UNIVERSIDAD DON BOSCO - DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

UNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

ALGEBRA LINEAL - GUION DE CLASE - SEMANA 10 y 11 - CICLO 01-2015

Estudiante: Grupo:

1. Estructuras Algebraicas

Un conjunto A con una o mas operaciones internas (operaciones binarias) se llama Estructura Alge-

braica, y se denota (A, ∗,⊕, ...). Se clasifican segun las propiedades que cumpla la operacion binaria, de

la siguiente manera:

1.1. Semigrupo

Si A es un Conjunto no Vacıo y ∗ es una Operacion Binaria sobre A, entonces la Estructura Algebraica

(A, ∗) recibe el nombre de semigrupo, si la operacion ∗ es cerrada y asociativa.

Ejemplo. Si P es el conjunto de enteros pares positivos, entonces (P,+) y (P,×) son semigrupos.

1.2. Monoide

Se llema monoide a una Estructura Algebraica (A, ∗) donde ∗ es una operacion binaria cerrada, asociativa

y con un elemento neutro e.

Ejemplo. Las siguientes estructuras algebraicas son monoides:

◦ (R,+), (Z,−).

◦ (P (A) ,∪), donde P (A) es el conjunto potencia deA 6= φ y ”∪” es la operacion“Union de Conjuntos”.

Ejemplo. Si P es el conjunto de enteros pares positivos, entonces (P,+) y (P,×) no son monoides. ¿Por

que?.

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1.3 Grupo

1.3. Grupo

La estructura algebraica (G, ∗) recibe el nombre de Grupo si satisface las siguientes propiedades:

1. Cerradura: ∀a, b ∈ G, a ∗ b ∈ G.

2. Asociatividad: ∀a, b, c ∈ G, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).

3. Existencia de elemento identidad: ∃e ∈ G tal que ∀a ∈ A, a ∗ e = e ∗ a = a.

4. Existencia de inversos: ∀a ∈ G, ∃a−1 ∈ G tal que a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e.

Ejemplo. (Z,+) es un grupo.

Cuando ∗ es la suma, el elemento neutro recibe tambien el nombre de elemento cero o elemento nulo.

Observaciones

La e. a. (A, ∗) es un semigrupo si ∗ es asociativa. Si ademas existe un elemento identidad es un monoide.

Si ademas existe un inverso para cada elemento de A, entonces es un grupo.

Otros ejemplos.

1. (Q, ·) no es un grupo porque el elemento 0 ∈ Q y no posee inverso.

2. Si Q∗ = Q− {0},(Q∗, ·) es un grupo.

3. Si I = {2a+ 1, a ∈ Z}, es decir, el conjunto de los numeros impares, (I,+) no es un grupo, porque

la suma no es una op. binaria (no cumple cerradura), es decir, ni siquiera es e. a.

4. (M2,+) es un grupo.

Definicion. Un grupo (G, ∗) donde ∗ es una op. binaria conmutativa, se denomina grupo conmutativo

o grupo abeliano.

Lo de “abeliano” es en honor al matematico noruego Niels H. Abel (1802-1829) que contribuyo de manera

decisiva a la teorıa de grupos.

Propiedades de un Grupo (G, ∗)

1. El elemento identidad es unico.

2. El inverso de cada elemento es unico.

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1.4 Grupos Finitos

3. Las leyes cancelativas (por la izquierda y por la derecha) se cumplen.

Es decir, si a ∗ b = b ∗ a =⇒ b = c y si b ∗ a = c ∗ a =⇒ b = c.

4. (a ∗ b)−1= b−1 ∗ a−1 ∀a, b ∈ G. Ejemplo:

En el grupo (Z,+), (2 + 5)−1

= 5−1 + 2−1 = −5 + (−2) = −2 + (−5) ya que el grupo es abeliano y

(2 + 5) + (−5 + (−2)) = (−5 + (−2)) = 0.

5. Si a, b ∈ G, la ecuacion a ∗ x = b tiene la unica solucion x = a−1 ∗ b. Similarmente la ecuacion

y ∗ a = b tiene la sol. unica y = b ∗ a−1.

Ejemplo. Sea el grupo (Z,+), la ecuacion 5+x = 2 tiene la unica solucion x = a−1∗b = −5+2 = −3.

6. El unico elemento idempotente es e (e ∗ e = e).

* Ver demostraciones en el Libro de Texto de Algebra Lineal, pags. 230-231.

1.4. Grupos Finitos

Se llaman ası a los grupos con un numero finito de elementos. Y se llama orden de G y se denota |G| a la

cantidad de elementos de G.

1.4.1. Tablas de Grupos Finitos

Los grupos finitos pueden definirse totalmente mediante tablas, de manera que el resultado de operar los

elementos a y b del grupo se coloca en la interseccion de la fila de a con la columna de b, como muestra

la figura:

∗ e · · · b · · ·

e...

a a ∗ b...

La ley de cancelacion por la derecha se interpreta en la tabla de la op. como que los elementos no se

repiten en ninguna de las columnas y la ley de cancelacion por la izquierda como que los elementos

no se repiten en ninguna de las filas de la tabla de la operacion.

Teniendo esto en cuenta y que el neutro siempre debe aparecer en la tabla de un grupo, se deduce que

todos los grupos de dos elementos poseen una tabla de operacion similar a la siguiente:

Sea G = {e, a} y (G, ∗) un grupo:

∗ e a

e e a

a a e

Puede observarse que este grupo es conmutativo; la prop. conmutativa se observa en la tabla de la

op. viendo si la tabla es simetrica con respecto a la diagonal principal.

*Todo grupo de dos elementos es abeliano.

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Ejemplo. La tabla del grupo ({−1, 1} , ·) con · la multiplicacion usual en R es : (Verificar que es un

grupo)

· 1 −1

1 1 −1

−1 −1 1

Notar que es un grupo abeliano.

Si G posee tres elementos, G = {e, a, b}, inmediatamente podemos escribir

∗ e a b

e e a b

a a

b b

El resultado de operar a con a puede ser b o e; el resultado de operar a con b debe ser e (si fuera b, se

tendrıa a = e); por tanto a ∗ a = b, se puede entonces completar la tabla de este grupo:

∗ e a b

e e a b

a a b e

b b e a

Observese que este grupo tambien es abeliano. Es decir, todo grupo de tres elementos es abeliano.

Ejercicio. Sea S = {1, i,−1,−i} con i2 = −1 y ∗ la multiplicacion usual. Comprobar que(S, ·)es un

grupo. Luego, construya la tabla del grupo y verifique si es abeliano.

2. Aritmetica Modular

2.1. Congruencias

Si m es un entero positivo, decimos que dos numeros enteros a, b son congruentes modulo m si existe un

k ∈ Z tal que a− b = km , es decir a− b es divisible entre m. Equivalentemente podemos decir que a y b

son congruentes modulo m si al dividir cada uno entre m dejan el mismo residuo. Usaremos la notacion

a ≡ b (m) para indicar que a y b son congruentes modulo m. Si no lo son, diremos que son incongruentes

modulo m y escribiremos a � b (m).

Ejemplos

◦ 28 ≡ 3 (5) ya que 28− 3 = 25 = 5 · 5

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2.2 Suma y Multiplicacion Modular.

◦ 121 ≡ 0 (11) ya que 121− 0 = 121 = 11 · 11

◦ 28 � 4 (5) ya que 28− 4 = 24 no es un multiplo de 5.

El lenguaje de congruencias fue inventado por Karl F. Gauss y es usado constantemente en la vida diaria.

Un reloj funciona con congruencias modulo 12, los cuentakilometros de los coches lo hacen modulo 100,000

y los meses se representan modulo 12.

La congruencia modulom divide a Z en“m clases de equivalencia”que denotaremos como [0] , [1] , [2] , ..., [m− 1].

Por ejemplo, en la clase de equivalencia [1] modulo m estan todos los enteros que al ser divididos entre m

dejan residuo 1. De igual manera se definen los elementos de las otras clases de equivalencia.

Observacion. Notar que al dividir un numero entero entre m, el residuo se encuentra en el conjunto

{0, 1, 2, ...,m− 1}.

Ejemplo. Las clases de equivalencia en Z modulo 3 son [0] , [1] , [2]. Cada una de estas clases contiene los

siguientes elementos:

[0] = {. . . ,−6,−3, 0, 3, 6, . . .}[1] = {. . . ,−5,−2, 1, 4, 7, . . .}[2] = {. . . ,−4,−1, 2, 5, 8, . . .}Y escribimos Z3 = {[0] , [1] , [2]}.

En general,

Zm = {[0] , [1] , [2] , . . . , [m− 1]} .

Ejemplo. Calcular a que clase de equivalencia pertenecen 53 y −101 en Z13.

*Al hacer 53÷ 13 obtenemos cociente 4 y residuo 1, ası que 53 ∈ [1] en Z13.

*Al hacer −101 ÷ 13 obtenemos cociente −7 y residuo −10, ası que −101 = −7 × 13 + (−10) con un

residuo negativo, pero tambien −101 = −8 × 13 + 3 con un residuo positivo, ası que −101 ∈ [−10] = [3]

en Z13. Notar que −10 ≡ 3 (13), por lo que [−10] = [3] en Z13.

Ademas, dado a ∈ Z y m un entero positivo al hacer a ÷m obtenemos un cociente(c) y un residuo(r),

luego a = c ·m+ r con 0 ≤ r ≤ m− 1. Ası que, a ∈ [r] en Zm. Que es lo mismo decir [a] = [r] en Zm.

2.2. Suma y Multiplicacion Modular.

Teorema

1. Si m es un entero positivo y [a] , [b] ∈ Zm se pueden definir las operaciones de suma y multiplicacion

en Zm mediante [a] + [b] = [a+ b] y [a] · [b] = [a · b].

2. Ambas operaciones tienen las propiedades asociativa y conmutativa y se relacionan mediante la

propiedad distributiva. La clase [0] es el elemento neutro para la suma y la clase [1] lo es para el

producto.

3. Todo elemento [a] ∈ Zm tiene su opuesto respecto a la suma, a saber [m− a], y si a es primo relativo

con m, y [a] 6= [0], entonces [a] tiene inverso multiplicativo y es unico.

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2.3 Sustraccion Modular

Afirmacion 1. De acuerdo con el teorema anterior, (Zm,+) es un grupo. Y si definimos, Z∗m = Zm−{0},

entonces (Z∗m, ·) es grupo solo cuando m es primo.

Ejemplo. Encontrar el opuesto de [7] en (Z16,+), y el inverso de [8] en (Z15, ·). Segun la parte 3 del

teorema el opuesto de [7] es [16− 7] = [9]. En efecto, [7] + [9] = [9] + [7] = [0] en Z16. Y como 8 y 15

son primos relativos, ya que m.c.m. (8, 15) = 1, entonces [8] tiene inverso en (Z15, ·). En efecto, ya que

[8] · [2] = [2] · [8] = [1] se tiene que [2] es la clase inversa del [8] en (Z15, ·).

2.3. Sustraccion Modular

Sea m un entero positivo y [a] , [b] ∈ Zm. Se define [a]− [b] como la unica [x] en Zm tal que [a] = [b] + [x].

Ejemplo. Calcular [3]− [5] en Z12.

Por definicion de resta, buscamos [x] tal que: [3] = [5]+[x] = [5 + x] =⇒ x = 10 ya que [5 + 10] = [15] = [3].

Por tanto, [3]− [5] = [10] en Z12.

2.4. Division Modular

Sea m un entero positivo y [a] , [b] ∈ Zm, con [b] un elemento invertible en Zm. Se define [a]÷[b] = [a]×[b]−1

.

Ejemplo. Calcular [2]÷ [7] en Z10.

Por definicion, [2]÷ [7] = [2]× [7]−1

, entonces necesitamos calcular [7]−1

:

Ya que [7] · [3] = [3] · [7] = [1] en Z10 tenemos que [3] es la clase inversa de [7] en (Z10, ·).

Ası que, [2]÷ [7] = [2]× [7]−1

= [2]× [3] = [2 · 3] = [6].

Por tanto, [2]÷ [7] = [6] en Z10.

Ejercicio. Construir las tablas de (Z3,+), (Z3,×), (Z4,+) y (Z4,×). Verificar que son grupos abelianos

(los que son grupos). Verificar por que (Z4,×) no es grupo.

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Seguimos estudiando Estructuras Algebraicas que puedan describir sarisfactoriamente a R:

3. ANILLOS Y CAMPOS

ANILLO

Un conjunto A dotado de dos operaciones binarias cerradas que escribiremos + (suma) y · (producto) se

llama Anillo si se cumplen las siguientes propiedades:

1. (A,+) es un grupo abeliano.

2. El producto · es asociativo.

3. Si se cumplen las propiedades distributivas, es decir

a · (b+ c) = a · b+ a · c y (b+ c) · a = b · a+ c · a

para cualesquiera a, b, c que pertenezcan a A.

Observaciones:

◦ Como al producto · no se le imponer ser conmutativo, es por ello que se especifican las dos propiedades

distributivas.

◦ Si el producto es conmutativo, A se dice que es un Anillo Conmutativo.

◦ Si existe elemento identidad para el producto, diremos que A es un Anillo con Unidad. Este

elemento lo simbolizaremos con ”1” y es unico.

EJEMPLO A

◦ (Z,+, ·) es un anillo conmutativo con unidad con las operaciones usuales de suma y multiplicacion.

◦ (Zm,+, ·) con las operaciones de suma y multiplicacion modulo m es un anillo.

◦ (Mn,+, ·) con las operaciones de suma y multiplicacion de matrices son anillos con unidad. El

elemento identidad son las respectivas matrices identidad. Pero no son anillos conmutativos ya que

el producto de matrices no tiene esta propiedad.

◦ El conjunto de los enteros pares, con las operaciones de suma y multiplicacion es tambien un anillo;

este anillo no tiene elemento unidad.

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REFERENCIAS

EJEMPLO B

Tambien son anillos conmutativos con unidad (Q,+, ·), (R,+, ·) y (C,+, ·); ademas (Q∗, ·), (R∗, ·) y (C∗, ·)son grupos ( el ∗ indica que se ha extraıdo el elemento neutro de la suma). Es decir, el conjunto con la

segunda operacion puede tambien ser un grupo. Esto sugiere la siguiente definicion:

CAMPOS O CUERPOS

Un Anillo Conmutativo con Unidad (A,+, ·) se dice que es un Cuerpo o Campo si el conjunto A∗ formado

por todos los elementos de A excepto el neutro para la suma, es un grupo con respecto a la segunda

operacion.

EJEMPLOS:

(Q,+, ·), (R,+, ·) y (C,+, ·) son Cuerpos o Campos. Tambien lo es (Zm,+, ·) siempre que m sea un numero

primo.

Referencias

[1] Algebra Lineal , Cuadernos de Catedra, Departamento de Ciencias Basicas, Universidad Don Bosco,

Luis Alonso Arenivar (2012).

[2] Numeros, Grupos y Anillos, Universidad Autonoma de Madrid, Jose Dorronsoro Eugenio Her-

nandez (1996).

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