Unidad Didactica (Segunda Entrega)

Facultad de Ciencia y TecnologaProfesorado en MatemticaPrctica Docente II

Unidad DidcticaTrigonometra

Establecimiento: Liceo Paula Albarracn de Sarmiento

Espacio Curricular: Matemtica

Curso: 5to A

Profesoras de prcticas: Blasn, Rosa Martinelli, Carina Luna, ngela

Docente del curso: Martnez, Andrea

Practicante: Hergenreder Ivn

Ao lectivo: 2012FundamentacinLa Matemtica es una ciencia abierta y dinmica, sus conocimientos han crecido a lo largo del tiempo en un intento de dar respuesta a los problemas propios y de otras ciencias o a necesidades de la sociedad en la cual vivimos, que se encuentra atravesando cambios acelerados en el campo de la ciencia y la tecnologa. Los conocimientos, las herramientas y las maneras de hacer y comunicar la matemtica evolucionan constantemente. Por esta razn, tanto el aprendizaje como la enseanza de la Matemtica deben estar enfocados en el desarrollo de las destrezas necesarias para que el estudiante sea capaz de resolver problemas cotidianos y a la vez se fortalezca su pensamiento lgico y creativo.Los contenidos matemticos seleccionados son los que los alumnos necesitan para encontrar respuesta y solucin a mltiples problemas de su vida diaria, ya que se tiene presente la idea de brindar la igualdad de oportunidades de aprender, lograr la capacidad de actuar con confianza, ser crticos y creativos, poder comunicarse con otros y desarrollar aspectos que posteriormente, tanto en el trabajo como en el estudio, resulten de valor.Por otro lado, muchas veces el alumno tiene el deseo de realizar las cosas a su manera y sin irrupcin de sus educadores; y justamente eso es lo que espero, favorecer al logro de su autonoma; que tambin en Matemtica busquen sus propias respuestas. Pero como se trata de una ciencia es necesario acordar ciertos trminos propios de la disciplina y transmitir mtodos que faciliten el trabajo, lo cual ser mi deber como practicante en este curso.La unidad didctica est destinada a los alumnos de 5to Ao A de la escuela secundaria Liceo Paula Albarracn de Sarmiento. En ella se desarrollaran los siguientes temas: Sistema de Medicin de ngulos; Resolucin de tringulos rectngulos; Teorema del seno y Teorema del Coseno; Resolucin de tringulos oblicungulos; Funciones trigonomtricas. Este curso cuenta con 16 alumnos, trabajan y preguntan constantemente, no se presentan grandes problemas de conductas, acostumbran trabajar bastante con la computadora, por lo que intentar hacer uso de las mismas en ciertos temas, para continuar con la manera de trabar que ellos tienen con su profesora.

OBJETIVOSGenerales Percibir que la matemtica forma parte del entorno cotidiano, comprendiendo la naturaleza del pensamiento matemtico a travs del lenguaje y operaciones que la misma requiere para su razonamiento. Comprender la importancia de los nuevos conocimientos. Resolver cada una de las problemticas planteadas apuntando al ingenio y el sentido comn. Apreciar la matemtica como una disciplina que recoge y busca respuestas a desafos propios o que provienen de otros mbitos.

Reconocer que la matemtica permite encontrar respuesta y solucin a mltiples problemas de su vida cotidiana.

Especficos Aplicar el sistema sexagesimal y circular en el clculo de magnitudes angulares. Interpretar el concepto de razones trigonomtricas para cualquier ngulo. Identificar los distintos casos de resolucin de tringulos rectngulos y oblicungulos aplicando adecuadamente las diferentes propiedades en las situaciones problemticas presentadas. Conocer la circunferencia trigonomtrica. Identificar los signos y los segmentos asociados a las razones trigonomtricas en los cuatro cuadrantes. Representar grficamente las funciones trigonomtricas: seno, coseno y tangente. Afianzar el manejo de la calculadora. Conocer un programa de matemtica.

Saberes Previos ngulos. Sistema de ejes cartesianos. Regla de tres simples. Clasificaciones de tringulos segn sus lados y sus ngulos. Teorema de Pitgoras. Propiedad de la suma de los ngulos interiores de un tringulo. Semejanza de tringulos. Concepto de funcin. Manejo de la calculadora cientfica.ContenidosConceptuales ngulos orientados. Sistema de medicin de ngulos: sexagesimal y circular. Cambio de medidas angulares. Razones trigonomtricas de ngulos agudos. Resolucin de tringulos rectngulos. Teorema del seno y el coseno. Resolucin de tringulo oblicungulo. Razones trigonomtricas de un ngulo cualquiera. Signos de las razones trigonomtricas en los cuatro cuadrantes. Segmentos asociados a las razones trigonomtricas en los cuatro cuadrantes. Grficas de la funcin seno, coseno y tangente.

Procedimentales Representacin de ngulos orientados. Utilizacin del sistema de medicin de ngulos: sexagesimal y circular. Comprensin del pasaje de un sistema de medicin de ngulos a otro. Aplicacin de las razones trigonomtricas para resolver situaciones concretas. Resolucin de ejercitacin aplicando correctamente los temas desarrollados. Identificacin de los signos y los segmentos asociados a las razones trigonomtricas en los cuatro cuadrantes Representacin grfica de las funciones: seno, coseno y tangente. Utilizacin adecuada de la calculadora.Actitudinales Disciplina, esfuerzo y perseverancia en la bsqueda de resultados. Curiosidad y apertura. Respeto por el pensamiento del otro. Disposicin para cooperar, acordar y respetar reglas en el trabajo ulico. Perseverancia en las tareas a desarrollarMetodologaEl desarrollo de los contenidos se har desde un rol docente que gue a los alumnos a travs de un dilogo interrogatorio a construir los conocimientos, elaborando conjeturas y sacando conclusiones acertadas.Por tal motivo en las clases que se desarrollarn se pretende lograr un clima de trabajo en el cual sea un ida y vuelta entre el practicante y el alumno, para que de esta forma pueda producirse un intercambio de conocimientos mucho ms rico y alcanzar conocimientos significativos para el alumno.En cuanto a la ejercitacin se presentarn guas con ejercicios y aplicaciones de situaciones problemticas que se irn resolviendo con el transcurso de las clases y el desarrollo de los contenidos necesarios para poder intentar resolverlos.En cuanto a la evaluacin, se tendr en cuenta la nota de las evaluaciones tomadas y el trabajo prctico, como as tambin los procesos realizados, de los errores, de las dificultades y la permanente autoevaluacin. Tambin, la participacin pertinente en clase y el respeto ante el trabajo con el practicante y con sus pares.Debido al nmero total de alumnos, se presentarn dos exmenes diferentes y se proceder a dividir el curso en dos grupos en cada una de las instancias de evaluacin escrita.

Actividades Registrarn el desarrollo de las clases en sus carpetas. Participan en el desarrollo de los temas mediante la formulacin de estrategias y discusin en la resolucin de los problemas. Resuelven actividades ulicas y extra ulicas, grupales e individuales. Resolucin de guas de ejercitacin para afianzar los temas desarrollados. Realizan evaluaciones escritas.EvaluacinCriterios de evaluacin Trabajo y participacin en clase. Disposicin para trabajar, cooperar y respetar reglas de trabajo ulico. Comportamiento pertinente en clase. Responsabilidad y cumplimiento del alumno.

Instrumento de evaluacin Registro anecdtico. Lista de control. Prueba escrita.

Cronograma Tentativo 1 y 2 mdulo: ngulo orientado. Sistemas de medicin de ngulos: Sexagesimal y Circular. Equivalencias entre los sistemas. Conversin de medidas angulares. Manejo de la calculadora cientfica. Resolucin de actividades de aplicacin. 3 y 4 mdulo: Repaso del teorema de Pitgoras y suma de ngulos interiores de un tringulo. Razones trigonomtricas de ngulos agudos de un tringulo rectngulo. Manejo de la calculadora cientfica. Problemas de aplicacin 5 mdulo: Resolucin de tringulos rectngulos. Problemas de aplicacin. 6 mdulo: Evaluacin escrita: Sistema Medicin angular y Tringulos rectngulos. 7 mdulo: Teorema del seno. Problemas de aplicacin. 8 mdulo: Devolucin de las evaluaciones. Teorema del Coseno. Problemas de aplicacin. 9 mdulo: Evaluacin escrita. Tringulos oblicungulos. 10 y 11 mdulo: Devolucin de las evaluaciones. Razones trigonomtricas de un ngulo cualquiera y en la circunferencia trigonomtrica. Signos de las razones trigonomtricas. Segmentos asociados a las razones trigonomtricas en los cuatros cuadrantes. 12 y 13 mdulo: Repaso de funcin. Funcin Seno. Manejo del Geogebra. 14 y 15 mdulo: Funcin coseno. Funcin tangente. Manejo del Geogebra. Gua de actividades de aplicacin de los temas desarrollados. 16 mdulo: Trabajo Prctico.

Bibliografa Zapico, Irene y otros. Matemtica. Santillana Perspectivas. Santillana. Bs.As. 2007. Pisano, Juan Pablo. Libros de Matemtica a medida. Tomo IV. Lgikamente. Bs.As. 2009. Profesora Graciela, Paredes. Cuadernillo de Geometra I. Curso introductorio de matemtica. Universidad Tecnolgica Nacional. Fernando Chorny y otros. Matemtica 4. Estrada, Bs.As. 2010. Berman, Andrea y otros. Matemtica IV. Santillana, Bs.As. 2010. Altman, Silvia y otros. Funciones 2. Longseller, Bs.As. 2002. Orelviz. Fliz y otros. Matemtica II. Santillana, Bs.As. 2008. Alacntara, Lidia y otros. Trigonometra. Estrada, Bs.As. 1986. Kaczor, Pablo J. y otros. Matemtica I. Santillana, Bs.As. 2005

DesarrolloA modo de introduccin comentar que trabajaremos con una unidad que se denomina Trigonometra. La palabra trigonometra proviene del griego tr = tres, gonon = ngulo y metra = medida. Es la parte de la Matemtica que nos ayuda a resolver problemas relacionando y haciendo clculos con las medidas de los lados y los ngulos de un tringulo. Desde la antigedad la trigonometra ha permitido solucionar problemas como por ejemplo, medir el ancho de un ro sin cruzarlo y muchos otros problemas similares, utilizando las relaciones trigonomtricas entre los ngulos y los lados de los tringulos. Tambin desempean un papel muy importante en toda clase de fenmenos vibratorios como el sonido, la luz, la electricidad.ngulo orientadol2l2

Recordaremos mediantes preguntas qu es un ngulo y cmo se genera: Un ngulo est determinado por dos semirrectas l1 y l2 que son los lados del ngulo, las cuales parten de un mismo punto O, llamado vrtice.

El sentido de un ngulo queda determinado al girar una de las dos semirrectas, denominada lado inicial, hasta la posicin del lado terminal.Estableceremos cundo un ngulo est orientado: Se considera que un ngulo est orientado en sentido positivo si el sentido de giro es contrario a las agujas del reloj y negativo si el sentido del giro es el mismo de las agujas del reloj. Sistemas de medicin de ngulosPara medir ngulos se pueden usar distintos sistemas de medicin, el ms empleado en la vida cotidiana es el sexagesimal, que tiene como unidad de medida el grado sexagesimal, pero tambin existe otro sistema de medicin, el cual es muy usado en aplicaciones cientficas y por los matemticos que se denomina circular, este tiene como unidad de medida el radin.Sistema sexagesimalEl sistema sexagesimal es de utilizarse de forma habitual, por lo que vamos a definirlo de la siguiente manera:La unidad de medida en este sistema es el grado sexagesimal (1), que se obtiene de dividir el ngulo recto en 90 partes iguales. Es decir:1= = 1 = 90

Mediantes preguntas concluiremos que si se quieren medidas menores a un grado se pueden utilizar el minuto y el segundo sexagesimal. El grado se puede dividir en sesenta partes iguales, llamadas minutos sexagesimales, que se denota (), y cada minuto dividir en sesenta partes iguales, llamadas segundo sexagesimal, que se denota con (). Estos se denominan submltiplos del grado sexagesimal. Por lo tanto:1 = 60 y 1 = 60 1 = 3.600

Ejemplo: Cunto mide el ngulo = 452614? Llegaremos a la conclusin que el ngulo mide 45 grados, 26 minutos y 14 segundos.Actividad: Indicar a qu cuadrante pertenece el ngulo = 250. Expresarlo en minutos sexagesimales y luego en segundos sexagesimales.A travs de preguntas llegaremos a concluir que el ngulo se encuentra en el tercer cuadrante y que para expresarlo en minutos y en segundos sexagesimales se puede aplicar una regla de tres simple, ya que anteriormente definimos a cunto equivale 1 en minutos sexagesimales, y lo mismo con los segundos, pues tambin sabemos a cunto equivale el 1 en segundos sexagesimales.Solucin: El ngulo pertenece al tercer cuadrante. Aplicamos la regla de tres simples para expresar en minutos sexagesimales. 1 60250 x = x = 15.000

Respuesta: = 250 expresado en minutos sexagesimales es 15.000

Aplicamos la regla de tres simples para expresar en segundos sexagesimales.Respuesta: = 250 expresado en segundos sexagesimales es 900.000

1 3.600250 x = x = 900.000

Luego de explicar cmo se trabaja en el sistema sexagesimal, les dir que ahora trabajaremos con otro sistema de medicin de ngulos, el cual mencionamos que se denomina sistema circular o radial.

Sistema Circular o RadialSi consideramos una circunferencia de radio cualquiera, podemos decir que un ngulo central de dicha circunferencia, al cual llamaremos , es aquel que tiene por vrtice el centro de la circunferencia, y sus lados son iguales al radio de la circunferencia, por lo tanto iguales entre si.

r = y s = Si , entonces:

Unidad de medida el radin

s

A travs de preguntas concluiremos que la medida del ngulo central que abarca un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio r de la misma, se llama radin. Por lo tanto la unidad de medida que tiene este sistema es el radin.Definiremos el radin de la siguiente manera: Se llama radin al ngulo central que abarca un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la misma., por lo tanto,

Si el arco de circunferencia , no es igual al radio , como muestra la figura, se dice que la medida en radianes del ngulo central es:

Si

Ejemplo: Si en una circunferencia de 5 cm de radio, el ngulo central determina un arco de 10 cm, entonces Cul es la medida en radianes de ?Solucin: Lo primero que debemos hacer es identificar los datos que nos brinda el problema.Datos: r = 5 cm y s = 10 cmLuego como el radio y el arco de circunferencia son distintos debemos aplicar:

Respuesta: La medida en radianes de es 2 radianes, 2 rad o simplemente 2.

Equivalencias entre el sistema sexagesimal y el circularLuego analizaremos como expresar un ngulo en radianes si se encuentra expresado en grados y viceversa. Si consideramos una circunferencia como un arco cuyo ngulo central es de 360, es decir, = 360 y teniendo en cuenta que la longitud de la circunferencia rectificada se expresa por la formula , podemos remplazar esto en la definicin donde expresamos que = , por lo tanto: = 360 (1)l = 2r (longitud de la circunferencia rectificada) (2) = (3)

Si remplazamos (1) y (2) en (3), siendo y = 360, entonces:360 = rad simplificando r360 = 2 rad dividimos miembro a miembro por 2 dividimos miembro a miembro por 290

Si por ejemplo, deseamos saber cuntos grados son 1 radin podemos aplicar la regla de tres simples con cualquiera de las igualdades obtenidas, si tomamos la segunda, podemos decir: 180

Si hacemos uso de la calculadora, procedemos de la siguiente manera: Escribimos el nmero 180.a b/c b/c

Apretamos la tecla de divisin o la tecla de fraccin EXPshift

Apretar la tecla y luego la tecla que arriba de la misma tiene el

smbolo del nmero.=

Presionar la tecla de igual Por ltimo deben presionar la tecla para obtener la expresin del nmero en grados.1 rad 57 1745

Actividad: Utilizar la calculadora para expresar en grados, minutos y segundos los siguientes ngulos:a) 32,145b) 241,18c) -94,530Les explicar como utilizar la calculadora para poder resolver la actividad.Uso de la calculadora La calculadora debe estar en modo DEG, para lo cual en la pantalla debe aparecer la letra D. Luego se ingresa el nmero que se quiere expresar en grados, minutos y segundos. Tener en cuenta que la coma en la calculadora se expresa con la tecla del punto. Se presiona la tecla igual.

Por ltimo se presiona la tecla de grados, minutos y segundos. El resultado del ejercicio es lo que aparece en la pantalla.Solucin:a) 32842b) 2411048c) -943148

Ejemplo: Cuntos grados son 2 radianes?Si aplicamos la regla de tres simple teniendo en cuenta lo recientemente determinado.1 rad 57 17 45Respuesta: 2 radianes son114 3530

2 rad x = 114 3530Para introducir el ngulo 57 17 45 en la calculadora debemos hacer lo siguiente:

Escribir 57 17 45

Entonces de modo de resumen de las equivalencias entre los sistemas de medicin de ngulos que acabamos de desarrollar, podemos decir:360 = 2180= 901 rad 57 17 45

Por lo tanto, si deseamos convertir un ngulo expresado en el sistema sexagesimal al circular y viceversa, lo que podemos hacer es aplicar una regla de tres simple teniendo en cuenta las equivalencias entre los sistemas.Ejemplo 1: Expresar en radianes el ngulo de 60Lo resolveremos de manera conjunta, aplicando la regla de tres simple obtenemos: 180 radRespuesta: 60 son radianes

60 x = = Ejemplo 2: Expresar en grados el ngulo de radianes.Aplicando la regla de tres simple nos queda:rad 180Respuesta: radianes son

rad x = = 210Tambin es importante destacar que a partir de la relacin que venimos trabajando, se desprenden otras que son de suma importancia a la hora de realizar los clculos. Ejemplo 3: Hallar la longitud de arco de una circunferencia cuyo ngulo central es de 240 y sabiendo que el radio es 24 cm.Como lo que se desea calcular en este ejemplo es la longitud de un arco de circunferencia y no la amplitud del ngulo central como lo venamos haciendo anteriormente, se debe tener en cuenta la relacin que se establece entre ellos. La relacin que hemos estado trabajando es la siguiente: de sta relacin se puede despejar de la siguiente manera: multiplicamos m.a.m por por propiedad simtrica de la igualdad

Remplazando los datos que nos brinda el problema y expresando el ngulo en radianes, condicin necesaria para realizar los clculos, debido a que no es posible multiplicar grados con centmetros, resulta qu: Aplicando la regla de tres simples:180 240 x = Remplazando en la formula hallada anteriormente: S = . 24 cm Respuesta: La longitud de arco de dicha cirunferencia es de 100,53 cm

S = 100,53 cm

Una vez que los chicos terminen de copiar lo recientemente trabajado propongo las siguientes actividades, con el objetivo de que los chicos puedan afianzar el pasaje de un sistema a otro y por ltimo debern aplicar estos temas en problemas donde se ven reflejados estos temas.

Actividades1) Expresar en grados los siguientes ngulos:

2) Expresar en radianes los siguientes ngulos: 3) Trabajar con calculadora cientfica y expresar en grados, minutos y segundos las medidas de los siguientes ngulos.

4) Expresar en radianes los siguientes ngulos:

5) Dada una circunferencia de 120 cm de radio y un arco de 132 cm de longitud. Qu ngulo central subtiende? Expresar el resultado en radianes y en grados.6) Hallar la longitud de un arco interceptado por un ngulo central de 120 en una circunferencia de 15 cm de radio. 7) La rueda de un cierto mvil tiene 18 cm de radio. Qu ngulo (en radianes) describe cada rayo de la rueda si sta recorre 2 m?

Solucin de las actividades1) Para expresar los ngulos planteados en la actividad en grados, planteamos las siguientes reglas de tres simples: rad 180Respuesta: -9 radianes son -1620Respuesta: radianes son 30

rad x = = 30

b) rad 180 -9 rad x = = -1620A travs de preguntas sobre ste ejercicio, deduciremos que -1620 son 4, 5 giros y que el sentido de giro del ngulo es horario ya que el ngulo tiene signo negativo.c) rad 180Respuesta: radianes son 270

rad x = = 270

2) Nuevamente planteamos las siguientes reglas de tres simples para expresar los siguientes ngulos en grados.Respuesta: 45 son radianesRespuesta: -135 son - radianesRespuesta: 330 son radianes

a) 180 rad 45 x = = radb) 180 rad -135 x = = - rad

c) 180 rad 330 x = = rad

3) Para resolver este ejercicio les sugerir que primero deben plantear las reglas de tres simple como lo venan haciendo, luego recordar el uso de la calculadora.a) rad 180Respuesta: 0,57 radianes son 323928,8

rad x = 32,658Mediante la calculadora: 32,658 = 323928,8 Cuando la mayora llegue a este resultado recordaremos de manera conjunta el uso de la calculadora de la siguiente manera:Una vez obtenido como resultado aproximadamente 32,658 deben apretar la tecla

de sta manera se obtiene el ngulo en grados minutos y segundos.

b) rad 180Respuesta: 0,245 radianes son 14215,28

rad x = = 14,037Mediante la calculadora: 14,037 = 14215,28c) rad 180Respuesta: 0,266 rad son 475248

rad x = = 47,88Mediante la calculadora: 47,88= 4752484) Para resolver este tipo de ejercicio se debe hacer uso de la calculadora, de la siguiente manera:

Introducir el ngulo expresado en grados en la calculadora: 229 10Multiplicar por rad y dividir por 180, es decir aplicar la regla de tres simples. =

Presionar la tecla de igual

Por ltimo apretar nuevamente la tecla Respuesta: 22945 son aproximadamente 4 rad.

a) 180 22910

b) 180 Respuesta: 241014 son aproximadamente 0,422 rad.

241014

5) Para resolver este tipo de ejercicios sugerir que es de gran ayuda hacer una representacin grfica del problema, incluyendo en ella los datos que nos brinda el problema. Datos: r = 120 cm y S = 132 cm Si recordamos la formula que definimos anteriormente tenemos: reemplazando los datos De esta manera queda expresado el ngulo centran en radianes, para expresarlo en grados debemos aplicar la regla de tres simples.

180Respuesta: El ngulo central que subtiende dicha circunferencia es aproximadamente de o

1,1 rad x =

6) Los datos que nos brinda este problema son: Datos: = 120 y r = 15 cmDebemos aplicar la formula Antes de remplazar los datos debemos recordar que el ngulo central debe estar expresado en radianes, para esto aplicamos la regla de tres simples:180 120 x = Entonces = Ahora si remplazamos los datos del problema, en la formula:

S = . 15 cmS 31,41 cmRespuesta: El arco de circunferencia tiene una longitud aproximadamente de 31,41 cm

7) Analizamos los datos que nos brinda el problema, donde el radio es de 18 cm y si la rueda recorre 2 m para ese ngulo central la longitud de arco ser de 2 m.Datos: r = 18 cm y S = 2 m La formula que debemos utilizar es pero debemos recordar que ambos datos deben estar expresados en la misma unidad de medida, puede ser en metros o en centmetros.Si expresamos ambos en centmetros utilizando la regla de tres simples: 1 m 100 cm 2 m x = Entonces: r = 18 cm y S = 200 cmSi expresamos ambos en metros utilizando la regla de tres simples: 100 cm 1 m 18 cm x = Entonces: r = 0,18 m y S = 2 mAhora si remplazamos en la formula las dos posibilidades:

Respuesta: El ngulo central de dicha circunferencia es de 11,11 rad

Razones trigonomtricas de ngulos agudos de un tringulo rectnguloSe plantea el siguiente problema que se presenta a continuacin:Problema1: El extremo superior de una escalera est apoyado en una pared de forma que alcanza una altura de 4 metros. Si el extremo inferior de la escalera mantiene una distancia de 3 metros con la pared. Cul es el largo de la escalera? Qu amplitud tendr el ngulo determinado por la escalera y el suelo?

Representamos grficamente el problema, donde la escalera tendr uno de los extremos en el suelo a 3 metros de la pared y el otro apoyado sobre sta a una altura de 4 metros del suelo. El ngulo representa la amplitud del ngulo formado por la escalera y el suelo.

Determinaremos qu la figura formada por la escalera con la pared y el suelo corresponde a un tringulo rectngulo debido a que contiene un ngulo recto.Entonces, definimos tringulos rectngulos de la siguiente manera: Un tringulo es rectngulo cuando tienen un ngulo recto y dos agudos, es decir, uno igual a 90 y dos menores a 90.Representamos un tringulo rectngulo en el cual identificaremos el ngulo recto, los vrtices y recordaremos los nombres que reciben los lados de un tringulo rectngulo: los lados que forman el ngulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ngulo recto se llama hipotenusa, que es el mayor de los tres lados.

Estableceremos que mientras trabajemos con los tringulos rectngulos llamaremos con letras maysculas a sus vrtices y con minsculas a sus lados. Es decir:

Recordaremos dos propiedades importantes de los tringulos rectngulos:Una es el teorema que relaciona los lados del tringulo rectngulo, el cual se denomina Teorema de Pitgoras y se define de la siguiente manera: En todo tringulo rectngulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. ste nos sirve para calcular el tercer lado de un tringulo rectngulo, teniendo como dato o conociendo el valor de los otros dos restantes y solo es vlido en tringulos rectngulos.Teniendo en cuenta el tringulo rectngulo que representamos anteriormente podemos decir: Teorema de Pitgoras

b2 = a2 + c2

La otra propiedad relaciona los ngulos interiores de todo tipo de tringulos, la cual se define de la siguiente manera: En todo tringulo, la suma de los ngulos interiores es 180 o 2R (dos rectos). Si miramos el tringulo rectngulo que representamos anteriormente podemos decir: + + 90 = 180 o + + 1R = 2R 180

Como uno de los ngulos interiores del tringulo es recto, entonces los dems son ngulos agudos que suman entre ellos 90 o 1R. Es decir: + = 90 o + = 1R

A continuacin retomaremos el ejercicio que haba quedado pendiente, para el cual habamos dicho que la figura formada por la escalera con la pared y el suelo es un tringulo rectngulo. Identificaremos los datos que nos aporta el problema: Datos: Hipotenusa (escalera): Es lo que tenemos que calcular (longitud de la misma). La consideraremos con la letra (b). Catetos: La pared 4 m, la consideramos con la letra (a) y el suelo 3 m, lo consideramos con la letra (c).

Por lo tanto si conocemos dos de sus lados y debemos calcular el restante, lo que podemos aplicar es el Teorema de Pitgoras. Si remplazamos los datos del problema en el teorema de Pitgoras tenemos lo siguiente:

b2 = a2 + c2 remplazamos los datosb2 = (3)2 + (4)2 calculamos las potencias b2 = 9 + 16 sumamos las potenciasb2 = 25 aplicamos raz cuadrada miembro a miembro = por definicin de valor absoluto = 5 entonces existen dos soluciones para b b 5 m - 5 m

Debemos considerar el valor positivo de las soluciones, ya que la longitud de la escalera no puede ser negativa. Por lo tanto la respuesta a la primera pregunta del problema sera la siguiente:Respuesta: La longitud de la escalera es de 5 m

Estableceremos que para realizar los clculos no utilizaremos las unidades de medida, ya que de esta manera simplificaremos los clculos, si las tendremos en cuenta al responder cada consigna. Es posible calcular la amplitud del ngulo que determina la escalera con el suelo mediante el Teorema de Pitgoras? Recordemos que la definicin del Teorema de Pitgoras relaciona los lados del tringulo rectngulo, pero no los ngulos con los lados, por lo tanto resulta necesario establecer una relacin entre los ngulos y lados del tringulo rectngulo para poder resolver estos tipos de problemas. Entonces, debemos recurrir al estudio de las razones trigonomtricas de un ngulo agudo en un tringulo rectngulo. Definiremos las razones trigonomtricas de un ngulo agudo en un tringulo rectngulo de la siguiente manera: Se llaman razones trigonomtricas a aquellas que relacionan las longitudes de los lados de un tringulo rectngulo con los ngulos agudos del mismo. Considerando el tringulo rectngulo representado anteriormente, vamos a marcar en l los ngulos agudos del mismo, y determinaremos el cateto adyacente y opuesto para cada uno de estos e identificaremos como hipotenusa el lado opuesto al ngulo recto, siendo este mayor que los catetos.

Habiendo determinado el cateto opuesto y adyacente de cada ngulo agudo del tringulo rectngulo definiremos las razones trigonomtricas para cada uno de estos de la siguiente manera: Para el ngulo :

Para el ngulo :

Tambin es posible obtener las razones trigonomtricas reciprocas de las mismas, consistir en invertir las razones obtenidas para cada ngulo agudo.

Una vez definidas las razones trigonomtricas estamos en condiciones de poder responder la segunda pregunta del problema, la cul dice: Qu amplitud tendr el ngulo determinado por la escalera y el suelo?De la representacin grfica del problema podemos deducir que respecto del ngulo tenemos como datos el cateto opuesto (altura en la cual se encuentra el extremo superior de la escalera) y el cateto adyacente (distancia entre el extremo inferior de la escalera con la pared). Por lo tanto lo ms conveniente es aplicar la razn tangente, es decir:tg = Como nosotros queremos saber cual es la amplitud del ngulo se debe despejar ste pasando la tangente al segundo miembro como arcotangente, es decir:

Para poder calcular esta expresin se debe hacer uso de la calculadora de la siguiente manera: Clculos mediante la Calculadora Antes de empezar a calcular deben verificar que en el visor de la calculadora aparezca una D o la sigla DEG, eso indica que por ahora vamos a trabajar con ngulos medidos en el sistema sexagesimal. Luego deben introducir los datos, probablemente la calculadora tiene la teclas , y , pero para ingresar arcsen, al igual que arccos y arctg primero deben presionar la tecla shift y luego la razn correspondiente. Seguidamente lo que deben hacer es introducir el valor de la razn correspondiente, apretar la tecla de igual y por ltimo la tecla de grados, minutos y segundos.Para calcular la amplitud del ngulo mediante la razn tangente, se prosigue de la siguiente manera:shifttan

Presionamos la tecla luego la tecla , pondremos entre parntesis el valor (a b/c)

de la razn tangente, presionando la tecla 4 5 , luego presionamos =

la tecla de igual y por ltimo la tecla de de grados minutos y segundos De la misma manera se procede con las razones trigonomtricas seno y coseno.

Entonces:

Por lo tanto la respuesta a la segunda pregunta del problema sera la siguiente:Respuesta: La amplitud del ngulo que determinan la escalera con el suelo es de

Veamos otro ejemplo para afianzar lo trabajado hasta el momento:Ejemplo: Dado el siguiente tringulo rectngulo calcular el lado restante y sus respectivos ngulos agudos.

Los datos que brinda este ejemplo son: la hipotenusa (b) que mide 20 cm y uno de los catetos (a) que mide 12 cm, para calcular el cateto restante que es el lado (c) debemos aplicar el Teorema de Pitgoras. b2 = a2 + c2 remplazamos los datos (20)2 = (12)2 + c2 despejamos c2(20)2 (12)2 = c2 calculamos potencias 400 144 = c2 restamos potencias256 = c2 aplicamos raz cuadrada m.a.m = c por definicin de valor absoluto = c Considerando el valor positivo ya que c es la longitud de un lado del tringulo rectngulo. 16 cm = c por propiedad simtrica de la igualdad, podemos decir:

c = 16 cm

Para calcular las amplitudes de los ngulos agudos podemos hacer uso de cualquiera de las razones trigonomtricas y llegaremos al mismo resultado, ya que conocemos el valor de los tres lados.Si aplicamos seno al ngulo :

Si aplicamos coseno al ngulo :

Si aplicamos tangente al ngulo :

Conociendo los lados del tringulo rectngulo es posible aplicar cualquiera de las razones trigonomtricas para ambos ngulos agudos y el resultado ser el mismo como vimos recientemente. Para calcular la amplitud del ngulo podemos recordar que ambos ngulos agudos del tringulo rectngulo suman entre si 90, entonces: remplazando los datos + = 90 despejamos 90 - calculamos la resta mediante el uso de la calculadora Tambin es importante destacar, que otra posible manera de calcular la amplitud del ngulo es aplicando cualquiera de las razones trigonomtricas al igual que lo hicimos con el ngulo .Para asegurarnos que las amplitudes de los ngulos que encontramos son correctas podemos corroborar sumando ambos ngulos y verificar que la suma de 90. 53 7 48,37 + 36 52 11,63 = 90Por lo tanto las respuestas del ejemplo son las siguientes:Respuestas: c = 16 cm

Posteriormente vamos a resolver situaciones problemticas que requieren el uso de las razones trigonomtricas que hemos trabajado.Resolucin de Tringulos RectngulosProblema 1Determinar la altura de un rbol, sabiendo que su sombra mide 8 m cuando el ngulo de elevacin al sol es de 53. Realizar un dibujo del problema.Realizamos un dibujo de la situacin:Identificamos los datos que nos brinda el problema:Datos:Sombra del rbol: c = 8 mngulo de elevacin del sol: = 53

aCc = 8 mBAb53

La idea es tratar de usar alguna de las razones trigonomtricas para encontrar la altura del rbol, representada con la letra (a), convenientemente de acuerdo a los datos que tengamos en cada problema.Al resolver problemas con tringulos rectngulos, es muy frecuente que aparezcan los trminos ngulo de elevacin y ngulo de depresin. stos son ngulos formados por dos lneas imaginarias llamadas: lnea visual o lnea de vistay lalnea horizontal.Un ngulo de elevacin es el ngulo comprendido entre la horizontal que pasa por el ojo del observador y la recta determinada por la vista dirigida hasta cierto objeto que est por encima de l.

Un ngulo de depresin es el ngulo comprendido entre la horizontal que pasa por el ojo del observador y la recta determinada por la vista dirigida hacia un objeto que est por debajo de l.

Entonces una de las posibles manera de resolver ste problema sera aplicando la razn trigonomtrica tangente, ya que tenemos como datos el cateto adyacente del ngulo de 53 y debemos calcular el opuesto del mismo. Es decir:

Para despejar de esta expresin multiplicamos miembro a miembro por 8 m, que sera pasar multiplicando 8 m al primer miembro ya que ste esta dividiendo a en el segundo miembro. Entonces:

Respuesta: La altura del rbol es de aproximadamente 10,62 m

Para continuar veremos otro problema que requiere mayor trabajo ya que presentar mayor dificultad.Problema 2Desde el balcn de un edificio se observa, con un ngulo de depresin de 4820, un automvil estacionado en la calle. Desde el balcn de otro piso del mismo edificio, situado 9,36 metros debajo del anterior, el ngulo de depresin con que se observa el mismo automvil es de 25.a) A qu distancia del edificio se encuentra estacionado el vehculo?b) A qu altura de la calle se encuentra el primer balcn?Representamos la situacin:Identificamos los datos:Datos: ngulo depresin balcn ms alto 4820 ngulo depresin primer balcn 25 distancia entre balcones 9,36 metros

C

4820

l = 9,36 m

D

Distancia entre los balcones: l = 9,36 m

25

Altura = h

Distancia = xBA

Segn los datos que nos aporta el dibujo tenemos dos tringulos rectngulos, aplicando alguna de las razones trigonomtricas debemos encontrar la distancia que separa el auto estacionado con el edificio y la altura del primer balcn, respecto del suelo. Para los cuales no tenemos como dato ninguno de los ngulos agudos pero si los podemos calcular. Si nos fijamos en la representacin realizada sobre el problema podemos ver que tenemos como datos los ngulos de depresin para cada tringulo rectngulo (, pero sabemos que su complemento es uno de los ngulos agudo de cada triangulo, los cuales representamos con la letra . Entonces: + = 90

+ = 90

Si aplicamos la razn tangente en el tringulo rectngulo ABC respecto del ngulo y en el tringulo rectngulo DBC respecto del ngulo tenemos:En ABC: = Si despejamos x en ambas ecuaciones tenemos: = tg . ( 9,36 + h) (I)

En DBC: = = tg . h (II)

Si igualamos las ecuaciones (I) y (II) . (9,36 + h) = . h aplicamos propiedad distributiva de la suma .9,36 + . h = . h sumamos trminos semejantes . h . h = - . 9,36 sacamos factor comn hh ( ) = - . 9,36 multiplicamos m.a.m por el recproco de ( - ) h = remplazamos los valores obtenidos para anteriormente y calculamosh = 6,64mRemplazamos el valor obtenido para h (altura del balcn ms bajo) para calcular la distancia del auto al edificio.Podemos utilizar cualquiera de las dos ecuaciones, tanto (I) como (II), ya que con ambas nos dar el mismo resultado:(I) = tg . (9,36m + h) = tg41 40.( 9,36m + 6,64m) 14,24m (II) = tg . h = tg 65 . 6,64m 14,24mRespuestas: El vehculo se encuentra estacionado aproximadamente a 14,24 metros respecto del edificio. El primer balcn se encuentra a una altura de aproximadamente 6,64 metros respecto del suelo.

A continuacin se propone una gua de ejercitacin sobre resolucin de tringulos rectngulos para afianzar lo trabajado hasta el momento, partiendo de problemas donde deben aplicar el Teorema de Pitgoras, continuando con ejercicios que requieren la aplicacin de las razones trigonomtricas. Tambin en aquellos problemas que deban calcular ngulos debern expresarlos en ambos sistemas de medicin de modo de repasar lo trabajado primeramente en la unidad.

Actividades1) En los siguientes tringulos, hallar los lados y ngulos restantes:b)BAcCa)

a = ca = 3 cmb

b = 2 cm

43

37BA

C4 cm

2) Calcular el permetro de un terreno rectangular, cuya diagonal mide 13 metros y su lado menor mide 5 metros.3) Mientras un avin vuela a una altura de 1000 metros, su piloto observa con un ngulo de depresin de 10 un aeropuerto. A qu distancia est el avin (en ese instante) de un punto que se halla justamente por encima del aeropuerto? 4) Desde la punta de un faro que mide 40 m de altura, una persona ata una cuerda y ubica el otro extremo de la misma a 30 metros de distancia del faro. Cul es la longitud de la cuerda? Qu amplitud determina el ngulo formado por la cuerda y el suelo? Expresarlo en radianes.

5) Una antena est sujeta al suelo por dos cables cuyas longitudes son 27 y 36 metros respectivamente, formando un ngulo recto entre ellos. Cul es la distancia que separa los dos puntos de unin de los cables con el suelo? Qu amplitudes determinan ambos ngulos formados por dichos cables con el suelo?6) Desde un punto del suelo se observa la parte ms alta de un edificio con un ngulo de 30; si avanzamos 30 metros acercndonos al edificio, el ngulo pasa a ser de 45. Cul es su altura? Representar la situacin.

Soluciones de las actividades1)a) El tringulo rectngulo presenta como datos los dos catetos, uno mide 3 cm y el otro 4 cm. Lo que debemos calcular es la longitud del tercer lado que es la hipotenusa de dicho tringulo. Para esto se debe aplicar el teorema de Pitgoras:b2 = a2 + c2 remplazamos los datosb2 = (3)2 + (4)2 calculamos las potenciasb2 = 9 + 16 sumamos potencias b2 = 25 aplicamos raz cuadrada miembro a miembro b = por definicin de valor absoluto b 5 cm - 5 cm Se debe tomar el valor positivo porque b representa la longitud de un lado del tringulo.La suma de los dos ngulos agudos de un tringulo rectngulo es 90, entonces para calcular el ngulo hacemos: remplazamos los datos + = 90 despejamos calculamos

Respuesta: La longitud del lado representado con b es de 5 cm y la amplitud del ngulo es de 53.

b) Este tringulo rectngulo presenta como dato solo el lado correspondiente a la hipotenusa, el cual mide 2 cm. Los dems lados son desconocidos, pero lo que s sabemos es que son iguales. Aplicando el teorema de Pitgoras tenemos: b2 = a2 + c2 remplazamos los datos (a = c) 22 = c2 + c2 sumamos potencias 4 = 2c2 resolvemos la ecuacin resultante 2 = c2 aplicamos raz cuadrada miembro a miembro = c por propiedad simtrica de la igualdad c = por definicin de valor absoluto c

Se debe tomar el valor positivo porque representa la longitud de un lado del tringulo.Para calcular el ngulo hacemos remplazamos los datos + = 90 despejamos calculamos

Respuesta: La longitud del lado representado con c es cm y el ngulo mide 47.

2) El terreno rectangular detallado en el problema tiene la siguiente forma:

Los lados son ms grandes que los lados Por lo tanto: y

Queda determinado el tringulo rectngulo ABD, en donde uno de sus catetos es 5 m y la hipotenusa es 13 m. Remplazando en el teorema de Pitgoras tenemos que: remplazamos los datos132 = 52 + despejamos 132 52 = resolvemos potencias y restamos144 = aplicamos raz cuadrada ambos miembros = por propiedad simtrica de la igualdad = por definicin de valor absoluto. 12 m -12 m

Se debe tomar el valor positivo ya que es una longitud de un lado del terreno.

El permetro del rectngulo es la suma de los lados: = 34mRespuesta: El permetro del terreno rectangular es de 34 m.

3) La representacin del problema ser la siguiente:h

x

Datos: Altura: h = 1000 mngulo de depresin:

Este problema se puede resolver de varias maneras, quedar a cargo del alumno la eleccin del camino que encuentren apropiado para llegar a la respuesta correcta.Una de las formas posible de resolucin del problema es calcular la amplitud del ngulo del ngulo y aplicar una razn trigonomtrica al mismo:

+ 10 = 90

Aplicando la razn coseno: despejamos , multiplicando m.a.m por y por el recproco de = calculamos Respuesta: La distancia que separa al avin del aeropuerto es de 5758,77 metros

4) Representamos la situacinEl problema presenta como datos los dos catetos. Ambos forman junto con la lnea del suelo un tringulo rectngulo y cuya hipotenusa b es la longitud de la cuerda.

bc = 30 ma = 40 mCBA

Aplicamos el Teorema de Pitgoras en ese tringulo:b2 = c2 + a2 remplazamos los datosb2 = 302 + 402 calculamos potenciasb2 = 900 + 1600 sumamos potenciasb2 = 2500 aplicamos raz cuadrada m.a.m b = por definicin de valor absoluto b 50 m -50 m Tomando el valor positivo, la cuerda mide 50 m.

Para calcular el ngulo que forma la cuerda con el suelo podemos aplicar la razn trigonomtrica tangente, es decir:

Para expresarlo en radianes debemos aplicar la regla de tres simples: 180 = Respuestas: La cuerda mide 50 m.El ngulo expresado en grados: El ngulo expresado en radianes:

UADER-Facultad de Ciencia y TecnologaPrctica docente II

Hergenreder IvnPgina 1

Hergenreder Ivn Profesorado en MatemticaPgina 3

5) Representamos la situacin:La figura que determinan los cables sustendidos en el suelo es un tringulo rectngulo. En donde la distancia entre los dos puntos que sujetan los cables en el suelo est determinada por el lado . Como el problema presenta como datos dos lados del tringulo rectngulo y necesitamos calcular el restante, podemos aplicar el teorema de Pitgoras.

reemplazando los datos en el teorema de Pitgoras= 362 + 272 calculamos las potencias = 1296 + 729 sumamos las potencias= 2025 aplicamos raz cuadrada en ambos miembros= por definicin de valor absoluto 45m -45m

Respuesta: la altura del rbol es de 5 m

Se debe tomar el signo positivo por que es una distancia por lo tanto = 45 m

Para calcular los ngulos y se debe aplicar cualquiera de las razones trigonomtricas ya conocemos el valor de sus tres lados.Aplicamos razn tangente para calcular el ngulo :

Recordando que los ngulos y son agudos, por lo tanto suman entre ellos 90 podemos calcular la amplitud del ngulo de la siguiente manera:

Para expresar los ngulos en radianes aplicamos la regla de tres simples: 180

El ngulo fue expresado en radianes en un ejercicio anterior, de no darse cuenta pueden aplicar nuevamente la regla de tres simples.Respuestas: La longitud del lado es de 45 m ngulo , en radianes ngulo , en radianes

6) Representamos la situacin:Tomando el tringulo rectngulo ABC podemos decir:tg 30 = Despejamos , entonces: = tg 30 . () (1)

BAMC

Ahora tomamos el tringulo rectngulo ABM:tg 45 = despejamos = tg 45 . (2)

Igualando las expresiones (1) y (2)tg 30 . () = tg 45 . aplicamos propiedad distributiva de la sumatg 30 . + tg 30 = tg 45 . despejamos tg 30 . - tg 45 . = - tg 30 sacamos factor comn (tg 30 - tg 45) = - tg 30 multiplicamos m.a.m por el recproco de (tg 30 - tg 45) = = 40,98 m

Remplazando = 40,98 m en cualquiera de las expresiones (1) o (2) = tg 30 . () = 40,98 m = tg 45. 40,98 = 40,98 m Respuesta: La altura del edificio es de 40,98 m

Modelo de Evaluacin Grupo 11) Indicar a qu sistema de medicin angular pertenecen los siguientes ngulos, y expresarlos en la otra unidad de medida angular.

2) La rueda de una carreta antigua tiene un radio de 50 cm. Qu ngulo describe cada rayo de la rueda si sta recorre 3 m? (Recordar: 1 m = 100 cm).3) Cundo se considera qu un ngulo est orientado en sentido positivo? 4) Dado el siguiente tringulo rectngulo, calcular el lado restante b y la amplitud del ngulo .12 cmCBA

5 cm

b

5) Enunciar de manera coloquial y simblica el Teorema de Pitgoras. 6) Agustn quiere medir uno de los rboles que hay al lado de su casa. Desde un punto del terreno observa su copa bajo un ngulo de elevacin de 30 y si se acerca 10 metros, bajo un ngulo de elevacin de 60. Qu altura tiene el rbol?. Representar la situacin.

Soluciones de la Evaluacin Grupo 11) El ngulo = 234 esta expresado en grados. El ngulo = 3,457 esta expresado en radianes El ngulo =184734 esta expresado en grados.

Expresamos el ngulo = 234 en radianes aplicando la regla de tres simples: 180 radRespuesta: 234 expresados en radianes son aproximadamente 4,084 rad

234 x = 4,084 rad

Expresamos el ngulo = 3,457 rad en grados.Respuesta: 3,457 rad expresados en grados son aproximadamente 198417.44

rad 1803,457 rad x = 198417.44Expresamos el ngulo = 184734 en radianesRespuesta: 184734 expresados en radianes son aproximadamente 0,328 rad

180 184734 x = 0,328 rad

2) Los datos que nos brinda el problema son: Datos: r = 50 cm y S = 3 m La formula que debemos utilizar es pero debemos recordar que ambos datos deben estar expresados en la misma unidad de medida, puede ser en metros o en kilmetros.Si expresamos ambos en kilmetros utilizando la regla de tres simples: 100 cm 1 m 50 cm x = Entonces: r = 0,5 m y S = 3 mSi expresamos ambos en centmetros utilizando la regla de tres simples: 1 m 100 cm 3 m x = Entonces: r = 50 cm y S = 300 cmAhora si remplazamos en la formula las dos posibilidades:

Respuesta: El ngulo que describe cada rayo de la rueda es de 6 rad cuando sta recorre 3 m.

3) Se considera que un ngulo est orientado en sentido positivo si el sentido de giro es contrario a las agujas del reloj.

4) Para calcular el lado restante, se puede aplicar el Teorema de Pitgoras, ya que contamos como datos con los dos catetos: a = 5 cm y c = 12 cm. remplazamos los datos calculamos potencias 144 + 25 sumamos potencias 169 aplicamos raz cuadrada m.a.m por definicin de valor absoluto 13 cm - 13 cm Consideramos el valor positivo ya que es la longitud de un lado del tringulo rectngulo. Luego para calcular el ngulo utilizamos cualquiera de las razones trigonomtricas, por ejemplo:

Respuestas: El lado restante b mide 13 cm. El ngulo tiene una amplitud de

Si observamos la figura quedan determinados dos tringulos rectngulos, donde se debe calcular uno de los catetos de ambos tringulos rectngulos que representa la altura del rbol.En el tringulo rectngulo CBA aplicando razn tangente al ngulo que tenemos como dato:tg 30 = despejamos h h = tg 30. (x + 10) (I)7) Representamos la situacin:

C

h

3060

ADBD

x10 m

Ahora en el tringulo rectngulo CBD aplicamos razn tangente al ngulo que tenemos como dato: tg 60 = despejamos h h = tg 60. x (II)Igualando la ecuacin (I) y (II) tenemos:tg 30 . (x + 10) = tg 60. x aplicamos propiedad distributiva de la sumatg 30. x + tg 30. 10 = tg 60. x despejamos xtg 30. x - tg 60. x = - tg 30. 10 sacamos factor comn xx (tg 30 tg 60 ) = - tg 30. 10 multiplicamos m.a.m por el recproco de (tg 30 tg 60 )x = 5 m

Respuesta: La altura del rbol es aproximadamente de 5 m

Puntaje Evaluacin Grupo 1Actividad N 1:a)b)c)Identificacin correcta del sistema de medicin angular en cual esta expresado el ngulo.0,25 P (cada tems)

Conversin correcta al otro sistema de medicin angular.0,5 P (cada tems)

Total puntaje Actividad N 12,25 P

Actividad N 2:Determinacin correcta del ngulo que describe cada rayo de la rueda si sta recorre 3 m. 1 P

Total puntaje Actividad N 2 1 P

Actividad N 3:Caracterizacin correcta de un ngulo orientado en sentido positivo.0,75 P


Actividad N 4:Obtencin correcta del lado restante del tringulo rectngulo b.1 P

Obtencin correcta del ngulo 1P

Total puntaje actividad N 42 P

Actividad N 5:Enunciacin correcta del Teorema de Pitgoras de forma coloquial.1 P

Enunciacin correcta del Teorema de Pitgoras de forma simblica.1 P


Actividad N 6Representacin correcta de la situacin.

0,5 P

Obtencin correcta de la altura del rbol.

1,5 P


Modelo de Evaluacin Grupo 21) Indicar a qu sistema de medicin angular pertenecen los siguientes ngulos, y expresarlos en la otra unidad de medida angular.

2) La rueda de una bicicleta tiene un radio de 20 cm. Qu ngulo describe cada rayo de la rueda si sta recorre 6 m? (Recordar: 1 m = 100 cm).3) Cundo se considera qu un ngulo est orientado en sentido negativo? 4) Dado el siguiente tringulo rectngulo, calcular el lado restante b y la amplitud del ngulo .C

a = 8 cm

b

c = 15 cmBA

5) Definir razones trigonomtricas de un ngulo agudo en un tringulo rectngulo y completar segn corresponda:

6) Juan observa el punto ms alto de una montaa bajo un ngulo de elevacin de 48. Cuando se aleja 5 metros observa el mismo punto bajo un ngulo de elevacin de 70. Cul es la altura de la montaa? Representar la situacin.

Soluciones de la Evaluacin Grupo 21) El ngulo = 354 esta expresado en grados. El ngulo = 0,37 rad esta expresado en radianes. El ngulo =2862844esta expresado en grados.

Expresamos el ngulo = 234 en radianes aplicando la regla de tres simples: 180 radRespuesta: 354 expresados en radianes son aproximadamente 6,178 rad

354 x = 6,178 rad

Expresamos el ngulo = 0,37 rad en grados.Respuesta: 0,37 rad expresados en grados son aproximadamente 211157.98

rad 1800,37 rad x = 211157.98

Expresamos el ngulo =2862844en radianesRespuesta: 2862844 expresados en radianes son aproximadamente 5 rad

180 2862844 x = 5 rad

2) Los datos que nos brinda el problema son: Datos: r = 20 cm y S = 6 m La formula que debemos utilizar es pero debemos recordar que ambos datos deben estar expresados en la misma unidad de medida, puede ser en metros o en kilmetros.Si expresamos ambos en kilmetros utilizando la regla de tres simples: 100 cm 1 m 20 cm x = Entonces: r = 0,2 m y S = 6 mSi expresamos ambos en centmetros utilizando la regla de tres simples: 1 m 100 cm 6 m x = Entonces: r = 20 cm y S = 600 cmAhora si remplazamos en la formula las dos posibilidades:

Respuesta: El ngulo que describe cada rayo de la rueda es de 30 rad cuando sta recorre 6 m.

3) Se considera que un ngulo est orientado en sentido negativo si el sentido de giro es el mismo de las agujas del reloj.

4) Para calcular el lado restante, se puede aplicar el Teorema de Pitgoras, ya que contamos como datos con los dos catetos: a = 8 cm y c = 15 cm. remplazamos los datos calculamos potencias 64 + 225 sumamos potencias 289 aplicamos raz cuadrada m.a.m por definicin de valor absoluto 17 cm - 17 cm

Consideramos el valor positivo ya que es la longitud de un lado del tringulo rectngulo.Luego para calcular el ngulo utilizamos cualquiera de las razones trigonomtricas, por ejemplo:

Respuestas: El lado restante b mide 17 cm. El ngulo tiene una amplitud de

5) Se llaman razones trigonomtricas a aquellas que relacionan las longitudes de los lados de un tringulo rectngulo con los ngulos agudos del mismo.

6) Representamos la situacin:CTomando el tringulo rectngulo ABC podemos decir:tg 48 = Despejamos : = tg 48 . (50 m + x) (1)

||

70h

Ax50 mD48B

Ahora tomamos el tringulo rectngulo CBD y aplicamos razn tangente al ngulo que tenemos como datos:tg 70 = Despejamos : (2)

Igualando las expresiones (1) y (2)tg 48 . () = tg 70 . aplicamos propiedad distributiva de la sumatg 48 . 50 m + tg 48 . = tg 70 . sumamos trminos semejantestg 48 . - tg 70 . = - tg 48 sacamos factor comn (tg 48 - tg 70) = - tg 48 multiplicamos m.a.m por el recproco de (tg 48 - tg 70)

Remplazando = 40,98 m en cualquiera de las expresiones (1) o (2) = tg 30 . () = 40,98 m = 33,92 mRemplazamos en cualquiera de las expresiones donde despejamos para calcular la altura de la montaa: = tg 48 . (50 m + x) = tg 48 . (50 m + 33,92 m) 93,20 m = 93,20 mRespuesta: La altura de la montaa es de aproximadamente 93,20 m

Puntaje Evaluacin Grupo 1Actividad N 1:a)b)c)Identificacin correcta del sistema de medicin angular en cual esta expresado el ngulo.0,25 P (cada tems)

Conversin correcta al otro sistema de medicin angular.0,5 P (cada tems)


Actividad N 2:Determinacin correcta del ngulo que describe cada rayo de la rueda si sta recorre 6 m. 1 P

Total puntaje Actividad N 2 1 P

Actividad N 3:Caracterizacin correcta de un ngulo orientado en sentido negativo.0,75 P


Actividad N 4:Obtencin correcta del lado restante del tringulo rectngulo b.1 P

Obtencin correcta del ngulo 1P


Actividad N 5:Definicin correcta de razones trigonomtricas de un ngulo agudo de un tringulo rectngulo.1 P

Completar correcta de las expresiones.1 P


Actividad N 6Representacin correcta de la situacin.

0,5 P

Obtencin correcta de la altura de la montaa.

1,5 P


Resolucin de tringulos oblicungulosPara introducir resolucin de tringulos oblicungulos se propone el siguiente problema:Problema:Desde un punto A de la costa se divisa una isla cercana como muestra la siguiente figura. Puedes calcular la longitud de la isla?

a

110bc = 600 m

A55

Si observamos la figura podemos identificar como datos la amplitud de dos de sus ngulos, = 55 y = 110, y la longitud de uno de sus lados = 600 m.Como hemos estado trabajando anteriormente mediante la propiedad que vincula los ngulos interiores de un tringulo podemos calcular el ngulo restante, ya que entre ellos deben sumar 180. Por lo tanto: remplazamos los datos55 + 110 + = 180 sumamos trminos semejantes180 - 55 - 11015

Habiendo calculado el ngulo restante estamos en condiciones de afirmar que ste tringulo no es rectngulo, debido a que ninguno de sus ngulos interiores es recto. Si recordamos, los tringulos se clasifican segn sus ngulos de la siguiente manera: Si tiene un ngulo recto (rectngulo) Si tienen todos sus ngulos agudos (acutngulo). Si tiene un ngulo obtuso (obtusngulo).Los tringulos que no son rectngulos, o sea pueden ser obtusngulo o acutngulos reciben el nombre de Tringulos Oblicungulos.Por lo tanto: Un tringulo es Oblicungulo si no tiene ningn ngulo recto Entonces el tringulo que determina la figura del problema corresponde a un tringulo oblicungulo.Para poder encontrar la longitud del lado (longitud de la isla), no podemos utilizar ni el Teorema de Pitgoras, ni las razones trigonomtricas, ya que ambos son definidos solamente para tringulos rectngulos. Entonces, para poder resolver el problema planteado resulta necesario conocer un teorema muy importante, que nos va a permitir encontrar lo que nos pide el problema. Y este teorema recibe el nombre: Teorema del Seno.Teorema del senoSi consideramos el tringulo oblicungulo ABC que determina la figura del problema:

Luego, trazamos la altura correspondiente al lado b, quedando determinados dos tringulos rectngulos ADB y BDC.

Podemos hallar dos expresiones para la altura :En ADB: En BDC:

Igualando las expresiones (I) y (II) obtenemos:

Si ahora representamos la altura correspondiente al lado debemos prolongar el lado hasta el punto E:

Quedan determinados nuevamente dos tringulos rectngulos: AEB y AEC. Ahora podemos hallar dos expresiones para la altura :En AEB: = (IV)En AEC: = (V)Igualando las expresiones (IV) y (V) obtenemos:

Ahora observando las igualdades (III) y (VI):

Deducimos que:

Si miramos la figura del tringulo oblicungulo del cul partimos y teniendo en cuenta la conclusin a la cual llegamos, podemos decir que en cualquier tringulo, las razones entre el seno de un ngulo y su lado opuesto son proporcionales. A este importante resultado se lo conoce como Teorema del Seno.Entonces definiremos el Teorema del Seno de la siguiente manera: En todo tringulo oblicungulo las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ngulos opuestos.Retomando el problema del cual partimos, podemos decir que tenemos como dato dos de sus ngulos y uno de sus lados, entonces es posible aplicar el Teorema del Seno:Datos: = 600 m, = 55 y Lo que debemos calcular es la longitud del lado .Mediante el Teorema del seno podemos plantear la siguiente igualdad:

Remplazando los datos que tenemos y habiendo calculado anteriormente podemos decir:

Despejamos multiplicando miembro a miembro por .

Respuesta: La longitud de la isla es de 1.899 m

Si ahora volvemos a retomar el ejercicio nmero 6 de las actividades sobre tringulos rectngulos, el cul dice:Desde un punto del suelo se observa la parte ms alta de un edificio con un ngulo de elevacin de 30; si avanzamos 30 metros acercndonos al edificio, el ngulo pasa a ser de 45. Cul es su altura? Representar la situacin.Si miramos la figura representada podemos deducir que el tringulo CDA es oblicungulo.Este tringulo oblicungulo tiene como datos un lado y un ngulo, pero es posible determinar la amplitud d otro de sus ngulos ya que , pues son ngulos suplementarios.C

h

4530

30 mDAB

Entonces: - 45 = 135Ahora, si sabemos las amplitudes de dos de sus ngulos interiores podemos calcular el restante aplicando la propiedad de ngulos interiores de un tringulo: remplazamos los datos despejamos restamos trminos semejantes

Por lo tanto ahora conocemos las amplitudes de los tres ngulos interiores y uno de sus lados, entonces cumple con la condicin necesaria para poder aplicar el teorema del seno. Es decir: remplazamos los datos despejamos multiplicando m.a.m por () calculamos Si volvemos a mirar la figura tambin podemos deducir que el tringulo CBD es rectngulo, para el cul conocemos uno de sus ngulos agudos y la longitud del lado , el cual representa la hipotenusa de dicho tringulo, entonces mediantes las razones trigonomtricas podemos calcular el valor del lado que representa la altura del edificio.Aplicamos razn trigonomtrica seno: remplazamos los datos despejamos multiplicando m.a.m por 57,95 m calculamos mediante la calculadora40,98 m por propiedad simtrica de la igualdad

Respuesta: La altura del edificio es de aproximadamente 40,98 m

De esta manera hemos demostrado dos caminos alternativos para resolver un mismo problema. Veamos otro ejemplo de aplicacin del Teorema del Seno.Ejemplo: En el siguiente tringulo calcular el lado y las amplitudes de los dos ngulos faltantes .

b = 15 cm

c = 12 cm

Para calcular las amplitudes de los ngulos restantes podemos aplicar el Teorema del Seno, es decir: remplazamos los datos despejamos multiplicando m.a.m por el mismo y por despejamos pasando el seno al segundo miembro como arcoseno y calculamos mediante la calculadora, es decir:

El ngulo lo podemos calcular a travs de la propiedad de los ngulos interiores de un tringulo: remplazamos los datos despejamos el ngulo calculamos

Para calcular el lado restante del tringulo tambin es posible aplicar el Teorema del Seno: remplazamos los datos despejamos multiplicando m.a.m por calculamos mediante la calculadora

Respuestas: 80 3 49,08 475610,92

Para continuar se propone una gua de problemas, que contienen situaciones de la vida cotidiana, mediante los cuales se pretenden afianzar la resolucin de tringulos mediante la aplicacin del teorema del seno.

Actividades1) En los siguientes tringulos, hallar los lados y ngulos restantes:a

CBb)a)

110C

cb = 15 mb82c

1539B

AAc = 6 m

2) Para encontrar la distancia de la casa A a la casa B un topgrafo se sita en el punto C y determina que el ngulo es de 40, luego camina 100 m hasta la casa en B y determina que el ngulo es de 50. Cul es la distancia de A hasta B? 3) Un carpintero quiere construir una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2m, otro lado 1,5 m y el ngulo opuesto al primero debe ser de 40. Halla el resto de las medidas para que el carpintero pueda construir la mesa. 4) Un avin es visto por dos observadores que estn a 50 m de distancias entre s. Cuando el avin pasa sobre la lnea que une a los observadores, cada uno toma una lectura del ngulo de elevacin del avin: 40 y 35. A qu distancia se encuentra el avin de cada observador?5) Marcelo quiere determinar la altura del mstil de la escuela de su barrio. Para calcular su altura observ con un teodolito la punta mas alta de ste con un ngulo de elevacin de 15, luego camin en lnea recta unos 3 m y observ la punta mas alta del mstil con un ngulo de elevacin de 25. Cul es la altura del mstil de la escuela? A que distancia se encontraba Marcelo respecto del mstil cuando medi por primera vez?

Soluciones de las actividades1) Representamos la situacin:bC: topgrafo

5030A: casa

ca = 100 m

B: casa

Mediante el teorema del seno calculamos que representa la distancia entre las casas A y B. remplazamos los datos despejamos multiplicando m.a.m por calculamos

Respuesta: La distancia que separa las casas A y B es de aproximadamente 153,21 m

2) Representamos la situacinPara calcular el ngulo podemos aplicar el Teorema del seno: remplazamos los datos despejamos calculamos despejamos pasando al segundo miembro seno como arcoseno:

40b = 2 mc = 1,5 mACB

a

Luego aplicando la propiedad de la suma de los ngulos interiores de un tringulo calculamos . remplazamos los datos despejamos 180- (40 + calculamos 111112Para calcular el lado restante volvemos aplicar el teorema del seno: remplazamos los datos despejamos multiplicando m.a.m por calculamos 2,90 mRespuestas: El lado faltante mide 2,90 m 111112

3) Representamos la situacin:A: Avin

cB: Observador n 240

b

a = 50 m35

C: Observador n 1

La distancia del avin al observador n 1 esta representada por la letra b, y la distancia al observador n 2 por la letra c.El ngulo es posible calcularlo con la propiedad de ngulos interiores de un tringulo: remplazamos los datos despejamos restamos trminos semejantes

Mediante el Teorema del Seno podemos calcular ambas distancias, es decir: remplazamos los datos despejamos c multiplicando m.a.m por calculamos remplazamos los datos despejamos multiplicando m.a.m por calculamos Respuesta: La distancia del avin al primer observador es de aproximadamente 33,27 m y la distancia al segundo observador es de aproximadamente 29,69 m

5) Representamos la situacinC

ah

2515

c = 3 mdEBA

En la figura representada podemos observar que el tringulo AEC es oblicungulo.Este tringulo oblicungulo tiene como datos un lado y un ngulo, pero es posible determinar la amplitud de otro de sus ngulos ya que , pues son ngulos suplementarios.Entonces: Ahora, si sabemos las amplitudes de dos de sus ngulos interiores podemos calcular el restante aplicando la propiedad de ngulos interiores de un tringulo: remplazamos los datos despejamos restamos trminos semejantes

Por lo tanto ahora conocemos las amplitudes de los tres ngulos interiores y uno de sus lados, entonces cumple con la condicin necesaria para poder aplicar el teorema del seno. Es decir: remplazamos los datos despejamos multiplicando m.a.m por () calculamos Si volvemos a mirar la figura tambin podemos deducir que el tringulo EBC es rectngulo, para el cul conocemos uno de sus ngulos agudos y la longitud del lado , el cual representa la hipotenusa de dicho tringulo rectngulo, entonces mediantes las razones trigonomtricas podemos calcular el valor del lado que representa la distancia que separaba a Marcelo del mstil cuando midi por segunda vez para luego sumarla a los tres metros que camin en lnea recta y as determinar la distancia a la cual se encontraba cuando midi por primera vez. En EBC, para calcular la altura del mstil , aplicamos razn trigonomtrica seno: remplazamos los datos despejamos multiplicando m.a.m por 47,11 calculamos mediante la calculadora19,91 por propiedad simtrica de la igualdad

Para calcular aplicamos razn trigonomtrica coseno: remplazamos los datos despejamos multiplicando m.a.m por 47,11 m calculamos mediante la calculadora42,70 por propiedad simtrica de la igualdad

Calculamos el lado haciendo y obtenemos la distancia a la cual se encontraba Macelo cuando midi por primera vez. remplazamos los datos

Respuesta: La altura del mstil es de aproximadamente y la distancia a la cual se encontraba Marcelo del mstil cuando midi por primera vez es de aproximadamente

Ahora veamos que sucede si se nos presenta el siguiente tipo de problemas:Problema:Matas decide salir de pesca, cuando llega a un lugar que considera apropiado lanza desde su bote dos anzuelos, una de ellas cae a 14,5 m y la otra a 19 m, si el ngulo que forman las dos visuales de Matas a las boyas es . Qu distancia separa ambas boyas? Hagamos primero un esquema de la situacin:

B

c = 14,5 ma = 19 m120

bCA

De la representacin de la situacin podemos deducir que el tringulo formado es oblicungulo. Pero debido a los datos que brinda, no es posible calcular la longitud del lado restante que representa la distancia entre las boyas mediante el Teorema del Seno.

Para aplicar el Teorema del Seno necesariamente tendramos que conocer la amplitud de un ngulo ms, por lo tanto para poder resolver este tipo de problemas debemos conocer otro teorema que recibe el nombre de Teorema del Coseno.

Teorema del CosenoSi nosotros trazamos la altura en el tringulo representado correspondiente al lado quedan determinados dos tringulos rectngulos, en los que se nombraron los lados con letras minsculas y los vrtices con maysculas. Por ejemplo, g es la medida del lado Por el teorema de Pitgoras podemos decir: En el ADB: En el BDC:

Igualando las expresiones (1) y (2) obtenemos:

Como Si remplazamos (4) en (3) obtenemos:

Desarrollando el cuadrado del binomio:

Restamos trminos semejantes:

Si despejamos :

En el tringulo ADB podemos observar que el , por lo tanto Remplazando esta ltima igualdad en la expresin (5) obtenemos:

De la misma manera, si trazamos las alturas correspondientes a los otros dos lados, se puede demostrar que:

Es decir, el cuadrado de un lado del tringulo puede calcularse a partir de los otros lados y el coseno del ngulo que forman. Esta importante relacin es vlida para todo tipo de tringulos y recibe el nombre de Teorema del Coseno.Definimos el Teorema del Coseno de la siguiente manera: El cuadrado de cualquiera de los lados de un tringulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ngulo que forman.

Retomando el problema y aplicando ste teorema calculamos el lado restante: remplazamos los datos calculamos aplicamos raz cuadrada m.a.m por definicin de valor absoluto

Consideramos el valor positivo ya que es una distancia.Respuesta: La distancia que separa ambas boyas es de 29,1 m

Para calcular el ngulo podemos volver aplicar el Teorema del Coseno o tambin lo podemos calcular mediante el Teorema del Seno ya que habiendo calculado el lado contamos con los datos necesarios para poder aplicarlo.Si aplicamos el Teorema del Coseno: remplazamos los datos despejamos calculamos por propiedad simtrica de la igualdad pasamos coseno como arccoseno al segundo miembro calculamos

Si aplicamos el Teorema del Seno: remplazamos los datos despejamos calculamos Despejamos pasando al segundo miembro seno como arcoseno:

Si comparamos el resultado es casi el mismo, entonces mediante estas dos maneras es posible calcular el ngulo . Como hemos calculado las amplitudes de dos de los ngulos interiores, la manera ms sencilla de calcular el restante es aplicando la propiedad de la suma de los ngulos interiores de los tringulos, es decir: remplazamos los datos despejamos restamos trminos semejantes

Reforcemos la aplicacin de ste teorema a travs de otro ejemplo:Ejemplo: En el siguiente tringulo calcular el lado y las amplitudes de los dos ngulos faltantes Para esta figura se puede utilizar el Teorema del Coseno:

Consideramos el valor positivo ya que es un lado del tringulo.

CA

c

B

Para obtener el ngulo usamos el teorema del seno y lo expresaremos de la siguiente manera para que resulte ms sencillo despejar el ngulo : remplazamos datos = despejamos calculamos Pasamos seno al segundo miembro como arcseno:

Aplicando la propiedad de suma de ngulos interiores de un tringulo calculamos el ngulo remplazamos los datos despejamos restamos trminos semejantes

Respuestas:

Al igual que hicimos con el Teorema del Seno ahora se propone una gua de problemas, que contienen situaciones de la vida cotidiana, que requieren la aplicacin del Teorema del Coseno y a su ves la del Seno. De esta manera se espera que los alumnos tengan la posibilidad de elegir el camino que consideren ms apropiado para obtener las respuestas de cada problema.

Actividades1) En los siguientes tringulos, hallar los lados y ngulos restantes:b)a)A

79C

b = 12 cmcab = 11 cm

4030BACB

c = 15 cma = 8 cm

2) Un agrimensor est haciendo mediciones con un teodolito. Tom como referencia dos postes que marcan los vrtices de un terreno, que estn a 5 km y 8 km, respectivamente, del lugar donde l est parado. El ngulo determinado por las visuales a dichos postes es de 120. Cul es la distancia entre los postes?3) Se pretende construir un puente entre dos puntos A y B para cruzar el estanque que los separa, y queremos conocer la distancia entre ambos. Para ello nos situamos en un punto C que dista 30 m de del punto A y 40 m de B. Adems, el teodolito indica que el ngulo que se forma en el punto C es de 75. Calcular la distancia entre A y B. 4) Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, el ngulo que forman es de 4815. Calcular los lados ms cortos del paralelogramo. Realizar un grfico.5) En una plazoleta de forma triangular, los lados miden 60 m, 75 m y 50 m. Qu ngulos se forman en las esquinas de la misma?.Soluciones a las actividades1) En el tems a) debemos calcular el lado y el ngulo .Para calcular el lado podemos aplicar el Teorema del Seno. remplazamos los datos despejamos multiplicando m.a.m por calculamos

Como tenemos como dato la amplitud de los otros dos ngulos interiores del tringulo, podemos aplicar la propiedad de ngulos interiores de un tringulo para calcular , es decir: remplazamos los datos despejamos restamos trminos semejantes

Respuestas: El ladomide aproximadamente 5,24 cm. El ngulo tiene una amplitud de 61

En el tems b) se debe calcular el lado y los ngulos .Para calcular el lado se debe aplicar el Teorema del Coseno: remplazamos los datos calculamos 57,23 aplicamos raz cuadrada m.a.m por definicin de valor absoluto

cmConsideramos el valor positivo, ya que representa un lado del tringulo.Para calcular los ngulos primero podemos aplicar cualquiera de los dos Teorema para encontrar la amplitud de uno de ellos, luego mediante la propiedad de ngulos interiores de un tringulo calculamos el otro.Si aplicamos el teorema del seno para calcular el ngulo : remplazamos datos = despejamos calculamos Pasamos seno al segundo miembro como arcseno:


Respuestas:

2) Si representamos la situacin: Para calcular la distancia entre los postes, representado por el lado , aplicamos el Teorema del Coseno: remplazamos los datos calculamos = 129 aplicando raz cuadrada m.a.m = por definicin de valor absoluto Debemos tomar el valor positivo ya que es una distancia.Respuesta: La distancia entre los postes es de 11,36 km

3) Representamos la situacin:B

a = 40 m

c

75C

Ab = 30 m

Para calcular la distancia entre los puntos A y B representado por el lado , aplicamos el Teorema del Coseno: remplazamos los datos calculamos aplicando raz cuadrada m.a.m por definicin de valor absoluto Debemos tomar el valor positivo ya que es una distancia.Respuesta: La distancia que separa los puntos A y B es de aproximadamente 43,34 m

4) Representamos la situacin:Recordemos que las diagonales de un paralelogramo se cortan en punto medio.Aplicando el teorema del coseno en el tringulo EBD y calculamos el lado menor del paralelogramo:

21,08 cm2 aplicando raz cuadrada m.a.m = por definicin de valor absoluto4,59 cm consideramos positivo 4,59 cm

Respuesta: Los lados ms cortos = miden aproximadamente 4,59 cm

5) Representamos la situacin:Aa = 50 mc = 60 mb = 75 mBC

Como solo tenemos como dato la amplitud de los lados, el Teorema del Seno no es posible aplicarlo, entonces lo que debemos aplicar es el Teorema del Coseno:

(75)2 = (50)2 + (60)2 2. (50)(60).Despejamos: = Calculamos: Por propiedad simtrica de la igualdad decimos: Para calcular otro de los ngulos podemos aplicar nuevamente el Teorema del Coseno o a partir del ngulo calculado aplicar el Teorema del Seno. Aplicando el teorema del seno: remplazamos los datos despejamos sen = ( calculamos Pasamos seno al segundo miembro como arcseno: Por ltimo podemos aplicar la propiedad de la suma de los ngulos interiores de un tringulo para calcular el ngulo : remplazamos los datos despejamos restamos trminos semejantes

Respuesta:

Modelo de Evaluacin Grupo 11) En los siguientes tringulos, hallar los lados y ngulos restantes:Bb)a)

a = 7 cmC

cCa = 15 cmb32

110

b = 11 cmA46c = 6 cm

AB

2) Dos guardabosques separados por 5 km observan un incendio. El primer guardabosque ve el incendio con un ngulo igual a 28 y el segundo guardabosque mide un ngulo igual a 57. Cul de los guardabosques se encuentra ms cerca del incendio?. Representar la situacin. 3) Desde lo alto de un globo aerosttico se observa un pueblo A y otro B con un ngulo de 50. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 kilmetros del pueblo A y a 4 del pueblo B, representar La situacin y calcular la distancia entre los pueblos A y B.4) Enunciar de manera coloquial y simblica el Teorema del Seno.

5) Definir Triangulo Oblicungulo.

Soluciones Evaluacin Grupo 1

1) En el tems a) debemos calcular el lado y el ngulo .Para calcular el lado podemos aplicar el Teorema del Seno. remplazamos los datos despejamos multiplicando m.a.m por calculamos

Como tenemos como dato la amplitud de los otros dos ngulos interiores del tringulo, podemos aplicar la propiedad de ngulos interiores de un tringulo para calcular , es decir: remplazamos los datos despejamos restamos trminos semejantes

Respuestas: El ladomide aproximadamente 8,14 cm. El ngulo tiene una amplitud de 102

En el tems b) se debe calcular el lado y los ngulos .Para calcular el lado se debe aplicar el Teorema del Coseno: remplazamos los datos calculamos 222,67 aplicamos raz cuadrada m.a.m por definicin de valor absoluto cm cmConsideramos el valor positivo, ya que representa un lado del tringulo.Para calcular los ngulos primero podemos aplicar cualquiera de los dos Teorema para encontrar la amplitud de uno de ellos, luego mediante la propiedad de ngulos interiores de un tringulo calculamos el otro.Si aplicamos el teorema del seno para calcular el ngulo : remplazamos datos = despejamos calculamos Pasamos seno al segundo miembro como arcseno:


Respuestas:

2) Representamos la situacin:b = 5 kmC: G2

a 5728A: G1

c

B: Incendio

Para plantear el teorema del seno resulta necesario calcular primero el ngulo , el cual es posible calcularlo a travs de la propiedad de los ngulos interiores de un tringulo. remplazamos los datos despejamos restamos trminos semejantes

Aplicamos el Teorema del Seno y calculamos que representan las distancias de cada guardabosque al incendio. remplazamos los datos despejamos multiplicando m.a.m por calculamos

remplazamos los datos despejamos multiplicando m.a.m por calculamos

Respuesta: La distancia del primer guardabosque al incendio es de aproximadamente 4,21 km y la distancia del segundo guardabosque al incendio es de 2,36 km, por lo tanto el segundo guardabosque se encuentra ms cerca del incendio que el segundo.

3) Representamos la situacin:C = Globo Aerosttico

50

a = 6 kmb = 4 km

BA

c

Para calcular el lado c que representa la distancia entre los puntos A y B, se puede aplicar el teorema del coseno, es decir: remplazamos los datos calculamos aplicamos raz cuadrada m.a.m por definicin de valor absoluto

Consideramos el valor positivo ya que c es una distancia. Respuesta: La distancia que separa los puntos A y B es de aproximadamente 4,6 km

4) En todo tringulo oblicungulo las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ngulos opuestos.

5) Un tringulo es oblicungulo si no tiene ningn ngulo recto.

Puntaje Evaluacin Grupo 1Actividad N 1:tems a)

Obtencin correcta del lado b. 1 P

Obtencin correcta del ngulo .0,5 P

Total puntaje tems a)1,5 P

tems b)

Obtencin correcta del lado c. 1 P

Obtencin correcta del ngulo .1 P (Aplicacin teorema del Seno o coseno)

Obtencin correcta del ngulo .0,5 P

Total puntaje tems b)2,5 P

Total puntaje Actividad N 14 P

Actividad N 2:Representacin correcta de la situacin.0,5 P

Determinacin correcta del guardabosque que se encuentra ms cerca del incendio. 1 P

Total puntaje Actividad N 2 1,5 P

Actividad N 3:Representacin correcta de la situacin.0,5 P

Calculo correcto de la distancia entre los puntos A y B. 1 P


Actividad N 4:Enunciacin correcta del teorema del Seno de forma coloquial.1 P

Enunciacin correcta del teorema del Seno de forma simblica.1 P


Actividad N 5:Definicin correcta de Tringulo Oblicungulo.1 P


Modelo de Evaluacin Grupo 21) En los siguientes tringulos, hallar los lados y ngulos restantes:Bb)a)

a = 9 cmC

cCb = 15 cma34

115

b

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Unidad Didactica (Segunda Entrega)