Unidad 8 – Geometría plana

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SOLUCIONES

Ŷ a) (16 – 7) · (16 + 7) b) (a – x) · (a + x)

Ŷ a) Agudo b) Llano c) Obtuso d) Obtuso e) Obtuso

Ŷ a) 3' 87 b) 4' 89

Ŷ 12 obreros

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SOLUCIONES

1. a) Acutángulo, escaleno c) Rectángulo, isósceles

2. b) Obtusángulo, escaleno d) Acutángulo, equilátero

3. a) 40º b) Este triángulo no existe. c) 65º d) 69' 6º

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SOLUCIONES

4.

C

I

B

O

Triángulo isósceles

CI

BO

Triánguloequilátero

Como se puede observar, en el triángulo isósceles todos los puntos notables se encuentran en la misma altura y la recta de Euler coincide con dicha altura.

En el triángulo equilátero, todos los puntos notables coinciden.

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SOLUCIONES

5. x = 3 cm, y = 6 cm, z = 9 cm

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SOLUCIONES

6. No son semejantes porque los lados no son proporcionales.

7. Los ángulos medirán los mismo: 45º, 60º y 75º

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SOLUCIONES

8. 15 cm

9. 10 cm

10. 49 cm

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SOLUCIONES

11. 2 cm

12. 2x cm

13. 4 cm

14. 25' 12 cm

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SOLUCIONES

15. a) Rombo b) Trapezoide c) Trapecio isósceles d) Rectángulo

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SOLUCIONES

16. 150' 2398082 cm2 150' 24 cm0 2

17. 15 cm2

18. 259' 8 cm2

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SOLUCIONES

19. 5

6

π m 2' 62 m 0

20. 75' 4 m24π 0 2

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SOLUCIONES

21. 128 402.12 mπ 0 2

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SOLUCIONES

22. 10' 9 cm

23. 4 cm

24. Proyección del cateto que mide 5 cm = 25

1 9213

'0 cm

Proyección del cateto que mide 12 cm = 144

11 0813

'0 cm

Altura del triángulo : 60

4 6213

'0 cm

Área = 30 cm2

25. Los catetos miden 5 2 cm cada uno

Altura = 5 cm, Área = 25 cm2

26. 5 cm

27. Altura = 3

2 · lado

28. 4' 5 m

29.

El ortocentro queda sobre el vértice del ángulo recto.

30.

Como se aprecia en la figura, en un triángulo rectángulo su hipotenusa coincide con el diámetro de la circunferencia circunscrita.

31.

En el triángulo rectángulo el ortocentro queda sobre el vértice del triángulo rectángulo y el circuncentro queda en el punto medio de la hipotenusa.

Se observa que en el triángulo acutángulo el ortocentro y el circuncentro quedan dentro del triángulo, mientras que en el triángulo obtusángulo quedan fuera.

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32.

33. 3 cm

34. Sí son semejantes porque tienen los tres ángulos iguales.

35. No podemos afirmar si son semejantes porque, si bien tienen dos lados proporcionales y un ángulo igual, este no es el ángulo comprendido entre los lados.

36. Sí son semejantes. Tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido es igual.

37. D = lado · 2

38. D = 2 cm

39. x = 36 m

40. x = 60 m

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SOLUCIONES

41. 20 21

29x

⋅= 0 14' 48 cm

42. Área = 0' 5 cm2 , Perímetro = 2 2 0 2' 83 cm

43. Diagonal = 5 2 0 7' 07 cm

44. Área= 30 cm2, Perímetro = 22 cm, Diagonal = 7' 81 cm

45. 10 cm

46. 4' 5 cm

47. Área = 5 cm2

48. 26 cm2

49. 15 cm

50. Área = 50 cm2

51. 200 cm2

52. m50π 2

53. 550 dm2

54. 23 3lado

2⋅

55. 9 m

56. 32 5 0 71' 5 m2

57. m33π 2 103' 67 m0 2

58. m81π 2 254' 47 m0 2

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59.

El Ortocentro del triángulo menor coincide con el circuncentro del triángulo mayor.

60. Sí son semejantes por tener los tres ángulos iguales (opuestos por el vértice son iguales, el segundo es rectángulo y el tercero forzosamente es igual). Además tienen los lados paralelos.

61. Basta con eso, porque el 2º es rectángulo.

62.

Siendo A' y B' los puntos medios de los lados AB y BC, al unirlos obtenemos el segmento A'B'.

Consideremos ahora los triángulos ABC (verde) y A'BC' (azul). Observamos la semejanza de ambos triángulos (tienen un ángulo en común y sus lados son proporcionales), siendo la razón de proporcionalidad la siguiente:

1

2

BA' BB'

BA BC= =

por ser A' y B' los puntos medios de sus respectivos lados.

Al ser los dos triángulos semejantes y tener el ángulo ABC y A'BC' común se sigue inmediatamente que los segmentos AC y A'B' son paralelos y los tres lados son proporcionales. Por tanto:

1

2

BA' BB' A' B'

BA BC AC= = = ⇒ A'B' =

2

AC, como queríamos demostrar.

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SOLUCIONES

63. cmπ 2

64. 75' 4 m224 mπ 0 2

65. 141'37 cm245 cmπ 0 2

66. Longitud circunferencia = 150' 8 cm248 cmπ 0 2

67. 2 225 50 cm 28 54 cm'π − 0

68. 2144 23 7 cm

16'

− π 0

69. 212 3 7 cm'π 0

70. 2104 24 28 6 cm'− π 0

71. 100' 53 m232 mπ 0 2

72. 2' 28 m

73. 1' 52 m

74. 5' 25 m

75. 6

30 5

x= ⇒ x = 36 m

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SOLUCIONES

76. 6 m

77. 6' 32 m

78. 10 10 31 62 m'0

79. 9 m

80. 1 600 m 5026 55 m'π 0

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SOLUCIONES

81. El área utilizada por las cuatro es un círculo de 50 m de radio, es decir, 2 2Área 50 m= π

La que queda sola ha de pastar sobre un cuadrante de círculo cuya superficie sea la misma: 2

250 100 m4

xx

π= π ⋅ ⇒ =

Justamente la longitud del campo.

82. Es la cuarta parte del área del cuadrado. El área es de 4 unidades de superficie.

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