Unidad 5. Muestreo Sistemático

I n g . N o r m a R o x a n a C o l o n i a C a b r e r a E . E . P g i n a 1

Tcnicas de Muestreo

UNIDAD 5

MUESTREO SISTEMTICO

El muestreo irrestricto aleatorio (m.i.a) y el muestreo aleatorio estratificado (m.a.e) requieren

de un trabajo detallado en el proceso de seleccin de la muestra. Porque las unidades de

muestreo en el marco adecuado deben de ser numeradas de modo que un mecanismo de

aleatorizacin, como una tabla de nmeros aleatorios, pueda utilizarse para seleccionar

unidades especficas de la muestra. Un diseo de muestreo que se utiliza frecuentemente

porque simplifica el proceso de seleccin de la muestra es el muestreo sistemtico (m.s).

5.1.-PRESENTACIN DEL MUESTREO SISTEMATICO

El muestreo sistemtico es un proceso de seleccin regular cuyo punto de inicio es aleatorio,

tomando un elemento de los k primeros elementos y posteriormente la seleccin de cada k-

simo elemento, este tipo de muestreo es mas fcil de realizar y esta menos expuesto a

errores del encuestador.

La muestra sistemtica se define como una muestra obtenida al seleccionar aleatoriamente

un elemento de los primeros k elementos en el marco y despus cada k-simo elemento se

denomina muestra sistemtica de 1 en k.

Por ejemplo, suponga que va a seleccionarse una muestra de n nombres de una larga lista;

una forma sencilla de seleccionarlos es, eligiendo un intervalo apropiado (dependiendo de n)

y seleccionar los nombres a lo largo de la lista. De ese modo si k=10, se escoge un numero

aleatorio entre los 10 primeros elementos, suponga que fue el 4 (seleccin aleatoria), el

siguiente elemento sera el 14 luego el 24 y as sucesivamente se toma una observacin

cada 10 elementos.

Las ventajas del muestreo sistemtico son las siguientes:

1 El muestreo sistemtico es fcil de realizarse en el campo y por su forma de llevarse a

cabo est menos expuesto a los errores de seleccin que cometen los investigadores.

2 El muestreo sistemtico puede proporcionar mayor informacin por unidad de costo

que la que proporciona el muestreo irrestricto aleatorio ya que se extiende ms

uniformemente sobre toda la poblacin y por lo tanto puede proporcionar mayor

informacin que una muestra equivalente en tamao, tomada con muestreo irrestricto

aleatorio.


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Una consideracin importante en el muestreo sistemtico es que su precisin depende del

orden de las unidades de muestreo en el marco, ya que si estas estn dispuestas de manera

aleatoria entre todos los dems entonces la ventaja se pierde y resulta equivalente al

irrestricto aleatorio.

Otros ejemplos del uso del muestreo sistemtico se dan cuando se realiza la seleccin de

cada k- esimo cuestionario de un censo, para su validacin; cada k-esimo rengln de un libro

para su revisin; o cada k-esima manzana de mapas numerados. Las ventajas mencionadas

se acentan cuando se le encarga a un enumerador la seleccin de las unidades de

muestreo. Su instruccin puede consistir en que liste las viviendas de una manzana y que

seleccione posteriormente las unidades numeradas r, r+k, r+2k etc. (r es el punto de partida).

Tambin puede servir para supervisar el trabajo de un enumerador, durante el levantamiento

de cuestionarios en un censo, de modo que cada dcimo cuestionario sea verificado.

La ventaja de que el muestreo sistemtico produce muestras proporcionales se puede

apreciar al seleccionarla de una lista de nombres en orden alfabtico producir

aproximadamente la misma proporcin de nombres de cada letra, o tambin en el caso de

los auditores que requieren muestrear de una larga lista ordenadas en el tiempo, de cuentas

para comprobar el cumplimiento de los procedimientos de contabilidad.

Los investigadores de mercado y los encuestadores, que regularmente muestrean personas

en movimiento, frecuentemente utilizan un diseo sistemtico, por ejemplo a cada vigsimo

cliente en un mostrador de pago se le puede preguntar su opinin acerca del sabor, color o

textura de un producto alimenticio o a cada dcima persona que aborde un autobs se le

puede pedir que responda un cuestionario acerca del servicio del autobs.

Los ingenieros agrnomos pueden muestrear sistemticamente parcelas de terreno para

estimar proporcin de rboles enfermos o para estudiar patrones de crecimiento. Todas

estas muestras son sistemticas.

5.2.-OBTENCIN DE UNA MUESTRA SISTEMATICA

Los mtodos para seleccionar los datos en un muestreo irrestricto aleatorio y en un muestreo

sistemtico son muy diferentes, en el primer caso se seleccionan con una tabla de nmeros

aleatorios y en el sistemtico solamente el primer elemento se selecciona al azar entre los

primeros k elementos y luego se seleccionan los dems de 1 en k hasta que se complete la


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muestra.

Las muestras sistemticas se seleccionan de 1 en 3 o de 1 en 5 en general de 1 en k, ahora

cmo se selecciona el nmero k? Sabiendo que N es conocido y se puede determinar el

tamao de n, entonces k debe de ser un nmero aleatorio menor o igual que N/n o sea:

n

Nk

Posteriormente se selecciona cada k-esimo elemento a partir del punto de inicio hasta

completar el tamao de muestra n

Cuando N es desconocido la seleccin de k generalmente se supone para poder obtener una

muestra de tamao n pero si k se selecciona muy grande, el tamao de n que se

requiere no se podr obtener utilizando una muestra sistemtica de 1 en k de la poblacin.

Ejemplo.

En una preparatoria de 2998 estudiantes repartidos en tres grados se desea conocer la

opinin de los estudiantes sobre la utilidad del evento feria del libro que se realiza cada fin

de curso. Se puede tener la lista de los estudiantes ordenados por grado, si optamos por un

muestreo irrestricto aleatorio, posiblemente obtengamos mayor cantidad de estudiantes de

primer grado cuya opinin ser muy diferente a la de los estudiantes del segundo y del tercer

grado, ya que por las fechas en las que se realiza el evento, los estudiantes del primer grado

no tienen ninguna experiencia previa y esto dara una estimacin deficiente y alejada de la

realidad, en cambio con un muestreo sistemtico se tendran elementos proporcionales de

los tres grados.

Si seleccionamos una muestra del 10% de los estudiantes, tendremos un intervalo muestral

de k=10. Si el nmero al azar entre 1 y 10 es 4 los estudiantes con los nmeros:

4, 14, 24, 34, 44, 54,2994

conformarn la muestra. Si el nmero seleccionado al azar es el 9, entonces la muestra se

integrara con los estudiantes listados con los nmeros

9, 19, 29, 39, 49, 59,2989

En la primera muestra se tienen 300 estudiantes y en la segunda solamente 299. El tamao

de la muestra puede diferir en una unidad cuando N no es exactamente divisible entre k.

Observe que no se podr seleccionar exactamente a k cuando el tamao de la poblacin es

desconocido. Podemos determinar un tamao de muestra n aproximada, pero debemos


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suponer el valor de k necesario para obtener un tamao de muestra n. Si se selecciona un

valor de k muy grande, el tamao de muestra n requerida no se obtendr usando una

muestra sistemtica de 1 en k de la poblacin. Este resultado no presenta problema si el

experimentador puede volver a la poblacin y realizar otra muestra sistemtica de 1 en k

hasta obtener el tamao requerido. Sin embargo en algunas situaciones, obtener una

segunda muestra sistemtica es imposible. Por ejemplo, tomar una muestra sistemtica de 1

en 40 compradores de peridicos, es prcticamente imposible, si el tamao de la muestra es

de n=90 compradores y no se obtiene en el tiempo que los compradores pasan por la

esquina.

5.3.-ESTIMACIN DE UNA MEDIA, DE UN TOTAL Y DE UN PROPORCIN

POBLACIONAL

Sabemos que el objetivo de las encuestas por muestreo es estimar uno o ms parmetros de

la poblacin. Para estimar una media poblacional se puede utilizar la media muestral y de

una muestra sistemtica.

Estimador de la media poblacional

n

y

y

n

i

i

s

=== 1

Varianza estimada de sy

=N

nN

n

syV s

2

)( en donde 1

1

2

12

2

=

=

=

n

n

y

y

s

n

i

n

i

i

i

o tambin 1

1

22

2

==

n

yny

s

n

i

i

Limite para el error de estimacin

=N

nN

n

syv s

2

2)(2 Con una probabilidad del 95%

Cuando N se desconoce se elimina el factor de correccin por poblacin finita (c.p.f) de las

ecuaciones anteriores.


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Estimacin de un total poblacional

La estimacin de un total poblacional requiere del conocimiento del total de elementos N de

la poblacin, de manera semejante a lo que se hizo en el muestreo irrestricto aleatorio y en el

aleatorio estratificado, para estimar en el muestreo sistemtico, se utiliza la siguiente relacin:

Estimador del total poblacional :

ss yN=

Varianza estimada de s :

( ) ( )

===

N

nN

n

sNyVNyNVV sss

222 )(

Lmite para el error de estimacin:

==

N

nN

n

sNyNVB s

222)(2 con el 95% de confianza

Es importante notar que se necesita conocer el valor de N para poder estimar cuando se

usa un muestreo sistemtico.

Estimador de una proporcin poblacional

Es comn que se desee estimar una proporcin poblacional con base en los datos de una

muestra sistemtica, en este caso al igual que en el muestreo irrestricto aleatorio las

propiedades de la proporcin sp son similares a la de la media muestral sy , considerando

que las respuestas se miden de la siguiente manera:

yi = 1 si el elemento muestreado posee la caracterstica de inters

yi = 0, si no posee la caracterstica

Por lo que el estimador es el promedio de las respuestas 0 y 1 de la muestra.

As el estimador de una proporcin poblacional es:

n

y

yp

n

i

i

ss

=== 1


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Varianza estimada de sp es:

=N

nN

n

qppV sss

1

)( en donde: ss pq 1 =

Lmite para el error de estimacin es:

==N

nN

n

qppVB sss

1

2)(2 con el 95% de confianza

Recurdese que cuando el tamao de la poblacin es desconocido entonces se omite el cpf,

suponiendo a N relativamente grande con respecto a n.

Observacin

Una observacin pertinente en la estimacin de los parmetros anteriores, es que la varianza

de sy es idntica a la varianza estimada de y, obtenida por muestreo irrestricto aleatorio,

esto no implica que las varianzas poblacionales sean iguales, ya que la varianza de y esta

dada por la relacin:

=

1)(

2

N

nN

nyV

y la varianza de sy esta dada por la relacin:

[ ] )1(1)(2

+= nn

yV s

en donde es una medida de la correlacin entre los pares de elementos dentro de la misma muestra sistemtica.

Cuando est cercano a uno, significa que los elementos muestrales son muy parecidos con respecto a la caracterstica que se esta midiendo y por lo tanto la

varianza de la media muestral sistemtica ser mayor que la que producira el

muestreo irrestricto aleatorio.

Si es negativo entonces se pensara que los elementos muestrales son extremadamente diferentes y as el muestreo sistemtico podra ser mejor que el

irrestricto aleatorio, una observacin importante es que no puede ser tan negativamente grande como para que la varianza pueda ser negativa.


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Por ltimo si esta cercano a cero y N lo bastante grande el muestreo sistemtico es aproximadamente equivalente al irrestricto aleatorio.

Es importante sealar que un estimador insesgado de )( syV no puede ser obtenido usando

solamente los datos de una muestra sistemtica, sin que esto implique que nunca se pueda

estimar la )( syV , ya que en ocasiones el muestreo sistemtico es equivalente al irrestricto

aleatorio y pueden usarse las estimaciones de la varianza.

El xito del muestreo sistemtico con relacin al irrestricto aleatorio o con respecto al

estratificado, depende mucho de las propiedades de la poblacin.

En algunas poblaciones el muestreo sistemtico es extremadamente preciso y en otras

resulta menos preciso, ya que dependiendo de la poblacin y de algunos valores de n, la

)( syV puede incrementarse aun al tomar una muestra grande, por lo tanto, es muy difcil dar

un consejo general respecto a las distintas situaciones en donde se pueda utilizar un

muestreo sistemtico, para ello es necesario conocer la estructura de la poblacin para

usarlo de manera efectiva.

Ahora, es importante aclarar que la correlacin que se da entre los pares de elementos

dentro de una muestra sistemtica depende del tipo de poblacin de donde se seleccione la

muestra.

Para ello se consideran tres tipos de poblaciones:

1 Poblacin aleatoria

2 Poblacin ordenada

3 Poblacin peridica

La poblacin aleatoria es aquella en que sus elementos estn ordenados al azar.

Cuando una muestra sistemtica se selecciona de una poblacin aleatoria, se espera que

sus elementos sean heterogneos y que no tengan correlacin entre valores vecinos con

0= por lo que la varianza de sy es aproximadamente igual a la de y , por lo que ambos

tipos de muestreo resultan equivalentes.

La poblacin ordenada es aquella cuyos elementos estn ordenados en magnitud de

acuerdo a algn esquema.

Cuando una muestra sistemtica se selecciona de una poblacin ordenada, es generalmente


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heterognea con 0 y si N es grande puede demostrarse que )( syV )( yV por lo que una

muestra sistemtica de una poblacin ordenada proporciona mas informacin que una

muestra irrestricta aleatoria por unidad de costo. Por ejemplo una lista de las cuentas por

cobrar pueden estar ordenadas de mayor a menor cantidad, as la estimacin de la muestra

sistemtica podra tener una varianza menor (generalmente inestimable) que la de de una

m.i.a; ya que barre con todos los valores de las cuentas.

Como no podemos obtener una estimacin de )( syV con base en los datos de una muestra,

una estimacin conservadora de dicha varianza es:

=N

nN

n

syV s

2

)(

La poblacin peridica es aquella cuyos elementos tienen variacin cclica.

Cuando una muestra sistemtica es seleccionada de una poblacin peridica, la efectividad

del muestreo sistemtico depende del valor de k.

Los elementos de este tipo de muestra pueden ser homogneos ( 0> ) y cuando esto se da

)( syV )( yV y en este caso el muestreo sistemtico proporciona menos informacin que el

irrestricto aleatorio por unidad de costo.

Una forma de abatir este problema es cambiando varias veces el punto de inicio aleatorio y

de esta manera se reduce la posibilidad de seleccionar observaciones con la misma posicin

relativa en una poblacin peridica. Lo anterior tiene el efecto de mezclar los elementos de la

poblacin y al mismo tiempo el de seleccionar una sola muestra sistemtica. Esto nos

permite suponer que la muestra obtenida es equivalente a una muestra sistemtica obtenida

de una poblacin aleatoria, entonces la varianza )( syV puede aproximarse usando la

relacin:

=N

nN

n

syV s

2

)(

Si hay una variacin peridica en la poblacin debemos de tener cuidado en el uso del

muestreo sistemtico. Por ejemplo si los hombres y las mujeres se alternan en una lista y k

es par, la muestra sistemtica solo tendr hombres o solo mujeres, por lo que la estimacin

no sera representativa del parmetro.


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Ejercicio 1

La seccin de control de calidad de una empresa usa el muestreo sistemtico para estimar la

cantidad promedio de llenado de latas de 12 onzas que sale de una lnea de produccin. Los

datos de la tabla adjunta representan una muestra sistemtica de 1-en-50 de la produccin

de un da. Estime y establezca un lmite para el error de estimacin. Suponga que N =

1800

Cantidad de llenado (en onzas)

12.00 11.97 12.01 12.03 12.01 11.80

11.91 11.98 12.03 11.98 12.00 11.83

11.87 12.01 11.98 11.87 11.90 11.88

12.05 11.87 11.91 11.93 11.94 11.89

11.72 11.93 11.95 11.97 11.93 12.05

11.85 11.98 11.87 12.05 12.02 12.04

Solucin:

La estimacin de esta dada por

onzasn

y

y

n

i

i

s 94.1136

01.4301 ====

Para estimar el lmite para el error de estimacin, primero se calcula s2

0063.35

2199.0

35

366.18490857.5136

1

1

2

12

2 ==

=

=

=

=

n

n

y

y

s

n

i

n

i

i

i

Suponemos que la poblacin de latas en una lnea de produccin, es una poblacin aleatoria,

entonces la varianza la estimaremos con:

00017.01800

361800

36

0063.)(

2

=

=

=N

nN

n

syV s

Y el lmite para el error de estimacin al 95% de confianza, sera:

0262.00017.2)(2 ==syV

I n g . N o r m a R o x a n a C o l o n i a C a b r e r a E . E . P g i n a 1 0

Tcnicas de Muestreo

En resumen estimamos que el promedio de llenado de latas de 12 onzas es de 11.94 onzas,

y el lmite para el error de estimacin con un 95% de confianza es de 0.0262 por lo que la

verdadera media del parmetro se debe de encontrar en el siguiente rango de valores

(11.91,11.97) onzas.

Ejercicio 2

La empresa del caso anterior desea estimar el total de lquido utilizado en la lnea de

produccin que se muestreo. Estime el total poblacional de la produccin de un da con un

lmite para el error de estimacin.

onzasyN ss .21492)94.11(1800 ===

Ahora el lmite para el error de estimacin al 95% de confianza sera:

94.46)00017.0()1800(2)(2)(2 22 === ss yVNyNV

Ejercicio3

La gerencia de una compaa constructora est interesada en estimar la proporcin de sus

empleados de albailera que favorecen una nueva poltica de la empresa de realizar los

pagos de sus salarios mensualmente, a diferencia de la poltica anterior de pagos

semanales. Se cuenta con una lista de los empleados referidos, en orden alfabtico por lo

que suponen que el comportamiento es el de una poblacin aleatoria. Realizan una muestra

sistemtica de 1 en 10 de los empleados y los resultados de la encuesta para conocer

quienes son los que favorecen la nueva poltica se dan en la tabla adjunta; estime la

proporcin de ellos sabiendo que se cuenta con 2000 trabajadores de albailera y

establezca un lmite para el error de estimacin.

Empleado muestreado Respuesta

3 1

13 0

23 1

:

:

:

:

1997 1

132

200

1

==i

iy


Tcnicas de Muestreo

Respuesta: 66.0 =p , B=0.0637.

5.4.-TAMAOS DE MUESTRA PARA ESTIMAR MEDIAS TOTALES Y PROPORCIONES

Para determinar el nmero de observaciones requeridas para estimar una media poblacional

con un lmite para el error de estimacin B determinado, se encuentra despejando n de la

relacin siguiente:

)(2 sVB =

Para cualquiera de los estimadores s (media, total o proporcin poblacional) basados en un

muestreo sistemtico. Pero esta ecuacin involucra a s2 y que deben de ser conocidas o

al menos poderlas estimar de estudios previos, en estas notas utilizaremos la frmula para

calcular n que se uso en el muestreo irrestricto aleatorio, pero considerando que esta frmula

podra dar una muestra muy grande cuando la poblacin es ordenada y una muestra muy

pequea para poblaciones peridicas. Recurdese que las varianzas de sy y de y son

equivalentes cuando la poblacin es aleatoria.

Tamao de muestra requerido para estimar una media poblacional con un lmite para el

error de estimacin de B:

2

2

)1( +

=DN

Nn en donde:

4

2BD =

Nota: 2 puede aproximarse con s2, a partir de una muestra piloto o por estudios previos

similares o bien 4

2 Rango . En cualquier caso n ser un valor aproximado. Si N es grande,

como comnmente ocurre, el (N-1) puede ser reemplazado por N.

Para determinar el tamao de muestra requerido para estimar un total poblacional con un lmite para el error de estimacin de B:

2

2

)1( +

=DN

Nn

en donde: 2

2

4N

BD =

El tamao de muestra requerido para estimar una proporcin poblacional p con un lmite

para el error de estimacin de B, ser:


Tcnicas de Muestreo

pqDN

Npqn

+=

)1( en donde: q = 1- p y

4

2BD =

Hay ocasiones en donde se desconoce el valor de p y se estima de estudios previos pero

cuando estos no existen lo ideal es suponer un valor de p=0.5 que nos proporcionar un

tamao de muestra conservador, que ser probablemente mayor que el requerido.

En general para determinar el tamao de muestra n se necesita conocer el error de

estimacin B, la varianza 2 y el nivel de confianza 1-.

Ejercicio 4.

Usando la informacin del ejercicio 1 determine el tamao de muestra requerido para estimar

con un lmite para el error de estimacin de 0.015 unidades.

Solucin:

Si B= 0.015 entonces: 00005625.04

)015.0(

4

22

===B

D

Como 2 No se conoce se estima con s2

Asi: 10649.1050063.0)00005625.0)(1799(

)0063.0(1800

)1( 2

2

=+

=+

=

DN

Nn latas

Ejercicio 5.

Determine el tamao de muestra requerido para estimar , con los datos del ejercicio 2, con un lmite para el error de estimacin de 30 unidades. Resp. n=87 latas

Ejercicio 6.

Para la situacin referida en el ejercicio 3, determine el tamao de muestra requerido para

estimar p con un lmite para el error de estimacin del 5%. Qu tipo de muestra sistemtica

deber de obtenerse? Resp. n=305 albailes

5.5.- MUESTREO SISTEMTICO REPLICADO.

Este tipo de muestreo permite al experimentador estimar la media y un total poblacional con

sus respectivas varianzas sin hacer ningn supuesto acerca de la naturaleza de la poblacin.

Recordemos que no se puede estimar la varianza de con base en la informacin contenida

en una sola muestra sistemtica, a menos que el muestreo sistemtico genere una muestra

aleatoria. Sin embargo en la mayora de los casos el muestreo aleatorio sistemtico no es


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equivalente al irrestricto aleatorio, entonces es aconsejable utilizar un mtodo alternativo

para estimar la varianza )( SyV , este mtodo alternativo es el muestreo sistemtico

replicado.

Este mtodo consiste en seleccionar varias muestras sistemticas o replicas y as poder

estimar la media poblacional , como el promedio de todas las medias muestrales , la

estimacin de la varianza )( SyV utilizando el cuadrado de las desviaciones de cada una de

las medias muestrales individuales alrededor de su media poblacional.

Para seleccionar nS muestras sistemticas replicadas se separan ms los elementos de cada

muestra. Por lo que 10 muestras de 1 en 50 (nS=10, k=50) de 6 mediciones cada una,

contiene el mismo nmero de mediciones que una sola muestra de de 1 en 5 (k=5)

conteniendo n=60 mediciones. El punto de inicio para cada una de las nS muestras

sistemticas es seleccionado aleatoriamente de entre los primeros k elementos. Los

elementos restantes en cada muestra son obtenidos adicionando k, 2k y as sucesivamente,

al punto de inicio hasta que el nmero total por muestra, n/nS es obtenido.

Ejemplo. Si tenemos una poblacin de N=960 elementos y queremos seleccionar una

muestra sistemtica de 60 elementos entonces 1660

960==k o sea una muestra de 1 en 16

elementos, se selecciona un nmero al azar de los primeros 16 elementos y este sera el

punto de inicio de la muestra.

Ahora si queremos seleccionar 10 muestras sistemticas replicadas de esa misma poblacin,

primero seleccionamos un valor de k, de manera que k=knS, en donde nS es el nmero de

muestras sistemticas que queremos seleccionar. As para nuestro ejemplo

k=10k=10(16)=160.

Inmediatamente despus seleccionamos 10 nmeros aleatorios entre 1 y 160 y la constante

k=160, es la que se le adiciona a cada uno de estos 10 nmeros que sern los puntos de

inicio aleatorio de las muestras, hasta que se obtienen 10 muestras de tamao 6, por ello

siempre obtendremos 60 elementos.

Una seleccin de 10 nmeros aleatorios entre 1 y 160 es:

73, 42, 81, 145, 6, 21, 86, 17, 112, 102


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Si se utilizan como puntos de inicio entonces las muestras quedaran as:

Punto de inicio

aleatorio

2 elemento

muestral

3 elemento

muestral

6 elemento

muestral

6 166 326 806

17 177 337 817

21 181 341 821

42 202 362 842

73 233 393 873

81 241 401 881

86 246 406 886

102 262 422 902

112 272 432 912

145 305 465 945

Es comn que nS=10 ya que permite obtener suficientes medias muestrales para obtener una

estimacin satisfactoria de )(V

Las formulas para estimar S con nS muestras sistemticas se dan a continuacin:

Estimador de la media poblacional usando nS muestras sistemticas de 1 en k

=

=sn

i s

i

n

y

1

en donde representa el promedio de la i-sima muestra sistemtica.

Varianza estimada de

)1(

)(

)( 1

2

==

ss

n

i

i

nn

y

N

nNV

s

El lmite para el error de estimacin al 95% de confianza es:

)(2 VB =


Tcnicas de Muestreo

Tambin se puede utilizar el muestreo sistemtico replicado para estimar un total poblacional

, si N es conocida, con las siguientes relaciones:

Estimador del total poblacional usando nS muestras sistemticas de 1 en k

=

==sn

i s

i

n

yN

1

Varianza estimada de :

)1(

)(

)()( 1

2

22

===

ss

n

i

i

nn

y

N

nNNVNV

s

El lmite para el error de estimacin al 95% de confianza es:

)(2 VB =

Ejercicio 7

Un parque estatal cobra la admisin por automvil en lugar de por persona y un funcionario

del parque quiere estimar el nmero promedio de personas por automvil para un da

efectivo en particular durante el verano. El funcionario sabe por experiencia que entrarn al

parque alrededor de 400 automviles y quiere muestrear 80 de ellos. Para obtener una

estimacin de la varianza, utiliza el muestreo sistemtico replicado con 10 muestras de 8

automviles cada una. Usando los datos que se presentan en la tabla, estime el nmero

promedio de personas por automvil y establezca un lmite para el error de estimacin

Punto de

inicio

aleatorio

Segundo

elemento

Tercer

elemento

Cuarto

elemento

Quinto

elemento

Sexto

elemento

Sptimo

elemento

Octavo

elemento

2(3) 52(4) 102(5) 152(3) 202(6) 252(1) 302(4) 352(4) 3.75 14.06

5(5) 55(3) 105(4) 155(2) 205(4) 255(2) 305(3) 355(4) 3.38 11.42

7(2) 57(4) 107(6) 157(2) 207(3) 257(2) 307(1) 357(3) 2.88 8.29

13(6) 63(4) 113(6) 163(7) 213(2) 263(3) 313(2) 363(7) 4.62 21.34

26(4) 76(5) 126(7) 176(4) 226(2) 276(6) 326(2) 376(6) 4.50 20.25

31(7) 81(6) 131(4) 181(4) 231(3) 281(6) 331(7) 381(5) 5.25 27.56

35(3) 85(3) 135(2) 185(3) 235(6) 285(5) 335(6) 385(8) 4.50 20.25

40(2) 90(6) 140(2) 190(5) 240(5) 290(4) 340(4) 390(5) 4.12 16.97

45(2) 95(6) 145(3) 195(6) 245(4) 295(4) 345(5) 395(4) 4.25 18.06


Tcnicas de Muestreo

46(6) 96(5) 146(4) 196(6) 246(3) 296(3) 346(5) 396(3) 4.38 19.18

Totales 41.63 177.41

Los datos del nmero de personas por automvil yi est en el parntesis.

El valor de k en una muestra sistemtica sera:

580

400===

n

Nk

Entonces para 10 muestras nS=10 el valor de k ser: k=10k=10(5)=50

Por lo que se escogen 10 nmeros aleatorios entre el 1 y el 50 que fueron:

13, 35, 2, 40, 26, 7, 31, 45, 5, 46

Los automviles con estos nmeros forman los puntos de inicio aleatorio para las muestras

sistemticas.

Observe en la tabla la cantidad es el promedio de personas por automvil para la primera

muestra (fila), es el promedio para la segunda muestra y as sucesivamente entonces la

estimacin de ser:

16.410

38.4.....38.375.3(

1

=+++

== =

sn

i s

i

n

y

Realicemos ciertos clculos previos para estimar la varianza

= = =

=

s s sn

i

n

i

n

i

i

s

ii yn

yy1 1

2

1

22 1)(

Sustituyendo:

=

==sn

i

iy1

22 104.4)63.41(10

141.177)(

Por lo tanto la varianza estimada de ser:

0365.0)9(10

104.4

400

80400

)1(

)(

)( 1

2

=

=

==

ss

n

i

i

nn

y

N

nNV

s

Entonces el lmite para el error de estimacin sera:

38.00365.02 ==B


Tcnicas de Muestreo

Por lo que decimos que nuestra mejor estimacin del promedio de personas por automvil es

de 4.16 personas, por lo que con un 95% de confianza podemos decir que el verdadero valor

del parmetro se encuentra en el intervalo (4.160.38)

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Unidad 5. Muestreo Sistemático