocidadytiempo

S

Secuencia:Para esta clase las situaciones propues-tasinvolucranconceptosdedistancia,velocidadytiempo.Seutilizaelhechodequelosestudiantesyaaprendieronpreviamente el uso de fórmulas pararealizarcálculosensituacionesdeestetipocomoapoyoparaqueelestudian-teplanteeunaecuaciónadecuadase-gúnlasituación.

Propósito:1 , 2 Tomar en cuenta las condiciones de la situación para considerar comoválida la solución de una ecuaciónen una situación determinada. Comomuestraesteproblema,lasolucióndeunaecuación,nonecesariamenteeslarespuestaa lasituaciónplanteada,yaque su validez depende de las condi-ciones establecidas, es decir, a pesardequealresolverlaecuaciónsesabequeJuliaalcanzaráaMartaen6minu-tos,estonosucederá,puestoqueMar-tayahabrá llegadoa laescuelaantesdeque Julia laalcance,porque300>280.

Observación:Enelsentidoestricto,elconcepto de la velocidad contiene elsentidodelmovimiento;enestaclaseseutilizaestapalabrasoloparaindicarlarapidez.

3 Solucióndelprimerítem.1. a)Seax +2lacantidaddehorasqueharecorridoelvehículoA.Por tanto xeslacantidaddehorasqueharecorridoelotrovehículo.60(x +2)=90x 60x + 120 = 90x 60x – 90x = –120 –30x = –120 x = 4Luegodequeelsegundovehículosal-ga,tardará4horasenalcanzarlo.60(x +2)=60(4+2)=60(6) = 360b)No lograalcanzarlo,enesetiempoelvehículoAhabrárecorrido360km.3. Sea xeltiempoquehacorridoJosé.Por tanto x +2eltiempodeAna.150(x +2)+175x=1 600 150x + 300 + 175x=1 600 325x =1 600–300 325x =1 300 x = 4

RPU5 3.5

Julia salió4minutosmás tardesiguiendoasuhermanaMarta. LavelocidaddeMartafuede30m/minyladeJuliafuede50m/min.¿EncuántosminutosalcanzóJuliaaMarta?,siladistanciaentrelacasaylaescuelafuerade280m,¿JuliapuedealcanzaraMartaenelcamino?

Sea x elnúmerodeminutostranscurridosmientrascami-naJulia.

50x50x−120−1206

30(x+4)30x + 12030x−50x

−20xx

=====

R. 6 minutos

Demaneraque,siladistanciaentrelacasaylaescuelafuerade280m,JulianopodríaalcanzaraMartaporque:6×50=300mqueesmayorque280m.

1

2

3

a)Luegode4horas

Se encuentran luego de 9 minutos

Sevuelvenaencontraren4minutos

b)Nolograalcanzarlo

a)Seax +2lacantidaddehorasquehareco-rridoelvehículoA.Por tanto x es la can-tidaddehorasqueharecorridoelotrovehí-culo.

60(x +2)=90x x = 4

El 2ovehículotardará4henalcanzaraA.b)Nolograalcanzarlo,enesetiempoAhabrárecorrido360km.

1.

Aplicaunaecuacióndeprimergradoaunasituacióndedis-tancia,velocidadytiempo.


Fecha:

Indicador de logro:

148

3.6Aplicacionesensituacionesdeproporcionalidaddirecta,parte1

Secuencia:Laaplicacióndeecuacionesdeprimergrado a situaciones de proporciona-lidaddirecta sedivideen trespartes.Enesta clase sedesarrolla laparte1,previamentesepresentalapropiedadfundamental de la proporcionalidad,para que a partir de su aplicación sepuedaresolverunaecuaciónydarres-puesta a la interrogante planteada en el problema.

Propósito:1 , 2 Dar respuesta a la interrogante planteada en la situación a través deunaecuaciónformuladaapartirdelaaplicacióndelapropiedadfundamen-tal de la proporcionalidad. La propor-cionalidad a la cual se aplica la propie-dadfundamentalseestableceapartirdelasituación.La propiedad fundamental se ofrececomo una herramienta para que elestudiante lautilicecuandoanalice lasituación,sedebeaclararqueestapro-piedadesúnicamenteaplicableaunaproporcióndirecta.En el P , en lugar de 990 calorías sedebe hacer referencia a 990 kilocalo-rías.

3 Practicarlaaplicacióndeecuacionesde primer grado a situaciones de pro-porcionalidaddirecta. Soluciónde losítems.

1. Sea xlacantidaddepastelesquesenecesitan.

18 : 48 = 3 : x 18x = 3 × 48 18x = 144 x = 8Se necesitan 8 pasteles para 48 niños.

2. Sea xlacantidaddeenvasesquesetendrán.

5 : 13 = 85 : x 5x = 13 × 85 5x=1 105 x = 221

Se tendrán 221 envases llenos en 13minutos.

E

SR

P U5 3.6Sisetienelaproporción:

Propiedadfundamental

3 : b = 6 : d0

0 × bd

6b

0

0 × bd

3d

=

=

=

3b

3b

6d6d

Aplicandoloanterior,responde:Al comer 3 pupusas de frijol con queso seconsumen990kilocalorías,¿cuántaskilocalo-rías se consumen si se comen 5?

Sea xelnúmerodekilocalorías.990 : x5 × 9904 9501 650

3 : 53x3xx

==== R.1 650kilocalorías

Sea xelnúmerodecajasquesepue-denenvolver.

R. 11 cajas

2 : x2 × 23146211

42 : 23142x42x

x

====

1

2

3

Se necesitan 8 pasteles

Setendrán221envasesllenos

1. Sea x lacantidaddepastelesquese necesitan.

18 : 48 = 3 : xx = 8

Se necesitan 8 pasteles para 48 niños.

Resuelveunasituacióndeproporcionalidaddirectaconunaecuacióndeprimergrado.


Fecha:

Indicador de logro:


3.7Aplicacionesensituacionesdeproporcionalidaddirecta,parte2

S

Secuencia:Debido a que en la clase anterior setomóuntiempoparaelanálisisde ladeduccióndelapropiedadfundamen-tal de la proporcionalidad, para estaclase se retoman situaciones como las delaclaseanterior,paraquelosestu-diantes sigan practicando el plantea-miento de ecuaciones para este tipodecontextosylaaplicacióndelapro-piedadfundamentalcomoherramien-taparalasolucióndeellas.

Propósito:1 Solucióndelosítems.1. Sea xlacantidaddeaulasquepodrá

pintar.

5 : 45 = 2 : x 5x = 2 × 45 5x = 90 x = 18

Podrá pintar 18 aulas.

2. Sea xlacantidadenkilómetros.

10 : 24 = 12.5 : x 10x = 24 × 12.5 10x = 300 x = 30

Hay30kmdedistancia.

3.a)4:x = 48 : 24 48x = 4 × 24 48x = 96 x = 2

b)2x : 36 = 2 : 12 12 × 2x = 2 × 36 24x = 72 x = 3

R

PU5 3.7

EUnamáquinaempaquetadorapre-para42cajasdecamisasen7días,¿cuántascajassehanempaqueta-do en 10 días?

R. 60 cajas

Sea x el número de cajas empa-quetadas.

x : 107x7x42060

42 : 742 × 10

4207xx

=====

a)5:x = 10 : 1410x 10x707

5 × 1470

10xx

====

b)4:3x = 2 : 15

3x × 26x6010

4 × 15606xx

====

1

Se pueden pintar 18 aulas

Hay30kilómetros

x = 2 x = 3

1. Sea xlacantidaddeaulasquepodrá pintar.

5 : 45 = 2 : xx = 18

Podrá pintar 18 aulas.

Aplicaaunasituacióndeproporcionalidaddirectaunaecua-cióndeprimergradoconsignosdeagrupación.


Fecha:

Indicador de logro:

150

3.8Aplicacionesensituacionesdeproporcionalidaddirecta,parte3Secuencia:Para esta clase se retoman las situacio-nesdeproporcionalidaddirecta,conladiferenciadequeapartirdelapropor-cionalidadplanteadalaecuaciónobte-nida incluyeunavariableentérminosdeotra.Porloqueahorasetrabajaráconsituacionesquepermitenpracticarelplanteamientodeproporcionesquedanlugaraecuacionesquetienenunavariableentérminosdeotra.

Propósito:1 , 2 Dar respuesta a la interrogan-te planteada a través del uso de unaecuacióndeprimergradoconunain-cógnitaentérminosdeotra.Laecua-ción sedeterminaa travésde la apli-cación de la propiedad fundamentala la proporcionalidad implícita en la situaciónplanteada.Enestepuntosedebeaclararquehaydosformasparaencontrarlarespuesta,endondecadaunadeellaspartedeunadecisióndis-tinta de la incógnita. Se debe decir alosestudiantesqueambasrespuestassonigualmenteválidas.

3 Practicarlaaplicacióndelapropie-dad fundamental de la proporciona-lidad cuando la incógnita aparece endostérminos.

4 Solucióndealgunosítems.1. Sea xeláreaparacultivarcaña.Portanto,63–x es eláreaparaculti-varpiña. 4 : 3 = x :(63–x) 3x=4(63–x) 3x = 252 – 4x 3x + 4x = 252 7x = 252 x = 36Regióndelcultivodepiña: 63 – x = 63 – 36 = 27Seusarán36manzanasparalacañay27 para la piña.

2. Sea xelvalordelatarjetaderegalo.9:12=(x +900):1,40012(x +900)=9×1,400 12x +10,800=12,600 12x =12,600–10,800 12x =1,800 x = 150El valor de la tarjeta de regalo es de150dólares.

S

R

PU5 3.8

Mezclandocaféylecheaunarazónde5:2se prepararon 840 ml de una bebida. ¿Cuán-tosmililitrosdelecheseusaron?

(840–x):x2×(840−x)1 680−2x1 680240

5 : 25x5x7xx

=====

Forma 1 Forma 22 : 7 = x : 840

2 × 840 = 7x7x =1 680x = 240

Dos opciones. Sea x la cantidaddelecheenmililitros.

E 3:(2x+3)=6:146×(2x+3)42

24

2

3 × 146(2x+3)

12xx

==

=

=

a)

3 × 824363

4×(3x−3)4×(3x−3)

12xx

====

b)4:3=8:(3x−3)

Razónde lacantidadde leche respecto altotal de la bebida.

Razóndelacantidaddeleche respecto a la decafé.

1

2

4

3

36manzanasparacañay27parapiña

Elvalores150dólares

x = 4 x = 5

1. 36manzanasparacañay27 para piña.

Realizasumasquetienencomosumandosalceroyaotronúmeronodecimalnifraccionario.



Descripción.Lapruebadeestaunidadestáforma-dapor9numerales,5enlaparteIy4enlaparteII,algunosdelosnumeralestienenmásdeunliteral,esimportanteaclararquecadanumeralserátomadocomoun ítem;por tantoestapruebacontiene10ítems(5enlapágina1,5enlapágina2).

Parte I

Criterios para asignar puntos parcia-les.

Ítems del 1 al 5:Noaplicapuntoparcial

Notación.C1.2Significaqueelítemcorrespondea la clase 1.2 de la Unidad 1.

Relación entre los ítems y las clases del libro de texto.Ítem1–C2.3,2.4y2.5Ítem 2 – C 2.7Ítem 3 – C 2.8Ítem 4 – C 2.9Ítem 5 – C 2.11

Algunos procedimientos.Ítem 1: x + 2 = 7 x = 7 – 2 x = 5 Ítem 2: 2x = 6 x = 6 ÷ 2 x = 3 Ítem 3: 2x + 1 = 5 2x = 5 – 1 2x = 4 x = 2Ítem 4: 2x = –3 + x x = –3Ítem 5:3+4(x–2)=7 3 + 4x – 8 = 7 4x – 5 = 7 4x = 7 + 5 4x = 12 x = 12 ÷ 4 x = 3

Prueba de la Unidad 5

152

Parte II

Criterios para asignar puntos parcia-les.

Ítem 1:Indicarsoloelnúmero5 800ynosees-pecificaqueesunaganancia.

Ítem 2 y 3:Noaplicapuntoparcial

Ítem 4a y 4b:Noaplicapuntoparcial

Relación entre los ítems y las clases del libro de texto.Ítem 1 – C 3.1Ítem 2 – C 3.2Ítem 3 – C 3.4Ítem 4 – C 3.5

Algunos procedimientos.Ítem 1:Sea x dólareslagananciaopérdidaenel tercer mes

1,800+(–600)+x=7,000 x+1,200=7,000 x=5,800

Ítem 2:Sea x dólareslabasesalarial3(x+50)=1,425 3x+150=1,425 3x=1,275 x = 425

Ítem 3: Sea x horas la duración del tiempobuscado x = 2 + 0.5x 0.5x = 2 x = 4

Ítem 4:a)Seax horaseltiempodespuésdela

salida del segundo 60(2+x)=90x 60x + 120 = 90x 120 = 30x x = 4

b)Durante 4 horas, el segundo reco-rrería 90 ×4=360km,queesmayorqueladistanciaentrelasdoscanti-dades.

Prueba de la Unidad 5


Clasificación de los ítems según el do-minio cognitivo.

La prueba consta de 11 numerales,sin embargo en total se consideran 20 ítems pues cada literal cuenta como un ítem.Los20 ítemsseclasificandeacuerdo a los dominios cognitivos talcomosedetallaacontinuación:

Conocimiento (75 %). Del numeral 1 alnumeral8d.Hayalgunosnumeralesquetienen varios literales; por tanto,eldominiocognitivocorrespondea14ítems.

Aplicación (15 %). Del ítem 8e al ítem 9.

Razonamiento (10 %).Ítems10y11.

Notación.U1 C1.2 Significa que el ítem corres-ponde a la clase 1.2 de la Unidad 1.

Prueba del segundo trimestre

*Significaquesielestudianterespon-deporlomenosunodeestosynopro-porcionalarespuestacorrecta,enton-cesseledaunapuntuaciónparcial.

Relación entre los ítems y las clases del libro de texto.Ítem 1 – U4 C 1.13Ítem 2 – U4 C 1.17Ítem 3 – U4 C 2.1Ítem4–a)U4C2.4Ítem4–b)U4C2.5Ítem 5 – U4 C 2.7Ítem 6 – U4 C 2.11

Observaciones.Ítem 4:a)Larespuesta6–8x tambiénesco-

rrecta.b) La respuesta –2y + 3x también es

correcta.

Ítem 6:a)Larespuesta3+4a tambiénesco-

rrecta.b)La respuesta –11 + 4x también es

correcta.

154

Relación entre los ítems y las clases del libro de texto.Ítem 7 – a U4 C 3.1Ítem 7 – b U4 C 3.2Ítem 8 – U5 C 2.3 - 2.14Ítem 9 – U5 C 3.4Ítem 10 – U4 C 1.17 U5 C 2.8Ítem 11 – U5 C 3.5

Algunos procedimientos.Ítem 8: d)3x – 1 = x +5 3x – x = 5 + 1 2x = 6 x = 3

e)3x–2(x–1)=4 3x – 2x + 2 = 4 x + 2 = 4 x = 2

f)1.2x + 0.4 = 0.5x + 2.5 12x + 4 = 5x + 25 12x – 5x = 25 – 4 7x = 21 x = 3

g) x2 – x3 = 5

6 3x – 2x = 5 x = 5Ítem 9:Sea x elnúmerodeestudiantes. 3x + 1 = 4x – 5 3x – 4x = –5 – 1 –x = –6 x = 6Ítem 10:Sustituyendox=5,setieneque

a × 5 – 3 = 7 5a – 3 = 7 5a = 10 a = 2

Ítem 11:Sea xkmladistanciaentredoscasas.

Delas10delamañanahastalas4delatarde,hantranscurrido6horas.

x6 + 1 + x

4 = 6 2x + 12 + 3x = 72 5x + 12 = 72 5x = 60 x = 12

Prueba del segundo trimestre

Documents

Unidad 5. Ecuaciones de primer grado - jica.go.jp · ca de la forma y = ax2 + c • Función y = ax2 • Función y = ax2 + c Séptimo grado Noveno grado Primer año de bachillerato