7/21/2019 Unidad 5 Sistemas de Varios Grados de Libertad
1/4
Unidad 5 Sistemas de varios grados de libertad
5.1 Vibracin de modo normal para sistemas de dos grados de
libertad
Se dice que un sistema tiene dos grados de libertad cuando se
requieren dos
coordenadas para describir su movimiento. Tal sistema ofrece
una
introduccin simple al estudio del comportamiento de sistemas con
varios
grados de libertad.
Un sistema con dos grados de libertad tendr dos frecuencias
naturales.
Cuando la vibracin tiene lugar a una de estas frecuencias
naturales, eiste
una relacin de!nida entre las amplitudes de las dos coordenadas
", la
con!guracin correspondiente es un modo normal. #os dos grados
de
libertad entonces tendrn dos modos normales de vibracin,
correspondientes a las dos frecuencias naturales. #a vibracin
libre iniciadaba$o cualquier condicin ser en general la
superposicin de los dos modos
normales de vibracin. Sin embargo, la vibracin armnica for%ada
ocurrir a
la frecuencia de ecitacin " la amplitud de las dos coordenadas
tendera a
un mimo, a las dos frecuencias naturales.
Consideremos el sistema no amortiguado de la !gura. Usando
coordenadas
&1" &'medidas desde una referencia inercial, las
ecuaciones diferenciales
de movimiento para el sistema son(
m x1=k(x1x2 )k x1
2m x2=k(x1x2 )kx2
)e!nimos a*ora un modo normal de oscilacin como uno en el cual
cada
masa eperimenta un movimiento armnico de la misma
frecuencia,
pasando simultneamente por la posicin de equilibrio. +ara tal
movimiento
podemos escribir(
7/21/2019 Unidad 5 Sistemas de Varios Grados de Libertad
2/4
x1=A1 eit
x2=A2 eit
Sustitu"endo en las ecuaciones diferenciales tenemos(
(2k2 m)A1k A 2=0
k A 1+ (2k22
m )A2=0
ue se satisfacen para cualquier -1" -'si el determinante es
cero
|(2k2
m ) kk (2k22 m)|=0
aciendo /'0, el determinante de arriba conduce a la ecuacin
caracter2stica(
2(3 km )+32 (
k
m )2
=0
#as ra2ces de esta ecuacin son(
1=
(
3
2
1
2
3
)
k
m
=0.6339745962k
m
2=( 32+
1
23)km=2.366025404 km
3 las frecuencias naturales del sistema son(
1=1=0.634 k
m
2=2=2.366k
m
Si sustituimos estas frecuencias naturales en las ecuaciones
diferenciales
nos permite *allar la ra%n de las amplitudes. +ara /1'04.667
89m
obtenemos(
7/21/2019 Unidad 5 Sistemas de Varios Grados de Libertad
3/4
(A1A2)(1)
= k
2k1
2m=
1
20.6339=0.7320508076
ue es la ra%n de amplitudes o la forma modal correspondiente al
primer
modo normal. -nalgicamente usando /''0'.64' 89m obtenemos(
(A1
A2 )
(2)
= k
2k2
2m=
1
22.366=2.732050808
+ara la forma modal correspondiente al segundo modo normal.
+odemos representar los dos modos normales gr!camente como en
la
!gura. :n el primer modo normal las dos masas se mueven en fase;
en el
segundo modo normal las masas se mueven en oposicin o fuera de
fase.
:$emplo
:n la !gura los dos p
7/21/2019 Unidad 5 Sistemas de Varios Grados de Libertad
4/4
Suponiendo que los despla%amientos angulares contrarrelo$ son
positivos ",
tomando momentos con respecto a los puntos de suspensin,
obtenemos las
siguientes ecuaciones de movimiento para oscilaciones
peque=as(
ml2
1=mgl1ka2 (12 )
ml22=mgl2+ka
2 (12 )
:studiando soluciones de modo normal de la forma(
1=A
1cost
2=A
2cost
Se encuentra que las frecuencias naturales " las formas modales
son(
1=
g
l
2=
g
l+2
k
m
a2
l2
(A1A2)(1)
=1.0(A1A2)(2)
=1.0
-s2, en el primer modo, los dos p
