Unidad 6 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

8/16/2019 Unidad 6 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

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6.1 Fundamentos de ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas deuna o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables

independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales sedividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias : aquellas que contienen derivadasrespecto a una sola variable independiente.

Ecuaciones en derivadas parciales : aquellas que contienen derivadasrespecto a dos o más variables.

Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones otérminos que involucran a una función matemática incógnita y sus

derivadas. lgunos e!emplos de ecuaciones diferenciales son:

"s una ecuación diferencial ordinaria, donde representa una función no

especificada de la variable independiente , es decir, , es la

derivada de con respecto a .

#a expresión

"s una ecuación en derivadas parciales.

la variable dependiente también se le llama función incógnita $desconocida%. #a

resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático queconsiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial.&e puede llevar a cabo mediante un método espec'fico para la ecuacióndiferencial en cuestión o mediante una transformada $como, por e!emplo,la transformada de Laplace %.

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Orden de la ecuación

"l orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina ordende la ecuación .

Grado de la ecuación

"s la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siemprey cuando la ecuación esté en forma polinómica , de no ser as' se considera queno tiene grado.

Ecuación diferencial lineal

&e dice que una ecuación es lineal si tiene la forma:

, es decir:

(i la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potenciadistinta de uno o cero.

"n cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene lavariable independiente.

Una combinación lineal de sus soluciones es también solución dela ecuación.

"!emplos:

es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer

orden, tiene como soluciones , con k unnúmero real cualquiera.

es una ecuación diferencial ordinaria lineal desegundo orden, tiene como

soluciones ,con a y b reales.

es una ecuación diferencial ordinaria lineal de

segundo orden, tiene como soluciones ,con a y b reales.

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6.2 Métodos de un paso Método de Euler! Método de Euler me"orado #Método de $an%e&'utta

"n matemática y computación , el método de Euler , llamado as' en )onor

de Leon(ard Euler , es un procedimiento de inte%ración numérica pararesolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.

"l método de Euler es el más simple de los métodos numéricos resolver unproblema del siguiente tipo:

*onsiste en multiplicar los intervalos que va de a en subintervalos deanc)o + ósea:

de manera que se obtiene un con!unto discreto depuntos: del intervalo de interes . ara cualquiera deestos puntos se cumlple que:

.

#a condición inicial , representa el punto por dondepasa la curva solución de la ecuación del planteamiento inicial, la cual se denotará

como .

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Computaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_diferenciales_ordinariashttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todos_num%C3%A9ricoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Computaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_diferenciales_ordinariashttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todos_num%C3%A9ricos


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-a teniendo el punto se puede evaluar la primera derivada de en esepunto+ por lo tanto:

rafica .

*on esta información se tra/a una recta, aquella que pasa por y de pendiente

. "sta recta aproxima en una vecinidad de . 0ómese la recta

como reempla/o de y local'cese en ella $la recta% el valor de ycorrespondiente a . "ntonces, podemos deducir según la ráfica :

&e resuelve para :


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"s evidente que la ordenada calculada de esta manera no es igual a ,pues existe un peque1o error. &in embargo, el valor sirve para que se

aproxime en el punto y repetir el procedimiento anterior a finde generar la sucesión de aproximaciones siguiente:

Método de Euler Me"orado

"ste método se basa en la misma idea del método anterior, pero )ace unrefinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.

#a fórmula es la siguiente:

Donde

ara entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación,con base en la siguiente gráfica:


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"n la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente dela recta bisectri/ de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y

la 2recta tangente2 a la curva en el punto donde es la aproximaciónobtenida con la primera fórmula de "uler. 3inalmente, esta recta bisectri/ setraslada paralelamente )asta el punto de la condición inicial, y se considera el

valor de esta recta en el punto como la aproximación de "uler me!orada.

Método de $un%e&'utta

"l método de $un%e&'utta es un método genérico de resolución numéricade ecuaciones diferenciales . "ste con!unto de métodos fue inicialmentedesarrollado alrededor del a1o 4566 por los matemáticos *. 7unge y 8. 9. utta .

#os métodos de 7unge; utta $7 % son un con!unto de métodos iterativos$impl'citos y expl'citos% para la aproximación de soluciones de ecuacionesdiferenciales ordinarias , concretamente, del problema de valor inicial .

&ea

Una ecuación diferencial ordinaria, con donde es uncon!unto abierto, !unto con la condición de que el valor inicial de < sea

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/1900http://es.wikipedia.org/wiki/C._Rungehttp://es.wikipedia.org/wiki/M._W._Kuttahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinariahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinariahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinariahttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_valor_inicialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/1900http://es.wikipedia.org/wiki/C._Rungehttp://es.wikipedia.org/wiki/M._W._Kuttahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinariahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinariahttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_valor_inicial


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"ntonces el método 7 $de orden s % tiene la siguiente expresión, en su forma másgeneral:

,

donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento entrelos sucesivos puntos y . #os coeficientes son términos de aproximaciónintermedios, evaluados en < de manera local

con coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente dela re%la de cuadratura utili/ada. #os esquemas 7unge; utta pueden ser expl'citos o impl'citos dependiendo de las constantes del esquema. &i estamatri/ es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal

iguales a cero+ es decir, para , los esquemas son expl'citos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9rica


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6.) Métodos de pasos m*ltiples

#os métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utili/an informaciónen un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi=4 en un

punto futuro xi=4. rocedimientos alternativos, llamados métodos multipaso, sebasan en el conocimiento de que una ve/ empe/ado el cálculo, se tieneinformación valiosa de los puntos anteriores y está a nuestra disposición. #acurvatura de las l'neas que conectan esos valores previos proporciona informacióncon respecto a la trayectoria de la solución. #os métodos multipaso queexploraremos aprovec)an esta información para resolver las "D>. ntes dedescribir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple desegundo orden que sirve para demostrar las caracter'sticas generales de losprocedimientos multipaso.


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El método de +eun de no autoinicio

7ecordemos que el procedimiento de ?eun usa el método de "uler como unpredictor:

- la regla trape/oidal como un corrector:

ec.4

s', el predictor y el corrector tienen errores de truncamiento local dey , respectivamente. "sto sugiere que el predictor es el enlace débil en elmétodo, pues tiene el error más grande. "sta debilidad es significativa debido aque la eficiencia del paso corrector iterativo depende de la exactitud de lapredicción inicial. "n consecuencia, una forma para me!orar el método de ?eun es

mediante el desarrollo de un predictor que tenga un error local de . "sto se

puede cumplir al usar el método de "uler y la pendiente en , y una

información extra del punto anterior como en:

ec.@

>bserve la ecuación ec. @ alcan/a % a expensas de emplear un tama1o

de paso más grande, @). demás, observe que la ecuación ec. 4 no es deautoinicio, ya que involucra un valor previo de la variable dependiente yi;4. 0alvalor podr'a no estar disponible en un problema común de valor inicial. causa deello, las ecuaciones @A.44 y @A.4@ son llamadas método de ?eun de no autoinicio.*omo se ilustra en la figura @A.B, la derivada estimada de la ecuación @A.4@ selocali/a a)ora en el punto medio más que al inicio del intervalo sobre el cual se)ace la predicción. *omo se demostrara después, esta ubicación centrada me!orael error del predictor a &in embargo, antes de proceder a una deducción


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formal del método de ?eun de no autoinicio, resumiremos el método y loexpresaremos usando una nomenclatura ligeramente modificada:

redictor:

*orrector:

Donde los super'ndices se agregaron para denotar que el corrector se aplica

iterativamente de !C4 a m para obtener soluciones refinadas. >bserveque son los resultados finales de las iteracionesdel corrector en los pasos de tiempo anteriores. #as iteraciones son terminadas encualquier paso de tiempo con base en el criterio de paro:

ec.

*uando es menor que una tolerancia de error "s preestablecida, se terminan

las iteraciones. "n este punto

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