Matemticas financieras

Unidad 5: Anualidades

Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones:

1. Todos los pagos son de igual valor.

2. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.

3. Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie a la misma tasa.

4. El nmero de pagos debe ser igual al nmero de periodos.

Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema, aunque no siempre se refieran a periodos anuales de pago. Algunos ejemplos de anualidades son:

1. Pagos mensuales por renta

2. Cobro quincenal o semanal por sueldo

3. Abonos quincenales o mensuales a una cuenta de crdito

4. Pagos anuales de primas de plizas de seguro de vida.

Intervalo o periodo de pago.-Se conoce como intervalo o periodo de pago al tiempo que transcurre entre un pago y otro.

Plazo de una anualidad.- El tiempo que transcurre entre el principio del primer periodo y el final del ltimo periodo se denomina plazo de la anualidad y se representa por la letra n.

Renta.- es el nombre que se da al pago peridico que se hace.

Clasificacin de las anualidades:

5.1 Anualidades simples

Anualidad simple.- Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalizacin de los intereses.

5.1.1 Anualidades ciertas

Anualidad cierta.- Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Por ejemplo: Al realizar una compra a crdito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el ltimo.

5.1.2 Anualidades vencidas

Anualidad vencida.- Tambin se le conoce como anualidad ordinaria y, como su primer nombre lo indica, se trata de casos en los que los pagos se efectan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.

5.1.3 Anualidades inmediatas

Anualidad inmediata.- Es el caso mas comn. La realizacin de los cobros o pagos tiene lugar en el periodo inmediatamente siguiente a la formalizacin del trato: se compra a crdito hoy un articulo que se va a pagar con mensualidades, la primera de las cuales habr de realizarse en ese momento o un mes despus de adquirida la mercanca (anticipada o vencida).

Formulas para calcular el monto y valor actual de anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas:

Monto

Valor Actual

M= R[ (1+i)n - 1] ---------------- i

C = R[ 1- (1+i)-n] ---------------- i

Donde:

R= renta o pago por periodo

M= monto o valor en el momento de su vencimiento, es el valor de todos los pagos al final de las operaciones.

n = numero de anualidades o pagos.

C = valor actual o capital de la anualidad. Valor total de los pagos en el momento presente.

Ejercicios:

Ejercicio 1.- Que cantidad se acumulara en un semestre si se depositaran $100,000.00 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 36% anual convertible mensualmente.

Al ser una tasa anual convertible mensualmente tenemos:

36/100/12 = .03 i = .03 n = 6

Como lo que se trata es de conocer lo que se acumula en un lapso de tiempo (en este caso 6 meses y en lo que existe una cantidad constante anualidad a abonarse a la operacin) por lo tanto estamos hablando de conocer un monto y en consecuencia la formula que utilizaremos es :

M = R [ (1 + i )n - 1 ] M = 100 000 [ ( 1 + .03 )6 - 1 ]-------------------- ---------------------------------i .03

Luego tenemos que 100 000 [6.468409] = $646,840.98

Lo anterior tambin se pudo haber resuelto por medio de la formula de inters compuesto donde tenemos: M = C (1 + i)n

Podemos deducir que los primeros $100,000 ganan inters por 5 meses, los siguientes por 4,3,2,1 y el ltimo no gana inters sino que solo se suman al monto por lo cual podemos decir :

M = 100 000 ( 1 + .03 )5 = 115 927M = 100 000 ( 1 + .03 )4 = 112 551M = 100 000 ( 1 + .03 )3 = 109 273M = 100 000 ( 1 + .03 )2 = 106 090M = 100 000 ( 1 + .03 )1 = 103 000 ---------------- 546 841 + 100 000 los ltimos 100 000 que no ganan inters tenemos $646,841.00 (esto esta redondeado por los cual es diferente al valor obtenido arriba en 2 centavos).

Una manera ms de realizar lo anterior seria mediante la formula del inters compuesto llevando el inters acumulado en cada semestre ms el depsito (100 000) que se hacen al final de cada semestre:

Tiempo

Cantidad

Monto

Final 1er mes

100 000

100 000

Final 2do mes

100 000(1+ .03)1+100 000

203 000

Final 3er mes

203 000(1 + .03)1 + 100 000

309090

Final 4to mes

309090(1 + .03)1 + 100 000

418 362.7

Final 5to mes

418 362.7(1 + .03)1 + 100 000

530 913.58

Final 6to mes

530 913.58 (1 + .03)1 + 100 000

646 840.98

Ejercicio 2.- Cual es el monto de $2,000.00 semestrales depositados durante cuatro aos y medio en una cuenta bancaria que rinde 28% capitalizable semestralmente.

R = 2 000 n = 4.5/2 = 9 i = 28/100/2 = .14 y utilizando la formula para calcular el monto en operaciones que implican anualidades tenemos:

M = R [ (1 + i )n - 1 ] M = 2 000 [ ( 1 + 0.14)9 - 1 ] ----------------------------------------------------- i 0.14

De donde tenemos M = 2000 (16.085348) = $32,170.69

Lo anterior tambin se pudo haber resuelto por medio de la formula de inters compuesto donde tenemos: M = C (1 + i)n

Formula

Monto

M = 2000 (1+.14)8

5 705.17 n es igual a 8 porque los depsitos se hacen al final de cada semestre o sea que hasta que transcurre el primer semestre se realiza el primer deposito.

M = 2000 (1+.14)7

5 004.53

M = 2000 (1+.14)6

4 389.94

M = 2000 (1+.14)5

3 850.82

M = 2000 (1+.14)4

3 377.92

M = 2000 (1+.14)3

2 963 .08

M = 2000 (1+.14)2

2 599.2

M = 2000 (1+.14)1

2 280.00

Total

30 170 .69

mas los 2000 del ultimo semestre que no ganan inters

32 170.69 cantidad igual a la obtenida con la formula del monto en anualidades

Una manera ms de realizar lo anterior seria mediante la formula del inters compuesto llevando el inters acumulado en cada semestre ms el depsito ($2,000.00) que se hacen al final de cada semestre:

Tiempo

Cantidad

Monto

Final 1er semestre

2 000

2 000

Final 2do semestre

2 000(1+ 0.14)1+ 2000

4 280

Final 3er semestre

2 000(1+ 0.14)1+ 2000

6 879.2

Final 4to semestre

2 000(1+ 0.14)1+ 2000

9 842.28

Final 5to semestre

2 000(1+ 0.14)1+ 2000

13 220 .20

Final 6to semestre

2 000(1+ 0.14)1+ 2000

17 071.03

Final 7to semestre

2 000(1+ 0.14)1+ 2000

21 460.98

Final 8to semestre

2 000(1+ 0.14)1+ 2000

26 465.52

Final 9to semestre

2 000(1+ 0.14)1+ 2000

32 170.69

Ejercicio 3.-El doctor Gonzlez deposita $100.00 al mes de haber nacido su hijo. Continua haciendo depsitos mensuales por esa cantidad hasta que el hijo cumple 18 aos de edad para, en ese da, entregarle lo acumulado como un apoyo para sus estudios. Si durante los primeros seis aos de vida del hijo la cuanta pago 36% anual convertible mensualmente, y durante los doce aos restantes pago 2% mensual. Cuanto recibi el hijo a los 18 aos?

Para resolverlo podemos dividirlo en tres partes dado que tenemos que durante los primeros seis aos se pago una tasa del 36% anual y una vez determinado el monto correspondiente a este tiempo podemos calcular los intereses ganados por este monto durante los siguientes 12 aos, despus calculamos el monto correspondiente a 12 aos con una tasa del 2% mensual.

Solucin:

R = 100n = 6(12) =72i = 36/100/12 = 0.03

M = R [ (1 + i )n - 1 ] M = 100 [ ( 1 + .03 )72 - 1 ] -------------------------------------------------- i .03

M = 100 (246.6672422) = $24,666.72 que es el monto correspondiente a 100 pesos depositados mensualmente a una tasa del 36% anual convertible mensualmente durante 6 aos. A continuacin calculamos los intereses ganados por este capital durante 12 aos a una tasa del 2% mensual y tenemos:

M = C (1 + i )n M = 24 666.72(1 + .02)144 = $427,106.46

Por ultimo calculamos el monto acumulado de una anualidad de 100 pesos a una tasa del 2% mensual durante 12 aos (12 * 12 = 144 = n) y tenemos:

M = R[ (1 + i )n - 1 ] M = 100 [ ( 1 + .02)144 - 1 ] ------------ ---------------- i .02

M = 100 (815.754444) = $81,575.45.

Sumando lo acumulado por la primera parte tenemos $427,106.46 + $81,575.45 = $508,681.91 que seria la cantidad que recibira el hijo al cumplir los 18 aos.

Ejercicio 4.- Cual es el valor actual de una renta de $450 pesos depositados al final de cada uno de 7 trimestres si la tasa de inters es del 9% trimestral.

Debemos de entender como valor actual la cantidad de dinero que a una tasa del 9% trimestral nos permitiera obtener $450.00 cada trimestre. O sea que si sumamos los 450 de cada trimestre obtenemos $3,150.00 y lo que estamos buscando es una cantidad menor que mas los intereses nos permita obtener estos $450 por trimestre.

Si observamos la grafica lo que estamos buscando es la cantidad que en el tiempo cero a una tasa del 9% trimestral nos permita obtener 450 por trimestre.

Visto lo anterior utilizamos la formula del valor actual de una anualidad y tenemos:

C = ?R = 450i = 0.09n = 7

C = R [1- (1+i)-n ] C = 450 [1 - ( 1 + .09)-7 ] ----------------- --------------------------- i 0.09

Lo cual nos da 450 (5.03295284) = $2,264.82 que es el valor que estamos buscando o sea la respuesta a este ejercicio.

Comprobacin:

Utilizando la formula del inters compuesto para calcular un capital o valor actual tenemos: C = M ----------

(1 + i )n y sustituyendo para cada trimestre tenemos :

Formula

Capital

C = 450 (1 + .09)1

= 412.84

C = 450 (1 + .09)2

= 378.76

C = 450 (1 + .09)3

= 347.48

C = 450 (1 + .09)4

= 318.79

C = 450 (1 + .09)5

= 292.47

C = 450 (1 + .09)6

= 268.32

C = 450 (1 + .09)7

= 246.16

Total

= $2,264.82 que es la misma cantidad obtenida por medio de la formula de anualidades

Ejercicio 5.- Que es ms conveniente para comprar un automvil:

a) Pagar $26,000.00 de contado o

b) $13,000.00 de enganche y $1,300.00 al final de cada uno de los 12 meses siguientes, si el inters se calcula a razn del 42% convertible mensualmente.

Para resolver este problema debemos ver el valor actual del enganche y los 12 abonos mensuales a esa tasa de inters y compararlos contra el pago de contado.

R = 1300n = 12i = 42/100/12 = 0.035

Utilizando la formula del valor actual en anualidades tenemos:

C = R [1- (1+i)-n ] 1300 [ 1 - (1+0.035)-12] ---------------- ---------------------- i 0.035

C = $1300 (9.663334) lo cual nos da $12,562.34, si a esto sumamos el enganche $13,000 tenemos $25,562.34 que es menor que el pago de contado y por lo tanto es mas conveniente esta opcin.

5.1.4 Anualidades anticipadas

Anualidad Anticipada: Es aquella en la que los pagos se efectan al inicio de cada periodo. En esta los pagos se hacen al principio del periodo, por ejemplo el pago mensual del alquiler de una casa, ya que primero se paga y luego se habita en el inmueble.

La formula para calcular el valor futuro de la anualidad anticipada es la siguiente:

Valor futuro de la anualidad anticipada:

Monto

M = R [ (1+i)n - 1] [(1+i)] i

Renta

R = M( i ) -------------------------- [ (1+i)n - 1] [(1+i)]

Ejercicio 2 A.- Cual es el monto de $2,000.00 semestrales depositados durante cuatro aos y medio en una cuenta bancaria que rinde 28% capitalizable semestralmente.

R = 2 000

n = 9

i = .14

Utilizando la formula para calcular el monto en operaciones que implican anualidades anticipadas tenemos:

M = R [ (1+i)n - 1] [(1+i)] M = 2000 [ (1 + .14)9 - 1 ] [(1+.14)]------------------------------------------------------------------- i 0.14

M = 2000 [(2.2519485) (1.14)]---------------------------------- = $36,674.589

0.14

Respuesta ejercicio 2 = $32,170.69

Renta

R = M( i ) ------------------------- [ (1+i)n - 1] [(1+i)]

R = 36,674.589( 0.14 ) ------------------------------ [ (1+.14)9 - 1] [(1+.14)]

5,134.44246 = 5,134.44246 = $2,000.00

2.251948521 * 1.14 2.567221314

Tabla comprobacin ejercicio 2A

1

2000

=

+ 14%

280

=

2280

2

2000

+

2280

=

4280

+ 14%

599.2

=

4879.20

3

2000

+

4879.20

=

6879.2

+ 14%

963.088

=

7842.288

4

2000

+

7842.288

=

9842.288

+ 14%

1377.92

=

11220.20832

5

2000

+

11220.20832

=

13220.20832

+ 14%

1850.829

=

15071.03748

6

2000

+

15071.03748

=

17071.03748

+ 14%

2389.945

=

19460.98273

7

2000

+

19460.98273

=

21460.98273

+ 14%

3004.53758

=

24465.52

8

2000

+

24465.52

=

26465.52

+ 14%

3705.1728

=

30170.6928

9

2000

+

30170.6928

=

32170.6928

+ 14%

4503.89699

=

$36,674.5897

5.1.5 Anualidades diferidas

Una anualidad diferida es aquella en que el primer pago se efecta despus de transcurrido cierto nmero de periodos.

Los cobros o pagos son llevados a cabo tiempo despus de formalizado el trato (se pospone o aplaza), es decir, el primer pago es despus de transcurrido cierto nmero de perodos.

Las formulas para anualidades diferidas son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas salvo que estas tienen un periodo de gracia.

Ejercicios:

Ejercicio 6. Una compaa adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniera muestran que los trabajos preparatorios y vas de acceso demoraran 6 aos. Se estima que los yacimientos en explotacin rendirn una ganancia anual de $2,400,000.00 suponiendo que la tasa comercial es del 8% y que los yacimientos se agotarn despus de 15 aos continuos de explotacin, hllese el valor futuro de la renta que espera obtenerse.

VF = 2400000 [(1 + 0.08)15 - 1]

0.08

VF = $6565,073.43

En el problema anterior, hllese el valor de utilidad que espera obtener, en el momento de la adquisicin de los yacimientos.

VP = 2400000 [1 - (1 + 0.08)-15] .

0.08

VP = $20542,748.85

$20542,748.85 (1 + 0.08)-6 = $12945,416.38

Ejercicio 7. Una compaa frutera sembr ctricos que empezarn a producir dentro de 5 aos. La produccin anual se estima en $400,000.00 y ese rendimiento se mantendr por espacio de 20 aos. Hallar con la tasa del 6% el valor presente de la produccin.

VP = 400,000.00 [1 - (1 + 0.06)-20] = $4587,968.487

0.06

VP = $4587,968.487 (1 + 0.06)-5 = $3428,396.949

5.1.6 Anualidades perpetuas

Una perpetuidad es una anualidad cuyo pago se inicia en una fecha fija y contina para siempre. A diferencia de las anualidades a plazo fijo, cuyo tiempo de percepcin o de pago es limitado, las anualidades perpetuas son aquella, cuyo plazo o duracin no tiene fin, es decir, permanecen para siempre. Como el tiempo "n" es infinito no puede establecerme su monto, como consecuencia slo se conoce frmulas para el valor actual y para el clculo de la anualidad y de la tasa, en funcin del valor actual.

En las anualidades a plazo fijo, sabemos cuando se inician y finalizan los pagos de renta, en tanto que en las anualidades perpetuas, se sabe cuando empiezan los pagos pero no cuando terminan. Por ejemplo, con la suposicin que una compaa nunca quebrar, los dividendos sobre sus acciones preferentes pueden considerarse como una perpetuidad.

Un caso tpico y caracterstico de este tipo de anualidades es cuando se coloca un capital y nicamente se retiran los intereses.

Otro caso comn de este tipo de anualidad son las rentas vitalicias que se otorgan a un cnyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se da al morir uno de los cnyuges y se sabe que el otro morir, pero no se sabe cuando.

Ejemplo: Supongamos que depositamos en un banco $l00,000.00 que nos redita el 10% anual de inters compuesto. Si al final de cada ao retiramos solamente los intereses; producidos o sea $l0,000.00 dejando indefinidamente el capital en poder del banco, no cabe duda que la percepcin de esos $l0,000.00, anuales constituye una anualidad y dentro de la suposicin de que no existe una fecha para retirar el capital, la anualidad es perpetua.

La anualidad perpetua se representa:

Obviamente, solo existe valor presente que viene a ser finito, porque el valor final ser infinito.

Frmula o ecuacin de la serie infinita, sirve para calcular el valor actual de una perpetuidad, conociendo la tasa de inters peridica y la cuota.

Las perpetuidades permiten calcular rpidamente el valor de instrumentos de renta fija (VAP) por muchos periodos, C es el rendimiento peridico e i la tasa de inters para cada periodo.

Para el mantenimiento a perpetuidad, el capital debe permanecer intacto despus de efectuar el pago anual.

Ejercicio 8. Deseo saber cunto debo ahorrar hoy, para obtener $1,500.00 mensual si el inters que paga la entidad financiera es el 1% mensual.

Solucin:

i = 0.01; C = 1,500; VAP = ?

1,500.00 = $150,000.00

0.01

Respuesta: Debo ahorrar hoy $150,000.00 para obtener mensualmente $1,500.00.

Ejercicio 9. Determinar el valor actual de una anualidad perpetua de $5,000.00 mensuales, asumiendo un inters de 9% anual.

Solucin:

C = 5,000; i = (0.42/12) = 0.0075; VAP = ?

5,000.00 = $666,666.6667

0.0075

Ejercicio 10. Hallar el valor actual de una perpetuidad de $5,000.00 cuyo primer pago se har dentro de 6 meses, con tasa nominal del 12% convertible mensualmente.

P = 5,000 = $500,000.00

0.01

C =500,000.00 (1 + 0.01)-5 = $475, 732,84 Respuesta.

Problemas de Fondo de Amortizacin

1. Se establece un fondo de $5.000 semestrales que abona el 6% capitalizable semestralmente. Hallar el valor acumulado en 5 aos y elaborar el cuadro del fondo.

0.06/2= 0.03

F = 5,000 [(1 + 0.03)10 -1] = $57,319.396

0.03

************************************************

Una anualidad es un flujo de caja con montos de dinero uniformes, es decir, todos los flujos son iguales y los movimientos de capitales ocurren a intervalos regulares. La circulacin monetaria es a travs de pagos de la anualidad.

Las anualidades no siempre estn referidas a perodos anuales de pago. Las frmulas de las anualidades permiten desplazar en el tiempo un grupo de capitales a la vez.

El intervalo o periodo de pago (n), es el tiempo que transcurre entre un pago (C) u otro y el plazo de una anualidad es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer periodo y el periodo final de pago. Renta es el pago (C) peridico. Los principales elementos que conforman la anualidad son: C Pago Peridico, llamado tambin trmino. Es el importe cobrado o pagado, segn sea el caso, en cada perodo y que no cambia en el transcurso de la anualidad. VF, el valor futuro viene a ser la suma de todos los pagos peridicos (C), capitalizados al final del ensimo perodo. VA, el valor actual viene a ser la suma de todos los pagos peridicos (C), descontados o actualizados a una tasa de inters.i, es la tasa de inters por perodo, tiene la caracterstica de ser simultneamente nominal y efectiva. Tambin representa la tasa anual de efectivo (TEA).n, obtenemos el nmero de perodos multiplicando el tiempo por la frecuencia de capitalizacin de los intereses (n=t*m).