Universidad de Los Andes Facultad de Humanidades y Educación

Escuela de Educación

Cátedra: Álgebra I Profesor: Francisco Rivero

UNIDAD DIDÁCTICA

Álgebra lineal:

Determinantes

Bachiller: Valeska Yakueline Barrios Ramírez. C.I: 19.751.665

Mérida 09 de marzo de 2011

INDICE

Introducción

Objetivos

Contenido Historia

Propiedades Regla de Sarrus

Menor complemento y adjunto

Calculo de determinantes

Matriz inversa

Rango

Metodología y Evaluación

Introducción

El programa de Algebra lineal, contiene una serie de temas, pero en este caso trataremos sobre DETERMINANTES aplicada para alumnos de 4to año de bachillerato, así como también los métodos, teorías y ejercicios para la comprensión del mismo.

Objetivos

Objetivo generales

El objetivo general del tema es impartir al estudiante los conocimientos de una forma breve y sencilla, de manera que se le facilite aun más su aprendizaje. Objetivos específicos

Romper el perjuicio de que la matemática no es algo que se lee. Ofrecer un escenario para la experimentación de nuevas técnicas de enseñanza. Analizar y discernir los conceptos más significativos del tema. Aplicar las ocho propiedades y los diferentes métodos para resolver distintos

determinantes. Facilitar al estudiante a través de ejemplos relativamente sencillos; con el modo de

expresar y hacer matemáticas actualmente.

Contenido

Historia de los determinantes

Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Hui, Liu. iuzhang Suanshu o Los nueve capítulos del arte matemático.) fueron los primeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conoce con el nombre de Eliminación de Gauss-Jordan. Algunos de los más grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX contribuyeron al desarrollo de las propiedades de los determinantes. La mayoría de los historiadores coinciden en afirmar que la teoría de los determinantes se originó con el matemático alemán Goofried Wilhelm Leibniz (1646-1716) quien fue con Newton, el co-inventor del cálculo diferencial e integral. Leibniz empleó los determinantes en 1693 con relación a los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. No obstante hay quienes creen que el matemático japonés Seki Kowa hizo lo mismo unos 10 años antes.

Las contribuciones más prolíficas a la teoría de los determinantes fueron las del matemático francés Agustin-Louis Cauchy (1789-1857). Cauchy escribió, en 1812 una memoria de 84 páginas que contenía la primera demostración del teorema detAB=detA*detB. En 1840 Cauchy hizo muchas otras contribuciones a las matemáticas. En su texto de cálculo de 1829 Lecons sur le calcul différential, dio la primera definición razonablemente clara de límite. Cauchy escribió ampliamente tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Solo Euler escribió más. Cauchy hizo contribuciones en varias áreas, incluyendo la teoría de las funciones reales y complejas, la teoría de la probabilidad, geometría, teoría de propagación de las ondas y las series infinitas. A Cauchy se le reconoce el haber establecido nuevos niveles de rigor en las publicaciones matemáticas. Después de Cauchy, fue mucho más difícil publicar escritos basándose en la intuición; se exigió una estricta adhesión a las demostraciones rigurosas. El volumen de las publicaciones de Cauchy fue abrumador. Cuando la Academis Francesa de Ciencias comenzó a publicar su revista Comptes Rendus en 1835, Cauchy envió su obra para que se publicara, en poco tiempo los gastos de impresión se hicieron tan grandes, solo por la obra de Cauchy, que la academia impuso un límite de cuatro cuartillas por cada documento a ser publicado. Hay algunos otros matemáticos que merecen ser mencionados aquí. El desarrollo de un determinante por cofactores fue empleado por primera vez por el matemático francés Pierre de Laplace (1749-1827). Laplace es mejor conocido por la transformación que lleva su nombre que se estudia en los cursos de matemáticas aplicadas. Un contribuyente principal de la teoría de los determinantes (estando solo Cauchy antes que él) fue el matemático alemán Carl Gustav Jacobi (1804-1851). Fue con él con quien la palabra “determinante” ganó la aceptación definitiva. Lo primero en lo que Jacobi empleó los determinantes fue en las funciones, al establecer la teoría de las funciones de varias variables. Sylvester llamó más tarde jacobiano a éste determinante. En matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas lineales de ecuaciones.

Concepto de determinante

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A). A= a11 a12 …. a1n

a21 a22 …. a2n

…. …. …. …. am1 am2 …. amn

Propiedades de los determinantes

1.|At|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales. 2 3 0 2 3 2 A= 3 2 7 At= 3 2 1

2 1 6 0 7 6

|A| = |At| = -2

2. |A|=0 Si: Si la matriz posee dos filas o columnas iguales su determinante es nulo.

2 3 2

A= 3 2 3 = 0

2 3 2

Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante son ceros, el determinante es nulo.

2 3 2

A= 3 2 3 = 0

0 0 0

Si una de las filas o columnas de un determinante es combinación lineal de las otras, el valor del determinante es cero.

2 3 2

A= 1 2 4 = 0

3 5 6

F3 = F1 + F2

Ya que la tercera fila se forma al sumar la fila uno y dos. 3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

2 0 0

A= 1 2 0 = 2*2*6 = 24

3 5 6

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos filas o columnas paralelas su determinante cambia de signo.

2 1 2 1 2 0

1 2 0 = - 2 1 2

3 5 6 3 5 6

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

2 1 2 2 1 7

1 2 0 = 16 C3 = 2C1 + C2 + C3 1 2 4 = 16

3 5 6 3 5 17

6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

2 1 2 2*2 1 2 4 1 2

2* 1 2 0 = 1*2 2 0 = 2 2 0

3 5 6 3*2 5 6 6 5 6

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

2 1 2 2 1 2 2 1 2

a + b a + c a + d = a a a + b c d

3 5 6 3 5 6 3 5 6

8. |A*B| =|A|*|B| El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A). A= a11 a12 …. a1n

a21 a22 …. a2n

…. …. …. …

am1 am2 …. amn

REGLA DE SARRUS

Pierre Sarrus (1798, 1861) fue un matemático francés que estableció una regla para para calcular determinantes de orden 3.

Regla de Sarrus

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

a11 a12 a13

A= a21 a22 a23

a31 a32 a33

Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

a11 a12 a13

A= a21 a22 a23

a31 a32 a33

Ejemplo

1 2 3 1 1 -1 = 1*1 *5 + 2*(-1)*2 + 3*1*0 – 3*1*2 - 2*1*5 - 1*0*(-1) 2 0 5

= 5 – 4 + 0 – 6 – 10 + 0 = -15

Ejercicios

Resolver las siguientes matrices a través de la regla de Sarrus: 4 2 1

1 -1 1

0 1 1 -3 2 1 2 -1 1

3 1 1

Menor complementario y adjunto

Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.

1 2 1 1 1

2 5 4 3 2

3 6 2

Adjunto de un elemento de un determinante

Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo: El signo es + si i+j es par. El signo es - si i+j es impar.

1 2 1 2 1

2 5 4 - 6 2

3 6 2

Ejercicio

Obtener el valor de la matriz siguiente a través del menor complementario y adjunto. 3 4 2 1

5 -1 0 -1

2 1 -1 1

3 0 1 1

Calculo de determinantes

Determinante de orden uno

|a 11| = a 11

Ejemplo

|-2| = -2

Determinante de orden dos

a11 a12

a21 a22 = a11 a22 – a12 a21

Ejemplo

2 3 =2*2 – [ (-1)*3 ] = 4+3 =7

-1 2

Determinante de orden tres

Se aplica la regla de Sarrus:

a11 a12 a13

A= a21 a22 a23 a31 a32 a33

a11 a12 a13

A= a21 a22 a23

a31 a32 a33

Ejemplo

1 2 3 1 1 -1 = 1*1 *5 + 2*(-1)*2 + 3*1*0 – 3*1*2 - 2*1*5 - 1*0*(-1) 2 0 5

= 5 – 4 + 0 – 6 – 10 + 0 = -15

Cálculo de un determinante de cualquier orden

Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1. Seguiremos los siguientes pasos:

Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

2 3 3 6

2 3 6 7 21 82 0 3

2 23 1 1

En caso negativo: Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela).

2 3 3 6 2 3 3 6

3 3 6 7 1 0 3 1

4 5 0 3 f2 = f2 - f1 4 82 0 3 5 23 2 3 5 23 2 3

1. Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos.

2 3 3 6 1 3 3 6

2 3 6 7 1 3 6 7

4 82 0 3 2 * 2 82 0 3

2 23 2 3 1 23 2 3

Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

2 3 3 6 f2 - f1 1 3 3 6

1 3 6 7 f3 – 2f1 0 0 3 1 2 * 2 4 0 3 2 * 0 -2 -6 -9

1 5 2 3 f4 – f1 0 2 -1 -3

2. Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.

0 3 1

2 * -2 -6 -9 = 2 (-58) = -116

2 -1 -3

Ejercicios

Calcular el valor de los siguientes determinantes.

4 1 -1 17

3 -3 8 -7

81 2 1 6

5 3 32 5

-3 4 2

2 1 -1

3 0 1

Matriz inversa: A-1 = 1 (A*)t

|A|

Propiedades

(A * B)-1 = B-1 * A-1 (A-1)-1 = A (k * A)-1 = k-1 * A-1 (A t)-1 = (A -1)t Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos: 1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

1 1 0

A = 1 0 1 0 1 0

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

1 1 0 : 1 0 0

A = 1 0 1 : 0 1 0 0 1 0 : 0 0 1

2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1. F2 - F1

1 1 0 : 1 0 0

0 -1 1 :-1 1 0 0 1 0 : 0 0 1

F3 + F2

1 1 0 : 1 0 0

0 -1 1 :-1 1 0 0 0 1 :-1 1 1

F2 - F3

1 1 0 : 1 0 0

0 -1 0 : 0 0 -1 0 0 1 :-1 1 1

F1 + F2

1 0 0 : 1 0 -1

0 -1 0 : 0 0 -1 0 0 1 : -1 1 1

La matriz inversa es:

1 0 -1

A-1 = 0 0 1 -1 1 1

Puedes consultar este otro método para calcular la matriz inversa.

Cálculo de la matriz inversa

2 0 1

A= 3 0 0

5 1 1

1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

2 0 1

A = 3 0 0 = 3 5 1 1

2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

0 0 - 3 0 3 0

1 1 5 1 5 1

0 -3 3

A+ = - 0 1 2 1 - 2 0 = 1 -3 -2 1 1 5 1 5 1 0 3 0

0 1 - 2 1 2 0 0 0 3 0 3 0

3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

0 1 0

(A+)t = -3 -3 3

2 -2 0

4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

0 1 0 0 1 0

3

A-1 = 1 -3 -3 3 = -1 -1 1

3

3 -2 0 1 - 2 0

3

Ejercicios

Calcule la matriz inversa y por el método de gauss los siguientes: -1 0 2

A= 3 -1 0

2 1 0

-2 5 2

B= 4 1 -9

3 -3 1

Rango

Es el número de filas o columnas linealmente independientes, utilizando esta definición se puede calcular usando el método de Gauss. También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta definición se puede calcular el rango usando determinantes.

Cálculo del rango de una matriz por determinantes

2 1 3 2

3 2 5 1

B = -1 1 0 -7

3 -2 1 17

0 1 1 -4

1. Podemos descartar una línea si:. Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos líneas iguales. Una línea es proporcional a otra. Una línea es combinación lineal de otras.

Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras: c3 = c1 + c2 2 1 3 2 2 1 2

3 2 5 1 3 2 1

-1 1 0 -7 -1 1 -7

3 -2 1 17 3 -2 17

0 1 1 -4 0 1 -4

2. Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo. |2|=2≠0

3. Tendrá rango 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo.

2 1 = 1 ≠ 0

3 2

4. Tendrá rango 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.

2 1 2 2 1 2 2 1 2

3 2 1 = 0 3 2 1 = 0 3 2 1 = 0

-1 1 -7 3 -2 17 0 1 -4

Como todos los determinantes de las submatrices son nulos no tiene rango 3, por tanto r(B) = 2. 5. Si tiene rango 3 y existe alguna submatriz de orden 4, cuyo determinante no sea nulo, tendrá rango 4. De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango superior a 4.

Ejercicios

Determine el rango de: -1 0 2 1

A= 1 1 -1 0

0 1 1 1

-3 4 1

B= 2 1 1

3 0 1

Metodología del desarrollo del tema

No restringir necesariamente los problemas planteados a una disciplina particular. Plantear problemas de gran contenido intuitivo y que, por lo tanto, ofrezcan un reto

atractivo para el estudiante. Uso de los textos de las bibliografías a gusto del estudiante, y a su vez de internet

como ayuda complementaria. Motivar el trabajo en grupos pequeños. Realización de sesiones de resolución de problemas en cada clase. Intervención de los alumnos en cada clase.

Evaluación

Realizar una evaluación escrita en base al 80% del tema. Confeccionar la evaluación en base a un problemario oficial. Dedicar el 10% de la evaluación a la revisión de los conceptos y ortografía (signos). Dedicar el 10% a la resolución del problemario que se entregara el día de la

evaluación.